Pēc segmenta izsaukt taisnas līnijas daļu, kas sastāv no visiem šīs līnijas punktiem, kas atrodas starp šiem diviem punktiem - tos sauc par segmenta galiem.

Apskatīsim pirmo piemēru. Ļaujiet noteiktu segmentu definēt ar diviem punktiem koordinātu plaknē. Šajā gadījumā mēs varam atrast tā garumu, izmantojot Pitagora teorēmu.

Tātad koordinātu sistēmā mēs uzzīmējam segmentu ar norādītajām tā galu koordinātēm(x1; y1) Un (x2; y2) . Uz ass X Un Y Zīmējiet perpendikulus no segmenta galiem. Atzīmēsim sarkanā krāsā segmentus, kas ir projekcijas no sākotnējā segmenta uz koordinātu ass. Pēc tam mēs pārnesam projekcijas segmentus paralēli segmentu galiem. Mēs iegūstam trīsstūri (taisnstūrveida). Šī trīsstūra hipotenūza būs pats segments AB, un tā kājas ir pārnestās projekcijas.

Aprēķināsim šo projekciju garumu. Tātad, uz asi Y projekcijas garums ir y2-y1 , un uz ass X projekcijas garums ir x2-x1 . Pielietosim Pitagora teorēmu: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . Šajā gadījumā |AB| ir segmenta garums.

Ja izmantojat šo diagrammu, lai aprēķinātu segmenta garumu, jums pat nav jāveido segments. Tagad aprēķināsim segmenta garumu ar koordinātām (1;3) Un (2;5) . Izmantojot Pitagora teorēmu, mēs iegūstam: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . Tas nozīmē, ka mūsu segmenta garums ir vienāds ar 5:1/2 .

Apsveriet šādu metodi segmenta garuma noteikšanai. Lai to izdarītu, mums ir jāzina divu punktu koordinātas kādā sistēmā. Apsvērsim šo iespēju, izmantojot divdimensiju Dekarta koordinātu sistēmu.

Tātad divdimensiju koordinātu sistēmā ir dotas segmenta galējo punktu koordinātas. Ja caur šiem punktiem velkam taisnas līnijas, tām jābūt perpendikulārām koordinātu asij, tad iegūstam taisnleņķa trīsstūri. Sākotnējais segments būs iegūtā trīsstūra hipotenūza. Trijstūra kājas veido segmentus, to garums ir vienāds ar hipotenūzas projekciju uz koordinātu asīm. Pamatojoties uz Pitagora teorēmu, secinām: lai atrastu dotā segmenta garumu, jāatrod projekciju garumi uz divām koordinātu asīm.

Atradīsim projekcijas garumus (X un Y) sākotnējais segments uz koordinātu asīm. Mēs tos aprēķinām, atrodot punktu koordinātu atšķirību pa atsevišķu asi: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .

Aprēķiniet segmenta garumu A , šim nolūkam mēs atrodam kvadrātsakni:

A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

Ja mūsu segments atrodas starp punktiem, kuru koordinātes 2;4 Un 4;1 , tad tā garums ir attiecīgi vienāds ar √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .

Kā iemācīties risināt problēmas analītiskajā ģeometrijā?
Tipiska problēma ar trīsstūri plaknē

Šī nodarbība ir izveidota par pieeju ekvatoram starp plaknes ģeometriju un telpas ģeometriju. Šobrīd ir nepieciešams sistematizēt uzkrāto informāciju un atbildēt uz ļoti svarīgu jautājumu: kā iemācīties risināt problēmas analītiskajā ģeometrijā? Grūtības ir tādas, ka jūs varat izdomāt bezgalīgi daudz problēmu ģeometrijā, un nevienā mācību grāmatā nebūs visu piemēru daudzuma un daudzveidības. Nav funkcijas atvasinājums ar pieciem diferenciācijas likumiem, tabulu un vairākiem paņēmieniem...

