Koncept matematické nerovnosti vznikl ve starověku. To se stalo, když primitivní člověk měl potřebu porovnávat jejich počet a velikost při počítání a akcích s různými předměty. Od starověku používali nerovnosti ve svých úvahách Archimedes, Euklides a další slavní vědci: matematici, astronomové, konstruktéři a filozofové.

Ve svých dílech však zpravidla používali slovní terminologii. Poprvé byly v Anglii vynalezeny a uvedeny do praxe moderní znaky pro označení pojmů „více“ a „méně“ v podobě, kterou dnes zná každý školák. Takovou službu potomkům prokázal matematik Thomas Harriot. A stalo se to asi před čtyřmi stoletími.

Existuje mnoho druhů nerovností. Mezi nimi jsou jednoduché, obsahující jednu, dvě nebo více proměnných, čtvercové, zlomkové, komplexní poměry a dokonce reprezentované systémem výrazů. A abyste pochopili, jak řešit nerovnosti, je nejlepší použít různé příklady.

Nenechte si ujít vlak

Nejprve si představte, že rezident venkov spěchá na nádraží, které se nachází ve vzdálenosti 20 km od své obce. Aby nezmeškal vlak odjíždějící v 11 hodin, musí opustit dům včas. V jakém čase by to mělo být provedeno, pokud je rychlost jeho pohybu 5 km/h? Řešení této praktické úlohy je redukováno na splnění podmínek výrazu: 5 (11 - X) ≥ 20, kde X je čas odjezdu.

Je to pochopitelné, protože vzdálenost, kterou musí vesničan překonat ke stanici, se rovná rychlosti pohybu vynásobené počtem hodin na cestě. Přijít dřívější muž možná, ale nesmí přijít pozdě. Když budeme vědět, jak řešit nerovnosti, a uplatníme své dovednosti v praxi, nakonec dostaneme X ≤ 7, což je odpověď. To znamená, že vesničan by měl jít na nádraží v sedm ráno nebo o něco dříve.

Očíslujte mezery na souřadnicové čáře

Nyní pojďme zjistit, jak mapovat popsané vztahy na nerovnost získanou výše není striktní. To znamená, že proměnná může nabývat hodnot menší než 7 a může se rovnat tomuto číslu. Uveďme další příklady. Chcete-li to provést, pečlivě zvažte čtyři níže uvedená čísla.

Na prvním z nich vidíte grafické znázornění intervalu [-7; 7]. Skládá se ze sady čísel umístěných na souřadnicové čáře a umístěných mezi -7 a 7, včetně hranic. V tomto případě jsou body v grafu zobrazeny jako vyplněné kruhy a interval je zaznamenán pomocí

Druhý obrázek je grafickým znázorněním striktní nerovnosti. V tomto případě čísla hranic -7 a 7, znázorněná proraženými (nevyplněnými) tečkami, nejsou zahrnuta ve specifikované sadě. A samotný interval je zaznamenán v závorce takto: (-7; 7).

To znamená, že když jsme přišli na to, jak řešit nerovnosti tohoto typu, a když jsme dostali podobnou odpověď, můžeme dojít k závěru, že se skládá z čísel, která jsou mezi uvažovanými hranicemi, s výjimkou -7 a 7. Je třeba vyhodnotit další dva případy podobným způsobem. Třetí obrázek ukazuje obrázky mezer (-∞; -7] U - hranaté závorky.

*To platí nejen pro čtvercové nerovnosti. Hranatá závorka znamená, že do řešení je zahrnuta i samotná hranice intervalu.

To uvidíte v příkladech. Podívejme se na několik, abychom odstranili všechny otázky týkající se tohoto. Teoreticky se může zdát algoritmus poněkud komplikovaný, ve skutečnosti je vše jednoduché.

PŘÍKLAD 1: Rozhodněte se X 2 – 60 X+500 ≤ 0

rozhodujeme se kvadratická rovnice X 2 –60 X+500=0

D = b 2 –4 ac = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600

Hledání kořenů:

Dosadíme koeficient A

X 2 –60 X+500 = (x-50) (x-10)

Nerovnici zapíšeme do tvaru (х–50)(х–10) ≤ 0

Kořeny rovnice rozdělují číselnou osu na intervaly. Ukažme si je na číselné řadě:

Dostali jsme tři intervaly (–∞;10), (10;50) a (50;+∞).

Určíme „znaménka“ na intervalech, provedeme to dosazením libovolných hodnot každého přijatého intervalu do výrazu (x–50) (x–10) a podíváme se na shodu získaného „znaménka“ s podepsat v nerovnosti (х–50)(х–10) ≤ 0:

při x=2 (x–50) (x–10) = 384 > 0 je špatně

při x=20 (x–50) (x–10) = –300 < 0 верно

při x=60 (x–50)(x–10) = 500 > 0 je nepravda

Řešením bude interval.

Pro všechny hodnoty x z tohoto intervalu bude nerovnost platit.

*Upozorňujeme, že jsme zahrnuli hranaté závorky.

Pro x = 10 a x = 50 bude nerovnost také platit, to znamená, že do řešení jsou zahrnuty hranice.

Odpověď: x∊

Znovu:

- Hranice intervalu JSOU ZAHRNUTY do řešení nerovnice, když podmínka obsahuje znaménko ≤ nebo ≥ (nepřísná nerovnice). Zároveň je zvykem zobrazit získané kořeny v náčrtu pomocí HASHOVANÉ kružnice.

- Hranice intervalu NEJSOU ZAHRNUTY do řešení nerovnice, když podmínka obsahuje znaménko< или >(přísná nerovnost). Zároveň je zvykem zobrazovat kořen v náčrtu NEŠRATOVANÝM kruhem.

PŘÍKLAD 2: Řešte X 2 + 4 X–21 > 0

Řešíme kvadratickou rovnici X 2 + 4 X–21 = 0

D = b 2 –4 ac = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100

Hledání kořenů:

Dosadíme koeficient A a odmocniny do vzorce (2), dostaneme:

X 2 + 4 X–21 = (x–3) (x+7)

Nerovnici zapíšeme do tvaru (х–3)(х+7) > 0.

Kořeny rovnice rozdělují číselnou osu na intervaly. Označme je na číselné řadě:

*Nerovnice není striktní, takže zápis kořenů NENÍ stínovaný. Dostali jsme tři intervaly (–∞;–7), (–7;3) a (3;+∞).

Určíme „znaménka“ na intervalech, provedeme to dosazením libovolných hodnot těchto intervalů do výrazu (x–3) (x + 7) a podíváme se na shodu s nerovností (х–3)(х+7)> 0:

při x= -10 (-10-3)(-10 +7) = 39 > 0 pravda

při x \u003d 0 (0–3) (0 + 7) \u003d -21< 0 неверно

při x=10 (10–3)(10 +7) = 119 > 0 pravda

Řešením budou dva intervaly (–∞;–7) a (3;+∞). Pro všechny hodnoty x z těchto intervalů bude nerovnost platit.

*Upozorňujeme, že jsme zahrnuli závorky. Pro x = 3 a x = -7 bude nerovnost chybná – hranice nejsou zahrnuty v řešení.

Odpověď: x∊(–∞;–7) U (3;+∞)

PŘÍKLAD 3: Řešte – X 2 –9 X–20 > 0

Řešíme kvadratickou rovnici – X 2 –9 X–20 = 0.

A = –1 b = –9 C = –20

D = b 2 –4 ac = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.

Hledání kořenů:

Dosadíme koeficient A a odmocniny do vzorce (2), dostaneme:

– X 2 –9 X–20 =–(x–(–5))(x–(–4))= –(x+5)(x+4)

Nerovnici zapíšeme do tvaru –(x+5)(x+4) > 0.

Kořeny rovnice rozdělují číselnou osu na intervaly. Poznámka k číselné řadě:

*Nerovnost je přísná, takže symboly pro kořeny nejsou stínované. Dostali jsme tři intervaly (–∞;–5), (–5; –4) a (–4;+∞).

Určujeme "znaménka" na intervalech, to provedeme dosazením do výrazu –(x+5)(x+4) libovolné hodnoty těchto intervalů a podívejte se na shodu s nerovností –(x+5)(x+4)>0:

při x= -10 - (-10+5)(-10+4) = -30< 0 неверно

při x= -4,5 - (-4,5+5)(-4,5+4) = 0,25 > 0 pravda

při x \u003d 0 - (0 + 5) (0 + 4) \u003d -20< 0 неверно

Řešením bude interval (-5; -4). Pro všechny hodnoty "x", které k němu patří, bude nerovnost platit.

*Upozorňujeme, že v řešení nejsou zahrnuty hranice. Pro x = -5 a x = -4 nebude nerovnost pravdivá.

KOMENTÁŘ!

Při řešení kvadratické rovnice můžeme dostat jeden kořen nebo nebudou kořeny vůbec žádné, pak při použití této metody naslepo může být obtížné určit řešení.

Malé shrnutí! Metoda je dobrá a pohodlná na použití, zvláště pokud jste obeznámeni s kvadratickou funkcí a znáte vlastnosti jejího grafu. Pokud ne, přečtěte si ji, pokračujte další částí.

Použití grafu kvadratická funkce. Doporučuji!

Kvadratická je funkcí tvaru:

Jeho graf je parabola, větve paraboly směřují nahoru nebo dolů:

Graf může být umístěn následovně: může protínat osu x ve dvou bodech, může se jí dotýkat v jednom bodě (nahoře), nemůže se křížit. Více o tom později.

Nyní se podívejme na tento přístup na příkladu. Celý rozhodovací proces se skládá z tři etapy. Pojďme vyřešit nerovnost X 2 +2 X –8 >0.

První etapa

Vyřešte rovnici X 2 +2 X–8=0.

D = b 2 –4 ac = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36

Hledání kořenů:

Máme x 1 \u003d 2 a x 2 \u003d - 4.

Druhá fáze

Stavba paraboly y=X 2 +2 X–8 podle bodů:

Body - 4 a 2 jsou průsečíky paraboly a osy x. Všechno je jednoduché! Co dělali? Vyřešili jsme kvadratickou rovnici X 2 +2 X–8=0. Podívejte se na jeho příspěvek takto:

0 = x2+2x-8

Nula je pro nás hodnota „y“. Když y = 0, dostaneme úsečky průsečíků paraboly s osou x. Můžeme říci, že nulová hodnota "y" je osa x.

Nyní se podívejte, jaké hodnoty x je výraz X 2 +2 X – 8 větší (nebo menší) než nula? Podle parabolového grafu to není těžké určit, jak se říká, vše je na očích:

1. V x< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен X 2 +2 X –8 bude pozitivní.

2. Při -4< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен X 2 +2 X –8 bude negativní.

3. Pro x > 2 leží větev paraboly nad osou x. Pro dané x je trojčlen X 2 +2 X –8 bude pozitivní.

Třetí etapa

Z paraboly hned vidíme, pro které x je výraz X 2 +2 X–8 větší než nula, rovno nule, menší než nula. To je podstatou třetí etapy řešení, totiž vidět a určit pozitivní a negativní oblasti na obrázku. Výsledek porovnáme s původní nerovností a odpověď zapíšeme. V našem příkladu je nutné určit všechny hodnoty x, pro které výraz X 2 +2 X–8 Nad nulou. To jsme udělali ve druhém kroku.

Zbývá napsat odpověď.

Odpověď: x∊(–∞;–4) U (2;∞).

Abychom to shrnuli: když jsme v prvním kroku vypočítali kořeny rovnice, můžeme získané body označit na ose x (jedná se o průsečíky paraboly s osou x). Dále schematicky postavíme parabolu a již vidíme řešení. Proč útržkovité? Nepotřebujeme matematicky přesný rozvrh. Ano, a představte si, že například pokud se ukáže, že kořeny jsou 10 a 1500, zkuste sestavit přesný graf na listu v buňce s takovým rozsahem hodnot. Nabízí se otázka! Dobře, máme kořeny, dobře, označili jsme je na ose x a načrtli umístění samotné paraboly - s větvemi nahoru nebo dolů? Všechno je zde jednoduché! Koeficient na x 2 vám řekne:

- pokud je větší než nula, pak větve paraboly směřují nahoru.

- je-li menší než nula, pak větve paraboly směřují dolů.

V našem příkladu se rovná jedné, to znamená, že je kladná.

*Poznámka! Pokud je v nerovnici nepřísné znaménko, to znamená ≤ nebo ≥, měly by být kořeny na číselné ose stínované, což podmíněně znamená, že hranice samotného intervalu je zahrnuta do řešení nerovnosti. V tomto případě kořeny nejsou stínované (vyražené), protože naše nerovnost je přísná (je zde znak „>“). Co znamená odpověď, v tomto případě vložte kulaté závorky, nikoli hranaté závorky (hranice nejsou součástí řešení).

Napsáno hodně, někdo asi zmatený. Pokud ale vyřešíte alespoň 5 nerovností pomocí parabol, pak se vašemu obdivu meze nekladou. Všechno je jednoduché!

Takže stručně:

1. Nerovnici zapíšeme, dovedeme na standardní.

2. Zapíšeme kvadratickou rovnici a vyřešíme ji.

3. Nakreslíme osu x, označíme získané kořeny, schematicky nakreslíme parabolu, větví se nahoru, pokud je koeficient na x 2 kladný, nebo se větví dolů, pokud je záporný.

4. Určíme vizuálně pozitivní nebo negativní oblasti a zapíšeme odpověď podle původní nerovnosti.

Zvažte příklady.

PŘÍKLAD 1: Rozhodněte se X 2 –15 X+50 > 0

První etapa.

Řešíme kvadratickou rovnici X 2 –15 X+50=0

D = b 2 –4 ac = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25

Hledání kořenů:

Druhá fáze.

Stavíme osu oh. Získané kořeny si označíme. Vzhledem k tomu, že naše nerovnost je přísná, nebudeme jim stínit. Schematicky postavíme parabolu, je umístěna s větvemi nahoru, protože koeficient na x 2 je kladný:

Třetí etapa.

Definujeme vizuálně pozitivní a negativní oblasti, zde jsme je pro přehlednost označili různými barvami, nemůžete to udělat.

Odpověď zapisujeme.

Odpověď: x∊(–∞;5) U (10;∞).

*Znak U označuje sjednocovací řešení. Obrazně řečeno, řešením je „tento“ A „tento“ interval.

PŘÍKLAD 2: Řešte – X 2 + X+20 ≤ 0

První etapa.

Řešíme kvadratickou rovnici – X 2 + X+20=0

D = b 2 –4 ac = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81

Hledání kořenů:

Druhá fáze.

Stavíme osu oh. Získané kořeny si označíme. Protože naše nerovnost není striktní, zastíníme označení kořenů. Schematicky sestavíme parabolu, je umístěna s větvemi dolů, protože koeficient na x 2 je záporný (rovná se -1):

Třetí etapa.

Definujeme vizuálně pozitivní a negativní oblasti. Porovnejte s původní nerovností (naše znaménko ≤ 0). Nerovnice bude platit pro x ≤ - 4 a x ≥ 5.

Odpověď zapisujeme.

Odpověď: x∊(–∞;–4] U ∪[ \frac(2)(3);∞)\)

Kvadratické nerovnosti se záporným a nulovým diskriminantem

Výše uvedený algoritmus funguje, když je diskriminant větší než nula, to znamená, že má kořen \(2\). Co dělat v ostatních případech? Například tyto:

Pokud \(D<0\), то квадратный трехчлен имеет постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента \(a\) (тем, что стоит перед \(x^2\)).

Tedy výraz:
\(x^2+2x+9\) je kladné pro libovolné \(x\), protože \(a=1>0\)
\(-x^2-64\) - záporné pro libovolné \(x\), protože \(a=-1<0\)

Jestliže \(D=0\), pak se čtvercová trojčlenka pro jednu hodnotu \(x\) rovná nule a pro všechny ostatní má konstantní znaménko, které se shoduje se znaménkem koeficientu \(a\) .

Tedy výraz:
\(x^2+6x+9\) je nula pro \(x=-3\) a kladná pro všechna ostatní x, protože \(a=1>0\)
\(-x^2-4x-4\) se rovná nule pro \(x=-2\) a záporné pro všechny ostatní, protože \(a=-1<0\).

Jak najít x, při kterém se čtvercová trojčlenka rovná nule? Musíte vyřešit odpovídající kvadratickou rovnici.

S těmito informacemi vyřešme kvadratické nerovnosti: