Ushbu maqola haqida oddiy kasrlar. Bu erda biz umumiy kasr tushunchasini kiritamiz, bu bizni oddiy kasrning ta'rifiga olib keladi. Keyinchalik biz oddiy kasrlar uchun qabul qilingan belgi haqida to'xtalib o'tamiz va kasrlarga misollar keltiramiz, keling, kasrning numeratori va maxraji haqida gapiraylik. Shundan so'ng biz to'g'ri va noto'g'ri, musbat va manfiy kasrlarning ta'riflarini beramiz, shuningdek kasr sonlarning koordinata nuridagi o'rnini ko'rib chiqamiz. Xulosa qilib, biz kasrlar bilan asosiy operatsiyalarni sanab o'tamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Butun ulushlar

Avval tanishtiramiz ulush tushunchasi.

Faraz qilaylik, bizda bir nechta mutlaqo bir xil (ya'ni teng) qismlardan tashkil topgan ob'ekt bor. Aniqlik uchun, masalan, bir nechta teng qismlarga bo'lingan olma yoki bir nechta teng bo'laklardan iborat apelsinni tasavvur qilishingiz mumkin. Butun ob'ektni tashkil etuvchi bu teng qismlarning har biri deyiladi butunning qismlari yoki oddiygina ulushlar.

E'tibor bering, aktsiyalar har xil. Keling, buni tushuntirib beraylik. Keling, ikkita olma olamiz. Birinchi olmani ikkita teng qismga, ikkinchisini esa 6 ta teng qismga bo'ling. Birinchi olmaning ulushi ikkinchi olmaning ulushidan farq qilishi aniq.

Butun ob'ektni tashkil etuvchi aktsiyalar soniga qarab, bu aksiyalar o'z nomlariga ega. Keling, buni tartibga solaylik zarbalarning nomlari. Agar ob'ekt ikki qismdan iborat bo'lsa, ularning istalgani butun ob'ektning ikkinchi qismi deyiladi; agar ob'ekt uch qismdan iborat bo'lsa, u holda ularning har qanday qismi uchinchi qism deb ataladi va hokazo.

Ikkinchi ulushning maxsus nomi bor - yarmi. Uchdan bir qismi chaqiriladi uchinchi, va chorak qismi - chorak.

Qisqartirish uchun quyidagilar kiritildi: belgilarni urish. Ikkinchi ulush yoki 1/2, uchinchi ulush yoki 1/3 sifatida belgilanadi; to'rtdan biri - yoqtirish yoki 1/4, va hokazo. E'tibor bering, gorizontal chiziqli yozuv ko'proq ishlatiladi. Materialni mustahkamlash uchun yana bir misol keltiraylik: yozuv butunning bir yuz oltmish ettinchi qismini bildiradi.

Hissa tushunchasi tabiiy ravishda ob'ektlardan miqdorlarga qadar tarqaladi. Masalan, uzunlik o'lchovlaridan biri metrdir. Bir metrdan qisqaroq uzunliklarni o'lchash uchun metrning fraktsiyalaridan foydalanish mumkin. Shunday qilib, masalan, yarim metr yoki metrning o'ndan yoki mingdan bir qismidan foydalanishingiz mumkin. Boshqa miqdorlarning ulushlari ham xuddi shunday qo'llaniladi.

Oddiy kasrlar, ta'rifi va kasrlarga misollar

Biz foydalanadigan aktsiyalar sonini tavsiflash uchun oddiy kasrlar. Keling, oddiy kasrlarning ta'rifiga yaqinlashishga imkon beradigan misol keltiraylik.

Apelsin 12 qismdan iborat bo'lsin. Bu holda har bir ulush butun apelsinning o'n ikkidan birini anglatadi, ya'ni. Ikki zarbani deb, uchta zarbani kabi va hokazo, 12 zarbani deb belgilaymiz. Berilgan yozuvlarning har biri oddiy kasr deyiladi.

Keling, bir general beraylik oddiy kasrlarning ta'rifi.

Oddiy kasrlarning ovozli ta'rifi bizga berishga imkon beradi oddiy kasrlarga misollar: 5/10, , 21/1, 9/4,. Va bu erda yozuvlar oddiy kasrlarning berilgan ta'rifiga to'g'ri kelmaydi, ya'ni ular oddiy kasrlar emas.

Numerator va maxraj

Qulaylik uchun oddiy kasrlar ajratiladi sanoqchi va maxraj.

Ta'rif.

Numerator oddiy kasr (m/n) natural son m.

Ta'rif.

Denominator oddiy kasr (m/n) natural son n.

Demak, pay kasr chizig'idan yuqorida (qiyshiq chiziqning chap tomonida), maxraj esa kasr chizig'idan pastda (qiyshiq chiziqning o'ng tomonida) joylashgan. Masalan, 17/29 oddiy kasrni olaylik, bu kasrning ayiruvchisi 17 soni, maxraji esa 29 raqamidir.

Oddiy kasrning soni va maxrajidagi ma'noni muhokama qilish qoladi. Kasrning maxraji bir ob'ektning necha qismdan iboratligini ko'rsatadi va hisoblagich, o'z navbatida, bunday ulushlar sonini ko'rsatadi. Masalan, 12/5 kasrning 5 maxraji bitta ob'ekt beshta aksiyadan iborat ekanligini, 12 soni esa 12 ta shunday hissa olinganligini bildiradi.

1 maxrajli kasr sifatida natural son

Oddiy kasrning maxraji birga teng bo'lishi mumkin. Bunday holda, ob'ektni bo'linmas deb hisoblashimiz mumkin, boshqacha aytganda, u bir butun narsani ifodalaydi. Bunday kasrning soni qancha butun ob'ektlar olinganligini ko'rsatadi. Demak, m/1 ko`rinishdagi oddiy kasr m natural son ma`nosiga ega. m/1=m tengligining to‘g‘riligini ana shunday asosladik.

Oxirgi tenglikni quyidagicha qayta yozamiz: m=m/1. Bu tenglik har qanday natural son m ni oddiy kasr sifatida ifodalash imkonini beradi. Masalan, 4 soni 4/1 kasr, 103 498 soni esa 103 498/1 kasrga teng.

Shunday qilib, har qanday natural son m maxraji 1 bo‘lgan oddiy kasr sifatida m/1 ko‘rinishda, m/1 ko‘rinishdagi istalgan oddiy kasr esa m natural son bilan almashtirilishi mumkin..

Bo'lish belgisi sifatida kasr satri

Asl ob'ektni n ta hissa ko'rinishida ifodalash n ta teng qismga bo'linishdan boshqa narsa emas. Ob'ekt n ta aktsiyaga bo'lingandan so'ng, biz uni n kishiga teng taqsimlashimiz mumkin - har biriga bittadan ulush beriladi.

Agar bizda dastlab m ta bir xil ob'ektlar bo'lsa, ularning har biri n ta ulushga bo'lingan bo'lsa, u holda biz bu m ob'ektni n ta odam o'rtasida teng taqsimlashimiz mumkin va har bir kishiga har bir m ob'ektdan bittadan ulush berishimiz mumkin. Bunday holda, har bir kishi 1/n m ulushga ega bo'ladi va m 1/n ulush m/n oddiy kasrni beradi. Shunday qilib, m/n umumiy kasrdan m buyumning n kishiga bo‘linishini ko‘rsatish mumkin.

Shunday qilib, biz oddiy kasrlar va bo'linish o'rtasida aniq bog'lanishga erishdik (naturiy sonlarni bo'lishning umumiy g'oyasiga qarang). Bu bog'lanish quyidagicha ifodalanadi: kasr chizig'ini bo'linish belgisi sifatida tushunish mumkin, ya'ni m/n=m:n.

Oddiy kasrdan foydalanib, butun bo'linishni bajarib bo'lmaydigan ikkita natural sonni bo'lish natijasini yozishingiz mumkin. Masalan, 5 ta olmani 8 kishiga bo'lish natijasini 5/8 deb yozish mumkin, ya'ni har bir kishi olmaning sakkizdan besh qismini oladi: 5:8 = 5/8.

Teng va tengsiz kasrlar, kasrlarni solishtirish

Bu juda tabiiy harakat kasrlarni solishtirish, chunki apelsinning 1/12 qismi 5/12 dan farq qilishi va olmaning 1/6 qismi bu olmaning boshqa 1/6 qismi bilan bir xil ekanligi aniq.

Ikki oddiy kasrni solishtirish natijasida natijalardan biri olinadi: kasrlar teng yoki teng emas. Birinchi holda bizda bor teng umumiy kasrlar, ikkinchisida esa - teng bo'lmagan oddiy kasrlar. Teng va teng bo'lmagan oddiy kasrlarga ta'rif beramiz.

Ta'rif.

teng, a·d=b·c tenglik to'g'ri bo'lsa.

Ta'rif.

Ikki oddiy kasr a/b va c/d teng emas, a·d=b·c tenglik bajarilmasa.

Teng kasrlarga misollar keltiramiz. Masalan, 1/2 oddiy kasr 2/4 kasrga teng, chunki 1·4=2·2 (agar kerak bo'lsa, natural sonlarni ko'paytirish qoidalari va misollariga qarang). Aniqlik uchun siz ikkita bir xil olmani tasavvur qilishingiz mumkin, birinchisi yarmiga, ikkinchisi esa 4 qismga bo'linadi. Ko'rinib turibdiki, olmaning to'rtdan ikki qismi 1/2 ulushga teng. Teng oddiy kasrlarga boshqa misollar: 4/7 va 36/63 kasrlar va 81/50 va 1620/1000 kasrlar juftligi.

Lekin oddiy kasrlar 4/13 va 5/14 teng emas, chunki 4·14=56 va 13·5=65, ya'ni 4·14≠13·5. Teng bo'lmagan oddiy kasrlarning boshqa misollari 17/7 va 6/4 kasrlardir.

Agar ikkita oddiy kasrni solishtirganda, ular teng emasligi aniqlansa, siz ushbu oddiy kasrlardan qaysi birini topishingiz kerak bo'lishi mumkin. Ozroq har xil va qaysi biri - Ko'proq. Buni bilish uchun oddiy kasrlarni solishtirish qoidasi qo'llaniladi, uning mohiyati taqqoslangan kasrlarni umumiy maxrajga olib kelish va keyin hisoblagichlarni solishtirishdir. Ushbu mavzu bo'yicha batafsil ma'lumot kasrlarni taqqoslash maqolasida to'plangan: qoidalar, misollar, echimlar.

Kasr sonlar

Har bir kasr belgidir kasr son. Ya'ni, kasr - bu kasr sonning "qobig'i", uning ko'rinishi va barcha semantik yuk kasr sonida mavjud. Biroq, qisqalik va qulaylik uchun kasr va kasr son tushunchalari birlashtirilib, oddiygina kasr deb ataladi. Bu o‘rinda mashhur maqolni ifodalash o‘rinlidir: kasr deymiz – kasr son deymiz, kasr son deymiz – kasrni nazarda tutamiz.

Koordinata nuridagi kasrlar

Oddiy kasrlarga mos keladigan barcha kasr sonlarning o'ziga xos joyi bor, ya'ni kasrlar va koordinata nurining nuqtalari o'rtasida birma-bir moslik mavjud.

Koordinata nurida m/n kasrga mos keladigan nuqtaga o’tish uchun koordinata boshidan musbat yo’nalishda uzunligi birlik segmentning 1/n qismiga teng bo’lgan m segmentni ajratib qo’yish kerak. Bunday segmentlarni birlik segmentni n ta teng qismga bo'lish yo'li bilan olish mumkin, bu har doim sirkul va chizg'ich yordamida amalga oshirilishi mumkin.

Masalan, koordinata nurida 14/10 kasrga mos keladigan M nuqtani ko'rsatamiz. Uchlari O nuqtada va unga eng yaqin nuqtada kichik chiziqcha bilan belgilangan segment uzunligi birlik segmentining 1/10 qismini tashkil qiladi. Koordinatasi 14/10 bo'lgan nuqta koordinatadan 14 ta bunday segmentlar masofasida chiqariladi.

Teng kasrlar bir xil kasr soniga to'g'ri keladi, ya'ni teng kasrlar koordinata nuridagi bir xil nuqtaning koordinatalaridir. Masalan, 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 koordinatalari koordinata nurining bir nuqtasiga to'g'ri keladi, chunki barcha yozilgan kasrlar tengdir (u birlik segmentining yarmi masofasida joylashgan). kelib chiqishidan ijobiy tomonga).

Gorizontal va o'ngga yo'naltirilgan koordinatali nurda koordinatasi katta kasr bo'lgan nuqta koordinatasi kichik kasr bo'lgan nuqtaning o'ng tomonida joylashgan. Xuddi shunday, kichikroq koordinatali nuqta koordinatasi kattaroq nuqtaning chap tomonida joylashgan.

To'g'ri va noto'g'ri kasrlar, ta'riflar, misollar

Oddiy kasrlar orasida bor to'g'ri va noto'g'ri kasrlar. Bu bo'linish hisoblagich va maxrajni taqqoslashga asoslangan.

To'g'ri va noto'g'ri oddiy kasrlarni aniqlaylik.

Ta'rif.

To'g'ri kasr soni maxrajdan kichik bo'lgan oddiy kasr, ya'ni m bo'lsa

Ta'rif.

Noto'g'ri kasr maxrajdan katta yoki teng bo'lgan oddiy kasr, ya'ni m≥n bo'lsa, oddiy kasr noto'g'ri bo'ladi.

To'g'ri kasrlarga misollar: 1/4, , 32,765/909,003. Haqiqatan ham, yozma oddiy kasrlarning har birida hisoblagich maxrajdan kichikdir (agar kerak bo'lsa, natural sonlarni taqqoslash maqolasiga qarang), shuning uchun ular ta'rifi bo'yicha to'g'ri.

Noto'g'ri kasrlarga misollar: 9/9, 23/4, . Haqiqatan ham, yozilgan oddiy kasrlarning birinchi qismining soni maxrajga teng, qolgan kasrlarda esa maxrajdan katta bo'ladi.

Kasrlarni bitta bilan solishtirishga asoslangan to'g'ri va noto'g'ri kasrlarning ta'riflari ham mavjud.

Ta'rif.

to'g'ri, agar u bittadan kam bo'lsa.

Ta'rif.

Oddiy kasr deyiladi noto'g'ri, agar u birga teng yoki 1 dan katta bo'lsa.

Shunday qilib, 7/11 oddiy kasr to'g'ri, chunki 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 va 27/27=1.

Keling, maxrajidan katta yoki unga teng bo'lgan oddiy kasrlar qanday qilib bunday nomga loyiq ekanligi haqida o'ylab ko'raylik - "noto'g'ri".

Masalan, 9/9 noto'g'ri kasrni olaylik. Bu kasr to'qqiz qismdan iborat ob'ektdan to'qqiz qism olinganligini anglatadi. Ya'ni, mavjud to'qqiz qismdan biz butun ob'ektni yaratishimiz mumkin. Ya'ni, 9/9 noto'g'ri kasr mohiyatan butun ob'ektni beradi, ya'ni 9/9 = 1. Umuman olganda, ayiruvchiga teng bo'lgan noo'rin kasrlar bir butun ob'ektni bildiradi va bunday kasr 1 natural raqami bilan almashtirilishi mumkin.

Endi 7/3 va 12/4 noto'g'ri kasrlarni ko'rib chiqing. Ko'rinib turibdiki, ushbu etti uchinchi qismdan biz ikkita butun ob'ektni tuzishimiz mumkin (bitta butun ob'ekt 3 qismdan iborat, keyin ikkita butun ob'ektni yaratish uchun bizga 3 + 3 = 6 qism kerak bo'ladi) va hali ham uchdan bir qism qoladi. . Ya'ni, noto'g'ri kasr 7/3 mohiyatan 2 ob'ektni va shuningdek, bunday ob'ektning 1/3 qismini bildiradi. Va o'n ikki chorak qismdan biz uchta butun ob'ektni yasashimiz mumkin (har biri to'rt qismdan iborat uchta ob'ekt). Ya'ni, 12/4 kasr mohiyatan 3 ta butun ob'ektni bildiradi.

Ko'rib chiqilgan misollar bizni quyidagi xulosaga olib keladi: noto'g'ri kasrlarni natural sonlar bilan, hisoblagich maxrajga teng bo'linganda (masalan, 9/9=1 va 12/4=3) yoki yig'indi bilan almashtirilishi mumkin. natural son va to'g'ri kasr, agar hisoblagich maxrajga teng bo'linmasa (masalan, 7/3=2+1/3). Ehtimol, aynan shu narsa noto'g'ri kasrlarga "tartibsiz" nomini bergan.

Noto'g'ri kasrni natural son va to'g'ri kasr yig'indisi (7/3=2+1/3) sifatida ko'rsatish alohida qiziqish uyg'otadi. Bu jarayon butun qismni noto'g'ri kasrdan ajratish deb ataladi va alohida va diqqat bilan ko'rib chiqishga loyiqdir.

Shuni ham ta'kidlash joizki, noto'g'ri kasrlar va aralash sonlar o'rtasida juda yaqin bog'liqlik mavjud.

Ijobiy va manfiy kasrlar

Har bir umumiy kasr musbat kasr soniga to'g'ri keladi (musbat va salbiy sonlar haqidagi maqolaga qarang). Ya'ni, oddiy kasrlar musbat kasrlar. Masalan, 1/5, 56/18, 35/144 oddiy kasrlar musbat kasrlardir. Kasrning ijobiyligini ta'kidlash kerak bo'lganda, uning oldiga ortiqcha belgisi qo'yiladi, masalan, +3/4, +72/34.

Agar siz umumiy kasr oldiga minus belgisini qo'ysangiz, unda bu yozuv manfiy kasr soniga to'g'ri keladi. Bunday holda, biz gaplashishimiz mumkin manfiy kasrlar. Mana manfiy kasrlarga misollar: −6/10, −65/13, −1/18.

m/n va −m/n musbat va manfiy kasrlar qarama-qarshi sonlardir. Masalan, 5/7 va -5/7 kasrlar qarama-qarshi kasrlardir.

Ijobiy kasrlar, umuman olganda, ijobiy raqamlar kabi, qo'shimchani, daromadni, har qanday qiymatning yuqoriga qarab o'zgarishini va hokazolarni bildiradi. Salbiy kasrlar xarajat, qarz yoki har qanday miqdorning pasayishiga mos keladi. Masalan, -3/4 manfiy kasr qiymati 3/4 ga teng bo'lgan qarz sifatida talqin qilinishi mumkin.

Gorizontal va o'ngga yo'nalishda manfiy kasrlar boshlang'ichning chap tomonida joylashgan. Koordinatalari musbat kasr m/n va manfiy kasr −m/n bo‘lgan koordinata chizig‘ining nuqtalari koordinata boshidan bir xil masofada, lekin O nuqtaning qarama-qarshi tomonlarida joylashgan.

Bu erda 0/n ko'rinishdagi kasrlarni eslatib o'tish kerak. Bu kasrlar nol soniga teng, ya'ni 0/n=0.

Musbat kasrlar, manfiy kasrlar va 0/n kasrlar qo‘shilib ratsional sonlarni hosil qiladi.

Kasrlar bilan amallar

Biz yuqorida oddiy kasrlar bilan bitta harakatni - kasrlarni solishtirishni muhokama qildik. Yana to'rtta arifmetik funksiya aniqlangan kasrlar bilan amallar– kasrlarni qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish. Keling, ularning har birini ko'rib chiqaylik.

Kasrlar bilan amallarning umumiy mohiyati natural sonlar bilan mos keladigan amallarning mohiyatiga o'xshaydi. Keling, o'xshashlik qilaylik.

Kasrlarni ko'paytirish kasrdan kasrni topish harakati deb qarash mumkin. Aniqlik uchun bir misol keltiramiz. Keling, olmaning 1/6 qismini olamiz va biz uning 2/3 qismini olishimiz kerak. Bizga kerak bo'lgan qism 1/6 va 2/3 kasrlarni ko'paytirish natijasidir. Ikki oddiy kasrni ko'paytirish natijasi oddiy kasr (maxsus holatda natural songa teng). Keyinchalik, kasrlarni ko'paytirish - qoidalar, misollar va echimlar maqolasidagi ma'lumotlarni o'rganishingizni tavsiya qilamiz.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Vilenkin N.Ya., Joxov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika: 5-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Vilenkin N.Ya. va boshqalar.Matematika. 6-sinf: umumta’lim muassasalari uchun darslik.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma).

Fraksiya- matematikada sonni ifodalash shakli. Kasr satri bo'lish amalini bildiradi. Numerator kasr dividend deb ataladi va maxraj- ajratuvchi. Masalan, kasrda ayiruvchi 5 ga, maxraj esa 7 ga teng.

To'g'ri Numeratorning moduli maxraj modulidan katta bo'lgan kasr deyiladi. Agar kasr to'g'ri bo'lsa, uning qiymati moduli har doim 1 dan kichik bo'ladi. Boshqa barcha kasrlar noto'g'ri.

Kasr deyiladi aralashgan, agar u butun son va kasr shaklida yozilsa. Bu raqam va kasrning yig'indisi bilan bir xil:

Kasrning asosiy xossasi

Agar kasrning soni va maxraji bir xil songa ko'paytirilsa, u holda kasrning qiymati o'zgarmaydi, ya'ni, masalan.

Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish

Ikki kasrni umumiy maxrajga keltirish uchun sizga kerak bo'ladi:

1. Birinchi kasrning sonini ikkinchi kasrning maxrajiga ko'paytiring
2. Ikkinchi kasrning sonini birinchisining maxrajiga ko'paytiring
3. Ikkala kasrning maxrajlarini ularning ko‘paytmasi bilan almashtiring

Kasrlar bilan amallar

Qo'shish. Ikki kasr qo'shish uchun sizga kerak bo'ladi

1. Har ikkala kasrning yangi sonlarini qo'shing va maxrajni o'zgarishsiz qoldiring

Misol:

Ayirish. Bir kasrni boshqasidan ayirish uchun sizga kerak

1. Kasrlarni umumiy maxrajga keltiring
2. Birinchi kasrning sonidan ikkinchi kasrni ayirib, maxrajni o'zgarishsiz qoldiring.

Misol:

Ko'paytirish. Bir kasrni boshqa kasrga ko'paytirish uchun ularning soni va maxrajlarini ko'paytiring:

Bo'lim. Bir kasrni ikkinchi kasrga bo'lish uchun birinchi kasrning sonini ikkinchi kasrning maxrajiga ko'paytiring va birinchi kasrning maxrajini ikkinchi kasrga ko'paytiring:

Kasrlar

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Juda "juda emas ..." bo'lganlar uchun
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)

O'rta maktabda kasrlar unchalik noqulaylik tug'dirmaydi. Hozirgi paytda. Ratsional ko'rsatkichlar va logarifmlar bilan kuchlarni uchratmaguningizcha. Va u erda ... Kalkulyatorni bosing va bosing va u ba'zi raqamlarning to'liq ekranini ko'rsatadi. Uchinchi sinfdagi kabi boshingiz bilan o'ylashingiz kerak.

Keling, nihoyat kasrlarni aniqlaymiz! Xo'sh, ularda sizni qanchalik chalkashtirib yuborishingiz mumkin!? Bundan tashqari, hammasi oddiy va mantiqiy. Shunday qilib, kasrlarning qanday turlari bor?

