Պլանաչափության տերմինների բառարան- Այստեղ հավաքված են տերմինների սահմանումները պլանաչափությունից: Այս բառարանում (այս էջում) տերմինների հղումները շեղատառերով են: # A B C D E F F G I K L M N O P R S ... Վիքիպեդիա

համագծի կետեր

Մրցակցային ուղիղ- Այստեղ հավաքված են տերմինների սահմանումները պլանաչափությունից: Այս բառարանում (այս էջում) տերմինների հղումները շեղատառերով են: # A B C D E F G I J K L M N O P R S T U V ... Վիքիպեդիա

Ապոլոնիուսի շրջագիծը- Այստեղ հավաքված են տերմինների սահմանումները պլանաչափությունից: Այս բառարանում (այս էջում) տերմինների հղումները շեղատառերով են: # A B C D E F G I J K L M N O P R S T U V ... Վիքիպեդիա

Ինքնաթիռի փոխակերպում- Այստեղ հավաքված են տերմինների սահմանումները պլանաչափությունից: Այս բառարանում (այս էջում) տերմինների հղումները շեղատառերով են: # A B C D E F G I J K L M N O P R S T U V ... Վիքիպեդիա

Չևիանա- Այստեղ հավաքված են տերմինների սահմանումները պլանաչափությունից: Այս բառարանում (այս էջում) տերմինների հղումները շեղատառերով են: # A B C D E F G I J K L M N O P R S T U V ... Վիքիպեդիա

Պլանաչափության բառարան- Այս էջը բառարան է: Տե՛ս նաև հիմնական հոդվածը. Պլանաչափություն Այստեղ հավաքված են տերմինների սահմանումները պլանաչափությունից: Այս բառարանում (այս էջում) տերմինների հղումները շեղատառերով են ... Վիքիպեդիա

Ապոլոնիուսի խնդիրը- Ապոլոնիուսի խնդիրն է կառուցել շրջանագիծ, որը շոշափում է տրված երեք շրջանակներին՝ օգտագործելով կողմնացույց և ուղղագիծ: Ըստ լեգենդի՝ խնդիրը ձեւակերպել է Ապոլոնիոս Պերգացին մոտ մ.թ.ա 220 թվականին։ ե. «Հպում» գրքում, որը կորել է ... Վիքիպեդիա

Ապոլոնիուսի խնդիրը- Ապոլոնիուսի խնդիրն է կառուցել շրջանագիծ, որը շոշափում է տրված երեք շրջանակներին՝ օգտագործելով կողմնացույց և ուղղագիծ: Ըստ լեգենդի՝ խնդիրը ձեւակերպել է Ապոլոնիոս Պերգացին մոտ մ.թ.ա 220 թվականին։ ե. «Հպում» գրքում, որը կորել էր, բայց եղել է ... ... Վիքիպեդիա

Վորոնոյի դիագրամ- հարթության վրա կետերի պատահական բազմություն Հարթության վրա S կետերի վերջավոր բազմության Վորոնոյի դիագրամը ներկայացնում է հարթության այնպիսի բաժանում, որում կա ... Վիքիպեդիա

Նախորդ դասում մենք դիտարկել ենք անկյան կիսադիրի հատկությունները` և՛ եռանկյան մեջ պարփակված, և՛ ազատ: Եռանկյունը ներառում է երեք անկյուն, և դրանցից յուրաքանչյուրի համար պահպանվում են բիսեկտորի դիտարկված հատկությունները։

Թեորեմ.

Եռանկյան AA 1, BB 1, CC 1 կիսադիրները հատվում են մեկ O կետում (նկ. 1):

Բրինձ. 1. Նկարազարդում թեորեմի համար

Ապացույց:

Դիտարկենք առաջին երկու կիսարարները BB 1 և СС 1: Նրանք հատվում են, O հատման կետը գոյություն ունի։ Սա ապացուցելու համար ենթադրենք հակառակը՝ թող տրված կիսատները չհատվեն, այդ դեպքում դրանք զուգահեռ են։ Այնուհետև BC ուղիղը կտրվածք է և անկյունների գումարը , սա հակասում է այն փաստին, որ ամբողջ եռանկյունում անկյունների գումարը .

Այսպիսով, գոյություն ունի երկու կիսորդների հատման O կետ: Հաշվի առեք դրա հատկությունները.

O կետը գտնվում է անկյան կիսագծի վրա, ինչը նշանակում է, որ այն հավասար է իր BA և BC կողմերից: Եթե ​​OK-ը ուղղահայաց է BC-ին, OL-ը ուղղահայաց է BA-ին, ապա այս ուղղահայացների երկարությունները հավասար են --ի: Նաև O կետը գտնվում է անկյան կիսաչափի վրա և հավասար է նրա CB և CA կողմերից, OM և OK ուղղահայացները հավասար են:

Ստացանք հետևյալ հավասարումները.

, այսինքն՝ O կետից դեպի եռանկյան կողմերն ընկած բոլոր երեք ուղղահայացները հավասար են միմյանց։

Մեզ հետաքրքրում է OL և OM ուղղանկյունների հավասարությունը: Այս հավասարությունը ցույց է տալիս, որ O կետը հավասար է անկյան կողմերից, հետևաբար այն գտնվում է իր կիսաչափ AA 1-ի վրա:

Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք, որ եռանկյան երեք կիսադիրները հատվում են մեկ կետում:

Բացի այդ, եռանկյունը բաղկացած է երեք հատվածից, ինչը նշանակում է, որ մենք պետք է հաշվի առնենք մեկ հատվածի հատկությունները:

Տրված է AB հատվածը: Ցանկացած հատված ունի միջին, և դրա միջով կարելի է ուղղահայաց գծել - մենք այն նշում ենք p-ով: Այսպիսով, p-ն ուղղահայաց կիսորդն է:

Բրինձ. 2. Թեորեմի նկարազարդում

Ցանկացած կետ, որը ընկած է ուղղահայաց կիսագծի վրա, հավասար է հատվածի ծայրերից:

Ապացուցեք, որ (նկ. 2):

Ապացույց:

Դիտարկենք եռանկյունները և . Նրանք ուղղանկյուն են և հավասար, քանի որ ունեն ընդհանուր OM ոտք, իսկ AO-ի և OB-ի ոտքերը ըստ պայմանի հավասար են, ուստի ունենք երկու ուղղանկյուն եռանկյուն, որոնք հավասար են երկու ոտքերին: Այստեղից հետևում է, որ եռանկյունների հիպոթենուսները նույնպես հավասար են, այսինքն, ինչը պետք է ապացուցվեր։

Հակադարձի թեորեմը ճշմարիտ է:

Հատվածի ծայրերից հավասար հեռավորության վրա գտնվող յուրաքանչյուր կետ գտնվում է այս հատվածին ուղղահայաց կիսագծի վրա:

Տրված է AB հատվածը, դրան ուղղահայաց կիսորդը p է, M կետը հավասար է հատվածի ծայրերից։ Ապացուցեք, որ M կետը գտնվում է հատվածին ուղղահայաց կիսաչափի վրա (նկ. 3):

Բրինձ. 3. Նկարազարդում թեորեմի համար

Ապացույց:

Դիտարկենք եռանկյուն. Այն հավասարաչափ է, ինչպես պայմանով։ Դիտարկենք եռանկյան միջնագիծը՝ O կետը AB հիմքի միջնակետն է, OM՝ միջնագիծը: Համաձայն հավասարաչափ եռանկյան հատկության՝ նրա հիմքի վրա գծված միջնագիծը և՛ բարձրությունն է, և՛ կիսաչափը: Այստեղից հետևում է, որ. Բայց p ուղիղը նույնպես ուղղահայաց է AB-ին։ Մենք գիտենք, որ AB հատվածին մի ուղղահայաց կարելի է գծել O կետին, ինչը նշանակում է, որ OM և p ուղիղները համընկնում են, հետևաբար M կետը պատկանում է p ուղղին, որը պահանջվում էր ապացուցել:

Ուղղակի և հակադարձ թեորեմները կարելի է ընդհանրացնել։

Կետը գտնվում է հատվածի ուղղահայաց կիսագծի վրա, եթե և միայն այն դեպքում, երբ այն հավասար է այս հատվածի ծայրերից:

Այսպիսով, կրկնում ենք, որ եռանկյան մեջ կա երեք հատված, և ուղղահայաց կիսադիրի հատկությունը կիրառելի է դրանցից յուրաքանչյուրի համար։

Թեորեմ.

Եռանկյան ուղղահայաց կիսորդները հատվում են մի կետում:

Տրված է եռանկյուն: Իր կողմերին ուղղահայաց՝ P 1 դեպի BC կողմ, P 2 դեպի AC կողմ, P 3 դեպի AB կողմ։

Ապացուցեք, որ Р 1, Р 2 և Р 3 ուղղահայացները հատվում են O կետում (նկ. 4):

Բրինձ. 4. Թեորեմի նկարազարդում

Ապացույց:

Դիտարկենք երկու միջին ուղղահայացներ P 2 և P 3, դրանք հատվում են, O հատման կետը գոյություն ունի: Եկեք ապացուցենք այս փաստը հակասությամբ. թող P 2 և P 3 ուղղահայացները լինեն զուգահեռ: Ապա անկյունը ուղիղ է, ինչը հակասում է այն փաստին, որ եռանկյան երեք անկյունների գումարը . Այսպիսով, կա երեք ուղղահայաց կիսորդներից երկուսի հատման O կետ: O կետի հատկությունները. այն գտնվում է AB կողմի ուղղահայաց կիսանդրի վրա, ինչը նշանակում է, որ այն հավասար է AB հատվածի ծայրերից: Այն նաև ընկած է AC կողմի ուղղահայաց կիսագծի վրա, ուստի . Մենք ստացել ենք հետևյալ հավասարումները.

Եռանկյունու մեջ կան այսպես կոչված չորս ուշագրավ կետեր՝ միջնամասերի հատման կետը։ Բիսեկտորների հատման կետը, բարձրությունների հատման կետը և ուղղահայաց կիսորդների հատման կետը: Դիտարկենք դրանցից յուրաքանչյուրը:

Եռանկյան միջինների հատման կետը

Թեորեմ 1

Եռանկյան միջինների հատման վրաԵռանկյան միջինները հատվում են մի կետում և հատման կետը բաժանում են $2:1$ հարաբերությամբ՝ սկսած գագաթից:

Ապացույց.

Դիտարկենք $ABC$ եռանկյունը, որտեղ $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ նրա միջինն է: Քանի որ միջնագծերը բաժանում են կողմերը կիսով չափ: Դիտարկենք $A_1B_1$ միջին գիծը (նկ. 1):

Նկար 1. Եռանկյան միջնագիծը

Թեորեմ 1-ով $AB||A_1B_1$ և $AB=2A_1B_1$, հետևաբար $\անկյուն ABB_1=\անկյուն BB_1A_1,\ \անկյուն BAA_1=\անկյուն AA_1B_1$: Այսպիսով, $ABM$ և $A_1B_1M$ եռանկյունները նման են եռանկյունի նմանության առաջին չափանիշի համաձայն: Հետո

Նմանապես ապացուցված է, որ

Թեորեմն ապացուցված է.

Եռանկյան կիսորդների հատման կետը

Թեորեմ 2

Եռանկյան կիսատների հատման վրաԵռանկյան կիսադիրները հատվում են մի կետում:

Ապացույց.

Դիտարկենք $ABC$ եռանկյունը, որտեղ $AM,\ BP,\ CK$ են նրա կիսիչները: Թող $O$ կետը լինի $AM\ և\ BP$ կիսորդների հատման կետը: Այս կետից գծեք եռանկյան կողմերին ուղղահայաց (նկ. 2):

Գծապատկեր 2. Եռանկյան կիսադիրներ

Թեորեմ 3

Չընդարձակված անկյան կիսադիրի յուրաքանչյուր կետ իր կողմերից հավասար է:

Թեորեմ 3-ով մենք ունենք՝ $OX=OZ,\ OX=OY$: Ուստի $OY=OZ$: Հետևաբար, $O$ կետը հավասար հեռավորության վրա է $ACB$ անկյան կողմերից և, հետևաբար, գտնվում է իր $CK$ բիսեկտորի վրա:

Թեորեմն ապացուցված է.

Եռանկյան ուղղահայաց կիսորդների հատման կետը

Թեորեմ 4

Եռանկյան կողմերի ուղղահայաց կիսորդները հատվում են մեկ կետում:

Ապացույց.

Թող տրվի $ABC$ եռանկյունը, $n,\ m,\ p$ նրա ուղղահայաց կիսորդները։ Թող $O$ կետը լինի $n\ և\ m$ ուղղահայաց կիսորդների հատման կետը (նկ. 3):

Նկար 3. Եռանկյան ուղղահայաց կիսորդներ

Ապացույցի համար մեզ անհրաժեշտ է հետևյալ թեորեմը.

Թեորեմ 5

Հատվածին ուղղահայաց կիսադիրի յուրաքանչյուր կետ ծայրերից հավասար է այս հատվածը.

Թեորեմ 3-ով մենք ունենք՝ $OB=OC,\ OB=OA$: Այսպիսով, $OA=OC$: Սա նշանակում է, որ $O$ կետը հավասար է $AC$ հատվածի ծայրերից և, հետևաբար, գտնվում է իր $p$ ուղղահայաց կիսագծի վրա։

Թեորեմն ապացուցված է.

Եռանկյան բարձրությունների հատման կետը

Թեորեմ 6

Եռանկյան բարձրությունները կամ դրանց ընդարձակումները հատվում են մեկ կետում:

Ապացույց.

Դիտարկենք $ABC$ եռանկյունը, որտեղ $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ նրա բարձրությունն է: Եռանկյան յուրաքանչյուր գագաթի միջով գծիր գագաթին հակառակ կողմին զուգահեռ: Մենք ստանում ենք նոր $A_2B_2C_2$ եռանկյուն (նկ. 4):

Նկար 4. Եռանկյան բարձրությունները

Քանի որ $AC_2BC$ և $B_2ABC$ զուգահեռներ են ընդհանուր կողմով, ապա $AC_2=AB_2$, այսինքն $A$ կետը $C_2B_2$ կողմի միջնակետն է։ Նմանապես, մենք ստանում ենք, որ $B$ կետը $C_2A_2$ կողմի միջնակետն է, իսկ $C$ կետը $A_2B_2$ կողմի միջնակետն է: Կառուցումից ունենք, որ $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$: Հետևաբար $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$-ը $A_2B_2C_2$ եռանկյան ուղղահայաց կիսորդներն են: Այնուհետև թեորեմ 4-ով մենք ունենք, որ $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ բարձրությունները հատվում են մեկ կետում:

Եռանկյունով շրջագծված շրջանագծի հատկությունների վերաբերյալ թեորեմների ապացույցներ

Հատվածին միջին ուղղահայաց

Սահմանում 1. Հատվածին միջին ուղղահայացկոչվում է այս հատվածին ուղղահայաց և դրա միջով անցնող ուղիղ գիծ (նկ. 1):

Թեորեմ 1. Հատվածին ուղղահայաց կիսադիրի յուրաքանչյուր կետն է ծայրերից նույն հեռավորության վրա այս հատվածը:

Ապացույց . Դիտարկենք կամայական D կետ, որը ընկած է AB հատվածին ուղղահայաց կիսագծի վրա (նկ. 2) և ապացուցեք, որ ADC և BDC եռանկյունները հավասար են:

Իրոք, այս եռանկյունները ուղղանկյուն եռանկյուններ են, որոնց AC և BC ոտքերը հավասար են, մինչդեռ DC ոտքերը սովորական են: ADC և BDC եռանկյունների հավասարությունից հետևում է AD և DB հատվածների հավասարությունը։ Թեորեմ 1-ն ապացուցված է.

Թեորեմ 2 (Հակադարձ թեորեմ 1-ին). Եթե ​​կետը գտնվում է հատվածի ծայրերից նույն հեռավորության վրա, ապա այն գտնվում է այս հատվածին ուղղահայաց կիսագծի վրա:

Ապացույց . Թեորեմ 2-ն ապացուցենք «հակասությամբ» մեթոդով։ Այս նպատակով, ենթադրենք, որ E ինչ-որ կետ գտնվում է հատվածի ծայրերից նույն հեռավորության վրա, բայց չի ընկած այս հատվածին ուղղահայաց կիսագծի վրա: Այս ենթադրությունը հասցնենք հակասության։ Նախ դիտարկենք այն դեպքը, երբ E և A կետերը գտնվում են ուղղահայաց կիսորդի հակառակ կողմերում (նկ. 3): Այս դեպքում EA հատվածը ինչ-որ կետում հատում է ուղղահայաց կիսորդը, որը կնշենք D տառով։

Փաստենք, որ AE հատվածն ավելի երկար է, քան EB հատվածը: Իսկապես,

Այսպիսով, այն դեպքում, երբ E և A կետերը գտնվում են ուղղահայաց կիսագծի հակառակ կողմերում, մենք ստացել ենք հակասություն:

Այժմ դիտարկենք այն դեպքը, երբ E և A կետերը ընկած են ուղղահայաց կիսագծի նույն կողմում (նկ. 4): Փաստենք, որ EB հատվածն ավելի երկար է, քան AE հատվածը: Իսկապես,

Ստացված հակասությունը լրացնում է 2-րդ թեորեմի ապացույցը

Եռանկյունը շրջագծող շրջան

Սահմանում 2. Եռանկյունը շրջագծող շրջան, կանչել եռանկյան բոլոր երեք գագաթներով անցնող շրջանագիծը (նկ. 5): Այս դեպքում եռանկյունը կոչվում է շրջանագծի մեջ ներգծված եռանկյունկամ մակագրված եռանկյուն.

Եռանկյունով շրջագծված շրջանագծի հատկությունները. Սինուսի թեորեմ

Նկար	Նկարչություն	Սեփականություն
Միջին ուղղահայացներ դեպի եռանկյան կողմերը		հատվում են մի կետում .
Կենտրոն շրջագծված շրջանագծի սուր եռանկյունիով		Կենտրոնը նկարագրել է սուր անկյունային ներսում եռանկյուն.
Կենտրոն նկարագրված մասին ուղղանկյուն եռանկյունշրջանակներ		Կենտրոնը նկարագրված մասին ուղղանկյուն հիպոթենուզի միջին կետը .
Կենտրոն շրջագծված շրջանագծի բութ եռանկյունու շուրջ		Կենտրոնը նկարագրել է բութ շրջանակի եռանկյունի ստում դրսում եռանկյուն.
		,
Քառակուսի եռանկյուն		S= 2Ռ 2 մեղք Ամեղք Բմեղք Գ ,
Սահմանված շրջանագծի շառավիղը		Ցանկացած եռանկյունու համար հավասարությունը ճշմարիտ է.

Եռանկյան կողմերին ուղղված միջին ուղղահայացներ

Բոլոր ուղղահայաց կիսադիրները գծված կամայական եռանկյունի կողմերին, հատվում են մի կետում .

Եռանկյունը շրջագծող շրջան

Ցանկացած եռանկյուն կարող է շրջագծվել շրջանով։ . Եռանկյան շուրջը շրջագծված շրջանագծի կենտրոնն այն կետն է, որտեղ հատվում են եռանկյան կողմերին գծված բոլոր ուղղահայաց կիսորդները:

Սուր եռանկյունով շրջագծված շրջանագծի կենտրոն

Կենտրոնը նկարագրել է սուր անկյունային շրջանակի եռանկյունի ստում ներսում եռանկյուն.

Ուղղանկյուն եռանկյունով շրջագծված շրջանագծի կենտրոն

Կենտրոնը նկարագրված մասին ուղղանկյուն շրջանագծի եռանկյունն է հիպոթենուզի միջին կետը .

Բութ եռանկյունով շրջագծված շրջանագծի կենտրոնը

Կենտրոնը նկարագրել է բութ շրջանակի եռանկյունի ստում դրսում եռանկյուն.

Ցանկացած եռանկյունու համար հավասարությունները վավեր են (սինուսի թեորեմ). , որտեղ a, b, c եռանկյան կողմերն են, A, B, C եռանկյան անկյուններն են, R-ը շրջագծված շրջանագծի շառավիղն է:

Եռանկյունի մակերեսը

Ցանկացած եռանկյունու համար հավասարությունը ճշմարիտ է. S= 2Ռ 2 մեղք Ամեղք Բմեղք Գ , որտեղ A, B, C եռանկյան անկյուններն են, S-ը եռանկյան մակերեսն է, R-ը շրջագծված շրջանագծի շառավիղն է:

Սահմանված շրջանագծի շառավիղը

Ցանկացած եռանկյունու համար հավասարությունը ճշմարիտ է. որտեղ a, b, c եռանկյան կողմերն են, S-ը եռանկյան մակերեսն է, R-ը շրջագծված շրջանագծի շառավիղն է:

Եռանկյունով շրջագծված շրջանագծի հատկությունների վերաբերյալ թեորեմների ապացույցներ

Թեորեմ 3. Բոլոր միջին ուղղահայացները, որոնք գծված են կամայական եռանկյան կողմերին, հատվում են մեկ կետում:

Ապացույց . Դիտարկենք ABC եռանկյան AC և AB կողմերին գծված երկու ուղղահայաց կիսիչ և նշանակե՛ք դրանց հատման կետը O տառով (նկ. 6):

Քանի որ O կետը գտնվում է AC հատվածին ուղղահայաց կիսորդի վրա, ապա թեորեմ 1-ի ուժով հավասարությունը պահպանվում է:

Պատկերացրեք խնդիրների նոր դասի՝ շինարարության մասին երկրաչափական ձևերօգտագործելով կողմնացույց և քանոն առանց մասշտաբի բաժանումների:

Ներկայացրե՛ք GMT-ի հայեցակարգը:

Տրե՛ք ուղղահայաց կիսադիրի սահմանումը, սովորեցրե՛ք այն կառուցել և ապացուցե՛ք ուղղահայաց կիսադիրի, ինչպես նաև դրա հակադարձ տերմինը:

Օգտագործելով Compass-3D համակարգչային գծագրման համակարգը, կատարեք երկրաչափական կոնստրուկցիաներ, որոնք խորհուրդ է տրվում իրականացնել երկրաչափության դասընթացում՝ օգտագործելով կողմնացույց և քանոն:

Ձեռնարկ (Հավելված թիվ 1)

Կողմնացույցով և առանց բաժանման քանոնով կառուցելու խնդիրները ամենից հաճախ լուծվում են որոշակի սխեմայի համաձայն.

Ի. ՎերլուծությունՍխեմատիկորեն նկարեք ցանկալի պատկերը և կապ հաստատեք խնդրի տվյալների և ցանկալի տարրերի միջև:

II. ՇինությունԸստ ծրագրի՝ կառուցում են կողմնացույցով և քանոնով։

III. ԱպացույցԱպացուցեք, որ կառուցված պատկերը բավարարում է խնդրի պայմանները:

IV. ՈւսումնասիրությունԿատարեք ուսումնասիրություն ցանկացած տվյալների համար, թե արդյոք խնդիրն ունի լուծում և եթե այո, ապա քանի՞ լուծում (ոչ բոլոր խնդիրներում):

Ահա տարրական շինարարական առաջադրանքների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կքննարկենք.

1. Առանձնացրեք այս մեկին հավասար հատված (ավելի վաղ ուսումնասիրված):

2. Հատվածին ուղղահայաց կիսաչափի կառուցումը.

• կառուցել տրված հատվածի միջնակետը;
• կառուցիր տրված կետով անցնող և տրված ուղիղին ուղղահայաց ուղիղ (կետը կարող է ընկած լինել կամ չգտնվել տվյալ ուղղի վրա):

3. Անկյունի կիսաչափի կառուցում.

4. Տրվածին հավասար անկյան կառուցում.

Հատվածին ուղղահայաց միջինը:

Սահմանում. Հատվածի ուղղահայաց կիսորդը այն ուղիղն է, որն անցնում է հատվածի միջնակետով և ուղղահայաց է դրան:

Առաջադրանք՝ «Կառուցե՛ք հատվածին ուղղահայաց կիսորդը»: Ներկայացում

O - AB- ի կեսը

Շինարարության նկարագրությունը ( սլայդ թիվ 4):

Beam a; A - ճառագայթի սկիզբը

Շրջագիծ (A; r =m)

Շրջանակ a = B; AB = մ

Շրջան 1 (A; r 1 > m/2)

Շրջան 2 (B; r 1)

Շրջանակ 1 Շրջանակ 2 =

MN ; MN AB = 0, (MN = L)

որտեղ MN AB, O-ն AB-ի միջնակետն է

III. Ապացույց(սլայդ թիվ 5, 6)

1. Դիտարկենք AMN և BNM:

AM = MB=BN=AN=r 2, հետևաբար AM = BN, AN = BM MN ընդհանուր կողմն է

(Նկար 3)

Հետևաբար, AMN = BNM (3 կողմերում),

Ուստի

1=2 (ըստ սահմանման հավասար է)

3=4 (ըստ սահմանման հավասար է)

2. MAN-ը և NBM-ը հավասարաչափ են (ըստ սահմանման) ->

1 \u003d 4 և 3 \u003d 2 (հավասարաչափի հատկությամբ)

3. 1-ին և 2-րդ կետերից -> 1 = 3 հետևաբար MO-ն հավասարաչափ AMB-ի կիսորդն է:

4. Այսպիսով մենք ապացուցեցինք, որ MN-ը AB հատվածին ուղղահայաց կիսորդն է

IV. Ուսումնասիրել

Այս խնդիրն ունի յուրահատուկ լուծում, քանի որ ցանկացած հատված ունի միայն մեկ միջնակետ և միջանցք տրված կետտրվածին ուղղահայաց միայն մեկ ուղիղ կա։

Սահմանում. Կետերի երկրաչափական բազմությունը (GMT) կետերի մի շարք է, որոնք ունեն որոշակի հատկություն: (Հավելված թիվ 2)

Ձեզ հայտնի GMT:

1. Հատվածի ուղղահայաց կիսորդը հատվածի ծայրերից հավասար հեռավորության վրա գտնվող կետերի բազմությունն է:
2. Անկյան բիսեկտոր - անկյան կողմերից հավասար հեռավորության վրա գտնվող կետերի հավաքածու

Այսպիսով, եկեք ապացուցենք թեորեմը.

Թեորեմ. «Հատվածին ուղղահայաց կիսադիրի յուրաքանչյուր կետ այս հատվածի ծայրերից հավասար է»:

(Նկար 4)

Տրված է՝ AB; MO - ուղղահայաց կիսորդ

Ապացուցել՝ AM = VM

Ապացույց: 1. MO - ուղղահայաց կիսորդ (ըստ պայմանի) -> O - AB հատվածի միջնակետ, MOAB. 2. Դիտարկենք AMO-ն և WMO-ն՝ ուղղանկյուն MO - ընդհանուր ոտք

AO \u003d VO (O - AB-ի միջին) -\u003e AMO \u003d BMO (2 ոտքի վրա) -\u003e AM \u003d VM (ըստ սահմանման հավասար եռանկյուններորպես համապատասխան կողմեր) Ք.Ե.Դ

Տնային առաջադրանք՝ «Ապացուցի՛ր տրվածին հակառակ թեորեմը»

Թեորեմ. «Հատվածի ծայրերից հավասար հեռավորության վրա գտնվող յուրաքանչյուր կետ գտնվում է այս հատվածին ուղղահայաց կիսագծի վրա»:

(Նկար 5)

Տրված է՝ AB; MA=MV

Ապացուցել M կետը գտնվում է ուղղահայաց կիսագծի վրա

Ապացույց:

Դա. MO - ուղղահայաց կիսորդ, որը պարունակում է բոլոր կետերը, որոնք հավասար են հատվածի ծայրերից:

Եռանկյան կողմերին ուղղահայաց կիսորդների հատկությունը

Նրանք հատվում են մի կետում և այս կետը եռանկյան շուրջ շրջանագծի կենտրոնն է, մենք կսովորենք ութերորդ դասարանում։

Արհեստանոց

Նյութական և տեխնիկական սարքավորումներ.

Տարածում` 29,574 ԿԲ

ՕՀ: Windows 9x/2000/XP

Կայք: http://www.ascon.ru

Այժմ կառուցումը կտեղափոխենք համակարգչի գրաֆիկական միջավայր (սլայդ թիվ 7)

Նախկինում ձեռք բերված գիտելիքներն ու հմտությունները պետք է կիրառվեն կոնկրետ առաջադրանքի համար: Դուք կտեսնեք, որ շինարարությունը ձեզ ավելի շատ ժամանակ չի խլի, քան նոթատետրում շինարարությունը: Ի թիվս այլ բաների, հետաքրքիր է տեսնել, թե ինչպես է համակարգչային միջավայրը կատարում մարդու հրամանները հարթ թվեր կառուցելու համար: Քեզնից առաջ կա հավելված թիվ 3, որտեղ մանրամասն նկարագրված են քո շինարարական քայլերը: Բեռնել ծրագիրը և բացել նոր նկար ( սլայդ թիվ 8, 9).

Նկարի՛ր խնդրի պայմանում նշված երկրաչափական առարկաներ՝ ճառագայթ Ասկսած կետից Աիսկ հատվածը հավասար է մ- կամայական երկարություն ( սլայդ թիվ 10).

Մուտքագրեք ճառագայթի, հատվածի, ճառագայթի սկիզբի նշանակումը գծագրում՝ օգտագործելով ներդիրը «Գործիքներ«տեքստ.

Կառուցեք հատվածին հավասար շառավղով շրջան մկենտրոնացած է գագաթին տրված կետով Ա (սլայդ թիվ 11).

մկենտրոնացած է A կետի գագաթին ( սլայդ №12, 13).

Կառուցեք շրջանագիծ, որի շառավիղը հավասար է 1/2-ից մեծ հատվածին մԴա անելու համար ընտրեք կետը « 2 միավորի միջև» (սլայդ №14, 15, 16).

Շրջանակների հատման կետերի միջով Մ և Նգիծ քաշիր ( սլայդ №17,18).

Օգտագործված գրքեր.

1. Ուգրինովիչ Ն.Դ. «Ինֆորմատիկա. Հիմնական դասընթաց» 7-րդ դասարան. - M.: BINOM - 2008 - 175 p.
2. Ուգրինովիչ Ն.Դ. «Ինֆորմատիկայի սեմինար և ինֆորմացիոն տեխնոլոգիա«. Ուսուցողական. - M.: BINOM, 2004-2006 թթ. -
3. Ուգրինովիչ Ն.Դ. «Ինֆորմատիկա և ՏՀՏ» դասընթացի դասավանդում տարրական և ավագ դպրոցի 8-11 դասարաններում Մ.: BINOM Գիտելիքի լաբորատորիա, 2008 թ. - 180 էջ.
4. Ուգրինովիչ Ն.Դ. համակարգչային սեմինար CD-ROM-ով: - M.: BINOM, 2004-2006 թթ.
5. Բոգուսլավսկի Ա.Ա., Տրետյակ Թ.Մ. Ֆարաֆոնով Ա.Ա. «Compass - 3D v 5.11-8.0 Սեմինար սկսնակների համար» - M .: SOLON - PRESS, 2006 - 272 p.
6. Աթանասյան Լ.Ս., Բուտուզով Վ.Ֆ., Կադոմցև Ս.Բ. և այլք «Երկրաչափություն 7-9. Դասագիրք հանրակրթական դպրոցների համար «- M: Կրթություն 2006 - 384 p.
7. Աթանասյան Լ.Ս., Բուտուզով Վ.Ֆ., Կադոմցև Ս.Բ. և այլք «Երկրաչափության ուսումնասիրություն 7-9 դասարաններ. Ուղեցույցներ դասագրքի համար «- M: Կրթություն 1997 - 255 p.
8. Աֆանասևա Տ.Լ., Տապիլինա Լ.Ա. «Աթանասյան Լ.Ս.-ի 8-րդ դասարանի դասագրքի դասապլաններ». - Վոլգոգրադի «Ուսուցիչ» 2010 թ., 166 էջ.

Դիմում թիվ 1

Պլան՝ կողմնացույցի և քանոնի կառուցման վերաբերյալ խնդիրների լուծման համար:

1. Վերլուծություն.
2. Շինարարություն.
3. Ապացույց.
4. Ուսումնասիրություն.

Բացատրություն

1. Վերլուծությունը կատարելիս սխեմատիկորեն գծվում է պահանջվող ցուցանիշը և կապ է հաստատվում առաջադրանքի տվյալների և պահանջվող տարրերի միջև:
2. Նախագծի համաձայն՝ շինարարությունն իրականացվում է կողմնացույցով և քանոնով։
3. Նրանք ապացուցում են, որ կառուցված գործիչը բավարարում է խնդրի պայմանները։
4. Կատարել ուսումնասիրություն. ցանկացած տվյալների դեպքում խնդիրը լուծում ունի՞, և եթե այո, ապա քանի՞ լուծում:

Տարրական շինարարական առաջադրանքների օրինակներ

1. Մի կողմ դրեք տրվածին հավասար հատված։
2. Կառուցեք հատվածին ուղղահայաց կիսորդ:
3. Կառուցեք հատվածի միջնակետը:
4. Տրված կետով անցնող ուղիղ կառուցիր՝ տրված ուղղին ուղղահայաց (Կետը կարող է ընկած լինել տվյալ ուղղի վրա կամ չընկնել)։
5. Կառուցեք անկյան կիսորդ:
6. Կառուցեք տրվածին հավասար անկյուն։

Դիմում №2

Կետերի տեղը (GMT) կետերի մի շարք է, որոնք ունեն որոշակի հատկություն:

GMT-ի օրինակներ.

1. Հատվածի ուղղահայաց կիսորդը հատվածի ծայրերից հավասար հեռավորության վրա գտնվող կետերի բազմությունն է:
2. Շրջանակը տրված կետից՝ շրջանագծի կենտրոնից հավասար հեռավորության վրա գտնվող կետերի բազմություն է:
3. Անկյան կիսորդը անկյան կողմերից հավասար հեռավորության վրա գտնվող կետերի բազմությունն է։

Հատվածի նկատմամբ ուղղահայաց կիսադիրի յուրաքանչյուր կետ այս հատվածի ծայրերից հավասար է: