Pri výpočte algebraických polynómov na zjednodušenie výpočtov používame skrátené vzorce násobenia. Celkovo existuje sedem takýchto vzorcov. Všetky ich treba poznať naspamäť.

Malo by sa tiež pamätať na to, že namiesto "a" a "b" vo vzorcoch môžu byť čísla aj akékoľvek iné algebraické polynómy.

Rozdiel štvorcov

Pamätajte!

Rozdiel štvorcov dve čísla sa rovná súčinu rozdielu týchto čísel a ich súčtu.

a 2 − b 2 = (a − b) (a + b)

• 15 2 − 2 2 = (15 − 2) (15 + 2) = 13 17 = 221
• 9a 2 − 4b 2 s 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

súčet štvorec

Pamätajte!

Druhá mocnina súčtu dvoch čísel sa rovná druhej mocnine prvého čísla plus dvojnásobku súčinu prvého čísla a druhého plus druhej mocniny druhého čísla.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Všimnite si, že s týmto zníženým vzorcom násobenia je to ľahké nájsť druhé mocniny veľkých čísel bez použitia kalkulačky alebo dlhého násobenia. Vysvetlime si to na príklade:

Nájdite 112 2 .

• Rozložme 112 na súčet čísel, ktorých druhé mocniny si dobre pamätáme.
  112 = 100 + 1
• Súčet čísel napíšeme do zátvoriek a cez zátvorky dáme štvorec.
  112 2 = (100 + 12) 2
• Použime vzorec súčtu štvorca:
  112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 100 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Pamätajte, že vzorec štvorcového súčtu je platný aj pre všetky algebraické polynómy.

• (8a + c)2 = 64a2 + 16ac + c2

POZOR!

(a + b) 2 sa nerovná (a 2 + b 2)

Druhá mocnina rozdielu

Pamätajte!

Druhá mocnina rozdielu dvoch čísel sa rovná druhej mocnine prvého čísla mínus dvojnásobok súčinu prvého a druhého plus druhej mocniny druhého čísla.

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Za zmienku stojí aj veľmi užitočná transformácia:

(a - b) 2 = (b - a) 2

Vyššie uvedený vzorec je dokázaný jednoduchým rozšírením zátvoriek:

(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

súčet kocka

Pamätajte!

Kocka súčtu dvoch čísel sa rovná tretej mocnine prvého čísla plus trojnásobku druhej mocniny prvého čísla krát druhého plus trojnásobku súčinu prvého krát štvorca druhého plus kocky druhého.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Ako si zapamätať kocku súčtu

Zapamätať si tento „hrozne“ vyzerajúci vzorec je celkom jednoduché.

• Naučte sa, že „3“ je na začiatku.
• Dva polynómy v strede majú koeficienty 3.
• Pripomeňme, že každé číslo s nulovou mocninou je 1. (ao = 1, b0 = 1) . Je ľahké vidieť, že vo vzorci je zníženie stupňa "a" a zvýšenie stupňa "b". Môžete si to overiť:
  (a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

POZOR!

(a + b) 3 sa nerovná a 3 + b 3

rozdielová kocka

Pamätajte!

rozdielová kocka dvoch čísel sa rovná tretej mocnine prvého čísla mínus trojnásobok druhej mocniny prvého čísla a druhého plus trojnásobok súčinu prvého čísla a druhej mocniny druhého mínus kocka druhého.

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Tento vzorec sa zapamätá ako predchádzajúci, ale iba s prihliadnutím na striedanie znakov „+“ a „-“. Pred prvým členom „a 3“ je „+“ (podľa pravidiel matematiky to nepíšeme). To znamená, že pred ďalším členom bude „-“, potom opäť „+“ atď.

(a − b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Súčet kociek

Nezamieňajte s kockou súčtu!

Pamätajte!

Súčet kociek sa rovná súčinu súčtu dvoch čísel s neúplnou druhou mocninou rozdielu.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 − ab + b 2)

Súčet kociek je súčinom dvoch zátvoriek.

