Študujeme derivát. Je to naozaj v živote také dôležité? „Diferenciálny počet je opis sveta okolo nás vytvorený matematickým jazykom. Derivát nám pomáha úspešne riešiť nielen matematické problémy, ale aj praktické problémy v rôznych oblastiach vedy a techniky.“
Pojem v jazyku chémie Označenie Pojem v jazyku matematiky Počet in-va v čase t 0 p \u003d p (t 0) Funkcia Časový interval t \u003d t- t 0 Prírastok argumentu Zmena počtu v -va p \u003d p (t 0 + t) – p(t 0) Prírastok funkcie Priemerná rýchlosť chemickej reakcie p/t Pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu V (t) = p (t) Riešenie:
Populácia je súbor jedincov daného druhu, ktorí zaberajú určitú oblasť územia v rámci druhu, voľne sa navzájom krížia a sú čiastočne alebo úplne izolovaní od iných populácií a je tiež základnou jednotkou evolúcie.
Riešenie: Koncept v jazyku biológie Označenie Koncept v jazyku matematiky Číslo v čase t 1 x \u003d x (t) Funkcia Časový interval t \u003d t 2 - t 1 Prírastok argumentu Zmena veľkosti populácie x \u003d x (t 2) - x (t 1) Prírastok funkcie Miera zmeny populácie x/t Pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu Relatívny prírastok v danom momente Lim x/t t 0 Derivácia Р = x (t)
Algoritmus na nájdenie derivácie (pre funkciu y=f(x)) Opravte hodnotu x, nájdite f(x). Argumentu x dajte prírastok Dx, (presun x+Dx do nového bodu), nájdite f(x+Dx). Nájdite prírastok funkcie: Dy= f(x+Dx)-f(x) Zostavte pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu Vypočítajte limitu tohto pomeru (táto limita je f `(x) .)
FGOU SPO
Poľnohospodárska vysoká škola v Novosibirsku
Esej
v odbore "matematika"
"Aplikácia derivátu vo vede a technike"
S. Razdolnoe 2008
Úvod
1. Teoretická časť
1.1 Problémy vedúce k pojmu derivát
1.2 Definícia derivátu
1.3 Všeobecné pravidlo pre nájdenie derivátu
1.4 Geometrický význam derivácie
1.5 Mechanický význam derivátu
1.6 Derivácia druhého rádu a jej mechanický význam
1.7 Definícia a geometrický význam diferenciálu
2. Skúmanie funkcií pomocou derivácie
Záver
Literatúra
Úvod
V prvej kapitole mojej eseje si povieme o koncepte derivácie, pravidlách jej aplikácie, o geometrickom a fyzikálnom význame derivácie. V druhej kapitole mojej eseje si povieme o využití derivátu vo vede a technike a o riešení problémov v tejto oblasti.
1. Teoretická časť
1.1 Problémy vedúce k pojmu derivát
Pri štúdiu určitých procesov a javov často vzniká problém určiť rýchlosť týchto procesov. Jeho riešenie vedie ku konceptu derivácie, čo je základný koncept diferenciálneho počtu.
Metóda diferenciálneho počtu vznikla v 17. a 18. storočí. Mená dvoch veľkých matematikov I. Newtona a G.V. Leibniz.
Newton prišiel k objavu diferenciálneho počtu pri riešení úloh o rýchlosti hmotného bodu v danom časovom okamihu (okamžitá rýchlosť).
Ako je známe, rovnomerný pohyb je pohyb, pri ktorom telo prejde rovnakú dĺžku dráhy v rovnakých časových intervaloch. Vzdialenosť, ktorú telo prejde za jednotku času, sa nazýva rýchlosť rovnomerný pohyb.
Najčastejšie sa však v praxi stretávame s nerovnomerným pohybom. Auto jazdiace po ceste spomaľuje na prechodoch a zrýchľuje ho v tých úsekoch, kde je cesta voľná; lietadlo pri pristávaní spomalí a pod. Preto sa najčastejšie musíme vysporiadať s tým, že v rovnakých časových intervaloch telo prechádza úsekmi dráhy rôznej dĺžky. Takýto pohyb sa nazýva nerovnomerné. Jeho rýchlosť sa nedá charakterizovať jedným číslom.
Na charakterizáciu nerovnomerného pohybu sa často používa koncept priemerná rýchlosť pohyb za čas ∆t٫, ktorý je určený vzťahom kde ∆s je dráha, ktorú teleso prejde za čas ∆t.
Takže s telom vo voľnom páde je priemerná rýchlosť jeho pohybu v prvých dvoch sekundách
V praxi taká charakteristika pohybu, ako je priemerná rýchlosť, hovorí o pohybe veľmi málo. V skutočnosti pri 4,9 m / s a pre 2. - 14,7 m / s, zatiaľ čo priemerná rýchlosť za prvé dve sekundy je 9,8 m / s. Priemerná rýchlosť počas prvých dvoch sekúnd nedáva žiadnu predstavu o tom, ako k pohybu došlo: keď sa telo pohybovalo rýchlejšie a keď pomalšie. Ak nastavíme priemerné rýchlosti pohybu pre každú sekundu zvlášť, tak napríklad budeme vedieť, že v 2. sekunde sa telo pohybovalo oveľa rýchlejšie ako v 1. Vo väčšine prípadov však oveľa rýchlejšie, než s čím nie sme spokojní. Koniec koncov, je ľahké pochopiť, že počas tejto 2. sekundy sa aj telo pohybuje rôznymi spôsobmi: na začiatku je to pomalšie, na konci rýchlejšie. A ako sa to posunie niekde uprostred tejto 2. sekundy? Inými slovami, ako určiť okamžitú rýchlosť?
Nech je pohyb telesa opísaný zákonom na čas rovný ∆t. V momente t0 telo prešlo cestou, momentálne - cestou. Preto za čas ∆t prešlo teleso určitú vzdialenosť a priemerná rýchlosť telesa za toto časové obdobie bude.
Čím kratší je časový interval ∆t, tým presnejšie je možné určiť, akou rýchlosťou sa teleso pohybuje v okamihu t0, keďže pohybujúce sa teleso nedokáže v krátkom čase výrazne zmeniť svoju rýchlosť. Preto sa priemerná rýchlosť, keďže ∆t má tendenciu k nule, blíži k skutočnej rýchlosti pohybu a v limite udáva rýchlosť pohybu v danom čase t0 (okamžitá rýchlosť).
Teda ,
Definícia 1. Okamžitá rýchlosť priamočiareho pohybu telesa v danom čase t0 sa nazýva hranica priemernej rýchlosti za čas od t0 do t0+ ∆t, keď časový interval ∆t smeruje k nule.
Takže, aby sme našli rýchlosť priamočiareho nerovnomerného pohybu v danom momente, je potrebné nájsť hranicu pomeru prírastku dráhy ∆k prírastku času ∆t za podmienky t.j. Leibniz prišiel k objavu diferenciálneho počtu pri riešení problému konštrukcie dotyčnice ľubovoľnej krivky danej jeho rovnicou.
Riešenie tohto problému má veľký význam. Koniec koncov, rýchlosť pohybujúceho sa bodu smeruje pozdĺž dotyčnice k jeho trajektórii, takže určenie rýchlosti projektilu na jeho trajektórii, rýchlosti akejkoľvek planéty na jeho obežnej dráhe, je redukované na určenie smeru dotyčnice ku krivke. .
Definícia dotyčnice ako priamky, ktorá má len jeden spoločný bod s krivkou, ktorá platí pre kružnicu, je pre mnohé iné krivky nevhodná.
Nasledujúca definícia dotyčnice ku krivke nielen zodpovedá intuitívnej predstave o nej, ale umožňuje aj reálne nájsť jej smer, t.j. vypočítajte sklon dotyčnice.
Definícia 2. Tangenta ku krivke v bode M sa nazýva priamka MT, čo je hraničná poloha sečnice MM1, keď sa bod M1, pohybujúci sa po krivke, neurčito približuje k bodu M.
1.2 Definícia derivátu
Všimnite si, že pri určovaní dotyčnice ku krivke a okamžitej rýchlosti nerovnomerného pohybu sa vykonávajú v podstate rovnaké matematické operácie:
1. Daná hodnota argumentu sa inkrementuje a vypočíta sa nová hodnota funkcie zodpovedajúca novej hodnote argumentu.
2. Určite prírastok funkcie zodpovedajúci prírastku zvoleného argumentu.
3. Prírastok funkcie sa vydelí prírastkom argumentu.
4. Vypočítajte limit tohto pomeru za predpokladu, že prírastok argumentu má tendenciu k nule.
Riešenia mnohých problémov vedú k limitným prechodom tohto typu. Je potrebné zovšeobecniť a pomenovať túto pasáž až do krajnosti.
Rýchlosť zmeny funkcie v závislosti od zmeny argumentu možno samozrejme charakterizovať pomerom. Tento vzťah sa nazýva priemerná rýchlosť funkcia sa mení v intervale od do. Teraz musíme zvážiť limitu zlomku. Limit tohto pomeru, keďže prírastok argumentu má tendenciu k nule (ak táto limita existuje), je nejakou novou funkciou. Táto funkcia je označená symbolmi y', tzv derivát túto funkciu, keďže sa získava (vyrába) z funkcie Samotná funkcia sa volá primitívny funkcie vzhľadom na jej deriváciu
Definícia 3. derivát funkcie v danom bode pomenúvajú limitu pomeru prírastku funkcie ∆y k príslušnému prírastku argumentu ∆x za predpokladu, že ∆x→0, t.j.
1.3 Všeobecné pravidlo pre nájdenie derivátu
Operácia nájdenia derivácie nejakej funkcie sa nazýva diferenciácia funkcie a oblasť matematiky, ktorá študuje vlastnosti tejto operácie, je diferenciálny počet.
Ak má funkcia deriváciu v x=a, hovorí sa, že je diferencovateľné v tomto bode. Ak má funkcia deriváciu v každom bode v danom intervale, potom sa hovorí, že je diferencovateľné Na toto interval .
Definícia derivácie nielen plne charakterizuje koncept rýchlosti zmeny funkcie pri zmene argumentu, ale poskytuje aj spôsob, ako skutočne vypočítať deriváciu danej funkcie. Ak to chcete urobiť, musíte vykonať nasledujúce štyri akcie (štyri kroky) uvedené v definícii samotného derivátu:
1. Nájdite novú hodnotu funkcie predložením novej hodnoty argumentu namiesto x tejto funkcii: .
2. Prírastok funkcie sa určí odčítaním danej hodnoty funkcie od jej novej hodnoty: .
3. Zostavte pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu: .
4. Prejdite na limit a nájdite deriváciu: .
Všeobecne povedané, derivácia je „nová“ funkcia odvodená od danej funkcie podľa špecifikovaného pravidla.
1.4 Geometrický význam derivácie
Geometrická interpretácia derivátu, prvýkrát podaná na konci 17. storočia. Leibniz je nasledovný: hodnota derivácie funkcie v bode x sa rovná sklonu dotyčnice nakreslenej ku grafu funkcie v tom istom bode x, tie.
Rovnica dotyčnice, ako každá priamka prechádzajúca daným bodom v danom smere, má tvar - aktuálne súradnice. Ale rovnica dotyčnice bude tiež napísaná takto: . Normálna rovnica bude napísaná vo forme
1.5 Mechanický význam derivátu
Mechanickú interpretáciu derivátu ako prvý podal I. Newton. Spočíva v tomto: rýchlosť pohybu hmotného bodu v danom časovom okamihu sa rovná derivácii dráhy vzhľadom na čas, t.j. Ak je teda zákon pohybu hmotného bodu daný rovnicou, potom, aby ste našli okamžitú rýchlosť bodu v určitom časovom okamihu, musíte nájsť deriváciu a dosadiť do nej zodpovedajúcu hodnotu t. .
1.6 Derivácia druhého rádu a jej mechanický význam
Dostávame (rovnicu z toho, čo bolo urobené v učebnici Lisichkin V.T. Soloveychik I.L. "Matematika" str. 240):
teda zrýchlenie priamočiareho pohybu telesa v danom momente sa rovná druhej derivácii dráhy vzhľadom na čas, vypočítanej pre daný moment. Toto je mechanický význam druhej derivácie.
1.7 Definícia a geometrický význam diferenciálu
Definícia 4. Hlavná časť prírastku funkcie, lineárna vzhľadom na prírastok funkcie, lineárna vzhľadom na prírastok nezávislej premennej, sa nazýva diferenciál funkcií a označuje sa d, t.j. .
Funkčný diferenciál geometricky reprezentovaný prírastkom súradnice dotyčnice nakreslenej v bode M ( X ; r ) pre dané hodnoty x a ∆x.
kalkulácia diferenciál – .
Aplikácia diferenciálu v približných výpočtoch – , približná hodnota prírastku funkcie sa zhoduje s jej diferenciálom.
Veta 1. Ak je diferencovateľná funkcia rastie (klesá) v danom intervale, potom derivácia tejto funkcie nie je v tomto intervale záporná (nie kladná).
Veta 2. Ak je derivačná funkcia je v niektorom intervale kladná (záporná), potom funkcia v tomto intervale monotónne rastie (monotónne klesá).
Sformulujme teraz pravidlo na nájdenie intervalov monotónnosti funkcie
1. Vypočítajte deriváciu tejto funkcie.
2. Nájdite body, kde je nula alebo neexistujú. Tieto body sa nazývajú kritický pre funkciu
3. S nájdenými bodmi sa definičný obor funkcie rozdelí na intervaly, na ktorých si derivácia zachováva svoje znamienko. Tieto intervaly sú intervalmi monotónnosti.
4. Preskúmajte znamienko na každom z nájdených intervalov. Ak na uvažovanom intervale, potom sa na tomto intervale zvyšuje; ak, tak na takomto intervale klesá.
V závislosti od podmienok problému je možné zjednodušiť pravidlo na nájdenie intervalov monotónnosti.
Definícia 5. Bod sa nazýva maximálny (minimálny) bod funkcie, ak nerovnosť platí pre ľubovoľné x z nejakého okolia bodu.
Ak je maximálny (minimálny) bod funkcie, potom to hovoríme (minimálne) v bode. Maximálne a minimálne funkcie spájajú názov extrém funkcie a volajú sa maximálne a minimálne body extrémne body (extrémne body).
Veta 3.(nevyhnutný znak extrému). Ak a derivácia v tomto bode existuje, potom sa rovná nule: .
Veta 4.(dostatočný znak extrému). Ak je derivát keď prechádza x a potom zmení znamenie a je extrémnym bodom funkcie .
Hlavné body štúdia derivátu:
1. Nájdite deriváciu.
2. Nájdite všetky kritické body z oblasti funkcie.
3. Nastavte znamienka derivácie funkcie pri prechode cez kritické body a vypíšte extrémne body.
4. Vypočítajte funkčné hodnoty v každom extrémnom bode.
2. Skúmanie funkcií s derivátom
Úloha č.1 . Zväzok denníka. Guľatina správnej formy bez chýb dreva s relatívne malým rozdielom v priemeroch hrubých a tenkých koncov sa nazýva priemyselná guľatina. Pri určovaní objemu priemyselnej guľatiny sa zvyčajne používa zjednodušený vzorec, kde dĺžka guľatiny je plocha jej priemerného prierezu. Zistite, či skutočný objem končí alebo podceňuje; odhadnúť relatívnu chybu.
Riešenie. Tvar okrúhleho obchodného dreva je blízky zrezanému kužeľu. Nech je polomer väčšieho, menšieho konca guľatiny. Potom jeho takmer presný objem (objem zrezaného kužeľa) možno, ako je známe, nájsť podľa vzorca. Nech je hodnota objemu vypočítaná podľa zjednodušeného vzorca. Potom;
Tie. . To znamená, že zjednodušený vzorec dáva podhodnotenie objemu. Povedzme si to teraz. Potom. To ukazuje, že relatívna chyba nezávisí od dĺžky guľatiny, ale je určená pomerom. Odkedy sa zvyšuje na intervale . To znamená, že relatívna chyba nepresahuje 3,7 %. V praxi lesníckej vedy sa takáto chyba považuje za celkom prijateľnú. S väčšou presnosťou je prakticky nemožné zmerať ani priemery koncov (pretože sú trochu odlišné od kruhov), ani dĺžku kmeňa, pretože nemerajú výšku, ale tvoriacu čiaru kužeľa (dĺžku poleno je desaťkrát väčšie ako priemer a to nevedie k veľkým chybám). Na prvý pohľad nesprávny, ale jednoduchší vzorec pre objem zrezaného kužeľa v reálnej situácii sa teda ukazuje ako celkom legitímny. Opakovane vykonané pomocou špeciálnych metód overovania ukázali, že pri hromadnom účtovaní priemyselného lesa relatívna chyba pri použití uvažovaného vzorca nepresahuje 4%.
Úloha č. 2 . Pri určovaní objemov jám, zákopov vedier a iných nádob, ktoré majú tvar zrezaného kužeľa, sa niekedy v poľnohospodárskej praxi používa zjednodušený vzorec, kde je výška, sú plochy základov kužeľa. Zistite, či je skutočný objem nadhodnotený alebo podhodnotený, odhadnite relatívnu chybu za podmienok prirodzených pre prax: (- polomery základne, .
Riešenie. Označením cez skutočnú hodnotu objemu zrezaného kužeľa a cez hodnotu vypočítanú zjednodušeným vzorcom dostaneme: , t.j. . To znamená, že zjednodušený vzorec dáva nadhodnotenie objemu. Pri ďalšom opakovaní riešenia predchádzajúceho problému zistíme, že relatívna chyba nebude väčšia ako 6,7 %. Pravdepodobne je takáto presnosť prijateľná pri prideľovaní výkopových prác - napokon jamy nebudú ideálne kužele a zodpovedajúce parametre v reálnych podmienkach sa merajú veľmi zhruba.
Úloha č. 3 . V špeciálnej literatúre sa na určenie uhla β natočenia vretena frézky pri frézovaní spojok so zubami odvodzuje vzorec kde. Keďže tento vzorec je zložitý, odporúča sa vynechať jeho menovateľa a použiť zjednodušený vzorec. Pri akom (- celé číslo,) možno použiť tento vzorec, ak je pri určovaní uhla povolená chyba?
Riešenie. Presný vzorec po jednoduchých identických transformáciách možno zredukovať na formu. Preto pri použití približného vzorca je povolená absolútna chyba, kde. Študujeme funkciu na intervale . V tomto prípade 0,06, t.j. roh patrí do prvej štvrtiny. Máme: . Všimnite si, že na uvažovanom intervale, a teda funkcia na tomto intervale klesá. Keďže ďalej, pre všetkých zvažovaných. Znamená, . Keďže je to radián, stačí vyriešiť nerovnosť. Vyriešením tejto nerovnosti výberom zistíme, že . Keďže funkcia klesá, z toho vyplýva
Záver
Použitie derivátu je pomerne široké a dá sa v tomto type práce úplne pokryť, ale pokúsil som sa pokryť hlavné body. V našej dobe, v súvislosti s vedeckým a technologickým pokrokom, najmä s rýchlym vývojom výpočtových systémov, sa diferenciálny počet stáva čoraz dôležitejším pri riešení jednoduchých aj superzložitých problémov.
Literatúra
1. V.A. Petrov "Matematická analýza vo výrobných úlohách"
2. Soloveichik I.L., Lisichkin V.T. "matematika"
V tomto článku sa budem zaoberať aplikáciami derivátu v rôznych vedách a odvetviach. Práca je rozdelená do kapitol, z ktorých každá sa zaoberá jedným z aspektov diferenciálneho počtu (geometrický, fyzikálny význam atď.)
1. Pojem derivát
1-1. Historické informácie
Diferenciálny počet vytvorili Newton a Leibniz na konci 17. storočia na základe dvoch problémov:
1) o nájdení dotyčnice k ľubovoľnej priamke
2) o hľadaní rýchlosti pomocou ľubovoľného zákona pohybu
Ešte skôr sa s pojmom derivácie stretli v prácach talianskeho matematika Tartaglia (okolo 1500 - 1557) - tu sa v priebehu štúdia problematiky uhla sklonu pištole objavila tangenta, ktorá zaisťuje najväčší dosah. projektilu.
V 17. storočí sa na základe teórie pohybu G. Galilea aktívne rozvíjala kinematická koncepcia derivácie. Rôzne prezentácie sa začali objavovať v dielach Descarta, francúzskeho matematika Robervala a anglického vedca L. Gregoryho. Lopital, Bernoulli, Lagrange, Euler, Gauss výrazne prispeli k štúdiu diferenciálneho počtu.
1-2. Pojem derivát
Nech y \u003d f (x) je spojitá funkcia argumentu x, definovaného v intervale (a; b), a nech x 0 je ľubovoľný bod tohto intervalu
Dajme argumentu x prírastok?x, potom funkcia y = f(x) dostane prírastok?y = f(x + ?x) - f(x). Limita, ku ktorej smeruje pomer?y /?x, keď?x > 0, sa nazýva derivácia funkcie f(x).
y"(x)=
1-3. Pravidlá diferenciácie a tabuľka derivácií
| C" = 0 | (x n) = nx n-1 | (hriech x)" = cos x |
| x" = 1 | (1 / x)" = -1 / x2 | (cos x)" = -sin x |
| (Cu)"=Cu" | (vx)" = 1/2vx | (tg x)" = 1 / cos 2 x |
| (uv)" = u"v + uv" | (a x)" = a x log x | (ctg x)" = 1 / hriech 2 x |
| (u / v)"=(u"v - uv") / v 2 | (ex)" = ex | (arcsin x)" = 1 / v (1- x 2) |
| (log a x)" = (log a e) / x | (arccos x)" = -1 / v (1- x 2) | |
| (ln x)" = 1 / x | (arctg x)" = 1 / v (1+ x 2) | |
| (arcctg x)" = -1 / v (1+ x 2) |
2. Geometrický význam derivácie
2-1. Tangenta ku krivke
Nech máme krivku a na nej pevný bod M a bod N. Dotyčnicou k bodu M je priamka, ktorej polohu má tendenciu zaberať tetiva MN, ak sa k bodu N približujeme po nekonečne. krivka do M.
Uvažujme funkciu f(x) a krivku y = f(x) zodpovedajúcu tejto funkcii. Pre nejakú hodnotu x má funkcia hodnotu y = f(x). Tieto hodnoty na krivke zodpovedajú bodu M(x 0 , y 0). Zaveďme nový argument x 0 + ?x, jeho hodnota zodpovedá hodnote funkcie y 0 + ?y = f(x 0 + ?x). Zodpovedajúci bod je N(x0 + ?x, yo + ?y). Nakreslite sečnicu MN a označte? uhol tvorený sečnicou s kladným smerom osi Ox. Z obrázku je zrejmé, že ?y / ?x = tg ?. Ak sa teraz x priblíži k 0, potom sa bod N bude pohybovať pozdĺž krivky, sečna MN sa bude otáčať okolo bodu M a uhol? - zmeniť. Ak je uhol pri x > 0? má sklon k nejakému a, potom priamka prechádzajúca cez M a zvierajúca uhol a s kladným smerom osi x bude požadovanou dotyčnicou. Súčasne jeho koeficient sklonu:
To znamená, že hodnota derivácie f "(x) pre danú hodnotu argumentu x sa rovná dotyčnici uhla, ktorý zviera s kladným smerom osi Ox dotyčnica ku grafu funkcie f (x ) v bode M (x, f (x)).
Dotyčnica k priestorovej čiare má podobnú definíciu ako dotyčnica rovinnej krivky. V tomto prípade, ak je funkcia daná rovnicou z = f(x, y), sklony na osiach OX a OY sa budú rovnať parciálnym deriváciám f vzhľadom na x a y.
2-2. Dotyková rovina k povrchu
Dotyková rovina k povrchu v bode M je rovina obsahujúca dotyčnice ku všetkým priestorovým krivkám povrchu prechádzajúcich bodom M - bodom dotyku.
Zoberme plochu danú rovnicou F(x, y, z) = 0 a na nej nejaký obyčajný bod M(x 0 , y 0 , z 0). Uvažujme na ploche nejakú krivku L prechádzajúcu cez M. Nech je krivka daná rovnicami
x = A(t); y = A(t); z = ?(t).
Dosadme tieto výrazy do rovnice povrchu. Rovnica sa zmení na identitu, pretože krivka leží celá na povrchu. Pomocou invariantnej vlastnosti tvaru diferenciálu diferencujeme výslednú rovnicu vzhľadom na t:
Rovnice dotyčnice ku krivke L v bode M majú tvar:
Pretože rozdiely x - x 0, y - y 0, z - z 0 sú úmerné zodpovedajúcim diferenciálom, výsledná rovnica roviny vyzerá takto:
F" x (x - x 0) + F" y (y - y 0) + F" z (z - z 0)=0
a pre konkrétny prípad z = f(x, y):
Z - z 0 \u003d F "x (x - x 0) + F" y (y - y 0)
Príklad: Nájdite rovnicu dotykovej roviny v bode (2a; a; 1,5a) hyperbolického paraboloidu
Riešenie:
Z" x \u003d x / a \u003d 2; Z" y \u003d -y / a \u003d -1
Rovnica požadovanej roviny:
Z - 1,5a = 2(x - 2a) - (Y - a) alebo Z = 2x - y - 1,5a
3. Použitie derivácie vo fyzike
3-1. Bodová rýchlosť materiálu
Nech je závislosť dráhy s od času t pri danom priamočiarom pohybe hmotného bodu vyjadrená rovnicou s = f(t) a t 0 je nejaký časový okamih. Zvážte iný čas t, označte? t = t - t 0 a vypočítajte prírastok dráhy: ?s = f(t 0 + ?t) - f(t 0). Pomer?s/?t sa nazýva priemerná rýchlosť pohybu za čas?t, ktorý uplynul od počiatočného momentu t 0 . Rýchlosť sa nazýva limit tohto pomeru, keď? t\u003e 0.
Priemerné zrýchlenie nerovnomerného pohybu v intervale (t; t + ?t) je hodnota =?v /?t. Okamžité zrýchlenie hmotného bodu v čase t bude limitom priemerného zrýchlenia:
To znamená, že prvá časová derivácia (v "(t)).
Príklad: Závislosť dráhy prejdenej telom od času je daná rovnicou s \u003d A + Bt + Ct 2 + Dt 3 (C \u003d 0,1 m / s, D \u003d 0,03 m / s 2). Určite čas po začiatku pohybu, po ktorom sa zrýchlenie tela bude rovnať 2 m / s 2.
Riešenie:
v(t) = s"(t) = B + 2Ct + 3Dt2; a(t) = v"(t) = 2C + 6Dt = 0,2 + 0,18t = 2;
1,8 = 0,18 t; t = 10 s
3-2. Tepelná kapacita látky pri danej teplote
Na zvýšenie rôznych teplôt T o rovnakú hodnotu, ktorá sa rovná T 1 - T, na 1 kg. daná látka potrebuje iné množstvo tepla Q 1 - Q, a pomer
lebo táto látka nie je stála. Pre danú látku je teda množstvo tepla Q nelineárnou funkciou teploty T: Q = f(T). Potom AQ = f(t + AT) - f(T). Postoj
sa nazýva priemerná tepelná kapacita na segmente a hranica tohto výrazu pri? T > 0 sa nazýva tepelná kapacita danej látky pri teplote T.
3-3. Moc
Zmena mechanického pohybu telesa je spôsobená silami, ktoré naň pôsobia od iných telies. Aby bolo možné kvantitatívne charakterizovať proces výmeny energie medzi interagujúcimi telesami, v mechanike sa zavádza pojem práce sily. Na charakterizáciu miery vykonávania práce sa zavádza pojem moci:
4. Diferenciálny počet v ekonómii
4-1. Funkčný výskum
Diferenciálny počet je matematický aparát široko používaný na ekonomickú analýzu. Základnou úlohou ekonomickej analýzy je študovať vzťahy ekonomických veličín zapísaných ako funkcie. Akým smerom sa zmenia vládne príjmy, ak sa zvýšia dane alebo sa zavedú dovozné clá? Zvýši sa alebo zníži príjem firmy, keď sa zvýši cena jej produktov? V akom pomere môže doplnkové vybavenie nahradiť dôchodcov? Na vyriešenie takýchto problémov je potrebné skonštruovať spojovacie funkcie premenných v nich zahrnutých, ktoré sa potom študujú pomocou metód diferenciálneho počtu. V ekonómii sa často vyžaduje nájsť najlepšiu alebo optimálnu hodnotu ukazovateľa: najvyššiu produktivitu práce, maximálny zisk, maximálny výkon, minimálne náklady atď. Každý ukazovateľ je funkciou jedného alebo viacerých argumentov. Nájdenie optimálnej hodnoty ukazovateľa sa teda redukuje na nájdenie extrému funkcie.
Podľa Fermatovej vety, ak je bod extrémom funkcie, potom v ňom derivácia buď neexistuje, alebo sa rovná 0. Typ extrému možno určiť jednou z postačujúcich podmienok pre extrém:
1) Nech je funkcia f(x) diferencovateľná v niektorom okolí bodu x 0 . Ak derivácia f "(x) pri prechode bodom x 0 zmení znamienko z + na -, potom x 0 je maximálny bod, ak z - do +, potom x 0 je minimálny bod, ak nemení znamienko , potom neexistuje žiadny extrém.
2) Nech je funkcia f (x) dvakrát diferencovateľná v niektorom okolí bodu x 0 a f "(x 0) \u003d 0, f "" (x 0) ? 0, potom v bode x 0 funkcia f (x 0) má maximum , ak f "" (x 0)< 0 и минимум, если f ""(x 0) > 0.
Okrem toho druhá derivácia charakterizuje konvexnosť funkcie (graf funkcie sa nazýva konvexný hore [dole] na intervale (a, b), ak sa na tomto intervale nenachádza vyššie [nie nižšie] ako ktorýkoľvek z jeho dotyčnice).
Príklad: zvoliť optimálny objem produkcie firmy, ktorej ziskovú funkciu možno modelovať závislosťou:
a(q) = R(q) - C(q) = q2 - 8q + 10
Riešenie:
?"(q) = R"(q) - C"(q) = 2q - 8 = 0 > q extr = 4
Pre q<
q extr = 4 >?" (q)< 0 и прибыль убывает
Pre q > q extr = 4 > ?(q) > 0 a zisk rastie
Pre q = 4 má zisk minimálnu hodnotu.
Aký je optimálny výstup pre firmu? Ak firma nemôže v sledovanom období vyprodukovať viac ako 8 jednotiek produkcie (p(q = 8) = p(q = 0) = 10), potom optimálnym riešením by bolo neprodukovať vôbec nič, ale dostávať príjem. z prenájmu priestorov a/alebo zariadení. Ak je firma schopná vyrobiť viac ako 8 jednotiek, potom optimálny výstup pre firmu bude na hranici jej výrobnej kapacity.
4-2. Elasticita dopytu
Elasticita funkcie f (x) v bode x 0 sa nazýva limita
Dopyt je množstvo tovaru, ktoré kupujúci požaduje. Cenová elasticita dopytu E D je mierou toho, ako dopyt reaguje na zmeny cien. Ak ¦E D ¦>1, potom sa dopyt nazýva elastický, ak ¦E D ¦<1, то неэластичным. В случае
E D =0 спрос называется совершенно
неэластичным, т. е. изменение цены не приводит
ни к какому изменению спроса. Напротив,
если самое малое снижение цены побуждает
покупателя увеличить покупки от 0 до предела
своих возможностей, говорят, что спрос
является совершенно эластичным. В зависимости
от текущей эластичности спроса, предприниматель
принимает решения о снижении или повышении
цен на продукцию.
4-3. Limitná analýza
Dôležitou časťou metód diferenciálneho počtu používaných v ekonómii sú metódy limitnej analýzy, t. j. súbor metód na štúdium meniacich sa hodnôt nákladov alebo výsledkov so zmenami vo výrobe, spotrebe a pod. na základe analýzy ich hraničné hodnoty. Limitujúcim ukazovateľom (ukazovateľmi) funkcie je jej derivácia (v prípade funkcie jednej premennej) alebo parciálne derivácie (v prípade funkcie viacerých premenných)
V ekonomike sa často používajú priemery: priemerná produktivita práce, priemerné náklady, priemerný príjem, priemerný zisk a pod. zníži, ak sa znížia náklady. Na túto otázku nie je možné odpovedať pomocou priemerných hodnôt. Pri takýchto problémoch je potrebné určiť hranicu pomeru nárastu výsledku a nákladov, teda nájsť marginálny efekt. Preto je na ich riešenie potrebné použiť metódy diferenciálneho počtu.
5. Derivácia v približných výpočtoch
atď.................
Popis prezentácie na jednotlivých snímkach:
1 snímka
Popis snímky:
Téma hodiny: Aplikácia derivácie v rôznych oblastiach vedomostí Učiteľ matematiky MBOU "Škola č. 74" Zagumennova Marina Vladimirovna
2 snímka
Popis snímky:
Účel lekcie: Naučiť sa hlavné oblasti použitia derivátu v rôznych oblastiach vedy a techniky; Zvážte na príkladoch riešenia praktických problémov, ako sa derivát používa v chémii, fyzike, biológii, geografii a ekonómii.
3 snímka
Popis snímky:
"Neexistuje jediná oblasť matematiky, akokoľvek abstraktná môže byť, ktorá sa jedného dňa nebude dať použiť na javy skutočného sveta." N.I. Lobačevského
4 snímka
Popis snímky:
Pravidlá diferenciácie Derivácia súčtu O konštantnom činiteľovi Derivácia súčinu Derivácia zlomku Derivácia komplexnej funkcie (u+v)"= u" + v' (Cu)"=Cu' (uv)"=u"v +uv' (u/v)" =(u"v-uv")/v2 hꞌ(x)=gꞌ(f(x))f ꞌ(x)
5 snímka
Popis snímky:
Úloha derivácie vo fyzike. Pohyb auta pri brzdení je opísaný vzorcom s(t) = 30t - 5t2, (s je brzdná dráha v metroch, t je čas v sekundách od začiatku brzdenia po úplné zastavenie auta). Zistite, koľko sekúnd je auto v pohybe od okamihu, keď začne brzdiť, až po úplné zastavenie. Akú vzdialenosť prejde auto od začiatku brzdenia až po úplné zastavenie? Riešenie: Keďže rýchlosť je prvou deriváciou pohybu v čase, potom v = S'(t) = 30 - 10t, pretože pri brzdení je rýchlosť nulová, potom 0=30–10t; 10t = 30; t = 3 (s). Brzdná dráha S(t) = 30t - 5t2 = 30∙3-5∙32 = 90-45 = 45(m). Odpoveď: čas spomalenia 3s, brzdná dráha 45m.
6 snímka
Popis snímky:
To je zaujímavé Parník "Chelyuskin" vo februári 1934 úspešne prešiel celou severnou námornou trasou, ale v Beringovom prielive bol uväznený v ľade. Ľad odniesol Čeľuskina na sever a rozdrvil ho. Tu je popis katastrofy: „Silný kov trupu nepodľahol okamžite,“ hlásil v rádiu šéf expedície O.Yu. Schmidt. - Bolo vidieť, ako bola ľadová kryha vtlačená do boku a ako sa plášte nad ňou vyduli a ohýbali von. Ľad pokračoval v pomalom, no nezadržateľnom napredovaní. Napuchnuté železné plechy oplechovania trupu boli roztrhané vo švíkoch. Nity odleteli s prasknutím. V okamihu sa odtrhla ľavá strana lode od predného priestoru až po zadný koniec paluby... „Prečo sa stala katastrofa?
7 snímka
Popis snímky:
Sila tlaku ľadu Р sa rozloží na dve časti: F a R. R je kolmá na dosku, F smeruje tangenciálne. Uhol medzi P a R - α - uhol strany k vertikále. Q je sila trenia ľadu o dosku. Q = 0,2 R (0,2 je koeficient trenia). Ak Q< F, то F увлекает напирающий лед под воду, лед не причиняет вреда, если Q >F, potom trenie zabraňuje kĺzaniu ľadovej kryhy a ľad sa môže rozdrviť a pretlačiť cez stranu. 0,2 R< R tgα , tgα >0,2; Q< F, если α >1100. Sklon bokov lode voči vertikále pod uhlom α > 1100 zaisťuje bezpečnú plavbu v ľade.
8 snímka
Popis snímky:
Derivát v chémii Derivát v chémii sa používa na určenie rýchlosti chemickej reakcie. Je to potrebné pre: procesných inžinierov pri zisťovaní účinnosti chemickej výroby, chemikov vyvíjajúcich lieky pre medicínu a poľnohospodárstvo, ako aj lekárov a agronómov, ktorí tieto lieky používajú na liečbu ľudí a aplikujú ich do pôdy. Na riešenie výrobných problémov v medicínskom, poľnohospodárskom a chemickom priemysle je jednoducho potrebné poznať reakčné rýchlosti chemikálií.
9 snímka
Popis snímky:
Úloha z chémie Nech je množstvo látky, ktoré vstúpilo do chemickej reakcie, dané závislosťou: р(t) = t2/2 + 3t –3 (mol). Nájdite rýchlosť chemickej reakcie po 3 sekundách. Odkaz: Rýchlosť chemickej reakcie je zmena koncentrácie reaktantov za jednotku času alebo derivácia koncentrácie reaktantov vzhľadom na čas (v jazyku matematiky by koncentrácia bola funkcia a čas by bol argument )
10 snímka
Popis snímky:
Riešenie Pojem v jazyku chémie Zápis Pojem v jazyku matematiky Látkové množstvo v čase t0 p = p(t0) Funkcia Časový interval ∆t = t – t0 Prírastok argumentu Zmena látkového množstva ∆p = p(t0+ ∆ t) – p(t0) Prírastok funkcie Priemerná rýchlosť chemickej reakcie ∆p/∆t Pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu V (t) = p'(t)
11 snímka
Popis snímky:
Derivát v biológii Úloha v biológii: Na základe známej závislosti veľkosti populácie x(t) určte relatívny rast v čase t. Odkaz: Populácia je súbor jedincov daného druhu, ktorý zaberá určitú oblasť územia v rámci rozsahu druhu, voľne sa navzájom kríži a je čiastočne alebo úplne izolovaný od iných populácií a je tiež základnou jednotkou. evolúcie.
12 snímka
Popis snímky:
Riešenie Koncept v jazyku biológie Zápis Koncept v jazyku matematiky Číslo v čase t x = x(t) Funkcia Časový interval ∆t = t – t0 Prírastok argumentu Zmena populácie ∆x = x(t) – x(t0) Prírastok funkcie Rýchlosť zmeny veľkosti populácie ∆x/∆t Pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu Relatívny rast v danom momente lim∆x/∆t ∆t → 0 Derivácia Р = x" ( t)
13 snímka
Popis snímky:
14 snímka
Popis snímky:
Derivácia v geografii Derivácia pomáha vypočítať: Niektoré hodnoty v seizmografii Vlastnosti elektromagnetického poľa Zeme Rádioaktivita jadrových geofyzikálnych ukazovateľov Mnoho hodnôt v ekonomickej geografii Odvoďte vzorec na výpočet populácie na území v čase t.
15 snímka
Popis snímky:
Geografický problém Odvoďte vzorec na výpočet populácie na obmedzenom území v čase t.
16 snímka
Popis snímky:
Riešenie Nech y=y(t) je populácia. Uvažujme rast populácie pre ∆t = t – t0 ∆у = k∙y∙∆t, kde k = kр – kс je miera rastu populácie, (kр je pôrodnosť, kс je úmrtnosť). ∆у/∆t = k∙y ako ∆t → 0 dostaneme lim ∆у/∆t = у’. Rast populácie - y’ = k∙y. ∆t → 0 Záver: derivácia v geografii je kombinovaná s mnohými jej odvetviami (seizmografia, poloha a počet obyvateľov), ako aj s ekonomickou geografiou. To všetko umožňuje plnšie študovať vývoj obyvateľstva a krajín sveta.
17 snímka
Popis snímky:
Derivát v ekonómii Derivát rieši dôležité otázky: Akým smerom sa zmenia príjmy vlády zvýšením daní alebo zavedením ciel? Zvýši sa alebo zníži príjem firmy, keď sa zvýši cena jej produktov? Na vyriešenie týchto otázok je potrebné zostrojiť spojovacie funkcie vstupných premenných, ktoré sú následne študované metódami diferenciálneho počtu. Pomocou extrému funkcie v ekonomike možno tiež nájsť najvyššiu produktivitu práce, maximálny zisk, maximálny výkon a minimálne náklady.
18 snímka
Popis snímky:
Problém v ekonómii č. 1 (výrobné náklady) Nech y sú výrobné náklady a x je množstvo produkcie, potom x1 je zvýšenie výroby a y1 je zvýšenie výrobných nákladov.
19 snímka
Popis snímky:
20 snímka
Projektová činnosť na hodinách matematiky
Téma projektu: Aplikácia derivátu
Členovia: Študenti 1. ročníka Štátnej vzdelávacej inštitúcie „SKSiS“
Zásadná otázka : Ako merať rýchlosť rýchlosť?
Problematické záležitosti
Kto pracoval na otázke „diferenciácie“?
Ako sa derivácia používa pri štúdiu funkcie?
Ako derivát pomáha biológom, chemikom?
Aké úlohy vo fyzike sa riešia pomocou derivácie?
Ako sa derivát používa v ekonómii?
Aký je vzťah medzi deriváciou a geografiou?
Cieľ: Štúdium využitia derivátu na riešenie problémov v princípoch analýzy, fyziky, ekonómie, biológie, chémie a geografie; prehĺbenie a rozšírenie vedomostí na tému „Derivácia“.
Úlohy:
Nájdite informácie o histórii pôvodu derivátu, preštudujte si ho a systematizujte ho.
Skúmanie funkcií pre monotónnosť, extrémy, konvexnosť-konkávnosť pomocou derivácie.
Výber úloh z rôznych odvetví biológie, ktoré sa riešia pomocou derivátu
Zistite, aké procesy derivácia v geografii reguluje. Zvážte úlohy v geografii, ktoré sa riešia pomocou derivácie
Vyberte problémy z rôznych častí fyziky, ktoré sa riešia pomocou derivácie.
Vyberte ekonomické problémy, ktoré sa riešia pomocou derivátu.
Zvážte aplikáciu pravidiel pre výpočet derivátu na riešenie praktických problémov s ekonomickým obsahom.
"Upozorňujem vás, aby ste si dávali pozor na vynechanie dx - toto je chyba, ktorá sa často robí a ktorá bráni pokroku"
G. W. Leibniz
Použitie derivácie na riešenie problémov vyžaduje, aby študenti mysleli mimo rámca. Treba si uvedomiť, že znalosť neštandardných metód a techník riešenia problémov prispieva k rozvoju nového, neštandardného myslenia, ktoré možno úspešne aplikovať aj v iných oblastiach ľudskej činnosti (ekonómia, fyzika, chémia, biológia atď.). .). To dokazuje relevantnosť tejto práce. Pri práci na projekte sa nevyhnutne dodržiavajú určité štádiá aktivity študentov. Každý z nich prispieva k formovaniu osobných vlastností.
Prípravná fáza
V tejto fáze sme spolu so študentmi ponorení do projektu: aktivita je motivovaná, téma, problém a ciele sú definované. Téma projektu by mala byť študentovi nielen blízka a zaujímavá, ale aj prístupná. Táto etapa projektu je časovo najkratšia, no je veľmi dôležitá pre dosiahnutie očakávaných výsledkov.Počas predvádzania úvodnej prezentácie prebieha rozhovor; aktualizácia existujúcich poznatkov k téme, diskusia o všeobecnom pláne projektu, plánovanie prác na projekte. Určenie smeru vyhľadávania informácií v rôznych zdrojoch.
Téma "Derivácia" je jednou z najdôležitejších častí kurzu matematickej analýzy, pretože tento pojem je hlavným v diferenciálnom počte a slúži ako počiatočný základ pre konštrukciu integrálneho počtu. Študenti, ktorí sa s týmto konceptom stretávajú po prvýkrát, však často nechápu, prečo je potrebné ho študovať. Nevidí praktickú aplikáciu tejto témy. Preto je tento projekt „Aplikácia derivácie“ zameraný na to, aby študenti zistili, prečo potrebujú študovať deriváciu, kde môžu poznatky súvisiace s deriváciou využiť v živote, ako aj v iných predmetoch.
Etapa plánovania a organizácie činností.
V tejto fáze definujeme skupiny podľa oblastí činnosti, zdôrazňujeme ciele a zámery každej skupiny. Odporúčané témy na výber skupiny:
Skupina 1 - "Historické informácie o diferenciálnom počte";
Skupina 2 - "Geometrický význam derivátu"
skupina 4 - "Aplikácia derivácie pri riešení fyzikálnych problémov";
Skupina 3 - "Hľadanie najlepšieho riešenia v aplikovaných, vrátane sociálno-ekonomických úloh"
Skupina 4 - "Aplikácia derivátu v chémii a biológii"
Skupina 5 - "Použitie derivátu pri riešení problémov s geografickým obsahom."
Skupina zahŕňala študentov s rôznymi schopnosťami učenia. Každá skupina dostala za úlohu analyzovať zvolenú tému, nájsť informácie. Práca skupín je naplánovaná: zodpovednosti sú rozdelené medzi študentov, sú určené zdroje informácií, spôsoby zberu a analýzy informácií, spôsoby prezentácie výsledkov aktivít (v našom prípade prezentácie a brožúry).
Fáza vyhľadávania.
V tejto fáze dochádza k vyhľadávaniu a zhromažďovaniu informácií na nimi zvolenú tému, k riešeniu priebežných úloh. Analýza a zovšeobecnenie zozbieraného materiálu. Písomná prezentácia výsledkov a priebežná kontrola získaných výsledkov učiteľom. Konzultácie sa uskutočnili k programom PowerPoint, Publisher, Word pre študentov, ktorí mali v praktickej práci problémy s formalizáciou výsledkov. Formulácia záverov.
Etapa prezentácie výsledkov, správa.
Fáza prezentácie je potrebná na dokončenie práce, na analýzu toho, čo sa urobilo, na sebahodnotenie a hodnotenie zvonku a na preukázanie výsledkov. Forma prezentácie výsledkov v našom projekte: ústna správa s ukážkou materiálov navrhnutých vo forme prezentácie, brožúry, abstraktu.
Vyhodnotenie výsledkov, reflexia
Jednou zo záverečných fáz práce na projekte je vyhodnotenie výsledkov, reflexia. Projekt sa obhajuje na vyučovacej hodine alebo na krúžkovej hodine.
V prílohách sú práce žiakov pripravené v rámci aktivít projektu vo forme prezentácií a brožúry.
Pri hodnotení práce študentov na projekte sa prihliada na obsah (úplnosť zverejnenia témy, prezentácia aspektov témy, predstavenie stratégie riešenia problému, logika prezentácie informácií, využitie rôzne zdroje), miera samostatnej práce skupiny (koordinovaná práca v skupine, rozdelenie rolí v skupine, originalita autora), dizajn prezentačného produktu (gramatika, vhodný slovník, absencia pravopisných chýb a preklepov), ochrana (kvalita správy, objem a hĺbka vedomostí o téme, kultúra prejavu, spôsob vystupovania pred publikom, odpovede na otázky).
