Zkrácené vzorce pro násobení (FSU) se používají k umocňování a násobení čísel a výrazů. Tyto vzorce často umožňují provádět výpočty kompaktněji a rychleji.

V tomto článku si uvedeme hlavní vzorce pro zkrácené násobení, seskupíme je do tabulky, zvážíme příklady použití těchto vzorců a také se pozastavíme nad zásadami pro dokazování vzorců zkráceného násobení.

Poprvé je téma FSU probíráno v rámci předmětu "Algebra" pro 7. ročník. Níže je 7 základních vzorců.

Zkrácené vzorce násobení

1. součtový čtvercový vzorec: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. vzorec rozdílového čtverce: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
3. vzorec součtové kostky: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. vzorec rozdílové kostky: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. rozdíl čtverců vzorec: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
6. vzorec pro součet kostek: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. vzorec rozdílu kostek: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

Písmena a, b, c v těchto výrazech mohou být jakákoli čísla, proměnné nebo výrazy. Pro snadné použití je lepší naučit se sedm základních vzorců nazpaměť. Shrneme je v tabulce a uvedeme je níže, zakroužkujeme je rámečkem.

První čtyři vzorce umožňují vypočítat druhou mocninu nebo třetí mocninu součtu nebo rozdílu dvou výrazů.

Pátý vzorec vypočítá rozdíl druhých mocnin výrazů vynásobením jejich součtu a rozdílu.

Šestý a sedmý vzorec jsou, v tomto pořadí, násobení součtu a rozdílu výrazů neúplnou druhou mocninou rozdílu a neúplnou druhou mocninou součtu.

Zkrácený multiplikační vzorec se někdy také nazývá zkrácené multiplikační identity. To není překvapivé, protože každá rovnost je identita.

Při rozhodování praktické příkladyčasto používají zkrácené vzorce násobení s přeskupenými levými a pravými částmi. To je zvláště výhodné při faktorizaci polynomu.

Další zkrácené vzorce násobení

Neomezíme se pouze na kurz algebry pro 7. ročník a do naší tabulky FSU přidáme ještě pár vzorců.

Nejprve zvažte Newtonův binomický vzorec.

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 +. . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n

Zde Cn k jsou binomické koeficienty, které jsou na řádku číslo n v Pascalově trojúhelníku. Binomické koeficienty se počítají podle vzorce:

C nk = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2). . (n - (k - 1)) k !

Jak vidíte, FSU pro druhou mocninu a třetí mocninu rozdílu a součet je speciální případ Newtonova binomického vzorce pro n=2 a n=3.

Ale co když jsou v součtu více než dva termíny, které mají být povýšeny na moc? Užitečný bude vzorec pro druhou mocninu součtu tří, čtyř nebo více členů.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Další vzorec, který se může hodit, je vzorec pro rozdíl n-tých mocnin dvou členů.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Tento vzorec se obvykle dělí na dva vzorce - pro sudé a liché stupně.

Pro sudé exponenty 2m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. . + b 2 m - 2

Pro liché exponenty 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b2 +. . + b 2 m

Vzorce pro rozdíl čtverců a rozdílu krychlí, uhodli jste, jsou speciální případy tohoto vzorce pro n = 2 a n = 3. Pro rozdíl kostek se b také nahrazuje - b .

Jak číst zkrácené násobící vzorce?

Ke každému vzorci uvedeme odpovídající formulace, ale nejprve se budeme zabývat principem čtení vzorců. Nejjednodušší způsob, jak to udělat, je pomocí příkladu. Vezměme si úplně první vzorec pro druhou mocninu součtu dvou čísel.

a + b2 = a2 + 2 a b + b2.

Říká se: druhá mocnina součtu dvou výrazů a a b je rovna součtu druhé mocniny prvního výrazu, dvojnásobku součinu výrazů a druhé mocniny druhého výrazu.

Všechny ostatní vzorce se čtou podobně. Pro druhou mocninu rozdílu a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 píšeme:

druhá mocnina rozdílu dvou výrazů a a b je rovna součtu druhých mocnin těchto výrazů mínus dvojnásobek součinu prvního a druhého výrazu.

