Instrukcija

Pirms pārbaudes sākšanas pārliecinieties, vai līnijas atrodas vienā plaknē un var tikt uzvilktas uz tās. Vienkāršākā pierādīšanas metode ir mērīšanas metode ar lineālu. Lai to izdarītu, izmantojiet lineālu, lai izmērītu attālumu starp taisnēm vairākās vietās pēc iespējas tālāk viena no otras. Ja attālums paliek nemainīgs, dotās līnijas ir paralēlas. Bet šī metode nav pietiekami precīza, tāpēc labāk ir izmantot citas metodes.

Uzzīmējiet trešo līniju tā, lai tā krustotu abas paralēlās līnijas. Tas ar tiem veido četrus ārējos un četrus iekšējos stūrus. Apsveriet iekšējos stūrus. Tos, kas atrodas cauri sekantes līnijai, sauc par šķērsām. Tos, kas atrodas vienā pusē, sauc par vienpusējiem. Izmantojot transportieri, izmēriet divus iekšējos diagonālos stūrus. Ja tie ir vienādi, tad līnijas būs paralēlas. Ja rodas šaubas, izmēriet vienpusējus iekšējos leņķus un saskaitiet iegūtās vērtības. Līnijas būs paralēlas, ja vienpusējo iekšējo leņķu summa ir vienāda ar 180º.

Ja jums nav transportiera, izmantojiet 90º kvadrātu. Izmantojiet to, lai izveidotu perpendikulāru vienai no līnijām. Pēc tam turpiniet šo perpendikulu tā, lai tas krustotu citu līniju. Izmantojot to pašu kvadrātu, pārbaudiet, kādā leņķī šis perpendikuls to krusto. Ja arī šis leņķis ir vienāds ar 90º, tad līnijas ir paralēlas viena otrai.

Gadījumā, ja līnijas ir norādītas Dekarta koordinātu sistēmā, atrodiet to vadotnes vai normālos vektorus. Ja šie vektori ir attiecīgi kolineāri viens ar otru, tad taisnes ir paralēlas. Izveidojiet līniju vienādojumu vispārīgā formā un atrodiet katras līnijas normālā vektora koordinātas. Tās koordinātas ir vienādas ar koeficientiem A un B. Gadījumā, ja normālo vektoru atbilstošo koordinātu attiecība ir vienāda, tās ir kolineāras, un līnijas ir paralēlas.

Piemēram, taisnes tiek dotas ar vienādojumiem 4x-2y+1=0 un x/1=(y-4)/2. Pirmais vienādojums ir vispārīgas formas, otrais ir kanonisks. Novietojiet otro vienādojumu vispārīgā formā. Šim nolūkam izmantojiet proporciju pārveidošanas kārtulu, un jūs iegūsit 2x=y-4. Pēc reducēšanas uz vispārīgu formu iegūstiet 2x-y + 4 = 0. Tā kā jebkuras rindas vispārīgais vienādojums ir uzrakstīts Ax + Vy + C = 0, tad pirmajai rindai: A = 4, B = 2, bet otrajai rindai A = 2, B = 1. Pirmajai normālā vektora tiešai koordinātei (4;2), bet otrajai - (2;1). Atrodiet normālvektoru atbilstošo koordinātu attiecību 4/2=2 un 2/1=2. Šie skaitļi ir vienādi, kas nozīmē, ka vektori ir kolineāri. Tā kā vektori ir kolineāri, līnijas ir paralēlas.

AB Un ARDšķērsoja trešā līnija MN, tad šajā gadījumā izveidotie leņķi pa pāriem saņem šādus nosaukumus:

atbilstošie leņķi: 1 un 5, 4 un 8, 2 un 6, 3 un 7;

iekšējie šķērsām guļošie stūri: 3 un 5, 4 un 6;

ārējie šķērsām guļošie stūri: 1 un 7, 2 un 8;

iekšējie vienpusējie stūri: 3 un 6, 4 un 5;

ārējie vienpusējie stūri: 1 un 8, 2 un 7.

Tātad ∠ 2 = ∠ 4 un ∠ 8 = ∠ 6, bet ar pierādīto ∠ 4 = ∠ 6.

Tāpēc ∠ 2 = ∠ 8.

3. Attiecīgie leņķi 2 un 6 ir vienādi, jo ∠ 2 = ∠ 4 un ∠ 4 = ∠ 6. Mēs arī pārliecināmies, ka pārējie atbilstošie leņķi ir vienādi.

4. Summa iekšējie vienpusējie stūri 3 un 6 būs 2d, jo summa blakus esošie stūri 3 un 4 ir vienādi ar 2d = 180 0 , un ∠ 4 var aizstāt ar identisku ∠ 6. Tāpat pārliecinieties, ka leņķu summa 4 un 5 ir vienāds ar 2d.

5. Summa ārējie vienpusējie stūri būs 2d, jo šie leņķi ir attiecīgi vienādi iekšējie vienpusējie stūri kā stūri vertikāli.

No iepriekš pierādītā pamatojuma mēs iegūstam apgrieztās teorēmas.

Ja patvaļīgas trešās līnijas divu līniju krustpunktā mēs iegūstam, ka:

1. Iekšējie krustojuma leņķi ir vienādi;

vai 2.Ārējie krustojuma leņķi ir vienādi;

vai 3. Atbilstošie leņķi ir vienādi;

vai 4. Iekšējo vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar 2d = 180 0 ;

vai 5.Ārējās vienpuses summa ir 2d = 180 0 ,

tad pirmās divas taisnes ir paralēlas.

Tie nekrustojas, lai cik ilgi tie turpinātos. Līniju paralēlisms rakstveidā ir norādīts šādi: AB|| ARE

Šādu līniju pastāvēšanas iespējamību pierāda teorēma.

Teorēma.

Caur jebkuru punktu, kas atrodas ārpus noteiktās līnijas, var novilkt paralēli šai taisnei..

Ļaujiet ABšī līnija un AR kāds punkts ņemts ārpus tā. Tas ir jāpierāda AR jūs varat novilkt taisnu līniju paralēliAB. Iesim tālāk AB no punkta AR perpendikulāriARD un tad mēs to darīsim ARE^ ARD, kas ir iespējams. Taisni CE paralēli AB.

Pierādījumam mēs pieņemam pretējo, t.i., ka CE krustojas AB kādā brīdī M. Tad no punkta M uz taisnu līniju ARD mums būtu divi dažādi perpendikuli MD Un JAUNKUNDZE, kas nav iespējams. nozīmē, CE nevar krustoties ar AB, t.i. ARE paralēli AB.

Sekas.

Divi perpendikuli (CEUnD.B.) līdz vienai taisnei (СD) ir paralēli.

Paralēlu līniju aksioma.

Caur vienu un to pašu punktu nav iespējams novilkt divas dažādas līnijas, kas ir paralēlas vienai un tai pašai līnijai.

Tātad, ja taisna līnija ARD, izvilkts caur punktu AR paralēli taisnai līnijai AB, tad jebkura cita rinda ARE caur to pašu punktu AR, nevar būt paralēls AB, t.i. viņa turpina krustojas Ar AB.

Šīs ne visai acīmredzamās patiesības pierādījums izrādās neiespējams. Tas tiek pieņemts bez pierādījumiem kā nepieciešams pieņēmums (postulatum).

Sekas.

1. Ja taisni(ARE) krustojas ar vienu no paralēli(SW), tad tas krustojas ar otru ( AB), jo citādi caur to pašu punktu AR divas dažādas taisnas līnijas, paralēlas AB, kas nav iespējams.

2. Ja katrs no diviem tiešā veidā (AUnB) ir paralēli tai pašai trešajai līnijai ( AR) , tad viņi ir paralēli savā starpā.

Patiešām, ja mēs tā pieņemam A Un B krustojas kādā brīdī M, tad caur šo punktu iet divas dažādas taisnas līnijas, kas ir paralēlas viena otrai. AR, kas nav iespējams.

Teorēma.

Ja taisna līnija ir perpendikulāra vienai no paralēlajām taisnēm, tad tā ir perpendikulāra otrai paralēli.

Ļaujiet AB || ARD Un EF ^ AB.Tas ir jāpierāda EF ^ ARD.

PerpendikulāriEF, kas krustojas ar AB, noteikti krustosies un ARD. Ļaujiet krustojumam būt H.

Pieņemsim, ka tagad ARD nav perpendikulāri EH. Tad, piemēram, kādu citu līniju HK, būs perpendikulāra EH un līdz ar to caur to pašu punktu H divi taisna paralēla AB: viens ARD, pēc nosacījuma un otrs HK kā pierādīts iepriekš. Tā kā tas nav iespējams, to nevar pieņemt SW nebija perpendikulāra EH.

Šajā rakstā mēs runāsim par paralēlām līnijām, sniegsim definīcijas, norādīsim paralēlisma zīmes un nosacījumus. Teorētiskā materiāla skaidrības labad izmantosim ilustrācijas un tipisku piemēru risinājumu.

1. definīcija

Paralēlas līnijas plaknē ir divas plaknes taisnes, kurām nav kopīgu punktu.

2. definīcija

Paralēlas līnijas 3D telpā- divas taisnas līnijas trīsdimensiju telpā, kas atrodas vienā plaknē un kurām nav kopīgu punktu.

Jāatzīmē, ka, lai noteiktu paralēlas līnijas telpā, ir ārkārtīgi svarīgs precizējums "atrodas vienā plaknē": divas līnijas trīsdimensiju telpā, kurām nav kopīgu punktu un neatrodas vienā plaknē, nav paralēli, bet krustojas.

Paralēlu līniju apzīmēšanai parasti izmanto simbolu ∥ . Tas ir, ja dotās līnijas a un b ir paralēlas, šis nosacījums ir īsi jāuzraksta šādi: a ‖ b . Verbāli līniju paralēlisms tiek norādīts šādi: taisnes a un b ir paralēlas vai taisne a ir paralēla taisnei b, vai taisne b ir paralēla taisnei a.

Formulēsim apgalvojumu, kam ir svarīga loma pētāmajā tēmā.

Aksioma

Caur punktu, kas nepieder noteiktai taisnei, ir tikai viena taisne, kas ir paralēla dotajai taisnei. Šo apgalvojumu nevar pierādīt, pamatojoties uz zināmajām planimetrijas aksiomām.

Gadījumā, ja runa ir par kosmosu, teorēma ir patiesa:

1. teorēma

Caur jebkuru telpas punktu, kas nepieder noteiktai taisnei, būs tikai viena taisne, kas ir paralēla dotajai līnijai.

Šo teorēmu ir viegli pierādīt, pamatojoties uz iepriekš minēto aksiomu (ģeometrijas programma 10.-11. klasei).

Paralēlitātes zīme ir pietiekams nosacījums, ar kuru tiek garantētas paralēlas līnijas. Citiem vārdiem sakot, šī nosacījuma izpilde ir pietiekama, lai apstiprinātu paralēlisma faktu.

Jo īpaši ir nepieciešami un pietiekami nosacījumi līniju paralēlismam plaknē un telpā. Paskaidrosim: nepieciešams nozīmē nosacījumu, kura izpilde ir nepieciešama paralēlām taisnēm; ja tas nav izpildīts, līnijas nav paralēlas.

Rezumējot, nepieciešams un pietiekams taisnes paralēlisma nosacījums ir tāds nosacījums, kura ievērošana ir nepieciešama un pietiekama, lai taisnes būtu paralēlas viena otrai. No vienas puses, tā ir paralēlisma pazīme, no otras puses, īpašība, kas raksturīga paralēlām līnijām.

Pirms sniegt precīzu nepieciešamo un pietiekamo nosacījumu formulējumu, mēs atgādinām vēl dažus papildu jēdzienus.

3. definīcija

sekanta līnija ir taisne, kas krusto katru no divām dotajām nesakrītošajām taisnēm.

Krustojoties divas taisnes, sekants veido astoņus neizvērstus leņķus. Nepieciešamā un pietiekamā nosacījuma formulēšanai izmantosim tādus leņķu veidus kā šķērsām, atbilstošos un vienpusējos. Parādīsim tos ilustrācijā:

2. teorēma

Ja plaknē divas taisnes krusto sekantu, tad, lai dotās taisnes būtu paralēlas, ir nepieciešams un pietiekami, lai šķērsvirziena guļus leņķi būtu vienādi vai attiecīgie leņķi būtu vienādi, vai vienpusējo leņķu summa būtu vienāda ar 180 grādiem.

Grafiski ilustrēsim nepieciešamo un pietiekamo nosacījumu paralēlām līnijām plaknē:

Šo nosacījumu pierādījums ir ģeometrijas programmā 7.-9. klasei.

Kopumā šie nosacījumi ir piemērojami arī trīsdimensiju telpai, ja abas līnijas un sekants pieder vienai plaknei.

Norādīsim vēl dažas teorēmas, kuras bieži izmanto, lai pierādītu, ka taisnes ir paralēlas.

3. teorēma

Plaknē divas taisnes, kas ir paralēlas trešajai, ir paralēlas viena otrai. Šī iezīme ir pierādīta, pamatojoties uz iepriekš minēto paralēlisma aksiomu.

4. teorēma

Trīsdimensiju telpā divas līnijas, kas ir paralēlas trešajai, ir paralēlas viena otrai.

Atribūta pierādījums tiek pētīts 10. klases ģeometrijas programmā.

Mēs sniedzam šo teorēmu ilustrāciju:

Norādīsim vēl vienu teorēmu pāri, kas pierāda līniju paralēlismu.

5. teorēma

Plaknē divas taisnes, kas ir perpendikulāras trešajai daļai, ir paralēlas viena otrai.

Formulēsim līdzīgu trīsdimensiju telpai.

6. teorēma

Trīsdimensiju telpā divas taisnes, kas ir perpendikulāras trešajai daļai, ir paralēlas viena otrai.

Ilustrēsim:

Visas iepriekš minētās teorēmas, zīmes un nosacījumi ļauj ērti pierādīt līniju paralēlismu ar ģeometrijas metodēm. Tas ir, lai pierādītu taisnes paralēlismu, var parādīt, ka attiecīgie leņķi ir vienādi, vai parādīt faktu, ka divas dotās taisnes ir perpendikulāras trešajai utt. Bet mēs atzīmējam, ka bieži vien ir ērtāk izmantot koordinātu metodi, lai pierādītu līniju paralēlismu plaknē vai trīsdimensiju telpā.

Līniju paralēlisms taisnstūra koordinātu sistēmā

Dotajā taisnstūrveida koordinātu sistēmā taisni nosaka taisnes vienādojums plaknē viena no iespējamajiem veidiem. Līdzīgi taisne, kas dota taisnstūra koordinātu sistēmā trīsdimensiju telpā, atbilst dažiem taisnes vienādojumiem telpā.

Uzrakstīsim nepieciešamos un pietiekamos nosacījumus taisnstūra paralēlismam taisnstūra koordinātu sistēmā atkarībā no vienādojuma veida, kas apraksta dotās taisnes.

Sāksim ar nosacījumu par paralēlām taisnēm plaknē. Tas ir balstīts uz līnijas virziena vektora un līnijas normālā vektora definīcijām plaknē.

7. teorēma

Lai divas nesakrītošas ​​taisnes būtu paralēlas plaknē, ir nepieciešams un pietiekami, lai doto taisnes virziena vektori būtu kolineāri vai doto taisnes normālvektori ir kolineāri, vai vienas taisnes virziena vektors būtu perpendikulārs otras līnijas normālais vektors.

Kļūst acīmredzams, ka plaknes paralēlo līniju nosacījums ir balstīts uz kolineāru vektoru stāvokli vai divu vektoru perpendikularitātes nosacījumu. Tas ir, ja a → = (a x , a y) un b → = (b x , b y) ir taisnes a un b virziena vektori;

un n b → = (n b x , n b y) ir taisnes a un b normālie vektori, tad augstāk minēto nepieciešamo un pietiekamo nosacījumu rakstām šādi: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y vai n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y vai a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 , kur t ir kāds reāls skaitlis. Virzošo jeb tiešo vektoru koordinātas nosaka dotie līniju vienādojumi. Apskatīsim galvenos piemērus.

1. Taisni a taisnstūra koordinātu sistēmā nosaka taisnes vispārīgais vienādojums: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; līnija b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Tad doto līniju normālvektoriem būs attiecīgi koordinātas (A 1 , B 1) un (A 2 , B 2). Paralēlitātes nosacījumu rakstām šādi:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. Taisni a apraksta ar vienādojumu taisnei ar slīpumu formā y = k 1 x + b 1 . Taisna līnija b - y \u003d k 2 x + b 2. Tad doto līniju normālvektoriem būs attiecīgi koordinātes (k 1 , - 1) un (k 2 , - 1), un paralēlisma nosacījumu rakstām šādi:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Tātad, ja paralēlas taisnes uz plaknes taisnstūra koordinātu sistēmā ir dotas ar vienādojumiem ar slīpuma koeficientiem, tad doto līniju slīpuma koeficienti būs vienādi. Un apgrieztais apgalvojums ir patiess: ja taisnstūra koordinātu sistēmas plaknē nesakrītošas ​​līnijas nosaka taisnes vienādojumi ar vienādiem slīpuma koeficientiem, tad šīs dotās taisnes ir paralēlas.

1. Taisnstūra koordinātu sistēmā taisnes a un b ir dotas ar kanoniskajiem taisnes vienādojumiem plaknē: x - x 1 a x = y - y 1 a y un x - x 2 b x = y - y 2 b y vai parametru vienādojumi līnijas plaknē: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y un x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .

Tad doto līniju virziena vektori būs attiecīgi: a x , a y un b x , b y, un paralēlisma nosacījumu rakstām šādi:

a x = t b x a y = t b y

Apskatīsim piemērus.

1. piemērs

Dotas divas rindas: 2 x - 3 y + 1 = 0 un x 1 2 + y 5 = 1 . Jums ir jānosaka, vai tie ir paralēli.

Risinājums

Mēs rakstām taisnas līnijas vienādojumu segmentos vispārējā vienādojuma veidā:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Mēs redzam, ka n a → = (2 , - 3) ir taisnes 2 x - 3 y + 1 = 0 normālvektors, un n b → = 2, 1 5 ir taisnes x 1 2 + y 5 normālvektors. = 1.

Iegūtie vektori nav kolineāri, jo nav tādas t vērtības, kurai vienādība būtu patiesa:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Tādējādi nav izpildīts nepieciešamais un pietiekams taisnes paralēlisma nosacījums plaknē, kas nozīmē, ka dotās taisnes nav paralēlas.

Atbilde: dotās līnijas nav paralēlas.

2. piemērs

Dotās līnijas y = 2 x + 1 un x 1 = y - 4 2 . Vai tie ir paralēli?

Risinājums

Pārveidosim taisnes x 1 \u003d y - 4 2 kanonisko vienādojumu par taisnes ar slīpumu vienādojumu:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Mēs redzam, ka taisnes y = 2 x + 1 un y = 2 x + 4 vienādojumi nav vienādi (ja tas būtu citādi, taisnes būtu vienādas) un līniju slīpumi ir vienādi, kas nozīmē, ka dotās taisnes ir paralēlas.

Mēģināsim atrisināt problēmu savādāk. Vispirms pārbaudām, vai dotās līnijas sakrīt. Mēs izmantojam jebkuru taisnes y \u003d 2 x + 1 punktu, piemēram, (0, 1), šī punkta koordinātas neatbilst taisnes vienādojumam x 1 \u003d y - 4 2, kas nozīmē, ka līnijas nesakrīt.

Nākamais solis ir noteikt paralēlisma nosacījuma izpildi dotajām taisnēm.

Taisnes y = 2 x + 1 normālvektors ir vektors n a → = (2 , - 1) , un otrās dotās taisnes virziena vektors ir b → = (1 , 2) . Šo vektoru skalārais reizinājums ir nulle:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Tādējādi vektori ir perpendikulāri: tas mums parāda vajadzīgā un pietiekamā nosacījuma izpildi, lai sākotnējās līnijas būtu paralēlas. Tie. dotās līnijas ir paralēlas.

Atbilde:šīs līnijas ir paralēlas.

Lai pierādītu līniju paralēlismu trīsdimensiju telpas taisnstūra koordinātu sistēmā, tiek izmantots šāds nepieciešamais un pietiekams nosacījums.

8. teorēma

Lai divas nesakrītošas ​​līnijas trīsdimensiju telpā būtu paralēlas, ir nepieciešams un pietiekami, lai šo līniju virziena vektori būtu kolineāri.

Tie. dotajiem līniju vienādojumiem trīsdimensiju telpā atbildi uz jautājumu: vai tās ir paralēlas vai nē, atrod, nosakot doto taisnes virziena vektoru koordinātas, kā arī pārbaudot to kolinearitātes nosacījumu. Citiem vārdiem sakot, ja a → = (a x, a y, a z) un b → = (b x, b y, b z) ir attiecīgi taisnes a un b virziena vektori, tad, lai tās būtu paralēlas, pastāv ir nepieciešams šāds reāls skaitlis t, lai vienādība būtu spēkā:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

3. piemērs

Dotās līnijas x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 un x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . Ir jāpierāda šo līniju paralēlisms.

Risinājums

Problēmas nosacījumi ir vienas taisnes kanoniskie vienādojumi telpā un citas taisnes parametriskie vienādojumi telpā. Virzienu vektori a → un b → dotajām rindām ir koordinātes: (1 , 0 , - 3) un (2 , 0 , - 6) .

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2 , tad a → = 1 2 b → .

Līdz ar to ir izpildīts nepieciešamais un pietiekams nosacījums paralēlām līnijām telpā.

Atbilde: ir pierādīta doto taisnes paralēlisms.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Vispirms apskatīsim atšķirību starp atribūta, īpašības un aksiomas jēdzieniem.

