A háromszög középvonalának fogalma
Vezessük be a háromszög középvonalának fogalmát.
1. definíció
Ez egy háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakasz (1. ábra).
1. ábra A háromszög középvonala
Háromszög középvonal-tétel
1. tétel
A háromszög középvonala párhuzamos az egyik oldalával, és egyenlő annak felével.
Bizonyíték.
Adjunk meg egy $ABC$ háromszöget. $MN$ a középső vonal (mint a 2. ábrán).
2. ábra. Az 1. tétel illusztrációja
Mivel $\frac(AM)(AB)=\frac(BN)(BC)=\frac(1)(2)$, ezért a $ABC$ és $MBN$ háromszögek hasonlóak a háromszögek második hasonlósági kritériuma szerint . Eszközök
Ebből az is következik, hogy $\angle A=\angle BMN$, ami azt jelenti, hogy $MN||AC$.
A tétel bizonyítást nyert.
A háromszög középvonal-tétel következményei
1. következmény: A háromszög mediánjai egy pontban metszik egymást, és elosztják a metszésponttal a csúcsból kiindulva $2:1$ arányban.
Bizonyíték.
Tekintsük az $ABC$ háromszöget, ahol $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ a mediánjai. Mivel a mediánok kettéosztják az oldalakat. Tekintsük a $A_1B_1$ középvonalat (3. ábra).
3. ábra. Az 1. következmény illusztrációja
Az 1. tétel szerint $AB||A_1B_1$ és $AB=2A_1B_1$, ezért $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Ez azt jelenti, hogy az $ABM$ és $A_1B_1M$ háromszögek hasonlóak a háromszögek hasonlóságának első kritériuma szerint. Akkor
Hasonlóképpen bebizonyosodott, hogy
A tétel bizonyítást nyert.
2. következmény: A háromszög három középső vonala 4, az eredeti háromszöghöz hasonló háromszögre osztja, $k=\frac(1)(2)$ hasonlósági együtthatóval.
Bizonyíték.
Tekintsünk egy $ABC$ háromszöget, amelynek középvonalai $A_1B_1,\ (\ A)_1C_1,\ B_1C_1$ (4. ábra)
4. ábra. A 2. következmény illusztrációja
Tekintsük a $A_1B_1C$ háromszöget. Mivel $A_1B_1$ a középső vonal, akkor
A $C$ szög ezeknek a háromszögeknek a közös szöge. Következésképpen a $A_1B_1C$ és $ABC$ háromszögek hasonlóak a $k=\frac(1)(2)$ hasonlósági együtthatójú háromszögek hasonlóságának második kritériuma szerint.
Hasonlóképpen bebizonyosodott, hogy a $A_1C_1B$ és $ABC$ háromszögek, valamint a $C_1B_1A$ és $ABC$ háromszögek hasonlóak a $k=\frac(1)(2)$ hasonlósági együtthatóval.
Tekintsük a $A_1B_1C_1$ háromszöget. Mivel $A_1B_1,\ (\A)_1C_1,\ B_1C_1$ a háromszög középső vonalai, akkor
Ezért a háromszögek hasonlóságának harmadik kritériuma szerint a $A_1B_1C_1$ és $ABC$ háromszögek hasonlóak $k=\frac(1)(2)$ hasonlósági együtthatóval.
A tétel bizonyítást nyert.
Példák a háromszög középvonalának fogalmára vonatkozó feladatokra
1. példa
Adott egy háromszög, amelynek oldalai $16$ cm, $10$ cm és $14$ cm. Határozzuk meg annak a háromszögnek a kerületét, amelynek csúcsai az adott háromszög oldalainak felezőpontjaiban vannak!
Megoldás.
Mivel a kívánt háromszög csúcsai az adott háromszög oldalainak felezőpontjaiban vannak, így oldalai az eredeti háromszög felezővonalai. A 2. következmény alapján azt találjuk, hogy a kívánt háromszög oldalai egyenlőek: $8$ cm, $5$ cm és $7$ cm.
Válasz:$20$ lásd
2. példa
Adott egy $ABC$ háromszög. A $N\ és\ M$ pontok a $BC$ és $AB$ oldal felezőpontjai (5. ábra).
5. ábra.
A $BMN=14$ cm kerülete Határozza meg az $ABC$ háromszög kerületét!
Megoldás.
Mivel $N\ és\ M$ a $BC$ és $AB$ oldal felezőpontja, ezért $MN$ a középvonal. Eszközök
Az 1. tétel szerint $AC=2MN$. Kapunk:
1 A háromszög középvonal-tételéhez vezető további konstrukció, a háromszögek trapéz- és hasonlósági tulajdonságai.
És ő egyenlő a hypotenus felével.
Következmény 1.
Következmény 2.
Ebből egyértelmű, hogy 
1 Minden azonos hegyesszögű derékszögű háromszög hasonló. Egy pillantás a trigonometrikus függvényekre.
A sraffozott és nem sraffozott oldalú háromszögek abban hasonlítanak egymásra, hogy két szögük egyenlő. Ezért hol
Ez azt jelenti, hogy a jelzett összefüggések csak a derékszögű háromszög hegyesszögétől függenek, és lényegében azt határozzák meg. Ez az egyik oka a trigonometrikus függvények megjelenésének:
Gyakran a szögek trigonometrikus függvényeinek írása hasonló derékszögű háromszögbe világosabb, mint a hasonlósági relációk írása!
2 Kiegészítő konstrukció például a hipotenuszra süllyesztett magasság. A Pitagorasz-tétel levezetése a háromszögek hasonlósága alapján.
Csökkentsük a CH magasságot az AB hipotenuszra. Három hasonló háromszögünk van: ABC, AHC és CHB. Írjuk fel a trigonometrikus függvények kifejezéseit:
Ebből egyértelmű, hogy . Összeadva a Pitagorasz-tételt kapjuk, mivel:
A Pitagorasz-tétel másik bizonyításához lásd a 4. feladat kommentárját.
3 Egy további konstrukció fontos példája a háromszög egyik szögével egyenlő szög megalkotása.
A derékszög csúcsából rajzolunk egy egyenes szakaszt, amely a CA szárral az adott ABC derékszögű háromszög CAB szögével egyenlő szöget zár be. Ennek eredményeként egy egyenlő szárú ACM háromszöget kapunk alapszögekkel. De az ebből a konstrukcióból származó másik háromszög is egyenlő szárú lesz, mivel minden alapszöge egyenlő (egy derékszögű háromszög szögeinek tulajdonsága és konstrukciója alapján - a szöget „levonták” a derékszögből). Tekintettel arra, hogy a BMC és az AMC háromszögek egyenlő szárúak, közös oldaluk MC, így az MB=MA=MC egyenlőség áll rendelkezésünkre, azaz. M.C. derékszögű háromszög befogójához húzott medián, és ő egyenlő a hypotenus felével.
Következmény 1. A befogó felezőpontja a háromszög köré körülírt kör középpontja, mivel kiderül, hogy a befogó felezőpontja egyenlő távolságra van a derékszögű háromszög csúcsaitól.
Következmény 2. A derékszögű háromszög középső vonala, amely összeköti a hipotenusz közepét és a láb közepét, párhuzamos a szemközti lábbal, és egyenlő annak felével.
A BMC és AMC egyenlőszárú háromszögekben engedjük le az MH és MG magasságokat az alapokra. Mivel egy egyenlő szárú háromszögben az alapra süllyesztett magasság egyben a medián (és a felező), akkor MH és MG egy derékszögű háromszög egyenesei, amelyek a befogó közepét összekötik a lábak felezőpontjaival. A konstrukció alapján kiderül, hogy párhuzamosak a szemközti lábakkal és egyenlőek a felükkel, mivel a háromszögek egyenlőek, az MHC és az MGC egyenlő (az MHCG pedig egy téglalap). Ez az eredmény az alapja a tetszőleges háromszög középvonalára vonatkozó tétel, valamint a trapéz felezővonalára vonatkozó tétel, valamint az őket metsző két egyenes párhuzamos vonalai által levágott szakaszok arányossági tulajdonságának bizonyításának.
Feladatok
Hasonlósági tulajdonságok használata -1
Az alapvető tulajdonságok használata - 2
Kiegészítő formáció használata 3-4
1 2 3 4
A derékszögű háromszög csúcsából leejtett magasság egyenlő azon szakaszok hosszának négyzetgyökével, amelyekre a befogót felosztja.
A megoldás kézenfekvőnek tűnik, ha ismerjük a Pitagorasz-tétel levezetését a háromszögek hasonlóságából:
\(\mathrm(tg)\beta=\frac(h)(c_1)=\frac(c_2)(h)\,
honnan \(h^2=c_1c_2\).
Határozzuk meg az összes olyan derékszögű háromszög mediánjának metszéspontját (GMT), amelyeknek az AB hipotenusza rögzített.
Bármely háromszög mediánjának metszéspontja levágja a medián egyharmadát, a megfelelő oldallal való metszésponttól számítva. Egy derékszögű háromszögben a derékszögből húzott medián egyenlő a befogó felével. Ezért a kívánt GMT egy olyan kör, amelynek sugara megegyezik a hipotenuzus hosszának 1/6-ával, és ennek a (rögzített) hipotenusznak a közepén van egy középpont.
Előfordulhat, hogy az iskolában elmagyarázott témák nem mindig egyértelműek az első alkalommal. Ez különösen igaz egy olyan tantárgyra, mint a matematika. De minden sokkal bonyolultabbá válik, amikor ez a tudomány két részre oszlik: algebra és geometria.
Minden tanuló két terület valamelyikén rendelkezhet képességekkel, de különösen az elemi osztályokban fontos megérteni mind az algebra, mind a geometria alapjait. A geometriában az egyik fő téma a háromszögekről szóló rész.
Hogyan találjuk meg a háromszög középvonalát? Találjuk ki.
Alapfogalmak
Először is, hogy kitaláljuk, hogyan lehet megtalálni a háromszög középső vonalát, fontos megérteni, mi az.
A középvonal meghúzására nincs korlátozás: a háromszög bármi lehet (egyenlőszárú, egyenlő oldalú, téglalap alakú). És minden olyan tulajdonság érvényben lesz, amely a középső vonalhoz kapcsolódik.
A háromszög középvonala egy szakasz, amely összeköti a háromszög két oldalának felezőpontját. Ezért bármely háromszögnek 3 ilyen egyenese lehet.
Tulajdonságok
Ahhoz, hogy megtudjuk, hogyan találjuk meg a háromszög középvonalát, jelöljük ki a tulajdonságait, amelyeket emlékezni kell, különben ezek nélkül lehetetlen megoldani a középvonal hosszának megjelölésével kapcsolatos problémákat, mivel az összes kapott adatot alá kell támasztani. és tételekkel, axiómákkal vagy tulajdonságokkal érvelt.
Így a kérdés megválaszolásához: „Hogyan találjuk meg az ABC háromszög középvonalát?”, elegendő ismerni a háromszög egyik oldalát.
Mondjunk egy példát
Vessen egy pillantást a képre. Az ABC háromszöget mutatja DE középvonallal. Figyeljük meg, hogy párhuzamos a háromszög AC alapjával. Ezért, bármilyen legyen is az AC, az átlagos DE vonal fele akkora lesz. Például az AC=20 azt jelenti, hogy DE=10 stb.
Ezekkel az egyszerű módszerekkel megértheti, hogyan találja meg a háromszög középvonalát. Emlékezzen alapvető tulajdonságaira és definíciójára, és akkor soha nem lesz gondja megtalálni a jelentését.
A „Get A” videótanfolyam tartalmazza az összes olyan témát, amely a matematika egységes államvizsga sikeres letételéhez szükséges 60-65 ponttal. Teljesen a Profil egységes államvizsga matematika 1-13. Matematika egységes államvizsga alapvizsga letételére is alkalmas. Ha 90-100 ponttal szeretnél letenni az egységes államvizsgát, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!
Egységes államvizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. évfolyam, valamint pedagógusok számára. Minden, ami az egységes államvizsga 1. részének matematikából (az első 12 feladat) és a 13. feladat (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont az egységes államvizsgán, és ezek nélkül sem egy 100 pontos, sem egy bölcsész nem megy.
Minden szükséges elmélet. Az egységes államvizsga gyors megoldásai, buktatói és titkai. A FIPI Feladatbank 1. részének minden aktuális feladatát elemezték. A tanfolyam teljes mértékben megfelel az Egységes Államvizsga 2018 követelményeinek.
A tanfolyam 5 nagy témát tartalmaz, egyenként 2,5 órás. Minden témát a semmiből adunk, egyszerűen és világosan.
Több száz egységes államvizsga-feladat. Szöveges feladatok és valószínűségszámítás. Egyszerű és könnyen megjegyezhető algoritmusok a problémák megoldására. Geometria. Elmélet, referenciaanyag, az egységes államvizsga-feladatok minden típusának elemzése. Sztereometria. Trükkös megoldások, hasznos csalólapok, térbeli fantázia fejlesztése. Trigonometria a semmiből a feladatig 13. Megértés a zsúfoltság helyett. Komplex fogalmak világos magyarázata. Algebra. Gyökök, hatványok és logaritmusok, függvény és derivált. Az egységes államvizsga 2. részében szereplő összetett problémák megoldásának alapja.
Hogyan találjuk meg a háromszög felezőpontját: geometriai feladat. Az euklideszi geometria fő elemi problémái az ókorból jöttek hozzánk. Magát az elsődleges esszenciát és a térformák emberi észleléséhez szükséges alapismereteket tartalmazzák. Az egyik ilyen probléma a háromszög felezőpontjának megtalálása. Ma ezt a problémát az iskolások intellektuális képességeinek fejlesztésére szolgáló oktatási technikának tekintik. Az ókori világban a háromszög közepének megkeresésére vonatkozó ismereteket a gyakorlatban is használták: földgazdálkodásban, különféle mechanizmusok gyártásában stb. Mi ennek a geometriai rebusznak a lényege?
Mi a medián? A probléma megoldása előtt meg kell ismerkednie a háromszögekkel kapcsolatos legegyszerűbb geometriai terminológiával. Először is, minden háromszögnek három csúcsa, három oldala és három szöge van, innen ered ennek a geometriai alakzatnak a neve. Fontos tudni, hogy mi a neve a csúcsokat az ellenkező oldalakkal összekötő egyeneseknek: magasság, felező és medián.
A magasság egy egyenes, amely merőleges a csúcsponttal ellentétes oldalra, amelyből húzzuk; felező - a szöget felére osztja; A medián a kimenő csúcsponttal ellentétes oldalt kettéosztja. A probléma megoldásához tudnia kell, hogyan találja meg egy szakasz felezőpontjának koordinátáit, mivel a háromszög középpontjának metszéspontja a felezőpontja.
Keresse meg a háromszög oldalainak felezőpontját! Egy szakasz felezőpontjának megtalálása szintén klasszikus geometriai feladat, amelynek megoldásához szükség lesz egy körzőre és egy osztás nélküli vonalzóra. Az iránytű tűjét a szakasz végpontjára helyezzük, és az utolsó közepére a szakasz felénél nagyobb félkört rajzolunk. Ugyanezt tesszük a szegmens másik oldalán is. A kapott félkörök szükségszerűen két pontban metszik egymást, mert sugaruk nagyobb, mint az eredeti szakasz fele.
A kör két metszéspontját vonalzó segítségével egyenes vonallal összekötjük. Ez a vonal pontosan a közepén metszi az eredeti szakaszt. Most, hogy tudjuk, hogyan találjuk meg egy szakasz közepét, ezt a háromszög mindkét oldalával megtesszük. Miután megtalálta a háromszög oldalainak összes felezőpontját, készen áll a saját felezőpont megszerkesztésére.
Megépítjük a háromszög közepét. A háromszög csúcsait a szemközti oldalak felezőpontjaival egyenesekkel összekötve három mediánt kapunk. Ez meglephet néhányat, de ennek a geometriai alakzatnak az egyik harmóniatörvénye az, hogy mindhárom medián mindig egy ponton metszi egymást. Ez a pont lesz a háromszög kívánt felezőpontja, amelyet nem olyan nehéz megtalálni, ha tudja, hogyan kell megszerkeszteni a szakasz felezőpontját.
Az is érdekes, hogy a mediánok metszéspontja nem csak a geometriai, hanem a „fizikai” háromszög közepét is jelenti. Vagyis ha például rétegelt lemezből kivág egy háromszöget, megkeresi a közepét, és ezt a pontot a tű hegyére helyezi, akkor ideális esetben egy ilyen alak egyensúlyban lesz, és nem esik le. Az elemi geometria sok ilyen lenyűgöző „titkot” tartalmaz, amelyek ismerete segít megérteni a környező világ harmóniáját és a bonyolultabb dolgok természetét.
