Egyenletes funkció.

Még Olyan függvényt hívunk meg, amelynek előjele nem változik az előjel megváltoztatásakor x.

x egyenlőség f(–x) = f(x). Jel x jelet nem befolyásolja y.

A páros függvény grafikonja szimmetrikus a koordinátatengelyre (1. ábra).

Akár függvénypéldák:

y= cos x

y = x 2

y = –x 2

y = x 4

y = x 6

y = x 2 + x

Magyarázat:
Vegyünk egy függvényt y = x 2 vagy y = –x 2 .
Bármilyen értékre x a függvény pozitív. Jel x jelet nem befolyásolja y. A grafikon szimmetrikus a koordinátatengelyre. Ez egy egyenletes funkció.

páratlan függvény.

páratlan egy olyan függvény, amelynek előjele megváltozik az előjel megváltoztatásakor x.

Más szóval, bármilyen értékre x egyenlőség f(–x) = –f(x).

A páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóhoz képest (2. ábra).

Példák egy páratlan függvényre:

y= bűn x

y = x 3

y = –x 3

Magyarázat:

Vegyük az y = - függvényt x 3 .
Minden érték nál nél mínusz jele lesz. Ez a jel x befolyásolja a jelet y. Ha a független változó pozitív szám, akkor a függvény pozitív, ha a független változó negatív szám, akkor a függvény negatív: f(–x) = –f(x).
A függvény grafikonja szimmetrikus az origóra. Ez egy furcsa függvény.

A páros és páratlan függvények tulajdonságai:

JEGYZET:

Nem minden jellemző páros vagy páratlan. Vannak olyan funkciók, amelyekre nem vonatkozik ilyen fokozatosság. Például a gyökérfüggvény nál nél = √x nem vonatkozik sem páros, sem páratlan függvényekre (3. ábra). Az ilyen függvények tulajdonságainak felsorolásakor megfelelő leírást kell adni: se páros, se páratlan.

Periodikus funkciók.

Mint tudják, a periodicitás bizonyos folyamatok bizonyos időközönkénti ismétlődése. Az ezeket a folyamatokat leíró függvényeket ún periodikus függvények. Azaz olyan függvényekről van szó, amelyek grafikonjaiban vannak bizonyos numerikus időközönként ismétlődő elemek.

Funkció az egyik legfontosabb matematikai fogalom. Funkció - változó függőség nál nél változóból x, ha minden érték x egyetlen értéknek felel meg nál nél. változó x független változónak vagy argumentumnak nevezzük. változó nál nél függő változónak nevezzük. A független változó összes értéke (változó x) alkotják a függvény tartományát. Minden érték, amelyet a függő változó vesz fel (változó y), alkotják a függvény tartományát.

Függvénygrafikon a koordinátasík összes pontjának halmazát hívják, amelynek abszcisszái egyenlőek az argumentum értékeivel, az ordináták pedig egyenlőek a függvény megfelelő értékeivel, azaz a változókat az abszcissza tengely mentén ábrázoljuk x, és a változó értékeit az y tengely mentén ábrázoljuk y. Egy függvény ábrázolásához ismerni kell a függvény tulajdonságait. A függvény főbb tulajdonságait az alábbiakban tárgyaljuk!

Függvénygrafikon ábrázolásához javasoljuk a Graphing Functions Online programunkat. Ha bármilyen kérdése van az oldalon található anyag tanulmányozása során, bármikor felteheti azokat fórumunkon. A fórumon segítséget kapsz matematika, kémia, geometria, valószínűségszámítás és sok más tantárgy feladatmegoldásában is!

A függvények alapvető tulajdonságai.

1) A funkció hatóköre és funkciótartománya.

Egy függvény hatóköre az argumentum összes érvényes érvényes értékének halmaza x(változó x), amelyre a függvény y = f(x) meghatározott.
Egy függvény tartománya az összes valós érték halmaza y hogy a függvény elfogadja.

Az elemi matematikában a függvényeket csak valós számok halmazán tanulmányozzák.

2) Funkció nullák.

Értékek x, ahol y=0, nak, nek hívják függvény nullák. Ezek a függvény grafikonjának az x tengellyel való metszéspontjainak abszcisszán.

3) Egy függvény előjelállandóságának intervallumai.

Egy függvény előjelállandóságának intervallumai ilyen értékintervallumok x, amelyen a függvény értékei y vagy csak pozitív vagy csak negatív hívják a függvény előjelállandóságának intervallumai.

4) A függvény monotonitása.

Növekvő függvény (bizonyos intervallumban) - olyan függvény, amelyben az argumentum nagyobb értéke ebből az intervallumból a függvény nagyobb értékének felel meg.

Csökkenő függvény (bizonyos intervallumban) - olyan függvény, amelyben ebből az intervallumból az argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg.

5) Páros (páratlan) függvények.

A páros függvény olyan függvény, amelynek definíciós tartománya szimmetrikus az origóhoz és bármely függvényhez x f(-x) = f(x). Egy páros függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre.

A páratlan függvény olyan függvény, amelynek definíciós tartománya szimmetrikus az origóhoz és bármely függvényhez x a definíció tartományából az egyenlőség f(-x) = - f(x). Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóra.

Egyenletes funkció
1) A definíciós tartomány szimmetrikus a (0; 0) ponthoz képest, vagyis ha a pont a a definíció tartományába tartozik, akkor a pont -a szintén a definíció tartományába tartozik.
2) Bármilyen értékre x f(-x)=f(x)
3) Egy páros függvény grafikonja szimmetrikus az Oy tengelyre.

páratlan függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
1) A definíciós tartomány a (0; 0) ponthoz képest szimmetrikus.
2) bármilyen értékre x, amely a definíció, az egyenlőség tartományába tartozik f(-x)=-f(x)
3) Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóhoz (0; 0).

Nem minden függvény páros vagy páratlan. Funkciók Általános nézet sem nem párosak, sem nem páratlanok.

6) Korlátozott és korlátlan funkciók.

Egy függvényt korlátosnak nevezünk, ha létezik olyan pozitív M szám, amelyre |f(x)| ≤ M x összes értékére. Ha nincs ilyen szám, akkor a függvény korlátlan.

7) A függvény periodicitása.

Egy f(x) függvény periodikus, ha létezik olyan T szám, amely nem nulla, így a függvény tartományából származó bármely x esetén f(x+T) = f(x). Ezt a legkisebb számot a függvény periódusának nevezzük. Minden trigonometrikus függvény periodikus. (Trigonometrikus képletek).

Funkció f periodikusnak nevezzük, ha létezik olyan szám, amely bármely esetén x a definíció tartományából az egyenlőség f(x)=f(x-T)=f(x+T). T a függvény periódusa.

Minden periodikus függvénynek végtelen számú periódusa van. A gyakorlatban általában a legkisebb pozitív időszakot veszik figyelembe.

A periódusos függvény értékei a periódussal megegyező periódus után ismétlődnek. Ezt grafikonok készítésekor használják.

Funkció nullák
A függvény nullája az érték x, amelynél a függvény 0 lesz, azaz f(x)=0.

A nullák a függvény grafikonjának a tengellyel való metszéspontjai Ó.

Funkcióparitás
Egy függvény akkor is meghívódik, ha bármelyikre x a definíciós tartományból az f(-x) = f(x) egyenlőség

A páros függvény szimmetrikus a tengelyre OU

Páratlan funkció
Egy függvényt páratlannak nevezünk, ha van x a definíciós tartományból az f(-x) = -f(x) egyenlőség teljesül.

A páratlan függvény szimmetrikus az origóhoz képest.
Azt a függvényt, amely se nem páros, se nem páratlan, általános függvénynek nevezzük.

Funkciónövekedés
Az f(x) függvényt növekvőnek nevezzük, ha az argumentum nagyobb értéke a függvény nagyobb értékének felel meg, azaz. x 2 > x 1 → f(x 2)> f(x 1)

Csökkenő funkció
Az f(x) függvényt csökkenőnek nevezzük, ha az argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg, azaz. x 2 > x 1 → f(x 2)
Meghívjuk azokat az intervallumokat, amelyeken a függvény vagy csak csökken, vagy csak nő a monotónia intervallumai. Az f(x) függvénynek 3 monotonitása van:
(-∞ x 1), (x 1 , x 2), (x 3 ; +∞)

Keresse meg a monotonitás intervallumait a Növekvő és csökkenő függvények intervallumai szolgáltatással

Helyi maximum
Pont x 0 helyi maximumpontnak nevezzük, ha van ilyen x egy pont szomszédságából x 0 a következő egyenlőtlenség teljesül: f(x 0) > f(x)

Helyi minimum
Pont x 0 helyi minimumpontnak nevezzük, ha van ilyen x egy pont szomszédságából x 0 a következő egyenlőtlenség teljesül: f(x 0)< f(x).

A lokális maximumpontokat és a helyi minimumpontokat lokális szélsőpontoknak nevezzük.

x 1 , x 2 - lokális szélsőpontok.

Funkció periodicitása
Az f(x) függvényt periodikusnak, periódusosnak nevezzük T, ha van ilyen x f(x+T) = f(x) .

Állandósági intervallumok
Azokat az intervallumokat, amelyeken a függvény vagy csak pozitív, vagy csak negatív, konstans előjelű intervallumoknak nevezzük.

f(x)>0 x∈(x 1 , x 2)∪(x 2 , +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)

A funkció folytonossága
Az f(x) függvényt folytonosnak nevezzük az x 0 pontban, ha a függvény határértéke x → x 0 egyenlő a függvény értékével ebben a pontban, azaz. .

töréspontok
Azokat a pontokat, ahol a folytonossági feltétel megsérül, a függvény folytonossági pontjainak nevezzük.

x0- töréspontot.

A függvények ábrázolásának általános sémája

1. Keresse meg a D(y) függvény tartományát!
2. Keresse meg a függvénygrafikon és a koordinátatengelyek metszéspontjait!
3. Vizsgálja meg a páros vagy páratlan függvényt.
4. Vizsgálja meg a függvényt periodicitásra!
5. Keresse meg a függvény monotonitási intervallumait és szélsőpontjait!
6. Keresse meg a függvény konvexitási és inflexiós pontjait!
7. Keresse meg a függvény aszimptotáit!
8. A vizsgálat eredményei alapján készítsen grafikont!

Példa: Fedezze fel a függvényt, és készítse el a grafikonját: y = x 3 - 3x
8) A vizsgálat eredményei alapján elkészítjük a függvény grafikonját:

Meghatározás 1. A függvényt hívjuk még (páratlan ) ha a változó minden értékével együtt
jelentése - x is tartozik
és az egyenlőség

Így egy függvény csak akkor lehet páros vagy páratlan, ha definíciós tartománya szimmetrikus a valós egyenes koordinátáinak origójához képest (számok xÉs - x egyszerre tartoznak
). Például a függvény
se nem páros, se nem páratlan, mivel a definíciós tartománya
nem szimmetrikus az eredetre.

Funkció
sőt, mert
szimmetrikus a koordináták origójára és.

Funkció
furcsa, mert
És
.

Funkció
se nem páros, se nem páratlan, hiszen bár
és szimmetrikus az origóhoz képest, a (11.1) egyenlőség nem teljesül. Például,.

A páros függvény grafikonja szimmetrikus a tengelyre OU, hiszen ha a lényeg

szintén a grafikonhoz tartozik. Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóra, mert ha
a gráfhoz tartozik, majd a ponthoz
szintén a grafikonhoz tartozik.

Egy függvény páros vagy páratlan bizonyításához a következő állítások hasznosak.

Tétel 1. a) Két páros (páratlan) függvény összege páros (páratlan) függvény.

b) Két páros (páratlan) függvény szorzata páros függvény.

c) Egy páros és egy páratlan függvény szorzata páratlan függvény.

d) Ha f páros funkció a készüléken x, és a funkció g a készleten meghatározott
, majd a függvény
- még.

e) Ha f egy páratlan funkció a készüléken x, és a funkció g a készleten meghatározott
és páros (páratlan), akkor a függvény
- Páros Páratlan).

Bizonyíték. Bizonyítsuk be például a b) és d) pontokat.

b) Legyen
És
páros függvények. Akkor tehát. Hasonlóan értelmezzük a páratlan függvények esetét is
És
.

d) Hagyjuk f páros függvény. Akkor.

A tétel többi állítása is hasonlóképpen bizonyított. A tétel bizonyítást nyert.

Tétel 2. Bármilyen funkció
, meghatározva a készleten x, amely szimmetrikus az origóhoz képest, egy páros és egy páratlan függvény összegeként ábrázolható.

Bizonyíték. Funkció
formába írható

.

Funkció
egyenletes, mert
, és a funkció
furcsa, mert. És így,
, Ahol
- még, és
egy páratlan függvény. A tétel bizonyítást nyert.

Meghatározás 2. Funkció
hívott időszakos ha van szám
, olyan, hogy bármely
számok
És
szintén a definíció tartományába tartoznak
és az egyenlőségeket

Ilyen szám T hívott időszak funkciókat
.

Az 1. definíció azt jelenti, hogy ha T– működési időszak
, majd a szám T Azonos a függvény periódusa
(mert cserekor T tovább - T az egyenlőség megmarad). A matematikai indukció módszerével kimutatható, hogy ha T– működési időszak f, majd és
, szintén egy időszak. Ebből következik, hogy ha egy függvénynek van periódusa, akkor végtelen sok periódusa van.

Meghatározás 3. Egy függvény pozitív periódusai közül a legkisebbet nevezzük annak fő- időszak.

Tétel 3. Ha T a funkció fő időszaka f, akkor a fennmaradó időszakok ennek többszörösei.

Bizonyíték. Tegyük fel az ellenkezőjét, vagyis hogy van egy időszak funkciókat f (>0), nem többszörös T. Aztán felosztás tovább T a maradékkal azt kapjuk
, Ahol
. Ezért

vagyis – működési időszak f, és
, ami ellentmond annak, hogy T a funkció fő időszaka f. A kapott ellentmondásból következik a tétel állítása. A tétel bizonyítást nyert.

Köztudott, hogy a trigonometrikus függvények periodikusak. Fő időszak
És
egyenlő
,
És
. Keresse meg a függvény periódusát!
. Hadd
ennek a funkciónak az időszaka. Akkor

(mert
.

ororor
.

Jelentése T, az első egyenlőségből meghatározott, nem lehet időszak, hiszen attól függ x, azaz függvénye x, nem állandó szám. Az időszakot a második egyenlőség határozza meg:
. Végtelenül sok időszak van
a legkisebb pozitív periódust akkor kapjuk, amikor
:
. Ez a funkció fő időszaka
.

Egy bonyolultabb periodikus függvényre példa a Dirichlet-függvény

Vegye figyelembe, hogy ha T akkor racionális szám
És
racionális számok a racionális alatt vannak xés irracionális, ha irracionális x. Ezért

bármilyen racionális számra T. Ezért bármilyen racionális szám T a Dirichlet-függvény periódusa. Nyilvánvaló, hogy ennek a függvénynek nincs főperiódusa, mivel vannak pozitív racionális számok tetszőlegesen közel nullához (pl. racionális számot a n tetszőlegesen közel nullához).

Tétel 4. Ha függvény f állítsa be a forgatáson xés van egy időszaka T, és a funkció g állítsa be a forgatáson
, majd a komplex függvény
időszaka is van T.

Bizonyíték. Ezért van

vagyis a tétel állítása bebizonyosodott.

Például azóta kötözősaláta x időszaka van
, majd a funkciókat
van egy időszaka
.

Meghatározás 4. A nem periodikus függvényeket hívjuk nem időszakos .

Megjelenítés elrejtése

A funkció beállításának módjai

Adjuk meg a függvényt a következő képlettel: y=2x^(2)-3 . Ha bármilyen értéket rendel az x független változóhoz, ezzel a képlettel kiszámíthatja az y függő változó megfelelő értékeit. Például, ha x=-0,5 , akkor a képlet segítségével azt kapjuk, hogy y megfelelő értéke y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 .

Az y=2x^(2)-3 képletben az x argumentum által felvett bármely érték esetén csak egy függvényérték számítható ki, amely megfelel ennek. A függvény táblázatként ábrázolható:

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

A táblázat segítségével kitalálhatja, hogy a -1 argumentum értékéhez a -3 függvény értéke fog megfelelni; és az x=2 érték y=0-nak felel meg, és így tovább. Azt is fontos tudni, hogy a táblázatban minden argumentumérték csak egy függvényértéknek felel meg.

Grafikonok segítségével több függvény is beállítható. A gráf segítségével megállapítható, hogy a függvény melyik értéke korrelál egy adott x értékkel. Leggyakrabban ez a függvény hozzávetőleges értéke.

Páros és páratlan függvény

A funkció az páros funkció, amikor f(-x)=f(x) bármely x esetén a tartományból. Egy ilyen függvény szimmetrikus lesz az Oy tengelyre.

A funkció az páratlan függvény amikor f(-x)=-f(x) bármely x esetén a tartományban. Egy ilyen függvény szimmetrikus lesz az O (0;0) origóra.

A funkció az nem is, sem páratlanés felhívott általános funkciója amikor nincs szimmetriája a tengely vagy az origó körül.

A következő paritásfüggvényt vizsgáljuk:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) szimmetrikus definíciós tartománnyal az origóról. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Ezért az f(x)=3x^(3)-7x^(7) függvény páratlan.

Periodikus funkció

Az y=f(x) függvényt, amelynek tartományában f(x+T)=f(x-T)=f(x) igaz bármely x-re, az ún. periodikus függvény T \neq 0 periódussal.

A függvény grafikonjának megismétlése az abszcissza tengely bármely szakaszán, amelynek T hosszúsága van.

Azok az intervallumok, ahol a függvény pozitív, azaz f (x) > 0 - az abszcissza tengely szakaszai, amelyek megfelelnek a függvény grafikonjának az abszcissza tengelye feletti pontjainak.

f(x) > 0 be (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Rések, ahol a függvény negatív, azaz f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Funkció korlátozás

alulról határolt szokás hívni egy y=f(x), x \in X függvényt, ha létezik olyan A szám, amelyre az f(x) \geq A egyenlőtlenség fennáll bármely x \in X esetén.

Példa egy lent korlátos függvényre: y=\sqrt(1+x^(2)), mivel y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 bármely x esetén.

felülről határolt egy y=f(x), x \in X függvényt akkor hívjuk meg, ha létezik olyan B szám, amelyre az f(x) \neq B egyenlőtlenség teljesül bármely x \in X esetén.

Példa az alábbiakban behatárolt függvényre: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] mivel y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 bármely x \in [-1;1] esetén.

Korlátozott szokás hívni egy y=f(x), x \in X függvényt, ha létezik olyan K > 0 szám, amelyre a \left | f(x) \jobbra | \neq K bármely x \in X-ben.

Példa korlátos függvényre: y=\sin x az egész számegyenesen korlátos, mert \bal | \sin x \jobbra | \neq 1.

Növekvő és csökkentő funkció

Olyan függvényről szokás beszélni, amely a vizsgált intervallumon növekszik as funkció növelése amikor x nagyobb értéke az y=f(x) függvény nagyobb értékének felel meg. Innen kiderül, hogy a figyelembe vett intervallumból az x_(1) és x_(2) argumentum két tetszőleges értékét, valamint x_(1) > x_(2) , akkor y(x_(1)) lesz. > y(x_(2)) .

A vizsgált intervallumon csökkenő függvényt nevezzük csökkenő funkció amikor x nagyobb értéke az y(x) függvény kisebb értékének felel meg. Innen kiderül, hogy a figyelembe vett intervallumból az x_(1) és x_(2) argumentum két tetszőleges értékét, valamint x_(1) > x_(2) , akkor y(x_(1)) lesz.< y(x_{2}) .

Funkciógyökerek szokás megnevezni azokat a pontokat, amelyekben az F=y(x) függvény metszi az abszcissza tengelyt (ezeket az y(x)=0 egyenlet megoldása eredményeként kapjuk meg).

a) Ha egy páros függvény x > 0 esetén nő, akkor x esetén csökken< 0

b) Ha egy páros függvény csökken x > 0 esetén, akkor x esetén nő< 0

c) Ha egy páratlan függvény növekszik x > 0 esetén, akkor x esetén is nő< 0

d) Ha egy páratlan függvény x > 0 esetén csökken, akkor x esetén is csökken< 0

A funkció szélsőségei

Funkció minimum pontja y=f(x) szokás hívni egy olyan pontot x=x_(0) , amelyben a szomszédságában más pontok lesznek (kivéve az x=x_(0) pontot), és ezekre az f( x) > f (x_(0)) . y_(min) - a függvény kijelölése a pontban min.

Funkció maximum pontja y=f(x) szokás hívni egy olyan pontot x=x_(0) , amelyben a szomszédságában más pontok lesznek (kivéve az x=x_(0) pontot), majd az f(x) egyenlőtlenséget elégedett lesz velük< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Szükséges állapot

Fermat tétele szerint: f"(x)=0, akkor amikor az x_(0) pontban differenciálható f(x) függvény, akkor ebben a pontban extrémum jelenik meg.

Elegendő állapot

1. Amikor a derivált előjele pluszról mínuszra változik, akkor x_(0) lesz a minimumpont;
2. x_(0) - csak akkor lesz maximális pont, ha a derivált mínuszról pluszra változtatja az előjelet, amikor áthalad az x_(0) stacionárius ponton.

A függvény legnagyobb és legkisebb értéke az intervallumon

A számítás lépései:

1. Az f derivált keresése "(x) ;
2. Megkeressük a függvény stacionárius és kritikus pontjait, és kiválasztjuk az intervallumhoz tartozókat;
3. Az f(x) függvény értékei a szakasz stacionárius és kritikus pontjain és végein találhatók. Az eredmények közül a legkisebb lesz a függvény legkisebb értéke, és több - legnagyobb.