Այս հոդվածը վերաբերում է ընդհանուր կոտորակներ. Այստեղ կներկայացնենք ամբողջի կոտորակ հասկացությունը, որը մեզ կտանի ընդհանուր կոտորակի սահմանմանը։ Հաջորդիվ կանդրադառնանք սովորական կոտորակների ընդունված նշումին և կբերենք կոտորակների օրինակներ, ասենք կոտորակի համարիչի և հայտարարի մասին։ Դրանից հետո մենք կտանք ճիշտ և ոչ պատշաճ, դրական և բացասական կոտորակների սահմանումներ, ինչպես նաև կդիտարկենք կոտորակային թվերի դիրքը կոորդինատային ճառագայթի վրա: Եզրափակելով, մենք թվարկում ենք կոտորակներով հիմնական գործողությունները:

Էջի նավարկություն.

Ամբողջի բաժնետոմսերը

Նախ ներկայացնում ենք բաժնեմասի հայեցակարգ.

Ենթադրենք, որ մենք ունենք մի քանի բացարձակ նույնական (այսինքն՝ հավասար) մասերից կազմված ինչ-որ առարկա։ Պարզության համար կարող եք պատկերացնել, օրինակ, մի քանի հավասար մասերի կտրված խնձոր կամ մի քանի հավասար շերտերից բաղկացած նարինջ։ Այս հավասար մասերից յուրաքանչյուրը, որը կազմում է ամբողջ օբյեկտը, կոչվում է ամբողջի մասերըկամ պարզապես բաժնետոմսեր.

Նշենք, որ բաժնետոմսերը տարբեր են: Եկեք բացատրենք սա. Եկեք երկու խնձոր ունենանք: Առաջին խնձորը կտրատել երկու հավասար մասերի, իսկ երկրորդը՝ 6 հավասար մասերի։ Հասկանալի է, որ առաջին խնձորի բաժինը տարբերվելու է երկրորդ խնձորի բաժինից։

Կախված ամբողջ օբյեկտը կազմող բաժնետոմսերի քանակից՝ այս բաժնետոմսերն ունեն իրենց անունները։ Եկեք դասավորենք այն հարվածների անունները. Եթե ​​առարկան բաղկացած է երկու մասից, ապա դրանցից որևէ մեկը կոչվում է ամբողջ օբյեկտի մեկ երկրորդ մասը. եթե առարկան բաղկացած է երեք մասից, ապա դրանցից որևէ մեկը կոչվում է մեկ երրորդ մաս և այլն։

Մեկ երկրորդ բաժնետոմսը հատուկ անուն ունի. կեսը. Մեկ երրորդը կոչվում է երրորդև մեկ քառորդ մասը - քառորդ.

Համառոտության համար ներկայացվեցին հետևյալը. ծեծի նշաններ. Մեկ երկրորդ բաժնետոմսը նշանակված է որպես կամ 1/2, մեկ երրորդ բաժնետոմսը նշանակված է որպես կամ 1/3; մեկ չորրորդ մասնաբաժինը` նման կամ 1/4, և այլն: Նկատի ունեցեք, որ ավելի հաճախ օգտագործվում է հորիզոնական գծով նշումը: Նյութն ամրապնդելու համար բերենք ևս մեկ օրինակ. մուտքը նշանակում է ամբողջի հարյուր վաթսունյոթերորդ մասը:

Բաժնետոմս հասկացությունը բնականաբար տարածվում է առարկաներից մինչև մեծություններ: Օրինակ, երկարության չափիչներից մեկը մետրն է։ Մետրից կարճ երկարությունները չափելու համար կարելի է օգտագործել մետրի կոտորակները: Այսպիսով, դուք կարող եք օգտագործել, օրինակ, կես մետրը կամ մետրի տասներորդը կամ հազարերորդը: Նմանապես կիրառվում են նաև այլ քանակությունների բաժնետոմսերը:

Ընդհանուր կոտորակներ, կոտորակների սահմանում և օրինակներ

Մեր օգտագործած բաժնետոմսերի քանակը նկարագրելու համար ընդհանուր կոտորակներ. Բերենք մի օրինակ, որը թույլ կտա մոտենալ սովորական կոտորակների սահմանմանը։

Թող նարինջը բաղկացած լինի 12 մասից։ Յուրաքանչյուր բաժնետոմս այս դեպքում ներկայացնում է ամբողջ նարնջի տասներկուերորդ մասը, այսինքն՝ . Երկու զարկը նշանակում ենք որպես , երեք հարված՝ և այլն, 12 բիթ նշանակում ենք որպես : Տրված գրառումներից յուրաքանչյուրը կոչվում է սովորական կոտորակ։

Հիմա մի գեներալ տանք ընդհանուր կոտորակների սահմանում.

Սովորական կոտորակների բարձրաձայնված սահմանումը թույլ է տալիս տալ ընդհանուր կոտորակների օրինակներ: 5/10, , 21/1, 9/4, . Եվ ահա ռեկորդները չեն համապատասխանում սովորական կոտորակների նշված սահմանմանը, այսինքն՝ դրանք սովորական կոտորակներ չեն:

Համարիչ և հայտարար

Հարմարության համար առանձնանում են սովորական ֆրակցիաները համարիչ և հայտարար.

Սահմանում.

Համարիչսովորական կոտորակը (m/n) բնական թիվ է m.

Սահմանում.

ՀայտարարԸնդհանուր կոտորակը (m/n) n բնական թիվ է:

Այսպիսով, համարիչը գտնվում է կոտորակի գծից վեր (շեղից դեպի ձախ), իսկ հայտարարը գտնվում է կոտորակի գծից ներքև (շեղից աջ): Օրինակ՝ վերցնենք 17/29 ընդհանուր կոտորակը, այս կոտորակի համարիչը 17 թիվն է, իսկ հայտարարը՝ 29 թիվը։

Մնում է քննարկել սովորական կոտորակի համարիչի ու հայտարարի մեջ պարունակվող նշանակությունը։ Կոտորակի հայտարարը ցույց է տալիս, թե քանի մասից է բաղկացած մեկ առարկան, իսկ համարիչն էլ իր հերթին ցույց է տալիս նման բաժնետոմսերի քանակը։ Օրինակ, 12/5 կոտորակի 5-րդ հայտարարը նշանակում է, որ մեկ օբյեկտը բաղկացած է հինգ բաժնետոմսից, իսկ 12 համարիչը նշանակում է, որ վերցված է 12 այդպիսի բաժնետոմս։

Բնական թիվը որպես 1 հայտարար ունեցող կոտորակ

Ընդհանուր կոտորակի հայտարարը կարող է հավասար լինել մեկի: Այս դեպքում կարելի է համարել, որ առարկան անբաժանելի է, այլ կերպ ասած՝ ներկայացնում է մի ամբողջ բան։ Նման կոտորակի համարիչը ցույց է տալիս, թե քանի ամբողջ առարկա է վերցված: Այսպիսով, m/1 ձևի սովորական կոտորակը ունի m բնական թվի նշանակություն։ Այսպես հիմնավորեցինք m/1=m հավասարության վավերականությունը։

Վերջին հավասարությունը շարադրենք հետևյալ կերպ՝ m=m/1. Այս հավասարությունը մեզ թույլ է տալիս ցանկացած բնական թիվ m ներկայացնել որպես սովորական կոտորակ։ Օրինակ՝ 4 թիվը 4/1 կոտորակն է, իսկ 103498 թիվը հավասար է 103498/1 կոտորակին։

Այսպիսով, ցանկացած բնական թիվ m կարող է ներկայացվել որպես սովորական կոտորակ, որի հայտարարը 1-ն է՝ m/1, իսկ m/1 ձևի ցանկացած սովորական կոտորակը կարող է փոխարինվել m բնական թվով։.

Կոտորակի բար՝ որպես բաժանման նշան

Բնօրինակ օբյեկտը n բաժնետոմսի տեսքով ներկայացնելը ոչ այլ ինչ է, քան բաժանում n հավասար մասերի։ Այն բանից հետո, երբ ապրանքը բաժանվի n բաժնետոմսի, մենք կարող ենք այն հավասարապես բաժանել n մարդկանց միջև. յուրաքանչյուրը կստանա մեկ բաժնետոմս:

Եթե ​​ի սկզբանե ունենք m միանման օբյեկտներ, որոնցից յուրաքանչյուրը բաժանված է n բաժնետոմսի, ապա մենք կարող ենք հավասարապես բաժանել այդ m առարկաները n մարդու միջև՝ յուրաքանչյուրին տալով մեկ բաժնետոմս m առարկաներից յուրաքանչյուրից: Այս դեպքում յուրաքանչյուր անձ կունենա m բաժնետոմսեր 1/n-ի, իսկ m բաժնետոմսերը 1/n-ը տալիս է m/n ընդհանուր կոտորակը: Այսպիսով, m/n ընդհանուր կոտորակը կարող է օգտագործվել m միավորների բաժանումը n մարդկանց միջև նշելու համար։

Այսպես մենք պարզ կապ ստացանք սովորական կոտորակների և բաժանման միջև (տե՛ս բնական թվերի բաժանման ընդհանուր գաղափարը): Այս կապը արտահայտվում է հետևյալ կերպ. կոտորակի ուղիղը կարելի է հասկանալ որպես բաժանման նշան, այսինքն՝ m/n=m:n.

Սովորական կոտորակի միջոցով կարելի է գրել երկու բնական թվերի բաժանման արդյունքը, որոնց համար հնարավոր չէ կատարել ամբողջ բաժանում։ Օրինակ՝ 5 խնձորը 8 հոգու վրա բաժանելու արդյունքը կարելի է գրել 5/8, այսինքն՝ բոլորը կստանան խնձորի հինգերորդ մասը՝ 5:8 = 5/8։

Հավասար և անհավասար կոտորակներ, կոտորակների համեմատություն

Բավականին բնական գործողություն է կոտորակների համեմատություն, քանի որ պարզ է, որ նարնջի 1/12-ը տարբերվում է 5/12-ից, իսկ խնձորի 1/6-ը նույնն է, ինչ այս խնձորի ևս 1/6-ը։

Երկու սովորական կոտորակների համեմատության արդյունքում ստացվում է արդյունքներից մեկը՝ կոտորակները կամ հավասար են, կամ անհավասար։ Առաջին դեպքում ունենք հավասար ընդհանուր կոտորակներ, իսկ երկրորդում՝ անհավասար սովորական կոտորակներ. Տանք հավասար և անհավասար սովորական կոտորակների սահմանումը։

Սահմանում.

հավասար, եթե a·d=b·c հավասարությունը ճիշտ է։

Սահմանում.

Երկու ընդհանուր կոտորակներ a/b և c/d ոչ հավասար, եթե a·d=b·c հավասարությունը չի բավարարվում։

Ահա հավասար կոտորակների մի քանի օրինակներ: Օրինակ՝ ընդհանուր 1/2 կոտորակը հավասար է 2/4 կոտորակին, քանի որ 1·4=2·2 (անհրաժեշտության դեպքում տե՛ս բնական թվերի բազմապատկման կանոններն ու օրինակները)։ Պարզության համար կարող եք պատկերացնել երկու միանման խնձոր, առաջինը կիսով չափ կտրված է, իսկ երկրորդը՝ 4 մասի։ Ակնհայտ է, որ խնձորի երկու քառորդը հավասար է 1/2 բաժին։ Հավասար ընդհանուր կոտորակների այլ օրինակներ են 4/7 և 36/63 կոտորակները և 81/50 և 1620/1000 կոտորակների զույգերը։

Բայց սովորական 4/13 և 5/14 կոտորակները հավասար չեն, քանի որ 4·14=56, և 13·5=65, այսինքն՝ 4·14≠13·5։ Անհավասար ընդհանուր կոտորակների այլ օրինակներ են 17/7 և 6/4 կոտորակները:

Եթե ​​երկու ընդհանուր կոտորակները համեմատելիս պարզվի, որ դրանք հավասար չեն, ապա ձեզ հարկավոր է պարզել, թե այս ընդհանուր կոտորակներից որն է. ավելի քիչտարբեր, իսկ ո՞րը - ավելին. Պարզելու համար օգտագործվում է սովորական կոտորակների համեմատության կանոնը, որի էությունը համեմատվող կոտորակները բերելն է ընդհանուր հայտարարի, ապա համեմատել համարիչները։ Այս թեմայի վերաբերյալ մանրամասն տեղեկատվությունը հավաքվում է կոտորակների համեմատության հոդվածում՝ կանոններ, օրինակներ, լուծումներ:

Կոտորակային թվեր

Յուրաքանչյուր կոտորակ նշում է կոտորակային թիվ. Այսինքն՝ կոտորակը ընդամենը կոտորակային թվի «կեղևն» է, նրա տեսքը, և ամբողջ իմաստային բեռը պարունակվում է կոտորակային թվի մեջ։ Այնուամենայնիվ, հակիրճության և հարմարության համար կոտորակի և կոտորակային թվի հասկացությունները համակցված են և պարզապես կոչվում են կոտորակ: Այստեղ տեղին է վերափոխել հայտնի ասացվածքը` ասում ենք կոտորակ - նկատի ունենք կոտորակային թիվ, ասում ենք կոտորակային թիվ - նկատի ունենք կոտորակ:

Կոտորակներ կոորդինատային ճառագայթի վրա

Սովորական կոտորակներին համապատասխանող բոլոր կոտորակային թվերն ունեն իրենց ուրույն տեղը, այսինքն՝ կոտորակների և կոորդինատային ճառագայթի կետերի միջև կա մեկ առ մեկ համապատասխանություն։

M/n կոտորակին համապատասխանող կոորդինատային ճառագայթի կետին հասնելու համար պետք է սկզբից դրական ուղղությամբ առանձնացնել m հատվածներ, որոնց երկարությունը միավոր հատվածի 1/n մասն է։ Նման հատվածներ կարելի է ստանալ՝ միավորի հատվածը բաժանելով n հավասար մասերի, ինչը միշտ կարելի է անել՝ օգտագործելով կողմնացույց և քանոն։

Օրինակ՝ 14/10 կոտորակին համապատասխան կոորդինատային ճառագայթի վրա ցույց տանք M կետը։ O կետում ծայրերով և դրան ամենամոտ կետով հատվածի երկարությունը, որը նշված է փոքր գծիկով, միավորի հատվածի 1/10-ն է: 14/10 կոորդինատով կետը սկզբից հանվում է 14 նման հատվածի հեռավորության վրա։

Հավասար կոտորակները համապատասխանում են նույն կոտորակային թվին, այսինքն՝ հավասար կոտորակները կոորդինատային ճառագայթի նույն կետի կոորդինատներն են։ Օրինակ՝ 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 կոորդինատները համապատասխանում են կոորդինատային ճառագայթի մեկ կետին, քանի որ բոլոր գրված կոտորակները հավասար են (այն գտնվում է շարված կիսակառույց հատվածի հեռավորության վրա։ ծագումից՝ դրական ուղղությամբ):

Հորիզոնական և աջ ուղղված կոորդինատային ճառագայթների վրա այն կետը, որի կոորդինատը ավելի մեծ կոտորակն է, գտնվում է այն կետից աջ, որի կոորդինատը փոքր կոտորակն է: Նմանապես, ավելի փոքր կոորդինատով կետը գտնվում է ավելի մեծ կոորդինատ ունեցող կետից ձախ:

Պատշաճ և ոչ պատշաճ կոտորակներ, սահմանումներ, օրինակներ

Սովորական կոտորակների թվում կան պատշաճ և ոչ պատշաճ կոտորակներ. Այս բաժանումը հիմնված է համարիչի և հայտարարի համեմատության վրա:

Սահմանենք ճիշտ և ոչ պատշաճ սովորական կոտորակները:

Սահմանում.

Պատշաճ կոտորակսովորական կոտորակ է, որի համարիչը փոքր է հայտարարից, այսինքն՝ եթե մ

Սահմանում.

Անպատշաճ կոտորակսովորական կոտորակ է, որի համարիչը մեծ է կամ հավասար է հայտարարին, այսինքն՝ եթե m≥n, ապա սովորական կոտորակը սխալ է։

Ահա ճիշտ կոտորակների մի քանի օրինակներ՝ 1/4, , 32,765/909,003: Իրոք, գրված սովորական կոտորակներից յուրաքանչյուրում համարիչը փոքր է հայտարարից (անհրաժեշտության դեպքում տե՛ս բնական թվերը համեմատող հոդվածը), ուստի դրանք ըստ սահմանման ճիշտ են։

Ահա անպատշաճ կոտորակների օրինակներ՝ 9/9, 23/4, . Իրոք, գրված սովորական կոտորակներից առաջինի համարիչը հավասար է հայտարարին, իսկ մնացած կոտորակներում համարիչը մեծ է հայտարարից։

Գոյություն ունեն նաև պատշաճ և անպատշաճ կոտորակների սահմանումներ՝ կոտորակները մեկի հետ համեմատելու հիման վրա։

Սահմանում.

ճիշտ, եթե այն մեկից պակաս է։

Սահմանում.

Սովորական կոտորակը կոչվում է սխալ, եթե այն հավասար է մեկի կամ 1-ից մեծ։

Այսպիսով, 7/11 ընդհանուր կոտորակը ճիշտ է, քանի որ 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1, իսկ 27/27=1:

Եկեք մտածենք, թե ինչպես են հայտարարից մեծ կամ հավասար համարիչ ունեցող սովորական կոտորակները արժանի նման անվանման՝ «անպատշաճ»:

Օրինակ, վերցնենք ոչ պատշաճ կոտորակը 9/9: Այս կոտորակը նշանակում է, որ ինը մասից կազմված առարկայից վերցված է ինը մաս։ Այսինքն՝ առկա ինը մասերից մենք կարող ենք մի ամբողջ առարկա կազմել։ Այսինքն՝ ոչ պատշաճ 9/9 կոտորակը ըստ էության տալիս է ամբողջ օբյեկտը, այսինքն՝ 9/9 = 1։ Ընդհանրապես, հայտարարին հավասար համարիչ ունեցող ոչ պատշաճ կոտորակները նշանակում են մեկ ամբողջ առարկա, և այդպիսի կոտորակը կարող է փոխարինվել 1 բնական թվով։

Այժմ դիտարկենք 7/3 և 12/4 ոչ պատշաճ կոտորակները: Ակնհայտ է, որ այս յոթ երրորդ մասերից մենք կարող ենք կազմել երկու ամբողջական առարկա (մեկ ամբողջ առարկան բաղկացած է 3 մասից, այնուհետև երկու ամբողջ առարկա կազմելու համար մեզ անհրաժեշտ կլինի 3 + 3 = 6 մաս) և դեռ կմնա մեկ երրորդ մասը։ . Այսինքն՝ ոչ պատշաճ կոտորակը 7/3 ըստ էության նշանակում է 2 առարկա և նաև այդպիսի առարկայի 1/3։ Իսկ տասներկու քառորդ մասերից մենք կարող ենք երեք ամբողջական առարկա պատրաստել (երեք առարկա յուրաքանչյուրը չորս մասով): Այսինքն՝ 12/4 կոտորակն ըստ էության նշանակում է 3 ամբողջ օբյեկտ։

Քննված օրինակները մեզ տանում են հետևյալ եզրակացության. սխալ կոտորակները կարելի է փոխարինել կամ բնական թվերով, երբ համարիչը հավասարապես բաժանվում է հայտարարի վրա (օրինակ՝ 9/9=1 և 12/4=3), կամ գումարով։ բնական թվի և պատշաճ կոտորակի, երբ համարիչը հավասարապես չի բաժանվում հայտարարի վրա (օրինակ՝ 7/3=2+1/3)։ Թերևս դա հենց այն է, որ անպատշաճ ֆրակցիաներին «անկանոն» անվանումը ստացավ։

Առանձնահատուկ հետաքրքրություն է ներկայացնում ոչ պատշաճ կոտորակը որպես բնական թվի և պատշաճ կոտորակի գումար (7/3=2+1/3): Այս գործընթացը կոչվում է ամբողջ մասի բաժանում ոչ պատշաճ կոտորակից և արժանի է առանձին և ավելի ուշադիր քննարկման:

Հարկ է նաև նշել, որ անպատշաճ կոտորակների և խառը թվերի միջև շատ սերտ կապ կա:

Դրական և բացասական կոտորակներ

Յուրաքանչյուր սովորական կոտորակ համապատասխանում է դրական կոտորակային թվի (տե՛ս հոդվածը դրական և բացասական թվերի մասին)։ Այսինքն՝ սովորական կոտորակներն են դրական կոտորակներ. Օրինակ՝ 1/5, 56/18, 35/144 սովորական կոտորակները դրական կոտորակներ են։ Երբ պետք է ընդգծել կոտորակի դրականությունը, դրա դիմաց դրվում է գումարած նշան, օրինակ՝ +3/4, +72/34:

Եթե ​​ընդհանուր կոտորակի դիմաց մինուս նշան եք դնում, ապա այս գրառումը կհամապատասխանի բացասական կոտորակային թվի: Այս դեպքում կարելի է խոսել բացասական կոտորակներ. Ահա բացասական կոտորակների մի քանի օրինակներ՝ −6/10, −65/13, −1/18:

Դրական և բացասական m/n և −m/n կոտորակները հակադիր թվեր են։ Օրինակ՝ 5/7 և −5/7 կոտորակները հակադիր կոտորակներ են։

Դրական կոտորակները, ինչպես ընդհանուր առմամբ դրական թվերը, նշանակում են հավելում, եկամուտ, ցանկացած արժեքի վերընթաց փոփոխություն և այլն։ Բացասական կոտորակները համապատասխանում են ծախսին, պարտքին կամ ցանկացած քանակի նվազմանը: Օրինակ, բացասական −3/4 կոտորակը կարելի է մեկնաբանել որպես պարտք, որի արժեքը հավասար է 3/4-ի։

Հորիզոնական և աջ ուղղությամբ բացասական կոտորակները գտնվում են սկզբնաղբյուրից ձախ: Կոորդինատային ուղղի այն կետերը, որոնց կոորդինատներն են m/n դրական կոտորակը և −m/n բացասական կոտորակը, գտնվում են սկզբնակետից նույն հեռավորության վրա, բայց O կետի հակառակ կողմերում։

Այստեղ հարկ է նշել 0/n ձևի կոտորակներ։ Այս կոտորակները հավասար են զրոյի թվին, այսինքն՝ 0/n=0։

Դրական կոտորակները, բացասական կոտորակները և 0/n կոտորակները միավորվում են՝ կազմելով ռացիոնալ թվեր:

Գործողություններ կոտորակներով

Մենք արդեն քննարկել ենք մեկ գործողություն սովորական կոտորակների հետ՝ կոտորակների համեմատությունը վերևում։ Սահմանված են ևս չորս թվաբանական ֆունկցիաներ գործողություններ կոտորակների հետ- կոտորակների գումարում, հանում, բազմապատկում և բաժանում: Եկեք նայենք նրանցից յուրաքանչյուրին:

Կոտորակների հետ գործողությունների ընդհանուր էությունը նման է բնական թվերի հետ համապատասխան գործողությունների էությանը։ Եկեք անալոգիա անենք.

Կոտորակների բազմապատկումկարելի է ընկալել որպես կոտորակից կոտորակ գտնելու գործողություն: Պարզաբանելու համար բերենք մի օրինակ. Եկեք ունենանք խնձորի 1/6-ը, և մենք պետք է վերցնենք դրա 2/3-ը: Մեզ անհրաժեշտ մասը 1/6 և 2/3 կոտորակները բազմապատկելու արդյունք է։ Երկու սովորական կոտորակների բազմապատկման արդյունքը սովորական կոտորակն է (որը հատուկ դեպքում հավասար է բնական թվի)։ Այնուհետև խորհուրդ ենք տալիս ուսումնասիրել կոտորակների բազմապատկում - կանոններ, օրինակներ և լուծումներ հոդվածի տեղեկատվությունը:

Մատենագիտություն.

• Վիլենկին Ն.Յա., Ժոխով Վ.Ի., Չեսնոկով Ա.Ս., Շվարցբուրդ Ս.Ի. Մաթեմատիկա՝ դասագիրք 5-րդ դասարանի համար. ուսումնական հաստատություններ.
• Վիլենկին Ն.Յա. և այլն։Մաթեմատիկա։ 6-րդ դասարան՝ դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների համար.
• Գուսև Վ.Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ. Մաթեմատիկա (ձեռնարկ տեխնիկում ընդունողների համար).

Մաս- թվի ներկայացման ձև մաթեմատիկայի մեջ: Կոտորակի բարը ցույց է տալիս բաժանման գործողությունը: ՀամարիչԿոտորակը կոչվում է շահաբաժին, և հայտարար- բաժանարար: Օրինակ՝ կոտորակի մեջ համարիչը 5 է, հայտարարը՝ 7։

Ճիշտ էԿոտորակը կոչվում է այն կոտորակը, որի դեպքում համարիչի մոդուլը մեծ է հայտարարի մոդուլից։ Եթե ​​կոտորակը ճիշտ է, ապա դրա արժեքի մոդուլը միշտ փոքր է 1-ից: Մնացած բոլոր կոտորակները սխալ.

Կոտորակը կոչվում է խառը, եթե այն գրված է որպես ամբողջ թիվ և կոտորակ։ Սա նույնն է, ինչ այս թվի և կոտորակի գումարը.

Կոտորակի հիմնական հատկությունը

Եթե ​​կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկվում են նույն թվով, ապա կոտորակի արժեքը չի փոխվի, այսինքն, օրինակ.

Կոտորակների կրճատումը ընդհանուր հայտարարի

Երկու կոտորակ ընդհանուր հայտարարի բերելու համար անհրաժեշտ է.

1. Առաջին կոտորակի համարիչը բազմապատկեք երկրորդի հայտարարով
2. Երկրորդ կոտորակի համարիչը բազմապատկեք առաջինի հայտարարով
3. Երկու կոտորակների հայտարարները փոխարինիր նրանց արտադրյալով

Գործողություններ կոտորակներով

Հավելում.Երկու կոտորակ ավելացնելու համար անհրաժեշտ է

1. Ավելացրե՛ք երկու կոտորակների նոր համարիչները և թողե՛ք հայտարարը անփոփոխ

Օրինակ:

Հանում.Մեկ կոտորակը մյուսից հանելու համար անհրաժեշտ է

1. Կոտորակները կրճատել ընդհանուր հայտարարի
2. Առաջին կոտորակի համարիչից հանեք երկրորդի համարիչը և թողեք հայտարարը անփոփոխ.

Օրինակ:

Բազմապատկում.Մի կոտորակը մյուսով բազմապատկելու համար բազմապատկեք դրանց համարիչները և հայտարարները.

Բաժանում.Մի կոտորակը մյուսի վրա բաժանելու համար առաջին կոտորակի համարիչը բազմապատկեք երկրորդի հայտարարով, իսկ առաջին կոտորակի հայտարարը բազմապատկեք երկրորդի համարիչով.

Կոտորակներ

Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
նյութեր 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր շատ «ոչ շատ ...» են:
Եվ նրանց համար, ովքեր «շատ ...»)

