“Funkcijas kritiskie punkti” - kritiskie punkti. Starp kritiskajiem punktiem ir ekstrēmi punkti. Nepieciešams nosacījums ekstremitātei. Atbilde: 2. Definīcija. Bet, ja f" (x0) = 0, tad nav obligāti, lai punkts x0 būtu ekstrēma punkts. Ekstrēmuma punkti (atkārtojums). Funkcijas kritiskie punkti. Ekstrēma punkti.

“Koordinātu plakne 6.klase” - Matemātika 6.klase. 1. X. 1. Atrodiet un pierakstiet punktu A, B, C, D koordinātas: -6. Koordinātu plakne. O. -3. 7. U.

“Funkcijas un to grafiki” - Nepārtrauktība. Funkcijas lielākā un mazākā vērtība. Apgrieztās funkcijas jēdziens. Lineārs. Logaritmisks. Monotons. Ja k > 0, tad veidotais leņķis ir akūts, ja k< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

“Funkcijas 9. klase” - Derīgas aritmētiskās darbības ar funkcijām. [+] – saskaitīšana, [-] – atņemšana, [*] – reizināšana, [:] – dalīšana. Šādos gadījumos mēs runājam par funkcijas grafisku norādīšanu. Elementāro funkciju klases veidošana. Jaudas funkcija y=x0,5. Iovļevs Maksims Nikolajevičs, RMOU Radužskas vidusskolas 9. klases skolnieks.

“Nodarbības pieskares vienādojums” - 1. Noskaidrojiet funkcijas grafika pieskares jēdzienu. Leibnics apsvēra patvaļīgas līknes pieskares zīmēšanas problēmu. ALGORITMS FUNKCIJAS y=f(x) GRAFIKA TANGENTA IZSTRĀDĀŠANAI. Nodarbības tēma: Tests: atrodiet funkcijas atvasinājumu. Pieskares vienādojums. Fluxion. 10. klase. Atšifrējiet to, ko Īzaks Ņūtons sauca par atvasināto funkciju.

“Veidot funkcijas grafiku” — tiek dota funkcija y=3cosx. Funkcijas y=m*sin x grafiks. Grafiksējiet funkciju. Saturs: Dota funkcija: y=sin (x+?/2). Grafika y=cosx izstiepšana pa y asi. Lai turpinātu, noklikšķiniet uz l. Peles poga. Dota funkcija y=cosx+1. Grafika nobīde y=sinx vertikāli. Dota funkcija y=3sinx. Grafika y=cosx horizontālā nobīde.

Tēmā kopā ir 25 prezentācijas

Lineāra funkcija sauc par formas funkciju y = kx + b, kas definēts visu reālo skaitļu kopā. Šeit k- slīpums (reālais skaitlis), b – brīvs termiņš (reālais skaitlis), x- neatkarīgais mainīgais.

Īpašā gadījumā, ja k = 0, mēs iegūstam nemainīgu funkciju y = b, kuras grafiks ir taisna līnija, kas ir paralēla Ox asij, kas iet caur punktu ar koordinātām (0; b).

Ja b = 0, tad mēs iegūstam funkciju y = kx, kurš ir tiešā proporcionalitāte.

b – segmenta garums, kas tiek nogriezta ar taisnu līniju pa Oy asi, skaitot no sākuma.

Koeficienta ģeometriskā nozīme k – slīpuma leņķis taisni uz Vērša ass pozitīvo virzienu, skatīts pretēji pulksteņrādītāja virzienam.

Lineāras funkcijas īpašības:

1) Lineāras funkcijas definīcijas apgabals ir visa reālā ass;

2) Ja k ≠ 0, tad lineārās funkcijas vērtību diapazons ir visa reālā ass. Ja k = 0, tad lineārās funkcijas vērtību diapazons sastāv no skaitļa b;

3) Lineārās funkcijas vienmērīgums un dīvainība ir atkarīga no koeficientu vērtībām k Un b.

a) b ≠ 0, k = 0, tātad, y = b – pāra;

b) b = 0, k ≠ 0, tātad y = kx – nepāra;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, tātad y = kx + b – vispārīgas formas funkcija;

d) b = 0, k = 0, tātad y = 0 – gan pāra, gan nepāra funkcijas.

4) Lineārai funkcijai nepiemīt periodiskuma īpašība;

5) Krustošanās punkti ar koordinātu asīm:

Vērsis: y = kx + b = 0, x = -b/k, tātad (-b/k; 0)– krustošanās punkts ar abscisu asi.

Oy: y = 0k + b = b, tātad (0; b)– krustošanās punkts ar ordinātu asi.

Piezīme: ja b = 0 Un k = 0, tad funkcija y = 0 iet uz nulli jebkurai mainīgā vērtībai X. Ja b ≠ 0 Un k = 0, tad funkcija y = b nepazūd nevienai mainīgā vērtībai X.

6) Zīmes noturības intervāli ir atkarīgi no koeficienta k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b– pozitīvs kad x no (-b/k; +∞),

y = kx + b– negatīvs, kad x no (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b– pozitīvs kad x no (-∞; -b/k),

y = kx + b– negatīvs, kad x no (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b pozitīvs visā definīciju diapazonā,

k = 0, b< 0; y = kx + b negatīvs visā definīciju diapazonā.

7) Lineāras funkcijas monotonitātes intervāli ir atkarīgi no koeficienta k.

k > 0, tātad y = kx + b palielinās visā definīcijas jomā,

k< 0 , tātad y = kx + b samazinās visā definīcijas jomā.

8) Lineāras funkcijas grafiks ir taisne. Lai izveidotu taisnu līniju, pietiek zināt divus punktus. Taisnes pozīcija koordinātu plaknē ir atkarīga no koeficientu vērtībām k Un b. Zemāk ir tabula, kas to skaidri parāda.

Skaitliskās funkcijas jēdziens. Funkcijas noteikšanas metodes. Funkciju īpašības.

Ciparu funkcija ir funkcija, kas darbojas no vienas ciparu telpas (kopas) uz citu ciparu telpu (kopu).

Trīs galvenie funkcijas definēšanas veidi: analītisks, tabulas un grafisks.

1. Analītisks.

Funkcijas noteikšanas metodi, izmantojot formulu, sauc par analītisko. Šī metode ir galvenā paklājiņā. analīzi, bet praksē tas nav ērti.

2. Funkcijas norādīšanas tabulas metode.

Funkciju var norādīt, izmantojot tabulu, kurā ir argumentu vērtības un tām atbilstošās funkcijas vērtības.

3. Funkcijas norādīšanas grafiskā metode.

Saka, ka funkcija y=f(x) ir dota grafiski, ja ir izveidots tās grafiks. Šī funkcijas noteikšanas metode ļauj noteikt funkcijas vērtības tikai aptuveni, jo grafika sastādīšana un funkciju vērtību atrašana tajā ir saistīta ar kļūdām.

Funkcijas īpašības, kas jāņem vērā, veidojot tās grafiku:

1) Funkcijas definīcijas joma.

funkcijas domēns, tas ir, tās vērtības, kuras var iegūt funkcijas F =y (x) arguments x.

2) Palielinošo un samazinošo funkciju intervāli.

Funkciju sauc par palielināšanu uz aplūkojamo intervālu, ja lielāka argumenta vērtība atbilst lielākai funkcijas y(x) vērtībai. Tas nozīmē, ka, ja no aplūkojamā intervāla tiek ņemti divi patvaļīgi argumenti x 1 un x 2 un x 1 > x 2, tad y(x 1) > y(x 2).

Funkciju sauc par samazinošu uz aplūkojamo intervālu, ja lielāka argumenta vērtība atbilst mazākai funkcijas y(x) vērtībai. Tas nozīmē, ka, ja no aplūkojamā intervāla tiek ņemti divi patvaļīgi argumenti x 1 un x 2, un x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Funkcijas nulles.

Punktus, kuros funkcija F = y (x) krustojas ar abscisu asi (tos iegūst, atrisinot vienādojumu y(x) = 0), sauc par funkcijas nullēm.

4) Pāra un nepāra funkcijas.

Funkciju sauc par pat, ja visām argumentu vērtībām no darbības jomas

y(-x) = y(x).

Pāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret ordinātu.

Funkciju sauc par nepāra, ja visām argumenta vērtībām no definīcijas domēna

y(-x) = -y(x).

Pāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi.

Daudzas funkcijas nav ne pāra, ne nepāra.

5) Funkcijas periodiskums.

Funkciju sauc par periodisku, ja ir tāds skaitlis P, ka visām argumenta vērtībām no definīcijas domēna

y(x + P) = y(x).

Lineārā funkcija, tās īpašības un grafiks.

Lineāra funkcija ir formas funkcija y = kx + b, kas definēts visu reālo skaitļu kopā.

k- slīpums (reālais skaitlis)

b- fiktīvs vārds (reālais skaitlis)

x- neatkarīgais mainīgais.

· Īpašā gadījumā, ja k = 0, iegūstam konstantu funkciju y = b, kuras grafiks ir taisne, kas iet caur punktu ar koordinātām (0; b) paralēli Ox asij.

· Ja b = 0, tad iegūstam funkciju y = kx, kas ir tiešā proporcionalitāte.

o Koeficienta b ģeometriskā nozīme ir segmenta garums, kuru taisne nogriež pa Oy asi, skaitot no sākuma.

o Koeficienta k ģeometriskā nozīme ir taisnes slīpuma leņķis pret Ox ass pozitīvo virzienu, kas aprēķināts pretēji pulksteņrādītāja virzienam.

Lineāras funkcijas īpašības:

1) Lineāras funkcijas definīcijas apgabals ir visa reālā ass;

2) Ja k ≠ 0, tad lineārās funkcijas vērtību diapazons ir visa reālā ass.

Ja k = 0, tad lineārās funkcijas vērtību diapazons sastāv no skaitļa b;

3) Lineāras funkcijas vienmērīgums un dīvainība ir atkarīga no koeficientu k un b vērtībām.

a) b ≠ 0, k = 0, tātad, y = b – pāra;

b) b = 0, k ≠ 0, tāpēc y = kx – nepāra;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, tāpēc y = kx + b ir vispārīgas formas funkcija;

d) b = 0, k = 0, tāpēc y = 0 ir gan pāra, gan nepāra funkcija.

4) Lineārai funkcijai nepiemīt periodiskuma īpašība;

5) Krustošanās punkti ar koordinātu asīm:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, tāpēc (-b/k; 0) ir krustošanās punkts ar x asi.

Oy: y = 0k + b = b, tāpēc (0; b) ir krustpunkts ar ordinātu.

komentēt. Ja b = 0 un k = 0, tad funkcija y = 0 pazūd jebkurai mainīgā x vērtībai. Ja b ≠ 0 un k = 0, tad funkcija y = b nepazūd nevienai mainīgā x vērtībai.

6) Pastāvīgās zīmes intervāli ir atkarīgi no koeficienta k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – pozitīvs pie x no (-b/k; +∞),

y = kx + b – negatīvs x no (-∞; -b/k).

b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – pozitīvs pie x no (-∞; -b/k),

y = kx + b – negatīvs x (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b ir pozitīvs visā definīcijas jomā,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Lineāras funkcijas monotonitātes intervāli ir atkarīgi no koeficienta k.

k > 0, tāpēc y = kx + b palielinās visā definīcijas jomā,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Funkcija y = ax 2 + bx + c, tās īpašības un grafiks.

Funkciju y = ax 2 + bx + c (a, b, c ir konstantes, a ≠ 0) sauc kvadrātveida Vienkāršākajā gadījumā y = ax 2 (b = c = 0) grafiks ir izliekta līnija, kas iet caur izcelsmi. Līkne, kas kalpo kā funkcijas y = ax 2 grafiks, ir parabola. Katrai parabolai ir simetrijas ass, ko sauc parabolas ass. Tiek saukts parabolas un tās asi krustošanās punkts O parabolas virsotne.

Grafu var izveidot pēc šādas shēmas: 1) Atrodiet parabolas virsotnes koordinātas x 0 = -b/2a; y 0 = y(x 0). 2) Konstruējam vēl vairākus punktus, kas pieder pie parabolas, konstruējot varam izmantot parabolas simetrijas attiecībā pret taisni x = -b/2a. 3) Savienojiet norādītos punktus ar gludu līniju. Piemērs. Uzzīmējiet funkciju b = x 2 + 2x - 3. Risinājumi. Funkcijas grafiks ir parabola, kuras zari ir vērsti uz augšu. Parabolas virsotnes abscise x 0 = 2/(2 ∙1) = -1, tās ordinātas y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Tātad parabolas virsotne ir punkts (-1; -4). Sastādīsim vērtību tabulu vairākiem punktiem, kas atrodas pa labi no parabolas simetrijas ass - taisne x = -1. Funkciju īpašības.

Lineāra funkcija

Lineāra funkcija ir funkcija, ko var norādīt ar formulu y = kx + b,

kur x ir neatkarīgais mainīgais, k un b ir daži skaitļi.

Lineāras funkcijas grafiks ir taisna līnija.

Tiek izsaukts cipars k taisnas līnijas slīpums– funkcijas y = kx + b grafiks.

Ja k > 0, tad taisnes y = kx + b slīpuma leņķis pret asi X pikants; ja k< 0, то этот угол тупой.

Ja līniju slīpumi, kas ir divu lineāru funkciju grafiki, ir atšķirīgi, tad šīs līnijas krustojas. Un, ja leņķiskie koeficienti ir vienādi, tad līnijas ir paralēlas.

Funkcijas grafiks y =kx +b, kur k ≠ 0, ir taisne, kas ir paralēla taisnei y = kx.

Tiešā proporcionalitāte.

Tiešā proporcionalitāte ir funkcija, ko var norādīt ar formulu y = kx, kur x ir neatkarīgs mainīgais, k ir skaitlis, kas nav nulle. Tiek izsaukts cipars k tiešās proporcionalitātes koeficients.

Tiešās proporcionalitātes grafiks ir taisne, kas iet caur koordinātu sākumpunktu (sk. attēlu).

Tiešā proporcionalitāte ir īpašs lineāras funkcijas gadījums.

Funkciju īpašībasy =kx:

Apgrieztā proporcionalitāte

Apgrieztā proporcionalitāte sauc par funkciju, ko var norādīt ar formulu:

k
y = -
x

Kur x ir neatkarīgais mainīgais, un k– skaitlis, kas nav nulle.

Apgrieztās proporcionalitātes grafiks ir līkne, ko sauc hiperbola(skat. attēlu).

Līknei, kas ir šīs funkcijas grafiks, ass x Un y darbojas kā asimptoti. Asimptote- šī ir taisne, kurai tuvojas līknes punkti, kad tie attālinās līdz bezgalībai.

k
Funkciju īpašībasy = -:
x

Apsveriet funkciju y=k/y. Šīs funkcijas grafiks ir līnija, ko matemātikā sauc par hiperbolu. Hiperbolas vispārējais skats ir parādīts attēlā zemāk. (Grafikā parādīta funkcija y ir vienāda ar k dalīta ar x, kurai k ir vienāds ar vienu.)

Redzams, ka grafiks sastāv no divām daļām. Šīs daļas sauc par hiperbolas zariem. Ir arī vērts atzīmēt, ka katrs hiperbolas atzars tuvojas vienā no virzieniem tuvāk un tuvāk koordinātu asīm. Koordinātu asis šajā gadījumā sauc par asimptotēm.

Parasti visas taisnes, kurām funkcijas grafiks bezgalīgi tuvojas, bet nesasniedz tās, sauc par asimptotiem. Hiperbolai, tāpat kā parabolai, ir simetrijas asis. Iepriekš attēlā parādītajai hiperbolai šī ir līnija y=x.

Tagad apskatīsim divus izplatītākos hiperbolu gadījumus. Funkcijas y = k/x grafiks, ja k ≠0, būs hiperbola, kuras atzari atrodas vai nu pirmajā un trešajā koordinātu leņķī, ja k>0, vai arī otrajā un ceturtajā koordinātu leņķī, par k<0.

Funkcijas y = k/x pamatīpašības, ja k>0

Funkcijas y = k/x grafiks, ja k>0

5. y>0 pie x>0; y6. Funkcija samazinās gan intervālā (-∞;0), gan intervālā (0;+∞).

10. Funkcijas vērtību diapazons ir divi atvērti intervāli (-∞;0) un (0;+∞).

Funkcijas y = k/x pamatīpašības, ja k<0

Funkcijas y = k/x grafiks pie k<0

1. Punkts (0;0) ir hiperbolas simetrijas centrs.

2. Koordinātu asis - hiperbolas asimptotes.

4. Funkcijas definīcijas domēns ir visi x, izņemot x=0.

5. y>0 pie x0.

6. Funkcija palielinās gan uz intervāla (-∞;0), gan uz intervāla (0;+∞).

7. Funkcija nav ierobežota ne no apakšas, ne no augšas.

8. Funkcijai nav ne maksimālās, ne minimālās vērtības.

9. Funkcija ir nepārtraukta intervālā (-∞;0) un intervālā (0;+∞). Ir atstarpe pie x=0.