Շատ թվեր չեն կարող ամբողջությամբ բաժանվել, բաժանելիս հաճախ լինում է զրոյից տարբերվող մնացորդ: Այս հոդվածում մենք կքննարկենք, թե ինչպես կարելի է բաժանել բնական թվերմնացածի հետ և մանրամասն դիտարկել դրանց կիրառությունը օրինակներով:

Սկսենք բնական թվերի բաժանումից սյունակում մնացորդով, այնուհետև կդիտարկենք բաժանումը հաջորդական հանումներով։ Ի վերջո, մենք ավարտում ենք թերի գործակից ընտրելու մեթոդի վերլուծությունը: Մենք ներկայացնում ենք մնացորդով բաժանման ալգորիթմ ամենաընդհանուր դեպքի համար և ցույց ենք տալիս, թե ինչպես ստուգել բնական թվերի մնացորդով բաժանման արդյունքը։

Սա բաժանման ամենահարմար եղանակներից մեկն է։ Այն մանրամասն նկարագրված է բնական թվերի սյունակով բաժանմանը նվիրված առանձին հոդվածում։ Այստեղ մենք նորովի չենք տա ամբողջ տեսությունը, այլ կկենտրոնանանք մնացորդով բաժանման դեպքի վրա։

Մենք կտանք լուծման օրինակ, քանի որ գործնականում ամենահեշտ է հասկանալ մեթոդի էությունը:

Օրինակ 1. Ինչպե՞ս բնական թվերը բաժանել մնացորդի հետ:

273844 բնական թիվը բաժանեք 97 բնական թվի վրա։

Բաժանում ենք սյունակի վրա և գրում.

Արդյունք՝ մասնակի գործակիցը 2823 է, իսկ մնացածը՝ 13։

Թվերի բաժանում մնացորդով հաջորդական հանման միջոցով

Անավարտ քանորդը և մնացորդը գտնելու համար կարելի է դիմել դիվիդենտից բաժանարարի հաջորդական հանման: Այս մեթոդը միշտ չէ, որ տեղին է, բայց որոշ դեպքերում այն ​​շատ հարմար է օգտագործել: Եկեք նորից նայենք օրինակին։

Օրինակ 2. Մնացորդով բաժանում հաջորդական հանումների միջոցով:

Ասենք՝ ունենք 7 խնձոր։ Մենք պետք է այս 7 խնձորները դնենք 3 խնձորի տոպրակների մեջ: Այսինքն՝ 7-ը բաժանված է 3-ի:

Նախնական քանակի խնձորներից վերցնում ենք 3 հատ և լցնում մեկ փաթեթի մեջ։ Մեզ կմնա 7 - 3 = 4 խնձոր։ Այժմ մնացած խնձորներից կրկին հանում ենք 3 կտոր և դնում մեկ այլ տոպրակի մեջ։ Մնացել է 4 - 3 = 1 խնձոր։

1 խնձորը բաժանման մնացորդն է, քանի որ այս փուլում մենք այլևս չենք կարող երեք խնձորով մեկ այլ փաթեթ կազմել, և բաժանումն, ըստ էության, ավարտված է։ Բաժնի արդյունք.

7 ÷ 3 = 2 (մնացորդը 1)

Սա նշանակում է, որ 3 թիվը, ինչպես ասվում է, երկու անգամ տեղավորվում է 7 թվի մեջ, իսկ միավորը մնացորդով փոքր է 3-ից։

Դիտարկենք ևս մեկ օրինակ. Այս անգամ կտանք միայն մաթեմատիկական հաշվարկներ՝ առանց անալոգիաների դիմելու։

Օրինակ 3. Մնացորդով բաժանում հաջորդական հանումների միջոցով:

Հաշվենք՝ 145 ÷ 46։

99 թիվը մեծ է 46-ից, ուստի մենք շարունակում ենք բաժանարարի հաջորդական հանումը.

Մենք կրկնում ենք այս գործողությունը ևս մեկ անգամ.

Արդյունքում, մեզ անհրաժեշտ էր բաժանարարը հաջորդաբար 3 անգամ հանել դիվիդենտից, մինչև ստանանք մնացորդը՝ հանման արդյունքը, որը փոքր է բաժանարարից: Մեր դեպքում մնացորդը 7 թիվն է։

145 ÷ 46 = 3 (մնացորդ 7) .

Հերթական հանման մեթոդը հարմար չէ, երբ դիվիդենտը փոքր է բաժանարարից: Այս դեպքում կարող եք անմիջապես գրել պատասխանը՝ թերի քանորդը զրո է, իսկ մնացորդը հավասար է ամենաբաժանելիին։

Եթե< b , то a ÷ b = 0 (остаток a) .

Օրինակ:

12 ÷ 36 = 0 (մնացորդը 12) 47 ÷ 88 = 0 (մնացորդը 47)

Ինչ վերաբերում է նաև հաջորդական հանման մեթոդին, ապա հարկ է նշել, որ այն հարմար է միայն այն դեպքերում, երբ ամբողջ բաժանման գործողությունը կրճատվում է փոքր թվով հանումների: Եթե ​​դիվիդենտը բաժանարարից մի քանի անգամ մեծ է, ապա այս մեթոդի կիրառումը անիրագործելի կլինի և կներառի շատ ծանր հաշվարկներ:

Անավարտ քանորդի ընտրության մեթոդ

Բնական թվերը մնացորդի հետ բաժանելիս արդյունքը կարող եք հաշվարկել՝ ընտրելով թերի գործակից։ Մենք ցույց կտանք, թե ինչպես կարող է իրականացվել ընտրության գործընթացը և ինչի վրա է այն հիմնված:

Նախ, մենք որոշում ենք, թե որ թվերից պետք է փնտրել թերի գործակից: Բաժանման գործընթացի հենց սահմանումից պարզ է դառնում, որ թերի քանորդը հավասար է զրոյի կամ 1, 2, 3 և այլն բնական թվերից մեկն է։

Երկրորդ, մենք կապ կհաստատենք բաժանարարի, դիվիդենտի, մասնակի քանորդի և մնացորդի միջև: Դիտարկենք d = a - b c հավասարումը: Այստեղ d-ն բաժանման մնացորդն է, a-ն շահաբաժինն է, b-ն բաժանարարն է, c-ն մասնակի քանորդն է:

Երրորդ, չմոռանանք, որ մնացորդը միշտ փոքր է բաժանարարից։

Հիմա եկեք նայենք ընտրության գործընթացին: Ա շահաբաժինն ու b բաժանարարը մեզ հայտնի են հենց սկզբից։ Որպես անավարտ քանորդ՝ հաջորդաբար կվերցնենք թվեր 0, 1, 2, 3 և այլն շարքից։ Կիրառելով d = a - b c բանաձևը և ստացված արժեքը բաժանարարով հաշվարկելով՝ մենք ավարտում ենք գործընթացը, երբ մնացորդը d փոքր է բաժանարարից: Այս քայլում c-ի համար վերցված թիվը կլինի թերի քանորդ:

Դիտարկենք այս մեթոդի կիրառումը օրինակով։

Օրինակ 4. Ընտրությամբ մնացորդով բաժանում

267-ը բաժանեք 21-ի։

a = 267 b = 21. Ընտրենք թերի գործակից։

Եկեք օգտագործենք d = a - b · c բանաձևը և կրկնենք c-ի վրա, դրան տալով 0, 1, 2, 3 և այլն արժեքներ:

Եթե ​​c \u003d 0, մենք ունենք՝ d \u003d a - b c \u003d 267 - 21 0 \u003d 267: 267 թիվը մեծ է 21-ից, ուստի շարունակում ենք փոխարինումը։

c \u003d 1-ով մենք ունենք՝ d \u003d a - b c \u003d 267 - 21 1 \u003d 246: Որովհետեւ 246 > 21, նորից կրկնեք գործընթացը:

c \u003d 2-ով մենք ունենք՝ d \u003d a - b c \u003d 267 - 21 2 \u003d 267 - 42 \u003d 225; 225 > 21 .

c \u003d 3-ով մենք ունենք՝ d \u003d a - b c \u003d 267 - 21 3 \u003d 267 - 63 \u003d 204; 204 > 21 .

c \u003d 12-ով մենք ունենք՝ d \u003d a - b c \u003d 267 - 21 12 \u003d 267 - 252 \u003d 15; 15< 21 .