Կոտորակներն այնքան էլ տհաճ չեն ավագ դպրոցում: Առայժմ. Քանի դեռ չեք հանդիպել ռացիոնալ ցուցիչներով և լոգարիթմներով հզորությունների: Եւ այնտեղ... Դուք սեղմում եք և սեղմում եք հաշվիչը, և այն ցույց է տալիս որոշ թվերի ամբողջական ցուցադրում: Պետք է գլխով մտածես, ինչպես երրորդ դասարանում։

Եկեք վերջապես պարզենք կոտորակները: Դե ինչքա՞ն կարելի է դրանց մեջ շփոթել։ Ավելին, ամեն ինչ պարզ է և տրամաբանական: Այսպիսով, որո՞նք են կոտորակների տեսակները:

Կոտորակների տեսակները. Փոխակերպումներ.

Գոյություն ունեն երեք տեսակի կոտորակներ.

1. Ընդհանուր կոտորակներ , Օրինակ:

Երբեմն հորիզոնական գծի փոխարեն շեղ են դնում՝ 1/2, 3/4, 19/5, լավ և այլն։ Այստեղ մենք հաճախ կօգտագործենք այս ուղղագրությունը։ Վերին համարը կոչվում է համարիչ, ավելի ցածր - հայտարար.Եթե ​​դուք անընդհատ շփոթում եք այս անունները (պատահում է...), ասեք ինքներդ ձեզ հետևյալ արտահայտությունը. Զզզզզհիշիր Զզզզզհայտարար - նայիր զզզզզըհը: Տեսեք, ամեն ինչ կհիշվի:)

Հորիզոնական կամ թեքված գծիկը նշանակում է բաժանումվերևի թիվը (համարիչը) մինչև ներքև (հայտարար): Այսքանը: Գծի փոխարեն միանգամայն հնարավոր է բաժանման նշան դնել՝ երկու կետ։

Երբ հնարավոր է ամբողջական բաժանում, դա պետք է արվի: Այսպիսով, «32/8» կոտորակի փոխարեն շատ ավելի հաճելի է գրել «4» թիվը։ Նրանք. 32-ը պարզապես բաժանվում է 8-ի:

32/8 = 32: 8 = 4

Էլ չեմ խոսում «4/1» կոտորակի մասին։ Որը նույնպես ընդամենը «4» է։ Իսկ եթե այն ամբողջությամբ բաժանելի չէ, թողնում ենք որպես կոտորակ: Երբեմն պետք է հակառակ գործողությունն անել։ Ամբողջ թիվը վերածիր կոտորակի: Բայց դրա մասին ավելի ուշ:

2. Տասնորդականներ , Օրինակ:

Այս ձևով է, որ ձեզ հարկավոր է գրել «B» առաջադրանքների պատասխանները:

3. Խառը թվեր , Օրինակ:

Ավագ դպրոցում խառը թվերը գործնականում չեն կիրառվում։ Նրանց հետ աշխատելու համար դրանք պետք է վերածվեն սովորական կոտորակների։ Բայց դուք անպայման պետք է կարողանաք դա անել: Հակառակ դեպքում խնդրի մեջ կհանդիպեք նման թվի ու կսառչեք... Ոչ մի տեղից։ Բայց մենք կհիշենք այս ընթացակարգը: Մի փոքր ավելի ցածր:

Առավել բազմակողմանի ընդհանուր կոտորակներ. Սկսենք նրանցից: Ի դեպ, եթե կոտորակը պարունակում է բոլոր տեսակի լոգարիթմներ, սինուսներ և այլ տառեր, դա ոչինչ չի փոխում: Այն առումով, որ ամեն ինչ Կոտորակային արտահայտություններով գործողությունները ոչնչով չեն տարբերվում սովորական կոտորակներով գործողություններից!

Կոտորակի հիմնական հատկությունը.

Այսպիսով, եկեք գնանք: Սկզբից ես ձեզ կզարմացնեմ։ Կոտորակների փոխակերպումների ամբողջ բազմազանությունը ապահովված է մեկ հատկությամբ: այդպես է կոչվում Կոտորակի հիմնական հատկությունը. Հիշեք. Եթե ​​կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկվում են (բաժանվում) նույն թվով, կոտորակը չի փոխվում։Դրանք.

Հասկանալի է, որ կարող ես շարունակել գրել այնքան ժամանակ, քանի դեռ երեսին կապտել ես։ Թույլ մի տվեք, որ սինուսները և լոգարիթմները ձեզ շփոթեցնեն, մենք դրանցով կզբաղվենք հետագա: Հիմնական բանը հասկանալն է, որ այս բոլոր տարբեր արտահայտություններն են նույն կոտորակը . 2/3.

Մեզ պե՞տք է դա, այս բոլոր փոխակերպումները։ Եվ ինչպես! Այժմ դուք ինքներդ կտեսնեք: Սկզբից եկեք օգտագործենք կոտորակի հիմնական հատկությունը համար կրճատող կոտորակներ. Դա տարրական բան է թվում։ Բաժանե՛ք համարիչն ու հայտարարը նույն թվի վրա և վերջ։ Անհնար է սխալվել! Բայց... մարդը ստեղծագործ էակ է։ Դուք կարող եք սխալվել ցանկացած վայրում: Հատկապես, եթե դուք պետք է կրճատեք ոչ թե 5/10-ի նման կոտորակը, այլ բոլոր տեսակի տառերով կոտորակային արտահայտությունը:

Ինչպես ճիշտ և արագ կրճատել կոտորակները՝ առանց լրացուցիչ աշխատանք կատարելու, կարելի է կարդալ 555-րդ հատուկ բաժնում:

Սովորական ուսանողը չի անհանգստանում համարիչն ու հայտարարը բաժանել նույն թվի (կամ արտահայտության) վրա: Նա պարզապես հատում է այն ամենը, ինչ վերևում և ներքևում նույնն է: Այստեղ է, որ թաքնված է տիպիկ սխալ, կոպիտ սխալ, եթե կուզեք:

Օրինակ, դուք պետք է պարզեցնեք արտահայտությունը.

Այստեղ մտածելու բան չկա, վերևում հատեք «ա» տառը, իսկ ներքևում՝ «2» տառը: Մենք ստանում ենք.

Ամեն ինչ ճիշտ է։ Բայց իրականում դուք բաժանվել եք բոլորը համարիչ և բոլորը հայտարարը «ա» է։ Եթե ​​դուք սովոր եք պարզապես հատել, ապա շտապով կարող եք հատել «ա»-ն արտահայտության մեջ

և նորից ստացիր

Ինչը կտրականապես չի համապատասխանում իրականությանը: Քանի որ այստեղ բոլորը«ա»-ի համարիչն արդեն կա չի կիսվում! Այս մասնաբաժինը չի կարող կրճատվել: Ի դեպ, նման կրճատումը, հըմ... լուրջ մարտահրավեր է ուսուցչի համար։ Սա չի ներվում! Հիշում ես? Կրճատելիս պետք է բաժանել բոլորը համարիչ և բոլորը հայտարար!

Կոտորակների կրճատումը շատ ավելի հեշտ է դարձնում կյանքը: Դուք ինչ-որ տեղ կստանաք կոտորակ, օրինակ 375/1000: Ինչպե՞ս կարող եմ այժմ շարունակել աշխատել նրա հետ: Առանց հաշվիչի? Բազմապատկել, ասել, ավելացնել, քառակուսի! Իսկ եթե շատ ծույլ չես, և զգուշորեն կրճատիր այն հինգով, ևս հինգով, և նույնիսկ... մինչ այն կրճատվում է, մի խոսքով: Եկեք ստանանք 3/8: Շատ ավելի գեղեցիկ, չէ՞:

Կոտորակի հիմնական հատկությունը թույլ է տալիս սովորական կոտորակները վերածել տասնորդականների և հակառակը առանց հաշվիչի! Սա կարևոր է միասնական պետական ​​քննության համար, չէ՞:

Ինչպես փոխարկել կոտորակները մի տեսակից մյուսը:

Տասնորդական կոտորակներով ամեն ինչ պարզ է: Ինչպես լսվում է, այնպես էլ գրված է։ Ասենք 0,25։ Սա զրո կետ է քսանհինգ հարյուրերորդական: Այսպիսով, մենք գրում ենք. 25/100: Փոքրացնում ենք (համարն ու հայտարարը բաժանում ենք 25-ի), ստանում ենք սովորական կոտորակը` 1/4։ Բոլորը. Դա տեղի է ունենում, և ոչինչ չի կրճատվում: 0.3-ի նման: Սա երեք տասներորդ է, այսինքն. 3/10.

Իսկ եթե ամբողջ թվերը զրո չեն: Ամեն ինչ կարգին է. Գրում ենք ամբողջ կոտորակը առանց ստորակետներիհամարիչում, իսկ հայտարարում՝ լսածը։ Օրինակ՝ 3.17. Սա երեք կետ է տասնյոթ հարյուրերորդական: Համարում գրում ենք 317, հայտարարում՝ 100, ստանում ենք 317/100։ Ոչինչ չի կրճատվում, դա նշանակում է ամեն ինչ։ Սա է պատասխանը։ Տարրական Ուոթսոն! Ասվածից օգտակար եզրակացություն. ցանկացած տասնորդական կոտորակ կարող է վերածվել ընդհանուր կոտորակի .

Բայց որոշ մարդիկ չեն կարող հակառակ փոխակերպումը սովորականից տասնորդականի առանց հաշվիչի: Եվ դա անհրաժեշտ է! Ինչպե՞ս եք գրի առնելու միասնական պետական ​​քննության պատասխանը։ Ուշադիր կարդացեք և տիրապետեք այս գործընթացին։

Ո՞րն է տասնորդական կոտորակի առանձնահատկությունը: Նրա հայտարարն է Միշտարժե 10, կամ 100, կամ 1000, կամ 10000 և այլն: Եթե ​​ձեր ընդհանուր կոտորակն ունի այսպիսի հայտարար, ապա խնդիր չկա: Օրինակ, 4/10 = 0.4: Կամ 7/100 = 0,07: Կամ 12/10 = 1.2: Իսկ եթե «B» բաժնի առաջադրանքի պատասխանը ստացվի 1/2: Ինչ կգրենք ի պատասխան. Տասնորդականները պարտադիր են...

Հիշենք Կոտորակի հիմնական հատկությունը ! Մաթեմատիկան բարենպաստորեն թույլ է տալիս բազմապատկել համարիչն ու հայտարարը նույն թվով: Ամեն ինչ, ի դեպ! Բացի զրոյից, իհարկե։ Այսպիսով, եկեք օգտագործենք այս գույքը մեր օգտին: Ինչո՞վ կարող է բազմապատկվել հայտարարը, այսինքն. 2, որ դառնա 10, թե՞ 100, թե՞ 1000 (ավելի փոքր է, իհարկե...): 5-ում, ակնհայտ է: Ազատորեն բազմապատկեք հայտարարը (սա է մեզանհրաժեշտ է) 5-ով: Բայց հետո համարիչը նույնպես պետք է բազմապատկվի 5-ով: Սա արդեն Մաթեմատիկապահանջներ! Մենք ստանում ենք 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5: Այսքանը:

Այնուամենայնիվ, բոլոր տեսակի հայտարարները հանդիպում են: Կհանդիպեք, օրինակ, 3/16 կոտորակին։ Փորձեք և պարզեք, թե ինչով պետք է բազմապատկել 16-ը, որպեսզի ստացվի 100 կամ 1000... Արդյո՞ք դա չի աշխատում: Հետո կարելի է ուղղակի 3-ը բաժանել 16-ի: Հաշվիչի բացակայության դեպքում ստիպված կլինեք բաժանել անկյունով, թղթի վրա, ինչպես սովորեցնում էին տարրական դպրոցում: Մենք ստանում ենք 0,1875:

Եվ կան նաև շատ վատ հայտարարներ։ Օրինակ՝ 1/3 կոտորակը լավ տասնորդականի վերածելու միջոց չկա։ Ե՛վ հաշվիչի վրա, և՛ թղթի վրա մենք ստանում ենք 0,3333333... Սա նշանակում է, որ 1/3-ը ճշգրիտ տասնորդական կոտորակ է։ չի թարգմանում. Նույնը, ինչ 1/7, 5/6 և այլն: Դրանք շատ են՝ անթարգմանելի։ Սա մեզ բերում է մեկ այլ օգտակար եզրակացության. Ամեն կոտորակ չէ, որ կարող է վերածվել տասնորդականի !

Ի դեպ, սա օգտակար տեղեկատվություն է ինքնաթեստավորման համար։ «B» բաժնում դուք պետք է ձեր պատասխանում գրեք տասնորդական կոտորակ: Եվ դուք ստացել եք, օրինակ, 4/3: Այս կոտորակը չի վերածվում տասնորդականի: Սա նշանակում է, որ ճանապարհին ինչ-որ տեղ սխալ եք թույլ տվել: Վերադարձեք և ստուգեք լուծումը։

Այսպիսով, մենք պարզեցինք սովորական և տասնորդական կոտորակները: Մնում է միայն գործ ունենալ խառը թվերի հետ։ Նրանց հետ աշխատելու համար դրանք պետք է վերածվեն սովորական կոտորակների։ Ինչպե՞ս դա անել: Դուք կարող եք բռնել վեցերորդ դասարանցուն և հարցնել նրան. Բայց վեցերորդ դասարանցին միշտ չէ, որ ձեռքի տակ կլինի... Դուք պետք է դա անեք ինքներդ: Դժվար չէ։ Պետք է կոտորակային մասի հայտարարը բազմապատկել ամբողջ մասով և ավելացնել կոտորակային մասի համարիչը։ Սա կլինի ընդհանուր կոտորակի համարիչը: Ինչ վերաբերում է հայտարարին: Հայտարարը կմնա նույնը. Բարդ է թվում, բայց իրականում ամեն ինչ պարզ է։ Դիտարկենք մի օրինակ։

Ենթադրենք, որ դուք սարսափել եք՝ տեսնելով խնդրի մեջ նշված թիվը.

Հանգիստ, առանց խուճապի, մտածում ենք. Ամբողջ մասը կազմում է 1. Միավոր. Կոտորակային մասը 3/7 է։ Հետևաբար, կոտորակային մասի հայտարարը 7 է։ Այս հայտարարը կլինի սովորական կոտորակի հայտարարը։ Մենք հաշվում ենք համարիչը: 7-ը բազմապատկում ենք 1-ով (ամբողջական մասը) և ավելացնում ենք 3 (կոտորակային մասի համարիչը): Մենք ստանում ենք 10: Սա կլինի ընդհանուր կոտորակի համարիչը: Այսքանը: Այն նույնիսկ ավելի պարզ է թվում մաթեմատիկական նշումով.

Պարզ է՞ Ապա ապահովե՛ք ձեր հաջողությունը: Փոխարկել սովորական կոտորակների: Դուք պետք է ստանաք 10/7, 7/2, 23/10 և 21/4:

Հակադարձ գործողությունը՝ ոչ պատշաճ կոտորակը խառը թվի վերածելը, հազվադեպ է պահանջվում ավագ դպրոցում: Դե, եթե այդպես է... Իսկ եթե ավագ դպրոցում չեք, կարող եք նայել 555-րդ հատուկ բաժինը: Ի դեպ, այնտեղ կիմանաք նաև ոչ պատշաճ կոտորակների մասին։

Դե, դա գործնականում բոլորն է: Հիշեցիր կոտորակների տեսակներն ու հասկացար Ինչպես դրանք տեղափոխել մի տեսակից մյուսը: Հարցը մնում է. Ինչի համար Արա? Որտե՞ղ և ե՞րբ կիրառել այս խորը գիտելիքները:

Ես պատասխանում եմ. Ցանկացած օրինակ ինքնին հուշում է անհրաժեշտ գործողություններ։ Եթե ​​օրինակում սովորական կոտորակները, տասնորդականները և նույնիսկ խառը թվերը խառնվում են իրար, մենք ամեն ինչ վերածում ենք սովորական կոտորակների։ Դա միշտ կարելի է անել. Դե եթե գրված է 0,8 + 0,3-ի նման մի բան, ուրեմն այդպես էլ հաշվում ենք՝ առանց թարգմանության։ Ինչու՞ մեզ լրացուցիչ աշխատանք է պետք: Մենք ընտրում ենք այն լուծումը, որը հարմար է մեզ !

Եթե ​​առաջադրանքը բոլորը տասնորդական կոտորակներ են, բայց հըմ... ինչ-որ չար, գնացեք սովորականների մոտ և փորձեք այն: Տեսեք, ամեն ինչ կստացվի։ Օրինակ, դուք պետք է քառակուսի դարձնեք 0,125 թիվը: Դա այնքան էլ հեշտ չէ, եթե դուք չեք սովորել օգտագործել հաշվիչ: Պետք է ոչ միայն բազմապատկել թվերը սյունակում, այլև պետք է մտածել, թե որտեղ դնել ստորակետը: Դա հաստատ չի աշխատի ձեր գլխում: Իսկ եթե անցնենք սովորական կոտորակի:

0,125 = 125/1000: Մենք նվազեցնում ենք այն 5-ով (սա սկսնակների համար է): Մենք ստանում ենք 25/200: Կրկին 5-ով: Մենք ստանում ենք 5/40: Օ՜, այն դեռ փոքրանում է: Վերադարձ դեպի 5։ Մենք ստանում ենք 1/8: Մենք հեշտությամբ քառակուսի ենք այն (մեր մտքում!) և ստանում ենք 1/64: Բոլորը!

Եկեք ամփոփենք այս դասը:

1. Կոտորակների երեք տեսակ կա. Ընդհանուր, տասնորդական և խառը թվեր:

2. Տասնորդական և խառը թվեր Միշտկարող է վերածվել սովորական կոտորակների: Հակադարձ փոխանցում ոչ միշտհասանելի.

3. Առաջադրանքի հետ աշխատելու համար կոտորակների տեսակի ընտրությունը կախված է հենց առաջադրանքից: Եթե ​​մեկ առաջադրանքի մեջ կան տարբեր տեսակի կոտորակներ, ապա ամենահուսալի բանը սովորական կոտորակների անցնելն է։

Այժմ դուք կարող եք զբաղվել: Նախ, այս տասնորդական կոտորակները վերածեք սովորական կոտորակների.

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Դուք պետք է ստանաք այսպիսի պատասխաններ (խառնաշփոթի մեջ).

Եկեք ավարտենք այստեղ: Այս դասում մենք թարմացրինք մեր հիշողությունը կոտորակների վերաբերյալ հիմնական կետերի վերաբերյալ: Պատահում է, սակայն, որ թարմացնելու առանձնահատուկ բան չկա...) Եթե ինչ-որ մեկը ամբողջովին մոռացել է, կամ դեռ չի յուրացրել... Ապա կարող ես գնալ հատուկ 555 Բաժին։ Այնտեղ մանրամասն նկարագրված են բոլոր հիմունքները: Շատերը հանկարծ հասկանալ ամեն ինչսկսում են. Եվ նրանք կոտորակներ են լուծում ճանճում):

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Եկեք սովորենք - հետաքրքրությամբ!)

Կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։

Մաթեմատիկայի մասին խոսելիս չի կարելի չհիշել կոտորակները։ Նրանց ուսումնասիրությանը մեծ ուշադրություն և ժամանակ է հատկացվում։ Հիշեք, թե քանի օրինակ պետք է լուծեիք կոտորակների հետ աշխատելու որոշակի կանոններ սովորելու համար, ինչպես եք մտապահել և կիրառել կոտորակի հիմնական հատկությունը: Որքա՜ն նյարդեր են ծախսվել ընդհանուր հայտարարը գտնելու համար, հատկապես, եթե օրինակները երկու անդամից ավելի են եղել։

Հիշենք, թե ինչ է դա և մի փոքր թարմացնենք կոտորակների հետ աշխատելու հիմնական տեղեկություններն ու կանոնները։

Կոտորակների սահմանում

Սկսենք, թերեւս, ամենագլխավորից՝ սահմանումից։ Կոտորակը այն թիվն է, որը կազմված է միավորի մեկ կամ մի քանի մասերից: Կոտորակային թիվը գրվում է որպես երկու թվեր, որոնք իրարից բաժանված են հորիզոնական կամ շեղ: Այս դեպքում վերևը (կամ առաջինը) կոչվում է համարիչ, իսկ ներքևը (երկրորդը)՝ հայտարար։

Հարկ է նշել, որ հայտարարը ցույց է տալիս, թե քանի մասի է բաժանված միավորը, իսկ համարիչը ցույց է տալիս վերցված բաժնետոմսերի կամ մասերի քանակը։ Հաճախ կոտորակները, եթե ճիշտ են, մեկից պակաս են:

Հիմա եկեք տեսնենք այս թվերի հատկությունները և հիմնական կանոնները, որոնք օգտագործվում են դրանց հետ աշխատելիս: Բայց նախքան «ռացիոնալ կոտորակի հիմնական հատկությունը» հասկացությունը ուսումնասիրելը, եկեք խոսենք կոտորակների տեսակների և դրանց առանձնահատկությունների մասին:

Ի՞նչ են կոտորակները:

Նման թվերի մի քանի տեսակներ կան. Առաջին հերթին դրանք սովորական և տասնորդական են: Առաջինը ներկայացնում է ձայնագրության տեսակը, որը մենք արդեն նշել ենք՝ օգտագործելով հորիզոնական կամ շեղ: Կոտորակների երկրորդ տեսակը նշվում է այսպես կոչված դիրքային նշումով, երբ սկզբում նշվում է թվի ամբողջական մասը, իսկ հետո տասնորդական կետից հետո նշվում է կոտորակային մասը։

Այստեղ հարկ է նշել, որ մաթեմատիկայի մեջ հավասարապես օգտագործվում են և՛ տասնորդական, և՛ սովորական կոտորակները։ Կոտորակի հիմնական հատկությունը վավեր է միայն երկրորդ տարբերակի համար։ Բացի այդ, սովորական կոտորակները բաժանվում են կանոնավոր և ոչ պատշաճ թվերի։ Առաջինի համար համարիչը միշտ փոքր է հայտարարից: Նշենք նաև, որ նման կոտորակը մեկից փոքր է: Անպատշաճ կոտորակի մեջ, ընդհակառակը, համարիչը մեծ է հայտարարից, իսկ ինքը՝ կոտորակը, մեկից մեծ։ Այս դեպքում նրանից կարելի է ամբողջ թիվ հանել։ Այս հոդվածում մենք կքննարկենք միայն սովորական կոտորակները:

Կոտորակների հատկությունները

Ցանկացած երևույթ՝ քիմիական, ֆիզիկական կամ մաթեմատիկական, ունի իր առանձնահատկություններն ու հատկությունները։ Կոտորակային թվերը բացառություն չէին։ Նրանք ունեն մեկ կարևոր հատկություն, որի օգնությամբ կարելի է որոշակի գործողություններ կատարել դրանց վրա։ Ո՞րն է կոտորակի հիմնական հատկությունը: Կանոնն ասում է, որ եթե նրա համարիչը և հայտարարը բազմապատկվեն կամ բաժանվեն միևնույն ռացիոնալ թվով, մենք ստանում ենք նոր կոտորակ, որի արժեքը հավասար կլինի սկզբնականի արժեքին։ Այսինքն՝ 3/6 կոտորակային թվի երկու մասերը 2-ով բազմապատկելով՝ ստանում ենք նոր 6/12 կոտորակ, և դրանք հավասար կլինեն։

Այս հատկության հիման վրա դուք կարող եք կրճատել կոտորակները, ինչպես նաև ընտրել ընդհանուր հայտարարներ որոշակի զույգ թվերի համար:

Գործողություններ

Չնայած կոտորակները թվում են ավելի բարդ, դրանք կարող են օգտագործվել նաև մաթեմատիկական հիմնական գործողություններ կատարելու համար, ինչպիսիք են գումարումը և հանումը, բազմապատկումը և բաժանումը: Բացի այդ, կա այնպիսի կոնկրետ գործողություն, ինչպիսին է ֆրակցիաների կրճատումը: Բնականաբար, այս գործողություններից յուրաքանչյուրը կատարվում է որոշակի կանոնների համաձայն: Այս օրենքների իմացությունը կոտորակների հետ աշխատելն ավելի հեշտ, հեշտ և հետաքրքիր է դարձնում: Այդ իսկ պատճառով հաջորդիվ կդիտարկենք գործողությունների հիմնական կանոններն ու ալգորիթմը նման թվերի հետ աշխատելիս։

Բայց նախքան մաթեմատիկական գործողությունների մասին խոսելը, ինչպիսիք են գումարումն ու հանումը, եկեք նայենք այնպիսի գործողությանը, ինչպիսին է կրճատումը ընդհանուր հայտարարի: Այստեղ է, որ օգտակար է իմացությունը, թե որն է կոտորակի հիմնական հատկությունը:

Ընդհանուր հայտարար

Թիվը ընդհանուր հայտարարի կրճատելու համար նախ պետք է գտնել երկու հայտարարի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը: Այսինքն՝ ամենափոքր թիվը, որը միաժամանակ բաժանվում է երկու հայտարարների վրա՝ առանց մնացորդի։ LCM-ը (նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը) գտնելու ամենահեշտ ձևը տողի վրա մեկ հայտարարի, այնուհետև երկրորդի համար գրելն է և դրանցից համապատասխան թիվը գտնելը: Եթե ​​LCM-ն չի գտնվել, այսինքն՝ այս թվերը չունեն ընդհանուր բազմապատիկ, դուք պետք է բազմապատկեք դրանք, և ստացված արժեքը համարվում է LCM:

Այսպիսով, մենք գտել ենք LCM-ն, այժմ պետք է լրացուցիչ գործոն գտնել։ Դա անելու համար անհրաժեշտ է LCM-ն հերթափոխով բաժանել կոտորակների հայտարարների և ստացված թիվը գրել դրանցից յուրաքանչյուրի վրա: Հաջորդը, դուք պետք է բազմապատկեք համարիչն ու հայտարարը ստացված լրացուցիչ գործակցով և արդյունքները գրեք որպես նոր կոտորակ: Եթե ​​կասկածում եք, որ ստացված թիվը հավասար է նախորդին, հիշեք կոտորակի հիմնական հատկությունը։

Հավելում

Այժմ եկեք անմիջապես անցնենք կոտորակային թվերի մաթեմատիկական գործողություններին: Սկսենք ամենապարզից: Կոտորակներ ավելացնելու մի քանի տարբերակ կա։ Առաջին դեպքում երկու թվերն էլ նույն հայտարարն ունեն։ Այս դեպքում մնում է միայն համարիչները գումարել։ Բայց հայտարարը չի փոխվում։ Օրինակ, 1/5 + 3/5 = 4/5:

Եթե ​​կոտորակներն ունեն տարբեր հայտարարներ, դուք պետք է դրանք կրճատեք ընդհանուր հայտարարի և միայն դրանից հետո կատարեք գումարում: Մենք քննարկեցինք, թե ինչպես դա անել մի փոքր ավելի բարձր: Այս իրավիճակում կոտորակի հիմնական հատկությունը օգտակար կլինի: Կանոնը թույլ կտա թվերը բերել ընդհանուր հայտարարի: Արժեքը ոչ մի կերպ չի փոխվի։

Որպես այլընտրանք, կարող է պատահել, որ կոտորակը խառնվի: Այնուհետև նախ պետք է գումարել ամբողջ մասերը, իսկ հետո՝ կոտորակայինները։

Բազմապատկում

Այն ոչ մի հնարք չի պահանջում, և այս գործողությունը կատարելու համար անհրաժեշտ չէ իմանալ կոտորակի հիմնական հատկությունը։ Բավական է նախ բազմապատկել համարիչները և հայտարարները։ Այս դեպքում համարիչների արտադրյալը կդառնա նոր համարիչ, իսկ հայտարարները՝ նոր հայտարար։ Ինչպես տեսնում եք, ոչ մի բարդ բան չկա:

Միակ բանը, որ ձեզանից պահանջվում է, բազմապատկման աղյուսակների իմացությունն է, ինչպես նաև ուշադիր լինելը։ Բացի այդ, արդյունքը ստանալուց հետո պետք է անպայման ստուգել՝ այս թիվը կարելի է կրճատել, թե ոչ։ Թե ինչպես կարելի է կրճատել կոտորակները, մենք կխոսենք մի փոքր ուշ:

Հանում

Կատարելիս պետք է առաջնորդվել նույն կանոններով, ինչ ավելացնելիս։ Այսպիսով, նույն հայտարար ունեցող թվերում բավական է հանել ենթահամարիչը մինուենդի համարիչից։ Եթե ​​կոտորակներն ունեն տարբեր հայտարարներ, դուք պետք է դրանք կրճատեք ընդհանուր հայտարարի, ապա կատարեք այս գործողությունը: Ինչպես հավելման դեպքում, դուք պետք է օգտագործեք հանրահաշվական կոտորակների հիմնական հատկությունները, ինչպես նաև LCM-ներ և կոտորակների համար ընդհանուր գործակիցներ գտնելու հմտություններ:

Բաժանում

Եվ վերջին, ամենահետաքրքիր գործողությունը նման թվերի հետ աշխատելիս բաժանումն է։ Այն բավականին պարզ է և որևէ առանձնահատուկ դժվարություն չի առաջացնում նույնիսկ նրանց համար, ովքեր քիչ են հասկանում, թե ինչպես աշխատել կոտորակների, հատկապես գումարման և հանման հետ: Բաժանելիս գործում է նույն կանոնը, ինչ փոխադարձ կոտորակով բազմապատկելը։ Կոտորակի հիմնական հատկությունը, ինչպես բազմապատկման դեպքում, չի օգտագործվի այս գործողության համար։ Եկեք ավելի սերտ նայենք:

Թվերը բաժանելիս դիվիդենտը մնում է անփոփոխ։ Բաժանարար կոտորակը վերածվում է իր փոխադարձի, այսինքն՝ համարիչն ու հայտարարը փոխում են տեղերը։ Սրանից հետո թվերը բազմապատկվում են միմյանց հետ։

Կրճատում

Այսպիսով, մենք արդեն ուսումնասիրել ենք կոտորակների սահմանումն ու կառուցվածքը, դրանց տեսակները, այդ թվերի վրա գործողության կանոնները և պարզել հանրահաշվական կոտորակի հիմնական հատկությունը։ Հիմա եկեք խոսենք այնպիսի գործողության մասին, ինչպիսին է կրճատումը: Կոտորակի կրճատումը նրա փոխակերպման գործընթացն է՝ համարիչը և հայտարարը նույն թվի վրա բաժանելը: Այսպիսով, մասնաբաժինը կրճատվում է առանց իր հատկությունները փոխելու:

Սովորաբար մաթեմատիկական գործողություն կատարելիս պետք է ուշադիր նայել ստացված արդյունքին և պարզել՝ հնարավո՞ր է կրճատել ստացված կոտորակը, թե՞ ոչ։ Հիշեք, որ վերջնական արդյունքը միշտ պարունակում է կոտորակային թիվ, որը կրճատում չի պահանջում:

Այլ գործողություններ

Ի վերջո, մենք նշում ենք, որ մենք չենք թվարկել կոտորակային թվերի բոլոր գործողությունները, նշելով միայն ամենահայտնին և անհրաժեշտը: Կոտորակները կարելի է նաև համեմատել, վերածել տասնորդականների և հակառակը։ Բայց այս հոդվածում մենք չդիտարկեցինք այս գործողությունները, քանի որ մաթեմատիկայի մեջ դրանք կատարվում են շատ ավելի քիչ հաճախ, քան վերը ներկայացվածները:

եզրակացություններ

Նրանց հետ զրուցել ենք կոտորակային թվերի ու գործողությունների մասին։ Մենք ուսումնասիրել ենք նաև հիմնական գույքը, սակայն նշենք, որ այս բոլոր հարցերը մեր կողմից դիտարկվել են անցողիկ։ Մենք տվել ենք միայն ամենահայտնի և օգտագործված կանոնները և տվել ենք ամենակարևորը, մեր կարծիքով, խորհուրդը։

Այս հոդվածը կոչված է թարմացնելու ձեր մոռացված տեղեկությունները կոտորակների մասին, այլ ոչ թե նոր տեղեկություններ տալու և ձեր գլուխը լցնելու անվերջ կանոններով և բանաձևերով, որոնք, ամենայն հավանականությամբ, երբեք ձեզ օգտակար չեն լինի:

Հուսով ենք, որ հոդվածում ներկայացված նյութը, պարզ և հակիրճ, օգտակար էր ձեզ համար:

Բոլոր գիտությունների՝ մաթեմատիկայի թագուհուն ուսումնասիրելիս, ինչ-որ պահի բոլորը հանդիպում են կոտորակների։ Չնայած այս հայեցակարգը (ինչպես ինքնին կոտորակների տեսակները կամ դրանց հետ մաթեմատիկական գործողությունները) ամենևին էլ բարդ չէ, դուք պետք է ուշադիր վերաբերվեք դրան, քանի որ դպրոցից դուրս իրական կյանքում դա շատ օգտակար կլինի: Այսպիսով, եկեք թարմացնենք մեր գիտելիքները կոտորակների մասին՝ ինչ են դրանք, ինչի համար են դրանք, ինչ տեսակներ են դրանք և ինչպես կատարել տարբեր թվաբանական գործողություններ դրանցով։

Նորին Մեծություն ֆրակցիան. ինչ է դա

Մաթեմատիկայի մեջ կոտորակները թվեր են, որոնցից յուրաքանչյուրը բաղկացած է միավորի մեկ կամ մի քանի մասերից։ Նման կոտորակները կոչվում են նաև սովորական կամ պարզ: Որպես կանոն, դրանք գրվում են երկու թվերի տեսքով, որոնք բաժանված են հորիզոնական կամ կտրատող, այն կոչվում է «կոտորակային»: Օրինակ՝ ½, ¾:

Այս թվերից վերին կամ առաջինը համարիչն է (ցույց է տալիս, թե քանի մաս է վերցված թվից), իսկ ստորինը կամ երկրորդը հայտարարն է (ցույց է տալիս, թե քանի մասի է բաժանված միավորը)։

Կոտորակի բարը իրականում գործում է որպես բաժանման նշան: Օրինակ՝ 7:9=7/9

Ավանդաբար, սովորական կոտորակները մեկից պակաս են: Մինչդեռ տասնորդականները կարող են լինել դրանից ավելի մեծ:

Ինչի՞ համար են կոտորակները: Այո, ամեն ինչի համար, քանի որ իրական աշխարհում ոչ բոլոր թվերն են ամբողջ թվեր: Օրինակ, ճաշարանում երկու աշակերտուհիներ միասին մեկ համեղ շոկոլադ են գնել: Երբ նրանք պատրաստվում էին աղանդեր բաժանել, նրանք հանդիպեցին ընկերոջը և որոշեցին նրան նույնպես հյուրասիրել: Սակայն այժմ անհրաժեշտ է ճիշտ բաժանել շոկոլադե սալիկը, հաշվի առնելով, որ այն բաղկացած է 12 քառակուսուց։

Աղջիկները սկզբում ցանկանում էին ամեն ինչ հավասարապես բաժանել, իսկ հետո յուրաքանչյուրը կստանար չորս կտոր։ Բայց, լավ մտածելուց հետո, նրանք որոշեցին հյուրասիրել իրենց ընկերոջը շոկոլադի ոչ թե 1/3-ը, այլ 1/4-ը։ Եվ քանի որ աշակերտուհիները լավ չեն սովորել կոտորակները, հաշվի չեն առել, որ նման իրավիճակում կհայտնվեն 9 կտորով, որոնք շատ դժվար է բաժանել երկուսի։ Այս բավականին պարզ օրինակը ցույց է տալիս, թե որքան կարևոր է թվի մի մասը ճիշտ գտնելը: Բայց կյանքում նման դեպքերը շատ են։

Կոտորակների տեսակները՝ սովորական և տասնորդական

Բոլոր մաթեմատիկական կոտորակները բաժանված են երկու խոշոր կատեգորիաների՝ սովորական և տասնորդական։ Նրանցից առաջինի առանձնահատկությունները նկարագրված էին նախորդ պարբերությունում, ուստի այժմ արժե ուշադրություն դարձնել երկրորդին:

Տասնորդականը թվի կոտորակի դիրքային նշումն է, որը գրվում է գրավոր՝ բաժանված ստորակետով, առանց գծիկի կամ կտրվածքի: Օրինակ՝ 0,75, 0,5։

Իրականում, տասնորդական կոտորակը նույնական է սովորական կոտորակի հետ, սակայն նրա հայտարարը միշտ մեկն է, որին հաջորդում են զրոները, այստեղից էլ նրա անունը:

Ստորակետին նախորդող թիվն ամբողջ թիվ է, իսկ դրանից հետո ամեն ինչ՝ կոտորակ։ Ցանկացած պարզ կոտորակ կարող է վերածվել տասնորդականի: Այսպիսով, նախորդ օրինակում նշված տասնորդական կոտորակները կարելի է գրել սովորականի պես՝ ¾ և ½:

Հարկ է նշել, որ ինչպես տասնորդական, այնպես էլ սովորական կոտորակները կարող են լինել կամ դրական կամ բացասական: Եթե ​​դրանց նախորդում է «-» նշանը, ապա այս կոտորակը բացասական է, եթե «+»-ը դրական կոտորակ է:

Սովորական կոտորակների ենթատեսակները

Կան այս տեսակի պարզ կոտորակներ.

Տասնորդական կոտորակի ենթատեսակները

Ի տարբերություն պարզ կոտորակի, տասնորդական կոտորակը բաժանվում է ընդամենը 2 տեսակի.

• Վերջնական - ստացել է այս անունը այն պատճառով, որ տասնորդական կետից հետո այն ունի սահմանափակ (վերջավոր) թվանշաններ՝ 19.25:
• Անսահման կոտորակը տասնորդական կետից հետո անսահման թվով թվանշան ունեցող թիվ է: Օրինակ՝ 10-ը 3-ի բաժանելիս կստացվի 3,333 անսահման կոտորակ...

Կոտորակների ավելացում

Կոտորակներով տարատեսակ թվաբանական մանիպուլյացիաներ կատարելը մի փոքր ավելի դժվար է, քան սովորական թվերով։ Այնուամենայնիվ, եթե հասկանում եք հիմնական կանոնները, դրանցով ցանկացած օրինակ լուծելը դժվար չի լինի։

Օրինակ՝ 2/3+3/4։ Նրանց համար ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը կլինի 12-ը, հետևաբար անհրաժեշտ է, որ այդ թիվը լինի յուրաքանչյուր հայտարարում։ Դա անելու համար մենք առաջին կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկում ենք 4-ով, ստացվում է 8/12, նույնն անում ենք երկրորդ անդամի հետ, բայց միայն բազմապատկում ենք 3-ով - 9/12: Այժմ կարող եք հեշտությամբ լուծել օրինակը՝ 8/12+9/12= 17/12: Ստացված կոտորակը սխալ միավոր է, քանի որ համարիչը մեծ է հայտարարից։ Այն կարող է և պետք է վերածվի ճիշտ խառը մեկի՝ բաժանելով 17:12 = 1 և 5/12:

Երբ խառը կոտորակները գումարվում են, գործողությունները կատարվում են նախ ամբողջ թվերով, իսկ հետո՝ կոտորակներով։

Եթե ​​օրինակը պարունակում է տասնորդական կոտորակ և կանոնավոր կոտորակ, ապա անհրաժեշտ է երկուսն էլ դարձնել պարզ, ապա բերել նույն հայտարարի և ավելացնել։ Օրինակ 3.1+1/2. 3.1 թիվը կարելի է գրել 3-ի և 1/10-ի խառը կոտորակի տեսքով կամ ոչ պատշաճ կոտորակի տեսքով՝ 31/10։ Անդամների ընդհանուր հայտարարը կլինի 10, ուստի պետք է 1/2-ի համարիչն ու հայտարարը հերթափոխով բազմապատկել 5-ով, ստացվում է 5/10: Այնուհետև կարող եք հեշտությամբ հաշվարկել ամեն ինչ՝ 31/10+5/10=35/10։ Ստացված արդյունքը ոչ պատշաճ կրճատվող կոտորակ է, մենք այն բերում ենք նորմալ ձևի, այն փոքրացնում ենք 5-ով՝ 7/2 = 3 և 1/2, կամ տասնորդական՝ 3,5:

2 տասնորդական կոտորակ գումարելիս կարևոր է, որ տասնորդական կետից հետո լինեն նույն թվով թվանշաններ։ Եթե ​​դա այդպես չէ, պարզապես անհրաժեշտ է ավելացնել անհրաժեշտ թվով զրոներ, քանի որ տասնորդական կոտորակի դեպքում դա կարելի է անել առանց ցավի: Օրինակ՝ 3.5+3.005։ Այս խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ է առաջին թվին ավելացնել 2 զրո, ապա մեկ առ մեկ ավելացնել՝ 3.500+3.005=3.505։

Կոտորակների հանում

Կոտորակները հանելիս պետք է անել նույնը, ինչ գումարելիս՝ կրճատել ընդհանուր հայտարարի, հանել մի համարիչը մյուսից և, անհրաժեշտության դեպքում, արդյունքը վերածել խառը կոտորակի:

Օրինակ՝ 16/20-5/10։ Ընդհանուր հայտարարը կլինի 20: Երկրորդ կոտորակը պետք է բերեք այս հայտարարին՝ նրա երկու մասերը բազմապատկելով 2-ով, կստանաք 10/20: Այժմ կարող եք լուծել օրինակը՝ 16/20-10/20= 6/20: Այնուամենայնիվ, այս արդյունքը վերաբերում է կրճատվող կոտորակներին, ուստի արժե երկու կողմերը բաժանել 2-ի, և արդյունքը կլինի 3/10:

Կոտորակների բազմապատկում

Կոտորակների բաժանումն ու բազմապատկումը շատ ավելի պարզ գործողություններ են, քան գումարումն ու հանումը: Փաստն այն է, որ այս առաջադրանքները կատարելիս պետք չէ ընդհանուր հայտարար փնտրել։

Կոտորակները բազմապատկելու համար պարզապես անհրաժեշտ է մեկ առ մեկ բազմապատկել երկու համարիչները, իսկ հետո երկու հայտարարները: Կրճատեք ստացված արդյունքը, եթե կոտորակը կրճատվող մեծություն է:

Օրինակ՝ 4/9x5/8: Հերթական բազմապատկումից հետո ստացվում է 4x5/9x8=20/72: Այս կոտորակը կարելի է կրճատել 4-ով, ուստի օրինակի վերջնական պատասխանը 5/18 է:

Ինչպես բաժանել կոտորակները

Կոտորակների բաժանումը նույնպես պարզ գործողություն է, իրականում այն ​​դեռևս հասնում է նրանց բազմապատկմանը: Մեկ կոտորակը մյուսի վրա բաժանելու համար անհրաժեշտ է շրջել երկրորդը և բազմապատկել առաջինով:

Օրինակ՝ 5/19 և 5/7 կոտորակները բաժանելը։ Օրինակը լուծելու համար անհրաժեշտ է փոխել երկրորդ կոտորակի հայտարարն ու համարիչը և բազմապատկել՝ 5/19x7/5=35/95: Արդյունքը կարող է կրճատվել 5-ով - ստացվում է 7/19:

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է կոտորակը բաժանել պարզ թվի, տեխնիկան մի փոքր այլ է: Սկզբում այս թիվը պետք է գրել որպես ոչ պատշաճ կոտորակ, այնուհետև բաժանել նույն սխեմայի համաձայն: Օրինակ՝ 2/13:5 պետք է գրել 2/13՝ 5/1։ Այժմ պետք է շրջել 5/1-ը և ստացված կոտորակները բազմապատկել՝ 2/13x1/5= 2/65:

Երբեմն պետք է բաժանել խառը կոտորակները: Դուք պետք է նրանց վերաբերվեք այնպես, ինչպես կվարվեիք ամբողջ թվերի հետ. վերածեք դրանք ոչ պատշաճ կոտորակների, հակադարձեք բաժանարարը և բազմապատկեք ամեն ինչ: Օրինակ՝ 8 ½: 3: Ամեն ինչ վերածիր ոչ պատշաճ կոտորակների՝ 17/2: 3/1: Դրան հաջորդում է 3/1 շրջում և բազմապատկում՝ 17/2x1/3= 17/6: Այժմ դուք պետք է փոխարկեք ոչ պատշաճ կոտորակը ճիշտի` 2 ամբողջ և 5/6:

Այսպիսով, հասկանալով, թե ինչ են կոտորակները և ինչպես կարող եք դրանցով կատարել տարբեր թվաբանական գործողություններ, դուք պետք է փորձեք չմոռանալ դրա մասին: Ի վերջո, մարդիկ միշտ ավելի հակված են ինչ-որ բան բաժանելու, քան ավելացնելու, այնպես որ դուք պետք է կարողանաք դա ճիշտ անել: