Tieto vlastnosti sa používajú na vykonávanie transformácií integrálu, aby sa dostal na jeden z elementárnych integrálov a na ďalší výpočet.

1. Derivácia neurčitého integrálu sa rovná integrandu:

2. Diferenciál neurčitého integrálu sa rovná integrandu:

3. Neurčitý integrál diferenciálu nejakej funkcie sa rovná súčtu tejto funkcie a ľubovoľnej konštanty:

4. Z integrálneho znamienka možno vyňať konštantný faktor:

Navyše a ≠ 0

5. Integrál súčtu (rozdielu) sa rovná súčtu (rozdielu) integrálov:

6. Nehnuteľnosť je kombináciou vlastností 4 a 5:

Navyše a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Vlastnosť invariantnosti neurčitého integrálu:

Ak potom

8. Nehnuteľnosť:

Ak potom

V skutočnosti je táto vlastnosť špeciálnym prípadom integrácie pomocou metódy premennej zmeny, ktorá je podrobnejšie diskutovaná v ďalšej časti.

Zvážte príklad:

Najprv sme použili vlastnosť 5, potom vlastnosť 4, potom sme použili tabuľku primitívnych derivátov a dostali sme výsledok.

Algoritmus našej online integrálnej kalkulačky podporuje všetky vlastnosti uvedené vyššie a ľahko nájde podrobné riešenie pre váš integrál.

V diferenciálnom počte je problém vyriešený: pod danou funkciou ƒ(x) nájdite jej deriváciu(alebo diferenciál). Integrálny počet rieši inverzný problém: nájsť funkciu F (x), pričom poznáme jej deriváciu F "(x) \u003d ƒ (x) (alebo diferenciál). Požadovaná funkcia F (x) sa nazýva primitívna funkcia funkcie ƒ (x).

Zavolá sa funkcia F(x). primitívny funkcia ƒ(x) na intervale (a; b), ak je pre ľubovoľné x є (a; b) rovnosť

F "(x)=ƒ(x) (alebo dF(x)=ƒ(x)dx).

Napríklad, priraďovacia funkcia y \u003d x 2, x є R je funkcia, pretože

Je zrejmé, že pridružené prvky budú tiež akékoľvek funkcie

kde C je konštanta, pretože

Veta 29. 1. Ak je funkcia F(x) primitívom funkcie ƒ(x) na (a;b), potom množina všetkých primitív pre ƒ(x) je daná vzorcom F(x)+ C, kde C je konštantné číslo.

▲ Funkcia F(x)+C je primitívna funkcia ƒ(x).

Skutočne, (F(x)+C) "=F" (x)=ƒ(x).

Nech F(x) je nejaká iná, odlišná od F(x), primitívna funkcia ƒ(x), t.j. Ф "(x)=ƒ(x). Potom pre ľubovoľné x є (a; b) máme

A to znamená (pozri Dôsledok 25.1).

kde C je konštantné číslo. Preto Ф(х)=F(x)+С.▼

Zavolá sa množina všetkých primitívnych funkcií F(x)+C pre ƒ(x). neurčitý integrál funkcie ƒ(x) a označuje sa symbolom ∫ ƒ(x) dx.

Takže podľa definície

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Tu sa volá ƒ(x). integrand, ƒ(x)dx — integrand, X - integračná premenná, ∫ -znamenie neurčitý integrál .

Operácia hľadania neurčitého integrálu funkcie sa nazýva integrácia tejto funkcie.

Geometricky neurčitý integrál je rodina "paralelných" kriviek y \u003d F (x) + C (každá číselná hodnota C zodpovedá určitej krivke rodiny) (pozri obr. 166). Graf každého primitívneho prvku (krivky) je tzv integrálna krivka.

Má každá funkcia neurčitý integrál?

Existuje teorém, ktorý hovorí, že „každá funkcia spojitá na (a;b) má primitívnu deriváciu na tomto intervale“, a teda neurčitý integrál.

Zaznamenávame množstvo vlastností neurčitého integrálu, ktoré vyplývajú z jeho definície.

1. Diferenciál neurčitého integrálu sa rovná integrandu a derivácia neurčitého integrálu sa rovná integrandu:

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) "=ƒ(x).

Skutočne, d (∫ ƒ (x) dx) \u003d d (F (x) + C) \u003d dF (x) + d (C) \u003d F "(x) dx \u003d ƒ (x) dx

(∫ ƒ (x) dx) "=(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ(x).

Vďaka tejto vlastnosti je správnosť integrácie overená diferenciáciou. Napríklad rovnosť

∫(3x 2 + 4) dx=x h + 4x+C

pravda, pretože (x 3 + 4x + C) "= 3x 2 +4.

2. Neurčitý integrál diferenciálu nejakej funkcie sa rovná súčtu tejto funkcie a ľubovoľnej konštanty:

∫dF(x)=F(x)+C.

naozaj,

3. Konštantný faktor je možné vyňať zo znamienka integrálu:

α ≠ 0 je konštanta.

naozaj,

(uveďte C 1 / a \u003d C.)

4. Neurčitý integrál algebraického súčtu konečného počtu spojitých funkcií sa rovná algebraickému súčtu integrálov členov funkcií:

Nech F"(x)=ƒ(x) a G"(x)=g(x). Potom

kde C 1 ± C 2 \u003d C.

5. (Nemennosť integračného vzorca).

Ak , kde u=φ(x) je ľubovoľná funkcia, ktorá má spojitú deriváciu.

▲ Nech x je nezávislá premenná, ƒ(x) - nepretržitá funkcia a F(x) je jeho primitívny derivát. Potom

Stanovme teraz u=φ(x), kde φ(x) je spojito diferencovateľná funkcia. Uvažujme komplexnú funkciu F(u)=F(φ(x)). V dôsledku invariantnosti tvaru prvého diferenciálu funkcie (pozri s. 160) máme

Odtiaľ▼

Vzorec pre neurčitý integrál teda zostáva platný bez ohľadu na to, či je integračná premenná nezávislou premennou alebo akoukoľvek jej funkciou, ktorá má spojitú deriváciu.

Takže zo vzorca nahradením x za u (u=φ(x)) dostaneme

najmä

Príklad 29.1. Nájdite integrál

kde C \u003d C1 + C2 + C3 + C4.

Príklad 29.2. Nájdite integrálne riešenie:

• 29.3. Tabuľka základných neurčitých integrálov

Využitím skutočnosti, že integrácia je inverziou derivácie, je možné získať tabuľku základných integrálov invertovaním zodpovedajúcich vzorcov diferenciálneho počtu (tabuľky diferenciálov) a použitím vlastností neurčitého integrálu.

Napríklad, pretože

d(sin u)=cos u . du,

Pri zvažovaní hlavných metód integrácie bude uvedené odvodenie niekoľkých vzorcov tabuľky.

Integrály v tabuľke nižšie sa nazývajú tabuľkové integrály. Mali by byť známe naspamäť. V integrálnom počte neexistujú jednoduché a univerzálne pravidlá na hľadanie primitívnych derivátov z elementárne funkcie, ako v diferenciálnom počte. Metódy na hľadanie primitívnych prvkov (t. j. integrovanie funkcie) sú redukované na indikačné metódy, ktoré prinesú daný (požadovaný) integrál do tabuľkového. Preto je potrebné poznať tabuľkové integrály a vedieť ich rozpoznať.

Všimnite si, že v tabuľke základných integrálov integračná premenná a môže označovať nezávislú premennú aj funkciu nezávisle premennej (podľa vlastnosti invariantnosti integračného vzorca).

Platnosť vzorcov uvedených nižšie možno overiť zobratím diferenciálu na pravej strane, ktorý sa bude rovnať integrandu na ľavej strane vzorca.

Dokážme napríklad platnosť vzorca 2. Funkcia 1/u je definovaná a spojitá pre všetky nenulové hodnoty u.

Ak u > 0, potom ln|u|=lnu, potom Preto

Ak ty<0, то ln|u|=ln(-u). НоProstriedky

Takže vzorec 2 je správny. Podobne skontrolujeme vzorec 15:

Tabuľka základných integrálov

Priatelia! Pozývame vás na diskusiu. Ak máte názor, napíšte nám do komentárov.

V tomto článku uvádzame hlavné vlastnosti určitého integrálu. Väčšina týchto vlastností je dokázaná na základe Riemannovej a Darbouxovej koncepcie určitého integrálu.

Výpočet určitého integrálu sa veľmi často vykonáva pomocou prvých piatich vlastností, preto sa na ne v prípade potreby odvoláme. Zvyšné vlastnosti určitého integrálu sa používajú najmä na vyhodnotenie rôznych výrazov.

Pred prechodom na základné vlastnosti určitého integrálu, súhlasíme s tým, že a nepresahuje b .

Pre funkciu y = f(x) , definovanú pre x = a , platí rovnosť.

To znamená, že hodnota určitého integrálu s rovnakými integračnými limitmi je nula. Táto vlastnosť je dôsledkom definície Riemannovho integrálu, pretože v tomto prípade je každý integrálny súčet pre ľubovoľné rozdelenie intervalu a ľubovoľný výber bodov rovný nule, pretože teda limita integrálnych súčtov je nula.

Pre funkciu integrovateľnú do segmentu máme .

Inými slovami, keď sa horná a dolná hranica integrácie obráti, hodnota určitého integrálu sa obráti. Táto vlastnosť určitého integrálu vyplýva aj z pojmu Riemannov integrál, len číslovanie delenia úsečky by malo začínať od bodu x = b.

pre funkcie y = f(x) a y = g(x) integrovateľné na intervale.

Dôkaz.

Zapíšeme integrálny súčet funkcie pre danú časť segmentu a daný výber bodov:

kde a sú integrálne súčty funkcií y = f(x) a y = g(x) pre dané rozdelenie segmentu.

Prechod na limit o dostaneme, že podľa definície Riemannovho integrálu je ekvivalentné tvrdeniu dokazovanej vlastnosti.

Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka určitého integrálu. To znamená, že pre funkciu integrovateľnú na segmente y = f(x) a ľubovoľnom čísle k je rovnosť .

Dôkaz tejto vlastnosti určitého integrálu je úplne podobný predchádzajúcemu:


Nech je funkcia y = f(x) integrovateľná na intervale X , a a potom .

Táto vlastnosť je platná pre obe a pre alebo .

Dôkaz možno vykonať na základe predchádzajúcich vlastností určitého integrálu.

Ak je funkcia integrovateľná do segmentu, potom je integrovateľná aj do akéhokoľvek vnútorného segmentu.

Dôkaz je založený na vlastnosti Darbouxových súčtov: ak sa do existujúceho oddielu segmentu pridajú nové body, potom sa spodný Darbouxov súčet nezníži a horný sa nezvýši.

Ak je funkcia y = f(x) integrovateľná na intervale a pre akúkoľvek hodnotu argumentu , potom .

Táto vlastnosť je dokázaná prostredníctvom definície Riemannovho integrálu: akýkoľvek integrálny súčet pre ľubovoľný výber deliacich bodov segmentu a bodov v bude nezáporný (nie pozitívny).

Dôsledok.

Pre funkcie y = f(x) a y = g(x) integrovateľné na intervale platia nasledujúce nerovnosti:


Toto tvrdenie znamená, že integrácia nerovností je prípustná. Tento dôsledok použijeme na preukázanie nasledujúcich vlastností.

Nech je funkcia y = f(x) integrovateľná na segmente , potom nerovnosť .

Dôkaz.

To je zrejmé . V predchádzajúcej vlastnosti sme zistili, že nerovnosť je možné integrovať člen po člen, takže je to pravda . Túto dvojitú nerovnosť možno zapísať ako .

Nech sú funkcie y = f(x) a y = g(x) integrovateľné na intervale a pre akúkoľvek hodnotu argumentu , potom , Kde A .

Dôkaz sa vykonáva podobným spôsobom. Pretože m a M sú najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie y = f(x) na segmente, potom . Vynásobením dvojitej nerovnosti nezápornou funkciou y = g(x) sa dostaneme k nasledujúcej dvojitej nerovnosti. Integráciou na segment dospejeme k tvrdeniu, ktoré sa má dokázať.

Dôsledok.

Ak vezmeme g(x) = 1 , potom nerovnosť nadobudne tvar .

Prvý vzorec pre priemer.

Nech je funkcia y = f(x) integrovateľná na segmente , a , potom je číslo také, že .

Dôsledok.

Ak je funkcia y = f(x) spojitá na segmente , potom existuje číslo také, že .

Prvý vzorec priemernej hodnoty v zovšeobecnenej forme.

Nech sú funkcie y = f(x) a y = g(x) integrovateľné na intervale, a , a g(x) > 0 pre akúkoľvek hodnotu argumentu . Potom je tu číslo také, že .

Druhý vzorec pre priemer.

Ak je na segmente funkcia y = f(x) integrovateľná a y = g(x) je monotónna, potom existuje číslo také, že rovnosť .

Tento článok podrobne hovorí o hlavných vlastnostiach určitého integrálu. Sú dokázané pomocou konceptu Riemannovho a Darbouxovho integrálu. Výpočet určitého integrálu prebieha vďaka 5 vlastnostiam. Zvyšok z nich sa používa na vyhodnotenie rôznych výrazov.

Predtým, ako prejdeme k hlavným vlastnostiam určitého integrálu, je potrebné sa uistiť, že a nepresahuje b .

Základné vlastnosti určitého integrálu

Definícia 1

Funkcia y \u003d f (x) , definovaná pre x \u003d a, je podobná spravodlivej rovnosti ∫ a a f (x) d x \u003d 0.

Dôkaz 1

Odtiaľ vidíme, že hodnota integrálu so zhodnými limitami sa rovná nule. Je to dôsledok Riemannovho integrálu, pretože každý integrálny súčet σ pre ľubovoľný oddiel na intervale [ a ; a ] a ľubovoľný výber bodov ζ i sa rovná nule, pretože x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , tak dostaneme, že limita integrálnych funkcií je nulová.

Definícia 2

Pre funkciu integrovateľnú na segmente [ a ; b ] , podmienka ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x je splnená.

Dôkaz 2

Inými slovami, ak miestami zmeníte hornú a dolnú hranicu integrácie, potom hodnota integrálu zmení hodnotu na opačnú. Táto vlastnosť je prevzatá z Riemannovho integrálu. Číslovanie delenia segmentu však začína od bodu x = b.

Definícia 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x sa používa pre integrovateľné funkcie typu y = f (x) a y = g (x) definované na segmente [ a ; b] .

Dôkaz 3

Napíšte integrálny súčet funkcie y = f (x) ± g (x) pre rozdelenie na segmenty s daným výberom bodov ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i x i - x i - 1 = σ f ± σ g

kde σ f a σ g sú celé súčty funkcií y = f (x) a y = g (x) na rozdelenie segmentu. Po prechode na limitu pri λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n (x i - x i - 1) → 0 dostaneme, že lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Z Riemannovej definície je tento výraz ekvivalentný.

Definícia 4

Vyňatie konštantného činiteľa zo znamienka určitého integrálu. Integrovateľná funkcia z intervalu [ a ; b ] s ľubovoľnou hodnotou k má platnú nerovnosť v tvare ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

Dôkaz 4

Dôkaz vlastnosti určitého integrálu je podobný predchádzajúcemu:

σ = ∑ i = 1 n k f ζ i (x i - x i - 1) = = k ∑ i = 1 n f ζ i (x i - x i - 1) = k σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k f (x) d x = k ∫ a b f (x) d x

Definícia 5

Ak je funkcia tvaru y = f (x) integrovateľná na intervale x s a ∈ x , b ∈ x , dostaneme ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x .

Dôkaz 5

Vlastnosť sa považuje za platnú pre c ∈ a ; b , pre c ≤ a a c ≥ b . Dôkaz sa vykonáva podobne ako pri predchádzajúcich vlastnostiach.

Definícia 6

Keď má funkcia schopnosť byť integrovateľná zo segmentu [ a ; b], potom je to možné pre akýkoľvek vnútorný segment c; d ∈ a; b.

Dôkaz 6

Dôkaz je založený na Darbouxovej vlastnosti: ak sú body pridané do existujúcej partície segmentu, potom sa spodná Darbouxova suma nezníži a horná sa nezvýši.

Definícia 7

Keď je funkcia integrovateľná na [ a ; b ] z f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 pre akúkoľvek hodnotu x ∈ a ; b , potom dostaneme, že ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

Vlastnosť možno dokázať pomocou definície Riemannovho integrálu: ľubovoľný integrálny súčet pre ľubovoľnú voľbu deliacich bodov úsečky a bodov ζ i s podmienkou, že f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 je nezáporné.

Dôkaz 7

Ak sú funkcie y = f (x) a y = g (x) integrovateľné na segmente [ a ; b ] , potom sa nasledujúce nerovnosti považujú za platné:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x, f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x, f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a; b

Vďaka tvrdeniu vieme, že integrácia je prípustná. Tento dôsledok sa použije pri preukazovaní iných vlastností.

Definícia 8

Pre integrovateľnú funkciu y = f (x) zo segmentu [ a ; b ] máme platnú nerovnosť tvaru ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Dôkaz 8

Máme, že - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Z predchádzajúcej vlastnosti sme získali, že nerovnosť možno integrovať člen po člene a zodpovedá nerovnosti v tvare - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Túto dvojitú nerovnosť možno zapísať v inom tvare: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Definícia 9

Keď sú funkcie y = f (x) a y = g (x) integrované zo segmentu [ a ; b] pre g (x) ≥ 0 pre ľubovoľné x ∈ a; b , dostaneme nerovnosť tvaru m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x , kde m = m i n x ∈ a ; bf (x) a M = m a x x ∈ a; b f (x).

Dôkaz 9

Dôkaz sa robí podobným spôsobom. M a m sa považujú za najväčšie a najmenšia hodnota funkcia y = f (x) , definovaná zo segmentu [ a ; b], potom m ≤ f (x) ≤ M . Dvojitú nerovnosť je potrebné vynásobiť funkciou y = g (x) , čím dostaneme hodnotu dvojitej nerovnosti tvaru m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) . Je potrebné ho integrovať na segment [ a ; b ] , potom dostaneme tvrdenie, ktoré sa má dokázať.

Dôsledok: Pre g (x) = 1 sa nerovnosť stáva m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b - a) .

Prvý priemerný vzorec

Definícia 10

Pre y = f (x) integrovateľné na intervale [ a ; b ] s m = m i n x ∈ a ; bf (x) a M = m a x x ∈ a; b f (x) existuje číslo μ ∈ m ; M , čo sa hodí ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

Dôsledok: Keď je funkcia y = f (x) spojitá zo segmentu [ a ; b ] , potom existuje také číslo c ∈ a ; b , ktoré spĺňa rovnosť ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a .

Prvý vzorec priemernej hodnoty v zovšeobecnenej forme

Definícia 11

Keď sú funkcie y = f (x) a y = g (x) integrovateľné zo segmentu [ a ; b ] s m = m i n x ∈ a ; bf (x) a M = m a x x ∈ a; b f (x) a g (x) > 0 pre akúkoľvek hodnotu x ∈ a; b. Z toho vyplýva, že existuje číslo μ ∈ m ; M , ktorá spĺňa rovnosť ∫ a b f (x) g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .

Druhý vzorec strednej hodnoty

Definícia 12

Keď je funkcia y = f (x) integrovateľná zo segmentu [ a ; b ] a y = g (x) je monotónne, potom existuje číslo, ktoré c ∈ a ; b , kde získame spravodlivú rovnosť tvaru ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter