Աշակերտներին տրվում են մաթեմատիկայի բազմաթիվ առաջադրանքներ: Դրանցից շատ հաճախ առաջադրանքներ են լինում հետևյալ ձևակերպմամբ՝ երկու արժեք կա. Ինչպես գտնել ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը տրված թվեր? Պետք է կարողանալ նման առաջադրանքներ կատարել, քանի որ ձեռք բերված հմտություններն օգտագործվում են տարբեր հայտարարներով կոտորակների հետ աշխատելու համար։ Հոդվածում մենք կվերլուծենք, թե ինչպես գտնել LCM-ն և հիմնական հասկացությունները:

Նախքան այն հարցի պատասխանը գտնելը, թե ինչպես գտնել LCM-ը, պետք է սահմանել բազմակի տերմինը. Ամենից հաճախ այս հայեցակարգի ձևակերպումը հնչում է հետևյալ կերպ. A որոշ արժեքի բազմապատիկը կոչվում է այդպիսին բնական թիվ, որն առանց մնացորդի կբաժանվի Ա-ի։ Այսպիսով, 4 բազմապատիկի համար կլինի 8, 12, 16, 20 և այլն՝ մինչև պահանջվող սահմանը։

Այս դեպքում որոշակի արժեքի համար բաժանարարների թիվը կարող է սահմանափակվել, և կան անսահման շատ բազմապատիկներ: Նույն արժեքը կա նաև բնական արժեքների համար։ Սա ցուցիչ է, որը նրանցով բաժանվում է առանց մնացորդի։ Անդրադառնալով որոշակի ցուցանիշների ամենափոքր արժեքի հայեցակարգին, եկեք անցնենք, թե ինչպես գտնել այն:

Գտնելով ՀԱՕԿ-ը

Երկու կամ ավելի ցուցիչների ամենափոքր բազմապատիկը այն ամենափոքր բնական թիվն է, որը լիովին բաժանվում է բոլոր տրված թվերի վրա։

Նման արժեք գտնելու մի քանի եղանակ կա:Դիտարկենք հետևյալ մեթոդները.

1. Եթե ​​թվերը փոքր են, ապա տողում գրի՛ր բոլորը, որոնք բաժանվում են դրա վրա։ Շարունակեք դա անել այնքան ժամանակ, մինչև նրանց միջև ընդհանուր բան գտնեք: Գրառման մեջ դրանք նշվում են K տառով, օրինակ՝ 4-ի և 3-ի համար ամենափոքր բազմապատիկը 12-ն է։
2. Եթե ​​դրանք մեծ են կամ դուք պետք է բազմապատիկ գտնեք 3 կամ ավելի արժեքների համար, ապա այստեղ դուք պետք է օգտագործեք այլ տեխնիկա, որը ներառում է թվերի տարրալուծումը պարզ գործոնների: Նախ դրեք նշվածներից ամենամեծը, այնուհետև մնացածը: Նրանցից յուրաքանչյուրն ունի իր սեփական թվով բազմապատկիչ: Որպես օրինակ՝ քայքայենք 20 (2*2*5) և 50 (5*5*2): Դրանցից փոքրերի համար ընդգծեք գործոնները և ավելացրեք ամենամեծը: Արդյունքը կլինի 100, որը կլինի վերը նշված թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը։
3. 3 թվեր (16, 24 և 36) գտնելիս սկզբունքները նույնն են, ինչ մյուս երկուսի համար։ Ընդլայնենք դրանցից յուրաքանչյուրը՝ 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3։ 16 թվի տարրալուծումից միայն երկու դյուզ չի ներառվել ամենամեծի ընդլայնման մեջ, մենք դրանք գումարում ենք և ստանում 144, որը ամենափոքր արդյունքն է նախկինում նշված թվային արժեքների համար։

Հիմա մենք գիտենք, թե ինչ ընդհանուր տեխնիկագտնելով ամենափոքր արժեքը երկու, երեք կամ ավելի արժեքների համար: Այնուամենայնիվ, կան նաև մասնավոր մեթոդներ, օգնում է ԱՕԿ-ների որոնմանը, եթե նախորդները չեն օգնում։

Ինչպես գտնել GCD-ն և NOC-ը:

Գտնելու մասնավոր ուղիներ

Ինչպես ցանկացած մաթեմատիկական բաժնում, կան LCM-ներ գտնելու հատուկ դեպքեր, որոնք օգնում են կոնկրետ իրավիճակներում.

