Alkalmazás

Az oldalon online korlátozások a diákok és iskolások számára, hogy teljes mértékben konszolidálhassák az általuk lefedett anyagot. Hogyan lehet megtalálni a határt online az erőforrásunk segítségével? Ezt nagyon egyszerű megtenni, csak az eredeti függvényt kell helyesen megírni az x változóval, ki kell választani a kívánt végtelent a választóból, és rá kell kattintani a „Megoldás” gombra. Abban az esetben, ha egy függvény határértékét egy x pontban kell kiszámítani, akkor ennek a pontnak a számértékét kell megadni. A limit megoldására pillanatok alatt, más szóval - azonnal választ kap. Ha azonban hibás adatokat ad meg, a szolgáltatás automatikusan értesíti Önt a hibáról. Javítsa ki a korábban bevezetett függvényt, és kapja meg a határ megfelelő megoldását. A határértékek megoldásához minden lehetséges technikát felhasználnak, különösen gyakran használják a L'Hopital módszerét, mivel univerzális, és gyorsabban ad választ, mint a függvény határértékének kiszámításának más módszerei. Érdekes olyan példákat nézni, amelyekben a modul jelen van. Egyébként erőforrásunk szabályai szerint egy modult a matematikában a klasszikus függőleges sáv „|” jelöl. vagy Abs(f(x)) a latin abszolútumból. Gyakran egy határérték megoldása szükséges egy számsorozat összegének kiszámításához. Mint mindenki tudja, csak helyesen kell kifejezni a vizsgált sorozat részösszegét, és akkor minden sokkal egyszerűbb, hála ingyenes weboldal szolgáltatásunknak, hiszen a részösszeg határának kiszámítása a numerikus sorozat végső összege. Általánosságban elmondható, hogy a határig való áthaladás elmélete minden matematikai elemzés alapfogalma. Minden pontosan a határok átjárásán alapul, vagyis a korlátok megoldása a matematikai elemzés tudományának alapja. Az integrációban a határértékre való áthaladás is használatos, amikor az integrált az elmélet szerint korlátlan számú terület összegeként ábrázoljuk. Ahol valami korlátlan számú, vagyis az objektumok számának a végtelenre való hajlama, ott mindig a határátmenetek elmélete lép életbe, és általánosan elfogadott formájában ez a mindenki által ismert korlátok megoldása. A limitek online megoldása az oldalon egy egyedülálló szolgáltatás, amellyel valós időben pontos és azonnali választ kaphat. Egy függvény határértéke (a függvény határértéke) egy adott pontban, a függvény definíciós tartományának határpontja az az érték, amelyre a kérdéses függvény értéke hajlik, ahogy argumentuma egy adott ponthoz. pont. Nem ritka, sőt nagyon gyakran mondjuk, hogy a matematikai elemzés tanulmányozása során a diákoknak felmerül a határértékek online megoldásának kérdése. Ha azon tűnődünk, hogy egy limitet online, részletes megoldással csak speciális esetekben oldjunk meg, világossá válik, hogy egy összetett problémával nem lehet megbirkózni limitkalkulátor nélkül. A határértékek megoldása szolgáltatásunkkal a pontosság és az egyszerűség garanciája A függvény határértéke a sorozat határértéke fogalmának általánosítása: kezdetben a függvény határértékét egy pontban egy sorozat határértékeként értelmezték. egy függvény értéktartományának elemei, amelyek egy függvény definíciós tartományának elemsorozatának pontjainak képeiből állnak össze, amelyek egy adott ponthoz konvergálnak (határérték, amelyen figyelembe veszik); ha létezik ilyen határ, akkor a függvényről azt mondjuk, hogy konvergál a megadott értékhez; ha nem létezik ilyen határ, akkor a függvényről azt mondjuk, hogy divergál. A limitek online megoldása egyszerű válasz a felhasználók számára, feltéve, hogy tudják, hogyan oldják meg a limiteket online a webhely használatával. Maradjunk koncentráltak, és ne hagyjuk, hogy a hibák elégtelen osztályzatok formájában gondot okozzanak nekünk. Mint minden online korlátozási megoldás, az Ön problémája is kényelmes és érthető formában, részletes megoldással kerül bemutatásra, a megoldás megszerzéséhez szükséges összes szabály és előírás betartásával. Leggyakrabban egy függvény határának meghatározása a szomszédságok nyelvén fogalmazódik meg. Itt egy függvény határait csak azokban a pontokban vesszük figyelembe, amelyek korlátozzák a függvény definíciós tartományát, vagyis egy adott pont minden környezetében pont ennek a függvénynek a definíciós tartományából vannak pontok. Ez lehetővé teszi, hogy beszéljünk a függvény argumentumának egy adott pontra való hajlamáról. De a definíciós tartomány határpontjának nem kell magához a definíciós tartományhoz tartoznia, és ezt a határ megoldásával bizonyítjuk: például figyelembe lehet venni egy függvény határát annak a nyitott intervallumnak a végén, amelyen a függvény definiálva van. Ebben az esetben maguk az intervallum határai nem szerepelnek a definíciós tartományban. Ebben az értelemben egy adott pont szúrt környezeteinek rendszere egy ilyen halmazbázis speciális esete. A limitek online megoldása részletes megoldással valós időben, képletek felhasználásával, kifejezetten meghatározott formában történik, így időt, de legfőképpen pénzt takaríthat meg, hiszen ezért nem kérünk kártérítést. Ha egy függvény definíciós tartományának egy pontján van határ, és ennek a határnak a megoldása megegyezik a függvény értékével, akkor a függvény egy ilyen ponton folytonosnak bizonyul. Weboldalunkon a limitek megoldása online elérhető a nap huszonnégy órájában, minden nap és percenként, a limitkalkulátor használata nagyon fontos, és a lényeg, hogy minden alkalommal használd, amikor tudásod próbára van szükséged. A diákok egyértelműen profitálnak ebből a funkcióból. A határszámítás pusztán elmélet felhasználásával és alkalmazásával nem mindig lesz ilyen egyszerű, ahogy azt az ország egyetemeinek matematika tanszékeinek tapasztalt hallgatói mondják. A tény tény marad, ha van cél. A határértékekre talált megoldás jellemzően nem alkalmazható helyileg a probléma megfogalmazására. Egy diák örülni fog, amint felfedez egy határérték-kalkulátort az interneten, és nem csak saját maga, hanem mindenki számára ingyenesen elérhető. A célt általános értelemben matematikának kell tekinteni. Ha rákérdez az interneten, hogyan találja meg részletesen online a limitet, akkor a kérés hatására megjelenő oldalak tömege nem fog úgy segíteni, ahogy mi. A felek közötti különbséget megszorozzuk az incidens egyenértékűségével. Egy függvény eredeti legitim határát magának a matematikai probléma megfogalmazásának kell meghatároznia. Hamiltonnak igaza volt, de érdemes figyelembe venni kortársai kijelentéseit. A határok online kiszámítása korántsem olyan nehéz feladat, mint amilyennek első pillantásra tűnhet valakinek... Hogy ne törjük meg a megingathatatlan elméletek igazságát. Visszatérve a kiinduló helyzethez, gyorsan, hatékonyan és szépen formázott formában kell kiszámítani a határértéket. Lehetséges lenne másként? Ez a megközelítés nyilvánvaló és indokolt. A limitkalkulátor az ismeretek gyarapítására, a házi feladatírás minőségének javítására és a tanulók általános hangulatának emelésére jött létre, így nekik megfelelő lesz. Csak a lehető leggyorsabban kell gondolkodnod, és az elme győzni fog. Az online interpolációs kifejezések korlátairól való kifejezetten beszélni nagyon kifinomult tevékenység a szakmájukban dolgozó szakemberek számára. Megjósoljuk a nem tervezett különbségek rendszerének arányát a tér pontjaiban. És ismét a probléma a bizonytalanságra redukálódik, azon a tényen alapulva, hogy a függvény határa a végtelenben és egy adott x-tengely lokális pontjának bizonyos környezetében létezik a kezdeti kifejezés affin transzformációja után. Könnyebb lesz elemezni a pontok emelkedését a síkon és a tér tetején. Általánosságban elmondható, hogy a matematikai képlet levezetéséről sem a valóságban, sem az elméletben nem esik szó, így az online határérték-kalkulátort ilyen értelemben rendeltetésszerűen használják. A határvonal online meghatározása nélkül nehéznek találom a további számításokat a görbe vonalú tér tanulmányozása területén. Nem lenne egyszerűbb megtalálni a helyes választ. Nem lehet határt számolni, ha egy adott térpont előre bizonytalan? Cáfoljuk meg a kutatási területen túlmutató válaszok létezését. A határértékek megoldása a matematikai elemzés szempontjából a tengely pontsorozatának vizsgálatának kezdeteként tárgyalható. Lehet, hogy a számítás puszta ténye nem megfelelő. A számok végtelen sorozatként ábrázolhatók, és a kezdeti jelöléssel azonosíthatók, miután az elméletnek megfelelően online részletesen megoldottuk a határértéket. Indokolt a legjobb ár-érték arány mellett. A funkciókorlát eredménye, mint nyilvánvaló hiba egy helytelenül megfogalmazott problémában, eltorzíthatja az instabil rendszer valódi mechanikai folyamatának elképzelését. Az a képesség, hogy a jelentést közvetlenül a látómezőben fejezzük ki. Ha egy online határértéket társítunk egy egyoldalú határérték hasonló jelölésével, jobb elkerülni annak kifejezett kifejezését redukciós képletekkel. A feladat arányos végrehajtásának megkezdése mellett. Kibontjuk a polinomot, miután kiszámítottuk az egyoldali határértéket, és a végtelenbe írtuk. Az egyszerű gondolatok valódi eredményhez vezetnek a matematikai elemzésben. A határok egyszerű megoldása gyakran a végrehajtott, egymással szemben álló matematikai illusztrációk eltérő egyenlőségére vezethető vissza. Vonalak és Fibonacci számok fejtették meg online a limitkalkulátort, ettől függően rendelhetsz korlátlan számítást és talán háttérbe szorul a bonyolultság. A háromdimenziós tér egy szeletében lévő gráf síkon történő kibontása folyamatban van. Ez felvetette a különböző nézetek szükségességét egy összetett matematikai problémával kapcsolatban. Az eredmény azonban nem fog sokáig várni. A növekvő szorzat megvalósításának folyamatban lévő folyamata azonban eltorzítja a sorok terét, és online felírja a határt, hogy megismerkedjen a probléma megfogalmazásával. A problémák felhalmozódásának folyamatának természetessége meghatározza a matematikai tudományágak minden területének ismerete szükségességét. Egy kiváló határszámítógép nélkülözhetetlen eszközzé válik a képzett hallgatók kezében, és értékelni fogják minden előnyét a digitális haladás analógjaival szemben. Az iskolákban valamiért máshogy hívják az online limiteket, mint az intézetekben. A függvény értéke nőni fog, ha az argumentum megváltozik. L'Hopital azt is mondta, hogy egy függvény határának megtalálása csak a siker fele; a problémát a logikus végkifejletig kell hozni, és a választ kiterjesztett formában kell bemutatni. A valóság adekvát a tények jelenlétéhez az ügyben. Az online határérték a matematikai tudományágak történetileg fontos szempontjaihoz kapcsolódik, és a számelmélet tanulmányozásának alapját képezi. A matematikai képletekben szereplő oldalkódolás elérhető a böngészőben a kliens nyelvén. Hogyan számítsuk ki a határértéket egy elfogadható jogi módszerrel, anélkül, hogy a függvényt az x tengely irányába kényszerítenék. Általánosságban elmondható, hogy a tér valósága nem csak egy függvény konvexitásától vagy konkávságától függ. Távolítson el minden ismeretlent a feladatból, és a korlátok megoldása a rendelkezésre álló matematikai erőforrások legkisebb ráfordítását eredményezi. A jelzett probléma megoldása száz százalékosan javítja a funkcionalitást. Az így kapott matematikai elvárás részletesen feltárja online a határt a legkisebb szignifikáns speciális aránytól való eltérés tekintetében. Három nap telt el azután, hogy a matematikai döntés megszületett a tudomány mellett. Ez egy igazán hasznos tevékenység. Indoklás nélkül az online limit hiánya a helyzeti problémák megoldásának általános megközelítésében eltérést jelent. A 0/0-s bizonytalansággal rendelkező egyoldali limit jobb elnevezése a jövőben igény lesz. Egy erőforrás nemcsak szép és jó lehet, de hasznos is lehet, ha ki tudja számítani a határt. A nagy tudós diákként a tudományos dolgozat megírásának függvényeit kutatta. Tíz év telt el. Különféle árnyalatok előtt érdemes egyértelműen megjegyezni a matematikai elvárást annak érdekében, hogy a függvény határa a fők divergenciáját kölcsönözze. A megrendelt próbamunkára reagáltak. A matematikában a tanításban kivételes helyet foglal el, furcsa módon, az online határértékek tanulmányozása kölcsönösen kizáró harmadik felek kapcsolataival. Ahogy a hétköznapi esetekben megtörténik. Nem kell reprodukálni semmit. A hallgatók matematikai elméletekhez való hozzáállásának elemzése után a határok megoldását alaposan a végső szakaszra hagyjuk. Ez a következő jelentése, tanulmányozd a szöveget. A fénytörés egyértelműen meghatározza a matematikai kifejezést, mint a kapott információ lényegét. az online határ a többirányú vektorok matematikai relativitási rendszerének valódi helyzetének meghatározásának lényege. Ebben az értelemben a saját véleményemet akarom kifejezni. Mint az előző feladatnál. A megkülönböztető online határ részletesen kiterjeszti befolyását a programelemzés szekvenciális tanulmányozásának matematikai nézetére a tanulmányi területen. Az elmélet összefüggésében a matematika valami magasabb rendű, mint a tudomány. A hűséget tettek mutatják. Továbbra is lehetetlen szándékosan megszakítani az egymást követő számok láncát, amelyek elkezdik felfelé mozgásukat, ha a határértéket rosszul számítják ki. A kétoldalas felület természetes formában, teljes méretben fejeződik ki. A matematikai elemzés feltárásának képessége egy függvény határát egy adott pontban epszilon szomszédságként funkcionális sorozatokra korlátozza. A függvényelmélettel ellentétben a számítási hibák nem kizártak, de ezt a helyzet biztosítja. A határértékkel való osztás online probléma változó divergencia függvénnyel írható fel egy nemlineáris rendszer gyorsszorzatára háromdimenziós térben. Egy triviális eset a működés alapja. Nem kell diáknak lenni ahhoz, hogy ezt az esetet elemezze. A folyamatban lévő számítás mozzanatainak összessége, kezdetben a határértékek megoldása az ordináta tengely mentén haladó teljes integrált rendszer működéseként kerül meghatározásra több számértéken. Alapértéknek a lehető legkisebb matematikai értéket vesszük. A következtetés nyilvánvaló. A síkok közötti távolság elősegíti az online határok elméletének bővítését, mivel a szubpoláris szubpoláris szignifikancia-aspektus divergens számítási módszerének alkalmazása nem hordoz magától értetődő jelentést. Kiváló választás, ha a határérték kalkulátor a szerveren található, akkor ezt úgy lehet venni, ahogy van, anélkül, hogy torzítaná a területek felületváltozásának jelentőségét, különben a linearitás problémája felértékelődik. A teljes matematikai elemzés feltárta a rendszer instabilitását és leírását a pont legkisebb szomszédságában. Mint egy függvény bármely határa az ordináták és abszciszák metszéstengelye mentén, lehetőség van az objektumok számértékeinek bezárására valamilyen minimális szomszédságban a kutatási folyamat funkcionalitásának eloszlása ​​szerint. Írjuk fel a feladatot pontról pontra. Az írás szakaszaira oszlik. Azon akadémiai állításokat, miszerint a határ kiszámítása valóban nehéz vagy egyáltalán nem könnyű, alátámasztja kivétel nélkül valamennyi egyetemi és posztgraduális hallgató matematikai nézeteinek elemzése. Az esetleges köztes eredmények nem várnak sokáig. A fenti határértéket online tanulmányozzuk részletesen az objektumok rendszerkülönbségének abszolút minimumán, amelyen túl a matematika tér linearitása torzul. A terület nagyobb területi szegmentálását a hallgatók nem használják a többszörös nézeteltérés kiszámításához, miután rögzítették az online határérték-kalkulátort a kivonásokhoz. A kezdetek után megtiltjuk a diákoknak, hogy matematikai térkörnyezet tanulmányozására vonatkozó feladatokat dolgozzanak át. Mivel a függvény határértékét már megtaláltuk, építsük fel a vizsgálatának grafikonját a síkon. Különleges színnel emeljük ki az ordináta tengelyeit és mutassuk meg a vonalak irányát. Stabilitás van. A válasz írása során sokáig jelen van a bizonytalanság. Számítsa ki egy függvény határértékét egy pontban egyszerűen a végtelen határértékei közötti különbség elemzésével a kezdeti feltételek mellett. Ez a módszer nem ismert minden felhasználó számára. Matematikai elemzésre van szükségünk. A korlátok megoldása generációk fejében halmoz fel tapasztalatokat hosszú évekre. Lehetetlen nem bonyolítani a folyamatot. Minden generáció diákja felelős a következtetésért. A fentiek mindegyike megváltozhat, ha nincs rögzítő argumentum a függvények helyzetére vonatkozóan egy bizonyos pont körül, amely a számítási teljesítmény különbsége tekintetében elmarad a határszámítógépektől. Vizsgáljuk meg a függvényt, hogy megkapjuk a kapott választ. A következtetés nem egyértelmű. Miután a matematikai kifejezések transzformálása után az implicit függvényeket kizártuk a teljes számból, az utolsó lépés a határok online helyes és nagy pontosságú megtalálása maradt. A kiadott határozat elfogadhatósága ellenőrzéshez kötött. A folyamat folytatódik. A szekvenciát a függvényektől elszigetelten elhelyezve, és hatalmas tapasztalataikat felhasználva a matematikusoknak ki kell számítaniuk azt a határt, amely igazolja a kutatás helyes irányát. Egy ilyen eredményhez nincs szükség elméleti erősítésre. Változtassuk meg a számok arányát az x tengely egy nem nullától eltérő pontjának bizonyos környezetében az online határérték-számítógép változó térbeli dőlésszöge irányába a matematikai írott feladat alatt. Kössünk össze két területet a térben. A megoldók közötti nézeteltérés abban a kérdésben, hogy egy függvény határa miként nyeri el az egyoldalú értékek tulajdonságait a térben, nem maradhat figyelmen kívül a tanulók fokozott felügyelt teljesítménye előtt. A matematika online határértékének iránya az egyik legkevésbé vitatott álláspontot foglalta el éppen ezeknek a határoknak a számításának bizonytalansága tekintetében. Az egyenlő szárú háromszögek és a kör három sugarú oldalával rendelkező kockák magasságának online határérték-kalkulátora segít a tanulóknak fejből tanulni a tudomány korai szakaszában. Bízzuk a tanulók lelkiismeretére, hogy egy működő matematikai gyengített rendszer vizsgálatának határait a kutatási sík oldaláról oldják meg. A hallgató számelméletről alkotott véleménye kétértelmű. Mindenkinek megvan a maga véleménye. A matematika tanulmányozásának helyes iránya segít a valódi értelemben vett határ kiszámításában, ahogy az a fejlett országok egyetemein történik. A kotangenst a matematikában határérték-számítógépként számítják ki, és ez két másik elemi trigonometrikus függvény, nevezetesen az argumentum koszinuszának és szinuszának az aránya. Ez a megoldás a szegmensek felezésére. Nem valószínű, hogy egy eltérő megközelítés az elmúlt pillanat javára oldja meg a helyzetet. Hosszan beszélhetünk arról, hogy nagyon nehéz és haszontalan az online határt részletesen, megértés nélkül megoldani, de ez a megközelítés inkább a tanulók belső fegyelmezettségét javítja.

A határok elmélete a matematikai elemzés egyik ága. A határértékek megoldásának kérdése meglehetősen kiterjedt, hiszen több tucat módszer létezik a határértékek különböző típusai megoldására. Tucatnyi árnyalat és trükk, amelyek lehetővé teszik, hogy megoldja ezt vagy azt a határt. Ennek ellenére továbbra is megpróbáljuk megérteni a gyakorlatban leggyakrabban előforduló korlátok fő típusait.

Kezdjük a határ fogalmával. De először egy rövid történelmi háttér. A 19. században élt egy francia, Augustin Louis Cauchy, aki lefektette a matematikai elemzés alapjait, és szigorú definíciókat adott, különösen a határ meghatározását. Azt kell mondanunk, hogy ugyanaz a Cauchy volt, van és lesz rémálmaiban minden fizika és matematika tanszék hallgatójának, mivel a matematikai elemzés számos tételét bebizonyította, és mindegyik tétel undorítóbb, mint a másik. Ebben a tekintetben nem fogjuk figyelembe venni a határ szigorú meghatározását, hanem megpróbálunk két dolgot tenni:

1. Értsd meg, mi a határ.
2. Tanuld meg megoldani a limitek fő típusait.

Elnézést kérek néhány tudománytalan magyarázatért, fontos, hogy teáskanna számára is érthető legyen az anyag, ami tulajdonképpen a projekt feladata.

Tehát mi a határ?

És csak egy példa arra, hogy miért a bozontos nagymamának...

Bármely limit három részből áll:

1) A jól ismert limit ikon.
2) A limit ikon alatti bejegyzések, ebben az esetben . A bejegyzés így szól: „X hajlamos egyre”. Leggyakrabban - pontosan, bár a gyakorlatban az „X” helyett más változók is vannak. A gyakorlati feladatokban az egyik helye bármilyen szám lehet, valamint a végtelen ().
3) A határjel alatti függvények, ebben az esetben .

Maga a bejegyzés így hangzik: „egy függvény határa mint x egységre hajlamos”.

Nézzük a következő fontos kérdést – mit jelent az „x” kifejezés? arra törekszik egyhez"? És mit jelent egyáltalán az, hogy „igyekszem”?
A határ fogalma úgyszólván fogalom, dinamikus. Építsünk egy sorozatot: először , majd , , …, , ….
Vagyis az „x arra törekszik egyhez” a következőképpen kell érteni: „x” következetesen felveszi az értékeket amelyek végtelenül közelítik az egységet és gyakorlatilag egybeesnek vele.

Hogyan lehet megoldani a fenti példát? A fentiek alapján csak be kell cserélni egyet a határjel alatti függvénybe:

Tehát az első szabály: Ha bármilyen korlátot adunk, először egyszerűen megpróbáljuk beilleszteni a számot a függvénybe.

A legegyszerűbb határt vettük figyelembe, de ezek a gyakorlatban is előfordulnak, és nem is olyan ritkán!

Példa a végtelennel:

Találjuk ki, mi az? Ez az a helyzet, amikor korlátlanul növekszik, azaz: először, majd, majd, majd, és így tovább a végtelenségig.

Mi történik ilyenkor a funkcióval?
, , , …

Tehát: ha , akkor a függvény mínusz végtelenbe hajlik:

Nagyjából az első szabályunk szerint az „X” helyett a végtelent behelyettesítjük a függvénybe, és megkapjuk a választ.

Egy másik példa a végtelennel:

Ismét elkezdünk a végtelenségig növekedni, és megnézzük a függvény viselkedését:

Következtetés: amikor a függvény korlátlanul növekszik:

És még egy sor példa:

Kérjük, próbálja meg gondolatban elemezni a következőket, és emlékezzen a legegyszerűbb határtípusokra:

, , , , , , , , ,
Ha bárhol kétségei vannak, elővehet egy számológépet és gyakorolhat egy kicsit.
Abban az esetben, ha megpróbálja összeállítani a sorozatot, , . Ha akkor , , .

Megjegyzés: szigorúan véve ez a több számból álló sorozatok összeállításának ez a megközelítése helytelen, de a legegyszerűbb példák megértéséhez teljesen megfelelő.

Figyeljen a következő dologra is. Még akkor is, ha egy limitet nagy számmal adnak meg felül, vagy akár millióval is: , akkor is mindegy , hiszen az „X” előbb-utóbb olyan gigantikus értékeket vesz fel, hogy hozzájuk képest egymillió igazi mikroba lesz.

Mit kell emlékezned és megértened a fentiekből?

1) Ha bármilyen korlátot kapunk, először egyszerűen megpróbáljuk behelyettesíteni a számot a függvénybe.

2) Meg kell értened és azonnal meg kell oldanod a legegyszerűbb határértékeket, mint pl., , stb.

Most megvizsgáljuk a határok csoportját, amikor , és a függvény egy olyan tört, amelynek számlálója és nevezője polinomokat tartalmaz

Példa:

Számítsa ki a határértéket

Szabályunk szerint megpróbáljuk a függvénybe behelyettesíteni a végtelent. Mit kapunk a csúcson? Végtelenség. És mi történik lent? Szintén a végtelen. Így van az úgynevezett faji bizonytalanság. Azt gondolhatnánk, hogy , és kész a válasz, de általános esetben ez egyáltalán nem így van, hanem valamilyen megoldási technikát kell alkalmazni, amit most megfontolunk.

Hogyan lehet megoldani az ilyen típusú limiteket?

Először nézzük meg a számlálót, és keressük meg a legmagasabb hatványt:

A számlálóban a vezető hatvány kettő.

Most megnézzük a nevezőt, és megtaláljuk a legnagyobb hatványra:

A nevező legmagasabb foka kettő.

Ezután kiválasztjuk a számláló és a nevező legnagyobb hatványát: ebben a példában ezek megegyeznek és kettővel egyenlők.

Tehát a megoldási módszer a következő: a bizonytalanság feltárásához el kell osztani a számlálót és a nevezőt a legnagyobb hatványral.

Itt van a válasz, és egyáltalán nem a végtelenség.

Mi az, ami alapvetően fontos egy döntés megtervezésében?

Először is jelezzük a bizonytalanságot, ha van ilyen.

Másodszor, tanácsos megszakítani a megoldást köztes magyarázatokhoz. Általában a jelet használom, nincs matematikai jelentése, hanem azt jelenti, hogy a megoldás megszakad egy köztes magyarázat miatt.

Harmadszor, a limitben célszerű megjelölni, hogy mi hol tart. Ha a munkát kézzel készítik, kényelmesebb ezt így megtenni:

A jegyzetekhez jobb egyszerű ceruzát használni.

Természetesen ezt nem kell megtennie, de akkor talán a tanár rámutat a megoldás hiányosságaira, vagy további kérdéseket tesz fel a feladattal kapcsolatban. Szükséged van rá?

2. példa

Találd meg a határt
A számlálóban és a nevezőben ismét a legmagasabb fokon találjuk:

Maximális fokozat a számlálóban: 3
Maximális fokozat a nevezőben: 4
Választ legnagyobbérték, jelen esetben négy.
Algoritmusunk szerint a bizonytalanság feltárásához a számlálót és a nevezőt elosztjuk -vel.
A teljes feladat így nézhet ki:

Ossza el a számlálót és a nevezőt ezzel

3. példa

Találd meg a határt
Az „X” maximális mértéke a számlálóban: 2
Az „X” maximális foka a nevezőben: 1 (írható így is)
A bizonytalanság feltárásához el kell osztani a számlálót és a nevezőt -vel. A végső megoldás így nézhet ki:

Ossza el a számlálót és a nevezőt ezzel

A jelölés nem nullával való osztást jelent (nullával nem lehet osztani), hanem végtelenül kicsi számmal való osztást.

Így a fajok bizonytalanságának feltárásával képesek leszünk rá végső szám, nulla vagy végtelen.

Határok a típus és a megoldási módszer bizonytalanságával

A határértékek következő csoportja némileg hasonlít az imént vizsgált határértékekhez: a számláló és a nevező polinomokat tartalmaz, de az „x” már nem a végtelen felé hajlik, hanem véges szám.

4. példa

Oldja meg a határértéket
Először próbáljuk meg -1-et behelyettesíteni a törtbe:

Ebben az esetben az úgynevezett bizonytalanságot kapjuk.

Általános szabály: ha a számláló és a nevező polinomokat tartalmaz, és az alak bizonytalan, akkor azt fel kell tárni faktoroznia kell a számlálót és a nevezőt.

Ehhez leggyakrabban másodfokú egyenletet kell megoldani és/vagy rövidített szorzóképleteket kell használni. Ha ezeket a dolgokat elfelejtette, akkor látogasson el az oldalra Matematikai képletek és táblázatokés olvassa el a tananyagot Forró képletek iskolai matematika tanfolyamhoz. Egyébként a legjobb kinyomtatni, nagyon gyakran van rá szükség, és a papírról jobban felszívódik az információ.

Tehát oldjuk meg a határunkat

Tényező a számlálót és a nevezőt

A számláló faktorizálásához meg kell oldania a másodfokú egyenletet:

Először megtaláljuk a diszkriminánst:

És ennek négyzetgyöke: .

Ha a diszkrimináns nagy, például 361, akkor számológépet használunk, a négyzetgyök kinyerésének funkciója a legegyszerűbb számológépen van.

! Ha a gyökér nem kerül kihúzásra teljes egészében (törtszámot kapunk vesszővel), akkor nagyon valószínű, hogy a diszkriminánst rosszul számították ki, vagy elírás volt a feladatban.

Ezután megtaláljuk a gyökereket:

És így:

Minden. A számláló faktorizált.

Névadó. A nevező már a legegyszerűbb tényező, és nincs mód egyszerűsíteni.

Nyilvánvalóan rövidíthető így:

Most behelyettesítjük -1-et a határjel alatt maradó kifejezésbe:

Természetesen egy teszten, teszten vagy vizsgán soha nem írják le ilyen részletesen a megoldást. A végső verzióban a dizájnnak valahogy így kell kinéznie:

Tényezőzzük a számlálót.

5. példa

Számítsa ki a határértéket

Először is a megoldás „befejezési” változata

Tegyük faktorba a számlálót és a nevezőt.

Számláló:
Névadó:



,

Mi a fontos ebben a példában?
Először is jól kell értenie a számláló felfedésének módját, először 2-t vettünk ki a zárójelekből, majd a négyzetek különbségének képletét használtuk. Ez az a képlet, amelyet ismerned és látnod kell.

Az első figyelemre méltó határ a következő egyenlőség:

\begin(egyenlet)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(egyenlet)

Mivel a $\alpha\to(0)$ esetében $\sin\alpha\to(0)$ van, azt mondják, hogy az első figyelemre méltó határérték a $\frac(0)(0)$ formájú bizonytalanságot fedi fel. Általánosságban elmondható, hogy az (1) képletben a $\alpha$ változó helyett tetszőleges kifejezés helyezhető a szinuszjel alá és a nevezőbe, amennyiben két feltétel teljesül:

1. A szinuszjel alatti és a nevezőben lévő kifejezések egyidejűleg nullára hajlanak, azaz. $\frac(0)(0)$ alakú bizonytalanság van.
2. A szinuszjel alatti és a nevezőben lévő kifejezések megegyeznek.

Az első figyelemre méltó határból származó következtetéseket is gyakran használják:

\begin(egyenlet) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(egyenlet) \begin(egyenlet) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(egyenlet) \begin(egyenlet) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(egyenlet)

Ezen az oldalon tizenegy példa van megoldva. Az 1. példa a (2)-(4) képletek bizonyítására szolgál. A 2., 3., 4. és 5. példák részletes megjegyzésekkel ellátott megoldásokat tartalmaznak. A 6-10. példák gyakorlatilag kommentár nélkül tartalmaznak megoldásokat, mivel a korábbi példákban részletes magyarázatot adtak. A megoldás néhány megtalálható trigonometrikus képletet használ.

Hadd jegyezzem meg, hogy a trigonometrikus függvények jelenléte a $\frac (0) (0)$ bizonytalansággal párosulva nem feltétlenül jelenti az első figyelemre méltó határérték alkalmazását. Néha elegendő egyszerű trigonometrikus transzformáció – például lásd.

1. számú példa

Igazolja, hogy $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Mivel $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, akkor:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Mivel $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ és $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , Hogy:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Végezzük el a $\alpha=\sin(y)$ módosítást. Mivel $\sin(0)=0$, így a $\alpha\to(0)$ feltételből $y\to(0)$. Ezenkívül van egy nulla környéke, amelyben $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, tehát:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

A $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ egyenlőség bebizonyosodott.

c) Tegyük a $\alpha=\tg(y)$ cserét. Mivel $\tg(0)=0$, ezért a $\alpha\to(0)$ és $y\to(0)$ feltételek egyenértékűek. Ezenkívül van egy nullakörnyezet, amelyben $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, ezért az a) pont eredményei alapján a következőket kapjuk:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

A $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ egyenlőség bebizonyosodott.

Az a), b), c) egyenlőségeket gyakran az első figyelemre méltó határértékkel együtt használják.

2. példa

Számítsa ki a $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) határértéket (x+7))$.

Mivel $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ és $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, azaz. és a tört számlálója és nevezője is egyidejűleg nullára hajlik, akkor itt $\frac(0)(0)$ alakú bizonytalansággal van dolgunk, azaz. Kész. Ezenkívül egyértelmű, hogy a szinuszjel alatti és a nevezőben lévő kifejezések egybeesnek (azaz teljesül):

Tehát az oldal elején felsorolt ​​mindkét feltétel teljesül. Ebből következik, hogy a képlet alkalmazható, i.e. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Válasz: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

3. példa

Keresse meg: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Mivel $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ és $\lim_(x\to(0))x=0$, ezért a $\frac alakú bizonytalansággal van dolgunk (0 )(0)$, azaz Kész. A szinuszjel alatti és a nevezőben lévő kifejezések azonban nem esnek egybe. Itt be kell állítania a nevezőben lévő kifejezést a kívánt formára. Szükségünk van a $9x$ kifejezésre a nevezőben, akkor igaz lesz. Lényegében hiányzik egy 9$-os tényező a nevezőből, amit nem is olyan nehéz megadni – csak szorozzuk meg a nevezőben lévő kifejezést 9$-ral. Természetesen a 9 dollárral való szorzás kompenzálásához azonnal el kell osztania 9 dollárral:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

Most a nevezőben és a szinuszjel alatti kifejezések egybeesnek. A $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ korlát mindkét feltétele teljesül. Ezért $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Ez pedig azt jelenti, hogy:

$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Válasz: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

4. számú példa

Keresse meg: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Mivel $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ és $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, itt az űrlap bizonytalanságával van dolgunk $\frac(0)(0)$. Az első figyelemre méltó határ formája azonban megsérül. A $\sin(5x)$ számlálóhoz $5x$ nevező szükséges. Ebben a helyzetben a legegyszerűbb módja, ha a számlálót elosztja $5x$-tal, és azonnal megszorozza $5x$-ral. Ezenkívül egy hasonló műveletet hajtunk végre a nevezővel, megszorozva és elosztva $\tg(8x)$-t $8x$-val:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

$x$-tal csökkentve és a $\frac(5)(8)$ konstanst a határjelen kívülre véve, a következőt kapjuk:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Ne feledje, hogy a $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ teljes mértékben megfelel az első figyelemre méltó korlát követelményeinek. A $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ megtalálásához a következő képlet használható:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Válasz: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

5. számú példa

Keresse meg: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Mivel $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (ne feledje, hogy $\cos(0)=1$) és $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, akkor $\frac(0)(0)$ alakú bizonytalansággal van dolgunk. Az első figyelemre méltó határ alkalmazásához azonban meg kell szabadulnia a koszinusztól a számlálóban, továbblépve a szinuszokra (a képlet alkalmazásához) vagy az érintőkre (a képlet alkalmazásához). Ezt a következő transzformációval lehet megtenni:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\jobb)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Térjünk vissza a határhoz:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\jobbra) $$

A $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ tört már közel van az első figyelemre méltó határhoz szükséges alakhoz. Dolgozzunk egy kicsit a $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ törttel, igazítsuk az első figyelemre méltó határértékre (vegye figyelembe, hogy a számlálóban és a szinusz alatti kifejezéseknek egyeznie kell):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Térjünk vissza a kérdéses határhoz:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Válasz: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

6. számú példa

Keresse meg a $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ korlátot.

Mivel $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ és $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, akkor $\frac(0)(0)$ bizonytalansággal van dolgunk. Fedjük fel az első figyelemre méltó határ segítségével. Ehhez térjünk át a koszinuszokról a szinuszokra. Mivel $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, akkor:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Ha az adott limitben a szinuszokhoz lépünk, akkor a következőket kapjuk:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Válasz: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

7. számú példa

A $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ korlát kiszámítása a $\alpha\neq függvényében \ beta$.

A részletes magyarázatot korábban kaptuk, de itt egyszerűen megjegyezzük, hogy ismét bizonytalanság van $\frac(0)(0)$. A képlet segítségével térjünk át a koszinuszokról a szinuszokra

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Ezt a képletet használva a következőket kapjuk:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\jobbra| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ béta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\jobbra)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\jobbra))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alfa^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Válasz: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

8. számú példa

Keresse meg a $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$ korlátot.

Mivel $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (ne feledje, hogy $\sin(0)=\tg(0)=0$) és $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, akkor itt a $\frac(0)(0)$ alakú bizonytalanságról van szó. Bontsuk fel a következőképpen:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\jobbra))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\jobb) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Válasz: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

9. számú példa

Keresse meg a $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$ korlátot.

Mivel $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ és $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, akkor $\frac(0)(0)$ alakú bizonytalanság van. Mielőtt folytatná a kibővítését, célszerű úgy megváltoztatni a változót, hogy az új változó nullára hajoljon (megjegyezzük, hogy a képletekben a $\alpha \to 0$ változót). A legegyszerűbb módja a $t=x-3$ változó bevezetése. A további átalakítások kényelme érdekében azonban (ez az előny az alábbi megoldás során látható) érdemes a következő cserét elvégezni: $t=\frac(x-3)(2)$. Megjegyzem, ebben az esetben mindkét csere alkalmazható, csak a második csere lehetővé teszi, hogy kevesebbet dolgozzon a törtekkel. Mivel $x\to(3)$, majd $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\jobbra| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\jobb) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Válasz: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

10. számú példa

Keresse meg a $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right) korlátot 2)$.

Ismét a $\frac(0)(0)$ bizonytalansággal van dolgunk. Mielőtt folytatná a kibővítését, célszerű úgy megváltoztatni a változót, hogy az új változó nullára hajoljon (megjegyezzük, hogy a képletekben a változó $\alpha\to(0)$). A legegyszerűbb módja a $t=\frac(\pi)(2)-x$ változó bevezetése. Mivel $x\to\frac(\pi)(2)$, majd $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Válasz: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

11. számú példa

Keresse meg a $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) határértékeket \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Ebben az esetben nem kell az első csodálatos határt használnunk. Kérjük, vegye figyelembe, hogy az első és a második határérték csak trigonometrikus függvényeket és számokat tartalmaz. Az ilyen példákban gyakran lehetséges a határjel alatt található kifejezés egyszerűsítése. Sőt, a már említett egyszerűsítés és egyes tényezők csökkentése után a bizonytalanság megszűnik. Ezt a példát egyetlen célból hoztam fel: annak bemutatására, hogy a határjel alatti trigonometrikus függvények jelenléte nem feltétlenül jelenti az első figyelemre méltó határérték használatát.

Mivel $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (ne feledje, hogy $\sin\frac(\pi)(2)=1$) és $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (emlékeztessem, hogy $\cos\frac(\pi)(2)=0$), akkor a $\frac(0)(0)$ alakú bizonytalansággal foglalkozik. Ez azonban nem jelenti azt, hogy ki kell használnunk az első csodálatos határt. A bizonytalanság feltárásához elegendő figyelembe venni, hogy $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Hasonló megoldás található Demidovich megoldási könyvében (475. sz.). Ami a második korlátot illeti, a szakasz előző példáihoz hasonlóan, van egy $\frac(0)(0)$ alakú bizonytalanságunk. Miért merül fel? Azért merül fel, mert $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ és $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Ezeket az értékeket használjuk a számlálóban és a nevezőben lévő kifejezések átalakítására. Cselekedeteink célja, hogy a számlálóba és a nevezőbe szorzatként felírjuk az összeget. Egyébként gyakran egy hasonló típuson belül célszerű megváltoztatni egy olyan változót, amely úgy van elkészítve, hogy az új változó nullára hajlik (lásd például ezen az oldalon a 9. vagy 10. példát). Ebben a példában azonban nincs értelme lecserélni, bár ha szükséges, a $t=x-\frac(2\pi)(3)$ változót nem nehéz megvalósítani.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\jobbra )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\jobbra)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Amint látja, nem kellett alkalmaznunk az első csodálatos határt. Természetesen ezt megteheti, ha akarja (lásd az alábbi megjegyzést), de nem szükséges.

Mi a megoldás az első figyelemre méltó határérték használatával? mutat elrejt

Az első figyelemre méltó határt használva a következőket kapjuk:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ jobbra))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3)) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\jobbra)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Válasz: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

Sorozatok és függvények határainak fogalmai. Ha meg kell találni egy sorozat határértékét, a következőképpen írjuk le: lim xn=a. Egy ilyen sorozatsorozatban xn az a-ra, n pedig a végtelenre hajlik. A sorozatot általában sorozatként ábrázolják, például:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
A szekvenciák növekvőre és csökkenőre oszthatók. Például:
xn=n^2 - növekvő sorozat
yn=1/n - sorozat
Tehát például az xn=1/n^ sorozat határa:
lim 1/n^2=0

x→∞
Ez a határ egyenlő nullával, mivel n→∞, és az 1/n^2 sorozat nullára hajlik.

Jellemzően egy x változó mennyiség egy véges a határértékre hajlik, és x folyamatosan közeledik a-hoz, az a mennyiség pedig állandó. Ezt a következőképpen írjuk le: limx =a, míg n irányulhat akár nullára, akár végtelenre. Vannak végtelen függvények, amelyeknél a határ a végtelen felé hajlik. Más esetekben, amikor például a funkció lassítja a vonatot, lehetséges, hogy a határérték nullára hajlik.
A korlátoknak számos tulajdonsága van. Általában minden függvénynek csak egy korlátja van. Ez a limit fő tulajdonsága. A többiek az alábbiakban találhatók:
* Az összeghatár egyenlő a limitek összegével:
lim(x+y)=lim x+lim y
* A termék limit megegyezik a limitek szorzatával:
lim(xy)=lim x*lim y
* A hányados határa egyenlő a határértékek hányadosával:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Az állandó tényező a határjelen kívülre kerül:
lim(Cx)=C lim x
Adott egy 1 /x függvény, amelyben x →∞, a határértéke nulla. Ha x→0, akkor egy ilyen függvény határértéke ∞.
A trigonometrikus függvények esetében létezik néhány ilyen szabály. Mivel a sin x függvény mindig egységre törekszik, amikor nullához közelít, az azonosság érvényes rá:
lim sin x/x=1

Számos függvényben vannak olyan függvények, amelyek határainak kiszámításakor bizonytalanság lép fel – olyan helyzet, amikor a határérték nem számítható ki. Az egyetlen kiút ebből a helyzetből a L'Hopital. Kétféle bizonytalanság létezik:
* a forma bizonytalansága 0/0
* a ∞/∞ alak bizonytalansága
Például a következő alakú határérték adott: lim f(x)/l(x), és f(x0)=l(x0)=0. Ebben az esetben 0/0 formájú bizonytalanság lép fel. Egy ilyen probléma megoldásához mindkét függvényt megkülönböztetjük, majd megtaláljuk az eredmény határát. A 0/0 típusú bizonytalanságok esetében a határ a következő:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (x→0-nál)
Ugyanez a szabály igaz a ∞/∞ típusú bizonytalanságokra is. De ebben az esetben igaz a következő egyenlőség: f(x)=l(x)=∞
A L'Hopital-szabály segítségével megtalálhatja azon határértékek értékét, amelyekben bizonytalanságok jelennek meg. Előfeltétele annak

kötet - nincs hiba a származékok megtalálásakor. Tehát például az (x^2)" függvény deriváltja egyenlő 2x-tel. Ebből arra következtethetünk, hogy:
f"(x)=nx^(n-1)

Azok számára, akik szeretnék megtanulni, hogyan találják meg a határokat, ebben a cikkben erről fogunk mesélni. Nem fogunk belemerülni az elméletbe, a tanárok általában előadásokon adják elő. Tehát az „unalmas elméletet” fel kell jegyezni a füzetekbe. Ha ez nem így van, akkor elolvashatja az oktatási intézmény könyvtárából vagy más internetes forrásokból vett tankönyveket.

Tehát a határ fogalma nagyon fontos a magasabb matematika tanulmányozásában, különösen akkor, ha az integrálszámítással találkozik, és megérti a határ és az integrál közötti kapcsolatot. A jelenlegi anyag egyszerű példákat, valamint megoldási módokat fog megvizsgálni.

Példák megoldásokra

1. példa

Számítsa ki a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Megoldás

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Az emberek gyakran elküldik nekünk ezeket a korlátokat azzal a kéréssel, hogy segítsünk megoldani őket. Úgy döntöttünk, hogy külön példaként kiemeljük őket, és elmagyarázzuk, hogy ezekre a határokra általában csak emlékezni kell. Ha nem tudja megoldani a problémát, küldje el nekünk. Részletes megoldást adunk. Megnézheti a számítás folyamatát, és információkat szerezhet. Ez segít abban, hogy az osztályzatot időben megkapja tanárától!

Válasz

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Mi a teendő az űrlap bizonytalanságával: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

3. példa

$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ megoldása

Megoldás

Mint mindig, most is azzal kezdjük, hogy a határjel alatti kifejezésbe behelyettesítjük a $ x $ értéket. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Most mi következik? Mi történjen a végén? Mivel ez bizonytalan, ez még nem válasz, és folytatjuk a számítást. Mivel van egy polinom a számlálókban, ezt az iskolából mindenki által ismert képlet segítségével faktorizáljuk $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Emlékszel? Nagy! Most pedig használd a dallal :) Azt találjuk, hogy a $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ számláló Folytatjuk a megoldást a fenti átalakítás figyelembevételével: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Válasz

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Toljuk az utolsó két példában a határt a végtelenségig, és vegyük figyelembe a bizonytalanságot: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

5. példa

A $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ kiszámítása

Megoldás

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Mit kell tenni? Mit kellene tennem? Ne ess pánikba, mert a lehetetlen lehetséges. A számlálóból és a nevezőből is ki kell venni az x-et, majd csökkenteni kell. Ezután próbálja meg kiszámítani a határértéket. Próbáljuk meg... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ A 2. példa definícióját használva és x helyett a végtelent kapjuk: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Válasz

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritmus a határértékek kiszámításához

Tehát röviden összefoglaljuk a példákat, és készítsünk egy algoritmust a határértékek megoldására:

1. Helyettesítsd be az x pontot a határjel utáni kifejezésbe. Ha egy bizonyos számot vagy végtelent kapunk, akkor a határ teljesen megoldott. Ellenkező esetben bizonytalanság áll előttünk: „nulla osztva nullával” vagy „végtelen osztva a végtelennel”, és továbblépünk az utasítások következő lépéseire.
2. A „nulla osztva nullával” bizonytalanságának kiküszöbölése érdekében figyelembe kell venni a számlálót és a nevezőt. Csökkentse a hasonlókat. Helyettesítsd be az x pontot a határjel alatti kifejezésbe.
3. Ha a bizonytalanság a „végtelen osztva a végtelennel”, akkor a számlálót és az x nevezőt is kivesszük a legnagyobb mértékben. Lerövidítjük az X-eket. A határ alatti x értékeit behelyettesítjük a fennmaradó kifejezésbe.

Ebben a cikkben megtanulta a korlátok megoldásának alapjait, amelyeket gyakran használnak a Kalkulus tanfolyamon. Természetesen ezek a vizsgáztatók által kínált problémák nem minden típusa, hanem csak a legegyszerűbb korlátok. Más típusú feladatokról a jövőbeli cikkekben fogunk beszélni, de előbb meg kell tanulnia ezt a leckét, hogy továbbléphessen. Beszéljük meg, mit tegyünk, ha vannak gyökök, fokok, tanulmányozzuk az infinitezimális ekvivalens függvényeket, figyelemre méltó határokat, L'Hopital-szabályt.

Ha nem tudod magad kitalálni a határokat, ne ess pánikba. Mindig szívesen segítünk!