Kasrlar turlari. Transformatsiyalar.

Kasrlarning uch turi mavjud.

1. Oddiy kasrlar , Masalan:

Ba'zan gorizontal chiziq o'rniga ular chiziq qo'yadilar: 1/2, 3/4, 19/5, yaxshi va hokazo. Bu erda biz tez-tez bu imlodan foydalanamiz. Yuqori raqam chaqiriladi hisoblagich, pastroq - maxraj. Agar siz doimo bu nomlarni chalkashtirib yuborsangiz (bu sodir bo'ladi ...), o'zingizga quyidagi iborani ayting: " Zzzzz esda tuting! Zzzzz maxraj - qara zzzz uh!" Mana, hamma narsa esda qoladi.)

Chiziq gorizontal yoki eğimli, degan ma'noni anglatadi bo'linish yuqori raqam (numerator) pastga (maxraj). Va tamom! Chiziq o'rniga bo'linish belgisini qo'yish juda mumkin - ikkita nuqta.

To'liq bo'linish mumkin bo'lganda, buni qilish kerak. Shunday qilib, "32/8" kasr o'rniga "4" raqamini yozish ancha yoqimli. Bular. 32 oddiygina 8 ga bo'linadi.

32/8 = 32: 8 = 4

Men hatto "4/1" fraktsiyasi haqida gapirmayapman. Bu shunchaki "4". Va agar u to'liq bo'linmasa, biz uni kasr sifatida qoldiramiz. Ba'zan siz teskari operatsiyani bajarishingiz kerak. Butun sonni kasrga aylantiring. Ammo bu haqda keyinroq.

2. O'nlik kasrlar , Masalan:

Aynan shu shaklda siz "B" topshiriqlariga javoblarni yozishingiz kerak bo'ladi.

3. Aralash raqamlar , Masalan:

O'rta maktabda aralash raqamlar amalda qo'llanilmaydi. Ular bilan ishlash uchun ularni oddiy kasrlarga aylantirish kerak. Lekin, albatta, siz buni qila olishingiz kerak! Aks holda muammoda shunday raqamga duch kelasiz va qotib qolasiz... Hech qanday joydan. Ammo biz bu tartibni eslaymiz! Bir oz pastroq.

Eng ko'p qirrali oddiy kasrlar. Keling, ular bilan boshlaylik. Aytgancha, agar kasrda barcha turdagi logarifmlar, sinuslar va boshqa harflar bo'lsa, bu hech narsani o'zgartirmaydi. Hamma narsa degan ma'noda kasrli iborali harakatlar oddiy kasrli harakatlardan farq qilmaydi!

Kasrning asosiy xossasi.

Xo'sh, ketaylik! Boshlash uchun men sizni hayratda qoldiraman. Kasr o'zgarishlarining butun xilma-xilligi bitta xususiyat bilan ta'minlanadi! Bu shunday deyiladi kasrning asosiy xossasi. Eslab qoling: Agar kasrning soni va maxraji bir xil songa ko'paytirilsa (bo'linsa), kasr o'zgarmaydi. Bular:

Yuzing ko'karguncha yozishni davom ettirishingiz aniq. Sinuslar va logarifmlar sizni chalkashtirib yuborishiga yo'l qo'ymang, biz ular bilan ko'proq shug'ullanamiz. Asosiysi, bu turli xil ifodalarning barchasi ekanligini tushunishdir bir xil kasr . 2/3.

Bu barcha o'zgarishlar bizga kerakmi? Va qanday! Endi o'zingiz ko'rasiz. Boshlash uchun kasrning asosiy xususiyatidan foydalanamiz kasrlarni kamaytirish. Bu oddiy narsa kabi ko'rinadi. Numerator va maxrajni bir xil songa bo'ling va tamom! Xato qilish mumkin emas! Lekin... inson ijodkor mavjudotdir. Siz hamma joyda xato qilishingiz mumkin! Ayniqsa, 5/10 kabi kasrni emas, balki har xil harflar bilan kasrli ifodani kamaytirishingiz kerak bo'lsa.

Qanday qilib qo'shimcha ish qilmasdan kasrlarni to'g'ri va tez kamaytirishni maxsus 555-bo'limda o'qishingiz mumkin.

Oddiy o‘quvchi hisob va maxrajni bir xil songa (yoki ifodaga) bo‘lishdan bezovta qilmaydi! U shunchaki yuqorida va pastda bir xil bo'lgan hamma narsani kesib tashlaydi! Bu erda odatiy xato, qo'pol xato, agar xohlasangiz, yashiringan.

Masalan, siz ifodani soddalashtirishingiz kerak:

Bu erda o'ylaydigan hech narsa yo'q, tepada "a" harfini va pastda "2" harfini kesib tashlang! Biz olamiz:

Hammasi to'g'ri. Lekin, albatta, siz bo'lingansiz hammasi hisoblagich va hammasi maxraj "a" dir. Agar siz shunchaki kesib tashlashga odatlangan bo'lsangiz, shoshilinch ravishda iboradagi "a" ni kesib tashlashingiz mumkin

va yana oling

Bu mutlaqo noto'g'ri bo'lar edi. Chunki bu yerda hammasi"a" dagi raqam allaqachon mavjud baham ko'rilmagan! Bu fraktsiyani kamaytirish mumkin emas. Darvoqe, bunday qisqartirish, hm... o‘qituvchi uchun jiddiy muammo. Bu kechirilmaydi! Esingizdami? Kamaytirishda siz bo'lishingiz kerak hammasi hisoblagich va hammasi denominator!

Kasrlarni kamaytirish hayotni ancha osonlashtiradi. Siz biror joyda kasr olasiz, masalan 375/1000. Endi u bilan qanday ishlashni davom ettira olaman? Kalkulyatorsizmi? Ko'paytiring, ayting, qo'shing, kvadrat!? Va agar siz juda dangasa bo'lmasangiz va ehtiyotkorlik bilan beshga, yana beshga va hatto ... qisqartirilsa, qisqacha qisqartiring. Keling, 3/8ni olamiz! Judayam yoqimli, to'g'rimi?

Kasrning asosiy xossasi oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga va aksincha o'tkazish imkonini beradi kalkulyatorsiz! Bu Yagona davlat imtihoni uchun muhim, to'g'rimi?

Kasrlarni bir turdan ikkinchi turga qanday o'tkazish mumkin.

O'nli kasrlar bilan hamma narsa oddiy. Qanday eshitilsa, shunday yoziladi! Aytaylik, 0,25. Bu nol nuqta yigirma besh yuzdan bir qismi. Shunday qilib, biz yozamiz: 25/100. Biz kamaytiramiz (numerator va denominatorni 25 ga bo'lamiz), biz odatdagi kasrni olamiz: 1/4. Hammasi. Bu sodir bo'ladi va hech narsa kamaymaydi. 0,3 kabi. Bu o'ndan uch, ya'ni. 3/10.

Agar butun sonlar nolga teng bo'lmasa-chi? Hammasi joyida; shu bo'ladi. Biz butun kasrni yozamiz hech qanday vergulsiz sanoqda, maxrajda esa - nima eshitiladi. Masalan: 3.17. Bu uchdan o'n etti yuzdan bir qism. Numeratorga 317, maxrajga 100 yozamiz.317/100 ni olamiz. Hech narsa kamaymaydi, bu hamma narsani anglatadi. Bu javob. Boshlang'ich Uotson! Aytilganlarning barchasidan foydali xulosa: har qanday o'nli kasr oddiy kasrga aylantirilishi mumkin .

Ammo ba'zi odamlar kalkulyatorsiz oddiydan o'nli kasrga teskari o'zgartirishni amalga oshira olmaydi. Kerak! Yagona davlat imtihoniga javobni qanday yozasiz!? Diqqat bilan o'qing va ushbu jarayonni o'zlashtiring.

O'nli kasrning o'ziga xos xususiyati nimada? Uning maxraji Har doim xarajat 10, yoki 100, yoki 1000 yoki 10000 va hokazo. Agar sizning umumiy kasringiz shunday maxrajga ega bo'lsa, muammo bo'lmaydi. Masalan, 4/10 = 0,4. Yoki 7/100 = 0,07. Yoki 12/10 = 1,2. Agar "B" bo'limidagi topshiriqning javobi 1/2 bo'lib chiqsa nima bo'ladi? Bunga javoban nima yozamiz? Oʻnlik raqamlar kerak...

Keling, eslaylik kasrning asosiy xossasi ! Matematika sizga pay va maxrajni bir xil songa ko'paytirish imkonini beradi. Aytgancha, har qanday narsa! Albatta, noldan tashqari. Shunday ekan, keling, ushbu mulkdan o'z foydamiz uchun foydalanaylik! Denominator nimaga ko'paytirilishi mumkin, ya'ni. 2 10 yoki 100 yoki 1000 bo'lishi uchun (kichikroq bo'lsa yaxshi, albatta...)? 5 da, aniq. Maxrajni ko'paytiring (bu Biz zarur) ga 5. Ammo keyin raqamni ham 5 ga ko'paytirish kerak. Bu allaqachon matematika talablar! Biz 1/2 = 1x5 / 2x5 = 5/10 = 0,5 ni olamiz. Ana xolos.

Biroq, har xil maxrajlar uchraydi. Siz, masalan, 3/16 kasrga duch kelasiz. 100 yoki 1000 ni tashkil qilish uchun 16 ni nimaga ko'paytirish kerakligini aniqlab ko'ring ... Bu ishlamayaptimi? Keyin siz oddiygina 3 ni 16 ga bo'lishingiz mumkin. Kalkulyator yo'q bo'lganda, ular boshlang'ich maktabda o'rgatganidek, siz burchak bilan, qog'oz varag'ida bo'lishingiz kerak bo'ladi. Biz 0,1875 ni olamiz.

Va juda yomon maxrajlar ham bor. Misol uchun, 1/3 kasrni yaxshi o'nli kasrga aylantirishning hech qanday usuli yo'q. Kalkulyatorda ham, qog'ozda ham biz 0,3333333 ni olamiz ... Bu 1/3 aniq o'nli kasr ekanligini anglatadi. tarjima qilmaydi. Xuddi shu 1/7, 5/6 va boshqalar. Ularning ko'plari bor, ularni tarjima qilib bo'lmaydi. Bu bizni yana bir foydali xulosaga olib keladi. Har bir kasrni o'nli kasrga aylantirib bo'lmaydi !

Aytgancha, bu o'z-o'zini sinab ko'rish uchun foydali ma'lumot. "B" bo'limida siz javobingizda o'nlik kasrni yozishingiz kerak. Va sizda, masalan, 4/3 bor. Bu kasr o'nli kasrga aylanmaydi. Bu siz yo'lda biror joyda xato qilganingizni anglatadi! Orqaga qayting va yechimni tekshiring.

Shunday qilib, biz oddiy va o'nli kasrlarni aniqladik. Faqat aralash raqamlar bilan shug'ullanish qoladi. Ular bilan ishlash uchun ularni oddiy kasrlarga aylantirish kerak. Buni qanday qilish kerak? Siz oltinchi sinf o'quvchisini tutib, undan so'rashingiz mumkin. Lekin oltinchi sinf o'quvchisi doimo qo'lida bo'lmaydi ... Buni o'zingiz qilishingiz kerak bo'ladi. Bu qiyin emas. Kasr qismining maxrajini butun qismga ko'paytirish va kasr qismining sonini qo'shish kerak. Bu oddiy kasrning numeratori bo'ladi. Maxraj haqida nima deyish mumkin? Maxraj bir xil bo'lib qoladi. Bu murakkab tuyuladi, lekin aslida hamma narsa oddiy. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

Aytaylik, siz muammodagi raqamni ko'rib dahshatga tushdingiz:

Tinchlik bilan, vahima qilmasdan, biz o'ylaymiz. Butun qism 1. Birlik. Kasr qismi 3/7 ga teng. Demak, kasr qismining maxraji 7. Bu maxraj oddiy kasrning maxraji bo'ladi. Numeratorni hisoblaymiz. Biz 7 ni 1 ga (butun qism) ko'paytiramiz va 3 ni qo'shamiz (kasr qismining soni). Biz 10 ni olamiz. Bu oddiy kasrning numeratori bo'ladi. Ana xolos. Bu matematik belgilarda yanada sodda ko'rinadi:

Aniqmi? Keyin muvaffaqiyatingizni kafolatlang! Oddiy kasrlarga aylantiring. Siz 10/7, 7/2, 23/10 va 21/4 ni olishingiz kerak.

Teskari operatsiya - noto'g'ri kasrni aralash songa aylantirish - o'rta maktabda kamdan-kam talab qilinadi. Xo'sh, agar shunday bo'lsa ... Va agar siz o'rta maktabda bo'lmasangiz, maxsus 555-bo'limni ko'rib chiqishingiz mumkin. Aytgancha, siz u erda noto'g'ri fraktsiyalar haqida ham bilib olasiz.

Xo'sh, bu deyarli hammasi. Kasr turlarini esladingiz va tushundingiz Qanaqasiga ularni bir turdan ikkinchisiga o'tkazish. Savol qoladi: Nima uchun qilsinmi? Ushbu chuqur bilimni qayerda va qachon qo'llash kerak?

Men javob beraman. Har qanday misolning o'zi kerakli harakatlarni taklif qiladi. Agar misolda oddiy kasrlar, o'nli kasrlar va hatto aralash sonlar aralashgan bo'lsa, biz hamma narsani oddiy kasrlarga aylantiramiz. Buni har doim qilish mumkin. Xo'sh, agar 0,8 + 0,3 kabi bir narsa aytilgan bo'lsa, biz uni hech qanday tarjimasiz hisoblaymiz. Nega bizga qo'shimcha ish kerak? Biz qulay bo'lgan yechimni tanlaymiz Biz !

Agar vazifa barcha o'nlik kasrlar bo'lsa, lekin um ... qandaydir yovuz bo'lsa, oddiylarga o'ting va sinab ko'ring! Qarang, hammasi yaxshi bo'ladi. Masalan, siz 0,125 raqamini kvadratga olishingiz kerak bo'ladi. Agar kalkulyatordan foydalanishga o'rganmagan bo'lsangiz, bu unchalik oson emas! Ustundagi raqamlarni ko'paytirish emas, balki vergulni qaerga qo'yish haqida ham o'ylashingiz kerak! Bu, albatta, sizning boshingizda ishlamaydi! Agar oddiy kasrga o'tsak nima bo'ladi?

0,125 = 125/1000. Biz uni 5 ga kamaytiramiz (bu yangi boshlanuvchilar uchun). Biz 25/200 olamiz. Yana bir marta 5. Biz 5/40 olamiz. Oh, u hali ham qisqaradi! 5 ga qaytish! Biz 1/8 ni olamiz. Biz uni osongina kvadratga olamiz (ongimizda!) va 1/64 ni olamiz. Hammasi!

Keling, ushbu darsni umumlashtiramiz.

1. Kasrlar uch xil bo‘ladi. Umumiy, o'nlik va aralash sonlar.

2. O‘nlik va aralash sonlar Har doim oddiy kasrlarga aylantirilishi mumkin. Teskari uzatish har doim emas mavjud.

3. Topshiriq bilan ishlash uchun kasrlar turini tanlash vazifaning o'ziga bog'liq. Agar bitta vazifada har xil turdagi kasrlar mavjud bo'lsa, eng ishonchli narsa oddiy kasrlarga o'tishdir.

Endi siz mashq qilishingiz mumkin. Birinchidan, bu o'nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantiring:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Siz shunday javob olishingiz kerak (chalkashlikda!):

Keling, buni yakunlaylik. Ushbu darsda biz kasrlar haqidagi asosiy fikrlar haqida xotiramizni yangiladik. Shunday bo'ladiki, yangilash uchun maxsus hech narsa yo'q ...) Agar kimdir uni butunlay unutgan bo'lsa yoki hali o'zlashtirmagan bo'lsa ... Keyin siz maxsus 555-bo'limga o'tishingiz mumkin. U erda barcha asoslar batafsil yoritilgan. Ko'pchilik birdaniga hamma narsani tushun boshlanmoqda. Va ular kasrlarni tezda hal qilishadi).

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)

Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Matematika haqida gapirganda, kasrlarni eslamaslik mumkin emas. Ularni o'rganishga katta e'tibor va vaqt ajratiladi. Kasrlar bilan ishlashning muayyan qoidalarini, kasrning asosiy xususiyatini qanday yodlaganingizni va qo'llaganingizni o'rganish uchun qancha misollarni echishingiz kerakligini eslang. Umumiy maxrajni topish uchun qancha asab sarflangan, ayniqsa misollarda ikkitadan ortiq atama bo'lsa!

Keling, bu nima ekanligini eslaylik va kasrlar bilan ishlashning asosiy ma'lumotlari va qoidalarini biroz yangilaymiz.

Kasrlarning ta'rifi

Keling, eng muhim narsa - ta'rifdan boshlaylik. Kasr - bu birlikning bir yoki bir nechta qismlaridan tashkil topgan son. Kasr son gorizontal yoki qiyshiq chiziq bilan ajratilgan ikkita raqam sifatida yoziladi. Bunda yuqori (yoki birinchi) hisoblagich, pastki qismi (ikkinchi) esa maxraj deyiladi.

Shuni ta'kidlash kerakki, maxraj birlik necha qismga bo'linganligini, hisoblagich esa ulushlar yoki olingan qismlarning sonini ko'rsatadi. Ko'pincha kasrlar, agar to'g'ri bo'lsa, birdan kichik bo'ladi.

Endi bu raqamlarning xossalarini va ular bilan ishlashda qo'llaniladigan asosiy qoidalarni ko'rib chiqamiz. Ammo "ratsional kasrning asosiy xususiyati" kabi tushunchani ko'rib chiqishdan oldin, keling, kasrlarning turlari va ularning xususiyatlari haqida gapiraylik.

Kasrlar nima?

Bunday raqamlarning bir nechta turlari mavjud. Avvalo, bu oddiy va o'nlik. Birinchisi, gorizontal yoki slash yordamida biz allaqachon ko'rsatgan yozuv turini ifodalaydi. Ikkinchi turdagi kasrlar birinchi navbatda raqamning butun qismi ko'rsatilganda, so'ngra kasrdan keyin kasr qismi ko'rsatilganda, pozitsion belgilar yordamida ko'rsatiladi.

Shuni ta'kidlash kerakki, matematikada o'nlik va oddiy kasrlar bir xilda qo'llaniladi. Kasrning asosiy xossasi faqat ikkinchi variant uchun amal qiladi. Bundan tashqari, oddiy kasrlar muntazam va noto'g'ri sonlarga bo'linadi. Birinchisi uchun hisoblagich har doim maxrajdan kichik bo'ladi. Shuni ham yodda tutingki, bunday kasr birdan kichik. Noto'g'ri kasrda, aksincha, hisoblagich maxrajdan, kasrning o'zi esa bittadan katta bo'ladi. Bunday holda, undan butun sonni olish mumkin. Ushbu maqolada biz faqat oddiy kasrlarni ko'rib chiqamiz.

Kasrlarning xossalari

Har qanday hodisa, kimyoviy, fizik yoki matematik, o'ziga xos xususiyat va xususiyatlarga ega. Kasr raqamlari bundan mustasno emas edi. Ularning bitta muhim xususiyati bor, uning yordamida ular ustida muayyan operatsiyalarni bajarish mumkin. Kasrning asosiy xossasi nima? Qoidada aytilishicha, agar uning soni va maxraji bir xil ratsional songa ko'paytirilsa yoki bo'linsa, biz yangi kasrni olamiz, uning qiymati asl qiymatiga teng bo'ladi. Ya'ni, 3/6 kasr sonining ikki qismini 2 ga ko'paytirish orqali biz 6/12 yangi kasrni olamiz va ular teng bo'ladi.

Ushbu xususiyatga asoslanib, siz kasrlarni kamaytirishingiz, shuningdek, ma'lum bir juft raqamlar uchun umumiy maxrajlarni tanlashingiz mumkin.

Operatsiyalar

Kasrlar murakkabroq ko‘rinsa-da, ulardan qo‘shish va ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish kabi asosiy matematik amallarni bajarishda ham foydalanish mumkin. Bundan tashqari, fraktsiyalarni kamaytirish kabi o'ziga xos harakat mavjud. Tabiiyki, bu harakatlarning har biri ma'lum qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi. Bu qonunlarni bilish kasrlar bilan ishlashni oson, oson va qiziqarli qiladi. Shuning uchun biz bunday raqamlar bilan ishlashda asosiy qoidalar va harakatlar algoritmini ko'rib chiqamiz.

Ammo qo'shish va ayirish kabi matematik amallar haqida gapirishdan oldin umumiy maxrajga qisqartirish kabi amalni ko'rib chiqamiz. Bu erda kasrning qanday asosiy xususiyati mavjudligini bilish foydali bo'ladi.

Umumiy maxraj

Sonni umumiy maxrajga keltirish uchun, avvalo, ikkita maxrajning eng kichik umumiy karralini topish kerak. Ya'ni, bir vaqtning o'zida ikkala maxrajga ham qoldiqsiz bo'linadigan eng kichik son. LCM (eng kichik umumiy ko'paytma) ni topishning eng oson yo'li bitta maxraj uchun, keyin ikkinchisiga yozish va ular orasidan mos keladigan raqamni topishdir. Agar LCM topilmasa, ya'ni bu raqamlar umumiy ko'paytmaga ega bo'lmasa, ularni ko'paytirish kerak va natijada olingan qiymat LCM hisoblanadi.

Shunday qilib, biz LCM ni topdik, endi biz qo'shimcha omilni topishimiz kerak. Buni amalga oshirish uchun siz LCMni navbatma-navbat kasrlarning maxrajlariga bo'lishingiz va olingan sonni ularning har biriga yozishingiz kerak. Keyinchalik, hisoblagich va maxrajni hosil bo'lgan qo'shimcha omilga ko'paytirishingiz va natijalarni yangi kasr sifatida yozishingiz kerak. Agar siz olgan raqam oldingisiga teng ekanligiga shubha qilsangiz, kasrning asosiy xususiyatini eslang.

Qo'shish

Endi to‘g‘ridan-to‘g‘ri kasr sonlar ustidagi matematik amallarga o‘tamiz. Eng oddiyidan boshlaylik. Kasrlarni qo'shishning bir nechta variantlari mavjud. Birinchi holda, ikkala raqam ham bir xil maxrajga ega. Bunday holda, faqat raqamlarni qo'shish qoladi. Ammo maxraj o'zgarmaydi. Masalan, 1/5 + 3/5 = 4/5.

Agar kasrlar turli xil maxrajlarga ega bo'lsa, ularni umumiy maxrajga qisqartirish kerak va shundan keyingina qo'shishni amalga oshirish kerak. Buni qanday qilib biroz yuqoriroq qilishni muhokama qildik. Bunday vaziyatda kasrning asosiy xususiyati foydali bo'ladi. Qoida raqamlarni umumiy maxrajga keltirish imkonini beradi. Qiymat hech qanday tarzda o'zgarmaydi.

Shu bilan bir qatorda, fraksiya aralash bo'lishi mumkin. Keyin avval butun qismlarni, keyin esa kasrlarni qo'shishingiz kerak.

Ko'paytirish

Bu hech qanday hiyla-nayranglarni talab qilmaydi va bu harakatni bajarish uchun kasrning asosiy xususiyatini bilish shart emas. Avval son va maxrajlarni bir-biriga ko'paytirish kifoya. Bunda sanoqchilarning ko‘paytmasi yangi ayiruvchiga, aylanuvchilar esa yangi maxrajga aylanadi. Ko'rib turganingizdek, hech qanday murakkab narsa yo'q.

Sizdan talab qilinadigan yagona narsa - bu ko'paytirish jadvallarini bilish, shuningdek, ehtiyotkorlik. Bundan tashqari, natijani olganingizdan so'ng, bu raqamni kamaytirish mumkinmi yoki yo'qligini aniq tekshirishingiz kerak. Kasrlarni qanday kamaytirish haqida biroz keyinroq gaplashamiz.

Ayirish

Amalga oshirishda siz qo'shish paytida bo'lgani kabi bir xil qoidalarga amal qilishingiz kerak. Demak, bir xil maxrajga ega bo‘lgan sonlarda ayirmaning ayiruvchisini minuend sonidan ayirish kifoya. Agar kasrlar turli xil maxrajlarga ega bo'lsa, siz ularni umumiy maxrajga qisqartirishingiz va keyin ushbu amalni bajarishingiz kerak. Qo'shimchada bo'lgani kabi, siz algebraik kasrlarning asosiy xususiyatlaridan, shuningdek, LCMlarni va kasrlar uchun umumiy omillarni topish ko'nikmalaridan foydalanishingiz kerak bo'ladi.

Bo'lim

Va bunday raqamlar bilan ishlashda oxirgi, eng qiziqarli operatsiya bu bo'linishdir. Bu juda oddiy va hatto kasrlar bilan ishlashni, ayniqsa qo'shish va ayirishni kam tushunadiganlar uchun hech qanday qiyinchilik tug'dirmaydi. Bo'lishda o'zaro kasrga ko'paytirish bilan bir xil qoida qo'llaniladi. Ko'paytirishdagi kabi kasrning asosiy xossasi bu amal uchun ishlatilmaydi. Keling, batafsil ko'rib chiqaylik.

Raqamlarni bo'lishda dividend o'zgarishsiz qoladi. Bo'luvchi kasr o'zining o'zaro kasriga aylanadi, ya'ni son va maxraj o'rnini almashtiradi. Shundan so'ng, raqamlar bir-biri bilan ko'paytiriladi.

Kamaytirish

Shunday qilib, biz kasrlarning ta'rifi va tuzilishini, ularning turlarini, bu sonlar ustida amal qilish qoidalarini ko'rib chiqdik va algebraik kasrning asosiy xususiyatini aniqladik. Keling, qisqartirish kabi operatsiya haqida gapiraylik. Kasrni qisqartirish - uni aylantirish jarayoni - hisoblagich va maxrajni bir xil songa bo'lish. Shunday qilib, kasr uning xususiyatlarini o'zgartirmasdan kamayadi.

Odatda, matematik operatsiyani bajarishda siz olingan natijaga diqqat bilan qarashingiz va hosil bo'lgan kasrni kamaytirish mumkinmi yoki yo'qligini bilib olishingiz kerak. Esda tutingki, yakuniy natijada har doim qisqartirishni talab qilmaydigan kasr son mavjud.

Boshqa operatsiyalar

Nihoyat, biz kasr raqamlari bo'yicha barcha operatsiyalarni sanab o'tmaganimizni ta'kidlaymiz, faqat eng mashhur va kerakli narsalarni eslatib o'tamiz. Kasrlarni ham solishtirish, o'nli kasrlarga aylantirish va aksincha. Ammo ushbu maqolada biz bu operatsiyalarni ko'rib chiqmadik, chunki matematikada ular yuqorida ko'rsatilganlarga qaraganda kamroq amalga oshiriladi.

xulosalar

Biz kasr sonlar va ular bilan amallar haqida gaplashdik. Biz asosiy mulkni ham ko'rib chiqdik, ammo shuni ta'kidlab o'tamizki, bu masalalarning barchasi biz tomonimizdan o'tish jarayonida ko'rib chiqilgan. Biz faqat eng mashhur va qo'llaniladigan qoidalarni berdik va eng muhim, bizning fikrimizcha, maslahat berdik.

Ushbu maqola kasrlar haqidagi unutilgan ma'lumotingizni yangilash va boshingizni cheksiz qoidalar va formulalar bilan to'ldirishdan ko'ra, siz uchun hech qachon foydali bo'lmasligi uchun mo'ljallangan.

Umid qilamizki, maqolada keltirilgan material sodda va qisqacha siz uchun foydali bo'ldi.

Barcha fanlar malikasi – matematikani o‘rganar ekan, bir nuqtada hamma kasrlarga duch keladi. Garchi bu kontseptsiya (kasrlarning o'zlari yoki ular bilan matematik operatsiyalar kabi) umuman murakkab bo'lmasa-da, unga ehtiyotkorlik bilan munosabatda bo'lishingiz kerak, chunki maktabdan tashqari haqiqiy hayotda bu juda foydali bo'ladi. Shunday qilib, keling, kasrlar haqida bilimlarimizni yangilaymiz: ular nima, ular nima uchun, ular qanday turlar va ular bilan turli arifmetik amallarni bajarish.

Janobi Oliylari fraktsiyasi: bu nima

Matematikada kasrlar sonlar bo'lib, ularning har biri birlikning bir yoki bir nechta qismlaridan iborat. Bunday kasrlar oddiy yoki oddiy deb ham ataladi. Qoida tariqasida, ular gorizontal yoki chiziq chizig'i bilan ajratilgan ikkita raqam shaklida yoziladi, bu "kasr" chiziq deb ataladi. Masalan: ½, ¾.

Bu raqamlarning yuqori yoki birinchisi hisoblagich (sondan nechta qism olinganligini ko'rsatadi), pastki yoki ikkinchisi esa maxrajdir (birlik necha qismga bo'linganligini ko'rsatadi).

Kasr satri aslida bo'linish belgisi sifatida ishlaydi. Masalan, 7:9=7/9

An'anaga ko'ra, oddiy kasrlar bittadan kam. O'nli kasrlar undan kattaroq bo'lishi mumkin.

Kasrlar nima uchun? Ha, hamma narsa uchun, chunki haqiqiy dunyoda hamma raqamlar butun son emas. Misol uchun, choyxonadagi ikkita o'quvchi qiz birgalikda bitta mazali shokolad sotib olishdi. Ular shirinlikni baham ko'rmoqchi bo'lganlarida, ular bir do'st bilan uchrashishdi va uni ham davolashga qaror qilishdi. Biroq, endi shokolad barini 12 kvadratdan iborat ekanligini hisobga olsak, uni to'g'ri taqsimlash kerak.

Avvaliga qizlar hamma narsani teng taqsimlashni xohlashdi, keyin esa har biri to'rtta bo'lak oladi. Ammo, yaxshilab o'ylab ko'rgandan so'ng, ular shokoladning 1/3 emas, balki 1/4 qismini do'stlarini davolashga qaror qilishdi. Va maktab o'quvchilari kasrlarni yaxshi o'rganmaganlari uchun, ular bunday vaziyatda ular ikkiga bo'lish juda qiyin bo'lgan 9 ta bo'lakka ega bo'lishlarini hisobga olishmadi. Bu juda oddiy misol raqamning bir qismini to'g'ri topish qanchalik muhimligini ko'rsatadi. Ammo hayotda bunday holatlar ko'p.

Kasr turlari: oddiy va o'nlik

Barcha matematik kasrlar ikkita katta toifaga bo'linadi: oddiy va o'nlik. Ulardan birinchisining xususiyatlari avvalgi xatboshida tasvirlangan edi, shuning uchun endi ikkinchisiga e'tibor qaratish lozim.

O'nlik - sonning bir qismining pozitsion belgisi bo'lib, u vergul bilan ajratilgan holda, chiziq yoki chiziqsiz yoziladi. Masalan: 0,75, 0,5.

Aslida, o'nli kasr oddiy kasr bilan bir xil, ammo uning maxraji har doim bittadan keyin noldan iborat - shuning uchun uning nomi.

Vergul oldidagi son butun son qism, undan keyingi hamma narsa kasr hisoblanadi. Har qanday oddiy kasrni kasrga aylantirish mumkin. Shunday qilib, oldingi misolda ko'rsatilgan o'nlik kasrlar odatdagidek yozilishi mumkin: ¾ va ½.

Shuni ta'kidlash kerakki, o'nlik va oddiy kasrlar ham ijobiy, ham salbiy bo'lishi mumkin. Agar ular oldida "-" belgisi bo'lsa, bu kasr manfiy, "+" musbat kasr bo'lsa.

Oddiy kasrlarning kichik turlari

Bunday oddiy kasrlar mavjud.

O'nli kasrning kichik turlari

Oddiy kasrdan farqli o'laroq, o'nli kasr faqat 2 turga bo'linadi.

• Yakuniy - bu nom kasrdan keyin cheklangan (cheklangan) raqamlar soniga ega bo'lganligi sababli olingan: 19.25.
• Cheksiz kasr bu kasrdan keyin cheksiz sonli raqamlarga ega bo'lgan sondir. Misol uchun, 10 ni 3 ga bo'lganda, natijada cheksiz kasr 3,333 ... bo'ladi.

Kasrlarni qo'shish

Kasrlar bilan turli xil arifmetik manipulyatsiyalarni bajarish oddiy raqamlarga qaraganda biroz qiyinroq. Biroq, agar siz asosiy qoidalarni tushunsangiz, ular bilan har qanday misolni hal qilish qiyin bo'lmaydi.

Masalan: 2/3+3/4. Ular uchun eng kichik umumiy ko'paytma 12 bo'ladi, shuning uchun bu raqam har bir maxrajda bo'lishi kerak. Buning uchun biz birinchi kasrning payini va maxrajini 4 ga ko'paytiramiz, u 8/12 bo'lib chiqadi, biz ikkinchi atama bilan ham xuddi shunday qilamiz, lekin faqat 3 ga ko'paytiramiz - 9/12. Endi siz misolni osongina echishingiz mumkin: 8/12+9/12= 17/12. Olingan kasr noto'g'ri birlikdir, chunki hisoblagich maxrajdan katta. U 17:12 = 1 va 5/12 ga bo'linib, to'g'ri aralashga aylantirilishi mumkin va kerak.

Aralash kasrlar qo`shilganda amallar avval butun sonlar bilan, keyin esa kasrlar bilan bajariladi.

Agar misolda o'nlik kasr va oddiy kasr mavjud bo'lsa, ikkalasini ham oddiy qilish kerak, keyin ularni bir xil maxrajga keltiring va qo'shing. Masalan, 3.1+1/2. 3.1 raqami 3 va 1/10 aralash kasr yoki noto'g'ri kasr sifatida yozilishi mumkin - 31/10. Shartlar uchun umumiy maxraj 10 bo'ladi, shuning uchun siz 1/2 ning payini va maxrajini navbat bilan 5 ga ko'paytirishingiz kerak, siz 5/10 olasiz. Keyin hamma narsani osongina hisoblashingiz mumkin: 31/10+5/10=35/10. Olingan natija noto'g'ri qisqartiriladigan kasr bo'lib, biz uni normal shaklga keltiramiz, uni 5: 7/2 = 3 va 1/2 yoki kasr - 3,5 ga kamaytiramiz.

2 ta kasrni qo'shganda, kasrdan keyin bir xil sonli raqamlar bo'lishi muhimdir. Agar bunday bo'lmasa, kerakli miqdordagi nollarni qo'shishingiz kerak, chunki o'nlik kasrda buni og'riqsiz bajarish mumkin. Masalan, 3,5+3,005. Bu masalani hal qilish uchun birinchi raqamga 2 ta nol qo'shib, keyin birma-bir qo'shish kerak: 3,500+3,005=3,505.

Kasrlarni ayirish

Kasrlarni ayirishda, qo'shish bilan bir xil qilish kerak: umumiy maxrajga kamaytiring, bir raqamni boshqasidan ayiring va agar kerak bo'lsa, natijani aralash kasrga aylantiring.

Masalan: 16/20-5/10. Umumiy maxraj 20 bo'ladi. Bu maxrajga ikkinchi kasrni uning ikkala qismini 2 ga ko'paytirish orqali keltirishingiz kerak, siz 10/20 olasiz. Endi siz misolni hal qilishingiz mumkin: 16/20-10/20= 6/20. Biroq, bu natija kamaytiriladigan fraktsiyalar uchun amal qiladi, shuning uchun har ikki tomonni 2 ga bo'lishga arziydi va natija 3/10 ni tashkil qiladi.

Kasrlarni ko'paytirish

Kasrlarni bo'lish va ko'paytirish qo'shish va ayirishga qaraganda ancha sodda amallardir. Gap shundaki, bu vazifalarni bajarayotganda umumiy maxrajni izlashning hojati yo'q.

Kasrlarni ko'paytirish uchun siz ikkala raqamni birma-bir, so'ngra ikkala maxrajni ham ko'paytirishingiz kerak. Agar kasr kamaytiriladigan miqdor bo'lsa, natijani kamaytiring.

Masalan: 4/9x5/8. Muqobil ko'paytirishdan keyin natija 4x5/9x8=20/72 bo'ladi. Bu kasr 4 ga kamayishi mumkin, shuning uchun misoldagi yakuniy javob 5/18.

Kasrlarni qanday ajratish mumkin

Kasrlarni bo'lish ham oddiy operatsiya bo'lib, aslida ularni ko'paytirishga to'g'ri keladi. Bir kasrni boshqasiga bo'lish uchun ikkinchisini teskarisiga aylantirib, birinchisiga ko'paytirish kerak.

Masalan, 5/19 va 5/7 kasrlarni bo'lish. Misolni hal qilish uchun ikkinchi kasrning maxraji va payini almashtirib, ko'paytirish kerak: 5/19x7/5=35/95. Natijani 5 ga kamaytirish mumkin - 7/19 chiqadi.

Agar kasrni tub songa bo'lish kerak bo'lsa, texnika biroz boshqacha. Dastlab, siz bu raqamni noto'g'ri kasr sifatida yozishingiz kerak va keyin xuddi shu sxema bo'yicha bo'linadi. Masalan, 2/13: 5 ni 2/13: 5/1 sifatida yozish kerak. Endi siz 5/1 ni aylantirishingiz va olingan kasrlarni ko'paytirishingiz kerak: 2/13x1/5= 2/65.

Ba'zan siz aralash kasrlarni bo'lishingiz kerak. Siz ularni butun sonlar bilan bo'lgani kabi muomala qilishingiz kerak: ularni noto'g'ri kasrlarga aylantiring, bo'luvchini teskari aylantiring va hamma narsani ko'paytiring. Masalan, 8 ½: 3. Hamma narsani noto'g'ri kasrlarga aylantiring: 17/2: 3/1. Shundan so'ng 3/1 aylantirish va ko'paytirish: 17/2x1/3= 17/6. Endi siz noto'g'ri kasrni to'g'ri kasrga aylantirishingiz kerak - 2 butun va 5/6.

Shunday qilib, kasrlar nima ekanligini va ular bilan qanday qilib turli arifmetik amallarni bajarish mumkinligini bilib, bu haqda unutmaslikka harakat qilishingiz kerak. Axir, odamlar har doim biror narsani qo'shishdan ko'ra qismlarga bo'lishga moyil, shuning uchun siz buni to'g'ri bajarishingiz kerak.