Հանրահաշվական բազմանդամները հաշվարկելիս հաշվարկները պարզեցնելու համար օգտագործում ենք կրճատված բազմապատկման բանաձևեր. Ընդհանուր առմամբ կա յոթ նման բանաձև: Նրանց բոլորին պետք է անգիր ճանաչել:

Պետք է նաև հիշել, որ բանաձևերում «a»-ի և «b»-ի փոխարեն կարող են լինել և՛ թվեր, և՛ ցանկացած այլ հանրահաշվական բազմանդամներ:

Քառակուսիների տարբերություն

Հիշիր.

Քառակուսիների տարբերություներկու թիվ հավասար է այս թվերի տարբերության և դրանց գումարի արտադրյալին:

a 2 − b 2 = (a − b) (a + b)

• 15 2 − 2 2 = (15 − 2) (15 + 2) = 13 17 = 221
• 9a 2 − 4b 2 2 = (3a − 2bc) (3a + 2bc)

գումարի քառակուսի

Հիշիր.

Երկու թվերի գումարի քառակուսին հավասար է առաջին թվի քառակուսուն գումարած առաջին թվի արտադրյալի կրկնապատիկը և երկրորդին գումարած երկրորդ թվի քառակուսին։

(ա + բ) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Նկատի ունեցեք, որ այս կրճատված բազմապատկման բանաձևով դա հեշտ է գտնել մեծ թվերի քառակուսիներըառանց հաշվիչ օգտագործելու կամ երկար բազմապատկելու: Բացատրենք օրինակով.

Գտնել 112 2 .

• Եկեք 112-ը բաժանենք այն թվերի գումարին, որոնց քառակուսիները լավ հիշում ենք։
  112 = 100 + 1
• Թվերի գումարը գրում ենք փակագծերում և փակագծերի վրա դնում քառակուսի։
  112 2 = (100 + 12) 2
• Եկեք օգտագործենք գումարի քառակուսի բանաձևը.
  112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 100 12 + 12 2 = 10,000 + 2,400 + 144 = 12,544

Հիշեք, որ քառակուսի գումարի բանաձևը վավեր է նաև ցանկացած հանրահաշվական բազմանդամների համար:

• (8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Զգուշացում.

(a + b) 2-ը հավասար չէ (a 2 + b 2)

Տարբերության քառակուսին

Հիշիր.

Երկու թվերի տարբերության քառակուսին հավասար է առաջին թվի քառակուսուն՝ հանած առաջինի և երկրորդի արտադրյալի կրկնապատիկը գումարած երկրորդ թվի քառակուսին։

(ա − բ) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Հարկ է նաև հիշել մի շատ օգտակար փոխակերպում.

(ա - բ) 2 = (բ - ա) 2

Վերոնշյալ բանաձևն ապացուցվում է փակագծերը պարզապես ընդլայնելով.

(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

գումարի խորանարդ

Հիշիր.

Երկու թվերի գումարի խորանարդը հավասար է առաջին թվի խորանարդին գումարած առաջին թվի քառակուսու եռապատիկը երկրորդին գումարած եռապատիկ առաջինի արտադրյալը երկրորդի քառակուսին գումարած երկրորդի խորանարդը։

(ա + բ) 3 = ա 3 + 3 ա 2 բ + 3աբ 2 + բ 3

Ինչպես հիշել գումարի խորանարդը

Այս «սարսափելի» տեսք ունեցող բանաձեւը հիշելը բավականին պարզ է.

• Իմացեք, որ «3»-ը գալիս է սկզբում:
• Մեջտեղում գտնվող երկու բազմանդամներն ունեն 3 գործակից։
• Հիշեցնենք, որ զրոյական հզորության ցանկացած թիվ 1 է: (a 0 = 1, b 0 = 1) . Հեշտ է տեսնել, որ բանաձևում կա «ա» աստիճանի նվազում և «բ» աստիճանի աճ։ Դուք կարող եք ստուգել սա.
  (a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Զգուշացում.