• եթե թվերից մեկը բաժանվում է մյուսների վրա առանց մնացորդի, ապա այդ թվերի ամենացածր բազմապատիկը հավասար է դրան (NOC 60 և 15-ը հավասար է 15-ի).
• Համապարփակ թվերը չունեն ընդհանուր պարզ բաժանարարներ: Նրանց ամենափոքր արժեքը հավասար է այս թվերի արտադրյալին։ Այսպիսով, 7 և 8 թվերի համար սա կլինի 56;
• Նույն կանոնը գործում է այլ, այդ թվում՝ հատուկ դեպքերի դեպքում, որոնց մասին կարելի է կարդալ մասնագիտացված գրականության մեջ։ Սա պետք է ներառի նաև կոմպոզիտային թվերի տարրալուծման դեպքերը, որոնք առանձին հոդվածների և նույնիսկ թեկնածուական ատենախոսությունների թեմա են:

Հատուկ դեպքերը ավելի քիչ են տարածված, քան ստանդարտ օրինակները: Բայց նրանց շնորհիվ դուք կարող եք սովորել, թե ինչպես աշխատել տարբեր աստիճանի բարդության ֆրակցիաների հետ: Սա հատկապես ճիշտ է կոտորակների համար:, որտեղ կան տարբեր հայտարարներ։

Որոշ օրինակներ

Դիտարկենք մի քանի օրինակ, որոնց շնորհիվ կարող եք հասկանալ ամենափոքր բազմապատիկը գտնելու սկզբունքը.

1. Մենք գտնում ենք LCM (35; 40): Մենք նախ դնում ենք 35 = 5 * 7, ապա 40 = 5 * 8: Ամենափոքր թվին գումարում ենք 8 և ստանում NOC 280:
2. ՀԱՕԿ (45; 54). Մենք դնում ենք դրանցից յուրաքանչյուրը ՝ 45 = 3 * 3 * 5 և 54 = 3 * 3 * 6: 6 թիվը գումարում ենք 45-ին, ստանում ենք 270-ի ՀԱՕԿ-ը։
3. Դե, վերջին օրինակը. Կան 5 և 4: Նրանց համար պարզ բազմապատիկ չկա, ուստի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը այս դեպքում կլինի նրանց արտադրյալը՝ հավասար 20-ի:

Օրինակների շնորհիվ կարող եք հասկանալ, թե ինչպես է գտնվում ՀԱՕԿ-ը, որո՞նք են նրբերանգները և որն է նման մանիպուլյացիաների իմաստը։

ՀԱՕԿ-ը գտնելը շատ ավելի հեշտ է, քան կարող է թվալ սկզբում: Դրա համար օգտագործվում են ինչպես պարզ ընդլայնում, այնպես էլ պարզ արժեքների բազմապատկում միմյանց նկատմամբ:. Մաթեմատիկայի այս բաժնի հետ աշխատելու ունակությունը օգնում է մաթեմատիկական թեմաների, հատկապես կոտորակների հետագա ուսումնասիրությանը: տարբեր աստիճաններդժվարություններ.

Մի մոռացեք պարբերաբար օրինակներ լուծել տարբեր մեթոդներով, սա զարգացնում է տրամաբանական ապարատը և թույլ է տալիս հիշել բազմաթիվ տերմիններ: Սովորեք նման ցուցանիշ գտնելու մեթոդներ և կկարողանաք լավ աշխատել մնացած մաթեմատիկական բաժինների հետ: Հաճելի մաթեմատիկա սովորելը:

Տեսանյութ

Այս տեսանյութը կօգնի ձեզ հասկանալ և հիշել, թե ինչպես գտնել ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Երկու թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ուղղակիորեն կապված է այդ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի հետ։ Սա կապը GCD-ի և NOC-ի միջևսահմանվում է հետևյալ թեորեմով.

Թեորեմ.

Երկու a և b դրական ամբողջ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հավասար է a-ի և b-ի արտադրյալին, որը բաժանվում է a-ի և b-ի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի վրա, այսինքն. LCM(a, b)=a b. GCD(a, b).

Ապացույց.

Թող M-ը a և b թվերի մի քանի բազմապատիկ է: Այսինքն M-ը բաժանվում է a-ի, իսկ բաժանելիության սահմանմամբ կա մի ամբողջ k այնպիսի թիվ, որ M=a·k հավասարությունը ճիշտ է։ Բայց M-ը նույնպես բաժանվում է b-ի, ապա a k-ն բաժանվում է b-ի:

gcd(a, b) նշանակել d-ով: Այնուհետև մենք կարող ենք գրել a=a 1 ·d և b=b 1 ·d հավասարությունները, իսկ a 1 =a:d և b 1 =b:d հավասարությունները կլինեն համապարփակ թվեր: Հետևաբար, նախորդ պարբերությունում ստացված պայմանը, որ a k-ը բաժանվում է b-ի, կարող է վերակազմակերպվել հետևյալ կերպ. բաժանվում է b 1-ի:

Դիտարկված թեորեմից մենք պետք է գրենք նաև երկու կարևոր հետևություն:

Երկու թվերի ընդհանուր բազմապատիկները նույնն են, ինչ նրանց ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Սա ճիշտ է, քանի որ a և b թվերի ցանկացած ընդհանուր բազմապատիկ սահմանվում է M=LCM(a, b) t հավասարությամբ t որոշ ամբողջ թվի համար:

a և b համապարփակ դրական թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հավասար է դրանց արտադրյալին։

Այս փաստի հիմնավորումը միանգամայն ակնհայտ է. Քանի որ a-ն և b-ն միաժամանակ պարզ են, ապա gcd(a, b)=1, հետևաբար, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Երեք կամ ավելի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը

Երեք կամ ավելի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելը կարող է կրճատվել երկու թվերի LCM-ի հաջորդական գտնելով: Ինչպես է դա արվում, ցույց է տրված հետևյալ թեորեմում՝ a 1, a 2, …, a k-ը համընկնում է m k-1 և a k թվերի ընդհանուր բազմապատիկներին, հետևաբար, համընկնում է m k-ի բազմապատիկներին: Եվ քանի որ m k թվի ամենափոքր դրական բազմապատիկը հենց m k թիվն է, ապա a 1, a 2,…, a k թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը m k է:

Մատենագիտություն.

• Վիլենկին Ն.Յա. և այլն Մաթեմատիկա. Դասարան 6. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների համար.
• Վինոգրադով Ի.Մ. Թվերի տեսության հիմունքները.
• Միխելովիչ Շ.Խ. Թվերի տեսություն.
• Կուլիկով Լ.Յա. և այլք Հանրահաշվի և թվերի տեսության խնդիրների ժողովածու. Ուսուցողականֆիզիկայի և մաթեմատիկայի ուսանողների համար: մանկավարժական ինստիտուտների մասնագիտությունները։

Երկրորդ համարը. b=

Թվային տարանջատիչ«Տիեզերական բաժանարար չկա»:

Արդյունք:

Մեծագույն ընդհանուր բաժանարար gcd( ա,բ)=6

LCM-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ( ա,բ)=468

Ամենամեծ բնական թիվը, որով a և b թվերը բաժանվում են առանց մնացորդի, կոչվում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը(gcd) այս թվերից: Նշվում է gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) կամ hcf(a,b):

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը a և b երկու ամբողջ թվերի (LCM) ամենափոքր բնական թիվն է, որը բաժանվում է a և b-ի առանց մնացորդի։ Նշվում է LCM(a,b) կամ lcm(a,b):

Ամբողջական a և b թվերը կոչվում են coprimeեթե +1-ից և −1-ից բացի այլ ընդհանուր բաժանարարներ չունեն։

Մեծագույն ընդհանուր բաժանարար

Թող տրվի երկու դրական թիվ ա 1 և ա 2 1). Պահանջվում է գտնել այս թվերի ընդհանուր բաժանարարը, այսինքն. գտեք այդպիսի թիվ λ , որը բաժանում է թվերը ա 1 և ա 2 միաժամանակ. Եկեք նկարագրենք ալգորիթմը.

1) Այս հոդվածում թիվ բառը կնշանակի ամբողջ թիվ:

Թող ա 1 ≥ ա 2 և թող

Որտեղ մ 1 , ա 3-ը մի քանի ամբողջ թվեր են, ա 3 <ա 2 (մնացորդ բաժանումից ա 1 վրա ա 2-ը պետք է պակաս լինի ա 2).

Եկեք այդպես ձևացնենք λ բաժանում է ա 1 և ա 2, ապա λ բաժանում է մ 1 ա 2 և λ բաժանում է ա 1 −մ 1 ա 2 =ա 3 («Թվերի բաժանելիություն. բաժանելիության նշան» հոդվածի 2-րդ պնդում). Դրանից բխում է, որ յուրաքանչյուր ընդհանուր բաժանարար ա 1 և ա 2-ը ընդհանուր բաժանարար է ա 2 և ա 3 . Ճիշտ է նաև հակառակը, եթե λ ընդհանուր բաժանարար ա 2 և ա 3, ապա մ 1 ա 2 և ա 1 =մ 1 ա 2 +ա 3-ը նույնպես բաժանվում են λ . Այստեղից էլ ընդհանուր բաժանարարը ա 2 և ա 3-ը նույնպես ընդհանուր բաժանարար է ա 1 և ա 2. Որովհետեւ ա 3 <ա 2 ≤ա 1 , ապա կարելի է ասել, որ թվերի ընդհանուր բաժանարար գտնելու խնդրի լուծումը ա 1 և ա 2-ը վերածվել է թվերի ընդհանուր բաժանարար գտնելու ավելի պարզ խնդրի ա 2 և ա 3 .

Եթե ա 3 ≠0, ապա մենք կարող ենք բաժանել ա 2 վրա ա 3 . Հետո

,

Որտեղ մ 1 և ա 4-ը մի քանի ամբողջ թվեր են, ( ա 4 բաժանման մնացորդը ա 2 վրա ա 3 (ա 4 <ա 3)): Նմանատիպ պատճառաբանությամբ գալիս ենք այն եզրակացության, որ թվերի ընդհանուր բաժանարարները ա 3 և ա 4-ը նույնն է, ինչ թվերի ընդհանուր բաժանարարները ա 2 և ա 3 , ինչպես նաև ընդհանուր բաժանարարներով ա 1 և ա 2. Որովհետեւ ա 1 , ա 2 , ա 3 , ա 4 , ... թվեր, որոնք անընդհատ նվազում են, և քանի որ դրանց միջև կա վերջավոր թվով ամբողջ թվեր. ա 2 և 0, ապա ինչ-որ քայլի n, բաժանման մնացորդը ա n վրա ա n+1 հավասար կլինի զրոյի ( ա n+2=0):

.

Յուրաքանչյուր ընդհանուր բաժանարար λ թվեր ա 1 և ա 2-ը նաև թվերի բաժանարար է ա 2 և ա 3 , ա 3 և ա 4 , .... ա n և ա n+1 . Ճիշտ է նաև հակառակը՝ թվերի ընդհանուր բաժանարարները ա n և ա n+1-ը նույնպես թվերի բաժանարարներ են ա n−1 և ա n, ...., ա 2 և ա 3 , ա 1 և ա 2. Բայց ընդհանուր բաժանարարը ա n և ա n+1-ը թիվ է ա n+1, քանի որ ա n և ա n+1-ը բաժանվում են ա n+1 (հիշենք, որ ա n+2=0): Ուստի ա n+1-ը նաև թվերի բաժանարար է ա 1 և ա 2 .

Նշենք, որ համարը ա n+1 թվերի ամենամեծ բաժանարարն է ա n և ա n+1, քանի որ ամենամեծ բաժանարարը ա n+1-ն ինքն է ա n+1 . Եթե ա n + 1-ը կարելի է ներկայացնել որպես ամբողջ թվերի արտադրյալ, ապա այս թվերը նաև թվերի ընդհանուր բաժանարարներ են։ ա 1 և ա 2. Թիվ ա n+1 կոչվում են ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարըթվեր ա 1 և ա 2 .

Թվեր ա 1 և ա 2-ը կարող է լինել և՛ դրական, և՛ բացասական թվեր: Եթե ​​թվերից մեկը հավասար է զրոյի, ապա այդ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը հավասար կլինի մյուս թվի բացարձակ արժեքին։ Զրո թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը սահմանված չէ։

Վերոնշյալ ալգորիթմը կոչվում է Էվկլիդեսի ալգորիթմըգտնել երկու ամբողջ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը.

Երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու օրինակ

Գտե՛ք 630 և 434 երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը:

• Քայլ 1. 630 թիվը բաժանեք 434-ի, մնացածը 196 է։
• Քայլ 2. 434 թիվը բաժանեք 196-ի, մնացածը 42 է։
• Քայլ 3. 196 թիվը բաժանեք 42-ի, մնացածը 28 է։
• Քայլ 4. 42 թիվը բաժանեք 28-ի, մնացածը 14 է։
• Քայլ 5. 28 թիվը բաժանեք 14-ի, մնացորդը 0 է։

5-րդ քայլում բաժանման մնացորդը 0 է։ Հետևաբար, 630 և 434 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 14 է։ Նկատի ունեցեք, որ 2 և 7 թվերը նույնպես 630 և 434 թվերի բաժանարարներ են։

Համապարփակ թվեր

Սահմանում 1. Թող թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը ա 1 և ա 2-ը հավասար է մեկի: Այնուհետև այս թվերը կոչվում են համապարփակ թվերորոնք չունեն ընդհանուր բաժանարար.

Թեորեմ 1. Եթե ա 1 և ա 2 համեմատաբար պարզ թվեր, և λ ինչ-որ թիվ, ապա թվերի ցանկացած ընդհանուր բաժանարար λa 1 և ա 2-ը նաև թվերի ընդհանուր բաժանարար է λ Եվ ա 2 .

Ապացույց. Դիտարկենք Էվկլիդեսի ալգորիթմը՝ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու համար ա 1 և ա 2 (տես վերևում):

.

Թեորեմի պայմաններից հետևում է, որ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը ա 1 և ա 2 և հետևաբար ա n և ա n+1-ը 1 է. Այսինքն. ա n+1=1.

Եկեք այս բոլոր հավասարությունները բազմապատկենք λ , Հետո

.

Թող ընդհանուր բաժանարարը ա 1 λ Եվ ա 2 է δ . Հետո δ մտնում է որպես գործոն ա 1 λ , մ 1 ա 2 λ և մեջ ա 1 λ -մ 1 ա 2 λ =ա 3 λ (Տե՛ս «Թվերի բաժանելիությունը», հայտարարությունը 2): Հետագա δ մտնում է որպես գործոն ա 2 λ Եվ մ 2 ա 3 λ , և, հետևաբար, մտնում է որպես գործոն ա 2 λ -մ 2 ա 3 λ =ա 4 λ .

Այսպես պատճառաբանելով՝ համոզվում ենք, որ δ մտնում է որպես գործոն ա n−1 λ Եվ մ n−1 ա n λ , և հետևաբար ներս ա n−1 λ −մ n−1 ա n λ =ա n+1 λ . Որովհետեւ ա n+1 =1, ապա δ մտնում է որպես գործոն λ . Այստեղից էլ թիվը δ թվերի ընդհանուր բաժանարար է λ Եվ ա 2 .

Դիտարկենք թեորեմ 1-ի հատուկ դեպքերը:

Հետևանք 1. Թող աԵվ գպարզ թվերը համեմատաբար են բ. Հետո նրանց արտադրանքը ակ-ի նկատմամբ պարզ թիվ է բ.

Իսկապես։ Թեորեմ 1-ից ակԵվ բունեն նույն ընդհանուր բաժանարարները, ինչ գԵվ բ. Բայց թվերը գԵվ բ coprime, այսինքն. ունեն մեկ ընդհանուր բաժանարար 1. Հետո ակԵվ բունեն նաև մեկ ընդհանուր բաժանարար 1. Ուստի ակԵվ բփոխադարձաբար պարզ.

Հետևանք 2. Թող աԵվ բհամապարփակ թվեր և թող բբաժանում է ակ. Հետո բբաժանում է և կ.

Իսկապես։ Պնդման պայմանից ակԵվ բունեն ընդհանուր բաժանարար բ. Թեորեմ 1-ի ուժով. բպետք է լինի ընդհանուր բաժանարար բԵվ կ. Ուստի բբաժանում է կ.

Եզրակացություն 1-ը կարելի է ընդհանրացնել.

Հետևանք 3. 1. Թող թվերը ա 1 , ա 2 , ա 3 , ..., ա m-ը թվի համեմատ պարզ է բ. Հետո ա 1 ա 2 , ա 1 ա 2 · ա 3 , ..., ա 1 ա 2 ա 3 ··· ա m , այս թվերի արտադրյալը թվի նկատմամբ պարզ է բ.

2. Եկեք ունենանք թվերի երկու շարք

այնպես, որ առաջին շարքի յուրաքանչյուր թիվ երկրորդ շարքի յուրաքանչյուր թվի նկատմամբ պարզ է: Այնուհետև ապրանքը

Պահանջվում է գտնել այնպիսի թվեր, որոնք բաժանվում են այս թվերից յուրաքանչյուրի վրա։

Եթե ​​թիվը բաժանվում է ա 1, ապա կարծես սա 1, որտեղ սինչ-որ թիվ. Եթե քթվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է ա 1 և ա 2, ապա

Որտեղ ս 1-ը որոշ ամբողջ թիվ է: Հետո

է թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ա 1 և ա 2 .

ա 1 և ա 2 համապարփակ, ապա թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ա 1 և ա 2:

Գտե՛ք այս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Վերը նշվածից հետևում է, որ թվերի ցանկացած բազմապատիկ ա 1 , ա 2 , ա 3-ը պետք է թվերի բազմապատիկ լինի ε Եվ ա 3 և հակառակը: Թող թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ε Եվ ա 3 է ε 1 . Ավելին, թվերի բազմապատիկ ա 1 , ա 2 , ա 3 , ա 4-ը պետք է թվերի բազմապատիկ լինի ε 1 և ա 4 . Թող թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ε 1 և ա 4 է ε 2. Այսպիսով, մենք պարզեցինք, որ թվերի բոլոր բազմապատիկները ա 1 , ա 2 , ա 3 ,...,ա m-ը համընկնում է որոշակի թվի բազմապատիկի հետ ε n , որը կոչվում է տրված թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ։

Կոնկրետ այն դեպքում, երբ թվերը ա 1 , ա 2 , ա 3 ,...,ա m նույնական, ապա թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ա 1 , ա 2, ինչպես ցույց է տրված վերևում, ունի (3) ձևը: Հետագայում, քանի որ ա 3 պարզ թվերի նկատմամբ ա 1 , ա 2, ապա ա 3-ը պարզ հարաբերական թիվ է ա 1 · ա 2 (Հետևանք 1): Այսպիսով, թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ա 1 ,ա 2 ,ա 3-ը թիվ է ա 1 · ա 2 · ա 3 . Նմանապես վիճելով՝ հանգում ենք հետևյալ պնդումներին.

Հայտարարություն 1. Համապարփակ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ա 1 , ա 2 , ա 3 ,...,ա m-ը հավասար է նրանց արտադրյալին ա 1 · ա 2 · ա 3 ··· ամ .

Հայտարարություն 2. Ցանկացած թիվ, որը բաժանվում է համապարփակ թվերից յուրաքանչյուրի վրա ա 1 , ա 2 , ա 3 ,...,ա m-ը նույնպես բաժանվում է նրանց արտադրյալի վրա ա 1 · ա 2 · ա 3 ··· ամ .

Դիտարկենք հետևյալ խնդրի լուծումը. Տղայի քայլը 75 սմ է, իսկ աղջկանը՝ 60 սմ։Պետք է գտնել ամենափոքր հեռավորությունը, որով երկուսն էլ ամբողջ թվով քայլեր կանեն։

Լուծում.Ամբողջ ճանապարհը, որով անցնելու են տղաները, պետք է առանց մնացորդի բաժանվի 60-ի և 70-ի, քանի որ յուրաքանչյուրը պետք է կատարի ամբողջ թվով քայլեր։ Այսինքն՝ պատասխանը պետք է լինի և՛ 75-ի, և՛ 60-ի բազմապատիկ:

Սկզբում մենք կգրենք բոլոր բազմապատիկները 75 թվի համար: Ստանում ենք.

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Հիմա եկեք դուրս գրենք այն թվերը, որոնք կլինեն 60-ի բազմապատիկ: Ստանում ենք.

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Այժմ մենք գտնում ենք այն թվերը, որոնք գտնվում են երկու շարքերում:

• Թվերի ընդհանուր բազմապատիկները կլինեն թվերը՝ 300, 600 և այլն։

Դրանցից ամենափոքրը 300 թիվն է։Այս դեպքում այն ​​կկոչվի 75 և 60 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ։

Վերադառնալով խնդրի վիճակին, ամենափոքր հեռավորությունը, որով տղաները կատարում են ամբողջ թվով քայլեր, կլինի 300 սմ: Տղան այս ճանապարհը կանցնի 4 քայլով, իսկ աղջկան անհրաժեշտ կլինի 5 քայլ:

Գտնելով նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը

• Երկու բնական թվերի a և b թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ամենափոքր բնական թիվն է, որը և՛ a-ի, և՛ b-ի բազմապատիկն է:

Երկու թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար անհրաժեշտ չէ անընդմեջ գրել այս թվերի բոլոր բազմապատիկները։

Դուք կարող եք օգտագործել հետևյալ մեթոդը.

Ինչպես գտնել ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը

Նախ պետք է այս թվերը տարրալուծել պարզ գործոնների:

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Այժմ գրենք բոլոր այն գործոնները, որոնք կան առաջին թվի ընդլայնման մեջ (2,2,3,5) և դրան գումարենք երկրորդ (5) թվի ընդլայնումից բացակայող բոլոր գործոնները։

Արդյունքում ստանում ենք պարզ թվերի շարք՝ 2,2,3,5,5։ Այս թվերի արտադրյալը կլինի այս թվերի համար ամենաքիչ ընդհանուր գործակիցը: 2*2*3*5*5 = 300։

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու ընդհանուր սխեման

• 1. Թվերը տարրալուծիր պարզ գործակիցների:
• 2. Գրի՛ր դրանցից մեկի մաս կազմող պարզ գործոնները:
• 3. Այս գործոններին ավելացրեք բոլոր նրանք, որոնք գտնվում են մնացածի քայքայման մեջ, բայց ոչ ընտրվածի մեջ։
• 4. Գտի՛ր դուրս գրված բոլոր գործոնների արտադրյալը:

Այս մեթոդը ունիվերսալ է: Այն կարող է օգտագործվել բնական թվերի ցանկացած թվի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար:

Ինչպես գտնել LCM (նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ)

Երկու ամբողջ թվերի ընդհանուր բազմապատիկը այն ամբողջ թիվն է, որը հավասարապես բաժանվում է երկու տրված թվերի վրա՝ առանց մնացորդի։

Երկու ամբողջ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը բոլոր ամբողջ թվերից ամենափոքրն է, որը հավասարապես և առանց մնացորդի բաժանվում է երկու տրված թվերի վրա։

Մեթոդ 1. Դուք կարող եք գտնել LCM-ն, իր հերթին, տրված թվերից յուրաքանչյուրի համար՝ աճման կարգով գրելով բոլոր այն թվերը, որոնք ստացվում են դրանք 1-ով, 2-ով, 3-ով, 4-ով և այլն բազմապատկելով:

Օրինակ 6 և 9 համարների համար։
Մենք 6 թիվը հաջորդաբար բազմապատկում ենք 1, 2, 3, 4, 5-ով։
Մենք ստանում ենք՝ 6, 12, 18 , 24, 30
Մենք 9 թիվը բազմապատկում ենք հաջորդաբար 1, 2, 3, 4, 5-ով:
Մենք ստանում ենք՝ 9, 18 , 27, 36, 45
Ինչպես տեսնում եք, LCM-ը 6 և 9 համարների համար կլինի 18:

Այս մեթոդը հարմար է, երբ երկու թվերն էլ փոքր են, և հեշտ է դրանք բազմապատկել ամբողջ թվերի հաջորդականությամբ։ Այնուամենայնիվ, կան դեպքեր, երբ անհրաժեշտ է գտնել LCM երկնիշ կամ եռանիշ թվերի համար, ինչպես նաև, երբ կան երեք կամ նույնիսկ ավելի սկզբնական թվեր:

Մեթոդ 2. Դուք կարող եք գտնել LCM-ն՝ սկզբնական թվերը տարրալուծելով պարզ գործակիցների:
Քայքայվելուց հետո առաջացած պարզ գործակիցների շարքից անհրաժեշտ է հատել նույն թվերը։ Առաջին թվի մնացած թվերը կլինեն գործակից երկրորդի համար, իսկ երկրորդ թվի մնացած թվերը՝ առաջինի գործակիցը։

Օրինակ 75 և 60 թվերի համար։
75 և 60 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը կարելի է գտնել առանց այս թվերի բազմապատիկ անընդմեջ դուրս գրելու: Դա անելու համար մենք 75-ը և 60-ը տարրալուծում ենք պարզ գործոնների.
75 = 3 * 5 * 5, և
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Ինչպես տեսնում եք, 3-րդ և 5-րդ գործոնները տեղի են ունենում երկու շարքերում: Մտավորապես մենք դրանք «խաչում ենք»։
Եկեք գրենք այս թվերից յուրաքանչյուրի ընդլայնման մեջ ներառված մնացած գործոնները: 75 թիվը քայքայելիս թողել ենք 5 թիվը, իսկ 60 թիվը քայքայելիս թողել ենք 2 * 2։
Այսպիսով, 75 և 60 թվերի համար LCM-ն որոշելու համար մենք պետք է 75-ի ընդլայնումից մնացած թվերը (սա 5-ն է) բազմապատկենք 60-ով, իսկ 60-ի ընդլայնումից մնացած թվերը (սա 2 * 2 է: ) բազմապատկել 75-ով։ Այսինքն՝ հասկանալու համար մենք ասում ենք, որ բազմապատկում ենք «խաչաձև»։
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Այսպես մենք գտանք LCM-ը 60 և 75 թվերի համար։ Սա 300 թիվն է։

Օրինակ. Որոշեք LCM 12, 16, 24 թվերի համար
Այս դեպքում մեր գործողությունները որոշ չափով ավելի բարդ կլինեն։ Բայց, նախ, ինչպես միշտ, մենք բոլոր թվերը տարրալուծում ենք պարզ գործակիցների
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
LCM-ն ճիշտ որոշելու համար մենք ընտրում ենք բոլոր թվերից ամենափոքրը (սա 12-րդ թիվն է) և հաջորդաբար անցնում ենք դրա գործակիցների միջով՝ դրանք հատելով, եթե թվերի մյուս տողերից գոնե մեկն ունի նույն գործակիցը, որը դեռ չի հատվել։ դուրս.

Քայլ 1. Մենք տեսնում ենք, որ 2 * 2-ը տեղի է ունենում թվերի բոլոր շարքերում: Մենք դրանք հատում ենք:
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Քայլ 2. 12 թվի պարզ գործակիցներում մնում է միայն 3 թիվը, սակայն այն առկա է 24 թվի պարզ գործակիցներում։ Մենք երկու տողերից էլ 3-րդ թիվը հատում ենք, մինչդեռ 16-ի համար գործողություն չի սպասվում։ .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Ինչպես տեսնում եք, 12 թիվը քայքայելիս մենք «խաչեցինք» բոլոր թվերը։ Այսպիսով, ՀԱՕԿ-ի բացահայտումն ավարտված է։ Մնում է միայն հաշվարկել դրա արժեքը։
12 թվի համար մենք վերցնում ենք մնացած գործոնները 16 թվից (ամենամոտը՝ աճման կարգով)
12 * 2 * 2 = 48
Սա ՀԱՕԿ-ն է

Ինչպես տեսնում եք, այս դեպքում LCM-ը գտնելը որոշ չափով ավելի դժվար էր, բայց երբ անհրաժեշտ է գտնել այն երեք և ավելի թվերի համար, այս մեթոդը թույլ է տալիս դա անել ավելի արագ: Այնուամենայնիվ, LCM-ն գտնելու երկու եղանակներն էլ ճիշտ են: