„Egy függvény kritikus pontjai” - Kritikus pontok. A kritikus pontok között vannak szélsőséges pontok. Az extrémum elengedhetetlen feltétele. Válasz: 2. Definíció. De ha f" (x0) = 0, akkor nem szükséges, hogy az x0 pont szélsőpont legyen. Extrémumpontok (ismétlés). A függvény kritikus pontjai. Extrémumpontok.

„Koordinátasík 6. osztály” - Matematika 6. évfolyam. 1. X. 1. Keresse meg és írja le az A, B, C, D pontok koordinátáit: -6. Koordináta sík. O. -3. 7. U.

„Függvények és grafikonjaik” – Folytonosság. Egy függvény legnagyobb és legkisebb értéke. Az inverz függvény fogalma. Lineáris. Logaritmikus. Monoton. Ha k > 0, akkor a képzett szög hegyes, ha k< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

„Függvények 9. osztály” – Függvényekre vonatkozó érvényes számtani műveletek. [+] – összeadás, [-] – kivonás, [*] – szorzás, [:] – osztás. Ilyenkor a függvény grafikus megadásáról beszélünk. Az elemi függvények osztályának kialakítása. Hatványfüggvény y=x0,5. Iovlev Maxim Nikolaevich, az RMOU Raduzhskaya Középiskola 9. osztályos tanulója.

„Lecke érintőegyenlet” - 1. Tisztázza a függvény grafikonjának érintőjének fogalmát. Leibniz fontolóra vette egy tetszőleges görbe érintőjének megrajzolásának problémáját. ALGORITMUS AZ y=f(x) FUNKCIÓ GRAFONJÁNAK ÉRINTŐEGYENLETÉNEK FEJLESZTÉSÉRE. Óra témája: Teszt: keresse meg egy függvény deriváltját. Érintőegyenlet. Fluxion. 10-es fokozat. Fejtse meg, amit Isaac Newton derivált függvénynek nevezett.

„Függvény grafikonjának összeállítása” - Az y=3cosx függvény adott. Az y=m*sin x függvény grafikonja. Ábrázolja a függvényt. Tartalom: Adott a függvény: y=sin (x+?/2). Az y=cosx gráf nyújtása az y tengely mentén. A folytatáshoz kattintson az l-re. Egér gomb. Adott az y=cosx+1 függvény. A gráf függőlegesen eltolja az y=sinx értéket. Adott az y=3sinx függvény. A gráf vízszintes elmozdulása y=cosx.

A témában összesen 25 előadás hangzik el

Lineáris függvény az alak függvényének nevezzük y = kx + b, az összes valós szám halmazán definiálva. Itt k– meredekség (valós szám), b – szabad kifejezés (valós szám), x- független változó.

Különleges esetben, ha k = 0, állandó függvényt kapunk y = b, melynek grafikonja a ponton átmenő, az Ox tengellyel párhuzamos egyenes vonal koordinátákkal (0; b).

Ha b = 0, akkor megkapjuk a függvényt y = kx, ami egyenes arányosság.

b – szegmens hossza, amelyet az Oy tengely mentén az origótól számítva egyenes vonal vág le.

Az együttható geometriai jelentése k – hajlásszög egyenesen az Ox tengely pozitív irányába, az óramutató járásával ellentétes irányban.

A lineáris függvény tulajdonságai:

1) A lineáris függvény definíciós tartománya a teljes valós tengely;

2) Ha k ≠ 0, akkor a lineáris függvény értéktartománya a teljes valós tengely. Ha k = 0, akkor a lineáris függvény értéktartománya a számból áll b;

3) A lineáris függvény egyenletessége és páratlansága az együtthatók értékétől függ kÉs b.

a) b ≠ 0, k = 0, ennélfogva, y = b – páros;

b) b = 0, k ≠ 0, ennélfogva y = kx – páratlan;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, ennélfogva y = kx + b – általános alakú függvény;

d) b = 0, k = 0, ennélfogva y = 0 – páros és páratlan függvények is.

4) A lineáris függvény nem rendelkezik periodicitás tulajdonsággal;

5) Metszéspontok koordinátatengelyekkel:

Ökör: y = kx + b = 0, x = -b/k, ennélfogva (-b/k; 0)– metszéspont az abszcissza tengellyel.

Oy: y = 0k + b = b, ennélfogva (0; b)– metszéspont az ordináta tengellyel.

Megjegyzés: Ha b = 0És k = 0, majd a függvény y = 0 a változó bármely értékénél nullára megy x. Ha b ≠ 0És k = 0, majd a függvény y = b nem tűnik el a változó egyetlen értékénél sem x.

6) Az előjelállandóság intervallumai a k ​​együtthatótól függenek.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b– pozitív mikor x tól től (-b/k; +∞),

y = kx + b– negatív mikor x tól től (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b– pozitív mikor x tól től (-∞; -b/k),

y = kx + b– negatív mikor x tól től (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b pozitív a teljes definíciós tartományban,

k = 0, b< 0; y = kx + b negatív az egész definíciós tartományban.

7) Egy lineáris függvény monotonitási intervallumai az együtthatótól függenek k.

k > 0, ennélfogva y = kx + b növekszik az egész definíciós területen,

k< 0 , ennélfogva y = kx + b csökken a teljes definíciós tartományban.

8) Egy lineáris függvény grafikonja egy egyenes. Egy egyenes megépítéséhez elegendő két pontot ismerni. Az egyenes helyzete a koordinátasíkon az együtthatók értékétől függ kÉs b. Az alábbiakban egy táblázat látható, amely ezt egyértelműen szemlélteti.

A numerikus függvény fogalma. Funkció megadásának módszerei. A függvények tulajdonságai.

A numerikus függvény olyan függvény, amely az egyik numerikus térből (halmazból) egy másik numerikus térbe (halmazba) hat.

A függvény meghatározásának három fő módja: analitikus, táblázatos és grafikus.

1. Elemző.

A függvény képlet segítségével történő megadásának módszerét analitikusnak nevezzük. Ez a módszer a fő a szőnyegben. elemzés, de a gyakorlatban nem kényelmes.

2. Függvény megadásának táblázatos módszere.

Egy függvény megadható az argumentumértékeket és a hozzájuk tartozó függvényértékeket tartalmazó táblázat segítségével.

3. Egy függvény megadásának grafikus módszere.

Egy y=f(x) függvényt grafikusan adottnak mondunk, ha a gráfja meg van alkotva. A függvény megadásának ez a módszere csak megközelítőleg teszi lehetővé a függvényértékek meghatározását, mivel a grafikon felépítése és a rajta lévő függvényértékek megtalálása hibákkal jár.

A függvény tulajdonságai, amelyeket figyelembe kell venni a gráf felépítésénél:

1) A függvény definíciós tartománya.

A funkció tartománya, vagyis azok az értékek, amelyeket az F =y (x) függvény x argumentuma felvehet.

2) Növekvő és csökkenő függvények intervallumai.

A függvényt növelőnek nevezzük a vizsgált intervallumon, ha az argumentum nagyobb értéke az y(x) függvény nagyobb értékének felel meg. Ez azt jelenti, hogy ha két tetszőleges x 1 és x 2 argumentumot veszünk a vizsgált intervallumból, és x 1 > x 2, akkor y(x 1) > y(x 2).

A függvényt csökkenőnek nevezzük a vizsgált intervallumon, ha az argumentum nagyobb értéke az y(x) függvény kisebb értékének felel meg. Ez azt jelenti, hogy ha két tetszőleges x 1 és x 2 argumentumot veszünk a vizsgált intervallumból, és x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Funkció nullák.

Azokat a pontokat, ahol az F = y (x) függvény metszi az abszcissza tengelyt (ezeket az y(x) = 0 egyenlet megoldásával kapjuk meg), a függvény nulláinak nevezzük.

4) Páros és páratlan függvények.

A függvényt párosnak nevezzük, ha a hatókörből származó összes argumentumértékre

y(-x) = y(x).

A páros függvény grafikonja szimmetrikus az ordinátára.

A függvény neve páratlan, ha az argumentum összes értékére a definíciós tartományból

y(-x) = -y(x).

A páros függvény grafikonja szimmetrikus az origóra.

Sok függvény nem páros és nem páratlan.

5) A függvény periodicitása.

A függvényt periodikusnak nevezzük, ha van olyan P szám, amely a definíciós tartományból származó argumentum összes értékére vonatkozik

y(x + P) = y(x).

Lineáris függvény, tulajdonságai és grafikonja.

A lineáris függvény az alak függvénye y = kx + b, az összes valós szám halmazán definiálva.

k– meredekség (valós szám)

b– hamis kifejezés (valós szám)

x- független változó.

· Speciális esetben, ha k = 0, egy y = b konstans függvényt kapunk, melynek grafikonja a ponton (0; b) átmenő, az Ox tengellyel párhuzamos egyenes.

· Ha b = 0, akkor az y = kx függvényt kapjuk, ami egyenes arányosság.

o A b együttható geometriai jelentése annak a szakasznak a hossza, amelyet az egyenes az Oy tengely mentén levág, az origótól számítva.

o A k együttható geometriai jelentése az egyenesnek az Ox tengely pozitív irányához viszonyított dőlésszöge, az óramutató járásával ellentétes irányban számítva.

A lineáris függvény tulajdonságai:

1) A lineáris függvény definíciós tartománya a teljes valós tengely;

2) Ha k ≠ 0, akkor a lineáris függvény értéktartománya a teljes valós tengely.

Ha k = 0, akkor a lineáris függvény értéktartománya a b számból áll;

3) Egy lineáris függvény egyenletessége és páratlansága a k és b együtthatók értékétől függ.

a) b ≠ 0, k = 0, tehát y = b – páros;

b) b = 0, k ≠ 0, ezért y = kx – páratlan;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, ezért y = kx + b általános alak függvénye;

d) b = 0, k = 0, ezért y = 0 páros és páratlan függvény is.

4) A lineáris függvény nem rendelkezik periodicitás tulajdonsággal;

5) A koordinátatengelyekkel való metszéspontok:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, ezért (-b/k; 0) az x tengellyel való metszéspont.

Oy: y = 0k + b = b, ezért (0; b) az ordinátával való metszéspont.

Megjegyzés. Ha b = 0 és k = 0, akkor az y = 0 függvény az x változó bármely értékére eltűnik. Ha b ≠ 0 és k = 0, akkor az y = b függvény az x változó egyetlen értékére sem tűnik el.

6) Az állandó előjel intervallumai a k ​​együtthatótól függenek.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – pozitív x-nél (-b/k; +∞),

y = kx + b – negatív x-re (-∞; -b/k).

b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – pozitív x-nél (-∞; -b/k),

y = kx + b – negatív x (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b pozitív a teljes definíciós tartományban,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Egy lineáris függvény monotonitási intervallumai a k ​​együtthatótól függenek.

k > 0, ezért y = kx + b növekszik a teljes definíciós tartományban,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. y = ax 2 + bx + c függvény, tulajdonságai és grafikonja.

Az y = ax 2 + bx + c (a, b, c állandók, a ≠ 0) függvényt ún. négyzetes. A legegyszerűbb esetben y = ax 2 (b = c = 0) a gráf egy görbe vonal, amely az origón halad át. Az y = ax 2 függvény grafikonjaként szolgáló görbe egy parabola. Minden parabolának van egy szimmetriatengelye, az úgynevezett a parabola tengelye. A parabola tengelyével való metszéspontjának O pontját nevezzük a parabola csúcsa.

A gráf a következő séma szerint szerkeszthető: 1) Határozzuk meg az x 0 = -b/2a parabola csúcsának koordinátáit; y 0 = y(x 0). 2) Megszerkesztünk még több, a parabolához tartozó pontot, a szerkesztés során felhasználhatjuk a parabola x = -b/2a egyeneshez viszonyított szimmetriáit. 3) Kösse össze a jelzett pontokat egy sima vonallal. Példa. Ábrázolja a b = x 2 + 2x - 3 függvényt. Megoldások. A függvény grafikonja egy parabola, melynek ágai felfelé irányulnak. Az x 0 = 2/(2 ∙1) = -1 parabola csúcsának abszcissza, ordinátái y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Tehát a parabola csúcsa a (-1; -4) pont. Állítsunk össze egy értéktáblázatot több ponthoz, amelyek a parabola szimmetriatengelyétől jobbra helyezkednek el - x = -1 egyenes. Funkció tulajdonságai.

Lineáris függvény

Lineáris függvény egy függvény, amely az y = kx + b képlettel adható meg,

ahol x a független változó, k és b néhány szám.

A lineáris függvény grafikonja egy egyenes.

A k számot hívják egy egyenes lejtése– az y = kx + b függvény grafikonja.

Ha k > 0, akkor az y = kx + b egyenes dőlésszöge a tengelyhez képest x fűszeres; ha k< 0, то этот угол тупой.

Ha a két lineáris függvény grafikonját képező egyenesek meredeksége eltérő, akkor ezek az egyenesek metszik egymást. És ha a szögegyütthatók azonosak, akkor az egyenesek párhuzamosak.

Egy függvény grafikonja y =kx +b, ahol k ≠ 0, az y = kx egyenessel párhuzamos egyenes.

Közvetlen arányosság.

Közvetlen arányosság az y = kx képlettel megadható függvény, ahol x független változó, k nullától eltérő szám. A k számot hívják egyenes arányossági együttható.

Az egyenes arányosság grafikonja a koordináták origóján áthaladó egyenes (lásd az ábrát).

Az egyenes arányosság a lineáris függvény speciális esete.

Funkció tulajdonságaiy =kx:

Fordított arányosság

Fordított arányosság függvénynek nevezzük, amely a következő képlettel adható meg:

k
y = -
x

Ahol x a független változó, és k– nullától eltérő szám.

A fordított arányosság grafikonja az úgynevezett görbe túlzás(Lásd a képen).

Egy görbe esetében, amely ennek a függvénynek a grafikonja, a tengely xÉs y aszimptotaként működnek. Aszimptota- ez az az egyenes, amelyhez a görbe pontjai közelednek, ahogy a végtelenbe távolodnak.

k
Funkció tulajdonságaiy = -:
x

Tekintsük az y=k/y függvényt. Ennek a függvénynek a grafikonja egy egyenes, amelyet a matematikában hiperbolának neveznek. A hiperbola általános nézete az alábbi ábrán látható. (A grafikon azt mutatja, hogy y függvény k egyenlő osztva x-szel, amelyre k egyenlő eggyel.)

Látható, hogy a gráf két részből áll. Ezeket a részeket a hiperbola ágainak nevezzük. Azt is érdemes megjegyezni, hogy a hiperbola minden ága a koordinátatengelyekhez egyre közelebbi irányban közeledik. A koordinátatengelyeket ebben az esetben aszimptotáknak nevezzük.

Általában aszimptotáknak nevezzük azokat az egyeneseket, amelyekhez egy függvény grafikonja végtelenül megközelíti, de nem éri el őket. A hiperbolának, akárcsak a parabolának, vannak szimmetriatengelyei. A fenti ábrán látható hiperbola esetében ez az y=x egyenes.

Most nézzük meg a hiperbola két gyakori esetét. Az y = k/x függvény grafikonja k ≠0 esetén egy hiperbola lesz, amelynek ágai vagy az első és a harmadik koordinátaszögben, k>0 esetén, vagy a második és negyedik koordinátaszögben helyezkednek el, Villa<0.

Az y = k/x függvény alapvető tulajdonságai k>0 esetén

Az y = k/x függvény grafikonja k>0 esetén

5. y>0 x>0-nál; y6. A függvény a (-∞;0) és a (0;+∞) intervallumon egyaránt csökken.

10. A függvény értéktartománya két nyitott intervallum (-∞;0) és (0;+∞).

Az y = k/x függvény alapvető tulajdonságai k esetén<0

Az y = k/x függvény grafikonja, k pontban<0

1. A (0;0) pont a hiperbola szimmetriaközéppontja.

2. Koordinátatengelyek - a hiperbola aszimptotái.

4. A függvény definíciós tartománya mind x, kivéve x=0.

5. y>0 x0-nál.

6. A függvény a (-∞;0) és a (0;+∞) intervallumon egyaránt növekszik.

7. A funkció nincs korlátozva sem alulról, sem felülről.

8. Egy függvénynek nincs sem maximuma, sem minimális értéke.

9. A függvény folyamatos a (-∞;0) és a (0;+∞) intervallumon. Van egy hézag az x=0-nál.