Բնական թվերը մնացորդով բաժանելու ալգորիթմ

Երբ վերը քննարկված մասնակի գործակից և հաջորդական հանման մեթոդները պահանջում են չափազանց ծանր հաշվարկներ, մնացորդով բաժանելու համար օգտագործվում է հետևյալ մեթոդը: Դիտարկենք a բնական թիվը մնացորդով b թվի վրա բաժանելու ալգորիթմ:

Հիշեցնենք, որ եթե Ա< b, неполное частное равно нулю, а остаток равен делимомому a . Мы будем рассматривать случай, когда a >բ.

Մենք ձևակերպում ենք երեք հարց և պատասխանում դրանց.

1. Ի՞նչ է հայտնի այնտեղ:
2. Ի՞նչ է մեզ պետք գտնել:
3. Ինչպե՞ս ենք դա անելու։

Ի սկզբանե հայտնի են շահաբաժինն ու բաժանարարը՝ ա և բ.

Պետք է գտնել c թերի քանորդը և մնացորդը d:

Ահա մի բանաձև, որը սահմանում է դիվիդենտի, բաժանարարի, անավարտ քանորդի և մնացորդի միջև կապը: a = b c + d. Հենց այս հարաբերակցությունը մենք հիմք կընդունենք բնական թվերը մնացորդի հետ բաժանելու ալգորիթմի համար։ Ա շահաբաժինը պետք է ներկայացվի որպես գումար a = b c + d, ապա մենք կգտնենք պահանջվող արժեքները:

Բաժանման ալգորիթմը, որի շնորհիվ մենք ներկայացնում ենք a-ն որպես գումար a = b c + d, շատ նման է բնական թվերն առանց մնացորդի բաժանելու ալգորիթմին։ Ստորև ներկայացված են ալգորիթմի քայլերը՝ օգտագործելով 899 թիվը 47-ի բաժանելու օրինակը։

1. Առաջին հերթին մենք նայում ենք դիվիդենտին և բաժանարարին: Մենք պարզում և հիշում ենք, թե շահաբաժինների մուտքագրման թիվը քանի թվանշանով է մեծ բաժանարարի թվից: Մեր մեջ կոնկրետ օրինակՇահաբաժինն ունի երեք նիշ, իսկ բաժանարարը՝ երկու։

Հիշենք այս թիվը.

2. Բաժանարարի մուտքի աջ կողմում ավելացրեք զրոների թիվը, որը որոշվում է դիվիդենտի և բաժանարարի նիշերի քանակի տարբերությամբ: Մեր դեպքում անհրաժեշտ է ավելացնել մեկ զրո: Եթե ​​գրված թիվը մեծ է բաժանելիից, ապա պետք է հանել մեկ թվից, որը անգիր արվել է առաջին պարբերությունում։

Մեր օրինակում 47-ի աջ կողմում ավելացնում ենք զրո: 470 թվականից< 899 , запомненное в предыдущем пункте число не нужно уменьшать на единицу. Таким образом, число 1 так и остается у нас в памяти.

3. 1 թվի աջ կողմում վերագրում ենք զրոների թիվը, թվին հավասարսահմանված է նախորդ պարբերությունում։ Մեր օրինակում մեկ զրո մեկին վերագրելով՝ ստանում ենք 10 թիվը։ Այս ակցիայի արդյունքում ստացանք արտանետման աշխատանքային միավոր, որի հետ կաշխատենք հետագա։

4. Բաժանարարը հաջորդաբար կբազմապատկենք 1-ով, 2-ով, 3-ով: . և այլն: աշխատանքային թվանշանի միավորներ, քանի դեռ չենք ստանում բաժանելիից մեծ կամ հավասար թիվ:

Մեր օրինակի աշխատանքային թվանշանը տասնյակ է։ Բաժանարարը աշխատանքային բիտի մեկ միավորով բազմապատկելուց հետո ստանում ենք 470։

470 < 899 , поэтому умножаем на еще одну единицу рабочего разряда. Получаем: 47 · 20 = 940 ; 940 > 899 .

Թիվը, որը մենք ստացանք նախավերջին քայլում (470 = 47 10) պահանջվող տերմիններից առաջինն է։

5. Գտե՛ք դիվիդենտի և հայտնաբերված առաջին ժամկետի տարբերությունը: Եթե ​​ստացված թիվը մեծ է բաժանարարից, ապա անցնում ենք երկրորդ անդամը գտնելուն։

Մենք կրկնում ենք 1-5 քայլերը, սակայն այստեղ ստացված թիվը որպես շահաբաժին ենք ընդունում: Եթե ​​կրկին ստանում ենք բաժանարարից մեծ թիվ, նորից կրկնում ենք 1-5 քայլերը շրջանագծով, բայց որպես դիվիդենտ նոր թիվ: Շարունակում ենք այնքան ժամանակ, մինչև այստեղ ստացված թիվը բաժանարարից փոքր լինի։ Անցնենք եզրափակիչ փուլ։ Առաջ նայելով, ասենք, որ ստացված վերջին թիվը հավասար կլինի մնացորդին։

Դիտարկենք մի օրինակ։ 899 - 470 = 429, 429 > 47: Մենք կրկնում ենք ալգորիթմի 1-5 քայլերը՝ որպես շահաբաժին վերցված 429 թվով։

1. 429 թվի մուտքագրում մեկ նշան ավելի է, քան 47 թվի մուտքագրում։ Մենք հիշում ենք տարբերությունը՝ թիվ 1:

2. Աջ կողմում գտնվող դիվիդենտի գրանցման մեջ ավելացնում ենք մեկ զրո։ Մենք ստանում ենք 470 թիվը։ Քանի որ 470 > 429, նախորդ պարբերության մեջ մտապահված 1 թվից հանեք 1 և ստացեք 1 - 1 = 0: Մենք հիշում ենք 0.

3. Քանի որ նախորդ պարբերությունում մենք ստացանք 0 թիվը և հիշեցինք այն, աջ կողմում գտնվող մեկին պետք չէ որևէ զրո ավելացնել։ Այսպիսով, աշխատանքային նիշը միավոր է

4. 47 բաժանարարը հաջորդաբար բազմապատկեք 1-ով, 2-ով, 3-ով: . և այլն: Մենք մանրամասն հաշվարկներ չենք տա, բայց ուշադրություն դարձնենք վերջնական արդյունքին. 47 9 = 423< 429 , 47 · 10 = 470 >429 . Այսպիսով, երկրորդ պահանջվող ժամկետը 47 9 = 423 է:

5. 429-ի և 423-ի տարբերությունը հավասար է 6 թվին: 6-ից սկսած< 47 , это третье, и последнее искомое слагаемое. Перейдем к завершающему этапу алгоритма деления столбиком.

6. Նախորդ քայլերի նպատակն էր դիվիդենտը ներկայացնել որպես մի քանի ժամկետների գումար: Մեր օրինակի համար մենք ստացանք 899 = 470 + 423 + 6: Հիշեցնենք, որ 470 = 47 10, 423 = 47 9: Եկեք վերաշարադրենք հավասարումը.

899 = 47 10 + 47 9 + 6

Կիրառի՛ր բազմապատկման բաշխիչ հատկությունը.

899 = 47 10 + 47 9 + 6 = 47 (10 + 9) + 6

899 = 47 19 + 6:

Այսպիսով, մենք շահաբաժին ներկայացրեցինք նախկինում տրված բանաձևի տեսքով a \u003d b c + d:

Պահանջվող անհայտներ՝ թերի գործակից c \u003d 19, մնացորդ d \u003d 6:

Իհարկե, որոշելիս գործնական օրինակներկարիք չկա այդքան մանրամասն նկարագրել բոլոր գործողությունները։ Եկեք ցույց տանք.

Օրինակ 5. Բնական թվերի բաժանում մնացորդով

Բաժանե՛ք 42252 և 68 թվերը։

Եկեք օգտագործենք ալգորիթմ. Առաջին հինգ քայլերը տալիս են առաջին տերմինը՝ 40800 = 68 600 թիվը:

Մենք նորից կրկնում ենք ալգորիթմի առաջին հինգ քայլերը 1452 = 42252 - 40800 թվով և ստանում երկրորդ անդամը 1360 = 68 20:

Երրորդ անգամ մենք անցնում ենք ագլորիթմի քայլերով, բայց նոր թվով 92 = 1452 - 1360: Երրորդ անդամը հավասար է 68 = 68 1-ի: Մնացածը 24 = 92 - 68 է։

Արդյունքում մենք ստանում ենք.

42252 = 40800 + 1360 + 68 + 24 = 68 600 + 68 20 + 68 1 + 24 = = 68 (600 + 20 + 1) + 24 = 68 621 + 24

Անավարտ գործակիցը 621 է, մնացորդը՝ 24։

Բնական թվերի բաժանում մնացորդով. Ստուգելով արդյունքը

Բնական թվերի բաժանում մնացորդով, հատկապես երբ մեծ թվեր, բավականին աշխատատար ու ծանր գործընթաց։ Յուրաքանչյուրը կարող է սխալվել հաշվարկներում։ Այդ իսկ պատճառով բաժանման արդյունքը ստուգելը կօգնի ձեզ հասկանալ՝ արդյոք ամեն ինչ ճիշտ եք արել։ Բնական թվերի մնացորդով բաժանման արդյունքի ստուգումը կատարվում է երկու փուլով.

Առաջին փուլում մենք ստուգում ենք, թե արդյոք մնացորդը մեծ է բաժանարարից: Եթե ​​ոչ, ապա ամեն ինչ լավ է: Հակառակ դեպքում կարող ենք եզրակացնել, որ ինչ-որ բան այն չէ:

Կարևոր.

Մնացածը միշտ փոքր է բաժանարարից:

Երկրորդ փուլում ստուգվում է a = b · c + d հավասարության վավերականությունը: Եթե ​​արժեքները փոխարինելուց հետո հավասարությունը ճիշտ է, ապա բաժանումն իրականացվել է առանց սխալների:

Օրինակ 6. Բնական թվերը մնացորդով բաժանելու արդյունքի ստուգում.

Եկեք ստուգենք, արդյոք ճիշտ է, որ 506 ÷ 28 = 17 (մնացորդը 30) .

Համեմատե՛ք մնացորդը և բաժանարարը՝ 30 > 28:

Այսպիսով, բաժանումը սխալ է:

Օրինակ 7. Բնական թվերի մնացորդով բաժանման արդյունքի ստուգում.

Աշակերտը 121-ը բաժանեց 13-ի և արդյունքում ստացավ թերի 9 գործակից՝ 5 մնացորդով։ Արդյո՞ք նա ճիշտ է վարվել:

Պարզելու համար նախ համեմատում ենք մնացորդը և բաժանարարը՝ 5< 13 .

Առաջին անցակետն անցել է, անցնենք երկրորդին։

Գրենք a = b c + d բանաձեւը: a = 121; b = 13; գ = 9 դ = 5.

Փոխարինեք արժեքները և համեմատեք արդյունքները

13 9 + 5 = 117 + 5 = 122; 121 ≠ 122

Դա նշանակում է, որ ինչ-որ տեղ սխալ է մտել ուսանողի հաշվարկների մեջ։

Օրինակ 8. Բնական թվերի մնացորդով բաժանման արդյունքի ստուգում.

Ուսանողը ելույթ ունեցավ լաբորատոր աշխատանքֆիզիկայում։ Մահապատժի ժամանակ նրան անհրաժեշտ էր 5998-ը բաժանել 111-ի: Արդյունքում նա ստացավ 54 համարը՝ 4 մնացորդով։ Արդյո՞ք ամեն ինչ ճիշտ է հաշվարկված:

Եկեք ստուգենք! Մնացած 4-ը փոքր է բաժանարար 111-ից, ուստի անցնում ենք ստուգման երկրորդ փուլին:

Մենք օգտագործում ենք a \u003d b c + d բանաձևը, որտեղ a \u003d 5998; b = 111; c = 54; դ = 4.

Փոխարինումից հետո մենք ունենք.

5998 = 111 54 + 4 = 5994 + 4 = 5998:

Հավասարությունը ճիշտ է, ինչը նշանակում է, որ բաժանումը ճիշտ է։

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Բաժանում մնացորդովմի թվի բաժանումն է մյուսի, որպեսզի մնացորդը զրո չլինի։

Միշտ չէ, որ հնարավոր է բաժանում կատարել, քանի որ լինում են դեպքեր, երբ մի թիվը մյուսի վրա չի բաժանվում։ Օրինակ՝ 11 թիվը չի բաժանվում 3-ի, քանի որ չկա այնպիսի բնական թիվ, որը 3-ով բազմապատկելու դեպքում կտա 11։

Երբ բաժանումը հնարավոր չէ կատարել, պայմանավորվել է բաժանել ոչ թե բոլոր բաժանվողները, այլ միայն դրա ամենամեծ մասը, որը կարելի է բաժանել միայն բաժանարարի։ Այս օրինակում շահաբաժնի ամենամեծ մասը, որը կարելի է բաժանել 3-ի, 9-ն է (արդյունքում ստանում ենք 3), շահաբաժնի մնացած փոքր մասը՝ 2-ը, չի բաժանվի 3-ի։

Խոսելով 11-ը 3-ի վրա բաժանելու մասին, 11-ը դեռ կոչվում է բաժանելի, 3-ը բաժանարար է, բաժանման արդյունքը 3-րդ թիվն է, ասում են. թերի մասնավորև թիվ 2 - բաժանման մնացորդը. Ինքնին բաժանումն այս դեպքում կոչվում է մնացորդով բաժանում։

Անավարտ քանորդը կոչվում է ամենամեծ թիվը, որը, երբ բազմապատկվում է բաժանարարով, տալիս է արտադրյալ, որը չի գերազանցում դիվիդենտը։ Շահաբաժնի և այս ապրանքի միջև եղած տարբերությունը կոչվում է մնացորդ: Մնացորդը միշտ փոքր է բաժանարարից, հակառակ դեպքում այն ​​կարող է բաժանվել նաև բաժանարարով:

Մնացորդով բաժանումը կարելի է գրել այսպես.

11: 3 = 3 (մնացորդը 2)

Եթե ​​մի բնական թիվ բաժանվում է մյուսի, մնացորդը 0 է, ապա առաջին թիվը համարվում է հավասարապես բաժանվում երկրորդի վրա։ Օրինակ, 4-ը հավասարապես բաժանվում է 2-ի: 5 թիվը նույնիսկ չի բաժանվում 2-ի։ Ամբողջ բառը սովորաբար բաց են թողնում հակիրճության համար և ասում են՝ այսինչ թիվը բաժանվում է մյուսի վրա, օրինակ՝ 4-ը բաժանվում է 2-ի, իսկ 5-ը չի բաժանվում 2-ի։

Ստուգում բաժանումը մնացորդով

Մնացորդով բաժանման արդյունքը կարող եք ստուգել հետևյալ կերպ՝ թերի քանորդը բազմապատկել բաժանարարով (կամ հակառակը), իսկ մնացածը ավելացնել ստացված արտադրյալին։ Եթե ​​արդյունքը դիվիդենտին հավասար թիվ է, ապա մնացորդով բաժանումը կատարվում է ճիշտ.

11: 3 = 3 (մնացորդը 2)

Հոդվածում վերլուծվում է ամբողջ թվերի մնացորդով բաժանման հայեցակարգը։ Մենք կապացուցենք ամբողջ թվերի բաժանելիության թեորեմը մնացորդով և կդիտարկենք բաժանվողների և բաժանարարների, թերի քանորդների և մնացորդների կապերը։ Դիտարկենք այն կանոնները, երբ կատարվում է ամբողջ թվերի բաժանումը մնացորդներով՝ մանրամասն ուսումնասիրելով օրինակներով։ Լուծման վերջում մենք կկատարենք ստուգում:

Ամբողջ թվերի մնացորդներով բաժանման ընդհանուր պատկերացում

Ամբողջ թվերի բաժանումը մնացորդով համարվում է ընդհանրացված բաժանում բնական թվերի մնացորդով։ Դա արվում է, քանի որ բնական թվերը ամբողջ թվերի բաղադրիչ են:

Կամայական թվի մնացորդով բաժանումը ասում է, որ a ամբողջ թիվը բաժանվում է b թվի վրա, որը տարբերվում է զրոյից: Եթե ​​b = 0, ապա մնացորդով բաժանում չի կատարվում:

Ինչպես նաև բնական թվերի բաժանումը մնացորդով, կատարվում է a և b ամբողջ թվերի բաժանումը զրոյից տարբերվող b-ով c-ով և d-ով։ Այս դեպքում a-ն և b-ն կոչվում են դիվիդենտ և բաժանարար, իսկ d-ն բաժանման մնացորդն է, c-ն ամբողջ կամ մասնակի քանորդ է:

Եթե ​​ենթադրենք, որ մնացորդը ոչ բացասական ամբողջ թիվ է, ապա դրա արժեքը մեծ չէ b թվի մոդուլից։ Գրենք այսպես՝ 0 ≤ d ≤ b . Անհավասարությունների այս շղթան օգտագործվում է 3 կամ ավելի թվեր համեմատելիս։

Եթե ​​c-ն թերի քանորդ է, ապա d-ն a ամբողջ թիվը b-ի բաժանելու մնացորդն է, կարող եք հակիրճ ուղղել՝ a: b \u003d c (մնաց d):

a թվերը b-ի բաժանելիս մնացորդը հնարավոր է զրո, հետո ասում են, որ a-ն ամբողջությամբ բաժանվում է b-ի, այսինքն՝ առանց մնացորդի։ Առանց մնացորդի բաժանումը համարվում է բաժանման հատուկ դեպք։

Եթե ​​զրոն բաժանենք ինչ-որ թվի, արդյունքում կստացվի զրո։ Բաժանման մնացորդը նույնպես զրո կլինի։ Դա երևում է զրոյի ամբողջ թվով բաժանելու տեսությունից։

Այժմ դիտարկենք ամբողջ թվերի մնացորդով բաժանման իմաստը:

Հայտնի է, որ դրական ամբողջ թվերը բնական են, ապա մնացորդով բաժանելիս կստացվի նույն նշանակությունը, ինչ բնական թվերը մնացորդով բաժանելիս։

Բացասական a ամբողջ թիվը բաժանելը դրական ամբողջ թվի վրա իմաստ ունի: Դիտարկենք մի օրինակ։ Պատկերացրեք մի իրավիճակ, երբ մենք ունենք ապրանքների պարտք՝ a չափով, որը պետք է մարվի բ մարդկանց կողմից: Դրա համար բոլորը պետք է հավասարապես ներդրում ունենան: Յուրաքանչյուրի համար պարտքի չափը որոշելու համար անհրաժեշտ է ուշադրություն դարձնել մասնավոր ք. Մնացած d-ը ցույց է տալիս, որ պարտքերը մարելուց հետո ապրանքների քանակը հայտնի է:

Բերենք խնձորի օրինակ. Եթե ​​2 հոգու պետք է 7 խնձոր. Եթե ​​հաշվենք, որ բոլորը պետք է վերադարձնեն 4 խնձոր, լրիվ հաշվարկից հետո կմնա 1 խնձոր։ Սա գրենք որպես հավասարություն՝ (− 7) : 2 = − 4 (о с t. 1) ։

Ցանկացած a թիվ ամբողջ թվի վրա բաժանելն իմաստ չունի, բայց դա հնարավոր է որպես տարբերակ։

Մնացորդով ամբողջ թվերի բաժանելիության թեորեմ

Մենք գտանք, որ a-ն շահաբաժինն է, ապա b-ն բաժանարարն է, c-ն մասնակի քանորդն է, իսկ d-ն մնացորդն է: Դրանք փոխկապակցված են։ Մենք ցույց կտանք այս հարաբերությունը՝ օգտագործելով a = b · c + d հավասարությունը: Նրանց միջև կապը բնութագրվում է մնացորդի հետ բաժանելիության թեորեմով։

Թեորեմ

Ցանկացած ամբողջ թիվ կարող է ներկայացվել միայն ամբողջ և ոչ զրոյական b թվի տեսքով՝ a = b · q + r, որտեղ q և r որոշ ամբողջ թվեր են: Այստեղ մենք ունենք 0 ≤ r ≤ b:

Ապացուցենք a = b · q + r գոյության հնարավորությունը:

Ապացույց

Եթե ​​կան երկու a և b թվեր, իսկ a-ն առանց մնացորդի բաժանվում է b-ի, ապա սահմանումից բխում է, որ կա q թիվ, որ a = b · q հավասարությունը ճիշտ կլինի։ Այնուհետև հավասարությունը կարելի է համարել ճշմարիտ՝ a = b q + r r = 0-ի համար:

Այնուհետև անհրաժեշտ է q վերցնել այնպիսին, որ տրված է b · q անհավասարությամբ< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Ունենք, որ a − b · q արտահայտության արժեքը զրոյից մեծ է և b թվի արժեքից մեծ չէ, հետևաբար՝ r = a − b · q: Մենք ստանում ենք, որ a թիվը կարող է ներկայացվել որպես a = b · q + r:

Այժմ մենք պետք է դիտարկենք a = b · q + r ներկայացնելու հնարավորությունը b-ի բացասական արժեքների համար:

Թվի մոդուլը ստացվում է դրական, այնուհետև մենք ստանում ենք a = b q 1 + r, որտեղ q 1 արժեքը որոշ ամբողջ թիվ է, r-ն ամբողջ թիվ է, որը համապատասխանում է 0 ≤ r պայմանին:< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Եզակիության ապացույց

Ենթադրենք, որ a = b q + r, q և r ամբողջ թվեր են 0 ≤ r պայմանով< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1Եվ r1որոշ թվեր են, որտեղ q 1 ≠ q, 0 ≤ r1< b .

Երբ անհավասարությունը հանվում է ձախ և աջ կողմերից, ապա ստանում ենք 0 = b · (q − q 1) + r − r 1 , որը համարժեք է r - r 1 = b · q 1 - q . Քանի որ մոդուլն օգտագործվում է, մենք ստանում ենք հավասարություն r - r 1 = b · q 1 - q:

Տրված պայմանն ասում է, որ 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что քԵվ q 1- ամբողջ, և q ≠ q 1, ապա q 1 - q ≥ 1: Այսպիսով, մենք ունենք, որ b · q 1 - q ≥ b: Ստացված անհավասարությունները r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

Այստեղից հետևում է, որ a թիվը այլ կերպ չի կարող ներկայացվել, բացառությամբ a = b · q + r նման նշումով։

Շահաբաժնի, բաժանարարի, մասնակի քանորդի և մնացորդի հարաբերությունը

Օգտագործելով a \u003d b c + d հավասարությունը, դուք կարող եք գտնել անհայտ դիվիդենտը, երբ b բաժանարարը հայտնի է թերի c գործակցով, իսկ մնացորդը d:

Օրինակ 1

Որոշե՛ք դիվիդենտը, եթե բաժանելիս ստանում ենք՝ 21, ոչ լրիվ գործակից՝ 5, իսկ մնացորդը՝ 12։

Լուծում

Անհրաժեշտ է հաշվարկել a շահաբաժինը՝ b = − 21 հայտնի բաժանարարով, c=5 թերի քանորդով, իսկ մնացորդը՝ d=12։ Մենք պետք է անդրադառնանք a = b c + d հավասարությանը, այստեղից ստանում ենք a = (− 21) 5 + 12: Գործողությունների կարգի համաձայն՝ մենք 21-ը բազմապատկում ենք 5-ով, որից հետո ստանում ենք (- 21) 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93:

Պատասխան. - 93 .

Բաժանարարի և մասնակի քանորդի և մնացորդի միջև կապը կարելի է արտահայտել՝ օգտագործելով հավասարությունները՝ b = (a − d) : c , c = (a − d) : b և d = a − b · c : Նրանց օգնությամբ մենք կարող ենք հաշվարկել բաժանարարը, մասնակի քանորդը և մնացորդը: Սա հանգում է նրան, որ անընդհատ a ամբողջ թիվը b-ի բաժանելու մնացորդը հայտնի դիվիդենտով, բաժանարարով և մասնակի գործակցով է: Կիրառվում է d = a − b · c բանաձևը: Եկեք մանրամասն քննարկենք լուծումը:

Օրինակ 2

Գտե՛ք ամբողջ թիվը 19-ը 3-ի վրա բաժանելու մնացորդը, որի հայտնի ոչ լրիվ քանորդը հավասար է -7-ի:

Լուծում

Բաժանման մնացորդը հաշվարկելու համար մենք կիրառում ենք d = a − b c ձևի բանաձևը: Ըստ պայմանի՝ բոլոր տվյալները a = − 19 , b = 3 , c = − 7 հասանելի են։ Այստեղից մենք ստանում ենք d \u003d a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (տարբերությունը - 19 - (- 21)... Այս օրինակը հաշվարկվում է ամբողջ բացասական թվով հանման կանոնով։

Պատասխան. 2 .

Բոլոր դրական ամբողջ թվերը բնական են: Դրանից բխում է, որ բաժանումը կատարվում է բնական թվերի մնացորդով բաժանման բոլոր կանոններով։ Բնական թվերի մնացորդով բաժանման արագությունը կարևոր է, քանի որ դրա վրա հիմնված է ոչ միայն դրականների բաժանումը, այլև կամայական ամբողջ թվերի բաժանման կանոնները։

Բաժանման ամենահարմար մեթոդը սյունակն է, քանի որ մնացորդով թերի կամ պարզապես գործակից ստանալն ավելի հեշտ և արագ է: Դիտարկենք լուծումը ավելի մանրամասն:

Օրինակ 3

14671-ը բաժանեք 54-ի։

Լուծում

Այս բաժանումը պետք է կատարվի սյունակում.

Այսինքն՝ թերի գործակիցը հավասար է 271-ի, իսկ մնացորդը՝ 37։

Պատասխան. 14671՝ 54 = 271։ (հանգստ. 37)

Դրական ամբողջ թվի մնացորդով բացասական ամբողջ թվի վրա բաժանելու կանոնը, օրինակներ

Դրական թվի մնացորդի հետ բացասական ամբողջ թվով բաժանում կատարելու համար անհրաժեշտ է ձևակերպել կանոն.

Սահմանում 1

a դրական ամբողջ թիվը բացասական b ամբողջ թվի վրա բաժանելու ոչ լրիվ գործակիցը տալիս է մի թիվ, որը հակառակ է a թվերի մոդուլները b-ի բաժանելու թերի գործակցին։ Այնուհետև մնացորդը մնացորդ է, երբ a-ն բաժանվում է b-ի:

Այսպիսով, մենք ունենք, որ դրական ամբողջ թիվը բացասական ամբողջ թվի վրա բաժանելու ոչ լրիվ գործակիցը համարվում է ոչ դրական ամբողջ թիվ:

Մենք ստանում ենք ալգորիթմ.

• շահաբաժնի մոդուլը բաժանում ենք բաժանարարի մոդուլի վրա, այնուհետև ստանում ենք թերի քանորդ և
• մնացորդ;
• գրի՛ր հակառակ թիվը։

Դիտարկենք դրական ամբողջ թիվը բացասական ամբողջ թվի վրա բաժանելու ալգորիթմի օրինակը:

Օրինակ 4

Կատարեք բաժանում 17-ի մնացորդով 5-ի վրա:

Լուծում

Եկեք կիրառենք բաժանման ալգորիթմը դրական ամբողջ թվի մնացորդի հետ բացասական ամբողջ թվով։ Անհրաժեշտ է 17-ը բաժանել - 5 մոդուլի։ Այստեղից ստանում ենք, որ թերի գործակիցը 3 է, իսկ մնացորդը՝ 2։

Մենք ստանում ենք, որ ցանկալի թիվը 17-ը բաժանելով - 5 \u003d - 3-ի մնացորդով, որը հավասար է 2-ի:

Պատասխան. 17: (− 5) = − 3 (մնացյալ 2):

Օրինակ 5

45-ը բաժանեք 15-ի:

Լուծում

Անհրաժեշտ է բաժանել թվերի մոդուլը: 45 թիվը բաժանում ենք 15-ի, առանց մնացորդի ստանում ենք 3 գործակից։ Այսպիսով, 45 թիվը առանց մնացորդի բաժանվում է 15-ի։ Պատասխանում ստանում ենք՝ 3, քանի որ բաժանումն իրականացվել է մոդուլով։

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Պատասխան. 45: (− 15) = − 3 .

Մնացորդով բաժանման կանոնի ձևակերպումը հետևյալն է.

Սահմանում 2

Բացասական   a ամբողջ թիվը դրական b-ի վրա բաժանելիս թերի c գործակից ստանալու համար անհրաժեշտ է կիրառել այս թվի հակառակը և նրանից հանել 1-ը, այնուհետև d մնացորդը կհաշվարկվի բանաձևով՝ d = a − b: · գ.

Կանոնից ելնելով կարող ենք եզրակացնել, որ բաժանելիս ստանում ենք ոչ բացասական ամբողջ թիվ։ Լուծման ճշտության համար օգտագործվում է a-ը մնացորդի հետ b-ի բաժանելու ալգորիթմը.

• գտնել դիվիդենտի և բաժանարարի մոդուլները.
• բաժանել մոդուլ;
• գրի՛ր տրված թվի հակառակը և հանի՛ր 1;
• օգտագործեք բանաձևը մնացորդի համար d = a − b c.

