Online reprezentujte komplexné čísla v trigonometrickej forme. Trigonometrické a exponenciálne tvary komplexného čísla. Komplexné čísla xi

2.3. Trigonometrický tvar komplexných čísel

Nech je daný vektor komplexná rovinačíslo .

Označte φ uhol medzi kladnou poloosou Ox a vektorom (uhol φ sa považuje za kladný, ak sa počíta proti smeru hodinových ručičiek, a za záporný v opačnom prípade).

Označte dĺžku vektora r. Potom . Označujeme tiež

Zápis nenulového komplexného čísla z ako

sa nazýva trigonometrický tvar komplexného čísla z. Číslo r sa nazýva modul komplexného čísla z a číslo φ sa nazýva argument tohto komplexného čísla a označuje sa Arg z.

Trigonometrická forma zápisu komplexného čísla - (Eulerov vzorec) - exponenciálna forma zápisu komplexného čísla:

Komplexné číslo z má nekonečne veľa argumentov: ak φ0 je ľubovoľný argument čísla z, potom všetky ostatné možno nájsť pomocou vzorca

Pre komplexné číslo nie je definovaný argument ani goniometrický tvar.

Argumentom nenulového komplexného čísla je teda akékoľvek riešenie systému rovníc:

(3)

Hodnota φ argumentu komplexného čísla z, ktorá spĺňa nerovnice, sa nazýva hlavná hodnota a označuje sa arg z.

Argumenty Arg z a arg z súvisia rovnosťou

, (4)

Vzorec (5) je dôsledkom systému (3), takže všetky argumenty komplexného čísla spĺňajú rovnosť (5), ale nie všetky riešenia φ rovnice (5) sú argumentmi čísla z.

Hlavná hodnota argumentu nenulového komplexného čísla sa nachádza vo vzorcoch:

Vzorce na násobenie a delenie pre komplexné čísla v trigonometrická forma majú nasledujúci tvar:

. (7)

Pri zvýšení komplexného čísla na prirodzenú mocninu sa používa de Moivreov vzorec:

Pri extrakcii koreňa z komplexného čísla sa používa vzorec:

, (9)

kde k=0, 1, 2, …, n-1.

Úloha 54. Vypočítajte , kde .

Znázornime riešenie tohto výrazu v exponenciálnom tvare zápisu komplexného čísla: .

Ak potom .

potom , . Preto teda A , Kde .

odpoveď: , o .

Úloha 55. Napíšte komplexné čísla v goniometrickom tvare:

A); b) ; V); G); e) ; e) ; a).

Keďže trigonometrický tvar komplexného čísla je , potom:

a) V komplexnom čísle: .

Preto

b) , Kde ,

G) , Kde ,

e) .

a) , A , To .

Preto

odpoveď: ; 4; ; ; ; ; .

Úloha 56. Nájdite goniometrický tvar komplexného čísla

nechaj, .

potom , , .

Pretože a , , potom , a

Preto teda

odpoveď: , Kde .

Úloha 57. Pomocou goniometrickej formy komplexného čísla vykonajte nasledujúce akcie: .

Predstavte si čísla a v trigonometrickej forme.

1), kde Potom

Nájdenie hodnoty hlavného argumentu:

Dosaďte hodnoty a do výrazu dostaneme

2) kde potom

Potom

3) Nájdite kvocient

Za predpokladu, že k=0, 1, 2, dostaneme tri rôzne významy požadovaný koreň:

Ak potom

Ak potom .

odpoveď: :

: .

Úloha 58. Nech sú , , , rôzne komplexné čísla a . Dokáž to

číslo je skutočné kladné číslo;

b) platí rovnosť:

a) Predstavme si tieto komplexné čísla v trigonometrickom tvare:

Pretože .

Predstierajme to. Potom

Posledný výraz je kladné číslo, pretože pod sínusovými znamienkami sú čísla z intervalu.

pretože číslo skutočné a pozitívne. Ak sú a a b komplexné čísla a sú reálne a väčšie ako nula, potom .

okrem toho

tým je dokázaná požadovaná rovnosť.

Úloha 59. Zapíšte číslo v algebraickom tvare .

Číslo reprezentujeme v goniometrickom tvare a potom nájdeme jeho algebraický tvar. Máme . Pre dostaneme systém:

Z toho vyplýva rovnosť: .

Použitie De Moivreovho vzorca:

dostaneme

Našiel sa trigonometrický tvar dané číslo.

Teraz zapíšeme toto číslo v algebraickom tvare:

odpoveď: .

Úloha 60. Nájdite súčet , ,

Zvážte sumu

Aplikovaním De Moivreovho vzorca zistíme

Tento súčet je súčtom n členov geometrický postup s menovateľom a prvý člen .

Aplikovaním vzorca pre súčet členov takejto progresie máme

Zvýraznenie imaginárnu časť v poslednom výraze nájdeme

Oddelením reálnej časti získame aj nasledujúci vzorec: , , .

Úloha 61. Nájdite súčet:

A) ; b) .

Podľa Newtonovho vzorca pre zvýšenie na moc máme

Podľa De Moivreovho vzorca zistíme:

Porovnaním skutočných a imaginárnych častí získaných výrazov pre , máme:

A .

Tieto vzorce môžu byť napísané v kompaktnej forme takto:

, Kde - celú časťčísla a.

Úloha 62. Nájdite všetky, pre ktoré .

Pretože a potom použitím vzorca

, Ak chcete extrahovať korene, dostaneme ,

teda , ,

, .

Body zodpovedajúce číslam sú umiestnené vo vrcholoch štvorca vpísaného do kruhu s polomerom 2 so stredom v bode (0;0) (obr. 30).

odpoveď: , ,

, .

Úloha 63. Vyriešte rovnicu , .

Podľa podmienok; preto táto rovnica nemá koreň, a preto je ekvivalentná rovnici.

Aby číslo z bolo koreňom tejto rovnice, je potrebné, aby číslo bolo koreňom n-tý stupeň od čísla 1.

Dospeli sme teda k záveru, že pôvodná rovnica má korene určené z rovnosti

teda

t.j. ,

odpoveď: .

Úloha 64. Vyriešte rovnicu v množine komplexných čísel.

Keďže číslo nie je koreňom tejto rovnice, potom je táto rovnica ekvivalentná rovnici

Teda rovnica.

Všetky korene tejto rovnice sú získané zo vzorca (pozri úlohu 62):

; ; ; ; .

Úloha 65. Nakreslite na komplexnú rovinu množinu bodov, ktoré spĺňajú nerovnosti: . (2. spôsob riešenia problému 45)

Nechaj .

Komplexné čísla s rovnakými modulmi zodpovedajú bodom roviny ležiacim na kružnici so stredom v počiatku, takže nerovnosť splniť všetky body otvorený krúžok, ohraničený kružnicami so spoločným stredom v počiatku a polomermi a (obr. 31). Nech nejaký bod komplexnej roviny zodpovedá číslu w0. číslo , má modul krát menší ako modul w0, argument, ktorý je väčší ako argument w0. Z geometrického hľadiska možno bod zodpovedajúci w1 získať pomocou homotetity so stredom v počiatku a koeficientu , ako aj rotácie proti smeru hodinových ručičiek vzhľadom na počiatok. Aplikáciou týchto dvoch transformácií na body prstenca (obr. 31) sa prstenec zmení na prstenec ohraničený kružnicami s rovnakým stredom a polomermi 1 a 2 (obr. 32).

transformácia je implementovaný pomocou paralelného prekladu na vektore . Prenesením prstenca so stredom v bode do naznačeného vektora získame krúžok rovnakej veľkosti so stredom v bode (obr. 22).

Navrhovaná metóda, ktorá využíva myšlienku geometrických transformácií roviny, je pravdepodobne menej vhodná na popis, ale je veľmi elegantná a efektívna.

Úloha 66. Zistite, či .

Nechajte , potom a . Pôvodná rovnosť bude mať formu . Z podmienky rovnosti dvoch komplexných čísel dostaneme , , odkiaľ , . Teda, .

Napíšme číslo z v trigonometrickom tvare:

, Kde , . Podľa De Moivreovho vzorca nájdeme .

odpoveď: - 64.

Úloha 67. Pre komplexné číslo nájdite všetky komplexné čísla také, že , a .

Predstavme si číslo v trigonometrickom tvare:

. Preto, . Pre číslo, ktoré dostaneme, sa môže rovnať buď .

V prvom prípade , v druhom

odpoveď: , .

Úloha 68. Nájdite súčet čísel taký, že . Zadajte jedno z týchto čísel.

Všimnite si, že už zo samotnej formulácie problému je možné pochopiť, že súčet koreňov rovnice možno nájsť bez výpočtu samotných koreňov. Skutočne, súčet koreňov rovnice je koeficient , braný s opačným znamienkom (zovšeobecnená Vieta veta), t.j.

Žiaci, školská dokumentácia, vyvodzujú závery o stupni asimilácie tento koncept. Zhrňte štúdium znakov matematického myslenia a procesu vytvárania pojmu komplexného čísla. Popis metód. Diagnostika: I štádium. Rozhovor bol realizovaný s učiteľkou matematiky, ktorá v 10. ročníku vyučuje algebru a geometriu. Rozhovor prebehol po nejakom čase...

Rezonancia" (!)), ktorá zahŕňa aj hodnotenie vlastného správania. 4. Kritické hodnotenie vlastného chápania situácie (pochybnosti). 5. Nakoniec využitie odporúčaní právna psychológia(účtovníctvo právnikom psychologické aspekty vykonané odborné úkony – odborná a psychologická pripravenosť). Zvážte teraz psychologickú analýzu právnych faktov. ...

Matematika trigonometrickej substitúcie a overenie účinnosti vypracovanej metodiky vyučovania. Etapy práce: 1. Vypracovanie voliteľného predmetu na tému: "Využitie goniometrickej substitúcie pri riešení algebraických úloh" so žiakmi tried s. hĺbkové štúdium matematiky. 2. Vedenie vypracovaného voliteľného kurzu. 3. Vykonanie diagnostickej kontroly...

Kognitívne úlohy sú určené len na doplnenie existujúcich učebných pomôcok a mali by byť vo vhodnej kombinácii so všetkými tradičnými prostriedkami a prvkami. vzdelávací proces. Rozdiel medzi učebnými cieľmi vo vyučovaní humanitné vedy z presného, z matematické problémy spočíva len v tom, že v historických problémoch neexistujú vzorce, rigidné algoritmy a pod., čo komplikuje ich riešenie. ...

Prednáška

Trigonometrický tvar komplexného čísla

Plán

1.Geometrické znázornenie komplexných čísel.

2. Trigonometrický zápis komplexných čísel.

3. Akcie na komplexných číslach v goniometrickom tvare.

Geometrické znázornenie komplexných čísel.

a) Komplexné čísla sú znázornené bodmi roviny podľa nasledujúceho pravidla: a + bi = M ( a ; b ) (obr. 1).

Obrázok 1

b) Komplexné číslo možno znázorniť ako vektor, ktorý začína v bodeO a končí v danom bode (obr. 2).

Obrázok 2

Príklad 7. Vynesenie bodov reprezentujúcich komplexné čísla:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (obr. 3).

Obrázok 3

Trigonometrický zápis komplexných čísel.

Komplexné čísloz = a + bi možno nastaviť pomocou polomeru - vektora so súradnicami( a ; b ) (obr. 4).

Obrázok 4

Definícia . Dĺžka vektora predstavujúci komplexné čísloz , sa nazýva modul tohto čísla a označuje sa alebor .

Pre akékoľvek komplexné čísloz jeho modulr = | z | je určený jednoznačne vzorcom .

Definícia . Hodnota uhla medzi kladným smerom reálnej osi a vektorom reprezentujúce komplexné číslo sa nazýva argument tohto komplexného čísla a označuje saA rg z aleboφ .

Argument komplexného číslaz = 0 neurčitý. Argument komplexného číslaz≠ 0 je viachodnotová veličina a je určená do termínu2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg z = arg z + 2πk , Kdearg z - hlavná hodnota argumentu, uzavretá v intervale(-π; π] , teda-π < arg z ≤ π (niekedy sa hodnota patriaca do intervalu považuje za hlavnú hodnotu argumentu .

Tento vzorec prer =1 často označovaný ako De Moivreov vzorec:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Príklad 11 Vypočítajte(1 + i ) 100 .

Napíšeme komplexné číslo1 + i v trigonometrickej forme.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (kos + hreším )] 100 = ( ) 100 (kos 100 + hreším 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Extrakcia odmocnina z komplexného čísla.

Pri extrakcii druhej odmocniny komplexného číslaa + bi máme dva prípady:

Akb > o , To ;

3.1. Polárne súradnice

Často používané v lietadle polárny súradnicový systém . Definuje sa, ak je daný bod O, tzv pól a lúč vychádzajúci z pólu (pre nás je to os Ox) je polárna os. Poloha bodu M je určená dvoma číslami: polomer (alebo rádiusový vektor) a uhol φ medzi polárnou osou a vektorom . Uhol φ sa nazýva polárny uhol; merané v radiánoch a počítané proti smeru hodinových ručičiek od polárnej osi.

Poloha bodu v polárnom súradnicovom systéme je daná usporiadanou dvojicou čísel (r; φ). Na póle r = 0 a φ nie je definované. Pre všetky ostatné body r > 0 a φ je definované až do násobku 2π. V tomto prípade majú dvojice čísel (r; φ) a (r 1 ; φ 1) rovnaký bod, ak .

Pre pravouhlý súradnicový systém xOy Kartézske súradnice body sa dajú ľahko vyjadriť pomocou polárnych súradníc takto:

3.2. Geometrická interpretácia komplexného čísla

Uvažujme na karteziánskej rovine pravouhlý systém súradnice xOy.

Každému komplexnému číslu z=(a,b) je priradený bod roviny so súradnicami ( x, y), Kde súradnica x = a, t.j. reálna časť komplexného čísla a súradnica y = bi je imaginárna časť.

Rovina, ktorej body sú komplexné čísla, je komplexná rovina.

Na obrázku je komplexné číslo z = (a, b) bod za zápas M(x, y).

Cvičenie.Obrázok zapnutý súradnicová rovina komplexné čísla:

3.3. Trigonometrický tvar komplexného čísla

Komplexné číslo v rovine má súradnice bodu M(x; y). kde:

Zápis komplexného čísla - trigonometrický tvar komplexného čísla.

Volá sa číslo r modul komplexné číslo z a je označený. Modul je nezáporné reálne číslo. Pre .

Modul je nulový vtedy a len vtedy z = 0, t.j. a=b=0.

Volá sa číslo φ argument z a označené. Argument z je definovaný nejednoznačne, ako polárny uhol v polárnom súradnicovom systéme, a to až do násobku 2π.

Potom akceptujeme: , kde φ je najmenšia hodnota argument. To je zrejmé

Pri hlbšom štúdiu témy sa zavádza pomocný argument φ*, taký, že

Príklad 1. Nájdite goniometrický tvar komplexného čísla.

Riešenie. 1) uvažujeme modul: ;

2) hľadám φ: ;

3) trigonometrický tvar:

Príklad 2 Nájdite algebraický tvar komplexného čísla .

Tu stačí hodnoty nahradiť goniometrické funkcie a transformovať výraz:

Príklad 3 Nájdite modul a argument komplexného čísla;

1) ;

2); φ - za 4 štvrťroky:

3.4. Operácie s komplexnými číslami v goniometrickom tvare

· Sčítanie a odčítanie je pohodlnejšie vykonávať s komplexnými číslami v algebraickej forme:

· Násobenie– pomocou jednoduchých goniometrických transformácií sa dá ukázať, že pri násobení sa moduly čísel vynásobia a pridajú sa argumenty: ;

KOMPLEXNÉ ČÍSLA XI

§ 256. Trigonometrický tvar komplexných čísel

Nech je komplexné číslo a + bi zodpovedá vektoru OA> so súradnicami ( a, b ) (pozri obr. 332).

Označte dĺžku tohto vektora r a uhol, ktorý zviera s osou X , cez φ . Podľa definície sínus a kosínus:

a / r = cos φ , b / r = hriech φ .

Preto A = r cos φ , b = r hriech φ . Ale v tomto prípade komplexné číslo a + bi možno napísať ako:

a + bi = r cos φ + ir hriech φ = r (kos φ + i hriech φ ).

Ako viete, druhá mocnina dĺžky ľubovoľného vektora sa rovná súčtu štvorcov jeho súradníc. Preto r 2 = a 2 + b 2, odkiaľ r = √a 2 + b 2

takže, akékoľvek komplexné číslo a + bi môže byť reprezentovaný ako :

a + bi = r (kos φ + i hriech φ ), (1)

kde r = √a 2 + b 2 a uhol φ určené z podmienky:

Táto forma zápisu komplexných čísel sa nazýva trigonometrické.

číslo r vo vzorci (1) sa nazýva modul a uhol φ - argument, komplexné číslo a + bi .

Ak ide o komplexné číslo a + bi sa nerovná nule, potom je jeho modul kladný; ak a + bi = 0 teda a = b = 0 a potom r = 0.

Modul akéhokoľvek komplexného čísla je jednoznačne určený.

Ak ide o komplexné číslo a + bi sa nerovná nule, potom je jeho argument určený vzorcami (2) určite až do uhla násobku 2 π . Ak a + bi = 0 teda a = b = 0. V tomto prípade r = 0. Zo vzorca (1) je ľahké to pochopiť ako argument φ v tomto prípade si môžete vybrať akýkoľvek uhol: koniec koncov, pre akýkoľvek φ

0 (cos φ + i hriech φ ) = 0.

Preto nulový argument nie je definovaný.

Modul komplexného čísla r niekedy označujú | z |, a argument arg z . Pozrime sa na niekoľko príkladov reprezentácie komplexných čísel v trigonometrickom tvare.

Príklad. 1. 1 + i .

Poďme nájsť modul r a argument φ toto číslo.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Preto hriech φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, odkiaľ φ = π / 4 + 2nπ .

teda

1 + i = √ 2 ,

Kde P - ľubovoľné celé číslo. Zvyčajne sa z nekonečnej množiny hodnôt argumentu komplexného čísla vyberie jedna, ktorá je medzi 0 a 2 π . V tomto prípade je táto hodnota π / 4. Preto

1 + i = √ 2 (cos π / 4 + i hriech π / 4)

Príklad 2 Napíšte v trigonometrickom tvare komplexné číslo √ 3 - i . Máme:

r = √ 3+1 = 2 kos φ = √ 3/2, hriech φ = - 1 / 2

Preto až do uhla deliteľného 2 π , φ = 11 / 6 π ; teda,

√ 3 - i = 2 (cos 11/6 π + i hriech 11/6 π ).

Príklad 3 Napíšte v trigonometrickom tvare komplexné číslo ja

komplexné číslo i zodpovedá vektoru OA> končiace v bode A osi pri s ordinátou 1 (obr. 333). Dĺžka takéhoto vektora sa rovná 1 a uhol, ktorý zviera s osou x, je rovný π / 2. Preto

i = cos π / 2 + i hriech π / 2 .

Príklad 4 Napíšte komplexné číslo 3 v trigonometrickom tvare.

Komplexné číslo 3 zodpovedá vektoru OA > X úsečka 3 (obr. 334).

Dĺžka takéhoto vektora je 3 a uhol, ktorý zviera s osou x, je 0. Preto

3 = 3 (cos 0 + i hriech 0),

Príklad 5 Napíšte v trigonometrickom tvare komplexné číslo -5.

Komplexné číslo -5 zodpovedá vektoru OA> končiace v bode osi X s osou -5 (obr. 335). Dĺžka takéhoto vektora je 5 a uhol, ktorý zviera s osou x, je π . Preto

5 = 5 (cos π + i hriech π ).

Cvičenia

2047. Napíšte tieto komplexné čísla v trigonometrickom tvare a definujte ich moduly a argumenty:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Označte na rovine množiny bodov reprezentujúcich komplexné čísla, ktorých moduly r a argumenty φ spĺňajú podmienky:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Môžu byť čísla zároveň modulom komplexného čísla? r a - r ?

2050. Môže byť argumentom komplexného čísla súčasne uhly? φ a - φ ?

Prezentujte tieto komplexné čísla v trigonometrickej forme definovaním ich modulov a argumentov:

2051*. 1 + kos α + i hriech α . 2054*. 2 (cos 20° - i hriech 20°).

2052*. hriech φ + i cos φ . 2055*. 3 (- čo 15° - i hriech 15°).

Akcie na komplexných číslach zapísané v algebraickej forme

Algebraický tvar komplexného čísla z =(a,b sa nazýva algebraické vyjadrenie tvaru

z = a + bi.

Aritmetické operácie s komplexnými číslami z 1 = a 1 +b 1 i A z 2 = a 2 +b 2 i, napísané v algebraickej forme, sa vykonávajú nasledovne.

1. Súčet (rozdiel) komplexných čísel

z 1 ±z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

tie. sčítanie (odčítanie) sa uskutočňuje podľa pravidla sčítania polynómov s redukciou podobných členov.

2. Súčin komplexných čísel

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 -b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 +a 2 ∙b 1)∙i,

tie. násobenie sa vykonáva podľa zaužívaného pravidla pre násobenie polynómov s prihliadnutím na skutočnosť, že i 2 = 1.

3. Delenie dvoch komplexných čísel sa vykonáva podľa nasledujúceho pravidla:

, (z 2 ≠ 0),

tie. delenie sa vykonáva vynásobením dividendy a deliteľa konjugátom deliteľa.

Umocňovanie komplexných čísel je definované takto:

Je ľahké to ukázať

Príklady.

1. Nájdite súčet komplexných čísel z 1 = 2 – i A z 2 = – 4 + 3i.

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Nájdite súčin komplexných čísel z 1 = 2 – 3i A z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3ja∙ 5i = 7+22i.

3. Nájdite súkromné z z divízie z 1 \u003d 3 – 2 z 2 = 3 – i.

z= .

4. Vyriešte rovnicu:, X A r Î R.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3i.

Vďaka rovnosti komplexných čísel máme:

kde x=–1 , r= 4.

5. Vypočítajte: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 , i -2 .

6. Vypočítajte, ak .

7. Vypočítajte prevrátenú hodnotu čísla z=3-i.

Komplexné čísla v trigonometrickom tvare

komplexná rovina sa nazýva rovina s karteziánskymi súradnicami ( x, y), ak každý bod so súradnicami ( a, b) má priradené komplexné číslo z = a + bi. V tomto prípade sa nazýva os x reálna os a os y je imaginárny. Potom každé komplexné číslo a+bi geometricky znázornené na rovine ako bod A (a, b) alebo vektor .

Preto poloha bodu A(a teda komplexné číslo z) možno nastaviť podľa dĺžky vektora | | = r a uhol j tvorený vektorom | | s kladným smerom reálnej osi. Dĺžka vektora sa nazýva modul komplexného čísla a označuje sa | z|=r a uhol j volal argument komplexného čísla a označené j = argz.

Je jasné, že | z| ³ 0 a | z | = 0 Û z= 0.

Z obr. 2 to ukazuje.

Argument komplexného čísla je definovaný nejednoznačne a do 2 pk,kÎ Z.

Z obr. 2 tiež vyplýva, že ak z=a+bi A j=argz, To

cos j =, hriech j =, tg j = .

Ak zОR A z > 0 potom argz = 0 +2pk;

Ak z ОR A z< 0 potom argz = p + 2pk;

Ak z= 0,argz neurčitý.

Hlavná hodnota argumentu je určená na intervale 0 £argz 2 £ p,

alebo -p£ arg z £ p.

Príklady:

1. Nájdite modul komplexných čísel z 1 = 4 – 3i A z 2 = –2–2i.