• Prvá zátvorka je súčet dvoch čísel.
• Druhá zátvorka je neúplná druhá mocnina rozdielu čísel. Neúplný štvorec rozdielu sa nazýva výraz:
  (a 2 − ab + b 2)
  Tento štvorec je neúplný, pretože v strede je namiesto dvojitého súčinu obyčajný súčin čísel.

Rozdiel kociek

Nezamieňať s kockou rozdielu!

Pamätajte!

Rozdiel kociek sa rovná súčinu rozdielu dvoch čísel neúplnou druhou mocninou súčtu.

a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + ab + b 2)

Buďte opatrní pri písaní znakov.

Aplikácia skrátených vzorcov násobenia

Malo by sa pamätať na to, že všetky vyššie uvedené vzorce sa tiež používajú sprava doľava.

Mnohé príklady v učebniciach sú navrhnuté tak, aby ste použili vzorce na zostavenie polynómu späť.

• a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
• (ac − 4b) (ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2

Tabuľku so všetkými vzorcami na skrátené násobenie si môžete stiahnuť v sekcii "

Chýbať nebudú ani úlohy na samostatné riešenie, na ktoré si môžete pozrieť odpovede.

Skrátené vzorce násobenia umožňujú vykonávať identické transformácie výrazov - polynómov. S ich pomocou môžu byť polynómy faktorizované a pomocou vzorcov v opačnom poradí môžu byť produkty dvojčlenov, štvorcov a kociek reprezentované ako polynómy. Zoberme si všetky všeobecne akceptované vzorce na skrátené násobenie, ich odvodenie, bežné úlohy na identické transformácie výrazov pomocou týchto vzorcov, ako aj zadania domácich úloh (odpovede na ne sa otvárajú odkazmi).

súčet štvorec

Vzorec pre druhú mocninu súčtu je rovnosť

(druhá mocnina súčtu dvoch čísel sa rovná druhej mocnine prvého čísla plus dvojnásobku súčinu prvého čísla a druhého plus druhej mocniny druhého čísla).

Namiesto a A b do tohto vzorca možno dosadiť ľubovoľné číslo.

Vzorec súčtu štvorcových sa často používa na zjednodušenie výpočtov. Napríklad,

Pomocou súčtového štvorcového vzorca možno polynóm rozdeliť na faktor, konkrétne reprezentovaný ako súčin dvoch identických faktorov.

Príklad 1

.

Príklad 2 Napíšte ako polynomický výraz

Riešenie. Podľa vzorca druhej mocniny súčtu dostaneme

Druhá mocnina rozdielu

Vzorec pre druhú mocninu rozdielu je rovnosť

(druhá mocnina rozdielu dvoch čísel sa rovná druhej mocnine prvého čísla mínus dvojnásobok súčinu prvého čísla a druhého plus druhej mocniny druhého čísla).

Vzorec na druhú mocninu rozdielu sa často používa na zjednodušenie výpočtov. Napríklad,

Pomocou vzorca rozdielového štvorca možno polynóm faktorizovať, konkrétne reprezentovať ako súčin dvoch identických faktorov.

Vzorec vyplýva z pravidla pre násobenie polynómu polynómom:

Príklad 5 Napíšte ako polynomický výraz

Riešenie. Podľa vzorca druhej mocniny rozdielu dostaneme

.

Použite skrátený vzorec násobenia sami a potom uvidíte riešenie

Kompletný štvorcový výber

Polynóm druhého stupňa často obsahuje druhú mocninu súčtu alebo rozdielu, ale je obsiahnutý v skrytej forme. Ak chcete explicitne získať úplný štvorec, musíte transformovať polynóm. Na tento účel je spravidla jeden z členov polynómu reprezentovaný ako dvojitý súčin a potom sa rovnaké číslo pripočítava a odčítava od polynómu.

Príklad 7

Riešenie. Tento polynóm možno transformovať takto:

Tu sme predstavili 5 X vo forme dvojitého súčinu 5/2 by X, pridal k polynómu a odčítal od neho rovnaké číslo, potom použil vzorec súčtu štvorca pre binom.

Takže sme dokázali rovnosť

,

sa rovná celému štvorcu plus číslo .

Príklad 8 Zvážte polynóm druhého stupňa

Riešenie. Urobme na ňom nasledujúce transformácie:

Tu sme predstavili 8 X vo forme dvojitého produktu X o 4, pripočítané k polynómu a odčítané od neho rovnaké číslo 4², aplikované štvorcový vzorec pre dvojčlen X − 4 .

Takže sme dokázali rovnosť

,

čo ukazuje, že polynóm druhého stupňa

sa rovná plnému štvorcu plus číslo -16.

Použite skrátený vzorec násobenia sami a potom uvidíte riešenie

súčet kocka

Vzorec súčtu kocky je rovnosť

(Kocka súčtu dvoch čísel sa rovná tretej mocnine prvého čísla plus trojnásobok druhej mocniny prvého a druhého čísla plus trojnásobok súčinu prvého čísla a druhej mocniny druhého plus kocka druhého čísla).

Vzorec súčtu kocky je odvodený takto:

Príklad 10 Napíšte ako polynomický výraz

Riešenie. Podľa vzorca súčtu kocky dostaneme

Použite skrátený vzorec násobenia sami a potom uvidíte riešenie

rozdielová kocka

Vzorec rozdielovej kocky je rovnosť

(Kocka rozdielu dvoch čísel sa rovná tretej mocnine prvého čísla mínus trojnásobok druhej mocniny prvého a druhého čísla plus trojnásobok súčinu prvého čísla a druhej mocniny druhého mínus kocka druhého čísla).

Pomocou vzorca súčtovej kocky možno polynóm rozložiť na faktory, konkrétne ho možno reprezentovať ako súčin troch rovnakých faktorov.

Vzorec rozdielovej kocky je odvodený takto:

Príklad 12. Napíšte ako polynomický výraz

Riešenie. Pomocou vzorca rozdielovej kocky dostaneme

Použite skrátený vzorec násobenia sami a potom uvidíte riešenie

Rozdiel štvorcov

Vzorec pre rozdiel štvorcov je rovnosť

(rozdiel druhých mocnín dvoch čísel sa rovná súčinu súčtu týchto čísel a ich rozdielu).

Pomocou vzorca súčtu kocky je možné rozdeliť akýkoľvek polynóm tvaru na faktor.

Dôkaz vzorca bol získaný pomocou pravidla násobenia pre polynómy:

Príklad 14 Napíšte súčin ako polynóm

.

Riešenie. Podľa vzorca rozdielu štvorcov dostaneme

Príklad 15 Faktorizovať

Riešenie. Tento výraz v explicitnej forme nezodpovedá žiadnej identite. Ale číslo 16 môže byť reprezentované ako mocnina so základom 4: 16=4². Potom bude mať pôvodný výraz inú formu:

,

a toto je vzorec pre rozdiel štvorcov a použitím tohto vzorca dostaneme

V predchádzajúcej lekcii sme sa zaoberali faktorizáciou. Zvládli sme dve metódy: vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek a zoskupenie. V tomto návode je uvedená nasledujúca účinná metóda: skrátené vzorce násobenia. V krátkosti - FSU.

Skrátené vzorce na násobenie (druhá mocnina súčtu a rozdielu, kocka súčtu a rozdielu, rozdiel druhých mocnín, súčet a rozdiel kociek) sú nevyhnutné vo všetkých odvetviach matematiky. Používajú sa pri zjednodušovaní výrazov, riešení rovníc, násobení polynómov, redukcii zlomkov, riešení integrálov atď. a tak ďalej. Stručne povedané, existujú všetky dôvody, prečo sa nimi zaoberať. Pochopte, odkiaľ pochádzajú, prečo sú potrebné, ako si ich zapamätať a ako ich aplikovať.

Rozumieme sa?)

Odkiaľ pochádzajú vzorce pre skrátené násobenie?

Rovnosti 6 a 7 nie sú napísané veľmi obvyklým spôsobom. Akože naopak. Toto je zámer.) Akákoľvek rovnosť funguje zľava doprava aj sprava doľava. V takomto zázname je jasnejšie, odkiaľ FSO pochádza.

Sú prevzaté z násobenia.) Napríklad:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

To je všetko, žiadne vedecké triky. Len vynásobíme zátvorky a dáme podobné. Takto to dopadá všetky skrátené vzorce násobenia. skrátené násobenie je preto, že v samotných vzorcoch nedochádza k násobeniu zátvoriek a redukcii podobných. Znížená.) Výsledok je okamžite daný.

FSU potrebuje vedieť naspamäť. Bez prvých troch nemôžete snívať o trojke, bez zvyšku - o štvorke s päťkou.)

Prečo potrebujeme skrátené vzorce násobenia?

Existujú dva dôvody, prečo sa tieto vzorce naučiť, dokonca si ich zapamätať. Prvá - pripravená odpoveď na stroji dramaticky znižuje počet chýb. Ale to nie je hlavný dôvod. A tu je druhý...

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Jednou z prvých tém preberaných v kurze algebry sú vzorce pre skrátené násobenie. V 7. ročníku sa používajú v najjednoduchších situáciách, kde je potrebné rozpoznať jeden zo vzorcov vo výraze a rozložiť polynóm na súčin alebo naopak rýchlo odmocniť či oddeliť súčet alebo rozdiel. V budúcnosti sa FSU používa na rýchle riešenie nerovníc a rovníc a dokonca aj na výpočet niektorých číselných výrazov bez kalkulačky.

Ako vyzerá zoznam vzorcov?

Existuje 7 základných vzorcov, ktoré vám umožňujú rýchlo násobiť polynómy v zátvorkách.

Niekedy tento zoznam obsahuje aj rozšírenie štvrtého stupňa, ktoré vyplýva z prezentovaných identít a má formu:

a⁴ - b4 = (a - b) (a + b) (a2 + b2).

Všetky rovnosti majú pár (súčet - rozdiel), okrem rozdielu štvorcov. Neexistuje žiadny vzorec pre súčet štvorcov.

Zvyšok rovnosti je ľahko zapamätateľný.:

Malo by sa pamätať na to, že FSO fungujú v každom prípade a pre akékoľvek hodnoty. a A b: môžu to byť ľubovoľné čísla aj celočíselné výrazy.

V situácii, keď si zrazu neviete spomenúť, ktoré znamienko je vo vzorci pred jedným alebo druhým výrazom, môžete otvoriť zátvorky a získať rovnaký výsledok ako po použití vzorca. Napríklad, ak sa vyskytol problém pri aplikácii FSU rozdielovej kocky, musíte napísať pôvodný výraz a vykonajte násobenie jeden po druhom:

(a - b)3 = (a - b) (a - b) (a - b) = (a² - ab - ab + b²) (a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a3 - 3a²b + 3ab² - b³.

Výsledkom je, že po redukcii všetkých takýchto členov sa získal rovnaký polynóm ako v tabuľke. Rovnaké manipulácie možno vykonať so všetkými ostatnými FSO.

Aplikácia FSO na riešenie rovníc

Napríklad potrebujete vyriešiť rovnicu obsahujúcu Polynóm 3. stupňa:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

V školských osnovách sa neuvažuje o univerzálnych technikách riešenia kubických rovníc a takéto úlohy sa najčastejšie riešia jednoduchšími metódami (napríklad faktorizáciou). Ak si všimnete, že ľavá strana identity pripomína kocku súčtu, rovnicu možno napísať v jednoduchšej forme:

(x + 1)3 = 0.

Koreň takejto rovnice sa vypočíta ústne: x = -1.

Nerovnosti sa riešia podobným spôsobom. Napríklad môžeme vyriešiť nerovnosť x³ - 6x² + 9x > 0.

V prvom rade je potrebné rozložiť výraz na faktory. Najprv musíte odstrániť držiaky X. Potom by ste mali venovať pozornosť tomu, že výraz v zátvorkách možno previesť na druhú mocninu rozdielu.

Potom musíte nájsť body, v ktorých výraz nadobúda nulové hodnoty, a označiť ich na číselnej osi. V konkrétnom prípade to budú 0 a 3. Potom pomocou intervalovej metódy určte, v akých intervaloch x bude spĺňať podmienku nerovnosti.

FSO môžu byť nápomocné pri realizácii niektoré výpočty bez pomoci kalkulačky:

703² – 203² = (703 + 203)(703 – 203) = 906 ∙ 500 = 453 000.

Okrem toho rozkladom výrazov môžete ľahko zmenšiť zlomky a zjednodušiť rôzne algebraické výrazy.

Príklady úloh pre ročníky 7-8

Na záver rozoberieme a vyriešime dve úlohy na aplikáciu skrátených vzorcov násobenia v algebre.

Úloha 1. Zjednodušte výraz:

(m + 3)² + (3 m + 1) (3 m - 1) - 2 m (5 m + 3).

Riešenie. Podmienkou zadania je zjednodušenie výrazu, t.j. otvorenie zátvoriek, vykonanie operácií násobenia a umocňovania a tiež uvedenie všetkých takýchto výrazov. Výraz podmienečne rozdelíme na tri časti (podľa počtu termínov) a zátvorky otvoríme jednu po druhej, ak je to možné, pomocou FSU.

• (m + 3)² = m² + 6 m + 9(druhý súčet);
• (3 m + 1) (3 m - 1) = 9 m² - 1(rozdiel štvorcov);
• V poslednom termíne musíte vykonať násobenie: 2 m (5 m + 3) = 10 m² + 6 m.

Nahraďte výsledky pôvodným výrazom:

(m² + 6m + 9) + (9m² - 1) - (10m² + 6m).

Berúc do úvahy znaky, otvárame zátvorky a dávame podobné výrazy:

m² + 6 m + 9 + 9 m² 1 - 10 m² - 6 m = 8.

Úloha 2. Vyriešte rovnicu obsahujúcu neznámu k s mocninou 5:

k⁵ + 4k⁴ + 4k3 - 4k² - 4k = k3.

Riešenie. V tomto prípade je potrebné použiť FSO a metódu zoskupovania. Potrebujeme preniesť posledný a predposledný výraz na pravú stranu identity.

k⁵ + 4k⁴ + 4k3 = k3 + 4k² + 4k.

Spoločný multiplikátor sa preberá z pravej a ľavej časti (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k(k² + 4k + 4).

Všetko sa prenesie na ľavú stranu rovnice tak, že 0 zostane na pravej strane:

k³(k² + 4k + 4) - k(k² + 4k + 4) = 0.

Opäť musíte odstrániť spoločný faktor:

(k3 - k) (k² + 4k + 4) = 0.

Z prvého získaného faktora môžeme odvodiť k. Podľa krátkeho násobiaceho vzorca bude druhý faktor identicky rovný (k + 2)²:

k (k² - 1) (k + 2)² = 0.

Použitie vzorca rozdielu štvorcov:

k (k - 1) (k + 1) (k + 2)² = 0.

Keďže súčin je 0, ak je aspoň jeden z jeho faktorov nula, nebude ťažké nájsť všetky korene rovnice:

1. k = 0;
2. k - 1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)2 = 0; k = -2.

Na základe názorných príkladov je možné pochopiť, ako si zapamätať vzorce, ich rozdiely a tiež vyriešiť niekoľko praktických problémov pomocou FSU. Úlohy sú jednoduché a nemalo by byť ťažké ich splniť.

Na zjednodušenie algebraických polynómov existujú skrátené vzorce násobenia. Nie je ich až tak veľa a sú ľahko zapamätateľné, no treba si ich zapamätať. Zápis použitý vo vzorcoch môže mať akúkoľvek formu (číslo alebo polynóm).

Prvý skrátený vzorec násobenia je tzv rozdiel štvorcov. Spočíva v tom, že od druhej mocniny jedného čísla sa odčíta druhá mocnina rovnajúca sa rozdielu medzi týmito číslami, ako aj ich súčinu.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

Poďme analyzovať pre prehľadnosť:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

Druhá formulka o súčet štvorcov. Znie to tak, že súčet dvoch hodnôt na druhú sa rovná druhej mocnine prvej hodnoty, pripočíta sa k nej dvojitý súčin prvej hodnoty vynásobený druhou, k nim sa pridá druhá mocnina druhej hodnoty.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Vďaka tomuto vzorcu je oveľa jednoduchšie vypočítať druhú mocninu veľkého čísla bez použitia počítačovej technológie.

Tak napríklad:štvorec 112 bude
1) Na začiatku si 112 rozoberieme na čísla, ktorých druhé mocniny sú nám známe
112 = 100 + 12
2) Prijaté zadáme do hranatých zátvoriek
112 2 = (100+12) 2
3) Použitím vzorca dostaneme:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Tretí vzorec je rozdiel na druhú. Čo hovorí, že dve hodnoty, ktoré sa od seba odpočítajú na druhú, sa rovnajú skutočnosti, že od prvej mocniny odčítame dvojitý súčin prvej hodnoty vynásobený druhou a pripočítame k nim druhú mocninu druhej hodnoty.

(a + b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2

kde (a - b) 2 sa rovná (b - a) 2 . Aby sme to dokázali, (a-b) 2 = a 2 -2ab + b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

Štvrtý skrátený vzorec násobenia je tzv súčet kocka. Čo znie takto: dva členy hodnoty v kocke sa rovnajú kocke 1 hodnoty, pripočíta sa k nim trojnásobný súčin 1 druhej mocniny vynásobenej 2. hodnotou, pripočíta sa k nim trojnásobný súčin 1 hodnoty vynásobenej druhou mocninou 2 hodnoty, plus druhá kocka.

(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Piaty, ako ste už pochopili, sa volá rozdielová kocka. Ktorý nájde rozdiely medzi hodnotami, keďže od prvého označenia v kocke odpočítame trojitý súčin prvého označenia umocnený druhým, pripočíta sa k nim trojnásobný súčin prvého označenia vynásobený druhou mocninou druhého označenia mínus druhé označenie v kocke.

(a-b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Šiesty je tzv súčet kociek. Súčet kociek sa rovná súčinu dvoch členov vynásobených neúplnou druhou mocninou rozdielu, pretože v strede nie je žiadna zdvojnásobená hodnota.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 -ab + b 2)

Iným spôsobom môžete povedať, že súčet kociek možno nazvať produktom v dvoch zátvorkách.

Siedma a posledná sa volá rozdiel kociek(ľahko si to pomýlite so vzorcom rozdielovej kocky, ale to sú iné veci). Rozdiel kociek sa rovná súčinu rozdielu dvoch veličín vynásobených neúplnou druhou mocninou súčtu, keďže v strede nie je žiadna zdvojnásobená hodnota.

a 3 - b 3 \u003d (a-b) (a 2 + ab + b 2)

A tak existuje len 7 vzorcov na skrátené násobenie, sú si navzájom podobné a ľahko zapamätateľné, len sa nemýliť v znamienkach. Sú navrhnuté aj na použitie v opačnom poradí a takýchto úloh je v učebniciach zozbieraných pomerne veľa. Buďte opatrní a budete úspešní.

Ak máte nejaké otázky ohľadom vzorcov, určite ich napíšte do komentárov. Radi Vám odpovieme!

Ak ste na materskej dovolenke, ale chcete si zarobiť. Stačí sledovať odkaz Internetové podnikanie s Oriflame. Všetko je napísané a zobrazené veľmi podrobne. Bude to zaujímavé!