Kādi skaitļi ir neracionāli? Iracionāls skaitlis nav racionāls reālais skaitlis, t.i. to nevar attēlot kā daļu (kā divu veselu skaitļu attiecību), kur m- vesels skaitlis, n- naturālais skaitlis. Iracionāls skaitlis var attēlot kā bezgalīgu neperiodisku decimālo daļu.

Iracionāls skaitlis var nebūt precīzas nozīmes. Tikai formātā 3.333333…. Piemēram, kvadrātsakne no diviem ir iracionāls skaitlis.

Kurš skaitlis ir neracionāls? Iracionāls skaitlis(pretstatā racionālajam) sauc par bezgalīgu decimāldaļu neperiodisku daļu.

Iracionālu skaitļu kopa bieži apzīmē ar lielo latīņu burtu treknrakstā bez ēnojuma. Tas.:

Tie. Iracionālo skaitļu kopa ir starpība starp reālo un racionālo skaitļu kopām.

Iracionālo skaitļu īpašības.

• 2 nenegatīvu iracionālu skaitļu summa var būt racionāls skaitlis.
• Iracionālie skaitļi definē Dedekinda izcirtņus racionālo skaitļu kopā, kuras apakšējā klasē nav lielākā skaitļa, bet augšējā klasē nav mazāka.
• Katrs reāls pārpasaulīgais skaitlis ir iracionāls skaitlis.
• Visi neracionālie skaitļi ir algebriski vai pārpasaulīgi.
• Iracionālo skaitļu kopa ir blīva visur uz skaitļu līnijas: starp katru skaitļu pāri ir iracionālais skaitlis.
• Iracionālo skaitļu kopas secība ir izomorfa reālo pārpasaulīgo skaitļu kopas secībai.
• Iracionālo skaitļu kopa ir bezgalīga un ir 2. kategorijas kopa.
• Katras aritmētiskās darbības ar racionāliem skaitļiem (izņemot dalītu ar 0) rezultāts ir racionāls skaitlis. Aritmētisko darbību rezultāts ar iracionāliem skaitļiem var būt vai nu racionāls, vai iracionāls skaitlis.
• Racionālā un iracionālā skaitļa summa vienmēr būs iracionāls skaitlis.
• Iracionālo skaitļu summa var būt racionāls skaitlis. Piemēram,ļaut x tad neracionāli y=x*(-1) arī neracionāls; x+y=0, un numuru 0 racionāls (ja, piemēram, saskaitām jebkuras pakāpes sakni no 7 un atņemot sakni no tās pašas pakāpes septiņas, iegūstam racionālo skaitli 0).

Iracionāli skaitļi, piemēri.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ

Jau senie matemātiķi zināja par vienības garuma segmentu: viņi zināja, piemēram, diagonāles un kvadrāta malas nesamērojamību, kas ir līdzvērtīga skaitļa iracionalitātei.

Iracionāli ir:

Iracionalitātes pierādījumu piemēri

2 sakne

Pieņemsim pretējo: tas ir racionāls, tas ir, tas ir attēlots nereducējamas daļdaļas veidā, kur un ir veseli skaitļi. Izlīdzināsim šķietamo vienādību:

.

No tā izriet, ka pat ir pat un . Lai tas ir tur, kur ir veselums. Tad

Tāpēc pat nozīmē pat un . Mēs noskaidrojām, ka un ir pat, kas ir pretrunā ar daļas nereducējamību. Tas nozīmē, ka sākotnējais pieņēmums bija nepareizs, un tas ir neracionāls skaitlis.

Skaitļa 3 binārais logaritms

Pieņemsim pretējo: tas ir racionāls, tas ir, tas tiek attēlots kā daļa, kur un ir veseli skaitļi. Kopš , un var izvēlēties kā pozitīvu. Tad

Bet pāra un nepāra. Mēs iegūstam pretrunu.

e

Stāsts

Iracionālo skaitļu jēdzienu netieši pieņēma Indijas matemātiķi 7. gadsimtā pirms mūsu ēras, kad Manava (ap 750. g. p.m.ē. – ap 690. g. p.m.ē.) izdomāja, ka dažu naturālu skaitļu kvadrātsaknes, piemēram, 2 un 61, nevar izteikt tieši. .

Pirmais iracionālo skaitļu esamības pierādījums parasti tiek piedēvēts Hipasam no Metaponta (ap 500. g. p.m.ē.), pitagorietim, kurš šo pierādījumu atrada, pētot pentagrammas malu garumus. Pitagoriešu laikā tika uzskatīts, ka pastāv viena garuma vienība, pietiekami maza un nedalāma, kas ieiet jebkurā segmentā veselu skaitu reižu. Tomēr Hipass apgalvoja, ka nav vienas garuma vienības, jo pieņēmums par tā esamību rada pretrunu. Viņš parādīja, ka, ja vienādsānu taisnstūra trīsstūra hipotenūzā ir vesels skaits vienību segmentu, tad šim skaitlim jābūt gan pāra, gan nepāra. Pierādījums izskatījās šādi:

• Vienādsānu taisnstūra trīsstūra hipotenūzas garuma attiecību pret kājas garumu var izteikt kā a:b, Kur a Un b izvēlēts kā mazākais iespējamais.
• Saskaņā ar Pitagora teorēmu: a² = 2 b².
• Jo a- pat, a jābūt pāra (jo nepāra skaitļa kvadrāts būtu nepāra).
• Tāpēc ka a:b nesamazināms b jābūt nepāra.
• Jo a pat, mēs apzīmējam a = 2y.
• Tad a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², tāpēc b- pat tad b pat.
• Tomēr ir pierādīts, ka b nepāra. Pretruna.

Grieķu matemātiķi šo nesamērojamo lielumu attiecību sauca alogos(neizsakāmi), bet saskaņā ar leģendām viņi nav izrādījuši pienācīgu cieņu Hipasam. Pastāv leģenda, ka Hipazs atklāja, atrodoties jūras ceļojumā, un citi pitagorieši viņu izmeta aiz borta, “lai radītu Visuma elementu, kas noliedz doktrīnu, ka visas Visuma būtības var reducēt līdz veseliem skaitļiem un to attiecībām”. Hipasa atklāšana radīja nopietnu problēmu Pitagora matemātikai, iznīcinot pamatā esošo pieņēmumu, ka skaitļi un ģeometriski objekti ir viens un nedalāms.

Skatīt arī

Piezīmes

Skaitliskās sistēmas
Skaitīšana komplekti	Veseli skaitļi ()

Kas ir neracionālie skaitļi? Kāpēc viņus tā sauc? Kur tie tiek izmantoti un kādi tie ir? Tikai daži cilvēki var atbildēt uz šiem jautājumiem, nedomājot. Bet patiesībā atbildes uz tām ir pavisam vienkāršas, lai gan ne visiem tās ir vajadzīgas un ļoti retās situācijās

Būtība un apzīmējums

Iracionālie skaitļi ir bezgalīgi neperiodiski skaitļi. Nepieciešamība ieviest šo jēdzienu ir saistīta ar to, ka, lai atrisinātu jaunas problēmas, vairs nepietika ar iepriekš pastāvošajiem reālo vai reālo, veselo skaitļu, naturālo un racionālo skaitļu jēdzieniem. Piemēram, lai aprēķinātu, kurš lielums ir 2 kvadrāts, ir jāizmanto neperiodiskas bezgalīgas decimāldaļas. Turklāt daudziem vienkāršiem vienādojumiem arī nav risinājuma, neieviešot iracionālā skaitļa jēdzienu.

Šī kopa ir apzīmēta kā I. Un, kā jau skaidrs, šīs vērtības nevar attēlot kā vienkāršu daļskaitli, kuras skaitītājs būs vesels skaitlis, bet saucējs

Pirmo reizi, tā vai citādi, Indijas matemātiķi ar šo parādību saskārās 7. gadsimtā, kad tika atklāts, ka dažu lielumu kvadrātsaknes nevar skaidri norādīt. Un pirmais pierādījums šādu skaitļu esamībai tiek attiecināts uz Pitagora Hipasu, kurš to izdarīja, pētot vienādsānu taisnstūri. Daži citi zinātnieki, kas dzīvoja pirms mūsu ēras, sniedza nopietnu ieguldījumu šīs kopas izpētē. Iracionālo skaitļu jēdziena ieviešana radīja esošās matemātiskās sistēmas pārskatīšanu, tāpēc tie ir tik svarīgi.

vārda izcelsme

Ja koeficients tulkojumā no latīņu valodas ir “daļdaļa”, “attiecība”, tad prefikss “ir”
piešķir šim vārdam pretēju nozīmi. Tādējādi šo skaitļu kopas nosaukums norāda, ka tos nevar korelēt ar veselu skaitli vai daļskaitli un tiem ir atsevišķa vieta. Tas izriet no to būtības.

Vieta kopvērtējumā

Iracionālie skaitļi kopā ar racionāliem skaitļiem pieder reālo vai reālo skaitļu grupai, kas savukārt pieder pie kompleksajiem skaitļiem. Nav apakškopu, bet ir algebriskās un transcendentālās šķirnes, kas tiks aplūkotas turpmāk.

Īpašības

Tā kā iracionālie skaitļi ir daļa no reālo skaitļu kopas, uz tiem attiecas visas to īpašības, kas tiek pētītas aritmētikā (tos sauc arī par algebras pamatlikumiem).

a + b = b + a (komutativitāte);

(a + b) + c = a + (b + c) (asociativitāte);

a + (-a) = 0 (pretēja skaitļa esamība);

ab = ba (komutatīvais likums);

(ab)c = a(bc) (izplatība);

a(b+c) = ab + ac (sadales likums);

a x 1/a = 1 (apgrieztā skaitļa esamība);

Salīdzinājums tiek veikts arī saskaņā ar vispārējiem likumiem un principiem:

Ja a > b un b > c, tad a > c (attiecības tranzitivitāte) un. utt.

Protams, visus neracionālos skaitļus var pārvērst, izmantojot pamata aritmētiku. Tam nav īpašu noteikumu.

Turklāt Arhimēda aksioma attiecas uz iracionāliem skaitļiem. Tajā teikts, ka jebkuriem diviem lielumiem a un b ir taisnība, ka, pieņemot a kā terminu pietiekami reižu, jūs varat pārsniegt b.

Lietošana

Neskatoties uz to, ka ikdienā ar tiem nenākas tik bieži, neracionālus skaitļus nevar saskaitīt. Viņu ir milzīgs skaits, taču tie ir gandrīz neredzami. Iracionāli skaitļi ir mums visapkārt. Ikvienam pazīstami piemēri ir skaitlis pi, kas vienāds ar 3,1415926... vai e, kas būtībā ir naturālā logaritma bāze, 2,718281828... Algebrā, trigonometrijā un ģeometrijā tie ir jāizmanto pastāvīgi. Starp citu, arī slavenā “zelta griezuma” nozīme, tas ir, attiecības starp lielāko daļu un mazāko daļu un otrādi.

pieder šim komplektam. Arī mazāk zināmais “sudrabs”.

Uz skaitļu līnijas tie atrodas ļoti blīvi, tāpēc starp jebkuriem diviem lielumiem, kas klasificēti kā racionāli, noteikti rodas iracionāls.

Ar šo komplektu joprojām ir daudz neatrisinātu problēmu. Ir tādi kritēriji kā iracionalitātes mērs un skaitļa normalitāte. Matemātiķi turpina pētīt nozīmīgākos piemērus, lai noteiktu, vai tie pieder vienai vai otrai grupai. Piemēram, tiek uzskatīts, ka e ir normāls skaitlis, t.i., varbūtība, ka tā apzīmējumā parādīsies dažādi cipari, ir vienāda. Attiecībā uz pi joprojām notiek pētījumi par to. Iracionalitātes mērs ir vērtība, kas parāda, cik labi doto skaitli var tuvināt ar racionāliem skaitļiem.

Algebriskā un transcendentālā

Kā jau minēts, neracionālos skaitļus nosacīti iedala algebriskajos un transcendentālajos. Nosacīti, jo, stingri runājot, šī klasifikācija tiek izmantota kopas C sadalīšanai.

Šis apzīmējums slēpj kompleksos skaitļus, kas ietver reālus vai reālus skaitļus.

Tātad algebriskā vērtība ir vērtība, kas ir polinoma sakne, kas nav identiski vienāda ar nulli. Piemēram, kvadrātsakne no 2 būtu šajā kategorijā, jo tā ir vienādojuma x 2 risinājums - 2 = 0.

Visus pārējos reālos skaitļus, kas neatbilst šim nosacījumam, sauc par pārpasaulīgiem. Šajā šķirnē ir iekļauti slavenākie un jau minētie piemēri - skaitlis pi un naturālā logaritma bāze e.

Interesanti, ka ne vienu, ne otru matemātiķi sākotnēji neizstrādāja šajā statusā, to neracionalitāte un transcendence tika pierādīta daudzus gadus pēc to atklāšanas. Attiecībā uz pi pierādījums tika sniegts 1882. gadā un vienkāršots 1894. gadā, noslēdzot 2500 gadus ilgušo diskusiju par apļa kvadrāta problēmu. Tas joprojām nav pilnībā izpētīts, tāpēc mūsdienu matemātiķiem ir pie kā strādāt. Starp citu, pirmo diezgan precīzu šīs vērtības aprēķinu veica Arhimēds. Pirms viņa visi aprēķini bija pārāk aptuveni.

Attiecībā uz e (Eilera vai Napiera skaitlis) pierādījums tā transcendencei tika atrasts 1873. gadā. To izmanto logaritmisko vienādojumu risināšanā.

Citi piemēri ietver sinusa, kosinusa un pieskares vērtības jebkurai algebriskai vērtībai, kas nav nulle.

Iracionālā skaitļa definīcija

Iracionālie skaitļi ir tie skaitļi, kas decimāldaļās apzīmē bezgalīgas neperiodiskas decimāldaļdaļas.

Tā, piemēram, skaitļi, kas iegūti, ņemot kvadrātsakni no naturāliem skaitļiem, ir neracionāli un nav naturālu skaitļu kvadrāti. Bet ne visus iracionālos skaitļus iegūst, pieņemot kvadrātsaknes, jo arī dalīšanas rezultātā iegūtais skaitlis pi ir iracionāls, un to diez vai iegūsit, mēģinot izvilkt naturāla skaitļa kvadrātsakni.

Iracionālo skaitļu īpašības

Atšķirībā no skaitļiem, kas rakstīti kā bezgalīgas decimāldaļas, tikai neracionāli skaitļi tiek rakstīti kā neperiodiskas bezgalīgas decimāldaļas.
Divu nenegatīvu iracionālu skaitļu summa var būt racionāls skaitlis.
Iracionālie skaitļi definē Dedekinda izcirtņus racionālo skaitļu kopā, kuras apakšējā klasē nav lielākā skaitļa, bet augšējā klasē nav mazāka.
Jebkurš reāls pārpasaulīgais skaitlis ir iracionāls.
Visi neracionālie skaitļi ir algebriski vai pārpasaulīgi.
Iracionālo skaitļu kopa uz līnijas atrodas blīvi, un starp jebkuriem diviem tās skaitļiem noteikti ir iracionāls skaitlis.
Iracionālo skaitļu kopa ir bezgalīga, neskaitāma un ir 2. kategorijas kopa.
Veicot jebkuru aritmētisku darbību ar racionālajiem skaitļiem, izņemot dalīšanu ar 0, rezultāts būs racionāls skaitlis.
Ja iracionālajam skaitlim pievieno racionālu skaitli, rezultāts vienmēr ir iracionāls skaitlis.
Saskaitot neracionālus skaitļus, mēs varam iegūt racionālu skaitli.
Iracionālo skaitļu kopa nav pāra.

Skaitļi nav neracionāli

Dažkārt ir diezgan grūti atbildēt uz jautājumu, vai skaitlis ir iracionāls, īpaši gadījumos, kad skaitlis ir decimāldaļskaitļa formā vai skaitliskās izteiksmes, saknes vai logaritma formā.

Tāpēc nebūs lieki zināt, kuri skaitļi nav neracionāli. Ja sekojam iracionālo skaitļu definīcijai, tad jau zinām, ka racionālie skaitļi nevar būt iracionāli.

Iracionālie skaitļi nav:

Pirmkārt, visi naturālie skaitļi;
Otrkārt, veseli skaitļi;
Treškārt, parastās frakcijas;
Ceturtkārt, dažādi jaukti skaitļi;
Piektkārt, tās ir bezgalīgas periodiskas decimāldaļas.

Papildus visam iepriekšminētajam iracionālais skaitlis nevar būt jebkura racionālu skaitļu kombinācija, ko veic aritmētisko darbību zīmes, piemēram, +, -, , :, jo šajā gadījumā divu racionālu skaitļu rezultāts būs arī racionāls skaitlis.

Tagad redzēsim, kuri skaitļi ir neracionāli:

Vai jūs zināt par fanu kluba pastāvēšanu, kurā šīs noslēpumainās matemātiskās parādības cienītāji meklē arvien vairāk informācijas par Pī, cenšoties atšķetināt tā noslēpumu? Par šī kluba biedru var kļūt ikviens, kurš no galvas zina noteiktu Pi skaitļu skaitu aiz komata;

Vai zinājāt, ka Vācijā UNESCO aizsardzībā atrodas Castadel Monte pils, pateicoties kuras proporcijām var aprēķināt Pi. Karalis Frederiks II šim numuram veltīja visu pili.

Izrādās, Bābeles torņa celtniecībā viņi mēģināja izmantot skaitli Pi. Bet diemžēl tas noveda pie projekta sabrukuma, jo tajā laikā precīzs Pi vērtības aprēķins nebija pietiekami izpētīts.

Dziedātāja Keita Buša savā jaunajā diskā ierakstīja dziesmu ar nosaukumu “Pi”, kurā skanēja simts divdesmit četri skaitļi no slavenās numuru sērijas 3, 141….

Piemērs:
\(4\) ir racionāls skaitlis, jo to var uzrakstīt kā \(\frac(4)(1)\) ;
\(0,0157304\) ir arī racionāls, jo to var rakstīt formā \(\frac(157304)(10000000)\) ;
\(0.333(3)...\) - un tas ir racionāls skaitlis: var attēlot kā \(\frac(1)(3)\) ;
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) ir racionāls, jo to var attēlot kā \(\frac(1)(2)\) . Patiešām, mēs varam veikt transformāciju ķēdi \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)

Iracionāls skaitlis ir skaitlis, ko nevar uzrakstīt kā daļu ar veselu skaitītāju un saucēju.

Tas ir neiespējami, jo tā ir bezgalīgs frakcijas un pat neperiodiskas. Tāpēc nav veselu skaitļu, kas, dalot viens ar otru, iegūtu neracionālu skaitli.

Piemērs:
\(\sqrt(2)≈1,414213562…\) ir iracionāls skaitlis;
\(π≈3,1415926… \) ir iracionāls skaitlis;
\(\log_(2)(5)≈2,321928…\) ir iracionāls skaitlis.

Piemērs (Uzdevums no OGE). Kura izteiksmes nozīme ir racionāls skaitlis?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

Risinājums:

1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) — nevar ņemt \(14\) sakni, tas nozīmē, ka skaitli nav iespējams attēlot kā daļu ar veseliem skaitļiem, tāpēc skaitlis ir neracionāls.

2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) – nav palikušas saknes, skaitli var viegli attēlot kā daļskaitli, piemēram, \(\frac(-5)(1)\), kas nozīmē, ka tas ir racionāls.

3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11)\) - sakni nevar izvilkt - skaitlis ir iracionāls.

4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) arī ir iracionāls.