Pomer dvoch čísel

Definícia 1

Pomer dvoch čísel je ich súkromný.

Príklad 1

pomer 18 $ ku 3 $ možno zapísať ako:

$18\div 3=\frac(18)(3)=6$.

pomer $ 5 $ k $ 15 $ možno zapísať ako:

$5\div 15=\frac(5)(15)=\frac(1)(3)$.

Používaním pomer dvoch čísel možno ukázať:

• koľkokrát je jedno číslo väčšie ako druhé;
• akú časť predstavuje jedno číslo od druhého.

Pri zostavovaní pomeru dvoch čísel v menovateli zlomku zapíšte číslo, s ktorým sa porovnáva.

Najčastejšie takéto číslo nasleduje za slovami „v porovnaní s ...“ alebo pred predložkou „k ...“.

Pripomeňte si základnú vlastnosť zlomku a aplikujte ju na vzťah:

Poznámka 1

Pri vynásobení alebo delení oboch členov vzťahu rovnakým číslom iným ako nula dostaneme pomer, ktorý sa rovná pôvodnému.

Uvažujme o príklade, ktorý ilustruje použitie konceptu pomeru dvoch čísel.

Príklad 2

Množstvo zrážok v predchádzajúcom mesiaci bolo 195 USD mm a v aktuálnom mesiaci - 780 USD mm. O koľko sa zvýšil úhrn zrážok v aktuálnom mesiaci v porovnaní s predchádzajúcim mesiacom?

Riešenie.

Zostavte pomer množstva zrážok v aktuálnom mesiaci k množstvu zrážok v predchádzajúcom mesiaci:

$\frac(780)(195)=\frac(780\div 5)(195\div 5)=\frac(156\div 3)(39\div 3)=\frac(52)(13)=4$.

Odpoveď: množstvo zrážok v aktuálnom mesiaci je 4 $ krát viac ako v predchádzajúcom mesiaci.

Príklad 3

Zistite, koľkokrát je číslo $1 \frac(1)(2)$ obsiahnuté v čísle $13 \frac(1)(2)$.

Riešenie.

$13 \frac(1)(2)\div 1 \frac(1)(2)=\frac(27)(2)\div \frac(3)(2)=\frac(27)(2) \cdot \frac(2)(3)=\frac(27)(3)=9$.

Odpoveď: $ 9 $ krát.

Pojem proporcie

Definícia 2

Proporcia sa nazýva rovnosť dvoch vzťahov:

$a\div b=c\div d$

$\frac(a)(b)=\frac(c)(d)$.

Príklad 4

$3\div 6=9\div 18$, $5\div 15=9\div 27$, $4\div 2=24\div 12$,

$\frac(8)(2)=\frac(36)(9)$, $\frac(10)(40)=\frac(9)(36)$, $\frac(15)(75)=\frac(1)(5)$.

V pomere $\frac(a)(b)=\frac(c)(d)$ (alebo $a:b = c\div d$) sa čísla a a d nazývajú extrémnych členov proporcie, kým čísla $b$ a $c$ sú strední členovia proporcie.

Správny pomer je možné previesť takto:

Poznámka 2

Súčin extrémnych členov správneho podielu sa rovná súčinu stredných členov:

$a \cdot d=b \cdot c$.

Toto vyhlásenie je základná vlastnosť proporcie.

Opak je tiež pravdou:

Poznámka 3

Ak sa súčin extrémnych členov podielu rovná súčinu jeho stredných členov, potom je podiel správny.

Poznámka 4

Ak sú stredné výrazy alebo extrémne výrazy usporiadané v správnom pomere, potom budú správne aj získané proporcie.

Príklad 5

$6\div 3=18\div 9$, $15\div 5=27\div 9$, $2\div 4=12\div 24$,

$\frac(2)(8)=\frac(9)(36)$, $\frac(40)(10)=\frac(36)(9)$, $\frac(75)(15)=\frac(5)(1)$.

Pomocou tejto vlastnosti je ľahké nájsť neznámy výraz z podielu, ak sú známe ďalšie tri:

$a=\frac(b \cdot c)(d)$; $b=\frac(a \cdot d)(c)$; $c=\frac(a \cdot d)(b)$; $d=\frac(b \cdot c)(a)$.

Príklad 6

$\frac(6)(a)=\frac(16)(8)$;

$6 \cdot 8=16 \cdot a$;

$16 \cdot a=6 \cdot 8$;

$16 \cdot a=48$;

$a=\frac(48)(16)$;

Príklad 7

$\frac(a)(21)=\frac(8)(24)$;

$a \cdot 24=21 \cdot 8$;

$a \cdot 24=168$;

$a=\frac(168)(24)$;

3 doláre záhradník - 108 dolárov stromy;

$x$ záhradníci - $252$ strom.

Urobme pomer:

$\frac(3)(x)=\frac(108)(252)$.

Použime pravidlo na nájdenie neznámeho členu podielu:

$b=\frac(a \cdot d)(c)$;

$x=\frac(3 \cdot 252)(108)$;

$x=\frac(252)(36)$;

Odpoveď: Orezať stromy v hodnote 252 $ bude trvať záhradkárom 7 $.

Najčastejšie sa vlastnosti proporcie používajú v praxi pri matematických výpočtoch v prípadoch, keď je potrebné vypočítať hodnotu neznámeho člena proporcie, ak sú známe hodnoty ostatných troch členov.

Proporcia – rovnosť dvoch vzťahov, teda rovnosť formy a:b = c:d alebo, v inom zápise, rovnosť

Ak a : b = c : d, To a A d volal extrémna, A b A c - priemerčlenov proporcie.

Z „proporcie“ sa nedá ujsť, je nevyhnutná v mnohých úlohách. Existuje len jedna cesta von - vysporiadať sa s týmto pomerom a použiť pomer ako záchranca.

Predtým, ako pristúpime k zváženiu problémov proporcií, je dôležité pamätať na základné pravidlo proporcie:

V pomere

súčin extrémnych pojmov sa rovná súčinu priemeru

Ak je nejaká hodnota v pomere neznáma, bude ľahké ju nájsť na základe tohto pravidla.

Napríklad,

To znamená, že neznáma hodnota podielu - hodnota zlomku, v menovateli čo je číslo oproti neznámej hodnote , v čitateli - súčin zostávajúcich členov podielu (bez ohľadu na to, kde táto neznáma hodnota stojí).

Úloha 1.

Z 21 kg bavlníkových semien sa získalo 5,1 kg oleja. Koľko oleja sa získa zo 7 kg bavlníkových semien?

Riešenie:

Chápeme, že niekoľkonásobné zníženie hmotnosti semena znamená zníženie hmotnosti výsledného oleja o rovnakú hodnotu. To znamená, že množstvá priamo súvisia.

Doplňme tabuľku:

Neznáma hodnota - hodnota zlomku, v menovateli ktorého - 21 - hodnota opačná k neznámej v tabuľke, v čitateli - súčin zvyšných členov tabuľkového podielu.

Dostaneme teda, že zo 7 kg semena vyjde 1,7 kg oleja.

Komu Správny vyplňte tabuľku, je dôležité pamätať na pravidlo:

Zhodné mená musia byť napísané pod sebou. Percentá píšeme pod percentá, kilogramy pod kilogramy atď.

Úloha 2.

Previesť na radiány.

Riešenie:

My to vieme . Doplňme tabuľku:

odpoveď:

Úloha 3.

Na kockovanom papieri je znázornený kruh. Aká je plocha kruhu, ak je plocha tieňovaného sektora 27?

Riešenie:

Je jasne vidieť, že netienený sektor zodpovedá uhlu v (napríklad preto, že strany sektora sú tvorené osami dvoch susedných pravých uhlov). A keďže je celý kruh, potom tieňovaný sektor predstavuje .

Urobme si tabuľku:

Odkiaľ pochádza oblasť kruhu?

odpoveď:

Úloha 4.Po oraní 82 % celého poľa zostávalo zorať 9 hektárov. Aká je plocha celého poľa?

Riešenie:

Celé pole je 100%, a keďže 82% je oraných, tak zostáva zorať 100%-82%=18% poľa.

Vyplňte tabuľku:

Odkiaľ máme, že celé pole je (ha).

odpoveď:

A ďalšia úloha je s prepadom.

Úloha 5.

Vzdialenosť medzi dvoma mestami prejde osobný vlak rýchlosťou 80 km/h za 3 hodiny. Koľko hodín bude trvať, kým nákladný vlak prejde rovnakú vzdialenosť rýchlosťou 60 km/h?

Riešenie:

Ak tento problém vyriešite rovnakým spôsobom ako predchádzajúci, dostanete nasledovné:

čas potrebný na to, aby nákladný vlak prešiel rovnakú vzdialenosť ako osobný vlak, je hodín. To znamená, že sa ukazuje, že pri nižšej rýchlosti prekonáva (súčasne) vzdialenosť rýchlejšie ako vlak s vyššou rýchlosťou.

V čom spočíva chyba v uvažovaní?

Doteraz sme zvažovali problémy, kde boli množstvá navzájom priamo úmerné , teda výška rovnakej veľkosti o určitú čiastku, dáva výška druhá veličina s ňou spojená rovnakým počtom krát (samozrejme podobne s poklesom). A tu máme inú situáciu: rýchlosť osobného vlaku viac rýchlosť nákladného vlaku niekoľkonásobne, ale čas potrebný na prekonanie rovnakej vzdialenosti potrebuje osobný vlak menší toľko ako nákladný vlak. To znamená hodnoty navzájom nepriamo úmerné .

Schéma, ktorú sme doteraz používali, je v tomto prípade potrebné mierne upraviť.

Riešenie:

Uvažujeme takto:

Osobný vlak išiel 3 hodiny rýchlosťou 80 km/h, teda prešiel km. To znamená, že nákladný vlak prejde rovnakú vzdialenosť za jednu hodinu.

To znamená, že ak by sme mali vytvoriť pomernú časť, mali by sme najskôr vymeniť bunky v pravom stĺpci. Dostal by:

Odpoveď: .

Preto, pri zostavovaní pomeru buďte opatrní. Najprv zistite, s akým druhom závislosti máte čo do činenia – priamu alebo spätnú.

Nastavte pomer. V tomto článku sa s vami chcem porozprávať o proporciách. Aby ste pochopili, čo je to proporcia, aby ste si ju mohli skomponovať - ​​to je veľmi dôležité, skutočne to šetrí. Zdá sa, že je to malé a bezvýznamné „písmeno“ vo veľkej abecede matematiky, ale bez neho je matematika odsúdená na to, aby bola chromá a menejcenná.Najprv vám dovoľte pripomenúť, čo je to proporcia. Toto je rovnosť vo forme:

čo je to isté (ide o inú formu zápisu).

Príklad:

Hovorí sa, že jedna je dvom ako štyri sú osem. To znamená, že ide o rovnosť dvoch vzťahov (v tomto príklade sú vzťahy číselné).

Základné pravidlo proporcie:

a:b=c:d

súčin extrémnych pojmov sa rovná súčinu priemeru

to jest

a∙d=b∙c

*Ak je akákoľvek hodnota v pomere neznáma, vždy sa dá nájsť.

Ak vezmeme do úvahy formu záznamu formulára:

potom môžete použiť nasledujúce pravidlo, nazýva sa to „pravidlo kríža“: je napísaná rovnosť súčinov prvkov (čísel alebo výrazov) stojacich diagonálne

a∙d=b∙c

Ako vidíte, výsledok je rovnaký.

Ak sú známe tri prvky podielu, potomvždy môžeme nájsť štvrtú.

Toto je podstata úžitku a nevyhnutnostiproporcie pri riešení problémov.

Pozrime sa na všetky možnosti, kde neznáma hodnota x je na „ľubovoľnom mieste“ podielu, kde a, b, c sú čísla:

Hodnota stojaca na diagonále od x sa zapíše do menovateľa zlomku a známe hodnoty stojace na uhlopriečke sa zapíšu do čitateľa ako súčin. Nie je potrebné sa to učiť naspamäť, všetko si správne vypočítate, ak ovládate základné pravidlo proporcie.

Teraz hlavná otázka súvisiaca s názvom článku. Kedy pomer šetrí a kde sa používa? Napríklad:

1. V prvom rade sú to úlohy pre zaujímavosť. Zvažovali sme ich v článkoch „“ a „“.

2. Mnohé vzorce sú uvedené ako pomery:

> sínusová veta

> pomer prvkov v trojuholníku

> tangentová veta

> Thalesova veta a iné.

3. V úlohách o geometrii je pomer strán (iných prvkov) alebo plôch často nastavený v podmienke, napríklad 1:2, 2:3 a iné.

4. Konverzia jednotiek merania a podiel sa používa na prevod jednotiek v jednej miere a na konverziu z jednej miery na druhú:

hodiny až minúty (a naopak).

jednotky objemu, plochy.

— dĺžky, ako sú míle až kilometre (a naopak).

stupňov na radiány (a naopak).

tu je bez zostavovania pomeru nevyhnutné.

Kľúčovým bodom je, že musíte správne nadviazať korešpondenciu, zvážte jednoduché príklady:

Je potrebné určiť číslo, ktoré je 35% zo 700.

V problémoch s percentami sa hodnota, s ktorou porovnávame, berie ako 100 %. Označme neznáme číslo ako x. Porovnajme sa:

Môžeme povedať, že sedemsto tridsaťpäť zodpovedá 100 percentám.

X zodpovedá 35 percentám. znamená,

700 – 100%

x – 35 %

My rozhodujeme

odpoveď: 245

Preveďte 50 minút na hodiny.

Vieme, že jedna hodina zodpovedá 60 minútam. Označme korešpondenciu -x hodín je 50 minút. Prostriedky

1 – 60

x - 50

Rozhodujeme sa:

To znamená, že 50 minút je päť šestín hodiny.

Odpoveď: 5/6

Nikolaj Petrovič išiel 3 kilometre. Koľko to bude v míľach (všimnite si, že 1 míľa je 1,6 km)?

Vieme, že 1 míľa je 1,6 kilometra. Zoberme si počet míľ, ktoré Nikolaj Petrovič precestoval, ako x. Môžeme porovnávať:

Jedna míľa zodpovedá 1,6 kilometru.

X míľ sú tri kilometre.

1 – 1,6

x - 3

Odpoveď: 1 875 míľ

Viete, že existujú vzorce na prevod stupňov na radiány (a naopak). Nezapisujem si ich, pretože si myslím, že je zbytočné učiť sa ich naspamäť, a preto si musíte veľa informácií uchovávať v pamäti. Vždy môžete previesť stupne na radiány (a naopak), ak použijete pomer.

Preveďte 65 stupňov na radiány.

Hlavná vec na zapamätanie je, že 180 stupňov sú radiány Pi.

Označme požadovanú hodnotu ako x. Nastavte zápas.

Stoosemdesiat stupňov zodpovedá Pi radiánom.

Šesťdesiatpäť stupňov zodpovedá x radiánom. prestuduj si clanok na túto tému blogu. Materiál je prezentovaný trochu iným spôsobom, ale princíp je rovnaký. Skončím s týmto. Určite bude niečo zaujímavejšie, nenechajte si to ujsť!

Ak si pripomenieme samotnú definíciu matematiky, tak tá obsahuje tieto slová: matematika študuje kvantitatívne VZŤAHY (VZŤAHY- kľúčové slovo tu). Ako vidíte, samotná definícia matematiky obsahuje pomer. Vo všeobecnosti matematika bez proporcií nie je matematika!!!

Všetko najlepšie!

S pozdravom Alexander

P.S: Bol by som vďačný, keby ste o stránke povedali na sociálnych sieťach.

Proporčný vzorec

Proporcia je rovnosť dvoch pomerov, keď a:b=c:d

pomer 1 : 10 sa rovná pomeru 7 : 70, ktorý možno zapísať aj zlomkom: 1 10 = 7 70 znie: "jedna je desiatka ako sedem je sedemdesiat"

Základné vlastnosti proporcie

Súčin extrémnych členov sa rovná súčinu stredných členov (krížovo): ak a:b=c:d , potom a⋅d=b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

Inverzia proporcií: ak a:b=c:d , potom b:a=d:c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

Permutácia stredných členov: ak a:b=c:d , potom a:c=b:d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

Permutácia extrémnych členov: ak a:b=c:d , potom d:b=c:a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

Riešenie podielu s jednou neznámou | Rovnica

1 : 10 = X : 70 alebo 1 10 = X 70

Ak chcete nájsť x, musíte vynásobiť dve známe čísla krížom a vydeliť ich opačnou hodnotou

X = 1 ⋅ 70 10 = 7

Ako vypočítať pomer

Úloha: musíte vypiť 1 tabletu aktívneho uhlia na 10 kilogramov hmotnosti. Koľko tabliet sa má užiť, ak osoba váži 70 kg?

Urobme pomer: 1 tableta - 10 kg X tablety - 70 kg Ak chcete nájsť x, musíte vynásobiť dve známe čísla krížom a vydeliť opačnou hodnotou: 1 tableta X tablety✕ 10 kg 70 kg X = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 odpoveď: 7 tabliet

Úloha: Vasya napíše dva články za päť hodín. Koľko článkov napíše za 20 hodín?

Urobme pomer: 2 články - 5 hodín Xčlánky - 20 hodín X = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 odpoveď: 8 článkov

Budúcim maturantom môžem povedať, že schopnosť robiť proporcie mi prišla vhod ako pri proporcionálnom zmenšení obrázkov, tak v HTML rozložení webovej stránky a v bežných situáciách.