Pamatteorijas un formulu atkārtošana, ieskaitot tās, kas ļauj aprēķināt cilindra tilpumu, ir viens no galvenajiem eksāmena sagatavošanas posmiem. Neskatoties uz to, ka matemātikas stundās skolā šī tēma tiek aplūkota pietiekami detalizēti, daudzi skolēni saskaras ar nepieciešamību atcerēties pamatmateriālu un “uzsūknēt” problēmu risināšanas prasmi. Saprotot, kā aprēķināt cilindra tilpumu un citus nezināmus parametrus, vidusskolēni varēs iegūt pietiekami daudz augsti rādītāji pēc vienotā valsts eksāmena kārtošanas rezultātiem.

Galvenie punkti, kas jāatceras

Ir svarīgi atcerēties, ka:

• Cilindrs ir ķermenis, ko ierobežo cilindriska virsma un divi apļi. Cilindriskā virsma ir sānu. Un apļi attēlo figūras pamatus.
• Cilindra augstums ir attālums starp tā pamatu plaknēm.
• Visi tā ģeneratori ir paralēli un vienādi viens otram.
• Cilindra rādiuss ir tā pamatnes rādiuss.
• Figūru sauc par taisni, ja tās ģeneratori ir perpendikulāri bāzēm.

Kā efektīvi un produktīvi sagatavoties eksāmenam?

Studējot sertifikācijas testa nokārtošanas priekšvakarā, daudzi studenti saskaras ar problēmu atrast nepieciešamo informāciju. Ne vienmēr skolas mācību grāmata ir pie rokas, kad tā ir nepieciešama. Un atrast formulas, kas palīdzēs aprēķināt cilindra laukumu un citus nezināmus parametrus, bieži vien ir diezgan grūti pat internetā tiešsaistes režīmā.

Mācoties kopā ar matemātikas portālu "Shkolkovo", absolventi varēs izvairīties no tipiskām kļūdām un sekmīgi nokārtot vienotais valsts eksāmens. Mēs piedāvājam sagatavot sagatavošanas procesu jaunā veidā, pārejot no vienkārša uz sarežģītu. Tas ļaus skolēniem noteikt viņiem pašiem nesaprotamas tēmas un novērst zināšanu trūkumus.

Visus pamatmateriālus, kas palīdzēs risinot problēmas par tēmu "Cilindrs", absolventi var atrast sadaļā "Teorētiskā uzziņa". Shkolkovo speciālisti visu iepazīstināja pieejamā formā nepieciešamās definīcijas un formulas.

Lai nostiprinātu zināšanas, skolēni var vingrināties problēmu risināšanā par tēmu "Cilindrs" un citām tēmām, piemēram,. Liela, pastāvīgi atjaunināta uzdevumu izvēle ir parādīta sadaļā Katalogs.

Lai, gatavojoties eksāmenam, ātri atrastu konkrētu problēmu par tēmu “Cilindrs” un atsvaidzinātu tās risināšanas algoritmu, absolventi to vispirms var saglabāt “Izlases”. Mūsu vietnē ir iespēja praktizēt savas prasmes ne tikai galvaspilsētas skolēniem, bet arī studentiem no citām Krievijas pilsētām.

Izmantojot šo pakalpojumu, jūs varat atrast funkcijas lielāko un mazāko vērtību viens mainīgais f(x) ar risinājuma noformējumu programmā Word. Ja ir dota funkcija f(x,y), tad jāatrod divu mainīgo funkcijas ekstrēmi. Varat arī atrast funkcijas palielināšanas un samazināšanas intervālus.

Funkciju ievadīšanas noteikumi:

Nepieciešams nosacījums viena mainīgā funkcijas ekstrēmam

Vienādojums f" 0 (x *) = 0 ir nepieciešamais nosacījums viena mainīgā funkcijas ekstrēmums, t.i. punktā x * ir jāpazūd funkcijas pirmajam atvasinājumam. Tas izvēlas stacionārus punktus x c, kuros funkcija nepalielinās vai nesamazinās.

Pietiekams nosacījums viena mainīgā funkcijas ekstrēmam

Pieņemsim, ka f 0 (x) ir divreiz diferencējams attiecībā pret x, kas pieder kopai D . Ja punktā x * nosacījums ir izpildīts:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Tad punkts x * ir funkcijas lokālā (globālā) minimuma punkts.

Ja punktā x * nosacījums ir izpildīts:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Šis punkts x * ir lokālais (globālais) maksimums.

1. piemērs. Atrodi lielāko un mazākā vērtība funkcijas: segmentā.
Risinājums.

Kritiskais punkts ir viens x 1 = 2 (f'(x)=0). Šis punkts pieder segmentam . (Punkts x=0 nav kritisks, jo 0∉).
Mēs aprēķinām funkcijas vērtības segmenta galos un kritiskajā punktā.
f(1)=9, f(2)=5/2, f(3)=38/81
Atbilde: f min = 5/2, ja x=2; f max = 9 pie x = 1

2. piemērs. Izmantojot augstākas kārtas atvasinājumus, atrodiet funkcijas y=x-2sin(x) ekstrēmu.
Risinājums.
Atrodiet funkcijas atvasinājumu: y’=1-2cos(x) . Atradīsim kritiskos punktus: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Mēs atrodam y''=2sin(x), aprēķina , tātad x= π / 3 +2πk, k∈Z ir funkcijas minimālie punkti; , tātad x=- π / 3 +2πk, k∈Z ir funkcijas maksimālie punkti.

3. piemērs. Izpētīt ekstrēmuma funkciju punkta x=0 tuvumā.
Risinājums. Šeit ir jāatrod funkcijas galējība. Ja ekstrēmums x=0 , tad noskaidro tā veidu (minimums vai maksimums). Ja starp atrastajiem punktiem nav x = 0, tad aprēķiniet funkcijas f(x=0) vērtību.
Jāņem vērā, ka tad, kad atvasinājums katrā noteiktā punkta pusē nemaina savu zīmi, iespējamās situācijas nav izsmeltas pat diferencējamām funkcijām: var gadīties, ka patvaļīgi mazai apkaimē punkta vienā pusē x 0 vai abās pusēs atvasinājums maina zīmi. Šajos punktos ir jāpiemēro citas metodes, lai pētītu ekstrēma funkcijas.

4. piemērs. Sadaliet skaitli 49 divos terminos, kuru reizinājums būs lielākais.
Risinājums. Lai x ir pirmais vārds. Tad (49-x) ir otrais termins.
Produkts būs maksimālais: x (49-x) → maks

Darba veids: 8
Tēma: Cilindrs

Stāvoklis

Cilindriskā traukā šķidruma līmenis sasniedz 20 cm.Kādā augstumā būs šķidruma līmenis, ja to ielej otrā cilindriskā traukā, kura diametrs ir divreiz lielāks par pirmā? Izsakiet savu atbildi centimetros.

Rādīt risinājumu

Risinājums

Pieņemsim, ka R ir pirmā trauka pamatnes rādiuss, tad 2 R ir otrā trauka pamatnes rādiuss. Pēc nosacījuma šķidruma V tilpums pirmajā un otrajā traukā ir vienāds. Apzīmē ar H - līmeni, līdz kuram šķidrums ir pacēlies otrajā traukā. Tad

V=\pi R^2 \cdot 20, Un V=\pi (2R)^2H = 4\pi R^2H. No šejienes \pi R^2 \cdot 20 = 4\pi R^2H, 20=4H H=5

Atbilde

Darba veids: 8
Tēma: Cilindrs

Stāvoklis

Cilindriskā traukā tika ielej 2000 cm 3 ūdens. Šķidruma līmenis izrādījās 15 cm.Daļa bija pilnībā iegremdēta ūdenī. Tajā pašā laikā šķidruma līmenis traukā paaugstinājās par 9 cm. Kāds ir daļas tilpums? Izsaki savu atbildi cm3.

Rādīt risinājumu

Risinājums

Lai R ir cilindra pamatnes rādiuss, un h ir traukā ielietā ūdens līmenis. Tad izlietā ūdens tilpums ir vienāds ar cilindra tilpumu ar pamatnes rādiusu R un augstumu h. V ūdens \u003d S galvenais. · h = \pi R^2\cdot h. Saskaņā ar nosacījumu vienādība 2000=\pi R^2\cdot15 ir izpildīta. No šejienes, \pi R^2=\frac(2000)(15)=\frac(400)(3).

Lai H ir ūdens līmenis traukā pēc tam, kad prece ir iegremdēta tajā. Tad kopējais ūdens un daļas tilpums ir vienāds ar cilindra tilpumu ar pamatnes rādiusu R un augstumu H. Pēc nosacījuma H=h+9=15+9=24. Tātad V ūdens + detaļas = \pi R^2\cdot H=\frac(400)(3)\cdot24=3200. Tāpēc V daļas = V ūdens + daļas − V ūdens = 3200-2000=1200.

Atbilde

Avots: "Matemātika. Gatavošanās eksāmenam-2017. Profila līmenis". Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.

Darba veids: 8
Tēma: Cilindrs

Stāvoklis

Atrodiet cilindra augstumu, ja tā pamatnes rādiuss ir 8 un sānu virsmas laukums ir 96\pi.

Rādīt risinājumu

Risinājums

S=2\pi rh,

96\pi=2\pi\cdot8h,

h=\frac(96\pi)(16\pi)=6.

Atbilde

Avots: "Matemātika. Gatavošanās eksāmenam-2016. profila līmenis. Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.

Darba veids: 8
Tēma: Cilindrs

Stāvoklis

Cilindriskā traukā tika iebērti 500 kubikmetri. redzēt ūdeni. Nosakiet pilnībā ūdenī iegremdētās daļas tilpumu, ja pēc iegremdēšanas šķidruma līmenis palielinājās 1,2 reizes. Izsakiet savu atbildi kubā. cm.

Rādīt risinājumu

Risinājums

Ar V 1 apzīmē sākotnējo šķidruma tilpumu cilindrā. Pēc daļas iegremdēšanas šķidruma tilpums palielinājās 1,2 reizes, kas nozīmē, ka šķidruma gala tilpums ir V 2 = 1,2 V 1. Daļas tilpums ir vienāds ar starpību starp tilpumiem pirms un pēc iegremdēšanas, kas nozīmē V = V_2-V_1 = 1,2\cdot 500-500 = 100 kubs cm.

Atbilde

Kad šķidrums tiek pārpildīts, tā sākotnējais tilpums nemainās, t.i.: V 1 \u003d V 2, kas nozīmē, ka vienādība ir patiesa: \pi\left(\frac(d_1)(2)\right)^2h_1=\pi\left(\frac(3d_1)(2)\right)^2h_2

Aizstājiet vērtības no nosacījuma, vienkāršojiet izteiksmi un atrodiet vēlamo otrā trauka šķidruma augstumu h 2:

\pi \enspace\frac(d_1^(2))(4)\enspace 63=\pi \enspace\frac(9d_1^(2))(4)\enspace h_2

\frac(63)(4)=\frac(9)(4)h_2

h_2=\frac(63)(9)=7