(a + b) 3-ը հավասար չէ a 3 + b 3-ին

տարբերության խորանարդ

Հիշիր.

տարբերության խորանարդերկու թվերը հավասար են առաջին թվի խորանարդին՝ հանած առաջին թվի քառակուսու եռապատիկը և երկրորդին գումարած երեք անգամ առաջին թվի արտադրյալը և երկրորդի քառակուսին հանած երկրորդի խորանարդը։

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Այս բանաձեւը հիշվում է ինչպես նախորդը, բայց միայն հաշվի առնելով «+» եւ «-» նշանների հերթափոխը։ «a 3»-ից առաջ կա «+» (ըստ մաթեմատիկայի կանոնների՝ մենք այն չենք գրում): Սա նշանակում է, որ հաջորդ անդամին կնախորդի «-», ապա կրկին «+» և այլն:

(ա - բ) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Խորանարդների գումարը

Չշփոթել գումարի խորանարդի հետ:

Հիշիր.

Խորանարդների գումարըհավասար է երկու թվերի գումարի արտադրյալին տարբերության ոչ լրիվ քառակուսու վրա։

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 − ab + b 2)

Խորանարդների գումարը երկու փակագծերի արտադրյալն է։

• Առաջին փակագիծը երկու թվերի գումարն է։
• Երկրորդ փակագիծը թվերի տարբերության թերի քառակուսին է։ Տարբերության ոչ լրիվ քառակուսին կոչվում է արտահայտություն.
  (a 2 − ab + b 2)
  Այս քառակուսին թերի է, քանի որ մեջտեղում կրկնակի արտադրյալի փոխարեն թվերի սովորական արտադրյալն է։

Խորանարդների տարբերությունը

Չպետք է շփոթել տարբերության խորանարդի հետ:

Հիշիր.

Խորանարդների տարբերությունըհավասար է գումարի ոչ լրիվ քառակուսու երկու թվերի տարբերության արտադրյալին։

a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + ab + b 2)

Զգույշ եղեք կերպարներ գրելիս.

Համառոտ բազմապատկման բանաձևերի կիրառում

Պետք է հիշել, որ վերը նշված բոլոր բանաձևերը նույնպես օգտագործվում են աջից ձախ:

Դասագրքերի շատ օրինակներ նախատեսված են ձեզ համար բանաձևեր օգտագործելու համար բազմանդամը ետ հավաքելու համար:

• a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
• (ac − 4b) (ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2

Դուք կարող եք ներբեռնել աղյուսակը կրճատված բազմապատկման բոլոր բանաձեւերով բաժնում «

Կլինեն նաև ինքնուրույն լուծման առաջադրանքներ, որոնց պատասխանները կարող եք տեսնել։

Կրճատված բազմապատկման բանաձևերը թույլ են տալիս կատարել արտահայտությունների նույնական փոխակերպումներ՝ բազմանդամներ: Նրանց օգնությամբ բազմանդամները կարող են գործոնավորվել, իսկ բանաձևերը հակադարձ կարգով օգտագործելով՝ երկանդամների, քառակուսիների և խորանարդների արտադրյալները կարող են ներկայացվել որպես բազմանդամներ։ Դիտարկենք համառոտ բազմապատկման բոլոր ընդհանուր ընդունված բանաձևերը, դրանց ածանցումը, այս բանաձևերի օգտագործմամբ արտահայտությունների նույնական փոխակերպումների ընդհանուր առաջադրանքները, ինչպես նաև տնային առաջադրանքները (դրանց պատասխանները բացվում են հղումներով):

գումարի քառակուսի

Գումարի քառակուսու բանաձևը հավասարությունն է

(երկու թվերի գումարի քառակուսին հավասար է առաջին թվի քառակուսուն գումարած առաջին թվի արտադրյալի կրկնապատիկը և երկրորդին գումարած երկրորդ թվի քառակուսին):

Փոխարեն աԵվ բցանկացած թիվ կարող է փոխարինվել այս բանաձևով:

Գումարի քառակուսի բանաձևը հաճախ օգտագործվում է հաշվարկները պարզեցնելու համար: Օրինակ,

Օգտագործելով գումարի քառակուսի բանաձևը, բազմանդամը կարող է ֆակտորիզացվել, մասնավորապես, ներկայացնել որպես երկու նույնական գործակիցների արտադրյալ:

Օրինակ 1

.

Օրինակ 2Գրեք որպես բազմանդամ արտահայտություն

Լուծում. Գումարի քառակուսու բանաձևով մենք ստանում ենք

Տարբերության քառակուսին

Տարբերության քառակուսու բանաձևը հավասարությունն է

(Երկու թվերի տարբերության քառակուսին հավասար է առաջին թվի քառակուսուն՝ հանած առաջին թվի արտադրյալի կրկնապատիկը և երկրորդին գումարած երկրորդ թվի քառակուսին):

Քառակուսի տարբերության բանաձևը հաճախ օգտագործվում է հաշվարկները պարզեցնելու համար: Օրինակ,

Օգտագործելով տարբերության քառակուսի բանաձևը, բազմանդամը կարող է ֆակտորիզացվել, մասնավորապես, ներկայացնել որպես երկու նույնական գործակիցների արտադրյալ:

Բանաձևը բխում է բազմանդամը բազմանդամով բազմապատկելու կանոնից.

Օրինակ 5Գրեք որպես բազմանդամ արտահայտություն

Լուծում. Տարբերության քառակուսու բանաձևով մենք ստանում ենք

.

Ինքներդ կիրառեք կրճատված բազմապատկման բանաձևը, ապա տեսեք լուծումը

Ամբողջական քառակուսի ընտրություն

Հաճախ երկրորդ աստիճանի բազմանդամը պարունակում է գումարի կամ տարբերության քառակուսին, բայց պարունակվում է թաքնված ձևով: Ամբողջական քառակուսին հստակորեն ստանալու համար անհրաժեշտ է վերափոխել բազմանդամը: Դա անելու համար, որպես կանոն, բազմանդամի անդամներից մեկը ներկայացվում է որպես կրկնակի արտադրյալ, այնուհետև նույն թիվը գումարվում և հանվում է բազմանդամի վրա։

Օրինակ 7

Լուծում. Այս բազմանդամը կարող է փոխակերպվել հետևյալ կերպ.

Այստեղ մենք ներկայացրել ենք 5 xկրկնակի արտադրյալի տեսքով 5/2 բ x, գումարել բազմանդամին և նրանից հանել նույն թիվը, այնուհետև կիրառել երկանդամի գումարի քառակուսի բանաձևը:

Այսպիսով, մենք ապացուցել ենք հավասարությունը

,

հավասար է լրիվ քառակուսու գումարած թիվը:

Օրինակ 8Դիտարկենք երկրորդ աստիճանի բազմանդամը

Լուծում. Դրա վրա կատարենք հետևյալ փոխակերպումները.

Այստեղ մենք ներկայացրել ենք 8 xկրկնակի արտադրանքի տեսքով x 4-ով, ավելացնելով բազմանդամին և նրանից հանելով նույն թիվը 4², կիրառելով երկանդամի տարբերության քառակուսի բանաձևը x − 4 .

Այսպիսով, մենք ապացուցել ենք հավասարությունը

,

ցույց տալով, որ երկրորդ աստիճանի բազմանդամը

հավասար է լրիվ քառակուսու գումարած −16 թիվը։

Ինքներդ կիրառեք կրճատված բազմապատկման բանաձևը, ապա տեսեք լուծումը

գումարի խորանարդ

Գումարի խորանարդի բանաձևը հավասարությունն է

(Երկու թվերի գումարի խորանարդը հավասար է առաջին թվի խորանարդին գումարած առաջին թվի քառակուսու եռապատիկը և երկրորդը, գումարած երեք անգամ առաջին թվի արտադրյալը և երկրորդի քառակուսին, գումարած խորանարդը. երկրորդ համարից):

Գումարի խորանարդի բանաձևը ստացվում է հետևյալ կերպ.

Օրինակ 10Գրեք որպես բազմանդամ արտահայտություն

Լուծում. Ըստ գումարի խորանարդի բանաձևի՝ ստանում ենք

Ինքներդ կիրառեք կրճատված բազմապատկման բանաձևը, ապա տեսեք լուծումը

տարբերության խորանարդ

Տարբերության խորանարդի բանաձևը հավասարությունն է

(Երկու թվերի տարբերության խորանարդը հավասար է առաջին թվի խորանարդին՝ հանած առաջին թվի և երկրորդի քառակուսու եռապատիկը, գումարած երեք անգամ առաջին թվի արտադրյալը և երկրորդի քառակուսին հանած խորանարդը. երկրորդ համարը):

Գումարի խորանարդի բանաձևի օգնությամբ բազմանդամը կարելի է բաժանել գործոնների, այն է՝ այն կարելի է ներկայացնել որպես երեք նույնական գործակիցների արտադրյալ։

Տարբերության խորանարդի բանաձևը ստացվում է հետևյալ կերպ.

Օրինակ 12.Գրեք որպես բազմանդամ արտահայտություն

Լուծում. Օգտագործելով տարբերության խորանարդի բանաձևը, մենք ստանում ենք

Ինքներդ կիրառեք կրճատված բազմապատկման բանաձևը, ապա տեսեք լուծումը

Քառակուսիների տարբերություն

Քառակուսիների տարբերության բանաձեւը հավասարությունն է

(երկու թվերի քառակուսիների տարբերությունը հավասար է այս թվերի գումարի և դրանց տարբերության արտադրյալին):

Օգտագործելով գումարի խորանարդի բանաձևը, ձևի ցանկացած բազմանդամը կարող է ֆակտորիզացվել:

Բանաձևի ապացույցը ստացվել է բազմանդամների բազմապատկման կանոնի միջոցով.

Օրինակ 14Արտադրյալը գրի՛ր բազմանդամի տեսքով

.

Լուծում. Քառակուսիների բանաձևի տարբերությամբ ստանում ենք

Օրինակ 15Գործոնացնել

Լուծում. Այս արտահայտությունը բացահայտ ձևով չի համապատասխանում որևէ ինքնության: Բայց 16 թիվը կարելի է ներկայացնել որպես 4 հիմքով հզորություն՝ 16=4²։ Այնուհետև սկզբնական արտահայտությունը կունենա այլ ձև.

,

և սա քառակուսիների տարբերության բանաձևն է, և կիրառելով այս բանաձևը՝ մենք ստանում ենք

Նախորդ դասին մենք անդրադարձանք ֆակտորիզացիայի հետ: Մենք յուրացրել ենք երկու մեթոդ՝ ընդհանուր գործոնը փակագծերից հանել և խմբավորել։ Այս ձեռնարկում հետևյալ հզոր մեթոդը. կրճատված բազմապատկման բանաձևեր. Կարճ նոտայում - FSU.

Կրճատված բազմապատկման բանաձևերը (գումարի և տարբերության քառակուսի, գումարի և տարբերության խորանարդ, քառակուսիների տարբերություն, խորանարդների գումար և տարբերություն) էական նշանակություն ունեն մաթեմատիկայի բոլոր ճյուղերում։ Դրանք օգտագործվում են արտահայտությունների պարզեցման, հավասարումների լուծման, բազմանդամների բազմապատկման, կոտորակների կրճատման, ինտեգրալների լուծման և այլն: եւ այլն։ Մի խոսքով, բոլոր հիմքերը կան դրանցով զբաղվելու։ Հասկացեք, թե որտեղից են դրանք գալիս, ինչու են դրանք անհրաժեշտ, ինչպես հիշել դրանք և ինչպես կիրառել դրանք:

Հասկանում ենք?)

Որտեղի՞ց են գալիս կրճատված բազմապատկման բանաձևերը:

6-րդ և 7-րդ հավասարումները շատ սովորական ձևով չեն գրվում։ Ինչպես հակառակը։ Սա միտումնավոր է:) Ցանկացած հավասարություն գործում է ինչպես ձախից աջ, այնպես էլ աջից ձախ: Նման արձանագրության մեջ ավելի պարզ է, թե որտեղից է FSO-ն:

Դրանք վերցված են բազմապատկումից։) Օրինակ.

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

Վերջ, ոչ մի գիտական ​​հնարք: Ուղղակի փակագծերը բազմապատկում ենք ու տալիս նմանատիպերը։ Ահա թե ինչպես է ստացվում բոլոր կրճատված բազմապատկման բանաձևերը: կրճատվածԲազմապատկումը պայմանավորված է նրանով, որ բանաձևերում բացակայում է փակագծերի բազմապատկումը և նմանատիպերի կրճատումը: Կրճատվել է։) Արդյունքն անմիջապես տրվում է։

FSU-ն պետք է անգիր իմանա. Առանց առաջին երեքի, դուք չեք կարող երազել եռակի մասին, առանց մնացածի ՝ չորսի մասին հինգով:)

Ինչու՞ են մեզ անհրաժեշտ կրճատված բազմապատկման բանաձևերը:

Այս բանաձեւերը սովորելու, նույնիսկ անգիր անելու երկու պատճառ կա: Առաջինը` մեքենայի վրա պատրաստի պատասխանը կտրուկ նվազեցնում է սխալների քանակը: Բայց սա չէ հիմնական պատճառը։ Եվ ահա երկրորդը...

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորում - հետաքրքրությամբ!)

կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։

Հանրահաշվի դասընթացում ուսումնասիրված առաջին թեմաներից են կրճատ բազմապատկման բանաձևերը։ 7-րդ դասարանում դրանք օգտագործվում են ամենապարզ իրավիճակներում, որտեղ պահանջվում է ճանաչել արտահայտության բանաձևերից մեկը և բազմանդամը ֆակտորիզացնել կամ, հակառակը, գումարը կամ տարբերությունը արագորեն քառակուսի կամ խորանարդ անել: Ապագայում FSU-ն օգտագործվում է անհավասարություններ և հավասարումներ արագ լուծելու և նույնիսկ որոշ թվային արտահայտություններ առանց հաշվիչի հաշվարկելու համար։

Ինչպիսի՞ն է բանաձևերի ցանկը:

Կան 7 հիմնական բանաձևեր, որոնք թույլ են տալիս արագորեն բազմապատկել բազմանդամները փակագծերում:

Երբեմն այս ցանկը ներառում է նաև չորրորդ աստիճանի ընդլայնում, որը բխում է ներկայացված ինքնություններից և ունի ձև.

a⁴ - b4 = (a - b) (a + b) (a² + b²):

Բոլոր հավասարություններն ունեն զույգ (գումար - տարբերություն), բացառությամբ քառակուսիների տարբերության։ Քառակուսիների գումարի բանաձև չկա.

Մնացած հավասարումները հեշտ է հիշել::

Պետք է հիշել, որ FSO-ները աշխատում են ցանկացած դեպքում և ցանկացած արժեքի համար: աԵվ բդա կարող է լինել և՛ կամայական թվեր, և՛ ամբողջ թվային արտահայտություններ:

Այն իրավիճակում, երբ դուք հանկարծ չեք կարող հիշել, թե որ նշանն է բանաձևում այս կամ այն ​​եզրույթի դիմաց, կարող եք բացել փակագծերը և ստանալ նույն արդյունքը, ինչ բանաձևն օգտագործելուց հետո։ Օրինակ, եթե տարբերության խորանարդի FSU-ն կիրառելիս խնդիր առաջացավ, դուք պետք է գրեք բնօրինակ արտահայտությունը և կատարել բազմապատկումը մեկ առ մեկ:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²) (a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³:

Արդյունքում, բոլոր նման անդամները կրճատելուց հետո ստացվեց նույն բազմանդամը, ինչ աղյուսակում։ Նույն մանիպուլյացիաները կարող են իրականացվել բոլոր մյուս FSO-ների հետ:

FSO-ի կիրառումը հավասարումներ լուծելու համար

Օրինակ, դուք պետք է լուծեք հավասարումը, որը պարունակում է 3-րդ աստիճանի բազմանդամ:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0:

Դպրոցական ծրագիրը չի դիտարկում խորանարդային հավասարումների լուծման ունիվերսալ տեխնիկա, և նման առաջադրանքները առավել հաճախ լուծվում են ավելի պարզ մեթոդներով (օրինակ, ֆակտորիզացիա): Եթե ​​նկատում եք, որ ինքնության ձախ կողմը նման է գումարի խորանարդին, ապա հավասարումը կարելի է գրել ավելի պարզ ձևով.

(x + 1)³ = 0:

Նման հավասարման արմատը հաշվարկվում է բանավոր. x=-1.

Անհավասարությունները լուծվում են նույն կերպ. Օրինակ՝ մենք կարող ենք լուծել անհավասարությունը x³ - 6x² + 9x > 0.

Առաջին հերթին անհրաժեշտ է արտահայտությունը տարրալուծել գործոնների. Նախ պետք է հանել փակագծերը x. Դրանից հետո պետք է ուշադրություն դարձնել, որ փակագծերում արտահայտությունը կարող է փոխակերպվել տարբերության քառակուսու։

Այնուհետև պետք է գտնել այն կետերը, որոնցում արտահայտությունը զրոյական արժեքներ է ստանում, և դրանք նշել թվային տողի վրա: Կոնկրետ դեպքում դրանք կլինեն 0 և 3: Այնուհետև, օգտագործելով ինտերվալ մեթոդը, որոշեք, թե որ միջակայքում x-ը կհամապատասխանի անհավասարության պայմանին:

FSO-ները կարող են օգտակար լինել իրականացման համար որոշ հաշվարկներ առանց հաշվիչի օգնության:

703² - 203² = (703 + 203) (703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

Բացի այդ, ֆակտորինգային արտահայտությունների միջոցով դուք հեշտությամբ կարող եք կրճատել կոտորակները և պարզեցնել տարբեր հանրահաշվական արտահայտություններ:

7-8-րդ դասարանների առաջադրանքների օրինակներ

Եզրափակելով՝ մենք կվերլուծենք և կլուծենք երկու առաջադրանք հանրահաշվում բազմապատկման կրճատ բանաձևերի կիրառման համար։

Առաջադրանք 1. Պարզեցնել արտահայտությունը.

(մ + 3) ² + (3 մ + 1) (3 մ - 1) - 2 մ (5 մ + 3):

Լուծում. Հանձնարարության պայմանում պահանջվում է պարզեցնել արտահայտությունը, այսինքն՝ բացել փակագծերը, կատարել բազմապատկման և հզորացման գործողությունները, ինչպես նաև բերել բոլոր այդպիսի տերմինները։ Արտահայտությունը պայմանականորեն բաժանում ենք երեք մասի (ըստ տերմինների քանակի) և հերթով բացում փակագծերը՝ հնարավորության դեպքում օգտագործելով FSU։

• (մ + 3) ² = մ² + 6 մ + 9(քառակուսի գումար);
• (3 մ + 1) (3 մ - 1) = 9 մ² - 1(քառակուսիների տարբերությունը);
• Վերջին կիսամյակում դուք պետք է կատարեք բազմապատկում. 2 մ (5 մ + 3) = 10 մ² + 6 մ.

Արդյունքները փոխարինի՛ր սկզբնական արտահայտությամբ.

(m² + 6m + 9) + (9m² - 1) - (10m² + 6m).

Հաշվի առնելով նշանները՝ բացում ենք փակագծերը և տալիս նման տերմիններ.

մ² + 6 մ + 9 + 9 մ² 1 - 10 մ² - 6 մ = 8:

Առաջադրանք 2. Լուծե՛ք անհայտ k-ը պարունակող հավասարումը 5-ի հզորությամբ.

k5 + 4k4 + 4k³ - 4k² - 4k = k³:

Լուծում. Այս դեպքում անհրաժեշտ է օգտագործել FSO-ն և խմբավորման մեթոդը: Մենք պետք է վերջին և նախավերջին տերմինները տեղափոխենք ինքնության աջ կողմ:

k5 + 4k4 + 4k³ = k³ + 4k² + 4k:

Ընդհանուր բազմապատկիչը վերցված է աջ և ձախ մասերից (k² + 4k +4):

k³ (k² + 4k + 4) = k(k² + 4k + 4).

Ամեն ինչ փոխանցվում է հավասարման ձախ կողմում, որպեսզի 0-ը մնա աջ կողմում.

k³ (k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.

Կրկին, դուք պետք է հանեք ընդհանուր գործոնը.

(k³ - k) (k² + 4k + 4) = 0:

Ստացված առաջին գործոնից մենք կարող ենք բխել կ. Համաձայն կարճ բազմապատկման բանաձևի, երկրորդ գործակիցը նույնականորեն հավասար կլինի (k + 2)²:

k (k² - 1) (k + 2)² = 0:

Օգտագործելով քառակուսիների տարբերության բանաձևը.

k (k - 1) (k + 1) (k + 2)² = 0:

Քանի որ արտադրյալը 0 է, եթե նրա գործակիցներից գոնե մեկը զրո է, դժվար չի լինի գտնել հավասարման բոլոր արմատները.

1. k = 0;
2. k - 1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)² = 0; k = -2.

Հիմնվելով պատկերազարդ օրինակների վրա՝ կարելի է հասկանալ, թե ինչպես հիշել բանաձևերը, դրանց տարբերությունները, ինչպես նաև լուծել մի քանի գործնական խնդիրներ՝ օգտագործելով FSU: Առաջադրանքները պարզ են և չպետք է դժվար լինի կատարել:

Հանրահաշվական բազմանդամները պարզեցնելու համար կան կրճատված բազմապատկման բանաձևեր. Դրանք այնքան էլ շատ չեն, և դրանք հեշտ է հիշել, բայց դուք պետք է հիշեք դրանք: Բանաձևերում օգտագործվող նշումը կարող է ունենալ ցանկացած ձև (թիվ կամ բազմանդամ):

Առաջին կրճատված բազմապատկման բանաձևը կոչվում է քառակուսիների տարբերությունը. Դա կայանում է նրանում, որ մեկ թվի քառակուսուց հանվում է երկրորդ թվի քառակուսին, որը հավասար է այս թվերի տարբերությանը, ինչպես նաև դրանց արտադրյալին:

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

Պարզության համար վերլուծենք.

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc) (3a + 2bc)

Երկրորդ բանաձեւը մասին քառակուսիների գումարը. Թվում է, թե քառակուսի երկու արժեքների գումարը հավասար է առաջին արժեքի քառակուսուն, դրան ավելացվում է առաջին արժեքի կրկնակի արտադրյալը, որը բազմապատկվում է երկրորդով, իսկ երկրորդ արժեքի քառակուսին ավելացվում է դրանց:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Այս բանաձևի շնորհիվ շատ ավելի հեշտ է դառնում մեծ թվի քառակուսի հաշվարկը՝ առանց համակարգչային տեխնիկայի օգտագործման։

Այսպիսով, օրինակ. 112-ի հրապարակը կլինի
1) Սկզբում մենք կվերլուծենք 112 թվերը, որոնց քառակուսիները մեզ ծանոթ են
112 = 100 + 12
2) Փակագծերում ստացվածը մուտքագրում ենք քառակուսի
112 2 = (100+12) 2
3) Կիրառելով բանաձևը, մենք ստանում ենք.
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Երրորդ բանաձեւն է տարբերությունը քառակուսի. Որն ասում է, որ երկու արժեքներ, որոնք հանվում են միմյանցից քառակուսի, հավասար են այն փաստին, որ առաջին արժեքից մենք հանում ենք առաջին արժեքի կրկնակի արտադրյալը, որը բազմապատկվում է երկրորդով, ավելացնելով նրանց երկրորդ արժեքի քառակուսին: .

(a + b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2

որտեղ (a - b) 2 հավասար է (b - a) 2: Սա ապացուցելու համար (a-b) 2 = a 2 -2ab + b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

Չորրորդ կրճատված բազմապատկման բանաձևը կոչվում է գումարի խորանարդ. Որը հնչում է այսպես. դրանց վրա ավելացվում է արժեքը, գումարած երկրորդ արժեքը խորանարդով:

(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Հինգերորդը, ինչպես արդեն հասկացաք, կոչվում է տարբերության խորանարդ. Որը գտնում է արժեքների միջև եղած տարբերությունները, քանի որ խորանարդի առաջին նշանակումից մենք հանում ենք առաջին նշանակման եռակի արտադրյալը քառակուսի բազմապատկած երկրորդով, դրանց գումարվում է առաջին նշանակման եռակի արտադրյալը, որը բազմապատկվում է երկրորդ նշանակման քառակուսու վրա: , հանած խորանարդի երկրորդ նշանակումը:

(a-b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Վեցերորդը կոչվում է խորանարդների գումարը. Խորանարդների գումարը հավասար է երկու անդամի արտադրյալին, որը բազմապատկվում է տարբերության թերի քառակուսու վրա, քանի որ մեջտեղում կրկնապատկված արժեք չկա:

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 -ab + b 2)

Մեկ այլ կերպ, կարելի է ասել, որ խորանարդների գումարը կարելի է անվանել արտադրյալ երկու փակագծերում:

Յոթերորդը և վերջինը կոչվում է խորանարդների տարբերությունը(հեշտ է այն շփոթել խորանարդի տարբերության բանաձևի հետ, բայց դրանք տարբեր բաներ են): Խորանարդների տարբերությունը հավասար է երկու մեծությունների տարբերության արտադրյալին՝ բազմապատկած գումարի ոչ լրիվ քառակուսու վրա, քանի որ մեջտեղում կրկնապատկված արժեք չկա։

a 3 - b 3 \u003d (a-b) (a 2 + ab + b 2)

Եվ այսպես, կա կրճատված բազմապատկման ընդամենը 7 բանաձև, դրանք նման են միմյանց և հեշտ է հիշել, միակ բանը նշանների մեջ չշփոթվելն է։ Դրանք նաև նախագծված են հակառակ հերթականությամբ օգտագործելու համար, և դասագրքերում հավաքված այդպիսի առաջադրանքները բավականին քիչ են: Զգույշ եղեք և հաջողության կհասնեք։

Եթե ​​բանաձևերի վերաբերյալ հարցեր ունեք, անպայման գրեք դրանք մեկնաբանություններում։ Մենք ուրախ կլինենք պատասխանել ձեզ:

Եթե ​​դուք ծննդաբերության արձակուրդում եք, բայց ցանկանում եք գումար վաստակել: Պարզապես հետևեք Օրիֆլեյմի հետ ինտերնետ բիզնես հղմանը: Ամեն ինչ գրված է և ցուցադրվում է շատ մանրամասն: Հետաքրքիր է լինելու!