Telpiskai patvaļīgai spēku sistēmai var komponēt. Telpiskā konverģenta spēku sistēma. Tilpuma figūras smaguma centrs

PARR= 0 un M R x = R y= R z = 0 un M x = M y= M

Līdzsvara nosacījumi patvaļīgai telpiskai spēku sistēmai.

Patvaļīgu telpisku spēku sistēmu, piemēram, plakanu, var novest kādā centrā PAR un aizstāt ar vienu rezultējošo spēku un pāris ar momentu. Spriežot tādā veidā, ka šīs spēku sistēmas līdzsvaram ir nepieciešams un pietiekami, ka vienlaikus pastāv R= 0 un M o = 0. Taču vektori u var pazust tikai tad, ja visas to projekcijas uz koordinātu asīm ir vienādas ar nulli, t.i., kad R x = R y= R z = 0 un M x = M y= M z = 0 vai, ja darbojošie spēki atbilst nosacījumiem

Tādējādi patvaļīgas telpiskas spēku sistēmas līdzsvaram ir nepieciešams un pietiekami, lai visu spēku projekciju summas uz katru no trim koordinātu asīm un to momentu summas attiecībā pret šīm asīm būtu vienādas ar nulli.

Ķermeņa līdzsvara problēmu risināšanas principi telpiskas spēku sistēmas ietekmē.

Problēmu risināšanas princips šajā sadaļā paliek tāds pats kā plaknes spēku sistēmai. Noskaidrojuši, kurš ķermenis tiks uzskatīts par līdzsvaru, viņi aizvieto ķermenim uzliktos savienojumus ar savām reakcijām un sastāda nosacījumus šī ķermeņa līdzsvaram, uzskatot to par brīvu. No iegūtajiem vienādojumiem nosaka nepieciešamos daudzumus.

Lai iegūtu vienkāršākas vienādojumu sistēmas, ieteicams asis zīmēt tā, lai tās krustotos vairāk nezināmu spēku vai būtu tām perpendikulāras (ja vien tas lieki neapgrūtina citu spēku projekciju un momentu aprēķinus).

Jauns elements vienādojumu sastādīšanā ir spēku momentu aprēķins ap koordinātu asīm.

Gadījumos, kad no vispārējā zīmējuma ir grūti saskatīt, kāds ir dotā spēka moments attiecībā pret jebkuru asi, ieteicams palīgzīmējumā attēlot attiecīgā ķermeņa projekciju (kopā ar spēku) uz plakni. perpendikulāri šai asij.

Gadījumos, kad, aprēķinot momentu, rodas grūtības noteikt spēka projekciju uz atbilstošo plakni vai šīs projekcijas plecu, ieteicams spēku sadalīt divās savstarpēji perpendikulārās sastāvdaļās (no kurām viena ir paralēla kādai koordinātei ass), un pēc tam izmantojiet Varinjona teorēmu.

5. piemērs.

Rāmis AB(45. att.) līdzsvarā notur eņģe A un stienis Sv. Uz rāmja malas ir kravas svēršana R. Noteiksim eņģes reakcijas un spēku stieņā.

45. att

Mēs ņemam vērā rāmja līdzsvaru kopā ar slodzi.

Mēs veidojam aprēķinu diagrammu, attēlojot rāmi kā brīvu ķermeni un parādot visus spēkus, kas uz to iedarbojas: savienojumu reakciju un slodzes svaru R. Šie spēki veido spēku sistēmu, kas patvaļīgi atrodas plaknē.

Ieteicams izveidot vienādojumus tā, lai katrs satur vienu nezināmu spēku.

Mūsu problēmā tas ir galvenais A, kur ir pievienoti nezināmie un; punkts AR, kur krustojas nezināmu spēku un darbības līnijas; punkts D– spēku darbības līniju krustpunkts un. Izveidosim vienādojumu spēku projekcijai uz asi plkst(uz asi X to nav iespējams noformēt, jo tas ir perpendikulārs līnijai AC).

Un pirms vienādojumu sastādīšanas izteiksim vēl vienu noderīgu piezīmi. Ja projektēšanas shēmā ir spēks, kas atrodas tā, ka tā plecs nav viegli lokalizējams, tad, nosakot momentu, ieteicams vispirms sadalīt šī spēka vektoru divos, ērtāk virzītos. Šajā uzdevumā spēku sadalīsim divās daļās: u (37. att.) tā, lai to moduļi būtu

Izveidosim vienādojumus:

No otrā vienādojuma mēs atrodam . No trešā Un no pirmā

Tātad, kā tas notika S<0, то стержень Sv tiks saspiests.

Iepriekš (6.5., 6. lieta) tika konstatēts, ka

Ņemot vērā, ka, , projicēsim formulas (6.18) uz Dekarta koordinātu asīm. Mums ir līdzsvara vienādojumu analītiskā forma patvaļīgai telpiskai spēku sistēmai:

(6.19)

Pēdējie trīs vienādojumi rodas tāpēc, ka spēka momenta projekcija attiecībā pret punktu uz asi, kas iet caur šo punktu, ir vienāda ar spēka momentu attiecībā pret asi (formula (6.9)).

Secinājums patvaļīga telpiskā spēku sistēma, kas tiek uzklāts uz cieta ķermeņa, mums ir jāsastāda seši līdzsvara vienādojumi(6.19), tāpēc mums ir iespēja noteikt, izmantojot šos vienādojumus seši nezināmi daudzumi.

Apsveriet lietu paralēlo spēku telpiskā sistēma. Izvēlamies koordinātu sistēmu tā, lai ass Oz bija paralēli spēku darbības līnijām (6.11. att.).

Tas atstāj trīs vienādojumus:

Secinājums. Risinot līdzsvara problēmas paralēla telpiskā spēku sistēma, kas tiek uzklāts uz cieta ķermeņa, mums ir jāsastāda trīs līdzsvara vienādojumi un ar šo vienādojumu palīdzību mums ir iespēja noteikt trīs nezināmus lielumus.

Pirmajā lekcijā sadaļā “Statika” noskaidrojām, ka ir sešu veidu spēka sistēmas, ar ko var saskarties jūsu inženiertehnisko aprēķinu praksē. Turklāt spēku pāru sakārtošanai ir divas iespējas: telpā un plaknē. Apkoposim visus spēku un spēku pāru līdzsvara vienādojumus vienā tabulā (6.2. tabula), kuras pēdējā ailē atzīmējam nezināmo lielumu skaitu, ko līdzsvara vienādojumu sistēma ļaus noteikt.

6.2. tabula – Līdzsvara vienādojumi dažādām spēku sistēmām

Spēka sistēmas veids	Līdzsvara vienādojumi	Nezināmo skaits ir jānosaka

Saplūstošs dzīvoklis
Paralēli plakana (ass 0 plkst)	t. A 0xy
Patvaļīgs dzīvoklis (0xy plaknē)	t. A– patvaļīgs, piederošs lidmašīnai 0xy

6.2. tabulas turpinājums

Jautājumi paškontrolei par 6. tēmu

1. Kā atrast spēka momentu ap asi?

2. Kāda saistība pastāv starp spēka momentu attiecībā pret punktu un tā paša spēka momentu attiecībā pret asi, kas iet caur šo punktu?

3. Kādos gadījumos spēka moments ap asi ir vienāds ar nulli? Un kad tas ir vislielākais?

4. Kādos gadījumos spēku sistēma tiek reducēta līdz rezultātam?

5. Kādā gadījumā ir dota spēku telpiskā sistēma:

– spēku pārim;

– uz dinamisko skrūvi?

6. Ko sauc par statikas invariantu? Kādus statiskos invariantus jūs zināt?

7. Pierakstiet līdzsvara vienādojumus patvaļīgai telpiskai spēku sistēmai.

8. Noformulēt nepieciešamo un pietiekamo nosacījumu paralēlas telpiskas spēku sistēmas līdzsvaram.

9. Vai, mainoties smaguma centram, mainīsies spēku sistēmas galvenais vektors? Un galvenais punkts?

7. tēma. SAIMNIECĪBAS. PIEPŪLES DEFINĪCIJA

Patvaļīgas telpiskas spēku sistēmas līdzsvara nosacījumu analītisku ierakstu attēlo sešu vienādojumu sistēma (5.3.).

No mehāniskā viedokļa pirmie trīs vienādojumi nosaka translācijas neesamību, bet pēdējie trīs - ķermeņa leņķiskās kustības. SSS gadījumā līdzsvara nosacījumi tiks attēloti ar pirmo trīs vienādojumu sistēmu. Paralēlu spēku sistēmas gadījumā sistēma sastāvēs arī no trim vienādojumiem: viens spēku projekciju summas vienādojums uz asi, kurai paralēli ir vērsti sistēmas spēki, un divi momentu vienādojumi ap asis, kas nav paralēlas sistēmas spēku darbības līnijām.

ĶERMEŅA SNIEGŠANAS CENTRS

Cieta ķermeņa smaguma centrs ir punkts, caur kuru iet noteiktā ķermeņa daļiņu gravitācijas spēku darbības līnija neatkarīgi no tā atrašanās vietas telpā.

Smaguma centra, punkta C koordinātas (6.3. att.) var noteikt, izmantojot šādas formulas:

Ir skaidrs, ka, jo smalkāks ir nodalījums, jo precīzāk aprēķins tiks veikts, izmantojot formulas (6.7), (6.8). Tomēr aprēķinu sarežģītība var būt diezgan liela. Inženieru praksē regulāras formas ķermeņu smaguma centra noteikšanai izmanto formulas.

KINEMĀTIKA

6. LEKCIJA.

Kinemātika ir mehānikas nozare, kas nodarbojas ar ķermeņu kustību un

Punkti, neņemot vērā tiem pieliktos spēkus.

6.1. Punktu kustības noteikšanas metodes

Ķermeņu vai punktu kustību var uzskatīt tikai attiecībā pret dažiem atsauces sistēmas - reāls vai konvencionāls ķermenis, attiecībā pret kuru tiek noteikts citu ķermeņu novietojums un kustība.

Apskatīsim trīs problēmu risināšanā visbiežāk izmantotās atskaites sistēmas un atbilstoši tām trīs punktu kustības precizēšanas veidus. To raksturojums ir šāds: a) pašas atskaites sistēmas apraksts; b) punkta atrašanās vietas noteikšana telpā; c) norāda punkta kustības vienādojumus; d) formulu izveidošana, pēc kurām var atrast punkta kustības kinemātiskos raksturlielumus.

Vektoru metode

Šo metodi parasti izmanto, lai atvasinātu teorēmas un citus teorētiskus ierosinājumus. Tās priekšrocība salīdzinājumā ar citām metodēm ir ierakstīšanas kompaktums. Šajā metodē centrs tiek izmantots kā atskaites sistēma. PAR ar vienību vektoru trīskāršu — i, j, k (8.1. att.). Patvaļīga punkta pozīcija telpā M nosaka rādiusa vektors, r. Tādējādi punkta kustības vienādojums M būs vienvērtīga rādiusa vektora un laika funkcija, t :

Salīdzinot pēdējās divas definīcijas, varam secināt, ka punkta trajektorija ir arī tā rādiusa vektora hodogrāfs.

Iepazīstinām ar koncepciju vidējais ātrums, V vid (8.1. att.):

Un patiesais (momentānais) ātrums, V:

Virziens V sakrīt ar punkta trajektorijas pieskari (8.1. att.).

Punkta paātrinājums ir vektora lielums, kas raksturo punkta ātruma izmaiņas:

Dabiskais veids

attiecības starp S un laiks, t , ir punkta kustības vienādojums dabiskā veidā, lai noteiktu kustību:

Punkta ātrums, kas vērsts pa asi t , ir definēts kā:

Punkta paātrinājums, A, atrodas lidmašīnā nt un to var sadalīt komponentos:

Šīs paplašināšanas fiziskā nozīme ir šāda: pieskares komponenta darbības līnija, a t , sakrīt ar ātruma vektora darbības līniju, V , un atspoguļo izmaiņas tikai ātruma modulī; normāla paātrinājuma sastāvdaļa, un n , raksturo ātruma vektora darbības līnijas virziena maiņu. To skaitliskās vērtības var atrast, izmantojot šādas formulas:

Kur

– trajektorijas izliekuma rādiuss noteiktā punktā.

Koordinātu metode

Šo metodi visbiežāk izmanto problēmu risināšanā. Atskaites sistēma ir savstarpēji perpendikulāru asu trio x , y , z (8.3. att.). Punkta pozīcija M nosaka tās koordinātas x M , y M , z M .

Punkta kustības vienādojumi ir šo koordinātu vienvērtības funkcijas no

un tā modulis:

Ātruma vektora virzienu telpā var analītiski noteikt, izmantojot virziena kosinusus:

Punkta paātrinājums M var noteikt pēc projekcijām uz koordinātu asīm:

Paātrinājuma vektora virzienu telpā nosaka virziena kosinusi.

Nepieciešamie un pietiekamie nosacījumi jebkuras spēku sistēmas līdzsvaram tiek izteikti ar vienādībām (sk. 13. §). Bet vektori R un ir vienādi tikai tad, kad, tas ir, kad iedarbīgie spēki saskaņā ar formulām (49) un (50) atbilst nosacījumiem:

Vienādības (51) vienlaikus izsaka stingra ķermeņa līdzsvara nosacījumus jebkuras telpiskas spēku sistēmas ietekmē.

Ja papildus spēkiem uz ķermeni iedarbojas arī pāris, ko nosaka tā moments, tad pirmo trīs nosacījumu (51) forma nemainīsies (pāra spēku projekciju summa uz jebkuras ass ir vienāds ar nulli), un pēdējie trīs nosacījumi būs šādi:

Paralēlo spēku gadījums. Gadījumā, ja visi spēki, kas iedarbojas uz ķermeni, ir paralēli viens otram, var izvēlēties koordinātu asis tā, lai ass būtu paralēla spēkiem (96. att.). Tad katra spēka projekcijas uz asi un to momenti attiecībā pret z asi būs vienādi ar nulli un sistēma (51) dos trīs līdzsvara nosacījumus:

Atlikušās vienādības pēc tam pārvērtīsies par formas identitātēm

Līdz ar to paralēlu spēku telpiskās sistēmas līdzsvaram ir nepieciešams un pietiekami, lai visu spēku projekciju summa uz spēku paralēlo asi un to momentu summa attiecībā pret pārējām divām koordinātu asīm būtu vienāda ar nulle.

Problēmu risināšana. Problēmu risināšanas procedūra šeit paliek tāda pati kā plaknes sistēmas gadījumā. Noskaidrojot, kurš ķermenis (objekts) tiek aplūkots līdzsvarā, ir jāattēlo visi ārējie spēki, kas uz to iedarbojas (gan dotie, gan reakcijas savienojumi), un jāizstrādā nosacījumi šo spēku līdzsvaram. No iegūtajiem vienādojumiem nosaka nepieciešamos daudzumus.

Jauns elements vienādojumu sastādīšanā ir spēku momentu aprēķins ap koordinātu asīm.

39. uzdevums. Ir slodze uz taisnstūra plāksni ar malām a un b. Plātnes smaguma centrs kopā ar slodzi atrodas punktā D ar koordinātām (97. att.). Viens no strādniekiem notur plāksni stūrī A. Kuros punktos B un E diviem citiem strādniekiem jāatbalsta plāksne, lai spēki, ko pieliek katrs no tiem, kas tur plāksni, būtu vienādi.

Risinājums. Mēs ņemam vērā plāksnes līdzsvaru, kas ir līdzsvarā brīvs ķermenis četru paralēlu spēku iedarbībā, kur P ir gravitācijas spēks. Mēs izstrādājam līdzsvara nosacījumus (53) šiem spēkiem, ņemot vērā plāksni horizontāli un zīmējot asis, kā parādīts attēlā. 97. Mēs iegūstam:

Atbilstoši uzdevuma nosacījumiem ir jābūt Tad no pēdējā vienādojuma, aizstājot šo P vērtību pirmajos divos vienādojumos, mēs beidzot atradīsim

Risinājums ir iespējams, kad Kad un kad būs Kad punkts D atrodas plāksnes centrā,

40. uzdevums. Uz horizontālas vārpstas, kas atrodas gultņos A un B (98. att.), trīsis ar rādiusu cm un trumulis ar rādiusu ir uzstādīts perpendikulāri vārpstas asij. Vārpstu iedarbina siksna, kas aptīta ap skriemeli; tajā pašā laikā vienmērīgi tiek pacelta svērta krava, kas piesieta pie virves, kas uztīta uz cilindra. Neņemot vērā vārpstas, trumuļa un skriemeļa svaru, nosaka gultņu A un B reakcijas un siksnas piedziņas atzara spriegojumu, ja zināms, ka tas ir divreiz lielāks par dzenā zara spriegojumu. Dots: cm, cm,

Risinājums. Aplūkojamajā uzdevumā ar vienmērīgu vārpstas griešanos spēki, kas iedarbojas uz to, apmierina līdzsvara nosacījumus (51) (tas tiks pierādīts 136. §). Uzzīmēsim koordinātu asis (98. att.) un attēlosim spēkus, kas iedarbojas uz vārpstu: troses spriegums F, modulis vienāds ar P, siksnas spriegums un gultņu reakciju sastāvdaļas.

Lai apkopotu līdzsvara nosacījumus (51), vispirms aprēķinām un tabulā ievadām visu spēku projekciju vērtības uz koordinātu asīm un to momentus attiecībā pret šīm asīm.

Tagad mēs izveidojam līdzsvara nosacījumus (51); kopš mēs iegūstam:

No (III) un (IV) vienādojumiem mēs uzreiz atrodam, ņemot vērā to

Aizvietojot atrastās vērtības atlikušajos vienādojumos, mēs atrodam;

Un visbeidzot

41. uzdevums Taisnstūra pārsegs ar atsvaru, kas veido leņķi ar vertikāli, uz horizontālās ass AB ir nostiprināts punktā B ar cilindrisku gultni, bet punktā A ar gultni ar aizturi (99. att.). Vāku notur līdzsvarā virve DE un velk atpakaļ ar virvi, kas izmesta pāri blokam O ar atsvaru galā (līnija KO paralēla AB). Dots: Nosakiet troses spriegojumu DE un gultņu A un B reakcijas.

Risinājums. Apsveriet vāka līdzsvaru. Zīmēsim koordinātu asis, sākot no punkta B (šajā gadījumā spēks T krustos asis, kas vienkāršos momenta vienādojumu formu).

Pēc tam attēlojam visus dotos spēkus un reakcijas, kas iedarbojas uz pārsegu: gravitācijas spēku P, kas pielikts vāka smaguma centrā C, spēku Q, kas pēc lieluma vienāds ar Q, troses reakciju T un reakciju gultņi A un B (99. att.; vektors M k parādīts punktētā līnijā, kas neattiecas uz šo uzdevumu). Līdzsvara nosacījumu sastādīšanai ieviešam leņķi un apzīmē, ka dažu spēku momentu aprēķins ir izskaidrots palīgatt. 100, a, b.

Attēlā 100, un skats tiek parādīts projekcijā uz plakni no ass pozitīvā gala

Šis zīmējums palīdz aprēķināt spēku P un T momentus attiecībā pret asi. Var redzēt, ka šo spēku projekcijas uz plakni (plakne perpendikulāra) ir vienādas ar pašiem spēkiem, bet spēka P plecs attiecībā pret asi. punkts B ir vienāds ar; spēka T plecs attiecībā pret šo punktu ir vienāds ar

Attēlā 100, b parāda skatu projekcijā uz plakni no y ass pozitīvā gala.

Šis zīmējums (kopā ar 100. att., a) palīdz aprēķināt spēku P momentus un attiecībā pret y asi. Tas parāda, ka šo spēku projekcijas uz plaknes ir vienādas ar pašiem spēkiem, un spēka P plecs attiecībā pret punktu B ir vienāds ar spēka Q plecs attiecībā pret šo punktu ir vienāds ar vai, kā var redzams no att. 100, a.

Sastādot līdzsvara nosacījumus (51), ņemot vērā sniegtos skaidrojumus un vienlaikus pieņemot, iegūstam:

(es)

Ņemot vērā to, ko mēs atrodam vienādojumos (I), (IV), (V), (VI):

Aizvietojot šīs vērtības vienādojumos (II) un (III), mēs iegūstam:

Visbeidzot,

42. uzdevums. Atrisiniet 41. uzdevumu gadījumam, kad uz vāku papildus iedarbojas pāri, kas atrodas tā plaknē ar pāra griešanās momentu, kas vērsts (skatoties uz vāku no augšas) pretēji pulksteņrādītāja virzienam.

Risinājums. Papildus spēkiem, kas iedarbojas uz vāku (skat. 99. att.), pāra momentu M attēlojam kā vektoru, kas ir perpendikulārs vākam un tiek pielietots jebkurā punktā, piemēram, punktā A. Tā projekcijas uz koordinātu asīm: . Pēc tam, veidojot līdzsvara nosacījumus (52), mēs atklājam, ka vienādojumi (I) - (IV) paliks tādi paši kā iepriekšējā uzdevumā, un pēdējiem diviem vienādojumiem ir šāda forma:

Ņemiet vērā, ka to pašu rezultātu var iegūt, nesastādot vienādojumu formā (52), bet attēlojot pāri kā divus spēkus, kas vērsti, piemēram, pa taisnēm AB un KO (šajā gadījumā spēku moduļi būs vienāds), un pēc tam izmantojot parastos līdzsvara nosacījumus.

Atrisinot vienādojumus (I) - (IV), (V), (VI), mēs atradīsim rezultātus, kas ir līdzīgi tiem, kas iegūti 41. uzdevumā, ar vienīgo atšķirību, ka visas formulas ietvers . Visbeidzot mēs iegūstam:

43. uzdevums. Horizontālais stienis AB ir piestiprināts pie sienas ar sfērisku viru A un tiek turēts sienai perpendikulārā pozīcijā ar stiprinājumiem KE un CD, kas parādīts att. 101, a. No stieņa gala B tiek piekārta slodze ar atsvaru. Nosakiet eņģes A reakciju un stieņa vadu spriegojumu, ja stieņa svars netiek ņemts vērā.

Risinājums. Apskatīsim stieņa līdzsvaru. Uz to iedarbojas spēks P un reakcijas. Nozīmēsim koordinātu asis un sastādīsim līdzsvara nosacījumus (51). Lai atrastu projekcijas un spēka momentus, sadalīsim to komponentos. Pēc Varinjona teorēmas, kopš kopš

Spēku momentu aprēķins attiecībā pret asi ir izskaidrots ar palīgzīmējumu (101. att., b), kurā parādīts skats projekcijā uz plakni.

Spēki, kas saplūst vienā punktā. Spēki, kuru darbības līnijas NS atrodas vienā plaknē telpiskā spēku sistēma. Ja spēku darbības līnijas krustojas vienā punktā, bet neatrodas vienā plaknē (1.59. att.), tad tās veidojas. saplūstošo spēku telpiskā sistēma.Šādas spēku sistēmas galvenais moments attiecībā pret punktu O, kurā spēku darbības līnijas krustojas, vienmēr ir vienāds ar nulli, t.i. šāda spēku sistēma kopumā ir ekvivalenta rezultātam, kura darbības līnija iet caur punktu PAR.

Rīsi. 1.59.

Izmantojot OFS (1.5), līdzsvara nosacījumi šādai spēku sistēmai aplūkojamajā gadījumā tiek reducēti līdz izteiksmei /? = (), un tos var uzrakstīt trīs līdzsvara vienādojumu veidā:

Ja saplūstošo spēku telpiskā sistēma ir līdzsvarā, tad visu spēku projekciju summas uz trim Dekarta koordinātu asīm ir vienādas ar nulli.

Telpiskas spēku sistēmas gadījumā var izrādīties, ka spēka darbības līnija un ass krustojas ar taisnēm. Šajā gadījumā, sastādot līdzsvara vienādojumus, mēs izmantojam dubultā dizaina tehnika(1.60. att.).

Rīsi. 1.B0. Ceļā uz spēku dubultās projekcijas tehniku

Šīs metodes būtība ir tāda, ka, lai atrastu spēka projekciju uz asi, mēs vispirms to projicējam uz plaknes, kurā atrodas šī ass, un pēc tam tieši uz pašu asi: Yo XU = Ya^pu; E x= |T^ gk |s05f = / g 5tyS08f.

Patvaļīga telpiskā spēku sistēma. Veidojas spēki, kuru darbības līnijas neatrodas vienā plaknē un nekrustojas vienā punktā patvaļīga telpiskā spēku sistēma(1.61. att.). Šādai sistēmai nav iepriekšējas informācijas par galvenā vektora un galvenā momenta lielumiem vai virzieniem. Tāpēc nepieciešamie līdzsvara nosacījumi, kas izriet no OSA, ir es = 0; M 0= 0, izveidojiet sešus skalāros vienādojumus:

	M ak = 0;
	M 0U = 0;
es 7 -0,	M o? = 0.

No OFS izriet, ka patvaļīgai telpiskai spēku sistēmai atrodoties līdzsvarā, trīs galvenā vektora projekcijas un trīs ārējo spēku galvenā momenta projekcijas ir vienādas ar nulli.

Rīsi. 1.61.

Šo sakarību praktiskā izmantošana nav grūta, ja tiek atrastas galvenā vektora projekcijas aprēķināšanai nepieciešamo spēku projekcijas, savukārt momenta vektoru projekciju aprēķināšana var būt ļoti sarežģīta, jo nav ne lielumu, ne virzienu. šie vektori ir zināmi iepriekš. Problēmu risināšana ir ievērojami vienkāršota, ja izmantojat jēdzienu “spēka moments ap asi”.

Spēka moments attiecībā pret asi ir spēka vektora momenta projekcija uz šo asi attiecībā pret jebkuru punktu, kas atrodas uz šīs ass (1.62. att.):

kur /l 0 (/ 7) = g 0 x T 7 - vektors-spēka moments attiecībā pret punktu PAR.

Rīsi. 1.B2. Lai noteiktu spēka momentu attiecībā pret asi

Šī vektora modulis ir |al 0 (/ ;)| = 25 DO/1. = /7?, kur - trijstūra laukums OLV.

apejot momenta vektora definīciju t 0 (P). Konstruēsim plakni l, kas ir perpendikulāra asij, ap kuru tiek noteikts moments, un projicēsim spēku uz šo plakni. Pēc definīcijas spēka moments ap asi:

ar obos - 28 DO/)y akciju sabiedrība, A1B] - R K I H.

Tādējādi spēka momenta moduli attiecībā pret asi var definēt kā spēka projekcijas moduļa reizinājumu plaknē l, kas ir perpendikulāra aplūkojamai asij, ar attālumu no savienojuma krustošanās punkta. ass ar plakni l uz spēka darbības līniju R uz, t.i. lai noteiktu spēka momentu attiecībā pret asi, nav nepieciešams vispirms noteikt vektoru krāns), un pēc tam projicējiet to uz asi Ak.

Piezīme. Ņemiet vērā, ka momenta modulis ap asi nav atkarīgs no punkta izvēles uz ass, ap kuru aprēķina momenta vektoru, jo laukuma projekcija AOAV plaknē l nav atkarīgs no punkta izvēles PAR.

No iepriekš minētā izriet darbību secība, nosakot spēka momentu attiecībā pret asi (sk. 1.61. att.):

konstruēt plakni l, kas ir perpendikulāra Ak, un atzīmējiet punktu O;
projicē spēku uz šo plakni;
Mēs aprēķinām momenta moduli attiecībā pret asi un iegūtajam rezultātam piešķiram “+” vai “-” zīmi:
(1.28)

t oh (P) = ±Pb x.

Zīmju likums izriet no vektora projekcijas zīmes t oh (P): skatoties no “segmenta rotācijas” ass “pozitīvā gala”. viņu" ar spēku R p ir redzams notiekot pretēji pulksteņrādītāja virzienam, tad spēka moments attiecībā pret asi tiek uzskatīts par pozitīvu, pretējā gadījumā negatīvs (1.63. att.).

Rīsi. 1.63.

1 R g - no fr. rgsuesyop — projekcija.

Piezīme. Spēka moments ap asi ir nulle, kad spēks ir paralēls asij vai šķērso šo asi, t.i. spēka moments attiecībā pret asi ir nulle, ja spēks un ass atrodas vienā plaknē (1.64. att.).

Rīsi. 1.B4. Gadījumi, kad spēka moments ir vienāds ar nulli

attiecībā pret asi

No fiziskā viedokļa spēka moments ap asi raksturo spēka rotācijas efektu attiecībā pret asi.

Līdzsvara vienādojumi patvaļīgai telpiskai spēku sistēmai. Ņemot vērā, ka saskaņā ar OSS telpiskajai spēku sistēmai līdzsvarā, es = 0; M a= 0. Izsakot galvenā vektora projekcijas caur sistēmas spēku projekciju summām, bet galvenā momenta projekcijas - caur atsevišķu spēku momentu summām attiecībā pret asīm, iegūstam sešus līdzsvara vienādojumus. patvaļīgai telpiskai spēku sistēmai:

Tādējādi ja patvaļīga telpiskā spēku sistēma ir līdzsvarā, tad visu spēku projekciju summa uz trim Dekarta koordinātu asīm un visu spēku momentu summa attiecībā pret šīm asīm ir vienāda ar nulli.

Spēku pāri kosmosā. Telpiskā spēku sistēmā var būt spēku pāri, kas atrodas dažādās plaknēs, un, aprēķinot galveno momentu, kļūst nepieciešams atrast šo spēku pāru momentus attiecībā pret dažādiem telpas punktiem, kas neatrodas plaknē. no pāriem.

Lai pāra spēki atrodas punktos /! Un IN(1.65. att.). Tad mums ir: R A = -R iekšā, un modulo P A = P in = R. No att. 1.65 no tā izriet g iekšā = g l + L V.

Rīsi. 1.B5. Lai noteiktu spēku pāra vektora momentu attiecībā pret punktu,

ārpus plaknes pāris

Atradīsim spēku pāra galveno momentu attiecībā pret punktu PAR:

R a x UZ + r iekšā X R iekšā = *l x + ? V x L =

= (g in -?l)x P in = x R in = VLx RA A = t.

Tā kā gala rezultātā netika iekļauta punkta O pozīcija, mēs atzīmējam, ka spēku pāra vektora moments T nav atkarīgs no momenta punkta izvēles PAR un tiek definēts kā viena no pāra spēka moments attiecībā pret otra spēka pielikšanas punktu. Spēku pāra vektora moments ir perpendikulārs pāra darbības plaknei un ir vērsts tā, lai no tā gala varētu redzēt iespējamo rotāciju pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Spēku pāra vektora momenta modulis ir vienāds ar pāra spēka lieluma reizinājumu ar roku, t.i. iepriekš noteiktā pāra momenta vērtība plaknes spēku sistēmā:

t 0 (P,-P) = Pk = t. (1.31)

Pāris spēku momenta vektors ir “brīvs” vektors; to var pielietot jebkurā telpas punktā, nemainot moduli un virzienu, kas atbilst iespējai pārnest spēku pāri uz jebkuru paralēlu plakni.

Spēku pāra moments ap asi. Tā kā spēku pāra moments ir “brīvs” vektors, tad vektora momenta noteiktais spēku pāris vienmēr ir

var novietot tā, ka viens no pāra (-^) spēkiem krustojas ar doto asi patvaļīgā punktā PAR(1.66. att.). Tad brīdis

spēku pāris būs vienāds ar spēka momentu R attiecībā pret punktu PAR:

t 0 (P, -P) = OLx P = t.

Rīsi. 1.BB. Noteikt spēku pāra momentu attiecībā pret asi

Spēku pāra momentu attiecībā pret asi nosaka kā spēka vektora momenta projekciju uz šo asi F attiecībā pret punktu PAR, vai, kas ir tas pats, kā spēku pāra vektora-momenta projekcija m 0 (F,-F) uz šo asi:

t x (F,-F) = tn cos os = Rg x t. (1-32)

Daži telpisko attiecību piemēri:

? sfērisks savienojums(1.67. att.) ļauj griezties ap punktu jebkurā virzienā. Tāpēc, atmetot šādu savienojumu, jāpieliek spēks /V, kas iet caur eņģes centru un nav zināms pēc lieluma un virziena telpā. Paplašinot šo spēku pa trīs koordinātu asu virzieniem, mēs iegūstam trīs nezināmas reakcijas: X A, Y a, Z a;

Rīsi. 1.B7. Sfērisks savienojums un tā reakciju shematisks attēlojums

? slīdgultnisļauj griezties ap savu asi un nodrošina kustību brīvību pa šo asi. Pieņemot, ka 8. izmērs ir ļoti mazs un ir reaktīvi momenti par x un asīm plkst var neņemt vērā, mēs iegūstam vienu reaktīvo spēku, kas nav zināms pēc lieluma un virziena N A vai divas nezināmas reakcijas: X A, U A(1.68. att.);

Rīsi. 1.B8. Gultņa ar brīvu asi reakcijas

? vilces gultnis(1.69. att.), atšķirībā no gultņa, ļauj griezties ap savu asi, nepieļaujot kustību gar to, un tam ir trīs nezināmas reakcijas: X A, ? L, Z /1 ;

? akls telpiskais blīvējums(1.70. att.). Kopš, kad šāds savienojums tiek atmests, rodas patvaļīga telpiska reaktīvā spēku sistēma, ko raksturo galvenais vektors /? nezināms lielums un virziens un galvenais moments, piemēram, attiecībā pret iegulšanas centru A, arī nav zināms pēc lieluma un virziena, tad mēs attēlojam katru no šiem vektoriem komponentu veidā gar asīm: I = X A + Y A + 2 A; M A = t AX + t AU + t Ar.

Rīsi. 1.70.

Secinām, ka aklajai telpiskajai iegulšanai ir sešas nezināmas reakcijas - trīs spēka komponenti un trīs momenti attiecībā pret asīm, kuru lielumi ir vienādi ar attiecīgajām spēku un momentu projekcijām uz koordinātu asīm: X A, U l 2 A, t AH; t AU t A/ .

Problēmu risināšana. Risinot uzdevumus par telpiskās spēku sistēmas līdzsvaru, ir ļoti svarīgi sastādīt vienādojumus, kurus var atrisināt vienkārši. Šiem nolūkiem asis, par kurām tiek sastādīti momenta vienādojumi, jāizvēlas tā, lai tās krustotu pēc iespējas vairāk nezināmu spēku vai būtu tām paralēlas. Ieteicams virzīt projekcijas asis tā, lai atsevišķi nezināmie būtu tām perpendikulāri.

Ja rodas grūtības, nosakot spēka momentu attiecībā pret asīm, atsevišķi spēki ir jāaizstāj līdzvērtīgas divu spēku kombinācijas, kam aprēķini ir vienkāršoti. Dažos gadījumos ir lietderīgi aplūkotās sistēmas projekcijas parādīt koordinātu plaknēs.

Atzīmēsim, izlaižot pierādījumus, ka tāpat kā tas bija plakanā spēku sistēmā, konstruējot līdzsvara vienādojumus telpiskajai spēku sistēmai, momentu vienādojumu skaitu ap asīm var palielināt līdz sešiem, ievērojot dažus ierobežojumus. uzlikts asu virzienam tā, lai momentu vienādojumi būtu lineāri neatkarīgi.

Problēma 1.3. Taisnstūra plāksne, kas atbalstīta vienā punktā IN uz sfērisku

eņģes un fiksētas punktos A un C ar stieņu palīdzību

dzīvo līdzsvarā ar vītni, kā parādīts attēlā. 1.71. Nosakiet plātņu savienojumu reakcijas LAN.

Rīsi. 1.71.

D ano: G, t, Za, Z(3 = l/4.

Koordinātu sākuma vietas izvēle punktā IN, Izteiksim telpiski orientētā reaktīvā spēka komponentus T pa asi z un lidmašīnas Whu:

T 7 = T cosa; T XY = T grēks a.

Šīs sistēmas līdzsvara nosacījumus attēlos secīgi atrisinātu vienādojumu sistēma, kuru mēs rakstīsim, izlaižot summēšanas robežas, šādā formā:

X m z = 0- -X A a = 0;

=°’ ~T z a + G~m = 0;

X m xi = 0.

X^ = o, X Fn = 0;

T z a + Z c a = 0;

Līdzsvara nosacījumi patvaļīgai telpiskai spēku sistēmai.

Ķermeņa līdzsvara problēmu risināšanas principi telpiskas spēku sistēmas ietekmē.

5. piemērs.

Jūs varētu interesēt