Az integrálok megoldásának folyamatát a matematikának nevezett tudományban integrációnak nevezik. Az integráció segítségével megtalálhat néhány fizikai mennyiséget: terület, térfogat, testek tömege és még sok más.

Az integrálok lehetnek határozatlanok vagy határozottak. Tekintsük a határozott integrál alakját, és próbáljuk megérteni a fizikai jelentését. A következő formában van ábrázolva: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. A határozott integrál határozatlan integrálból való írásának sajátossága, hogy az a és b integrációnak vannak határai. Most megtudjuk, miért van szükség rájuk, és mit jelent valójában a határozott integrál. Geometriai értelemben egy ilyen integrál egyenlő az ábra területével, amelyet az f(x) görbe, az a és b egyenesek, valamint az Ox tengely határol.

Az 1. ábrán jól látható, hogy a határozott integrál ugyanaz a terület, amely szürkével van árnyékolva. Vizsgáljuk meg ezt egy egyszerű példával. Keressük meg az alábbi képen az ábra területét integrálással, majd számítsuk ki a szokásos módon, a hosszúságot a szélességgel megszorozva.

A 2. ábrából jól látható, hogy $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Most behelyettesítjük őket az integrál definíciójába, azt kapjuk, hogy $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(units)^2 $$ Végezzük el az ellenőrzést a szokásos módon. Esetünkben a hossz = 3, az ábra szélessége = 1. $$ S = \text(length) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(units)^2 $$ Ahogy tudod lásd, minden tökéletesen passzol.

Felmerül a kérdés: hogyan kell megoldani a határozatlan integrálokat és mi a jelentésük? Az ilyen integrálok megoldása antiderivatív függvények keresése. Ez a folyamat a származék megtalálásának az ellenkezője. Az antiderivált megtalálásához használhatja segítségünket matematikai feladatok megoldásában, vagy önállóan kell megjegyeznie az integrálok tulajdonságait és a legegyszerűbb elemi függvények integrálási táblázatát. A lelet így néz ki: $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(ahol) F(x) $ a $ f(x) antideriváltja, C = const $.

Az integrál megoldásához a $ f(x) $ függvényt egy változón keresztül kell integrálni. Ha a függvény táblázatos, akkor a választ a megfelelő formában írjuk le. Ha nem, akkor a folyamat a $ f(x) $ függvényből táblázatos függvény kinyeréséhez vezet bonyolult matematikai transzformációk segítségével. Különféle módszerek és tulajdonságok léteznek erre, amelyeket a továbbiakban megvizsgálunk.

Tehát most hozzunk létre egy algoritmust a dumák integráljainak megoldására?

Integrálszámítási algoritmus

1. Találjuk ki a határozott integrált vagy sem.
2. Ha nincs definiálva, akkor a $ f(x) $ integrandus $ F(x) $ antiderivatív függvényét kell megtalálni matematikai transzformációk segítségével, amelyek a $ f(x) $ függvény táblázatos alakjához vezetnek.
3. Ha meg van adva, akkor végre kell hajtani a 2. lépést, majd be kell cserélni a $ a $ és a $ b $ határértékeket a $ F(x) $ antiderivatív függvénybe. A „Newton-Leibniz képlet” cikkből megtudhatja, milyen képletet kell használni ehhez.

Példák megoldásokra

Tehát megtanultad, hogyan kell megoldani a dumák integráljait, és az integrálok megoldására vonatkozó példákat kiválogattuk. Megismertük fizikai és geometriai jelentésüket. A megoldási módszereket más cikkekben ismertetjük.

Ha a tankönyv definíciói túl bonyolultak és nem egyértelműek, olvassa el cikkünket. Megpróbáljuk a lehető legegyszerűbben, „ujjakon” elmagyarázni a matematika ilyen ágának fő pontjait, mint határozott integrálokat. Az integrál kiszámításáról ebben a kézikönyvben olvashat.

Geometriai szempontból egy függvény integrálja az adott függvény grafikonja és a tengely által alkotott ábra területe az integráció határain belül. Írja le az integrált, elemezze az integrál alatti függvényt: ha lehetséges az integrandus egyszerűsítése (az integráljelet csökkenteni, szorozni, két egyszerű integrálra bontani), akkor tegye meg. Nyissa meg az integrálok táblázatát, hogy meghatározza, melyik függvény deriváltja van az integrál alatt. Megtalálta a választ? Írja fel az integrálhoz hozzáadott tényezőt (ha ez megtörtént), írja le a táblázatból talált függvényt, és helyettesítse be az integrál határait.

Egy integrál értékének kiszámításához számítsa ki az értékét a felső korláton, és vonja ki az értékét az alsó korláton. A különbség a kívánt érték.

Ahhoz, hogy tesztelje magát, vagy legalább megértse egy integrálprobléma megoldásának folyamatát, kényelmes az integrálok megtalálására szolgáló online szolgáltatás használata, de a megoldás megkezdése előtt olvassa el a függvények bevitelére vonatkozó szabályokat. Legnagyobb előnye, hogy itt lépésről lépésre leírjuk egy integrállal ellátott probléma teljes megoldását.

Természetesen itt csak az integrálok legegyszerűbb változatait vesszük figyelembe - bizonyosakat, sőt, az integráloknak nagyon sokféle változata létezik, ezeket felsőbb matematika, matematikai elemzés és differenciálegyenletek során tanulmányozzák az egyetemeken műszaki szakos hallgatók számára. .

Példák határozatlan integrálok kiszámítására

Az integrál kiszámítása a táblázatból

Integráció helyettesítéssel:

Példák integrálszámításra

Newton–Leibniz alapképlet

Helyettesítési számítások

4. fejezet Differenciálegyenletek.

Differenciálegyenlet egy egyenlet, amely egy független változót kapcsol össze egymással x , a szükséges funkciót nál nél és származékai vagy differenciáljai.

A szimbolikusan differenciált egyenlet a következőképpen van felírva:

A differenciálegyenletet ún rendes, ha a szükséges függvény egy független változótól függ.

Rendben egy differenciálegyenlet az ebben az egyenletben szereplő legmagasabb derivált (vagy differenciál) sorrendje.

Döntés alapján(vagy integrál) egy differenciálegyenlet függvénye, amely ezt az egyenletet azonossággá alakítja.

Általános megoldás(vagy általános integrál) egy differenciálegyenlet olyan megoldása, amely annyi független tetszőleges állandót tartalmaz, amennyi az egyenlet sorrendje. Így egy elsőrendű differenciálegyenlet általános megoldása egy tetszőleges állandót tartalmaz.

Magán döntés A differenciálegyenlet tetszőleges állandók különböző számértékeinek általános megoldásából kapott megoldás. A tetszőleges állandók értékei az argumentum és a függvény bizonyos kezdeti értékeinél találhatók.

Egy differenciálegyenlet adott megoldásának grafikonját ún integrálgörbe.

Egy differenciálegyenlet általános megoldása az összes integrálgörbe halmazának (családjának) felel meg.

Elsőrendű differenciálegyenlet olyan egyenlet, amely legfeljebb elsőrendű származékokat (vagy differenciálokat) tartalmaz.

Differenciálegyenlet elválasztható változókkal formaegyenletnek nevezzük

Az egyenlet megoldásához először szét kell választani a változókat:

majd integrálja a kapott egyenlőség mindkét oldalát:

1. Keresse meg az egyenlet általános megoldását!

o A rendelkezésünkre álló változók felosztása

Az eredményül kapott egyenlet mindkét oldalát integrálva:

Mivel egy tetszőleges állandó VAL VEL tetszőleges számértéket vehet fel, akkor a további átalakítások kényelme érdekében ahelyett Círtunk (1/2) ln C. Potencírozzuk az utolsó egyenlőséget, amit kapunk

Ez az egyenlet általános megoldása.

Irodalom

V. G. Boltyansky, Mi a differenciálás, „Népszerű előadások a matematikáról”,

17. szám, Gostekhizdat 1955, 64 oldal.

V. A. Gusev, A. G. Mordkovich „Matematika”

G. M. Fikhtengolts „A differenciál- és integrálszámítás menete”, 1. kötet

V. M. Borodikhin, Felső matematika, tankönyv. kézikönyv, ISBN 5-7782-0422-1.

Nikolsky S. M. 9. fejezet. Riemann határozott integrálja // Matematikai elemzés menete. - 1990. - T. 1.

Iljin V. A., Poznyak, E. G. 6. fejezet: Határozatlan integrál // A matematikai elemzés alapjai. - 1998. - T. 1. - (Felsőfokú matematika és matematikai fizika tantárgy).

Demidovich B.P. 3. szakasz: Határozatlan integrál // Matematikai elemzési feladatok és gyakorlatok gyűjteménye. - 1990. - (Felsőfokú matematika és matematikai fizika tantárgy).

Valutse I.I., Diligul G.D. Matematika középiskolai alapú technikumoknak: Tankönyv-2. kiadás, átdolgozott. és további M.6 Tudomány. 1989

Kolyagin Yu.M. Jakovlev G.N. matematika a műszaki iskolák számára. Algebra és az elemzés kezdete, 1. és 2. rész. "Naukka" M. kiadó, 1981.

Shchipachev V.S. Feladatok a felsőbb matematikában: Proc. Kézikönyv egyetemeknek. Magasabb Shk. 1997

Bogomolov N.V. gyakorlati matematika leckék: tankönyv. Műszaki iskolák kézikönyve. Magasabb Shk 1997

Írja be azt a függvényt, amelyhez meg kell találnia az integrált

A számológép RÉSZLETES megoldásokat kínál a határozott integrálokra.

Ez a számológép az f(x) függvény meghatározott integráljára talál megoldást adott felső és alsó határértékekkel.

Példák

Fokozat használata
(négyzet és kocka) és törtek

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Négyzetgyök

Sqrt(x)/(x + 1)

köbgyök

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Szinusz és koszinusz használata

2*sin(x)*cos(x)

arcszinusz

X*arcsin(x)

ív koszinusz

X*arccos(x)

A logaritmus alkalmazása

X*log(x, 10)

Természetes logaritmus

Kiállító

Tg(x)*sin(x)

Kotangens

Ctg(x)*cos(x)

Irracionális törtek

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Arktangens

X*arctg(x)

Arccotangens

X*arсctg(x)

Hiperbolikus szinusz és koszinusz

2*sh(x)*ch(x)

Hiperbolikus érintő és kotangens

Ctgh(x)/tgh(x)

Hiperbolikus arcszinusz és arkoszinusz

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Hiberbolikus arctangens és arckotangens

X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Kifejezések és függvények bevitelének szabályai

A kifejezések függvényekből állhatnak (a jelöléseket ábécé sorrendben adjuk meg): abszolút (x) Abszolút érték x
(modul x vagy |x|) arccos(x) Funkció - ív koszinusza x arccosh(x)Ív koszinusz hiperbolikus innen x arcsin(x) Arcsine from x arcsinh(x) Arcsine hyperbolic from x arctan(x) Függvény - arctangense x arctgh(x) Arctangens hiperbolikus -tól x e e egy szám, amely megközelítőleg egyenlő 2,7-tel exp(x) Függvény - kitevője x(mint e^x) log(x) vagy ln(x) természetes logaritmusa x
(Megszerezni log7(x), be kell írnia a log(x)/log(7) parancsot (vagy például a for log10(x)=log(x)/log(10)) pi A szám "Pi", ami körülbelül 3,14 bűn(x) Funkció - Sine of x cos(x) Funkció - koszinusza x sinh(x) Funkció - Szinusz hiperbolikus innen x cosh(x) Funkció – koszinusz hiperbolikus innen x sqrt(x) Funkció - négyzetgyök x sqr(x) vagy x^2 Funkció - Négyzet x barna(x) Funkció – Érintő innen x tgh(x) Funkció – Tangens hiperbolikus innen x cbrt(x) Funkció - kockagyöke x

A következő műveletek használhatók kifejezésekben: Valós számokírja be mint 7.5 , Nem 7,5 2*x- szorzás 3/x- osztály x^3- hatványozás x+7- kiegészítés x - 6- kivonás
Más funkciók: emelet (x) Funkció - kerekítés x lefelé (például padló(4,5)==4,0) mennyezet (x) Funkció - kerekítés x felfelé (például mennyezet (4,5)==5,0) jel (x) Funkció - Jel x erf(x) Hibafüggvény (vagy valószínűségi integrál) lapla(x) Laplace függvény

Az integrálok megoldása könnyű feladat, de csak néhány kiválasztott számára. Ez a cikk azoknak szól, akik szeretnének megtanulni megérteni az integrálokat, de semmit vagy szinte semmit nem tudnak róluk. Integrál... Miért van szükség rá? Hogyan kell kiszámolni? Mik azok a határozott és határozatlan integrálok?

Ha az integrálnak csak egy horgolótűjét ismeri, amely egy integrálikon alakú horgolótűt használ, hogy valami hasznosat hozzon ki a nehezen elérhető helyekről, akkor üdvözöljük! Tudja meg, hogyan kell megoldani a legegyszerűbb és egyéb integrálokat, és miért nem nélkülözheti a matematikában.

Tanulmányozzuk a koncepciót « integrál »

Az integráció már az ókori Egyiptomban ismert volt. Persze nem a modern formájában, de mégis. Azóta a matematikusok sok könyvet írtak erről a témáról. Különösen kitüntették magukat Newton És Leibniz , de a dolgok lényege nem változott.

Hogyan lehet a semmiből megérteni az integrálokat? Semmiképpen! A téma megértéséhez továbbra is szüksége lesz a matematikai elemzés alapjainak alapismeretére. Az integrálok megértéséhez szükséges limitekről és deriváltokról már van információnk a blogunkon.

Határozatlan integrál

Legyen valami funkciónk f(x) .

Határozatlan integrálfüggvény f(x) ezt a függvényt hívják F(x) , amelynek deriváltja egyenlő a függvénnyel f(x) .

Más szavakkal, az integrál egy fordított származék vagy egy antiderivált. Egyébként olvassa el cikkünket a derivatívák kiszámításáról.

Minden folytonos funkcióhoz létezik antiderivált. Emellett gyakran konstans előjelet adnak az antideriválthoz, mivel a konstansban eltérő függvények származékai egybeesnek. Az integrál megtalálásának folyamatát integrációnak nevezzük.

Egyszerű példa:

Annak érdekében, hogy ne számítsuk ki folyamatosan az elemi függvények antideriváltjait, célszerű táblázatba helyezni és kész értékeket használni.

Az integrálok teljes táblázata a tanulók számára

Határozott integrál

Amikor az integrál fogalmával foglalkozunk, végtelenül kicsi mennyiségekkel van dolgunk. Az integrál segít kiszámítani egy ábra területét, egy nem egyenletes test tömegét, az egyenetlen mozgás során megtett távolságot és még sok mást. Emlékeztetni kell arra, hogy az integrál végtelenül sok végtelenül kicsi tag összege.

Példaként képzeljük el valamilyen függvény grafikonját.

Hogyan találjuk meg egy ábra területét, amelyet egy függvény grafikonja határol? Integrál használatával! Osszuk fel a függvény koordinátatengelyeivel és grafikonjával határolt görbe vonalú trapézt infinitezimális szegmensekre. Így az ábra vékony oszlopokra lesz osztva. Az oszlopok területének összege a trapéz területe lesz. De ne feledje, hogy egy ilyen számítás hozzávetőleges eredményt ad. Azonban minél kisebbek és keskenyebbek a szegmensek, annál pontosabb lesz a számítás. Ha olyan mértékben csökkentjük őket, hogy a hosszúság nullára hajlik, akkor a szegmensek területének összege az ábra területéhez fog fordulni. Ez egy határozott integrál, amely így van írva:

Az a és b pontokat integrációs határoknak nevezzük.

« Integrál »

Apropó! Olvasóink most 10% kedvezményt kapnak bármilyen típusú munka

A próbabábu integrálszámításának szabályai

A határozatlan integrál tulajdonságai

Hogyan lehet megoldani egy határozatlan integrált? Itt megnézzük a határozatlan integrál tulajdonságait, ami a példák megoldásánál lesz hasznos.

• Az integrál deriváltja egyenlő az integrandusszal:

• A konstans kivehető az integráljel alól:

• Az összeg integrálja egyenlő az integrálok összegével. Ez a különbségre is igaz:

Határozott integrál tulajdonságai

• Linearitás:

• Az integrál előjele megváltozik, ha az integráció határait felcseréljük:

• Nál nél Bármi pontokat a, bÉs Val vel:

Azt már megtudtuk, hogy a határozott integrál egy összeg határa. De hogyan lehet konkrét értéket kapni egy példa megoldása során? Erre van a Newton-Leibniz képlet:

Példák integrálok megoldására

Az alábbiakban megvizsgáljuk a határozatlan integrált és a megoldási példákat. Javasoljuk, hogy saját maga találja ki a megoldás bonyolultságát, és ha valami nem világos, tegye fel kérdéseit a megjegyzésekben.

Az anyag megerősítéséhez nézzen meg egy videót az integrálok gyakorlati megoldásáról. Ne essen kétségbe, ha az integrált nem adják meg azonnal. Forduljon egy professzionális diákszolgálathoz, és minden zárt felületen lévő hármas vagy ívelt integrált az Ön rendelkezésére áll.