Přečteme si vzorec a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Kostka součtu dvou výrazů a a b je rovna součtu krychlí těchto výrazů, trojnásobku součinu druhé mocniny prvního a druhého výrazu a trojnásobku součinu druhé mocniny druhého výrazu. a první výraz.

Pokračujeme ve čtení vzorce pro rozdíl kostek a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Krychle rozdílu dvou výrazů a a b se rovná krychli prvního výrazu mínus trojnásobek druhé mocniny prvního výrazu a druhého plus trojnásobek druhé mocniny druhého výrazu a prvního výrazu mínus krychle druhého výrazu.

Pátý vzorec a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (rozdíl čtverců) zní takto: rozdíl čtverců dvou výrazů se rovná součinu rozdílu a součtu dvou výrazů.

Výrazy jako a 2 + a b + b 2 a a 2 - a b + b 2 se pro zjednodušení nazývají neúplná druhá mocnina součtu a neúplná druhá mocnina rozdílu.

S ohledem na to se vzorce pro součet a rozdíl kostek čtou takto:

Součet krychlí dvou výrazů se rovná součinu součtu těchto výrazů a neúplné druhé mocniny jejich rozdílu.

Rozdíl kostek dvou výrazů je roven součinu rozdílu těchto výrazů neúplnou druhou mocninou jejich součtu.

Důkaz FSU

Prokázání FSU je celkem jednoduché. Na základě vlastností násobení provedeme násobení částí vzorců v závorkách.

Zvažte například vzorec pro druhou mocninu rozdílu.

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Chcete-li zvýšit výraz na druhou mocninu, musí být výraz vynásoben sám sebou.

a - b 2 \u003d a - b a - b.

Rozbalíme závorky:

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Vzorec se osvědčil. Ostatní FSO jsou prokázány podobně.

Příklady použití FSO

Účelem použití redukovaných vzorců pro násobení je rychlé a výstižné násobení a umocňování výrazů. To však není celý rozsah působnosti FSO. Jsou široce používány při redukování výrazů, redukování zlomků, faktoringu polynomů. Uveďme příklady.

Příklad 1. FSO

Zjednodušme výraz 9 y - (1 + 3 y) 2 .

Použijte vzorec součtu čtverců a získejte:

9 let – (1 + 3 roky) 2 = 9 let – (1 + 6 let + 9 let 2) = 9 let – 1 – 6 let – 9 let 2 = 3 roky – 1 – 9 let 2

Příklad 2. FSO

Zmenšete zlomek 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .

Všimli jsme si, že výraz v čitateli je rozdíl kostek a ve jmenovateli - rozdíl čtverců.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Snížíme a získáme:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU také pomáhají vypočítat hodnoty výrazů. Hlavní je umět si všimnout, kde vzorec aplikovat. Ukažme si to na příkladu.

Odmocnime číslo 79. Místo těžkopádných výpočtů píšeme:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Zdálo by se, že složitý výpočet byl proveden rychle jen s použitím zkrácených násobicích vzorců a násobilky.

Další důležitý bod- výběr druhé mocniny binomu. Výraz 4 x 2 + 4 x - 3 lze převést na 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Takové transformace jsou široce používány v integraci.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Zkrácené vzorce násobení.

Studium vzorců pro zkrácené násobení: druhá mocnina součtu a druhá mocnina rozdílu dvou výrazů; rozdíl druhých mocnin dvou výrazů; kostka součtu a kostka rozdílu dvou výrazů; součty a rozdíly kostek dvou výrazů.

Aplikace zkrácených vzorců pro násobení při řešení příkladů.

Pro zjednodušení výrazů, faktorizaci polynomů a redukci polynomů do standardního tvaru se používají zkrácené vzorce pro násobení. Zkrácené vzorce násobení, které musíte znát nazpaměť.

Nechť a, b R. Potom:

1. Druhá mocnina součtu dvou výrazů je druhá mocnina prvního výrazu plus dvojnásobek součinu prvního výrazu a druhého plus druhé mocniny druhého výrazu.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Druhá mocnina rozdílu dvou výrazů je druhá mocnina prvního výrazu mínus dvojnásobek součinu prvního výrazu a druhého plus druhé mocniny druhého výrazu.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Rozdíl čtverců dva výrazy se rovná součinu rozdílu těchto výrazů a jejich součtu.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

4. součtová kostka dvou výrazů se rovná krychli prvního výrazu plus trojnásobek druhé mocniny prvního výrazu krát druhý plus trojnásobek součinu prvního výrazu krát druhá mocnina druhého plus krychle druhého výrazu.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. rozdílová kostka dvou výrazů se rovná krychli prvního výrazu mínus trojnásobek součinu druhé mocniny prvního výrazu a druhého plus trojnásobku součinu prvního výrazu a druhé mocniny druhého mínus krychle druhého výrazu.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Součet kostek dva výrazy se rovná součinu součtu prvního a druhého výrazu neúplnou druhou mocninou rozdílu těchto výrazů.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Rozdíl kostek dvou výrazů se rovná součinu rozdílu prvního a druhého výrazu neúplnou druhou mocninou součtu těchto výrazů.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Aplikace zkrácených vzorců pro násobení při řešení příkladů.

Příklad 1

Vypočítat

a) Pomocí vzorce pro druhou mocninu součtu dvou výrazů máme

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Pomocí vzorce pro druhou mocninu rozdílu dvou výrazů získáme

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10 000 - 400 + 4 \u003d 9604

Příklad 2

Vypočítat

Pomocí vzorce pro rozdíl druhých mocnin dvou výrazů získáme

Příklad 3

Zjednodušte výraz

(x - y) 2 + (x + y) 2

Použijeme vzorce pro druhou mocninu součtu a druhou mocninu rozdílu dvou výrazů

(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2

Zkrácené vzorce násobení v jedné tabulce:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Vzorce nebo pravidla redukovaného násobení se používají v aritmetice, a přesněji v algebře, pro rychlejší proces výpočtu velkých algebraických výrazů. Samotné vzorce jsou odvozeny z existujících pravidel v algebře pro násobení několika polynomů.

Použití těchto vzorců poskytuje poměrně rychlé řešení různých matematické problémy a také pomáhá zjednodušit výrazy. Pravidla algebraických transformací vám umožňují provádět některé manipulace s výrazy, po kterých můžete získat výraz na levé straně rovnosti, která je na pravé straně, nebo transformovat pravou stranu rovnosti (a získat výraz na levá strana za rovnítkem).

Je vhodné znát vzorce používané pro zkrácené násobení po paměti, protože se často používají při řešení úloh a rovnic. Níže jsou uvedeny hlavní vzorce obsažené v tomto seznamu a jejich názvy.

součet čtverec

Chcete-li vypočítat druhou mocninu součtu, musíte najít součet skládající se ze druhé mocniny prvního členu, dvojnásobku součinu prvního a druhého členu a druhé mocniny. Ve formě výrazu je toto pravidlo zapsáno takto: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Druhá mocnina rozdílu

Chcete-li vypočítat druhou mocninu rozdílu, musíte vypočítat součet složený z druhé mocniny prvního čísla, dvojnásobku součinu prvního čísla druhým (bráno s opačným znaménkem) a druhé mocniny druhého čísla. Ve formě výrazu toto pravidlo vypadá takto: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².

Rozdíl čtverců

Vzorec pro rozdíl dvou čísel na druhou se rovná součinu součtu těchto čísel a jejich rozdílu. Ve formě výrazu toto pravidlo vypadá takto: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).

součtová kostka

Pro výpočet třetí mocniny součtu dvou členů je nutné vypočítat součet složený z krychle prvního členu, trojnásobného součinu druhé mocniny prvního a druhého, trojnásobného součinu prvního a druhá druhá mocnina a krychle druhého členu. Ve formě výrazu toto pravidlo vypadá takto: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Součet kostek

Podle vzorce se rovná součinu součtu těchto členů a jejich neúplné druhé mocniny rozdílu. Ve formě výrazu toto pravidlo vypadá takto: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).

Příklad. Je nutné vypočítat objem obrazce, který vznikne přidáním dvou kostek. Známé jsou pouze velikosti jejich stran.

Pokud jsou hodnoty stran malé, je snadné provádět výpočty.

Pokud jsou délky stran vyjádřeny těžkopádnými čísly, pak je v tomto případě snazší použít vzorec "Součet kostek", což výrazně zjednoduší výpočty.

rozdílová kostka

Výraz pro kubický rozdíl zní takto: jako součet třetí mocniny prvního členu ztrojnásobte záporný součin druhé mocniny prvního členu druhým, ztrojnásobte součin prvního mocniny druhou mocninou druhého a záporná krychle druhého termínu. Tak jako matematický výraz rozdílová kostka vypadá takto: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Rozdíl kostek

Vzorec pro rozdíl kostek se od součtu kostek liší pouze jedním znaménkem. Rozdíl kostek je tedy vzorec rovný součinu rozdílu těchto čísel jejich neúplnou druhou mocninou součtu. Ve formě vypadá rozdíl kostek takto: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Příklad. Je nutné vypočítat objem obrazce, který zůstane po odečtení objemu modré kostky od objemu obrazce žlutá barva, což je také krychle. Známá je pouze velikost strany malé a velké krychle.

Pokud jsou hodnoty stran malé, pak jsou výpočty poměrně jednoduché. A pokud jsou délky stran vyjádřeny významnými čísly, pak stojí za to použít vzorec s názvem "Rozdíl kostek" (nebo "Rozdílová kostka"), který výrazně zjednoduší výpočty.

Rozdíl čtverců

Odvodíme vzorec pro rozdíl druhých mocnin $a^2-b^2$.

Chcete-li to provést, nezapomeňte na následující pravidlo:

Pokud se k výrazu přidá libovolný monočlen a stejný monočlen se odečte, dostaneme správnou identitu.

Přidejme k našemu výrazu a odečteme od něj jednočlenný $ab$:

Celkem získáme:

To znamená, že rozdíl druhých mocnin dvou monomiálů je roven součinu jejich rozdílu a jejich součtu.

Příklad 1

Vyjádřete jako součin $(4x)^2-y^2$

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]

Součet kostek

Odvodíme vzorec pro součet kostek $a^3+b^3$.

Vyjmeme ze závorek společné faktory:

Vyjmeme $\left(a+b\right)$ ze závorek:

Celkem získáme:

To znamená, že součet krychlí dvou monomiálů se rovná součinu jejich součtu neúplnou druhou mocninou jejich rozdílu.

Příklad 2

Vyjádřete jako produkt $(8x)^3+y^3$

Tento výraz lze přepsat do následující podoby:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

Pomocí vzorce rozdílu čtverců dostaneme:

\[((2x))^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]

Rozdíl kostek

Odvodíme vzorec pro rozdíl kostek $a^3-b^3$.

K tomu použijeme stejné pravidlo jako výše.

Přidejme k našemu výrazu a odečteme od něj monočleny $a^2b\ a\ (ab)^2$:

Vyjmeme ze závorek společné faktory:

Vyjmeme $\left(a-b\right)$ z hranatých závorek:

Celkem získáme:

To znamená, že rozdíl krychlí dvou monomiálů je roven součinu jejich rozdílu neúplnou druhou mocninou jejich součtu.

Příklad 3

Vyjádřete jako součin $(8x)^3-y^3$

Tento výraz lze přepsat do následující podoby:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

Pomocí vzorce rozdílu čtverců dostaneme:

\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]

Příklad úloh pro použití vzorců pro rozdíl druhých mocnin a součet a rozdíl kostek

Příklad 4

Násobit.

a) $((a+5))^2-9$

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Řešení:

a) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

Použitím vzorce rozdílu čtverců dostaneme:

\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]

Zapišme tento výraz ve tvaru:

Použijme vzorec kostek krychlí:

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Zapišme tento výraz ve tvaru:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]

Použijme vzorec kostek krychlí:

\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\vpravo)\]