A polinomok kiterjesztése egy termék előállításához néha zavarónak tűnik. De ez nem olyan nehéz, ha lépésről lépésre megérti a folyamatot. A cikk részletezi a négyzetes trinomiális faktorizálását.

Sokan nem értik, hogyan lehet egy négyzetes hármastényezőt tizedelni, és miért van ez így. Elsőre úgy tűnhet, hogy ez egy haszontalan gyakorlat. De a matematikában semmit sem csinálnak csak úgy. Az átalakítás a kifejezés egyszerűsítése és a számítás kényelme érdekében szükséges.

egy polinom, amelynek alakja - ax² + bx + c, négyzetes trinomiálisnak nevezzük. Az "a" kifejezésnek negatívnak vagy pozitívnak kell lennie. A gyakorlatban ezt a kifejezést másodfokú egyenletnek nevezik. Ezért néha mást mondanak: hogyan lehet kibővíteni a másodfokú egyenletet.

Érdekes! A négyzetes polinomot a legnagyobb foka miatt nevezik - négyzetnek. És egy trinomiális - a 3 komponens miatt.

Néhány más típusú polinom:

• lineáris binomiális (6x+8);
• köbös négyszög (x³+4x²-2x+9).

Négyzetes trinom tényezõzése

Először is, a kifejezés egyenlő nullával, majd meg kell találnia az x1 és x2 gyök értékeit. Lehet, hogy nincsenek gyökerek, lehet egy vagy két gyökér. A gyökerek jelenlétét a diszkrimináns határozza meg. Képletét fejből kell tudni: D=b²-4ac.

Ha D eredménye negatív, akkor nincsenek gyökök. Ha pozitív, akkor két gyökér van. Ha az eredmény nulla, akkor a gyökér egy. A gyökereket is a képlet számítja ki.

Ha a diszkrimináns kiszámítása nullát eredményez, bármelyik képletet alkalmazhatja. A gyakorlatban a képletet egyszerűen lerövidítik: -b / 2a.

A diszkrimináns különböző értékeinek képletei eltérőek.

Ha D pozitív:

Ha D nulla:

Online számológépek

Van egy online számológép az interneten. Használható faktorizálásra. Egyes források lehetőséget adnak a megoldás lépésről lépésre való megismerésére. Az ilyen szolgáltatások segítenek a téma jobb megértésében, de meg kell próbálnia jól megérteni.

Hasznos videó: Négyzetes trinomiális faktorálás

Példák

Javasoljuk, hogy nézzen meg egyszerű példákat a másodfokú egyenlet faktorizálására.

1. példa

Itt jól látható, hogy az eredmény két x lesz, mert D pozitív. Ezeket be kell cserélni a képletbe. Ha a gyökök negatívak, az előjel a képletben megfordul.

Ismerjük a négyzetháromság faktorálásának képletét: a(x-x1)(x-x2). Az értékeket zárójelbe tesszük: (x+3)(x+2/3). A kitevőben nincs szám a kifejezés előtt. Ez azt jelenti, hogy van egység, le van engedve.

2. példa

Ez a példa világosan bemutatja, hogyan kell megoldani egy egyenletet, amelynek egy gyöke van.

Cserélje be a kapott értéket:

3. példa

Adott: 5x²+3x+7

Először is kiszámítjuk a diszkriminánst, mint az előző esetekben.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

A diszkrimináns negatív, ami azt jelenti, hogy nincsenek gyökerei.

Az eredmény kézhezvétele után érdemes kinyitni a zárójeleket és ellenőrizni az eredményt. Meg kell jelennie az eredeti trinomiálisnak.

Alternatív megoldás

Vannak, akik soha nem tudtak megbarátkozni a diszkriminánssal. Van egy másik módja is a négyzetes trinomiális faktorizálásának. A kényelem kedvéért a módszert egy példában mutatjuk be.

Adott: x²+3x-10

Tudjuk, hogy 2 zárójelben kell végeznünk: (_)(_). Ha a kifejezés így néz ki: x² + bx + c, akkor minden zárójel elejére x-et teszünk: (x_) (x_). A maradék két szám az a szorzat, amely "c"-t ad, azaz ebben az esetben -10. Hogy megtudja, melyek ezek a számok, csak a kiválasztási módszert használhatja. A helyettesített számoknak meg kell egyeznie a fennmaradó kifejezéssel.

Például a következő számok szorzata -10-et kap:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1) (x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nem.
2. (x-10) (x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nem.
3. (x-5) (x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nem.
4. (x-2) (x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Illik.

Tehát az x2+3x-10 kifejezés transzformációja így néz ki: (x-2)(x+5).

Fontos!Ügyeljen arra, hogy ne keverje össze a jeleket.

Egy összetett trinom felbontása

Ha "a" nagyobb egynél, akkor nehézségek kezdődnek. De nem minden olyan nehéz, mint amilyennek látszik.

A faktorizáláshoz először meg kell nézni, hogy lehetséges-e valamit kiszűrni.

Például a következő kifejezéssel: 3x²+9x-30. Itt a 3-as szám ki van véve a zárójelből:

3(x²+3x-10). Az eredmény a már ismert trinomikus. A válasz így néz ki: 3(x-2)(x+5)

Hogyan lehet felbontani, ha a négyzetes tag negatív? Ebben az esetben a -1 szám kikerül a zárójelből. Például: -x²-10x-8. A kifejezés ekkor így fog kinézni:

A séma alig különbözik az előzőtől. Csak néhány újdonság van. Tegyük fel, hogy a kifejezés adott: 2x²+7x+3. A választ is 2 zárójelbe írjuk, amit (_) (_) kell kitölteni. X a 2. zárójelbe van írva, és ami megmaradt az 1.-be. Így néz ki: (2x_)(x_). Ellenkező esetben az előző séma megismétlődik.

A 3-as szám adja a számokat:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Az egyenleteket a megadott számok behelyettesítésével oldjuk meg. Az utolsó lehetőség megfelelő. Tehát a 2x²+7x+3 kifejezés transzformációja így néz ki: (2x+1)(x+3).

Egyéb esetek

Egy kifejezést nem mindig lehet átalakítani. A második módszernél az egyenlet megoldása nem szükséges. De a kifejezések termékké alakításának lehetőségét csak a diszkrimináns segítségével ellenőrizzük.

Érdemes gyakorolni a másodfokú egyenletek megoldását, hogy ne okozzanak nehézséget a képletek használata.

Hasznos videó: egy trinomializáció

Következtetés

Bármilyen módon használhatod. De jobb, ha mindkettőt automatizmusra dolgozzuk fel. Azoknak is, akik életüket a matematikával akarják összekötni, meg kell tanulniuk, hogyan kell jól megoldani a másodfokú egyenleteket, és hogyan kell a polinomokat faktorokra bontani. Az összes következő matematikai téma erre épül.

Kapcsolatban áll

A polinomok faktorizálása egy azonos transzformáció, amelynek eredményeként egy polinom több tényező szorzatává alakul át - polinomokká vagy monomokká.

A polinomok faktorizálásának többféle módja van.

1. módszer. A közös tényező zárójelbe állítása.

Ez a transzformáció a szorzás eloszlási törvényén alapul: ac + bc = c(a + b). Az átalakítás lényege, hogy a két vizsgált komponensben kiemeljük a közös tényezőt, és „kirakjuk” a zárójelek közül.

Tényezőzzük a polinomot 28x 3 - 35x 4.

Megoldás.

1. Találunk közös osztót a 28x3 és 35x4 elemekre. 28-ra és 35-re 7 lesz; x 3 és x 4 - x 3 esetén. Más szóval, közös tényezőnk 7x3.

2. Az egyes elemeket olyan tényezők szorzataként ábrázoljuk, amelyek közül az egyik
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.

3. A közös tényező zárójelbe állítása
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).

2. módszer. Rövidített szorzóképletek használata. A módszer elsajátításának "mestersége" abban rejlik, hogy észrevegyük a kifejezésben a rövidített szorzás egyik képletét.

Tényezőzzük az x 6 - 1 polinomot.

Megoldás.

1. Erre a kifejezésre alkalmazhatjuk a négyzetek különbségi képletét. Ehhez x 6-ot (x 3) 2-ként, 1-et 1 2-ként ábrázoljuk, azaz. 1. A kifejezés a következő formában lesz:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).

2. A kapott kifejezésre alkalmazhatjuk a kockák összegének és különbségének képletét:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Így,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

3. módszer. Csoportosítás. A csoportosítási módszer abból áll, hogy egy polinom összetevőit úgy kombináljuk, hogy könnyen lehessen velük műveleteket végrehajtani (összeadás, kivonás, közös tényező kivétele).

Tényezősítjük az x 3 - 3x 2 + 5x - 15 polinomot.

Megoldás.

1. Csoportosítsd az összetevőket így: az 1. a 2., a 3. a 4.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. A kapott kifejezésben zárójelből kivesszük a közös tényezőket: az első esetben x 2, a második esetben az 5.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. Kivesszük az x - 3 közös tényezőt, és megkapjuk:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).

Így,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x 2 + 5).

Javítsuk meg az anyagot.

Tényező az a polinom 2 - 7ab + 12b 2 .

Megoldás.

1. A 7ab monomiumot 3ab + 4ab összegként ábrázoljuk. A kifejezés a következő formában lesz:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 .

Nyissuk ki a zárójeleket, és kapjuk meg:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 .

2. Csoportosítsd a polinom összetevőit így: az 1.-et a 2-essel és a 3-ast a 4-essel! Kapunk:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).

3. Vegyük ki a gyakori tényezőket:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) \u003d a (a - 3b) - 4b (a - 3b).

4. Vegyük ki a közös tényezőt (a - 3b):
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3b) ∙ (a – 4b).

Így,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a(a-3b)-4b(a-3b) =
= (а – 3 b) ∙ (а – 4b).

oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

A faktorizáláshoz szükséges a kifejezések egyszerűsítése. Erre azért van szükség, hogy tovább csökkenthessük. Egy polinom felbontásának akkor van értelme, ha foka nem alacsonyabb a másodpercnél. Az elsőfokú polinomot lineárisnak nevezzük.

A cikk feltárja a dekompozíció összes fogalmát, elméleti alapjait és a polinom faktorálásának módszereit.

Elmélet

1. tétel

Ha bármely n fokú polinom P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + alakú. . . + a 1 x + a 0, a legnagyobb fokú a n állandó tényezővel és n lineáris tényezővel (x - x i) , i = 1 , 2 , … , n , akkor P n (x) = a n szorzatként ábrázoljuk. (x - x n) (x - x n - 1) . . . · (x - x 1) , ahol x i , i = 1 , 2 , … , n - ezek a polinom gyökei.

A tétel az x i , i = 1 , 2 , … , n komplex típusú gyökökre és a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n komplex együtthatókra vonatkozik. Ez minden bomlás alapja.

Ha az a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n alakú együtthatók valós számok, akkor komplex gyökök fordulnak elő konjugált párokban. Például az x 1 és x 2 gyökök egy P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + alakú polinomhoz kapcsolódnak. . . + a 1 x + a 0 komplex konjugáltnak tekinthető, akkor a többi gyök valós, így azt kapjuk, hogy a polinom P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . (x - x 3) x 2 + p x + q, ahol x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Megjegyzés

A polinom gyökerei megismételhetők. Tekintsük az algebra tételének bizonyítását, Bezout tételének következményeit.

Az algebra alaptétele

2. tétel

Minden n fokú polinomnak van legalább egy gyöke.

Bezout tétele

A P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + alakú polinom felosztása után. . . + a 1 x + a 0 on (x - s) , akkor megkapjuk a maradékot, ami egyenlő az s pontban lévő polinomdal, akkor kapjuk

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , ahol Q n - 1 (x) egy n - 1 fokú polinom.

Következmény Bezout tételéből

Ha a P n (x) polinom gyökét s-nek tekintjük, akkor P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) . Ez a következtetés elegendő a megoldás leírására.

Négyzetes trinom tényezõzése

Az a x 2 + b x + c alakú négyzetes trinomit beszámíthatjuk lineáris tényezőkké. akkor azt kapjuk, hogy a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , ahol x 1 és x 2 gyök (komplex vagy valós).

Ez azt mutatja, hogy maga a dekompozíció a másodfokú egyenlet későbbi megoldására redukálódik.

1. példa

Tényezősítsünk egy négyzetháromtagot.

Megoldás

Meg kell találni a 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 egyenlet gyökereit. Ehhez meg kell találnia a diszkrimináns értékét a képlet szerint, majd D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9-et kapunk. Ezért nekünk ez van

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Innen azt kapjuk, hogy 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

Az ellenőrzés végrehajtásához ki kell nyitnia a zárójeleket. Ezután megkapjuk a forma kifejezését:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Ellenőrzés után az eredeti kifejezéshez jutunk. Azaz megállapíthatjuk, hogy a bővítés helyes.

2. példa

Tényezőzzünk egy 3 x 2 - 7 x - 11 alakú négyzet trinomit.

Megoldás

Azt kapjuk, hogy ki kell számítani az így kapott 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 alakú másodfokú egyenletet.

A gyökerek megtalálásához meg kell határoznia a diszkrimináns értékét. Ezt értjük

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816

Innen azt kapjuk, hogy 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .

3. példa

Tényezőzzük a polinomot 2 x 2 + 1 értékkel.

Megoldás

Most meg kell oldania a 2 x 2 + 1 = 0 másodfokú egyenletet, és meg kell találnia a gyökereit. Ezt értjük

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Ezeket a gyököket komplex konjugátumnak nevezzük, ami azt jelenti, hogy magát a dekompozíciót 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i alakban ábrázolhatjuk.

4. példa

Bontsa ki az x 2 + 1 3 x + 1 négyzetháromtagot.

Megoldás

Először meg kell oldania egy x 2 + 1 3 x + 1 = 0 alakú másodfokú egyenletet, és meg kell találnia a gyökereit.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i

Miután megszereztük a gyökereket, írunk

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

Megjegyzés

Ha a diszkrimináns értéke negatív, akkor a polinomok másodrendű polinomok maradnak. Ebből következik, hogy ezeket nem bontjuk lineáris tényezőkre.

A másodiknál ​​magasabb fokszámú polinom faktorálási módszerei

A dekompozíció univerzális módszert feltételez. Az esetek többsége Bezout tételének egy következményén alapul. Ehhez ki kell választani az x 1 gyök értékét, és csökkenteni kell a fokát úgy, hogy egy polinomot osztunk 1-gyel, és osztunk az (x - x 1) -vel. Az eredményül kapott polinomnak meg kell találnia az x 2 gyököt, és a keresési folyamat ciklikus, amíg teljes kiterjesztést nem kapunk.

Ha a gyökér nem található, akkor más faktorizációs módszereket használnak: csoportosítás, további kifejezések. Ez a témakör nagyobb hatványú és egész együtthatójú egyenletek megoldását feltételezi.

A közös tényezőt zárójelből kivéve

Tekintsük azt az esetet, amikor a szabad tag nullával egyenlő, akkor a polinom alakja P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + lesz. . . + egy 1x.

Látható, hogy egy ilyen polinom gyöke egyenlő lesz x 1 \u003d 0-val, akkor a polinomot P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 + kifejezés formájában ábrázolhatja. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

Ezt a módszert úgy tekintjük, mint a közös tényezőt a zárójelekből.

5. példa

Tényezőzzük a harmadfokú polinomot 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Megoldás

Látjuk, hogy x 1 \u003d 0 az adott polinom gyöke, akkor a teljes kifejezésből zárójelbe tehetjük x-et. Kapunk:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Térjünk tovább a 4 x 2 + 8 x - 1 négyzetháromság gyökeinek megkeresésére. Keressük a diszkriminánst és a gyökereket:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Aztán ebből az következik

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Először vegyünk egy felbontási módszert, amely P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + alakú egész együtthatókat tartalmaz. . . + a 1 x + a 0 , ahol a legnagyobb hatvány együtthatója 1 .

Ha a polinomnak egész gyökei vannak, akkor ezeket a szabad tag osztóinak tekintjük.

6. példa

Bontsa ki az f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 kifejezést.

Megoldás

Fontolja meg, hogy vannak-e egész gyökök. Ki kell írni a szám osztóit - 18. Azt kapjuk, hogy ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18. Ebből következik, hogy ennek a polinomnak egész gyökei vannak. A Horner-séma szerint ellenőrizheti. Nagyon kényelmes, és lehetővé teszi a polinom tágulási együtthatóinak gyors megszerzését:

Ebből következik, hogy x \u003d 2 és x \u003d - 3 az eredeti polinom gyökerei, amely a következő alak szorzataként ábrázolható:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Rátérünk egy x 2 + 2 x + 3 alakú négyzetháromtag felbontására.

Mivel a diszkrimináns negatív, ez azt jelenti, hogy nincsenek valódi gyökerek.

Válasz: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Megjegyzés

A Horner-séma helyett megengedett a gyökérkiválasztás és a polinom polinomokkal való osztása. Nézzük tovább a P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + alakú egész együtthatókat tartalmazó polinom kiterjesztését. . . + a 1 x + a 0, amelyek közül a legmagasabb nem egyenlő eggyel.

Ez az eset tört racionális törtek esetén történik.

7. példa

Tényezőzés f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Megoldás

Meg kell változtatni az y = 2 x változót, át kell lépni egy polinomra, amelynek együtthatója a legmagasabb fokon 1. Először meg kell szorozni a kifejezést 4-gyel. Ezt értjük

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Ha a kapott g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 formájú függvénynek egész gyöke van, akkor a lelet a szabad tag osztói közé tartozik. A bejegyzés így fog kinézni:

±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±12,±15,±20,±30,±60

Folytassuk a g (y) függvény számítását ezeken a pontokon, hogy eredményül nullát kapjunk. Ezt értjük

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (-5) = (-5) 3 + 19 (-5) 2 + 82 (-5) + 60

Azt kapjuk, hogy y \u003d - 5 az y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 alakú egyenlet gyöke, ami azt jelenti, hogy x \u003d y 2 \u003d - 5 2 az eredeti függvény gyöke.

8. példa

El kell osztani egy oszloppal 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 x + 5 2-vel.

Megoldás

Írunk és megkapjuk:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Az osztók ellenőrzése sok időt vesz igénybe, ezért jövedelmezőbb az eredményül kapott x 2 + 7 x + 3 alakú négyzethármas faktorizálása. A nullával való egyenlítéssel megtaláljuk a diszkriminánst.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Ebből következik tehát

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Mesterséges trükkök polinom faktorálásakor

A racionális gyökök nem minden polinomban rejlenek. Ehhez speciális módszereket kell alkalmaznia a tényezők megtalálásához. De nem minden polinom bontható fel vagy ábrázolható szorzatként.

Csoportosítási módszer

Vannak esetek, amikor egy polinom tagjait csoportosíthatja, hogy megtaláljon egy közös tényezőt, és kivegye a zárójelekből.

9. példa

Tényezőzzük az x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 polinomot.

Megoldás

Mivel az együtthatók egész számok, ezért a gyökök feltehetően egészek is lehetnek. Az ellenőrzéshez vesszük az 1 , - 1 , 2 és - 2 értékeket, hogy kiszámítsuk a polinom értékét ezeken a pontokon. Ezt értjük

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Ez azt mutatja, hogy nincsenek gyökerek, másfajta bontási és megoldási módszert kell alkalmazni.

Csoportosítás szükséges:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Az eredeti polinom csoportosítása után két négyzetes trinom szorzataként kell ábrázolni. Ehhez faktorizálást kell végeznünk. azt kapjuk

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Megjegyzés

A csoportosítás egyszerűsége nem jelenti azt, hogy elég könnyű a kifejezések kiválasztása. Ennek megoldására nincs határozott mód, ezért speciális tételek és szabályok alkalmazása szükséges.

10. példa

Tényezőzzük az x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 polinomot.

Megoldás

Az adott polinomnak nincs egész gyöke. A kifejezéseket csoportosítani kell. Ezt értjük

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

A faktoring után ezt kapjuk

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2-5 2

A rövidített szorzás és a Newton-binomiális képletek használata a polinom faktorizálására

A megjelenés gyakran nem mindig egyértelművé teszi, hogy a bomlás során melyik utat kell használni. A transzformációk elvégzése után Pascal-háromszögből álló egyenest építhetünk, különben Newton-binomiálisnak nevezzük.

11. példa

Tényezőzzük az x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 polinomot.

Megoldás

A kifejezést formára kell konvertálni

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

A zárójelben lévő összeg együtthatóinak sorrendjét az x + 1 4 kifejezés jelzi.

Tehát van x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .

A négyzetek különbségének alkalmazása után azt kapjuk

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Tekintsük a második zárójelben lévő kifejezést. Egyértelmű, hogy ott nincsenek lovak, ezért újra kell alkalmazni a négyzetek különbségének képletét. Olyan kifejezést kapunk, mint

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

12. példa

Tényező x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Megoldás

Változtassuk meg a kifejezést. Ezt értjük

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Alkalmazni kell a kockák különbségének rövidített szorzásának képletét. Kapunk:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Változó cseréjének módszere polinom faktorálásakor

Változó megváltoztatásakor a fokozat csökken, a polinom pedig faktorizálódik.

13. példa

Tényezőzzünk egy x 6 + 5 x 3 + 6 alakú polinomot.

Megoldás

A feltétel alapján egyértelmű, hogy y = x 3 pótlásra van szükség. Kapunk:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

A kapott másodfokú egyenlet gyöke y = - 2 és y = - 3, akkor

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Alkalmazni kell a kockaösszeg rövidített szorzásának képletét. A következő forma kifejezéseit kapjuk:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Azaz elértük a kívánt bővítést.

A fent tárgyalt esetek segítenek egy polinom figyelembevételében és faktorálásában különféle módokon.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Ez a feladat általában kreatív megközelítést jelent, mivel nincs univerzális megoldás a megoldására. Próbáljunk azonban néhány tippet adni.

Az esetek túlnyomó többségében egy polinom faktorokra bontása a Bezout-tétel következményén alapul, azaz megkeresik vagy kiválasztják a gyökért, és a polinom fokát eggyel csökkentik osztással. A kapott polinom gyökérét keresi, és a folyamatot a teljes kibontásig megismétli.

Ha a gyökér nem található, akkor speciális bontási módszereket alkalmazunk: a csoportosítástól a további, egymást kizáró kifejezések bevezetéséig.

A további bemutatás a magasabb fokú egyenletek egész együtthatós megoldásának készségére épül.

A közös tényező zárójelbe állítása.

Kezdjük a legegyszerűbb esettel, amikor a szabad tag nullával egyenlő, vagyis a polinom alakja .

Nyilvánvaló, hogy egy ilyen polinom gyöke , azaz a polinom ábrázolható így.

Ez a módszer nem más, mint a közös tényezőt zárójelből kivéve.

Példa.

Bontson fel egy harmadfokú polinomot faktorokra.

Megoldás.

Nyilvánvaló, hogy ez a polinom gyöke, azaz x zárójelbe tehető:

Keresse meg a négyzetes trinom gyökereit

És így,

Lap teteje

Racionális gyökökkel rendelkező polinom faktorizálása.

Először nézzük meg a polinom kiterjesztésének módszerét a alakú egész együtthatókkal, az együttható a legmagasabb fokon eggyel egyenlő.

Ebben az esetben, ha a polinomnak egész gyökei vannak, akkor ezek a szabad tag osztói.

Példa.

Megoldás.

Nézzük meg, hogy vannak-e egész gyökök. Ehhez kiírjuk a szám osztóit -18 : . Vagyis ha a polinomnak egész gyökei vannak, akkor azok a kiírt számok közé tartoznak. Ellenőrizzük ezeket a számokat egymás után Horner séma szerint. Kényelme abban is rejlik, hogy a végén megkapjuk a polinom tágulási együtthatóit is:

vagyis x=2És x=-3 az eredeti polinom gyökerei, és szorzatként ábrázolható:

Marad a négyzetes trinomiális bővítése.

Ennek a trinomiálisnak a diszkriminánsa negatív, ezért nincs valódi gyökere.

Válasz:

Megjegyzés:

Horner séma helyett használhatjuk a gyök kiválasztását, majd a polinom polinommal való ezt követő osztását.

Tekintsük most egy olyan polinom kiterjesztését, amelynek egész együtthatói a formája, és az együttható a legmagasabb fokon nem egyenlő eggyel.

Ebben az esetben a polinomnak lehetnek töredékes racionális gyökei.

Példa.

Tényezősítse a kifejezést.

Megoldás.

A változó megváltoztatásával y=2x, a legmagasabb fokon eggyel egyenlő együtthatójú polinomhoz jutunk. Ehhez először megszorozzuk a kifejezést 4 .

Ha a kapott függvénynek egész gyökei vannak, akkor azok a szabad tag osztói közé tartoznak. Írjuk fel őket:

Számítsa ki egymás után a függvény értékeit g(y) ezeken a pontokon a nulla eléréséig.

vagyis y=-5 a gyökér , ezért az eredeti függvény gyökere. Végezzük el a polinom oszlopával (sarokkal) való osztását binomimmal.

És így,

Nem tanácsos a fennmaradó osztók ellenőrzését folytatni, mivel egyszerűbb a kapott négyzetes trinomit tizedelni.

Ennélfogva,

Ismeretlen polinomok. A tétel a polinom eloszlásáról a dobutokban ismeretlen. A polinom kanonikus elrendezése.

A polinom egy kifejezés, amely monomiumok összegéből áll. Ez utóbbiak egy állandó (szám) és a kifejezés gyökének (vagy gyökeinek) szorzata a k hatványhoz. Ebben az esetben k fokú polinomról beszélünk. Egy polinom felbontása magában foglalja a kifejezés transzformációját, amelyben a tagokat faktorok helyettesítik. Tekintsük az effajta átalakítás végrehajtásának főbb módjait.

Polinom kiterjesztésének módszere egy közös tényező kinyerésével

Ez a módszer az elosztási törvény törvényein alapul. Tehát mn + mk = m * (n + k).

• Példa: bővíteni 7y 2 + 2uy és 2m 3 – 12m 2 + 4lm.

7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u),

2 m 3 - 12 m 2 + 4 lm = 2 m (m 2 - 6 m + 2 l).

Előfordulhat azonban, hogy az egyes polinomokban szükségszerűen jelen lévő faktor nem mindig található meg, így ez a módszer nem univerzális.

Rövidített szorzási képleteken alapuló polinombővítési módszer

A rövidített szorzóképletek tetszőleges fokú polinomra érvényesek. Általában a transzformációs kifejezés így néz ki:

u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), ahol k képviselője természetes számok.

A gyakorlatban leggyakrabban a második és harmadik rendű polinomok képleteit használják:

u 2 - l 2 \u003d (u - l) (u + l),

u 3 - l 3 \u003d (u - l) (u 2 + ul + l 2),

u 3 + l 3 = (u + l)(u 2 - ul + l 2).

• Példa: bővíteni 25p 2 - 144b 2 és 64m 3 - 8l 3.

25p 2 - 144b 2 \u003d (5p - 12b) (5p + 12b),

64m 3 - 8l 3 = (4m) 3 - (2l) 3 = (4m - 2l)((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m - 2l) (16m 2 + 8ml + 4l 2 ).

Polinomfelbontási módszer - kifejezések csoportosítása

Ez a módszer valamilyen módon visszhangozza a közös tényező származtatásának technikáját, de vannak eltérései. A közös tényező elkülönítése előtt különösen érdemes csoportosítani a monomokat. A csoportosítás az asszociatív és kommutatív törvények szabályai alapján történik.

A kifejezésben szereplő összes monom csoportra van osztva, amelyek mindegyikéből kiveszünk egy közös értéket, így a második tényező minden csoportban azonos lesz. Általában egy ilyen dekompozíciós módszert kifejezésként lehet ábrázolni:

pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),

pl + ks + kl + ps = (p + k)(l + s).

• Példa: bővíteni 14mn + 16ln - 49m - 56l.

14 perc + 16 ln - 49 m - 56 l = (14 p - 49 m) + (16 ln - 56 l) = 7 m * (2n - 7) + 8l * (2n - 7) = (7 m + 8 l) (2n - 7).

Polinomiális bomlási módszer - Full Square Formation

Ez a módszer az egyik leghatékonyabb a polinomiális bontás során. A kezdeti szakaszban meg kell határozni azokat a monomokat, amelyek „hajthatók” a különbség vagy az összeg négyzetébe. Ehhez a következő összefüggések egyikét használjuk:

(p - b) 2 \u003d p 2 - 2pb + b 2,

• Példa: bontsa ki az u 4 + 4u 2 – 1 kifejezést.

Monomjai közül kiemeljük azokat a kifejezéseket, amelyek egy teljes négyzetet alkotnak: u 4 + 4u 2 - 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 - 4 - 1 =

\u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 4 - 1 \u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 5.

Fejezze be a transzformációt a rövidített szorzás szabályai szerint: (u 2 + 2) 2 - 5 = (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

Hogy. u 4 + 4u 2 - 1 = (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).