Ir risinājums! Par to, ka esmu izstrādājis kaut kādu grandiozu paņēmienu, skaļi nerunāšu, tomēr, manuprāt, aplūkojamai problēmai ir efektīva pieeja, kas ļauj pat pilnīgam manekenam sasniegt labus un izcilus rezultātus. Vismaz manā galvā ļoti skaidri izveidojās vispārējais ģeometrisko uzdevumu risināšanas algoritms.

KAS JUMS JĀZIN UN VAR IZDARĪT
lai veiksmīgi atrisinātu ģeometrijas uzdevumus?

No tā nevar izvairīties - lai nejauši nebāztu pogas ar degunu, jums ir jāapgūst analītiskās ģeometrijas pamati. Tāpēc, ja esat tikko sācis mācīties ģeometriju vai esat to pilnībā aizmirsis, lūdzu, sāciet ar nodarbību Manekenu vektori. Papildus vektoriem un darbībām ar tiem jums jāzina plaknes ģeometrijas pamatjēdzieni, jo īpaši, taisnes vienādojums plaknē Un . Telpas ģeometrija ir izklāstīta rakstos Plaknes vienādojums, Līnijas vienādojumi telpā, Pamatproblēmas uz taisnes un plaknes un dažas citas nodarbības. Liektās līnijas un otrās kārtas telpiskās virsmas nedaudz atšķiras, un ar tām nav tik daudz specifisku problēmu.

Pieņemsim, ka studentam jau ir pamatzināšanas un prasmes vienkāršāko analītiskās ģeometrijas uzdevumu risināšanā. Bet tas notiek tā: tu izlasi problēmas izklāstu, un... gribi visu aizvērt pavisam, iemest tālākajā stūrī un aizmirst kā sliktu sapni. Turklāt tas būtībā nav atkarīgs no jūsu kvalifikācijas līmeņa, ik pa laikam es pats sastopos ar uzdevumiem, kuriem risinājums nav acīmredzams. Ko darīt šādos gadījumos? Nav jābaidās no uzdevuma, kuru jūs nesaprotat!

Pirmkārt, jāinstalē - Vai tā ir “plakana” vai telpiska problēma? Piemēram, ja nosacījums ietver vektorus ar divām koordinātām, tad, protams, šī ir plaknes ģeometrija. Un, ja skolotājs pateicīgo klausītāju ielādēja ar piramīdu, tad tur viennozīmīgi ir telpas ģeometrija. Pirmā soļa rezultāti jau ir diezgan labi, jo mums izdevās nogriezt milzīgu daudzumu šim uzdevumam nevajadzīgas informācijas!

Otrkārt. Nosacījums parasti attiecas uz kādu ģeometrisku figūru. Patiešām, ejiet pa savas dzimtās universitātes gaiteņiem, un jūs redzēsit daudz satrauktu seju.

“Plakanie” uzdevumi, nemaz nerunājot par acīmredzamajiem punktiem un līnijām, vispopulārākā figūra ir trīsstūris. Mēs to analizēsim ļoti detalizēti. Tālāk seko paralelograms, un daudz retāk ir taisnstūris, kvadrāts, rombs, aplis un citas formas.

Telpiskajās problēmās var lidot tās pašas plakanas figūras + pašas plaknes un kopīgas trīsstūrveida piramīdas ar paralēlskaldņiem.

Otrais jautājums - Vai jūs zināt visu par šo figūru? Pieņemsim, ka nosacījums runā par vienādsānu trīsstūri, un jūs ļoti neskaidri atceraties, kāda veida trīsstūris tas ir. Atveram skolas mācību grāmatu un lasām par vienādsānu trīsstūri. Ko darīt... ārsts teica rombs, tas nozīmē rombs. Analītiskā ģeometrija ir analītiskā ģeometrija, bet problēmu atrisinās pašu figūru ģeometriskās īpašības, mums zināms no skolas mācību programmas. Ja jūs nezināt, kāda ir trijstūra leņķu summa, jūs varat ciest ilgu laiku.

Trešais. VIENMĒR mēģiniet sekot zīmējumam(uz melnraksta/pabeigtās kopijas/garīgi), pat ja nosacījums to neprasa. “Plakanās” problēmās Eiklīds pats lika paņemt lineālu un zīmuli - un ne tikai tāpēc, lai izprastu stāvokli, bet arī pašpārbaudes nolūkos. Šajā gadījumā visērtākā skala ir 1 vienība = 1 cm (2 piezīmjdatora šūnas). Nerunāsim par neuzmanīgiem studentiem un matemātiķiem, kas griežas savos kapos – tādos uzdevumos kļūdīties ir gandrīz neiespējami. Telpiskajiem uzdevumiem mēs veicam shematisku zīmējumu, kas arī palīdzēs analizēt stāvokli.

Zīmējums vai shematisks zīmējums bieži vien ļauj uzreiz redzēt veidu, kā atrisināt problēmu. Protams, lai to izdarītu, jums jāzina ģeometrijas pamati un jāsaprot ģeometrisko formu īpašības (skatiet iepriekšējo rindkopu).

Ceturtais. Risinājuma algoritma izstrāde. Daudzas ģeometrijas problēmas ir daudzpakāpju, tāpēc risinājumu un tā dizainu ir ļoti ērti sadalīt punktos. Bieži algoritms uzreiz nāk prātā pēc nosacījuma izlasīšanas vai zīmējuma pabeigšanas. Grūtību gadījumā sākam ar uzdevuma JAUTĀJUMU. Piemēram, saskaņā ar nosacījumu “jums ir jākonstruē taisna līnija...”. Šeit loģiskākais jautājums ir: "Ar ko pietiek zināt, lai izveidotu šo taisni?" Pieņemsim, "mēs zinām punktu, mums ir jāzina virziena vektors." Mēs uzdodam šādu jautājumu: “Kā atrast šo virziena vektoru? Kur?" utt.

Dažreiz ir "kļūda" - problēma nav atrisināta, un tas arī viss. Apstāšanās iemesli var būt šādi:

– Nopietns pamatzināšanu trūkums. Citiem vārdiem sakot, jūs nezināt un/vai neredzat kādu ļoti vienkāršu lietu.

– Ģeometrisko figūru īpašību nezināšana.

– Uzdevums bija grūts. Jā, tas notiek. Nav jēgas stundām ilgi tvaicēt un vākt asaras kabatlakatiņā. Lūdziet padomu savam skolotājam, kursa biedriem vai uzdodiet jautājumu forumā. Turklāt labāk ir konkretizēt tā apgalvojumu - par to risinājuma daļu, kuru jūs nesaprotat. Kliedziens "Kā atrisināt problēmu?" neizskatās īpaši labi... un, galvenais, jūsu reputācijai.

Piektais posms. Mēs nolemjam-pārbaudām, nolemjam-pārbaudām, izlemjam-pārbaudām-sniedzam atbildi. Ir izdevīgi pārbaudīt katru uzdevuma punktu uzreiz pēc tā pabeigšanas. Tas palīdzēs jums nekavējoties pamanīt kļūdu. Protams, neviens neaizliedz ātri atrisināt visu problēmu, taču pastāv risks visu pārrakstīt vēlreiz (bieži vien vairākas lapas).

Šie, iespējams, ir visi galvenie apsvērumi, kas būtu jāievēro, risinot problēmas.

Nodarbības praktiskā daļa tiek prezentēta plaknes ģeometrijā. Būs tikai divi piemēri, bet šķitīs par maz =)

Iesim cauri algoritma pavedienam, kuru es tikko aplūkoju savā mazajā zinātniskajā darbā:

1. piemērs

Dotas trīs paralelograma virsotnes. Atrodiet augšpusi.

Sāksim saprast:

Pirmais solis: Ir skaidrs, ka mēs runājam par “plakanu” problēmu.

Otrais solis: Problēma attiecas uz paralelogramu. Vai visi atceras šo paralelograma figūru? Nav nepieciešams smaidīt, daudzi cilvēki iegūst izglītību 30-40-50 un vairāk gadu vecumā, tāpēc pat vienkāršus faktus var izdzēst no atmiņas. Paralelograma definīcija ir atrodama nodarbības piemērā Nr.3 Vektoru lineārā (ne)atkarība. Vektoru bāze.

Trešais solis: Izveidosim zīmējumu, uz kura atzīmējam trīs zināmās virsotnes. Smieklīgi, ka nav grūti uzreiz izveidot vēlamo punktu:

To konstruēt, protams, ir labi, taču risinājums ir jāformulē analītiski.

Ceturtais solis: Risinājuma algoritma izstrāde. Pirmais, kas nāk prātā, ir tas, ka punktu var atrast kā līniju krustpunktu. Mēs nezinām to vienādojumus, tāpēc mums būs jārisina šis jautājums:

1) pretējās puses ir paralēlas. Pēc punktiem Atradīsim šo malu virziena vektoru. Šī ir vienkāršākā problēma, kas tika apspriesta klasē. Manekenu vektori.

Piezīme: pareizāk ir teikt “malas saturošas līnijas vienādojums”, bet šeit un turpmāk īsuma labad izmantošu frāzes “malas vienādojums”, “malas virziena vektors” utt.

3) pretējās puses ir paralēlas. Izmantojot punktus, atrodam šo malu virziena vektoru.

4) Izveidosim taisnas līnijas vienādojumu, izmantojot punktu un virziena vektoru

Punktā 1-2 un 3-4 mēs faktiski vienu un to pašu problēmu atrisinājām divas reizes, starp citu, par to tika runāts nodarbības piemērā Nr. Vienkāršākās problēmas ar taisnu līniju plaknē. Varēja veikt garāku maršrutu - vispirms atrast līniju vienādojumus un tikai tad “izvilkt” no tiem virziena vektorus.

5) Tagad ir zināmi līniju vienādojumi. Atliek tikai sastādīt un atrisināt atbilstošo lineāro vienādojumu sistēmu (skat. tās pašas nodarbības piemērus Nr. 4, 5 Vienkāršākās problēmas ar taisnu līniju plaknē).

Punkts ir atrasts.

Uzdevums ir diezgan vienkāršs un tā risinājums ir acīmredzams, taču ir īsāks ceļš!

Otrais risinājums:

Paralelograma diagonāles sadala uz pusēm pēc to krustpunkta. Punktu iezīmēju, bet, lai nesabojātu zīmējumu, pašas diagonāles nezīmēju.

Izveidosim vienādojumu malai pa punktam:

Lai pārbaudītu, iegūtajā vienādojumā prātīgi vai uzmetumā jāaizstāj katra punkta koordinātas. Tagad atradīsim slīpumu. Lai to izdarītu, mēs pārrakstām vispārējo vienādojumu vienādojuma formā ar slīpuma koeficientu:

Tādējādi slīpums ir:

Līdzīgi mēs atrodam malu vienādojumus. Es neredzu lielu jēgu aprakstīt vienu un to pašu, tāpēc es nekavējoties došu gatavo rezultātu:

2) Atrodiet malas garumu. Šī ir vienkāršākā problēma, kas aplūkota klasē. Manekenu vektori. Par punktiem mēs izmantojam formulu:

Izmantojot to pašu formulu, ir viegli atrast citu malu garumus. Pārbaudi var izdarīt ļoti ātri ar parasto lineālu.

Mēs izmantojam formulu .

Atradīsim vektorus:

Tādējādi:

Starp citu, pa ceļam atradām sānu garumus.

Rezultātā:

Šķiet, ka tā ir taisnība; lai tas būtu pārliecinošs, jūs varat piestiprināt pie stūra transportieri.

Uzmanību! Nejauciet trīsstūra leņķi ar leņķi starp taisnām līnijām. Trijstūra leņķis var būt neass, bet leņķis starp taisnēm nevar (skat. raksta pēdējo rindkopu Vienkāršākās problēmas ar taisnu līniju plaknē). Tomēr, lai atrastu trijstūra leņķi, varat izmantot arī formulas no iepriekš minētās nodarbības, taču nelīdzenums ir tāds, ka šīs formulas vienmēr dod akūtu leņķi. Ar viņu palīdzību es atrisināju šo problēmu melnrakstā un ieguvu rezultātu. Un pēdējā eksemplārā man būtu jāpieraksta papildu attaisnojumi, ka .

4) Uzrakstiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu, kas ir paralēls taisnei.

Standarta uzdevums, detalizēti apspriests nodarbības piemērā Nr.2 Vienkāršākās problēmas ar taisnu līniju plaknē. No līnijas vispārējā vienādojuma Izņemsim virzošo vektoru. Izveidosim taisnas līnijas vienādojumu, izmantojot punktu un virziena vektoru:

Kā atrast trīsstūra augstumu?

5) Izveidosim augstuma vienādojumu un atradīsim tā garumu.

No stingrām definīcijām nevar izvairīties, tāpēc jums būs jāzag no skolas mācību grāmatas:

Trīsstūra augstums sauc par perpendikulu, kas novilkts no trijstūra virsotnes līdz taisnei, kas satur pretējo malu.

Tas ir, ir nepieciešams izveidot vienādojumu perpendikulam, kas novilkts no virsotnes uz sāniem. Šis uzdevums ir apskatīts nodarbības 6., 7. piemēros Vienkāršākās problēmas ar taisnu līniju plaknē. No Eq. noņemiet normālo vektoru. Sastādām augstuma vienādojumu, izmantojot punktu un virziena vektoru:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka mums nav zināmas punkta koordinātas.

Dažkārt augstuma vienādojumu atrod no perpendikulāru līniju leņķisko koeficientu attiecības: . Šajā gadījumā: . Sastādām augstuma vienādojumu izmantojot punktu un leņķa koeficientu (skat. nodarbības sākumu Taisnes vienādojums plaknē):

Augstuma garumu var atrast divos veidos.

Ir apļveida ceļš:

a) atrast – augstuma un malas krustošanās punkts;
b) atrodiet nogriežņa garumu, izmantojot divus zināmus punktus.

Bet klasē Vienkāršākās problēmas ar taisnu līniju plaknē tika apsvērta ērta formula attālumam no punkta līdz taisnei. Punkts ir zināms: , zināms arī līnijas vienādojums: , Tādējādi:

6) Aprēķiniet trīsstūra laukumu. Kosmosā trijstūra laukumu tradicionāli aprēķina, izmantojot vektoru vektorreizinājums, bet šeit mums ir dots trīsstūris plaknē. Mēs izmantojam skolas formulu:
– Trijstūra laukums ir vienāds ar pusi no tā pamatnes un augstuma reizinājuma.

Šajā gadījumā:

Kā atrast trijstūra mediānu?

7) Izveidosim mediānas vienādojumu.

Trijstūra mediāna sauc par segmentu, kas savieno trijstūra virsotni ar pretējās malas vidu.

a) Atrodi punktu – malas vidu. Mēs izmantojam formulas segmenta viduspunkta koordinātām. Ir zināmas segmenta galu koordinātas: , tad vidus koordinātas:

Tādējādi:

Sastādīsim mediānas vienādojumu punktu pa punktam :

Lai pārbaudītu vienādojumu, tajā jāaizstāj punktu koordinātas.

8) Atrodiet augstuma un mediānas krustošanās punktu. Domāju, ka katrs jau ir iemācījies šo daiļslidošanas elementu izpildīt nekrītot:

Kas ir funkcija? Tā ir viena daudzuma atkarība no cita. Matemātiskajā funkcijā visbiežāk ir divi nezināmie: neatkarīgi un atkarīgie vai attiecīgi x un y.

Ko tas nozīmē? Tas nozīmē, ka x var iegūt pilnīgi jebkuru vērtību, un y tai pielāgosies, mainoties atbilstoši funkcijas koeficientiem.

Pastāv situācijas, kad funkcijai ir vairāki mainīgie. Atkarīgais vienmēr ir 1, taču var būt vairāki faktori, kas to ietekmē. Ne vienmēr šādu funkciju ir iespējams attēlot grafikā. Labākajā gadījumā jūs varat grafiski parādīt y atkarību no 2 mainīgajiem.

Kāds ir vienkāršākais veids, kā attēlot atkarību y(x)?

Jā, ļoti vienkārši. Iedomājieties izlutinātu bērnu un bagātu, mīlošu māti. Viņi kopā nāk uz veikalu un sāk ubagot konfektes. Kas zina, cik daudz konfekšu zēns šodien prasīs?

Neviens, bet atkarībā no konfekšu skaita pieaugs summa, ko mamma maksās kasē. Šajā gadījumā atkarīgais mainīgais ir summa čekā, un neatkarīgais ir konfekšu skaits, ko zēns vēlas šodien.

Ir ļoti svarīgi saprast, ka viena funkcijas y vērtība vienmēr atbilst 1 argumenta x vērtībai. Bet, tāpat kā kvadrātvienādojuma saknēm, šīs vērtības var sakrist.

Taisnas līnijas vienādojums

Kāpēc mums ir vajadzīgs taisnes vienādojums, ja mēs runājam par trijstūra malu garuma vienādojumu?

Jā, jo katra trijstūra mala ir segments. Segments ir ierobežota taisnas līnijas daļa. Tas ir, mēs varam norādīt taisnu līniju vienādojumus. Un to krustošanās punktos ierobežojiet līnijas, tādējādi nogriežot taisnās līnijas un pārvēršot tās segmentos.

Līnijas vienādojums izskatās šādi:

$$y_1=a_1x+b_1$$

$$y_2=a_2x+b_2$$

$$y_3=a_3x+b_3$$

Trijstūra malu vienādojums

Nepieciešams atrast trijstūra malu garumu vienādojumu ar virsotnēm punktos A(3,7); B(5,3); C(12;9)

Visas koordinātas ir pozitīvas, kas nozīmē, ka trīsstūris atradīsies 1 koordinātu kvadrantā.

Sastādīsim vienādojumus katrai no trijstūra taisnēm pa vienam.

• Pirmā rinda būs AB. Punktu koordinātas aizstājam taisnās līnijas vienādojumā x un y vietā. Tādējādi mēs iegūstam divu lineāru vienādojumu sistēmu. Atrisinot to, varat atrast funkcijas koeficientu vērtību:

A(3,7); B(5,3):

No pirmā vienādojuma mēs izsakām b un aizstājam to ar otro.

Aizstāsim a vērtību un atrodam b.

b=7-3a=7-3*(-2)=7+6=13

Izveidosim vienādojumu taisnei.

• Tādā pašā veidā izveidosim atlikušos divus vienādojumus.

B(5,3); C(12;9)

9=12a+b=12a+3-5a

$$b=3-5*(6\over7)=-(9\over7)$$

$$y=(6\over7)x-(9\over7)$$

• A(3,7); C(12;9)

9=12a+b=12a+7-3a=9a+7

$$b=7-(6\over9)=(57\over9)$$

$$y=(2\over9)x+(57\over9)$$

• Uzrakstīsim trijstūra malu garumu vienādojumu:

$$y=(6\over7)x-(9\over7)$$

$$y=(2\over9)x+(57\over9)$$

Ko mēs esam iemācījušies?

Mēs uzzinājām, kas ir funkcija, runājām par taisnes funkciju un mācījāmies iegūt trijstūra malu vienādojumus no tā virsotņu koordinātām.

Tests par tēmu

Raksta vērtējums

Vidējais vērtējums: 4.8. Kopējais saņemto vērtējumu skaits: 45.