Դիտարկենք լուծման օրինակ, որտեղ կիրառվում է այս ալգորիթմը:

Օրինակ 6

Գտե՛ք կիսատ գործակիցը և բաժանման մնացորդը՝ 17-ը 5-ի։

Լուծում

Տրված թվերը մոդուլով ենք բաժանում. Ստանում ենք, որ բաժանելիս գործակիցը 3 է, իսկ մնացորդը՝ 2։ Քանի որ մենք ստացել ենք 3, հակառակը 3 է: Անհրաժեշտ է հանել 1:

− 3 − 1 = − 4 .

Ցանկալի արժեքը հավասար է - 4-ի:

Մնացածը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է a = − 17 , b = 5 , c = − 4 , ապա d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 .

Սա նշանակում է, որ բաժանման թերի գործակիցը 4 թիվն է՝ 3-ի հավասար մնացորդով։

Պատասխան.(− 17) : 5 = − 4 (մնաց 3)։

Օրինակ 7

Բացասական ամբողջ թիվը՝ 1404, բաժանիր 26-ի վրա։

Լուծում

Անհրաժեշտ է բաժանել սյունակով և մոդուլով։

Մենք ստացանք թվերի մոդուլների բաժանումը առանց մնացորդի։ Սա նշանակում է, որ բաժանումը կատարվում է առանց մնացորդի, իսկ ցանկալի գործակիցը = - 54:

Պատասխան. (− 1 404) : 26 = − 54 .

Բաժանման կանոն բացասական ամբողջ թվերի մնացորդով, օրինակներ

Անհրաժեշտ է ամբողջ թվերի մնացորդով ձևակերպել բաժանման կանոն բացասական թվեր.

Սահմանում 3

Բացասական a ամբողջ թիվը բացասական b-ի վրա բաժանելուց թերի գործակից ստանալու համար անհրաժեշտ է կատարել մոդուլային հաշվարկներ, որից հետո ավելացնել 1, ապա կարող ենք հաշվարկել d = a − b · c բանաձևով։

Այստեղից հետևում է, որ բացասական ամբողջ թվերի բաժանման ոչ լրիվ գործակիցը կլինի դրական թիվ։

Մենք այս կանոնը ձևակերպում ենք ալգորիթմի տեսքով.

• գտնել դիվիդենտի և բաժանարարի մոդուլները.
• բաժանել դիվիդենտի մոդուլը բաժանարարի մոդուլի վրա, որպեսզի ստացվի ոչ լրիվ քանորդ
• մնացորդ;
• թերի գործակցին ավելացնելով 1;
• մնացորդի հաշվարկ՝ հիմնվելով d = a − b c բանաձևի վրա:

Դիտարկենք այս ալգորիթմը օրինակով։

Օրինակ 8

Գտե՛ք անավարտ քանորդը և մնացորդը 17-ը 5-ի բաժանելիս:

Լուծում

Լուծման ճիշտության համար կիրառում ենք մնացորդով բաժանման ալգորիթմը։ Նախ, բաժանեք թվերի մոդուլը: Այստեղից մենք ստանում ենք, որ թերի գործակիցը \u003d 3, իսկ մնացորդը 2 է: Ըստ կանոնի՝ անհրաժեշտ է ավելացնել թերի քանորդը և 1. Մենք ստանում ենք, որ 3 + 1 = 4: Դրանից մենք ստանում ենք, որ բաժանման թերի գործակիցը տրված թվերհավասար է 4.

Մնացածը հաշվարկելու համար մենք կկիրառենք բանաձևը. Պայմանով մենք ունենք, որ a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, այնուհետև, օգտագործելով բանաձևը, մենք ստանում ենք d \u003d a - b c \u003d - 17 - (-5) 4 \u003d - 17 - (- 20) = − 17 + 20 = 3: Ցանկալի պատասխանը, այսինքն՝ մնացորդը, 3 է, իսկ թերի գործակիցը՝ 4։

Պատասխան.(− 17) : (− 5) = 4 (մնաց 3)։

Ամբողջ թվերը մնացորդով բաժանելու արդյունքի ստուգում

Թվերի մնացորդով բաժանումը կատարելուց հետո անհրաժեշտ է ստուգում կատարել։ Այս ստուգումը ներառում է 2 փուլ. Նախ, d մնացորդը ստուգվում է ոչ բացասական լինելու համար, պայմանը 0 ≤ ​​d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Եկեք նայենք օրինակներին:

Օրինակ 9

Արտադրված բաժանում - 521 - 12: Գործակիցը 44 է, մնացորդը՝ 7։ Ստուգեք:

Լուծում

Քանի որ մնացորդը դրական թիվ է, դրա արժեքը փոքր է բաժանարարի մոդուլից։ Բաժանարարը -12 է, ուստի նրա մոդուլը 12 է։ Դուք կարող եք անցնել հաջորդ անցակետին:

Պայմանով մենք ունենք a = - 521 , b = - 12 , c = 44 , d = 7 : Այստեղից մենք հաշվարկում ենք b c + d , որտեղ b c + d = − 12 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521: Դրանից բխում է, որ հավասարությունը ճիշտ է։ Ստուգումն անցավ։

Օրինակ 10

Ստուգեք բաժանումը (− 17)՝ 5 = − 3 (մնաց − 2): Ճի՞շտ է արդյոք հավասարությունը։

Լուծում

Առաջին փուլի իմաստն այն է, որ անհրաժեշտ է ստուգել ամբողջ թվերի բաժանումը մնացորդով։ Սա ցույց է տալիս, որ գործողությունը սխալ է կատարվել, քանի որ մնացորդը տրված է՝ հավասար է - 2-ի: Մնացածը բացասական թիվ չէ։

Ունենք, որ երկրորդ պայմանը բավարարված է, բայց անբավարար այս դեպքի համար։

Պատասխան.Ոչ

Օրինակ 11

Թիվ - 19 բաժանված - 3-ի: Մասնակի գործակիցը 7 է, իսկ մնացորդը՝ 1։ Ստուգեք՝ արդյոք այս հաշվարկը ճիշտ է։

Լուծում

Տրվում է 1 մնացորդ: Նա դրական է տրամադրված։ Արժեքը ավելի քիչ է, քան բաժանարար մոդուլը, ինչը նշանակում է, որ առաջին փուլը կատարվում է: Անցնենք երկրորդ փուլին։

Հաշվենք b · c + d արտահայտության արժեքը: Ըստ պայմանի, մենք ունենք, որ b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1, հետևաբար, փոխարինելով թվային արժեքները, մենք ստանում ենք b c + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20. Հետևում է, որ a = b · c + d հավասարությունը չի բավարարվում, քանի որ պայմանը տրվում է a = - 19:

Սա ենթադրում է, որ բաժանումը կատարվել է սխալմամբ։

Պատասխան.Ոչ

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Կարդացեք դասի թեման՝ «Բաժանում մնացորդով»։ Ի՞նչ գիտեք արդեն այս թեմայի մասին:

Կարո՞ղ եք 8 սալոր հավասարապես բաժանել երկու ափսեի վրա (նկ. 1):

Բրինձ. 1. Օրինակ՝ նկարազարդում

Յուրաքանչյուր ափսեի մեջ կարող եք դնել 4 սալոր (նկ. 2):

Բրինձ. 2. Օրինակ՝ նկարազարդում

Մեր կատարած գործողությունը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

8: 2 = 4

Ի՞նչ եք կարծում, հնարավո՞ր է 8 սալոր հավասարապես բաժանել 3 ափսեի (նկ. 3):

Բրինձ. 3. Օրինակ՝ նկարազարդում

Եկեք այսպես վարվենք. Նախ յուրաքանչյուր ափսեի մեջ լցրեք մեկական սալոր, ապա երկրորդը։ Մեզ կմնա 2 սալոր, բայց 3 ափսե։ Այսպիսով, մենք չենք կարող այն հավասարապես բաժանել: Յուրաքանչյուր ափսեի մեջ լցնում ենք 2 սալոր, մեզ մնում է 2 սալոր (նկ. 4):

Բրինձ. 4. Օրինակ՝ նկարազարդում

Շարունակենք մոնիտորինգը։

Կարդացեք թվերը. Տրված թվերից գտե՛ք նրանք, որոնք բաժանվում են 3-ի։

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Փորձեք ինքներդ:

Մնացած թվերը (11, 13, 14, 16, 17, 19) չեն բաժանվում 3-ի, կամ ասում են. «մնացորդով բաժանիր»։

Գտնենք մասնավորի արժեքը։

Եկեք պարզենք, թե քանի անգամ է 3-ը պարունակում 17 թիվը (նկ. 5):

Բրինձ. 5. Օրինակ՝ նկարազարդում

Մենք տեսնում ենք, որ 3 օվալները տեղավորվում են 5 անգամ, և մնացել է 2 օվալ:

Կատարված գործողությունը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

17: 3 = 5 (հանգստություն 2)

Այն կարելի է գրել նաև սյունակում (նկ. 6):

Բրինձ. 6. Օրինակ՝ նկարազարդում

Վերանայեք գծագրերը: Բացատրեք այս պատկերների վերնագրերը (նկ. 7):

Բրինձ. 7. Օրինակ՝ նկարազարդում

Դիտարկենք առաջին նկարը (նկ. 8):

Բրինձ. 8. Օրինակ՝ նկարազարդում

Տեսնում ենք, որ 15 օվալները բաժանվել են 2-ի։ 2-ը կրկնվել է 7 անգամ, մնացածում՝ 1 օվալ։

Դիտարկենք երկրորդ նկարը (նկ. 9):

Բրինձ. 9. Օրինակ՝ նկարազարդում

Այս նկարում 15 քառակուսիները բաժանվել են 4-ի: 4-ը կրկնվել է 3 անգամ, մնացածում՝ 3 քառակուսի:

Դիտարկենք երրորդ նկարը (նկ. 10):

Բրինձ. 10. Օրինակ՝ նկարազարդում

Կարելի է ասել, որ 15 օվալները բաժանվել են 3-ի։ 3-ը կրկնվել է 5 անգամ հավասար։ Նման դեպքերում մնացորդը համարվում է 0:

Եկեք կատարենք բաժանումը.

Յոթ քառակուսիները բաժանում ենք երեքի։ Մենք ստանում ենք երկու խումբ, և մնում է մեկ քառակուսի: Գրենք լուծումը (նկ. 11):

Բրինձ. 11. Օրինակ՝ նկարազարդում

Եկեք կատարենք բաժանումը.

Պարզում ենք, թե քանի անգամ է չորսը պարունակվում 10 թվի մեջ։ Տեսնում ենք, որ 10 թվի մեջ չորսը պարունակվում է 2 անգամ և մնում է 2 քառակուսի։ Գրենք լուծումը (նկ. 12):

Բրինձ. 12. Օրինակ՝ նկարազարդում

Եկեք կատարենք բաժանումը.

Պարզում ենք, թե քանի անգամ է երկուսը պարունակվում 11 թվի մեջ։ Տեսնում ենք, որ 11 թվի մեջ երկուսը պարունակվում են 5 անգամ և մնում է 1 քառակուսի։ Գրենք լուծումը (նկ. 13):

Բրինձ. 13. Օրինակ՝ նկարազարդում

Եկեք եզրակացություն անենք. Մնացորդով բաժանել նշանակում է պարզել, թե քանի անգամ է բաժանարարը պարունակվում դիվիդենտում և քանի միավոր է մնում:

Մնացորդով բաժանումը կարող է կատարվել նաև թվային տողի վրա։

Թվային տողի վրա մենք նշում ենք 3 բաժանման հատվածներ և կտեսնենք, որ երեք բաժանում ստացվեց երեք անգամ, և մնաց մեկ բաժանում (նկ. 14):

Բրինձ. 14. Օրինակ՝ նկարազարդում

Եկեք գրենք լուծումը.

10: 3 = 3 (հանգիստ. 1)

Եկեք կատարենք բաժանումը.

Թվային փնջի վրա մենք նշում ենք 3 բաժանման հատվածներ և կտեսնենք, որ երեք բաժանում ստացվեց երեք անգամ, և մնաց երկու բաժանում (նկ. 15):

Բրինձ. 15. Օրինակ՝ նկարազարդում

Եկեք գրենք լուծումը.

11: 3 = 3 (հանգիստ. 2)

Եկեք կատարենք բաժանումը.

Թվային ճառագայթի վրա նշում ենք 3 բաժանման հատվածներ և կտեսնենք, որ ստացել ենք ուղիղ 4 անգամ, մնացորդ չկա (նկ. 16)։

Բրինձ. 16. Օրինակ՝ նկարազարդում

Եկեք գրենք լուծումը.

12: 3 = 4

Այսօր դասին ծանոթացանք մնացորդով բաժանմանը, սովորեցինք նկարի և թվային ճառագայթի միջոցով կատարել անվանված գործողությունը, պարապեցինք դասի թեմայի օրինակների լուծմանը։

Մատենագիտություն

1. Մ.Ի. Մորո, Մ.Ա. Բանտովա և ուրիշներ Մաթեմատիկա՝ Դասագիրք. Դասարան 3. 2 մասից, մաս 1. - Մ .: «Լուսավորություն», 2012 թ.
2. Մ.Ի. Մորո, Մ.Ա. Բանտովա և ուրիշներ Մաթեմատիկա՝ Դասագիրք. Դասարան 3. 2 մասից, մաս 2. - Մ .: «Լուսավորություն», 2012 թ.
3. Մ.Ի. Մորո. Մաթեմատիկայի դասեր. Ուղեցույցներուսուցչի համար. 3-րդ դասարան - Մ.: Կրթություն, 2012:
4. Կարգավորող փաստաթուղթ. Ուսուցման արդյունքների մոնիտորինգ և գնահատում. - Մ.: «Լուսավորություն», 2011 թ.
5. «Ռուսաստանի դպրոց». Ծրագրեր տարրական դպրոց. - Մ.: «Լուսավորություն», 2011 թ.
6. Ս.Ի. Վոլկովը։ Մաթեմատիկա: Ստուգման աշխատանք. 3-րդ դասարան - Մ.: Կրթություն, 2012:
7. Վ.Ն. Ռուդնիցկայա. Թեստեր. - Մ.՝ «Քննություն», 2012 թ.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Տնային աշխատանք

1. Առանց մնացորդի գրի՛ր այն թվերը, որոնք բաժանվում են 2-ի:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

2. Կատարե՛ք բաժանում մնացորդով, օգտագործելով գծագիրը:

3. Կատարե՛ք բաժանում մնացորդի հետ՝ օգտագործելով թվային տողը:

4. Դասի թեմայով առաջադրանք կազմիր ընկերներիդ համար։

Կարդացեք դասի թեման՝ «Բաժանում մնացորդով»։ Ի՞նչ գիտեք արդեն այս թեմայի մասին:

Կարո՞ղ եք 8 սալոր հավասարապես բաժանել երկու ափսեի վրա (նկ. 1):

Բրինձ. 1. Օրինակ՝ նկարազարդում

Յուրաքանչյուր ափսեի մեջ կարող եք դնել 4 սալոր (նկ. 2):

Բրինձ. 2. Օրինակ՝ նկարազարդում

Մեր կատարած գործողությունը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

8: 2 = 4

Ի՞նչ եք կարծում, հնարավո՞ր է 8 սալոր հավասարապես բաժանել 3 ափսեի (նկ. 3):

Բրինձ. 3. Օրինակ՝ նկարազարդում

Եկեք այսպես վարվենք. Նախ յուրաքանչյուր ափսեի մեջ լցրեք մեկական սալոր, ապա երկրորդը։ Մեզ կմնա 2 սալոր, բայց 3 ափսե։ Այսպիսով, մենք չենք կարող այն հավասարապես բաժանել: Յուրաքանչյուր ափսեի մեջ լցնում ենք 2 սալոր, մեզ մնում է 2 սալոր (նկ. 4):

Բրինձ. 4. Օրինակ՝ նկարազարդում

Շարունակենք մոնիտորինգը։

Կարդացեք թվերը. Տրված թվերից գտե՛ք նրանք, որոնք բաժանվում են 3-ի։

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Փորձեք ինքներդ:

Մնացած թվերը (11, 13, 14, 16, 17, 19) չեն բաժանվում 3-ի, կամ ասում են. «մնացորդով բաժանիր»։

Գտնենք մասնավորի արժեքը։

Եկեք պարզենք, թե քանի անգամ է 3-ը պարունակում 17 թիվը (նկ. 5):

Բրինձ. 5. Օրինակ՝ նկարազարդում

Մենք տեսնում ենք, որ 3 օվալները տեղավորվում են 5 անգամ, և մնացել է 2 օվալ:

Կատարված գործողությունը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

17: 3 = 5 (հանգստություն 2)

Այն կարելի է գրել նաև սյունակում (նկ. 6):

Բրինձ. 6. Օրինակ՝ նկարազարդում

Վերանայեք գծագրերը: Բացատրեք այս պատկերների վերնագրերը (նկ. 7):

Բրինձ. 7. Օրինակ՝ նկարազարդում

Դիտարկենք առաջին նկարը (նկ. 8):

Բրինձ. 8. Օրինակ՝ նկարազարդում

Տեսնում ենք, որ 15 օվալները բաժանվել են 2-ի։ 2-ը կրկնվել է 7 անգամ, մնացածում՝ 1 օվալ։

Դիտարկենք երկրորդ նկարը (նկ. 9):

Բրինձ. 9. Օրինակ՝ նկարազարդում

Այս նկարում 15 քառակուսիները բաժանվել են 4-ի: 4-ը կրկնվել է 3 անգամ, մնացածում՝ 3 քառակուսի:

Դիտարկենք երրորդ նկարը (նկ. 10):

Բրինձ. 10. Օրինակ՝ նկարազարդում

Կարելի է ասել, որ 15 օվալները բաժանվել են 3-ի։ 3-ը կրկնվել է 5 անգամ հավասար։ Նման դեպքերում մնացորդը համարվում է 0:

Եկեք կատարենք բաժանումը.

Յոթ քառակուսիները բաժանում ենք երեքի։ Մենք ստանում ենք երկու խումբ, և մնում է մեկ քառակուսի: Գրենք լուծումը (նկ. 11):

Բրինձ. 11. Օրինակ՝ նկարազարդում

Եկեք կատարենք բաժանումը.

Պարզում ենք, թե քանի անգամ է չորսը պարունակվում 10 թվի մեջ։ Տեսնում ենք, որ 10 թվի մեջ չորսը պարունակվում է 2 անգամ և մնում է 2 քառակուսի։ Գրենք լուծումը (նկ. 12):

Բրինձ. 12. Օրինակ՝ նկարազարդում

Եկեք կատարենք բաժանումը.

Պարզում ենք, թե քանի անգամ է երկուսը պարունակվում 11 թվի մեջ։ Տեսնում ենք, որ 11 թվի մեջ երկուսը պարունակվում են 5 անգամ և մնում է 1 քառակուսի։ Գրենք լուծումը (նկ. 13):

Բրինձ. 13. Օրինակ՝ նկարազարդում

Եկեք եզրակացություն անենք. Մնացորդով բաժանել նշանակում է պարզել, թե քանի անգամ է բաժանարարը պարունակվում դիվիդենտում և քանի միավոր է մնում:

Մնացորդով բաժանումը կարող է կատարվել նաև թվային տողի վրա։

Թվային տողի վրա մենք նշում ենք 3 բաժանման հատվածներ և կտեսնենք, որ երեք բաժանում ստացվեց երեք անգամ, և մնաց մեկ բաժանում (նկ. 14):

Բրինձ. 14. Օրինակ՝ նկարազարդում

Եկեք գրենք լուծումը.

10: 3 = 3 (հանգիստ. 1)

Եկեք կատարենք բաժանումը.

Թվային փնջի վրա մենք նշում ենք 3 բաժանման հատվածներ և կտեսնենք, որ երեք բաժանում ստացվեց երեք անգամ, և մնաց երկու բաժանում (նկ. 15):

Բրինձ. 15. Օրինակ՝ նկարազարդում

Եկեք գրենք լուծումը.

11: 3 = 3 (հանգիստ. 2)

Եկեք կատարենք բաժանումը.

Թվային ճառագայթի վրա նշում ենք 3 բաժանման հատվածներ և կտեսնենք, որ ստացել ենք ուղիղ 4 անգամ, մնացորդ չկա (նկ. 16)։

Բրինձ. 16. Օրինակ՝ նկարազարդում

Եկեք գրենք լուծումը.

12: 3 = 4

Այսօր դասին ծանոթացանք մնացորդով բաժանմանը, սովորեցինք նկարի և թվային ճառագայթի միջոցով կատարել անվանված գործողությունը, պարապեցինք դասի թեմայի օրինակների լուծմանը։

Մատենագիտություն

1. Մ.Ի. Մորո, Մ.Ա. Բանտովա և ուրիշներ Մաթեմատիկա՝ Դասագիրք. Դասարան 3. 2 մասից, մաս 1. - Մ .: «Լուսավորություն», 2012 թ.
2. Մ.Ի. Մորո, Մ.Ա. Բանտովա և ուրիշներ Մաթեմատիկա՝ Դասագիրք. Դասարան 3. 2 մասից, մաս 2. - Մ .: «Լուսավորություն», 2012 թ.
3. Մ.Ի. Մորո. Մաթեմատիկայի դասեր. Ուղեցույց ուսուցիչների համար. 3-րդ դասարան - Մ.: Կրթություն, 2012:
4. Կարգավորող փաստաթուղթ. Ուսուցման արդյունքների մոնիտորինգ և գնահատում. - Մ.: «Լուսավորություն», 2011 թ.
5. «Ռուսաստանի դպրոց». Ծրագրեր տարրական դպրոցի համար. - Մ.: «Լուսավորություն», 2011 թ.
6. Ս.Ի. Վոլկովը։ Մաթեմատիկա՝ թեստային աշխատանք. 3-րդ դասարան - Մ.: Կրթություն, 2012:
7. Վ.Ն. Ռուդնիցկայա. Թեստեր. - Մ.՝ «Քննություն», 2012 թ.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Տնային աշխատանք

1. Առանց մնացորդի գրի՛ր այն թվերը, որոնք բաժանվում են 2-ի:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

2. Կատարե՛ք բաժանում մնացորդով, օգտագործելով գծագիրը:

3. Կատարե՛ք բաժանում մնացորդի հետ՝ օգտագործելով թվային տողը:

4. Դասի թեմայով առաջադրանք կազմիր ընկերներիդ համար։