Ma az órán megnézzük szigorú sorrendÉs függvény határának szigorú meghatározása, és megtanulják megoldani a releváns elméleti jellegű problémákat. A cikk elsősorban a természettudományok és a mérnöki szakterületek elsőéves hallgatóinak szól, akik elkezdték tanulmányozni a matematikai elemzés elméletét, és nehézségekbe ütköztek a felsőbb matematika ezen szakaszának megértésében. Ezenkívül az anyag meglehetősen hozzáférhető a középiskolások számára.

Az oldal fennállásának évei alatt tucatnyi levelet kaptam hozzávetőlegesen a következő tartalommal: „Nem értek jól a matematikai elemzéshez, mit tegyek?”, „Egyáltalán nem értek a matematikához, a tanulmányaim abbahagyásán gondolkodom” stb. És valóban, a matán az, aki gyakran ritkítja a diákcsoportot az első foglalkozás után. Miért van ez így? Mert a téma elképzelhetetlenül összetett? Egyáltalán nem! A matematikai elemzés elmélete nem olyan nehéz, mint sajátos. És el kell fogadnod és szeretned kell őt olyannak, amilyen =)

Kezdjük a legnehezebb esettel. Az első és legfontosabb, hogy ne kelljen feladnod a tanulmányaidat. Értsd jól, mindig lehet abbahagyni;-) Persze ha egy-két év után rosszul érzi magát a választott szakterülettől, akkor igen, el kell gondolkodnia rajta (és ne haragudj!) tevékenységváltásról. De egyelőre érdemes folytatni. És kérlek, felejtsd el a „nem értek semmit” kifejezést – nem fordul elő, hogy egyáltalán nem értesz semmit.

Mi a teendő, ha rossz az elmélet? Ez egyébként nem csak a matematikai elemzésre vonatkozik. Ha rossz az elmélet, akkor először KOMOLYAN a gyakorlatra kell koncentrálni. Ebben az esetben egyszerre két stratégiai feladatot oldanak meg:

– Először is, az elméleti tudás jelentős része a gyakorlaton keresztül jelent meg. És ezért sokan megértik az elméletet a... – ez így van! Nem, nem, erre nem gondolsz =)

– Másodszor pedig a gyakorlati készségek nagy valószínűséggel „áthúzzák” a vizsgán, még ha... de ne izguljunk ennyire! Minden valóságos, és mindent elég rövid időn belül „fel lehet emelni”. A matematikai elemzés a kedvenc részem a felsőbb matematikában, ezért egyszerűen nem tudtam segíteni, de segítő kezet nyújtani:

Az 1. félév elején általában a szekvenciakorlátokat és a funkciókorlátokat lefedik. Nem érted, mik ezek, és nem tudod, hogyan oldd meg őket? Kezdje a cikkel Funkciókorlátok, amelyben magát a fogalmat vizsgálják „az ujjakon”, és elemzik a legegyszerűbb példákat. Ezután dolgozzon át más leckéket a témával kapcsolatban, beleértve egy leckét is sorozatokon belül, amelyen tulajdonképpen már megfogalmaztam egy szigorú definíciót.

Milyen szimbólumokat ismer az egyenlőtlenségi jeleken és a modulusokon kívül?

– egy hosszú függőleges pálca így szól: „ilyen”, „ilyen”, „ilyen” vagy „ilyen”, a mi esetünkben nyilván számról beszélünk - tehát „ilyenről”;

– minden „en”-nél nagyobb, mint ;

– a modulusjel távolságot jelent, azaz ez a bejegyzés azt mondja, hogy az értékek közötti távolság kisebb, mint epszilon.

Nos, halálosan nehéz? =)

A gyakorlat elsajátítása után várlak benneteket a következő bekezdésben:

És valójában, gondoljunk egy kicsit – hogyan fogalmazzuk meg a sorrend szigorú meghatározását? ...Az első dolog, ami eszébe jut a világon gyakorlati óra: "egy sorozat határa az a szám, amelyhez a sorozat tagjai végtelenül közelítenek."

Oké, írjuk le utósorozat :

Ezt nem nehéz megérteni utósorozat végtelenül közelít a –1 számhoz és a páros tagokhoz - egyhez".

Vagy talán két határ van? De akkor miért ne lehetne bármelyik sorozatban is tíz vagy húsz darab? Így messzire el lehet jutni. Ebből a szempontból logikus azt feltételezni ha egy sorozatnak van határa, akkor az egyedi.

jegyzet : a sorozatnak nincs határa, de két részsorozat megkülönböztethető tőle (lásd fent), amelyek mindegyikének megvan a maga határértéke.

Így a fenti meghatározás tarthatatlannak bizonyul. Igen, ilyen esetekben működik (amit nem egészen helyesen használtam a gyakorlati példák leegyszerűsített magyarázatában), de most szigorú definíciót kell találnunk.

Második kísérlet: „egy sorozat határa az a szám, amelyhez a sorozat ÖSSZES tagja közeledik, kivéve talán a sajátjukat végső mennyiségben." Ez közelebb áll az igazsághoz, de még mindig nem teljesen pontos. Tehát például a sorrend a kifejezések fele egyáltalán nem közelíti meg a nullát - egyszerűen egyenlők vele =) Egyébként a „villogó fény” általában két fix értéket vesz fel.

A megfogalmazást nem nehéz tisztázni, de ekkor felmerül egy másik kérdés: hogyan írjuk le a definíciót matematikai szimbólumokkal? A tudományos világ sokáig küzdött ezzel a problémával, amíg a helyzet megoldódott híres mester, amely lényegében a klasszikus matematikai elemzést teljes szigorúságában formalizálta. Cauchy műtétet javasolt környéke , ami jelentősen előremozdította az elméletet.

Vegye figyelembe egy pontot és annak tetszőleges-környéke:

Az "epsilon" értéke mindig pozitív, és ráadásul jogunk van magunk választani. Tételezzük fel, hogy ezen a környéken sok tag van (nem feltétlenül mind) valamilyen sorrend. Hogyan írjuk le, hogy például a tizedik tag a szomszédban van? Legyen a jobb oldalán. Ekkor a és a pontok közötti távolságnak kisebbnek kell lennie, mint „epsilon”: . Ha azonban „x tized” az „a” ponttól balra található, akkor a különbség negatív lesz, ezért a jelet hozzá kell adni. modult: .

Meghatározás: egy számot egy sorozat határértékének nevezünk, ha bármilyen a környezetét (előre kiválasztott) van egy OLYAN természetes szám MINDEN a sorozat nagyobb számmal rendelkező tagjai a környéken belül lesznek:

Vagy röviden: ha

Más szóval, bármilyen kicsi is az „epszilon” értéke, előbb-utóbb a sorozat „végtelen farka” TELJESEN ezen a környéken lesz.

Például a sorozat „végtelen farka”. TELJESEN belép a pont bármely tetszőlegesen kis környékére. Tehát ez az érték definíció szerint a sorozat határa. Hadd emlékeztesselek arra, hogy egy olyan sorozatot hívunk meg, amelynek határértéke nulla elenyésző.

Meg kell jegyezni, hogy egy sorozatra már nem lehet azt mondani, hogy „végtelen farok” be fog jönni„- a páratlan számú tagok valójában nullával egyenlőek, és „ne menj sehova” =) Ezért használatos a „megjelenik” ige a definícióban. És természetesen egy ilyen sorozat tagjai sem „mennek sehova”. Egyébként ellenőrizze, hogy a szám nem haladja meg a korlátot.

Most megmutatjuk, hogy a sorozatnak nincs határa. Vegyük például a pont környékét. Teljesen világos, hogy nincs olyan szám, amely után MINDEN kifejezés egy adott környékre kerül – a páratlan kifejezések mindig „kiugrik” a „mínusz egyre”. Hasonló okból ezen a ponton nincs határ.

Konszolidáljuk az anyagot gyakorlattal:

1. példa

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat határértéke nulla. Adja meg azt a számot, amely után a sorozat minden tagja garantáltan a pont tetszőlegesen kis környezetében lesz.

jegyzet : Sok sorozatnál a szükséges természetes szám az értéktől függ - ezért a jelölés.

Megoldás: fontolgat tetszőleges van-e szám – úgy, hogy MINDEN magasabb számmal rendelkező tag ezen a környéken belül legyen:

A szükséges szám létezésének kimutatására a -n keresztül fejezzük ki.

Mivel bármely „en” érték esetén a modulusjel eltávolítható:

Egyenlőtlenségekkel „iskolai” cselekvéseket alkalmazunk, amelyeket az órán megismételtem Lineáris egyenlőtlenségekÉs Funkció Domain. Ebben az esetben fontos körülmény, hogy az „epsilon” és az „en” pozitív:

Mivel a bal oldali természetes számokról beszélünk, és a jobb oldal általában tört, ezért kerekíteni kell:

jegyzet : néha egy egység kerül a jobb oldalra, hogy a biztonság kedvéért legyen, de a valóságban ez túlzás. Viszonylagosan, ha lefelé kerekítéssel gyengítjük az eredményt, akkor a legközelebbi megfelelő szám („három”) továbbra is kielégíti az eredeti egyenlőtlenséget.

Most nézzük az egyenlőtlenséget, és emlékezzünk arra, amit eredetileg gondoltunk tetszőleges-szomszédság, i.e. "epsilon" egyenlő lehet bárki pozitív szám.

Következtetés: egy pont tetszőlegesen kicsi -környékére az értéket megtaláltuk . Így egy szám definíció szerint a sorozat határa. Q.E.D.

Egyébként a kapott eredményből egy természetes minta jól látható: minél kisebb a környék, annál nagyobb a szám, ami után a sorozat ÖSSZES tagja ebben a szomszédságban lesz. De akármilyen kicsi is az „epszilon”, belül és kívül mindig lesz „végtelen farok” – még ha nagy is. végső tagjainak száma.

Milyenek a benyomásai? =) Egyetértek, hogy ez egy kicsit furcsa. De szigorúan! Kérem, olvassa el újra és gondoljon át mindent.

Nézzünk meg egy hasonló példát, és ismerkedjünk meg más technikai technikákkal:

2. példa

Megoldás: egy sorozat definíciója szerint azt kell bizonyítani (mondd ki hangosan!!!).

Mérlegeljük tetszőleges- a pont és csekk szomszédsága, létezik-e természetes szám – úgy, hogy minden nagyobb számra teljesüljön a következő egyenlőtlenség:

Az ilyen létezésének bemutatásához az „en” kifejezést az „epsilon”-on keresztül kell kifejezni. Egyszerűsítjük a modulusjel alatti kifejezést:

A modul megsemmisíti a mínusz jelet:

A nevező bármely „en” esetén pozitív, ezért a rudak eltávolíthatók:

Keverés:

Most ki kell húznunk a négyzetgyököt, de a bökkenő az, hogy néhány „epszilon” esetében a jobb oldal negatív lesz. Hogy elkerülje ezt a bajt erősítsünk modulus szerinti egyenlőtlenség:

Miért lehet ezt megtenni? Ha relatíve úgy alakul, hogy , akkor a feltétel is teljesül. A modul képes csak növelje kívánt számot, és ez nekünk is megfelel! Nagyjából, ha a századik megfelelő, akkor a kétszázas is megfelelő! A meghatározás szerint meg kell mutatni maga a szám létezésének ténye(legalábbis néhány), ami után a sorozat minden tagja a -szomszédságban lesz. Egyébként ezért nem félünk a jobb oldal végső felfelé kerekítésétől.

A gyökér kivonása:

És kerek az eredmény:

Következtetés: mert az „epsilon” értéket önkényesen választottuk, majd a pont bármely tetszőlegesen kis környezetére megtaláltuk az értéket , így minden nagyobb számra érvényes az egyenlőtlenség . És így, a-priory. Q.E.D.

Azt tanácsolom különösen az egyenlőtlenségek erősödésének és gyengülésének megértése tipikus és nagyon gyakori technika a matematikai elemzésben. Az egyetlen dolog, amit ellenőriznie kell, az az adott művelet helyessége. Tehát például az egyenlőtlenség semmilyen körülmények között nem lehetséges lazítsa meg, kivonva mondjuk egyet:

Ismét feltételesen: ha a szám pontosan illeszkedik, akkor lehet, hogy az előző már nem illik.

A következő példa egy független megoldásra:

3. példa

Egy sorozat definíciójával bizonyítsd be

Rövid megoldás és válasz a lecke végén.

Ha a sorrend végtelenül nagy, akkor a határérték definíciója hasonló módon fogalmazódik meg: egy pontot egy sorozat határértékének nevezünk, ha bármelyikre, akkora, amennyit csak akar szám, van olyan szám, hogy minden nagyobb számra teljesül az egyenlőtlenség. A számot hívják a pont közelsége „plusz végtelen”:

Más szóval, bármilyen nagy értéket veszünk is, a sorozat „végtelen farka” szükségszerűen a pont -szomszédságába kerül, és csak véges számú tag marad a bal oldalon.

Szabványos példa:

És rövidített jelölés: , ha

Ebben az esetben írja le saját maga a meghatározást. A helyes változat a lecke végén található.

Miután felkaptad a fejed a gyakorlati példákon, és rájöttél a sorozat határának meghatározására, lapozhatsz a számítástechnikával kapcsolatos szakirodalomhoz és/vagy az előadásfüzetedhez. Javaslom a Bohan 1. kötetének letöltését (egyszerűbb - levelező hallgatóknak)és Fichtenholtz (részletesen és részletesen). Más szerzők között ajánlom Piskunovot, akinek a tanfolyama a műszaki egyetemeket célozza meg.

Próbálja meg lelkiismeretesen tanulmányozni azokat a tételeket, amelyek a sorozat határára vonatkoznak, azok bizonyításait, következményeit. Először az elmélet „felhősnek” tűnhet, de ez normális - csak meg kell szokni. És sokan még meg is kóstolják majd!

Egy függvény határának szigorú meghatározása

Kezdjük ugyanazzal – hogyan fogalmazzuk meg ezt a fogalmat? A függvény határértékének verbális meghatározása sokkal egyszerűbb: „egy szám egy függvény határértéke, ha az „x” arra hajlamos. (jobbra és balra is), a megfelelő függvényértékek általában » (lásd a rajzot). Minden normálisnak tűnik, de a szavak szavak, a jelentés jelentése, az ikon egy ikon, és nincs elég szigorú matematikai jelölés. A második bekezdésben pedig két megközelítéssel ismerkedünk meg a probléma megoldására.

Legyen a függvény definiálva egy bizonyos intervallumon, a pont kivételével. Az oktatási irodalomban általánosan elfogadott, hogy a funkció ott Nem meghatározott:

Ez a választás hangsúlyozza egy függvény határának lényege: "x" végtelenül közel megközelítések , és a függvény megfelelő értékei a következők végtelenül közel Nak nek . Vagyis a határ fogalma nem a pontok „pontos megközelítését” jelenti, hanem mégpedig végtelenül közeli közelítés, nem számít, hogy a függvény definiálva van-e a ponton vagy sem.

Egy függvény határának első definíciója, nem meglepő módon, két szekvencia felhasználásával van megfogalmazva. Egyrészt a fogalmak összefüggenek, másrészt a függvények határait általában a sorozatok korlátai után tanulmányozzák.

Fontolja meg a sorrendet pontokat (nincs a rajzon), intervallumhoz tartozó és különböző, melyik konvergál Nak nek . Ekkor a megfelelő függvényértékek egy numerikus sorozatot is alkotnak, amelynek tagjai az ordináta tengelyen helyezkednek el.

Egy függvény határértéke Heine szerint bármilyen pontsorozatok (tartozik és különbözik tőle), amely a ponthoz konvergál, a megfelelő függvényértékek sorozata a -hoz konvergál.

Eduard Heine német matematikus. ...És nem kell ilyesmire gondolni, Európában egyetlen meleg van - Meleg-Lussac =)

Megszületett a határ második meghatározása... igen, igen, igazad van. De először értsük meg a kialakítását. Tekintsük a pont tetszőleges -szomszédságát ("fekete" környék). Az előző bekezdés alapján a bejegyzés azt jelenti valamilyen értéket funkció az „epsilon” környéken belül található.

Most megtaláljuk az adott -szomszédságnak megfelelő -szomszédságot (gondolatban rajzoljon fekete pontozott vonalakat balról jobbra, majd fentről lefelé). Vegye figyelembe, hogy az érték ki van választva a kisebb szegmens hosszában, ebben az esetben - a rövidebb bal szegmens hosszában. Sőt, egy pont „málna” -környéke akár csökkenthető is, hiszen a következő definícióban maga a létezés ténye fontos ezt a környéket. És ehhez hasonlóan a jelölés azt jelenti, hogy bizonyos érték a „delta” szomszédságon belül van.

Cauchy funkciókorlát: egy számot egy függvény határértékének nevezünk egy pontban, ha bármilyen előre kiválasztott szomszédság (amennyire csak akarod), létezik- a pont szomszédsága, ILYEN, hogy: AS ONLY értékeket (hozzá tartozik) ebbe a területbe tartozik: (piros nyilak)– ÍGY AZONNAL garantáltan bekerülnek a megfelelő funkcióértékek a -szomszédságba: (kék nyilak).

Figyelmeztetnem kell, hogy az egyértelműség kedvéért egy kicsit rögtönöztem, szóval ne használd túl =)

Rövid bejegyzés: , ha

Mi a definíció lényege? Képletesen szólva, a -szomszédság végtelen csökkentésével a függvényértékeket a határértékükig „elkísérjük”, nem hagyva alternatívát, hogy máshova közelítsenek. Elég szokatlan, de ismét szigorú! Az ötlet teljes megértéséhez olvassa el újra a megfogalmazást.

! Figyelem: ha csak fogalmazni kell Heine meghatározása vagy csak Cauchy definíció kérlek ne feledkezz meg róla jelentős előzetes megjegyzések: "Vegyünk egy függvényt, amely egy bizonyos intervallumon van definiálva, egy pont kivételével". Ezt már az elején kijelentettem, és nem ismételtem meg minden alkalommal.

A matematikai elemzés megfelelő tétele szerint a Heine és Cauchy definíciók egyenértékűek, de a második lehetőség a leghíresebb (még mindig!), amelyet "nyelvi korlátozásnak" is neveznek:

4. példa

A határérték definíciójával bizonyítsd be

Megoldás: a függvény a pont kivételével a teljes számegyenesen van definiálva. A definíció segítségével igazoljuk, hogy egy adott pontban létezik egy határ.

jegyzet : a „delta” szomszédság értéke az „epszilontól” függ, innen ered a jelölés

Mérlegeljük tetszőleges-környéke. A feladat ennek az értéknek a segítségével ellenőrizni, hogy létezik-e-környéke, ILYEN, ami az egyenlőtlenségtől egyenlőtlenség következik .

Feltételezve, hogy az utolsó egyenlőtlenséget átalakítjuk:
(kiterjesztette a másodfokú trinomit)

Funkciókorlát- szám a valamely változó mennyiség határa lesz, ha változása során ez a változó mennyiség korlátlanul közelít a.

Vagy más szóval a szám A a függvény határa y = f(x) azon a ponton x 0, ha a függvény definíciós tartományából származó bármely pontsorozatra, nem egyenlő x 0, és ami a lényeghez konvergál x 0 (lim x n = x0), a megfelelő függvényértékek sorozata a számhoz konvergál A.

Egy függvény grafikonja, amelynek határértéke egy végtelenre hajló argumentum mellett egyenlő L:

Jelentése A van függvény határértéke (határértéke). f(x) azon a ponton x 0 bármely pontsorozat esetén , ami konvergál ahhoz x 0, de amely nem tartalmazza x 0 egyik elemeként (azaz a defekt közelében x 0), függvényértékek sorozata -hoz konvergál A.

Cauchy függvény határértéke.

Jelentése A lesz a funkció határa f(x) azon a ponton x 0 ha bármilyen előre felvett nem negatív számra ε a megfelelő nemnegatív számot megtalálja δ = δ(ε) úgy, hogy minden egyes érvhez x, kielégíti a feltételt 0 < | x - x0 | < δ , az egyenlőtlenség teljesülni fog | f(x)A |< ε .

Nagyon egyszerű lesz, ha megérti a határ lényegét és a megtalálásának alapvető szabályait. Mi a függvény határa f (x) nál nél x arra törekedve a egyenlő A, így van írva:

Ezenkívül az érték, amelyre a változó hajlamos x, nem csak szám lehet, hanem végtelen (∞), néha +∞ vagy -∞, vagy egyáltalán nincs határ.

Hogy megértsük, hogyan megtalálni egy függvény határait, a legjobb megoldási példákat nézegetni.

Meg kell találni a függvény határait f (x) = 1/x nál nél:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Keressünk megoldást az első határra. Ehhez egyszerűen helyettesítheti x az a szám, amelyre hajlamos, i.e. 2, kapjuk:

Keressük a függvény második korlátját. Helyettesítse a tiszta 0-t x lehetetlen, mert Nem lehet 0-val osztani. De vehetünk nullához közeli értékeket, például 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 és így tovább, valamint a függvény értéke f (x) növekedni fog: 100; 1000; 10000; 100.000 és így tovább. Így érthető, hogy mikor x→ 0 a határjel alatt lévő függvény értéke korlát nélkül nő, azaz. törekedj a végtelenség felé. Ami azt jelenti:

Ami a harmadik határt illeti. Ugyanaz a helyzet, mint az előző esetben, lehetetlen helyettesíteni ∞ legtisztább formájában. Figyelembe kell vennünk a korlátlan növekedés esetét x. 1000-et egyesével helyettesítünk; 10000; 100000 és így tovább, megvan, hogy a függvény értéke f (x) = 1/x csökkenni fog: 0,001; 0,0001; 0,00001; és így tovább, a nullára hajlamos. Ezért:

Ki kell számítani a függvény határát

A második példa megoldását elkezdve bizonytalanságot látunk. Innen találjuk a számláló és a nevező legmagasabb fokát – ez az x 3, kivesszük a zárójelből a számlálóban és a nevezőben, majd csökkentjük a következővel:

Válasz

Az első lépés megtalálni ezt a határt, cserélje ki helyette az 1 értéket x, ami bizonytalanságot eredményez. A megoldáshoz szorozzuk a számlálót, és ezt a másodfokú egyenlet gyökeinek megkeresésére szolgáló módszerrel x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Tehát a számláló a következő lesz:

Válasz

Ez a specifikus érték meghatározása, vagy egy bizonyos terület, ahol a függvény esik, és amelyet a határ korlátoz.

A korlátok megoldásához kövesse a szabályokat:

Miután megértette a lényeget és a lényeget a limit megoldásának szabályait, akkor alapvető ismereteket kap a megoldásukról.

Itt megnézzük egy sorozat véges határának definícióját. A végtelenbe konvergáló sorozat esetét a „Végtelenül nagy sorozat definíciója” oldalon tárgyaljuk.

Meghatározás .
(xn), ha bármely ε pozitív számra > 0 van egy N ε természetes szám ε-től függően úgy, hogy minden n > N ε természetes számra az egyenlőtlenség
| x n - a|< ε .
A szekvencia korlátját a következőképpen jelöljük:
.
Vagy at .

Alakítsuk át az egyenlőtlenséget:
;
;
.

Egy nyitott intervallumot (a - ε, a + ε) nevezünk ε - az a pont szomszédsága.

Egy határértékkel rendelkező sorozatot nevezünk konvergens sorozat. Azt is mondják, hogy a sorrend konvergál a. Olyan sorozatot hívunk, amelynek nincs határa divergens.

A definícióból az következik, hogy ha egy sorozatnak van a határértéke, függetlenül attól, hogy az a pontnak milyen ε-szomszédságát választjuk, azon kívül a sorozatnak csak véges számú eleme lehet, vagy egyáltalán nem lehet (az üres halmaz). . És bármely ε-szomszédság végtelen számú elemet tartalmaz. Valójában egy bizonyos ε szám megadásával megkapjuk a számot. Tehát a sorozat minden eleme számokkal definíció szerint az a pont ε - szomszédságában található. Az első elemek bárhol elhelyezhetők. Vagyis az ε-szomszédságon kívül nem lehet több, mint elem - vagyis véges szám.

Azt is megjegyezzük, hogy a különbségnek nem kell monoton módon nulláznia, azaz folyamatosan csökkennie. Hajlamos lehet nem-monoton nullázni: növekedhet vagy csökkenhet, lokális maximumokkal. Azonban ezeknek a maximumoknak, ahogy n növekszik, nullára kell irányulniuk (esetleg nem is monoton).

A létezés és az egyetemesség logikai szimbólumait felhasználva a határ definíciója a következőképpen írható fel:
(1) .

Annak meghatározása, hogy a nem határ

Tekintsük most azt a fordított állítást, hogy az a szám nem a sorozat határa.

Szám a nem a sorozat határa, ha van olyan, hogy bármely n természetes számra van olyan természetes m > n, Mit
.

Írjuk fel ezt az állítást logikai szimbólumokkal.
(2) .

Kijelentés, hogy Az a szám nem a sorozat határa, azt jelenti, hogy
választhat egy olyan ε - az a pont környékét, amelyen kívül a sorozatnak végtelen sok eleme lesz.

Nézzünk egy példát. Legyen adott egy közös elemű sorozat
(3)
Egy pont bármely környezete végtelen számú elemet tartalmaz. Ez a pont azonban nem a sorozat határa, mivel a pont bármely szomszédsága végtelen számú elemet is tartalmaz. Vegyük ε-t - egy olyan pont környékét, ahol ε = 1 . Ez lesz az intervallum (-1, +1) . Az első páros n-es elem kivételével minden elem ehhez az intervallumhoz tartozik. De minden páratlan n elem kívül esik ezen az intervallumon, mivel kielégíti az x n egyenlőtlenséget > 2 . Mivel a páratlan elemek száma végtelen, végtelen számú elem lesz a kiválasztott környéken kívül. Ezért a lényeg nem a sorozat határa.

Most ezt mutatjuk meg, szigorúan betartva a (2) állítást. A pont nem határa a (3) sorozatnak, mivel létezik olyan, hogy bármely természetes n esetén van egy páratlan, amelyre az egyenlőtlenség érvényes
.

Az is kimutatható, hogy bármely a pont nem lehet ennek a sorozatnak a határa. Mindig választhatunk egy ε - az a pont környékét, amely nem tartalmaz sem 0, sem 2 pontot. És akkor a kiválasztott környéken kívül végtelen számú elem lesz a sorozatnak.

Egyenértékű definíció

Egy sorozat határának ekvivalens definícióját adhatjuk, ha kibővítjük az ε - szomszédság fogalmát. Egyenértékű definíciót kapunk, ha ε-szomszédság helyett az a pont bármely szomszédságát tartalmazza.

Egy pont környezetének meghatározása
Az a pont szomszédsága bármely ezt a pontot tartalmazó nyitott intervallumot hívunk. Matematikailag a szomszédság definíciója a következő: , ahol ε 1 és ε 2 - tetszőleges pozitív számok.

Ekkor a határérték meghatározása a következő lesz.

A sorozathatár egyenértékű meghatározása
Az a számot a sorozat határértékének nevezzük, ha bármely szomszédságára létezik olyan N természetes szám, hogy a sorozat minden eleme számokkal ebbe a környezetbe tartozik.

Ez a meghatározás kiterjesztett formában is bemutatható.

Az a számot a sorozat határértékének nevezzük, ha bármilyen pozitív számra és létezik olyan N természetes szám, amely attól függ és olyan, hogy az egyenlőtlenségek minden természetes számra érvényesek
.

A definíciók egyenértékűségének igazolása

Bizonyítsuk be, hogy egy sorozat határértékének fentebb bemutatott két definíciója egyenértékű.

Legyen az a szám az első definíció szerinti sorozat határa. Ez azt jelenti, hogy van egy függvény, így bármely ε pozitív számra teljesülnek a következő egyenlőtlenségek:
(4) nál nél .

Mutassuk meg, hogy az a szám a sorozat határa a második definíció szerint. Vagyis meg kell mutatnunk, hogy van olyan függvény, hogy bármely pozitív számra ε 1 és ε 2 a következő egyenlőtlenségek teljesülnek:
(5) nál nél .

Legyen két pozitív számunk: ε 1 és ε 2 . És legyen ε ezek közül a legkisebb: . Akkor ; ; . Használjuk ezt (5):
.
De az egyenlőtlenségek teljesülnek . Ekkor az (5) egyenlőtlenségek is teljesülnek.

Vagyis találtunk egy függvényt, amelyre az (5) egyenlőtlenségek teljesülnek bármely ε pozitív számra 1 és ε 2 .
Az első rész bevált.

Most legyen az a szám a sorozat határa a második definíció szerint. Ez azt jelenti, hogy van olyan függvény, hogy bármely pozitív számra ε 1 és ε 2 a következő egyenlőtlenségek teljesülnek:
(5) nál nél .

Mutassuk meg, hogy az a szám a sorozat határértéke az első definíció szerint. Ehhez el kell helyezni. Majd ha a következő egyenlőtlenségek teljesülnek:
.
Ez megfelel az első definíciónak.
A definíciók egyenértékűsége bebizonyosodott.

Példák

Itt több olyan példát is megvizsgálunk, amelyekben bizonyítanunk kell, hogy egy adott a szám egy sorozat határa. Ebben az esetben meg kell adni egy tetszőleges ε pozitív számot, és meg kell határoznia ε N függvényét úgy, hogy az egyenlőtlenség .

1. példa

Bizonyítsd .

(1) .
A mi esetünkben ;
.

.
Használjuk az egyenlőtlenségek tulajdonságait. Aztán ha és , akkor
.

.
Akkor
nál nél .
Ez azt jelenti, hogy a szám az adott sorozat határa:
.

2. példa

Egy sorozat határértékének definíciójával bizonyítsd be
.

Írjuk fel egy sorozat határának definícióját:
(1) .
A mi esetünkben , ;
.

Írjon be pozitív számokat és:
.
Használjuk az egyenlőtlenségek tulajdonságait. Aztán ha és , akkor
.

Ez azt jelenti, hogy bármely pozitívhoz bármely természetes számot felvehetünk, amely nagyobb vagy egyenlő, mint:
.
Akkor
nál nél .
.

3. példa

.

Bemutatjuk a , jelölést.
Alakítsuk át a különbséget:
.
Természetes n = 1, 2, 3, ... nekünk van:
.

Írjuk fel egy sorozat határának definícióját:
(1) .
Írjon be pozitív számokat és:
.
Aztán ha és , akkor
.

Ez azt jelenti, hogy bármely pozitívhoz bármely természetes számot felvehetünk, amely nagyobb vagy egyenlő, mint:
.
Ahol
nál nél .
Ez azt jelenti, hogy a szám a sorozat határa:
.

4. példa

Egy sorozat határértékének definíciójával bizonyítsd be
.

Írjuk fel egy sorozat határának definícióját:
(1) .
A mi esetünkben , ;
.

Írjon be pozitív számokat és:
.
Aztán ha és , akkor
.

Ez azt jelenti, hogy bármely pozitívhoz bármely természetes számot felvehetünk, amely nagyobb vagy egyenlő, mint:
.
Akkor
nál nél .
Ez azt jelenti, hogy a szám a sorozat határa:
.

Referenciák:
L.D. Kudrjavcev. Matematikai elemzés tanfolyam. 1. kötet Moszkva, 2003.
CM. Nikolszkij. Matematikai elemzés tanfolyam. 1. kötet Moszkva, 1983.

Tekintsük a %%f(x)%% függvényt, amely legalább a %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% pont %%a \in \overline( \) szúrt környezetében van definiálva mathbb(R))%% kiterjesztett számsor.

A Cauchy-határ fogalma

A %%A \in \mathbb(R)%% szám hívva van a funkció határa%%f(x)%% a %%a \in \mathbb(R)%% pontban (vagy a %%x%% -nál, amely a %%a \in \mathbb(R)%%) pontban van, ha, mit Bármi legyen is a pozitív %%\varepsilon%%, van egy pozitív szám %%\delta%%, így a pont %%\delta%% szomszédságában lévő összes pontra a %%a%% a függvény értéket %%\varepsilon %%-pont szomszédságához tartoznak %%A%%, vagy

$$ A = \lim\limits_(x \to a)(f(x)) \Leftrightarrow \forall\varepsilon > 0 ~\exists \delta > 0 \big(x \in \stackrel(\circ)(\text (U))_\delta(a) \Jobbra f(x) \in \text(U)_\varepsilon (A) \big) $$

Ezt a definíciót nevezik %%\varepsilon%% és %%\delta%% definíciónak, amelyet Augustin Cauchy francia matematikus javasolt, és a 19. század elejétől napjainkig használták, mert rendelkezik a szükséges matematikai szigorral és pontossággal.

A %%a%% pont különböző környékeinek kombinálása a következő alakban: %%\stackrel(\circ)(\text(U))_\delta(a), \text(U)_\delta (\infty), \ szöveg(U) _\delta (-\infty), \text(U)_\delta (+\infty), \text(U)_\delta^+ (a), \text(U)_\delta^ - (a) %% a környezettel %%\text(U)_\varepsilon (A), \text(U)_\varepsilon (\infty), \text(U)_\varepsilon (+\infty), \ text(U) _\varepsilon (-\infty)%%, a Cauchy-határérték 24 definícióját kapjuk.

Geometriai jelentés

Egy függvény határának geometriai jelentése

Nézzük meg, mi a geometriai jelentése egy függvény határértékének egy pontban. Készítsük el a %%y = f(x)%% függvény grafikonját, és jelöljük meg rajta a %%x = a%% és %%y = A%% pontokat.

A %%y = f(x)%% függvény határértéke a %%x \to a%% pontban létezik, és egyenlő A-val, ha a %%A%% pont bármely %%\varepsilon%% szomszédságában. meg lehet adni egy ilyen %%\ delta%%-környezetet a %%a%% pontnak úgy, hogy ebből a %%\delta%%-környezetből bármely %%x%%-hoz a %%f(x)% érték % a %%\varepsilon%%-%%%A%% szomszédsági pontokban lesz.

Vegyük észre, hogy a függvény határértékének Cauchy szerinti definíciója szerint a %%x \to a%% korlát létezéséhez nem mindegy, hogy a függvény milyen értéket vesz fel a %%a%% pontban. Adhatunk példákat arra az esetre, amikor a függvény nincs definiálva, ha %%x = a%% vagy más értéket vesz fel, mint %%A%%. A határ azonban %%A%%.

A Heine-határ meghatározása

A %%A \in \overline(\mathbb(R))%% elemet a %%f(x)%% függvény határértékének nevezzük %% x \to a, a \in \overline(\mathbb( R))%% , ha bármely %%\(x_n\) \-ig%% szekvenciához a definíciós tartományból, a megfelelő értékek sorozata %%\big\(f(x_n)\big\)% % hajlamos %%A%%.

A Heine szerinti határértéket akkor érdemes használni, ha kétségek merülnek fel egy függvény határértékének meglétével kapcsolatban egy adott pontban. Ha lehetséges legalább egy %%\(x_n\)%% szekvencia létrehozása olyan határértékkel a %%a%% pontban, hogy a sorozat %%\big\(f(x_n)\big\)%% nincs korlátja, akkor azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a %%f(x)%% függvénynek ezen a ponton nincs határa. Ha kettőre különféle%%\(x"_n\)%% és %%\(x""_n\)%% szekvenciák azonos limit %%a%%, %%\big\(f(x"_n)\big\)%% és %%\big\(f(x""_n)\big\)%% különféle határértékeket, akkor ebben az esetben szintén nincs korlátja a %%f(x)%% függvénynek.

Példa

Legyen %%f(x) = \sin(1/x)%%. Ellenőrizzük, hogy létezik-e ennek a függvénynek a korlátja a %%a = 0%% pontban.

Először válasszunk egy $$ \(x_n\) = \left\(\frac((-1)^n)(n\pi)\right\) sorozatot, amely ehhez a ponthoz konvergál. $$

Nyilvánvaló, hogy %%x_n \ne 0~\forall~n \in \mathbb(N)%% és %%\lim (x_n) = 0%%. Ekkor %%f(x_n) = \sin(\left((-1)^n n\pi\right)) \equiv 0%% és %%\lim\big\(f(x_n)\big\) = 0 %%.

Ezután vegyen egy sorozatot, amely ugyanahhoz a ponthoz konvergál $$ x"_n = \left\( \frac(2)((4n + 1)\pi) \right\), $$

amelyre %%\lim(x"_n) = +0%%, %%f(x"_n) = \sin(\big((4n + 1)\pi/2\big)) \equiv 1%% és %%\lim\big\(f(x"_n)\big\) = 1%%. Hasonlóképpen a $$ x""_n = \left\(-\frac(2)((4n + 1) sorozathoz ) \pi) \jobbra\), $$

szintén konvergál a ponthoz %%x = 0%%, %%\lim\big\(f(x""_n)\big\) = -1%%.

Mindhárom szekvencia eltérő eredményt adott, ami ellentmond a Heine definíciós feltételnek, i.e. ennek a függvénynek nincs határa a %%x = 0%% pontban.

Tétel

A határ Cauchy és Heine definíciói egyenértékűek.

Állandó szám A hívott határ sorozatok(x n ), ha bármely tetszőlegesen kis pozitív számraε > 0 van egy N szám, amelynek minden értéke megvan x n, amelyre n>N, kielégíti az egyenlőtlenséget

|x n - a|< ε. (6.1)

Írd le a következőképpen: vagy x n → a.

A (6.1) egyenlőtlenség ekvivalens a kettős egyenlőtlenséggel

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

ami azt jelenti, hogy a pontok x n, valamilyen n>N számból kiindulva, az intervallumon belül (a-ε, a+ ε ), azaz essen bármilyen kicsiε -egy pont szomszédsága A.

Egy határértékkel rendelkező sorozatot hívunk konvergens, másképp - divergens.

A függvénykorlát fogalma a sorozatkorlát fogalmának általánosítása, mivel a sorozat határértéke egy egész argumentum x n = f(n) függvényének határértékének tekinthető. n.

Legyen adott az f(x) függvény és legyen a - határpont ennek a függvénynek a definíciós tartománya D(f), azaz. olyan pont, amelynek bármely szomszédsága a D(f) halmaz azon pontjait tartalmazza a. Pont a tartozhat vagy nem a D(f) halmazba.

1. definíció.Az A konstans számot hívják határ funkciókat f(x) nál nél x→a, ha bármely (x n ) argumentumérték sorozathoz, amely arra hajlik A, a megfelelő sorozatok (f(x n)) azonos A határértékkel rendelkeznek.

Ezt a meghatározást hívják egy függvény határértékének meghatározásával Heine szerint, vagy " sorozatnyelven”.

2. definíció. Az A konstans számot hívják határ funkciókat f(x) nál nél x→a, ha egy tetszőleges, tetszőlegesen kis ε pozitív szám megadásával, találhatunk ilyen δ-t>0 (ε-től függően), ami mindenkinek szól x, fekveszám ε-környékei A, azaz Mert x, kielégítve az egyenlőtlenséget
0 < x-a< ε , az f(x) függvény értékei benne lesznekAz A szám ε-szomszédsága, azaz.|f(x)-A|< ε.

Ezt a meghatározást hívják egy függvény határának meghatározásával Cauchy szerint, vagy „az ε - δ nyelven “.

Az 1. és 2. definíció egyenértékű. Ha az f(x) függvény x →a rendelkezik határ, egyenlő A-val, ezt a formában írjuk

. (6.3)

Abban az esetben, ha az (f(x n)) sorozat korlátlanul nő (vagy csökken) bármely közelítési módszernél x a határodig A, akkor azt mondjuk, hogy az f(x) függvény rendelkezik végtelen határ,és írd be a következő formában:

Olyan változót (azaz sorozatot vagy függvényt), amelynek határértéke nulla, hívunk végtelenül kicsi.

Olyan változót hívunk, amelynek határértéke egyenlő a végtelennel végtelenül nagy.

A gyakorlatban a határérték megtalálásához a következő tételeket használjuk.

1. tétel . Ha minden határ létezik

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Megjegyzés. Olyan kifejezések, mint 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - bizonytalanok például két végtelenül kicsi vagy végtelenül nagy mennyiség aránya, és az ilyen típusú határ megtalálását „bizonytalanságok feltárásának” nevezzük.

2. tétel. (6.7)

azok. konstans kitevővel a hatvány alapján lehet a határig menni, különösen, ;

(6.8)

(6.9)

3. tétel.

(6.10)

(6.11)

Ahol e » 2,7 - természetes logaritmus alapja. A (6.10) és (6.11) képleteket elsőnek nevezzük csodálatos határés a második figyelemre méltó határ.

A (6.11) képlet következményeit a gyakorlatban is alkalmazzák:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

különösen a határérték,

Ha x → a és egyben x > a, majd írjon x-et→a + 0. Ha konkrétan a = 0, akkor a 0+0 szimbólum helyett +0-t írjon. Hasonlóképpen, ha x→a és egyben x a-0. Számok és ennek megfelelően hívják jobb határÉs bal határ funkciókat f(x) azon a ponton A. Ahhoz, hogy az f(x) függvénynek legyen határa x→a szükséges és elégséges ahhoz, hogy . Meghívjuk az f(x) függvényt folyamatos azon a ponton x 0 ha limit

. (6.15)

A (6.15) feltétel a következőképpen írható át:

,

azaz a függvény előjele alatti határértékre való áthaladás akkor lehetséges, ha az adott pontban folytonos.

Ha a (6.15) egyenlőség sérül, akkor ezt mondjuk nál nél x = xo funkció f(x) Megvan rés Tekintsük az y = 1/x függvényt. Ennek a függvénynek a definíciós tartománya a halmaz R, kivéve x = 0. Az x = 0 pont a D(f) halmaz határpontja, hiszen annak bármely szomszédságában, pl. bármely, a 0 pontot tartalmazó nyitott intervallumban vannak D(f) pontok, de ez maga nem tartozik ebbe a halmazba. Az f(x o)= f(0) érték definiálatlan, így az x o = 0 pontban a függvénynek megszakadása van.

Meghívjuk az f(x) függvényt folyamatos a jobb oldalon a ponton x o ha a határ

,

És folyamatos a bal oldalon a ponton x o, ha a határ

.

Egy függvény folytonossága egy pontban x o egyenlő a folytonosságával ezen a ponton jobbra és balra egyaránt.

Annak érdekében, hogy a függvény egy ponton folytonos legyen x o, például a jobb oldalon először is szükség van arra, hogy legyen véges határérték, másodszor, hogy ez a határ egyenlő legyen f(x o-val). Ezért, ha e két feltétel közül legalább az egyik nem teljesül, akkor a függvénynek megszakadása lesz.

1. Ha a határ létezik, és nem egyenlő f(x o-val), akkor ezt mondják funkció f(x) azon a ponton x o rendelkezik az első típusú szakadás, vagy Ugrás.

2. Ha a határ az+∞ vagy -∞ vagy nem létezik, akkor azt mondják, hogy in pont x o a függvénynek megszakadása van második fajta.

Például y függvény = cot x x x→ +0 határértéke +∞, ami azt jelenti, hogy az x=0 pontban van egy második típusú szakadás. y = E(x) függvény (egész része x) a teljes abszcisszákkal rendelkező pontokon az első típusú megszakadások vagy ugrások vannak.

Olyan függvényt hívunk, amely az intervallum minden pontjában folytonos folyamatos V . A folytonos függvényt tömör görbe ábrázolja.

Valamely mennyiség folyamatos növekedésével kapcsolatos számos probléma a második figyelemre méltó határhoz vezet. Ilyen feladatok például: a kamatos kamat törvénye szerinti betétek növekedése, az ország népességének növekedése, a radioaktív anyagok bomlása, a baktériumok elszaporodása stb.

Mérlegeljük példa Ya. I. Perelman, amely a szám értelmezését adja e a kamatos kamat problémájában. Szám e van egy határ . A takarékpénztárakban évente kamatpénzt adnak az állótőkéhez. Ha gyakrabban történik a csatlakozás, akkor gyorsabban növekszik a tőke, hiszen nagyobb összeg vesz részt a kamatképzésben. Vegyünk egy tisztán elméleti, nagyon leegyszerűsített példát. Legyen 100 deniert elhelyezve a bankban. egységek évi 100% alapján. Ha a kamatpénz csak egy év múlva kerül az állótőkéhez, akkor erre az időszakra 100 den. egységek 200 pénzegységre fog alakulni. Most pedig lássuk, mivé lesz 100 denize. egységek, ha félévente kamatpénzt adnak az állótőkéhez. Hat hónap után 100 den. egységek 100-ra nő× 1,5 = 150, és további hat hónap múlva - 150× 1,5 = 225 (den. egység). Ha az év 1/3-án történik a csatlakozás, akkor egy év múlva 100 den. egységek 100 lesz× (1 +1/3) 3" 237 (den. egység). A kamatpénz hozzáadásának feltételeit 0,1 évre, 0,01 évre, 0,001 évre stb. Aztán 100 denből. egységek egy év múlva ez lesz:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. egység),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. egység),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. egység).

A kamatfelszámítás feltételeinek korlátlan csökkentésével a felhalmozott tőke nem növekszik korlátlanul, hanem közelít egy körülbelül 271-nek megfelelő határt. Az évi 100%-os letétbe helyezett tőke nem nőhet 2,71-szeresnél nagyobb mértékben, még akkor sem, ha a felhalmozott kamat. minden másodpercben hozzáadták a fővároshoz, mert a határ

Példa 3.1.Egy számsorozat határértékének definíciójával bizonyítsuk be, hogy az x n =(n-1)/n sorozatnak 1-gyel egyenlő határa van.

Megoldás.Ezt bizonyítanunk kell, bármi is legyenε > 0, függetlenül attól, hogy mit veszünk, van egy természetes N szám, amelyre minden n N-re érvényes az egyenlőtlenség|x n -1|< ε.

Vegyünk bármely e > 0-t. Mivel ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, akkor N megtalálásához elegendő az 1/n egyenlőtlenséget megoldani< e. Ezért n>1/e és ezért N felfogható 1/ egész részének e , N = E(1/e ). Ezzel bebizonyítottuk, hogy a határ .

3. példa.2 . Keresse meg egy közös tag által adott sorozat határát .

Megoldás.Alkalmazzuk az összegtétel határértékét, és keressük meg az egyes tagok határértékét. Amikor n→ ∞ az egyes tagok számlálója és nevezője a végtelenbe hajlik, és nem tudjuk közvetlenül alkalmazni a hányadoshatártételt. Ezért először átalakítjuk x n, az első tag számlálóját és nevezőjét osztva ezzel n 2, a második pedig bekapcsolva n. Ezután a hányados határát és az összegtétel határát alkalmazva azt kapjuk, hogy:

.

Példa 3.3. . Megtalálja .

Megoldás. .

Itt a fokhatártételt használtuk: egy fok határa egyenlő az alap határának fokával.

3. példa.4 . Megtalálja ( ).

Megoldás.A különbség határtételének alkalmazása lehetetlen, mivel bizonytalanságunk van az alakot illetően ∞-∞ . Alakítsuk át az általános képletet:

.

3. példa.5 . Az f(x)=2 1/x függvény adott. Bizonyítsd be, hogy nincs határ.

Megoldás.Használjuk egy függvény határértékének 1. definícióját egy sorozaton keresztül. Vegyünk egy sorozatot ( x n ), amely 0-hoz konvergál, azaz. Mutassuk meg, hogy az f(x n)= érték eltérően viselkedik a különböző sorozatoknál. Legyen x n = 1/n. Nyilván akkor a határ Most válasszunk mint x n egy közös tagú sorozat x n = -1/n, amely szintén nullára hajlik. Ezért nincs határ.

3. példa.6 . Bizonyítsd be, hogy nincs határ.

Megoldás.Legyen x 1 , x 2 ,..., x n ,... sorozat, amelyre
. Hogyan viselkedik az (f(x n)) = (sin x n) sorozat különböző x n → ∞ esetén

Ha x n = p n, akkor sin x n = sin p n = 0 mindenre nés a határ Ha
x n =2 p n+ p /2, akkor sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 mindenre nés ezért a határ. Tehát nem létezik.

Widget a határértékek online kiszámításához

A felső ablakban a sin(x)/x helyett írjuk be azt a függvényt, amelynek határértékét szeretnénk megtalálni. Az alsó ablakban írja be azt a számot, amelyre x hajlik, majd kattintson a Számítás gombra, és kapja meg a kívánt határt. Ha pedig a találati ablakban rákattint a jobb felső sarokban a Lépések megjelenítése elemre, akkor részletes megoldást kap.

A függvények bevitelének szabályai: sqrt(x) - négyzetgyök, cbrt(x) - kockagyök, exp(x) - kitevő, ln(x) - természetes logaritmus, sin(x) - szinusz, cos(x) - koszinusz, tan (x) - érintő, cot(x) - kotangens, arcsin(x) - arcszinusz, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangens. Jelek: * szorzás, / osztás, ^ hatványozás, helyette végtelenség Végtelenség. Példa: a függvényt sqrt(tan(x/2)) formában kell megadni.