Atšķirības zīmes parakstīšanas metode. Pirmās kārtas diferenciālvienādojumi. Risinājumu piemēri. Diferenciālvienādojumi ar atdalāmiem mainīgajiem Pamatfunkciju apkopošana

Vispirms nedaudz parunāsim par problēmas formulējumu vispārīgā formā un pēc tam pāriesim pie integrācijas ar aizstāšanu piemēriem. Pieņemsim, ka mums ir noteikts integrālis $\int g(x) \; dx$. Taču integrāļu tabulā nav vajadzīgās formulas, un nav iespējams sadalīt doto integrāli vairākos tabulu veidos (t.i., tiek izslēgta tiešā integrācija). Tomēr problēma tiks atrisināta, ja mums izdosies atrast noteiktu aizstāšanu $u=\varphi(x)$, kas samazinās mūsu integrāli $\int g(x) \; dx$ uz kādu tabulu integrāli $\int f(u) \; du=F(u)+C$. Pēc formulas $\int f(u)\; du=F(u)+C$ viss, kas mums jādara, ir atgriezt mainīgo $x$. Formāli to var uzrakstīt šādi:

$$\int g(x)\; dx=|u=\varphi(x)|=\int f(u) \; du=F(u)+C=F(\varphi(x))+C.$$

Problēma ir, kā izvēlēties šādu aizstāšanu $u$. Lai to izdarītu, jums būs nepieciešamas zināšanas, pirmkārt, par atvasinājumu tabulu un spēju to izmantot, lai atšķirtu sarežģītas funkcijas, un, otrkārt, par nenoteiktu integrāļu tabulu. Turklāt mums ļoti būs nepieciešama formula, kuru es pierakstīšu zemāk. Ja $y=f(x)$, tad:

\begin(equation)dy=y"dx\end(vienādojums)

Tie. kādas funkcijas diferenciālis ir vienāds ar šīs funkcijas atvasinājumu, kas reizināts ar neatkarīgā mainīgā diferenciāli. Šis noteikums ir ļoti svarīgs, un tieši šis noteikums ļaus jums izmantot aizstāšanas metodi. Šeit mēs norādīsim dažus īpašus gadījumus, kas iegūti no formulas (1). Lai $y=x+C$, kur $C$ ir noteikta konstante (vienkāršāk sakot, skaitlis). Pēc tam formulā (1) aizstājot izteiksmi $x+C$, nevis $y$, iegūstam sekojošo:

$$ d(x+C)=(x+C)" dx $$

Tā kā $(x+C)"=x"+C"=1+0=1$, iepriekš minētā formula kļūs par:

$$ d(x+C)=(x+C)" dx=1\cdot dx=dx.$$

Iegūto rezultātu rakstīsim atsevišķi, t.i.

\begin(vienādojums)dx=d(x+C)\end(vienādojums)

Iegūtā formula nozīmē, ka konstantes pievienošana zem diferenciāļa nemaina šo diferenciāli, t.i. $dx=d(x+10)$, $dx=d(x-587)$ un tā tālāk.

Apskatīsim vēl vienu īpašu gadījumu formulai (1). Ļaujiet $y=Cx$, kur $C$ atkal ir kāda konstante. Atradīsim šīs funkcijas diferenciāli, formulā (1) aizstājot izteiksmi $Cx$, nevis $y$:

$$ d(Cx)=(Cx)"dx $$

Tā kā $(Cx)"=C\cdot (x)"=C\cdot 1=C$, tad iepriekš minētā formula $d(Cx)=(Cx)"dx$ kļūs: $d(Cx)=Cdx $ Ja abas šīs formulas puses sadalām ar $C$ (pieņemot, ka $C\neq 0$), iegūstam $\frac(d(Cx))(C)=dx$. Šo rezultātu var pārrakstīt nedaudz citā formā. :

\begin(equation)dx=\frac(1)(C)\cdot d(Cx)\;\;\;(C\neq 0)\end(vienādojums)

Rezultātā iegūtā formula liek domāt, ka, lai reizinātu izteiksmi zem diferenciāļa ar kādu konstanti, kas nav nulle, ir jāievieš atbilstošs reizinātājs, kas kompensē šādu reizināšanu. Piemēram, $dx=\frac(1)(5) d(5x)$, $dx=-\frac(1)(19) d(-19x)$.

Piemēros Nr. 1 un Nr. 2 formulas (2) un (3) tiks aplūkotas detalizēti.

Piezīme par formulām

Šajā tēmā tiks izmantotas gan formulas 1-3, gan formulas no nenoteikto integrāļu tabulas, kurām arī ir savi skaitļi. Lai izvairītos no neskaidrībām, vienosimies par sekojošo: ja tēmā parādās teksts "izmantojiet formulu Nr. 1", tad tas burtiski nozīmē: "izmantojiet formulu Nr. 1, atrodas šajā lapā". Ja mums ir nepieciešama formula no integrāļu tabulas, tad mēs to norādīsim katru reizi atsevišķi. Piemēram, šādi: "mēs izmantojam formulu Nr. 1 no integrāļu tabulas."

Un vēl viena neliela piezīme

Pirms sākat strādāt ar piemēriem, ieteicams iepazīties ar materiālu, kas sniegts iepriekšējās tēmās, kas veltītas nenoteikta integrāļa jēdzienam un. Materiāla izklāsts šajā tēmā ir balstīts uz minētajās tēmās sniegto informāciju.

Piemērs Nr.1

Atrodiet $\int \frac(dx)(x+4)$.

Ja mēs pievēršamies , mēs nevaram atrast formulu, kas precīzi atbilst integrālam $\int \frac(dx)(x+4)$. Vistuvāk šim integrālim ir integrāļu tabulas formula Nr.2, t.i. $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$. Problēma ir šāda: formula $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$ pieņem, ka integrālī $\int \frac(du)(u)$ izteiksmes saucējā un zem diferenciāļa ir jābūt vienādiem (abiem ir vienāds burts $u$). Mūsu gadījumā $\int \frac(dx)(x+4)$ burts $x$ atrodas zem diferenciāļa, un izteiksme $x+4$ atrodas saucējā, t.i. Ir skaidra neatbilstība tabulas formulai. Mēģināsim "pielāgot" mūsu integrāli tabulai. Kas notiks, ja diferenciāli aizstājam ar $x+4$, nevis $x$? Lai atbildētu uz šo jautājumu, izmantosim , aizstājot izteiksmi $x+4$, nevis $y$:

$$ d(x+4)=(x+4)"dx $$

Tā kā $(x+4)"=x"+(4)"=1+0=1$, tad vienādība $ d(x+4)=(x+4)"dx $ kļūst:

$$ d(x+4)=1\cdot dx=dx $$

Tātad $dx=d(x+4)$. Godīgi sakot, tādu pašu rezultātu varēja iegūt, vienkārši aizstājot skaitli $4$ nemainīgā $C$ vietā. Nākotnē mēs to darīsim, bet pirmo reizi detalizēti izskatījām vienādības $dx=d(x+4)$ iegūšanas procedūru. Bet ko mums dod vienādība $dx=d(x+4)$?

Un tas dod mums šādu secinājumu: ja $dx=d(x+4)$, tad integrālī $\int \frac(dx)(x+4)$ $dx$ vietā varam aizstāt $d(x +4)$ , un rezultātā integrālis nemainīsies:

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)$$

Šo transformāciju veicām tikai tāpēc, lai iegūtais integrālis pilnībā atbilstu tabulas formulai $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$. Lai šī atbilstība būtu pilnīgi skaidra, aizstāsim izteiksmi $x+4$ ar burtu $u$ (t.i. aizstāšana$u=x+4$):

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)=|u=x+4|=\int \frac(du)(u )=\ln|u|+C.$$

Patiesībā problēma jau ir atrisināta. Atliek tikai atgriezt mainīgo $x$. Atceroties, ka $u=x+4$, iegūstam: $\ln|u|+C=\ln|x+4|+C$. Pilns risinājums bez paskaidrojumiem izskatās šādi:

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)=|u=x+4|=\int \frac(du)(u )=\ln|u|+C=\ln|x+4|+C.$$

Atbilde: $\int \frac(dx)(x+4)=\ln|x+4|+C$.

Piemērs Nr.2

Atrodiet $\int e^(3x) dx$.

Ja pievēršamies nenoteikto integrāļu tabulai, mēs nevaram atrast formulu, kas precīzi atbilst integrālim $\int e^(3x) dx$. Formula Nr.4 no integrāļu tabulas ir vistuvāk šim integrālim, t.i. $\int e^u du=e^u+C$. Problēma ir šāda: formula $\int e^u du=e^u+C$ pieņem, ka integrālī $\int e^u du$ izteiksmēm $e$ pakāpēs un zem diferenciāļa ir jābūt tas pats (abos ir viens burts $u$). Mūsu gadījumā $\int e^(3x) dx$ zem diferenciāļa ir burts $x$, bet pakāpē $e$ ir izteiksme $3x$, t.i. Ir skaidra neatbilstība tabulas formulai. Mēģināsim "pielāgot" mūsu integrāli tabulai. Kas notiek, ja diferenciāli aizstājat ar $3x$, nevis $x$? Lai atbildētu uz šo jautājumu, izmantosim , aizstājot izteiksmi $3x$, nevis $y$:

$$ d(3x)=(3x)"dx $$

Tā kā $(3x)"=3\cdot (x)"=3\cdot 1=3$, tad vienādība $d(3x)=(3x)"dx$ kļūst:

$$ d(3x)=3dx $$

Sadalot abas iegūtās vienādības puses ar $3$, iegūsim: $\frac(d(3x))(3)=dx$, t.i. $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$. Faktiski vienādību $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ var iegūt, konstantes $C$ vietā vienkārši aizstājot skaitli $3$. Nākotnē mēs to darīsim, taču pirmo reizi detalizēti izskatījām vienādības $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ iegūšanas procedūru.

Ko mums deva iegūtā vienādība $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$? Tas nozīmē, ka $dx$ vietā $\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ var tikt aizstāts ar integrāli $\int e^(3x) dx$, un integrālis nemainīsies:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x) $$

Izņemsim no integrālzīmes konstanti $\frac(1)(3)$ un aizstāsim izteiksmi $3x$ ar burtu $u$ (t.i., izveidojam aizstāšana$u=3x$), pēc kuras mēs izmantojam tabulas formulu $\int e^u du=e^u+C$:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x)=\frac(1)(3)\cdot \int e^(3x) d(3x)=|u=3x|=\frac(1)(3)\cdot\int e^u du=\frac(1)(3)\cdot e^u+C.$$

Tāpat kā iepriekšējā piemērā, mums ir jāatgriež sākotnējais mainīgais $x$. Tā kā $u=3x$, tad $\frac(1)(3)\cdot e^u+C=\frac(1)(3)\cdot e^(3x)+C$. Pilns risinājums bez komentāriem izskatās šādi:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x)=\frac(1)(3)\cdot \int e^(3x) d(3x)=|u=3x|=\frac(1)(3)\cdot\int e^u du=\frac(1)(3)\cdot e^u+C=\frac(1)( 3)\cdot e^(3x)+C.$$

Atbilde: $ \int e^(3x) dx= \frac(1)(3)\cdot e^(3x)+C$.

Piemērs Nr.3

Atrodiet $\int (3x+2)^2 dx$.

Lai atrastu šo integrāli, mēs izmantojam divas metodes. Pirmais veids ir atvērt iekavas un tieši integrēt. Otrā metode ir aizstāšanas metodes izmantošana.

Pirmais veids

Tā kā $(3x+2)^2=9x^2+12x+4$, tad $\int (3x+2)^2 dx=\int (9x^2+12x+4)dx$. Integrāli $\int (9x^2+12x+4)dx$ attēlojot kā trīs integrāļu summu un izņemot konstantes no atbilstošo integrāļu zīmēm, iegūstam:

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\ cdot \int 1 dx $$

Lai atrastu $\int x^2 dx$, integrāļu tabulas formulā Nr. 1 aizstājam $u=x$ un $\alpha=2$: $\int x^2 dx=\frac(x^(2 +1))(2+1)+C=\frac(x^3)(3)+C$. Līdzīgi, aizstājot $u=x$ un $\alpha=1$ tajā pašā formulā no tabulas, mēs iegūsim: $\int x^1 dx=\frac(x^(1+1))(1+1 )+ C=\frac(x^2)(2)+C$. Tā kā $\int 1 dx=x+C$, tad:

9 USD\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx=9\cdot\frac(x^3)(3)+12\cdot \frac(x^ 2)(2)+4\cdot x+C=3x^3+6x^2+4x+C. $$

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\ cdot \int 1 dx=\\ =9\cdot\frac(x^3)(3)+12\cdot \frac(x^2)(2)+4\cdot x+C=3x^3+6x^ 2+4x+C. $$

Otrais veids

Mēs neatvērsim iekavas. Mēģināsim panākt, lai izteiksme $3x+2$ parādās zem diferenciāļa, nevis $x$. Tas ļaus ievadīt jaunu mainīgo un lietot izklājlapas formulu. Mums ir nepieciešams, lai faktors $3$ parādās zem diferenciāļa, tāpēc, aizstājot vērtību $C=3$, mēs iegūstam $d(x)=\frac(1)(3)d(3x)$. Turklāt zem diferenciāļa trūkst termina $2$. Saskaņā ar konstantes pievienošanu zem diferenciāļa zīmes šis diferenciālis nemainās, t.i. $\frac(1)(3)d(3x)=\frac(1)(3)d(3x+2)$. No nosacījumiem $d(x)=\frac(1)(3)d(3x)$ un $\frac(1)(3)d(3x)=\frac(1)(3)d(3x+2 ) $ mums ir: $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$.

Ļaujiet man atzīmēt, ka vienādību $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$ var iegūt arī citā veidā:

$$ d(3x+2)=(3x+2)"dx=((3x)"+(2)")dx=(3\cdot x"+0)dx=3\cdot 1 dx=3dx;\ \dx=\frac(1)(3)d(3x+2). $$

Mēs izmantojam iegūto vienādību $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$, aizstājot izteiksmi $\frac(1)(3)d(3x) integrālā $\int (3x+2). )^2 dx$ +2)$, nevis $dx$. Kā iegūtā integrāļa zīmi izņemsim konstanti $\frac(1)(3)$:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\int (3x+2)^2 \cdot \frac(1)(3)d(3x+2)=\frac(1)(3)\cdot \ int (3x+2)^2 d(3x+2). $$

Tālākais risinājums ir veikt aizstāšanu $u=3x+2$ un pielietot formulu Nr.1 no integrāļu tabulas:

$$ \frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\frac(1)(3)\cdot \int u^ 2 du=\frac(1)(3)\cdot \frac(u^(2+1))(2+1)+C=\frac(u^3)(9)+C. $$

Atgriežot izteiksmi $3x+2$, nevis $u$, mēs iegūstam:

$$ \frac(u^3)(9)+C=\frac((3x+2)^3)(9)+C. $$

Pilns risinājums bez paskaidrojumiem ir:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\\ = \frac(1)(3)\cdot \int u^2 du=\frac(u^3)(9)+C=\frac((3x+2)^3)(9)+C. $$

Es paredzu dažus jautājumus, tāpēc mēģināšu tos formulēt un sniegt atbildes.

Jautājums Nr.1

Kaut kas šeit nesakrīt. Kad mēs atrisinājām pirmajā veidā, mēs saņēmām $\int (9x^2+12x+4)dx=3x^3+6x^2+4x+C$. Atrisinot otro ceļu, atbilde kļuva: $\int (3x+2)^2 dx=\frac((3x+2)^3)(9)+C$. Tomēr nav iespējams pāriet no otrās atbildes uz pirmo! Ja mēs atveram iekavas, mēs iegūstam sekojošo:

$$ \frac((3x+2)^3)(9)+C=\frac(27x^3+54x^2+36x+8)(9)+C=\frac(27x^3)(9) +\frac(54x^2)(9)+\frac(36x)(9)+\frac(8)(9)+C=3x^3+6x^2+4x+\frac(8)(9)+ C. $$

Atbildes nesakrīt! No kurienes radās papildu daļa $\frac(8)(9)$?

Šis jautājums liek domāt, ka jums vajadzētu atsaukties uz iepriekšējām tēmām. Izlasiet tēmu par nenoteiktā integrāļa jēdzienu (īpašu uzmanību pievēršot jautājumam Nr. 2 lapas beigās) un tiešo integrāciju (jāpievērš uzmanība jautājumam Nr. 4). Šīs tēmas detalizēti aptver šo jautājumu. Īsāk sakot, integrālo konstanti $C$ var attēlot dažādās formās. Piemēram, mūsu gadījumā, mainot $C_1=C+\frac(8)(9)$, mēs iegūstam:

$ 3x^3+6x^2+4x+\frac(8)(9)+C=3x^3+6x^2+4x+C_1. $$

Tāpēc nav nekādu pretrunu, atbildi var uzrakstīt vai nu formā $3x^3+6x^2+4x+C$, vai arī formā $\frac((3x+2)^3)(9)+; C$.

Jautājums Nr.2

Kāpēc bija jālemj otrā veidā? Tas ir nevajadzīgs sarežģījums! Kāpēc izmantot virkni nevajadzīgu formulu, lai atrastu atbildi, kas tiek iegūta pāris soļos, izmantojot pirmo metodi? Vajadzēja tikai atvērt kronšteinus, izmantojot skolas formulu.

Pirmkārt, tas nav tik sarežģīts. Kad sapratīsiet aizstāšanas metodi, jūs sāksit risināt līdzīgus piemērus vienā rindā: $\int (3x+2)^2 dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d (3x+2)=\frac((3x+2)^3)(9)+C$. Tomēr aplūkosim šo piemēru savādāk. Iedomājieties, ka jums ir jāaprēķina nevis $\int (3x+2)^2 dx$, bet gan $\int (3x+2)^(200) dx$. Risinot otrā veidā, tikai nedaudz jāpielāgo grādi un atbilde būs gatava:

$$ \int (3x+2)^(200) dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^(200) d(3x+2)=|u=3x+2| =\\ =\frac(1)(3)\cdot \int u^(200) du=\frac(u^(201))(603)+C=\frac((3x+2)^(201) )(603)+C. $$

Tagad iedomājieties, ka tas pats integrālis $\int (3x+2)^(200) dx$ ir jāņem pirmajā veidā. Vispirms jums būs jāatver iekava $(3x+2)^(200)$, tādējādi iegūstot divsimt un vienu terminu! Un tad arī katrs termins būs jāintegrē. Tāpēc secinājums šeit ir šāds: lielām pilnvarām tiešās integrācijas metode nav piemērota. Otrā metode, neskatoties uz šķietamo sarežģītību, ir praktiskāka.

Piemērs Nr.4

Atrodiet $\int \sin2x dx$.

Mēs atrisināsim šo piemēru trīs dažādos veidos.

Pirmais veids

Apskatīsim integrāļu tabulu. Formula Nr.5 no šīs tabulas ir vistuvāk mūsu piemēram, t.i. $\int \sin u du=-\cos u+C$. Lai iekļautu integrāli $\int \sin2x dx$ formā $\int \sin u du$, mēs izmantojam , ieviešot koeficientu $2$ zem diferenciālzīmes. Faktiski mēs to jau izdarījām piemērā Nr. 2, tāpēc varam iztikt bez detalizētiem komentāriem:

$$ \int \sin 2x dx=\left|dx=\frac(1)(2)\cdot d(2x) \right|=\int \sin 2x \cdot\frac(1)(2)d(2x) )=\\ =\frac(1)(2) \int \sin 2x d(2x)=|u=2x|=\frac(1)(2) \int \sin u du=-\frac(1) (2)\cos u+C=-\frac(1)(2)\cos 2x+C. $$

Atbilde: $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2)\cos 2x+C$.

Otrais veids

Lai atrisinātu otro metodi, mēs izmantojam vienkāršu trigonometrisko formulu: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Aizstāsim izteiksmi $2 \sin x \cos x$, nevis $\sin 2x$, un no integrālzīmes izņemsim konstanti $2$:

Kāds ir šādas transformācijas mērķis? Tabulā nav integrāļa $\int \sin x\cos x dx$, taču mēs varam nedaudz pārveidot $\int \sin x\cos x dx$, lai tas vairāk izskatītos pēc tabulas. Lai to izdarītu, atrodiet $d(\cos x)$, izmantojot . Aizstāsim $\cos x$, nevis $y$ minētajā formulā:

$$ d(\cos x)=(\cos x)"dx=-\sin x dx. $$

Tā kā $d(\cos x)=-\sin x dx$, tad $\sin x dx=-d(\cos x)$. Tā kā $\sin x dx=-d(\cos x)$, mēs varam aizstāt $-d(\cos x)$ ar $\int \sin x\cos x dx$, nevis $\sin x dx$. Integrāļa vērtība nemainīsies:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \cos x \cdot (-d(\cos x))=-2\int\cos x d(\cos x) $$

Citiem vārdiem sakot, mēs pievienots zem diferenciāļa$\cos x$. Tagad, veicot aizstāšanu $u=\cos x$, mēs varam pielietot formulu Nr. 1 no integrāļu tabulas:

$$ -2\int\cos x d(\cos x)=|u=\cos x|=-2\int u du=-2\cdot \frac(u^2)(2)+C=-u^ 2+C=-\cos^2x+C. $$

Atbilde ir saņemta. Parasti burts $u$ nav jāievada. Iegūstot pietiekamas prasmes šāda veida integrāļu risināšanā, izzudīs nepieciešamība pēc papildu apzīmējumiem. Pilns risinājums bez paskaidrojumiem ir:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\sin x dx=-d(\cos x)|=-2\int\cos x d(\cos x)= |u=\cos x|=\\ =-2\int u du=-2\cdot \frac(u^2)(2)+C=-u^2+C=-\cos^2x+C. $$

Atbilde: $\int \sin2x dx=-\cos^2x+C$.

Trešais ceļš

Lai atrisinātu trešajā veidā, mēs izmantojam to pašu trigonometrisko formulu: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Aizstāsim izteiksmi $2 \sin x \cos x$, nevis $\sin 2x$, un no integrālzīmes izņemsim konstanti $2$:

$$ \int \sin 2x dx=\int 2 \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx $$

Atradīsim $d(\sin x)$, izmantojot . Aizstāsim $\sin x$, nevis $y$ minētajā formulā:

$$ d(\sin x)=(\sin x)"dx=\cos x dx. $$

Tātad $d(\sin x)=\cos x dx$. No iegūtās vienādības izriet, ka mēs varam aizstāt $d(\sin x)$ ar $\int \sin x\cos x dx$, nevis $\cos x dx$. Integrāļa vērtība nemainīsies:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x) $$

Citiem vārdiem sakot, mēs pievienots zem diferenciāļa$\sin x$. Tagad, veicot aizstāšanu $u=\sin x$, varam pielietot formulu Nr.1 no integrāļu tabulas:

$2\int\sin x d(\sin x)=|u=\sin x|=2\int u du=2\cdot \frac(u^2)(2)+C=u^2+C= \sin^2x+C. $$

Atbilde ir saņemta. Pilns risinājums bez paskaidrojumiem ir:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\cos x dx=d(\sin x)|=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x)=|u=\sin x|=\\ =2\int u du=2\cdot \frac(u^2)(2)+C=u^2+C=\sin^2x+C. $$

Atbilde: $\int \sin2x dx=\sin^2x+C$.

Iespējams, ka pēc šī piemēra, īpaši trīs atšķirīgo (no pirmā acu uzmetiena) atbilžu izlasīšanas, radīsies jautājums. Apsvērsim to.

3. jautājums

Pagaidiet. Atbildēm jābūt vienādām, taču tās ir atšķirīgas! Piemērā Nr.3 atšķirība bija tikai konstantē $\frac(8)(9)$, bet šeit atbildes pat pēc izskata nav līdzīgas: $-\frac(1)(2)\cos 2x+C $, $-\ cos^2x+C$, $\sin^2x+C$. Vai tiešām atkal viss ir par integrālo konstanti $C$?

Jā, tieši šī konstante ir svarīga. Reducēsim visas atbildes uz vienu formu, pēc kuras šī konstantu atšķirība kļūs pilnīgi skaidra. Sāksim ar $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$. Mēs izmantojam vienkāršu trigonometrisko vienādību: $\cos 2x=1-2\sin^2 x$. Tad izteiksme $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ kļūs:

$$ -\frac(1)(2)\cos 2x+C=-\frac(1)(2)\cdot(1-2\sin^2 x)+C=-\frac(1)(2) +\frac(1)(2)\cdot 2\sin^2x+C=\sin^2 x+C-\frac(1)(2). $$

Tagad strādāsim ar otro atbildi, t.i. $-\cos^2x+C$. Tā kā $\cos^2 x=1-\sin^2x$, tad:

$$ -\cos^2x+C=-(1-\sin^2x)+C=-1+\sin^2x+C=\sin^2x+C-1 $$

Trīs atbildes, ko saņēmām 4. piemērā, bija: $\sin^2 x+C-\frac(1)(2)$, $\sin^2x+C-1$, $\sin^2x+ C$. . Manuprāt, tagad ir skaidrs, ka tie atšķiras viens no otra tikai ar noteiktu skaitu. Tie. matērija atkal izrādījās neatņemama konstante. Kā redzat, neliela atšķirība integrālajā konstantē principā var ievērojami mainīt atbildes izskatu, taču tas netraucēs atbildei būt pareizai. Ko es gribu saprast: ja problēmu kolekcijā redzat atbildi, kas nesakrīt ar jūsējo, tas nebūt nenozīmē, ka jūsu atbilde ir nepareiza. Iespējams, jūs vienkārši nonācāt pie atbildes citā veidā, nekā problēmas autors bija iecerējis. Un pārbaude, kuras pamatā ir nenoteiktā integrāļa definīcija, palīdzēs jums pārbaudīt atbildes pareizību. Piemēram, ja integrālis $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ ir atrasts pareizi, tad vienādība $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+ C\right)"=\sin 2x$. Tātad pārbaudīsim, vai ir taisnība, ka $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)$ atvasinājums ir vienāds ar integrandu no $\sin 2x $:

$$ \left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)"=\left(-\frac(1)(2)\cos 2x\right)"+C"=-\frac (1)(2)\cdot(\cos 2x)"+0=\\ =-\frac(1)(2)\cdot (-\sin 2x)\cdot (2x)"=-\frac(1) (2)\cdot (-\sin 2x)\cdot 2=\sin 2x $$.

Pārbaude tika veiksmīgi pabeigta. Vienādība $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)"=\sin 2x$ ir izpildīta, tāpēc formula $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2 )\cos 2x+C$ ir pareizs. Piemērā Nr.5 mēs arī pārbaudīsim rezultātu, lai pārliecinātos par tā pareizību. Pārbaudes klātbūtne nav obligāta, lai gan dažos standarta aprēķinos un testos ir jāpārbauda rezultāts.

Diferenciālvienādojums

Diferenciālvienādojums ir vienādojums, kurā ir saistīti mainīgie, nemainīgie koeficienti, vēlamā funkcija un jebkuras kārtas funkcijas atvasinājumi. Šajā gadījumā vienādojumā esošās funkcijas atvasinājuma maksimālā secība nosaka visa diferenciālvienādojuma secību. Lai atrisinātu diferenciālvienādojumu, ir jānosaka vēlamā funkcija kā atkarība no mainīgā.

Mūsdienu datori ļauj skaitliski atrisināt vissarežģītākos diferenciālvienādojumus. Analītiska risinājuma atrašana ir grūts uzdevums. Ir daudz vienādojumu veidu, un katram teorija piedāvā savas risināšanas metodes. Tīmekļa vietnes vietnē diferenciālvienādojums var aprēķināt tiešsaistē, un gandrīz jebkura veida un secības: lineāri diferenciālvienādojumi, ar atdalāmiem vai neatdalāmiem mainīgajiem, Bernulli vienādojumi utt. Tajā pašā laikā jums ir iespēja atrisināt vienādojumus vispārīgā formā vai iegūt konkrētu risinājumu, kas atbilst jūsu ievadītajiem sākotnējiem (robežnoteikumiem). Mēs piedāvājam risinājumam aizpildīt divus laukus: pašu vienādojumu un, ja nepieciešams, sākotnējos nosacījumus (Košī problēma) - tas ir, informāciju par vēlamās funkcijas robežnosacījumiem. Galu galā, kā jūs zināt, diferenciālvienādojumiem ir bezgalīgs skaits risinājumu, jo atbilde satur konstantes, kas var iegūt patvaļīgu vērtību. Ņemot vērā Košī problēmu, mēs izvēlamies konkrētus no visa risinājumu kopuma.

Pieņemsim, ka mums jāatrod integrālis

kur integrandi ir nepārtraukti. Piemērojot aizstāšanu
, saņemam

Iegūtā formula ir diferenciālzīmes summēšanas metodes pamatā. Mēs parādīsim šo metodi, izmantojot integrāļu aprēķināšanas piemērus.

Piemēram.

Atrodiet integrāli s:

Apzīmēsim
, Tad

Līdz ar to

Apzīmēsim
, integrālis iegūst formu

Integrandu transformācijas, kas veiktas iepriekšminētajos integrāļos, sauc par subsumēšanu zem diferenciālzīmes.

Tātad: Ja integrandu var attēlot kā noteiktas funkcijas un šīs funkcijas atvasinājuma vai šīs funkcijas starpargumenta reizinājumu, tad, summējot atvasinājumu zem diferenciālzīmes, integrālis tiek aprēķināts tieši.

Integrācija pa daļām.

Formulai integrācijai pa daļām ir forma

Formulas derīgums izriet no tā, ka

Integrējot abas puses, mēs iegūstam

Kur

Integrācijas pēc daļām formula samazina integrāļa aprēķinu
integrāļa aprēķinam
. Integrācijas pa daļām metodi izmanto, ja integrands attēlo divu diferencējamu funkciju reizinājumu, savukārt vienas funkcijas atvasinājums ir vienkāršāks attiecībā pret pašu doto funkciju.

Piemēram:

Mēs ticam
Un

Tad
Un

tātad

Mēs ticam
Un

Tad
Un

tātad

Divreiz pielietosim integrācijas pa daļām formulu

Vispirms liksim
Un

Tad
Un

Aizstājot iegūtās izteiksmes, kas mums būs

Tālāk mēs pieņemam
Un

Tad
Un

mēs ticam
Un

Tad
Un

Līdz ar to

Labajā pusē esošajam integrālim atkal piemērojam integrācijas pa daļām formulu

Mēs ticam
Un

Tad
Un

Formulā aizstājot atrastās vērtības, mums būs

Tādējādi mēs iegūstam algebrisko vienādojumu attiecībā pret sākotnējo integrāli

Kur

Dažu funkciju integrāļi, kas satur kvadrātveida trinomu

Apskatīsim formas integrāļus

Lai aprēķinātu integrāļus, kas satur kvadrātveida trinomu, rīkojieties šādi:

1. Izvēlieties pilnu kvadrātu no saucējā trinoma 2. Nozīmēt

3. Aprēķiniet integrāļus, izmantojot vienu no formulām (12)-(16) tieši no integrāļu tabulas

Piemēram:

Apskatīsim formas integrāļus

Lai aprēķinātu integrāļus, kuru saucējā ir kvadrātveida trinomāls un skaitītājā ir pirmās pakāpes binomiāls, tiek izmantotas šādas transformācijas:

1. Skaitītājā no binoma ir izolēts saucējā kvadrātveida trinoma atvasinājums.

Šādi iegūtais integrālis tiek attēlots kā divu integrāļu summa, no kuriem pirmo aprēķina, summējot diferenciālzīmi; otro - šā punkta sākumā norādītajā veidā

Piemēram:

Racionālu funkciju integrācija

No augstākās algebras ir zināms, ka jebkuru racionālu funkciju var attēlot kā racionālu daļu, tas ir, divu polinomu attiecību

pareizi , ja polinoma pakāpe skaitītājā ir mazāka par polinoma pakāpi saucējā

Racionālo daļu sauc nepareizi , ja polinoma pakāpe skaitītājā ir lielāka vai vienāda ar polinoma pakāpi saucējā

Ja daļa ir nepareiza, dalot skaitītāju ar saucēju saskaņā ar polinomu dalīšanas noteikumu, jūs varat attēlot šo daļskaitli kā polinoma un pareizas daļas summu.

Šeit
- polinoms, pareiza frakcija

Tā kā polinomu integrēšana tiek veikta tieši un nesagādā grūtības, tad turpmāk visas mūsu diskusijas par racionālo funkciju integrāciju attieksies uz pareizām racionālajām daļām.

Veidlapas pareizās daļas:

Tos sauc par vienkāršām daļām.

Mēs jau esam apsvēruši I, II, III tipa vienkāršo frakciju integrāciju iepriekš.

Teorēma

Ja tiek ņemts vērā pareizas racionālās daļas saucējs:

tad daļa var attēlot kā vienkāršu daļskaitļu summu

Lai noteiktu koeficientus
Tiek izmantota nenoteikto koeficientu metode. Metodes būtība ir šāda:

Racionālās daļas paplašināšanas labajā pusē mēs reducējam vienkāršākās daļas līdz kopsaucējam, kas ir polinoms
, pēc kura saucējs
vienādības kreisajā un labajā pusē mēs atmetam. Mēs iegūstam identitāti, kuras kreisajā pusē ir polinoms
, un labajā pusē ir polinoms, kas satur nenoteiktus koeficientus
. Pielīdzinot koeficientus vienādās pakāpēs izteiksmēs identitātes kreisajā un labajā pusē, iegūstam nepieciešamo koeficientu vienādojumu sistēmu
.

Piemēram:

Atrodiet integrāli

Integrands šajā gadījumā ir nepareiza daļa. Tāpēc vispirms mēs to uzrādīsim kā polinoma un pareizas daļskaitļa summu. Lai to izdarītu, mēs sadalām polinomu
uz polinomu: