Algebraik polinomlarni hisoblashda hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun biz foydalanamiz qisqartirilgan ko'paytirish formulalari. Jami ettita shunday formulalar mavjud. Ularning barchasini yoddan bilish kerak.

Shuni ham unutmaslik kerakki, formulalardagi "a" va "b" o'rniga ikkala raqamlar ham, boshqa har qanday algebraik ko'phadlar ham bo'lishi mumkin.

Kvadratchalar farqi

Eslab qoling!

Kvadratchalar farqi ikkita son bu sonlar ayirmasi va ularning yig'indisi ko'paytmasiga teng.

a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)

• 15 2 − 2 2 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 17 = 221
• 9a 2 - 4b 2 bilan 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

yig'indisi kvadrat

Eslab qoling!

Ikki raqam yig'indisining kvadrati birinchi raqamning kvadratiga plyus birinchi raqamning ikki baravar ko'paytmasiga va ikkinchi va ikkinchi raqamning kvadratiga teng.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

E'tibor bering, bu qisqartirilgan ko'paytirish formulasi bilan buni qilish oson katta sonlarning kvadratlarini toping kalkulyator yoki uzoq ko'paytirishdan foydalanmasdan. Keling, misol bilan tushuntiramiz:

112 2 ni toping.

• Keling, 112 ni kvadratlari yaxshi eslab qolgan sonlar yig'indisiga ajratamiz.
  112 = 100 + 1
• Qavslar ichida raqamlar yig'indisini yozamiz va qavslar ustiga kvadrat qo'yamiz.
  112 2 = (100 + 12) 2
• Keling, yig'indi kvadrat formulasidan foydalanamiz:
  112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 100 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Esda tutingki, kvadrat yig'indi formulasi har qanday algebraik polinomlar uchun ham amal qiladi.

• (8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Ogohlantirish!

(a + b) 2 ga teng emas (a 2 + b 2)

Farqning kvadrati

Eslab qoling!

Ikki raqam orasidagi farqning kvadrati birinchi raqamning kvadratiga minus birinchi va ikkinchisining ko'paytmasining ikki barobari va ikkinchi sonning kvadratiga teng.

(a − b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Bundan tashqari, juda foydali transformatsiyani esga olish kerak:

(a - b) 2 = (b - a) 2

Yuqoridagi formula oddiygina qavslarni kengaytirish orqali isbotlangan:

(a - b) 2 = a 2 -2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

summa kubi

Eslab qoling!

Ikki raqam yig'indisining kubi birinchi raqamning kubiga plyus birinchi raqamning uch karrali kvadratiga ikkinchi va birinchi marta ikkinchisining kvadratining uch karra ko'paytmasiga teng.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Yig'indi kubini qanday eslab qolish kerak

Ushbu "dahshatli" ko'rinishdagi formulani eslab qolish juda oddiy.

• "3" boshida kelishini bilib oling.
• O'rtadagi ikkita polinomning koeffitsientlari 3 ga teng.
• Eslatib o'tamiz, har qanday raqam nol darajasiga 1 ga teng. (a 0 = 1, b 0 = 1) . Formulada "a" darajasining pasayishi va "b" darajasining ortishi mavjudligini ko'rish oson. Buni tekshirishingiz mumkin:
  (a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Ogohlantirish!

(a + b) 3 a 3 + b 3 ga teng emas

farq kubi

Eslab qoling!

farq kubi ikki sonning birinchi sonining kubini minus birinchi raqamning kvadratining uch karrasini va ikkinchi plyus birinchi raqamning uch karrali ko'paytmasi va ikkinchisining kvadratini minus ikkinchisining kubiga teng.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Ushbu formula avvalgi kabi eslab qolinadi, lekin faqat "+" va "-" belgilarining almashinishini hisobga olgan holda. Birinchi a'zo "a 3" oldida "+" mavjud (matematika qoidalariga ko'ra, biz uni yozmaymiz). Bu shuni anglatadiki, keyingi a'zodan oldin "-", keyin yana "+" va hokazo.

(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Kublar yig'indisi

Jami kub bilan adashtirmaslik kerak!

Eslab qoling!

Kublar yig'indisi ikki son yig‘indisining ayirmaning to‘liq bo‘lmagan kvadratiga ko‘paytmasiga teng.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)

Kublar yig'indisi ikkita qavsning mahsulotidir.

• Birinchi qavs ikki sonning yig'indisidir.
• Ikkinchi qavs - sonlar farqining to'liq bo'lmagan kvadrati. Farqning to'liq bo'lmagan kvadratiga ifoda deyiladi:
  (a 2 - ab + b 2)
  Bu kvadrat to'liq emas, chunki o'rtada qo'sh ko'paytma o'rniga raqamlarning oddiy mahsuloti mavjud.

Kublarning farqi

Farq kubi bilan adashtirmaslik kerak!

Eslab qoling!

Kublarning farqi yig'indining to'liq bo'lmagan kvadratiga ikki sonning ayirmasining ko'paytmasiga teng.

a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)

Belgilarni yozishda ehtiyot bo'ling.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash

Shuni esda tutish kerakki, yuqoridagi barcha formulalar o'ngdan chapga ham qo'llaniladi.

Darsliklardagi ko'plab misollar ko'p nomli orqani yig'ish uchun formulalardan foydalanish uchun mo'ljallangan.

• a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
• (ac - 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 - 16b 2

Qisqartirilgan ko'paytirish uchun barcha formulalar bilan jadvalni "bo'limida yuklab olishingiz mumkin.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar ham bo'ladi, siz javoblarni ko'rishingiz mumkin.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari ifodalarni - polinomlarni bir xil o'zgartirishni amalga oshirishga imkon beradi. Ularning yordami bilan ko'phadlarni faktorlarga ajratish mumkin, formulalarni teskari tartibda ishlatib, binomi, kvadrat va kublarning ko'paytmalarini ko'phad sifatida ko'rsatish mumkin. Keling, qisqartirilgan ko'paytirish uchun umumiy qabul qilingan barcha formulalarni, ularni hosil qilish, ushbu formulalar yordamida ifodalarni bir xil o'zgartirish uchun umumiy vazifalarni, shuningdek uy vazifalarini ko'rib chiqaylik (ularga javoblar havolalar orqali ochiladi).

yig'indisi kvadrat

Yig'indi kvadratining formulasi tenglikdir

(ikki raqam yig'indisining kvadrati birinchi raqamning kvadratiga plyus birinchi raqamning ikki barobari va ikkinchisi plyus ikkinchi raqamning kvadratiga teng).

O'rniga a Va b Bu formulaga istalgan raqamni almashtirish mumkin.

Yig'indi kvadrat formulasi ko'pincha hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun ishlatiladi. Masalan,

Yig'indi kvadrat formulasidan foydalanib, ko'phadni faktorlarga ajratish mumkin, ya'ni ikkita bir xil omilning mahsuloti sifatida ifodalanadi.

1-misol

.

2-misol Polinomli ifoda sifatida yozing

Yechim. Yig'indi kvadratining formulasi bo'yicha biz olamiz

Farqning kvadrati

Farq kvadratining formulasi tenglikdir

(ikki raqam orasidagi farqning kvadrati birinchi raqamning kvadratiga minus birinchi raqamning ikki baravar ko'paytmasiga va ikkinchi va ikkinchi raqamning kvadratiga teng).

Kvadrat farq formulasi ko'pincha hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun ishlatiladi. Masalan,

Farq kvadrat formulasidan foydalanib, ko'phadni faktorlarga ajratish mumkin, ya'ni ikkita bir xil omilning mahsuloti sifatida ifodalanadi.

Formula ko'phadni ko'phadga ko'paytirish qoidasidan kelib chiqadi:

5-misol Polinomli ifoda sifatida yozing

Yechim. Farq kvadratining formulasi bo'yicha biz olamiz

.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulasini o'zingiz qo'llang va keyin yechimni ko'ring

To'liq kvadrat tanlovi

Ko'pincha ikkinchi darajali polinom yig'indi yoki farqning kvadratini o'z ichiga oladi, lekin yashirin shaklda joylashgan. To'liq kvadratni aniq olish uchun polinomni o'zgartirishingiz kerak. Buning uchun, qoida tariqasida, ko'phadning hadlaridan biri qo'sh ko'paytma sifatida ifodalanadi, so'ngra ko'phadga bir xil son qo'shiladi va undan ayiriladi.

7-misol

Yechim. Ushbu polinomni quyidagicha o'zgartirish mumkin:

Bu erda biz 5 tasini taqdim etdik x 5/2 tomonidan qo'sh ko'paytma shaklida x, ko'phadga qo'shiladi va undan bir xil son ayiriladi, so'ngra binom uchun yig'indi kvadrat formulasini qo'llang.

Shunday qilib, biz tenglikni isbotladik

,

to'liq kvadrat va songa teng.

8-misol Ikkinchi darajali polinomni ko'rib chiqing

Yechim. Unda quyidagi o'zgarishlarni amalga oshiramiz:

Bu erda biz 8 tasini taqdim etdik x qo'sh mahsulot shaklida x 4 ga, ko'phadga qo'shilgan va undan bir xil son 4² ayirilsa, binomi uchun farq kvadrat formulasini qo'lladi. x − 4 .

Shunday qilib, biz tenglikni isbotladik

,

ikkinchi darajali polinom ekanligini ko'rsatadi

to'liq kvadrat va −16 soniga teng.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulasini o'zingiz qo'llang va keyin yechimni ko'ring

summa kubi

Yig'indi kub formulasi tenglikdir

(Ikki raqam yig'indisining kubi birinchi raqamning kubiga plyus birinchi raqamning uch karra kvadratiga va ikkinchi raqamning kvadratiga, shuningdek birinchi raqamning uch karra ko'paytmasiga va ikkinchi raqamning kvadratiga, plyus kubga teng. ikkinchi raqam).

Yig'indi kub formulasi quyidagicha hosil bo'ladi:

10-misol Polinomli ifoda sifatida yozing

Yechim. Yig'indi kub formulasiga ko'ra, biz olamiz

Qisqartirilgan ko'paytirish formulasini o'zingiz qo'llang va keyin yechimni ko'ring

farq kubi

Farq kub formulasi tenglikdir

(Ikki sonning ayirmasining kubi birinchi raqamning kubiga minus birinchi va ikkinchi sonning uch karrali kvadratiga, plyus birinchi raqamning uch karra ko'paytmasiga va ikkinchi raqamning kvadratiga minus kubga teng. ikkinchi raqam).

Yig'indi kub formulasi yordamida ko'phadni omillarga ajratish mumkin, ya'ni uni uchta bir xil omil ko'paytmasi sifatida ko'rsatish mumkin.

Farq kub formulasi quyidagicha olinadi:

12-misol. Polinomli ifoda sifatida yozing

Yechim. Farq kub formulasidan foydalanib, biz olamiz

Qisqartirilgan ko'paytirish formulasini o'zingiz qo'llang va keyin yechimni ko'ring

Kvadratchalar farqi

Kvadratchalar farqining formulasi tenglikdir

(ikki son kvadratlarining farqi bu raqamlar yig'indisi va ularning farqining ko'paytmasiga teng).

Yig'indi kub formulasidan foydalanib, shaklning istalgan ko'phadini faktorlarga ajratish mumkin.

Formulaning isboti polinomlarni ko'paytirish qoidasi yordamida olingan:

14-misol Ko'paytmani ko'phad sifatida yozing

.

Yechim. Kvadratlar formulasi farqiga ko'ra, biz olamiz

15-misol Faktorizatsiya

Yechim. Aniq shakldagi bu ifoda hech qanday shaxsga mos kelmaydi. Lekin 16 raqamini 4 ta asosli kuch sifatida ifodalash mumkin: 16=4². Keyin asl ifoda boshqa shaklga ega bo'ladi:

,

va bu kvadratlar farqining formulasi va bu formulani qo'llash orqali biz olamiz

Oldingi darsda biz faktorizatsiya bilan shug'ullangan edik. Biz ikkita usulni o'zlashtirdik: umumiy omilni qavsdan chiqarish va guruhlash. Ushbu qo'llanmada quyidagi kuchli usul: qisqartirilgan ko'paytirish formulalari. Qisqacha eslatma - FSU.

Qisqartirilgan ko‘paytirish formulalari (yig‘indi va ayirma kvadrati, yig‘indi va ayirmaning kubi, kvadratlarning ayirmasi, kublarning yig‘indisi va ayirmasi) matematikaning barcha bo‘limlarida muhim ahamiyatga ega. Ular ifodalarni soddalashtirishda, tenglamalarni yechishda, ko‘phadlarni ko‘paytirishda, kasrlarni kamaytirishda, integrallarni yechishda va hokazolarda qo‘llaniladi. va h.k. Muxtasar qilib aytganda, ular bilan kurashish uchun barcha asoslar mavjud. Ular qaerdan kelib chiqqanligini, nima uchun kerakligini, ularni qanday eslab qolish va ularni qanday qo'llash kerakligini tushuning.

Tushundikmi?)

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari qayerdan keladi?

6 va 7 tenglik juda odatiy tarzda yozilmagan. Buning aksi kabi. Bu ataylab qilingan.) Har qanday tenglik ham chapdan o'ngga, ham o'ngdan chapga ishlaydi. Bunday yozuvda FSO qayerdan kelgani aniqroq bo'ladi.

Ular ko'paytirishdan olingan.) Masalan:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

Mana, ilmiy hiylalar yo'q. Biz faqat qavslarni ko'paytiramiz va shunga o'xshashlarni beramiz. Bu shunday chiqadi barcha qisqartirilgan ko'paytirish formulalari. qisqartirilgan ko'paytirish, chunki formulalarning o'zida qavslarni ko'paytirish va shunga o'xshashlarni kamaytirish yo'q. Qisqartirilgan.) Natija darhol beriladi.

FSU yoddan bilishi kerak. Birinchi uchta bo'lmasa, siz uchlikni orzu qila olmaysiz, qolganlarisiz - beshta to'rtta haqida.)

Nima uchun bizga qisqartirilgan ko'paytirish formulalari kerak?

Ushbu formulalarni o'rganish, hatto yodlash uchun ikkita sabab bor. Birinchisi - mashinada tayyor javob xatolar sonini keskin kamaytiradi. Lekin bu asosiy sabab emas. Va ikkinchisi ...

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. O'rganish - qiziqish bilan!)

funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Algebra kursida o'rganiladigan birinchi mavzulardan biri qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridir. 7-sinfda ular ifodadagi formulalardan birini tanib olish va ko‘phadni faktorlarga ajratish yoki aksincha, yig‘indi yoki ayirmani tezda kvadrat yoki kubga ajratish talab qilinadigan eng oddiy vaziyatlarda qo‘llaniladi. Kelajakda FSU tengsizliklar va tenglamalarni tezda echish va hatto kalkulyatorsiz ba'zi sonli ifodalarni hisoblash uchun ishlatiladi.

Formulalar ro'yxati qanday ko'rinishga ega?

Qavslar ichidagi ko'phadlarni tezda ko'paytirish imkonini beruvchi 7 ta asosiy formulalar mavjud.

Ba'zan ushbu ro'yxat to'rtinchi darajali kengayishni ham o'z ichiga oladi, bu taqdim etilgan identifikatsiyalardan kelib chiqadi va quyidagi shaklga ega:

a⁴ - b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).

Kvadratchalar ayirmasi bundan mustasno, barcha tengliklar juftlikka ega (sum - farq). Kvadratlar yig'indisi uchun formula yo'q.

Qolgan tengliklarni eslab qolish oson.:

Shuni esda tutish kerakki, FSO har qanday holatda va har qanday qiymat uchun ishlaydi. a Va b: u ham ixtiyoriy sonlar, ham butun sonli ifodalar bo'lishi mumkin.

Agar siz to'satdan u yoki bu atama oldidagi formulada qaysi belgi borligini eslay olmasangiz, qavslarni ochib, formuladan foydalanganingizdan keyin bir xil natijani olishingiz mumkin. Masalan, agar farq kubining FSU ni qo'llashda muammo yuzaga kelsa, siz asl ifodani yozishingiz kerak va ko'paytirishni birma-bir bajaring:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Natijada, bunday atamalarning barchasini qisqartirgandan so'ng, jadvaldagi kabi bir xil polinom olingan. Xuddi shu manipulyatsiyalar barcha boshqa FSOlar bilan amalga oshirilishi mumkin.

Tenglamalarni yechishda FSO ni qo'llash

Misol uchun, o'z ichiga olgan tenglamani echishingiz kerak 3-darajali polinom:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

Maktab o'quv dasturida kubik tenglamalarni echishning universal usullari ko'rib chiqilmaydi va bunday vazifalar ko'pincha sodda usullar bilan hal qilinadi (masalan, faktorizatsiya). Agar identifikatsiyaning chap tomoni yig'indining kubiga o'xshashligini sezsangiz, tenglamani oddiyroq shaklda yozish mumkin:

(x + 1)³ = 0.

Bunday tenglamaning ildizi og'zaki hisoblanadi: x=-1.

Tengsizliklar ham xuddi shunday tarzda yechiladi. Masalan, biz tengsizlikni yechishimiz mumkin x³ - 6x² + 9x > 0.

Avvalo, ifodani omillarga ajratish kerak. Avval siz qavslarni olib tashlashingiz kerak x. Shundan so'ng, qavs ichidagi ifodani farqning kvadratiga aylantirish mumkinligiga e'tibor berishingiz kerak.

Keyin ifoda nol qiymatlarni oladigan nuqtalarni topib, ularni raqamlar chizig'ida belgilashingiz kerak. Muayyan holatda bular 0 va 3 bo'ladi. Keyin intervallar usulidan foydalanib, x qaysi oraliqlarda tengsizlik shartiga mos kelishini aniqlang.

FSOlar amalga oshirishda yordam berishi mumkin kalkulyator yordamisiz ba'zi hisob-kitoblar:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

Bundan tashqari, ifodalarni faktoring yordamida siz kasrlarni osongina qisqartirishingiz va turli algebraik ifodalarni soddalashtirishingiz mumkin.

7-8-sinflar uchun topshiriqlarga misollar

Xulosa qilib aytganda, algebrada qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash bo'yicha ikkita vazifani tahlil qilamiz va hal qilamiz.

Vazifa 1. Ifodani soddalashtiring:

(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).

Yechim. Topshiriq shartida ifodani soddalashtirish, ya'ni qavslarni ochish, ko'paytirish va darajaga ko'tarish amallarini bajarish va shu kabi barcha shartlarni keltirish talab qilinadi. Biz shartli ravishda iborani uch qismga ajratamiz (terminlar soniga ko'ra) va imkon qadar FSU dan foydalanib, qavslarni birma-bir ochamiz.

• (m + 3)² = m² + 6m + 9(kvadrat summasi);
• (3m + 1)(3m - 1) = 9m² - 1(kvadratlar farqi);
• Oxirgi muddatda siz ko'paytirishni amalga oshirishingiz kerak: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

Natijalarni asl iboraga almashtiring:

(m² + 6m + 9) + (9m² - 1) - (10m² + 6m).

Belgilarni hisobga olib, biz qavslarni ochamiz va shunga o'xshash shartlarni beramiz:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² - 6m = 8.

2-topshiriq. Tarkibida noma’lum k bo‘lgan tenglamani 5 ning darajasiga yeching:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ - 4k² - 4k = k³.

Yechim. Bunday holda, FSO va guruhlash usulidan foydalanish kerak. Biz oxirgi va oxirgi shartlarni identifikatsiyaning o'ng tomoniga o'tkazishimiz kerak.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Umumiy multiplikator o'ng va chap qismlardan olinadi (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k(k² + 4k + 4).

Hamma narsa tenglamaning chap tomoniga o'tkaziladi, shunda 0 o'ng tomonda qoladi:

k³(k² + 4k + 4) - k(k² + 4k + 4) = 0.

Yana umumiy omilni chiqarib tashlashingiz kerak:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

Olingan birinchi omildan biz xulosa chiqarishimiz mumkin k. Qisqa ko'paytirish formulasiga ko'ra, ikkinchi omil bir xil tarzda teng bo'ladi (k + 2)²:

k (k² - 1)(k + 2)² = 0.

Kvadratlar farqi formulasidan foydalanish:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

Ko'paytma 0 ga teng bo'lsa, uning omillaridan kamida bittasi nolga teng bo'lsa, tenglamaning barcha ildizlarini topish qiyin bo'lmaydi:

1. k = 0;
2. k - 1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)² = 0; k = -2.

Tasviriy misollarga asoslanib, formulalarni, ularning farqlarini qanday eslab qolishni tushunish mumkin, shuningdek, FSU yordamida bir nechta amaliy muammolarni hal qilish mumkin. Vazifalar oddiy va ularni bajarish qiyin bo'lmasligi kerak.

Algebraik polinomlarni soddalashtirish uchun ular mavjud qisqartirilgan ko'paytirish formulalari. Ularning soni unchalik ko'p emas va ularni eslab qolish oson, lekin siz ularni eslab qolishingiz kerak. Formulalarda ishlatiladigan belgi har qanday shaklda bo'lishi mumkin (son yoki polinom).

Birinchi qisqartirilgan ko'paytirish formulasi deyiladi kvadratlar farqi. Bu bitta raqamning kvadratidan ikkinchi raqamning kvadrati ushbu raqamlar orasidagi farqga, shuningdek ularning mahsulotiga teng ravishda ayirilishida yotadi.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

Aniqlik uchun tahlil qilaylik:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

Ikkinchi formula haqida kvadratlar yig'indisi. Bu ikki qiymatning kvadrati yig'indisi birinchi qiymatning kvadratiga teng, birinchi qiymatning ikkinchisiga ko'paytirilgan ikki barobar ko'paytmasi qo'shiladi, ikkinchi qiymatning kvadrati ularga qo'shiladi.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Ushbu formula tufayli kompyuter texnologiyalaridan foydalanmasdan katta sonning kvadratini hisoblash ancha osonlashadi.

Shunday qilib, masalan: 112 ning kvadrati bo'ladi
1) Dastlab biz 112 ni kvadratlari bizga tanish bo'lgan raqamlarga tahlil qilamiz.
112 = 100 + 12
2) Qabul qilinganlarni kvadratga qavs ichiga kiritamiz
112 2 = (100+12) 2
3) Formuladan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Uchinchi formula farq kvadrat. Qaysi bir-biridan ayirilgan ikkita qiymat kvadratga teng bo'lsa, birinchi qiymatning kvadratidan biz birinchi qiymatning ikki barobar ko'paytmasini ikkinchisiga ko'paytiramiz va ularga ikkinchi qiymatning kvadratini qo'shamiz. .

(a + b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2

Bu erda (a - b) 2 teng (b - a) 2 ga teng. Buni isbotlash uchun (a-b) 2 = a 2 -2ab + b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

To'rtinchi qisqartirilgan ko'paytirish formulasi deyiladi summa kubi. Bu shunday eshitiladi: kubdagi qiymatning ikkita a'zosi 1 qiymatli kubga teng, 1 qiymatning uch karra ko'paytmasi 2-qiymatga ko'paytiriladi, ularga 1 qiymatning uch karra mahsuloti 2 kvadratiga ko'paytiriladi. qiymat ularga qo'shiladi, plyus ikkinchi qiymat kub bo'ladi.

(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Beshinchisi, siz allaqachon tushunganingizdek, chaqiriladi farq kubi. Bu qiymatlar orasidagi farqni topadi, chunki kubdagi birinchi belgidan biz birinchi belgining uch karrali ko'paytmasini ikkinchisiga ko'paytiramiz, birinchi belgining uch karra mahsuloti ikkinchi belgining kvadratiga ko'paytiriladi. , minus kubdagi ikkinchi belgi.

(a-b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Oltinchisi deyiladi kublar yig'indisi. Kublar yig'indisi ikki hadning ko'paytmasi farqning to'liq bo'lmagan kvadratiga ko'paytirilishiga teng, chunki o'rtada ikki barobar qiymat yo'q.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 -ab + b 2)

Boshqacha qilib aytganda, kublar yig'indisini ikkita qavs ichida mahsulot deb atash mumkin.

Ettinchi va final deyiladi kublarning farqi(uni farq kub formulasi bilan chalkashtirib yuborish oson, lekin bular boshqa narsalar). Kublarning farqi ikki miqdorning ayirmasining yig'indining to'liq bo'lmagan kvadratiga ko'paytmasiga teng, chunki o'rtada ikki barobar qiymat yo'q.

a 3 - b 3 \u003d (a-b) (a 2 + ab + b 2)

Va shuning uchun qisqartirilgan ko'paytirish uchun faqat 7 ta formula mavjud, ular bir-biriga o'xshash va eslab qolish oson, yagona narsa - belgilarda chalkashmaslik. Ular, shuningdek, teskari tartibda foydalanish uchun mo'ljallangan va darsliklarda to'plangan bunday vazifalar juda ko'p. Ehtiyot bo'ling va muvaffaqiyatga erishasiz.

Agar sizda formulalar haqida savollaringiz bo'lsa, ularni sharhlarda yozishni unutmang. Sizga javob berishdan xursand bo'lamiz!

Agar siz tug'ruq ta'tilida bo'lsangiz, lekin pul ishlashni xohlasangiz. Oriflame bilan Internet-biznes havolasini kuzatib boring. Hammasi batafsil yozilgan va ko'rsatilgan. Bu qiziqarli bo'ladi!