1. definīcija

zīme sauc par noteiktu faktu, pēc kura iespējams noteikt sprieduma patiesumu par interesējošo objektu.

1. piemērs

Līnijas ir paralēlas, ja to sekants veido vienādus šķērsvirziena leņķus.

2. definīcija

Īpašums tiek formulēts gadījumā, ja ir pārliecība par sprieduma pamatotību.

2. piemērs

Ar paralēlām līnijām to sekants veido vienādus šķērsvirziena leņķus.

3. definīcija

aksioma sauc tādu apgalvojumu, kas neprasa pierādījumus un bez tā tiek pieņemts kā patiess.

Katrai zinātnei ir aksiomas, uz kurām balstās turpmākie spriedumi un to pierādījumi.

Paralēlu līniju aksioma

Dažkārt paralēlo taisnu aksioma tiek pieņemta par vienu no paralēlo līniju īpašībām, bet tajā pašā laikā uz tās derīguma tiek būvēti citi ģeometriski pierādījumi.

1. teorēma

Caur punktu, kas neatrodas uz noteiktas taisnes, plaknē var novilkt tikai vienu līniju, kas būs paralēla dotajai.

Aksioma neprasa pierādījumus.

Paralēlu līniju īpašības

2. teorēma

Īpašums1. Paralēlu līniju tranzitivitātes īpašības:

Ja viena no divām paralēlām līnijām ir paralēla trešajai, tad arī otrā līnija būs tai paralēla.

Īpašībām ir nepieciešams pierādījums.

Pierādījums:

Lai ir divas paralēlas taisnes $a$ un $b$. Līnija $c$ ir paralēla līnijai $a$. Pārbaudīsim, vai šajā gadījumā taisne $с$ ir paralēla taisnei $b$.

Pierādījumam mēs izmantosim pretēju priekšlikumu:

Iedomājieties, ka ir tāds variants, kurā taisne $c$ ir paralēla vienai no taisnēm, piemēram, taisne $a$, bet otra - taisne $b$ - krustojas kādā punktā $K$.

Mēs iegūstam pretrunu saskaņā ar paralēlo līniju aksiomu. Izrādās situācija, kurā divas taisnes krustojas vienā punktā, turklāt tās ir paralēlas vienai un tai pašai taisnei $a$. Šāda situācija nav iespējama, tāpēc līnijas $b$ un $c$ nevar krustoties.

Tādējādi tiek pierādīts, ka, ja viena no divām paralēlām taisnēm ir paralēla trešajai taisnei, tad arī otrā taisne ir paralēla trešajai taisnei.

3. teorēma

2. īpašums.

Ja viena no divām paralēlām taisnēm krustojas ar trešo, tad ar to krustosies arī otrā taisne.

Pierādījums:

Lai ir divas paralēlas taisnes $a$ un $b$. Tāpat lai ir kāda taisne $c$, kas krusto kādu no paralēlajām taisnēm, piemēram, taisne $a$. Jāparāda, ka taisne $c$ krustojas arī ar otro līniju, taisni $b$.

Konstruēsim pierādījumu ar pretrunu.

Iedomājieties, ka līnija $c$ nekrusto līniju $b$. Tad divas taisnes $a$ un $c$ iet caur punktu $K$ un nekrusto taisni $b$, t.i., ir tai paralēlas. Bet šī situācija ir pretrunā ar paralēlo līniju aksiomu. Tādējādi pieņēmums bija nepareizs, un līnija $c$ krustos līniju $b$.

Teorēma ir pierādīta.

Stūra īpašības, kas veido divas paralēlas līnijas un sekantu: šķērsām leņķi ir vienādi, attiecīgie leņķi ir vienādi, * vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar $180^(\circ)$.

3. piemērs

Dotas divas paralēlas taisnes un trešā taisne, kas ir perpendikulāra vienai no tām. Pierādīt, ka šī taisne ir perpendikulāra citai no paralēlajām taisnēm.

Pierādījums.

Lai mums būtu līnijas $a \parallel b$ un $c \perp a$.

Tā kā taisne $c$ krustojas ar taisni $a$, tad atbilstoši paralēlo līniju īpašībai tā krustos arī taisni $b$.

Sekants $c$, kas krusto paralēlās līnijas $a$ un $b$, veido ar tām vienādus iekšējos šķērsvirziena leņķus.

Jo $c \perp a$, tad leņķi būs $90^(\circ)$.

Tādējādi $c \perp b$.

Pierādījums ir pabeigts.