Při řešení různých druhů úloh, jak čistě matematického, tak aplikovaného charakteru (zejména ve stavebnictví), je často nutné určit hodnotu výšky určitého geometrického útvaru. Jak vypočítat danou hodnotu (výšku) v trojúhelníku?

Pokud spojíme 3 body ve dvojicích, které se nenacházejí na jedné přímce, pak výsledný obrazec bude trojúhelník. Výška - část úsečky z libovolného vrcholu obrazce, která se při protíná opačná strana svírá úhel 90°.

Najděte výšku ve scalenovém trojúhelníku

Určeme hodnotu výšky trojúhelníku v případě, kdy má obrazec libovolné úhly a strany.

Heronův vzorec

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, kde

p - polovina obvodu obrazce, h(a) - segment ke straně a, nakreslený v pravém úhlu k ní,

p=(a+b+c)/2 – výpočet poloviny obvodu.

Pokud existuje plocha obrázku, k určení jeho výšky můžete použít poměr h(a)=2S/a.

Goniometrické funkce

Pro určení délky úsečky, která v průsečíku se stranou a svírá pravý úhel, můžete použít následující vztahy: pokud je známa strana b a úhel γ nebo strana c a úhel β, pak h(a)=b*sinγ nebo h(a)=c*sinβ.
Kde:
γ je úhel mezi stranami b a a,
β je úhel mezi stranou c a a.

Vztah s poloměrem

Pokud je původní trojúhelník vepsán do kruhu, můžete k určení výšky použít poloměr takového kruhu. Jeho střed se nachází v bodě, kde se protínají všechny 3 výšky (z každého vrcholu) - ortocentrum a vzdálenost od něj k vrcholu (jakémukoli) je poloměr.

Potom h(a)=bc/2R, kde:
b, c - 2 další strany trojúhelníku,
R je poloměr kružnice popisující trojúhelník.

Najděte výšku v pravoúhlém trojúhelníku

V této podobě geometrického obrazce tvoří 2 strany v průsečíku pravý úhel - 90 °. Pokud je tedy nutné v něm určit hodnotu výšky, je nutné vypočítat buď velikost jedné z nohou, nebo hodnotu segmentu, který tvoří 90 ° s přeponou. Při určení:
a, b - nohy,
c je přepona,
h(c) je kolmice k přeponě.
Vyrobit potřebné výpočty lze provést pomocí následujících vztahů:

• Pythagorova věta:

a \u003d √ (c 2 -b 2),
b \u003d √ (c 2 -a 2),
h(c)=2S/c S=ab/2, pak h(c)=ab/c.

• Goniometrické funkce:

a=c*sinβ,
b=c* cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

Najděte výšku v rovnoramenném trojúhelníku

Tato geometrická postava se vyznačuje přítomností dvou stran stejné velikosti a třetí - základny. K určení výšky nakreslené na třetí, odlišnou stranu, přichází na pomoc Pythagorova věta. S označeními
stranou,
c - základna,
h(c) je úsečka k c pod úhlem 90°, pak h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).

Výška trojúhelníku je kolmice svržená z libovolného vrcholu trojúhelníku na opačnou stranu nebo na jeho prodloužení (strana, na kterou kolmice dopadá, v tomto případě se nazývá základna trojúhelníku).

V tupoúhlém trojúhelníku připadají dvě výšky na prodloužení stran a leží mimo trojúhelník. Třetí je uvnitř trojúhelníku.

V ostrém trojúhelníku leží všechny tři výšky uvnitř trojúhelníku.

V pravoúhlém trojúhelníku nohy slouží jako výšky.

Jak zjistit výšku od základny a oblasti

Vzpomeňte si na vzorec pro výpočet plochy trojúhelníku. Plocha trojúhelníku se vypočítá podle vzorce: A = 1/2 bh.

• A je plocha trojúhelníku
• b je strana trojúhelníku, na které je výška snížena.
• h je výška trojúhelníku

Podívejte se na trojúhelník a přemýšlejte o tom, jaké veličiny již znáte. Pokud dostanete oblast, označte ji písmenem „A“ nebo „S“. Měli byste také dostat hodnotu strany, označte ji písmenem "b". Pokud vám není dána oblast a není vám dána strana, použijte jinou metodu.

Mějte na paměti, že základna trojúhelníku může být jakákoliv strana trojúhelníku, kde je výška snížena (bez ohledu na to, jak je trojúhelník umístěn). Abyste tomu lépe porozuměli, představte si, že můžete tento trojúhelník otáčet. Otočte jej tak, aby strana, kterou znáte, směřovala dolů.

Například obsah trojúhelníku je 20 a jedna z jeho stran je 4. V tomto případě „A = 20″“, „b = 4′“.

Nahraďte hodnoty, které vám byly dány, ve vzorci pro výpočet plochy (A \u003d 1 / 2bh) a najděte výšku. Nejprve vynásobte stranu (b) 1/2 a poté vydělte plochu (A) výslednou hodnotou. Tímto způsobem zjistíte výšku trojúhelníku.

V našem příkladu: 20 = 1/2(4)h

20 = 2 hodiny
10 = h

Připomeňte si vlastnosti rovnostranného trojúhelníku. V rovnostranném trojúhelníku jsou všechny strany a všechny úhly stejné (každý úhel je 60˚). Pokud do takového trojúhelníku nakreslíte výšku, dostanete dva stejné pravoúhlé trojúhelníky.
Uvažujme například rovnostranný trojúhelník se stranou 8.

Pamatujte na Pythagorovu větu. Pythagorova věta říká, že v každém pravoúhlém trojúhelníku s nohami "a" a "b" je přepona "c": a2 + b2 \u003d c2. Tuto větu lze použít k nalezení výšky rovnostranného trojúhelníku!

Rozdělte rovnostranný trojúhelník na dva pravoúhlé trojúhelníky (k tomu nakreslete výšku). Poté označte strany jednoho z pravoúhlých trojúhelníků. Boční strana rovnostranného trojúhelníku je přepona "c" pravoúhlý trojuhelník. Rameno "a" se rovná 1/2 strany rovnostranného trojúhelníku a rameno "b" je požadovaná výška rovnostranného trojúhelníku.

Takže v našem příkladu s rovnostranným trojúhelníkem s známá strana rovná se 8: c = 8 a a = 4.

Dosaďte tyto hodnoty do Pythagorovy věty a vypočítejte b2. Nejprve uvádějte čtverec "c" a "a" (vynásobte každou hodnotu samostatně). Poté odečtěte a2 od c2.

42 + b2 = 82
16 + b2 = 64
b2 = 48

Výpis Odmocnina z b2 najít výšku trojúhelníku. K tomu použijte kalkulačku. Výsledná hodnota bude výška vašeho rovnostranného trojúhelníku!

b = √48 = 6,93

Jak zjistit výšku pomocí úhlů a stran

Přemýšlejte o tom, jaké hodnoty znáte. Výšku trojúhelníku zjistíte, pokud znáte strany a úhly. Například pokud je znám úhel mezi základnou a stranou. Nebo pokud jsou známy hodnoty všech tří stran. Označme tedy strany trojúhelníku: "a", "b", "c", úhly trojúhelníku: "A", "B", "C" a oblast - písmeno "S".

Pokud znáte všechny tři strany, budete potřebovat oblast trojúhelníku a Heronův vzorec.

Pokud znáte dvě strany a úhel mezi nimi, můžete k nalezení oblasti použít následující vzorec: S=1/2ab(sinC).

Pokud jsou uvedeny hodnoty všech tří stran, použijte Heronův vzorec. Tento vzorec bude vyžadovat několik kroků. Nejprve je potřeba najít proměnnou „s“ (tímto písmenem budeme označovat polovinu obvodu trojúhelníku). Chcete-li to provést, nahraďte známé hodnoty do tohoto vzorce: s = (a+b+c)/2.

Pro trojúhelník se stranami a = 4, b = 3, c = 5, s = (4+3+5)/2. Výsledek je: s=12/2, kde s=6.

Poté druhou akcí najdeme oblast (druhá část Heronova vzorce). Plocha = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). Místo slova "area" vložte ekvivalentní vzorec pro zjištění oblasti: 1/2bh (nebo 1/2ah, nebo 1/2ch).

Nyní najděte ekvivalentní výraz pro výšku (h). Pro náš trojúhelník bude platit následující rovnice: 1/2(3)h = (6(6-4)(6-3)(6-5)). Kde 3/2h=√(6(2(3(1))). Ukázalo se, že 3/2h = √(36). Pomocí kalkulačky vypočítejte druhou odmocninu. V našem příkladu: 3/2h = 6. Ukáže se, že výška (h) je 4, strana b je základna.

Pokud jsou podle stavu problému známy dvě strany a úhel, můžete použít jiný vzorec. Nahraďte oblast ve vzorci ekvivalentním výrazem: 1/2bh. Získáte tedy následující vzorec: 1/2bh = 1/2ab(sinC). Lze jej zjednodušit do následujícího tvaru: h = a(sin C) pro odstranění jedné neznámé proměnné.

Nyní zbývá vyřešit výslednou rovnici. Například nechť "a" = 3, "C" = 40 stupňů. Potom bude rovnice vypadat takto: "h" = 3 (sin 40). Pomocí kalkulačky a sinusové tabulky vypočítejte hodnotu "h". V našem příkladu h = 1,928.

Jak zjistit největší nebo nejmenší výšku trojúhelníku? Čím menší je výška trojúhelníku, tím větší je výška k němu přikreslená. To znamená, že největší z výšek trojúhelníku je ta, která je nakreslena na jeho nejmenší stranu. - ten, který je nakreslen k největší ze stran trojúhelníku.

Chcete-li zjistit maximální výšku trojúhelníku , můžete rozdělit plochu trojúhelníku délkou strany, na kterou je tato výška nakreslena (tj. délkou nejmenší ze stran trojúhelníku).

V souladu s tím d Najít nejmenší výšku trojúhelníku Vydělte plochu trojúhelníku délkou jeho nejdelší strany.

Úkol 1.

Najděte nejmenší výšku trojúhelníku, jehož strany jsou 7 cm, 8 cm a 9 cm.

Vzhledem k tomu:

AC=7cm, AB=8cm, BC=9cm.

Najděte: nejmenší výšku trojúhelníku.

Řešení:

Nejmenší z výšek trojúhelníku je ta, která je nakreslena na jeho nejdelší straně. Takže musíte najít výšku AF nakreslenou na stranu BC.

Pro usnadnění zápisu zavádíme zápis

BC=a, AC=b, AB=c, AF=ha.

Výška trojúhelníku se rovná podílu dvojnásobku plochy trojúhelníku dělené stranou, na kterou je tato výška nakreslena. lze nalézt pomocí Heronova vzorce. Proto

Vypočítáme:

Odpovědět:

Úkol 2.

Najděte nejdelší stranu trojúhelníku o stranách 1 cm, 25 cm a 30 cm.

Vzhledem k tomu:

AC=25 cm, AB=11 cm, BC=30 cm.

Nalézt:

největší výška trojúhelníku ABC.

Řešení:

Největší výška trojúhelníku je nakreslena na jeho nejmenší stranu.

Potřebujeme tedy najít výšku CD nakreslenou na stranu AB.

Pro usnadnění označujeme

Chcete-li vyřešit mnoho geometrických problémů, musíte najít výšku daný údaj. Tyto úkoly mají praktický význam. Při provádění stavebních prací pomáhá určení výšky vypočítat požadované množství materiálů a také určit, jak přesně jsou svahy a otvory vyrobeny. K vytvoření vzorů často potřebujete mít představu o vlastnostech

Mnoho lidí, i přes dobré známky ve škole, při stavbě obyčejné geometrické tvary vyvstává otázka, jak zjistit výšku trojúhelníku nebo rovnoběžníku. A to je nejtěžší. Je to proto, že trojúhelník může být ostrý, tupý, rovnoramenný nebo pravý. Každý z nich má svá vlastní pravidla pro konstrukci a výpočet.

Jak graficky zjistit výšku trojúhelníku, ve kterém jsou všechny úhly ostré

Pokud jsou všechny úhly trojúhelníku ostré (každý úhel v trojúhelníku je menší než 90 stupňů), pak pro zjištění výšky proveďte následující.

1. Podle zadaných parametrů sestrojíme trojúhelník.
2. Představme si notaci. A, B a C budou vrcholy obrázku. Úhly odpovídající každému vrcholu jsou α, β, γ. Strany protilehlé těmto rohům jsou a, b, c.
3. Výška je kolmice od vrcholu úhlu k opačné straně trojúhelníku. Abychom našli výšky trojúhelníku, sestrojíme kolmice: od vrcholu úhlu α ke straně a, od vrcholu úhlu β ke straně b atd.
4. Průsečík výšky a strany a bude označen H1 a samotná výška bude h1. Průsečík výšky a strany b bude H2, výška, respektive h2. Pro stranu c bude výška h3 a průsečík H3.

Výška v trojúhelníku s tupým úhlem

Nyní zvažte, jak zjistit výšku trojúhelníku, pokud je jeden (větší než 90 stupňů). V tomto případě bude výška nakreslená z tupého úhlu uvnitř trojúhelníku. Zbývající dvě výšky budou mimo trojúhelník.

Nechť jsou úhly α a β v našem trojúhelníku ostré a úhel γ tupý. Poté, abychom sestrojili výšky vycházející z úhlů α a β, je nutné pokračovat v protilehlých stranách trojúhelníku, abychom nakreslili kolmice.

Jak zjistit výšku rovnoramenného trojúhelníku

Tento obrázek má dva rovné strany a základna, přičemž úhly na základně jsou také navzájem stejné. Tato rovnost stran a úhlů usnadňuje konstrukci výšek a jejich výpočet.

Nejprve nakreslíme samotný trojúhelník. Nechť jsou strany b a c stejně jako úhly β, γ stejné.

Nyní nakreslíme výšku od vrcholu úhlu α, označme ji h1. Pro tuto výšku bude jak osa, tak i medián.

Pro základ lze vyrobit pouze jednu konstrukci. Například nakreslete medián - úsečku spojující vrchol rovnoramenného trojúhelníku a opačnou stranu, základnu, abyste našli výšku a půlku. A pro výpočet délky výšky pro další dvě strany můžete postavit pouze jednu výšku. Abychom tedy mohli graficky určit, jak vypočítat výšku rovnoramenného trojúhelníku, stačí najít dvě ze tří výšek.

Jak zjistit výšku pravoúhlého trojúhelníku

Je mnohem jednodušší určit výšky pravoúhlého trojúhelníku než ostatní. Je to proto, že nohy samy tvoří pravý úhel, což znamená, že jsou výšky.

Pro sestavení třetí výšky se jako obvykle nakreslí kolmice spojující vrchol pravý úhel a opačnou stranu. V důsledku toho je v tomto případě k vytvoření trojúhelníku zapotřebí pouze jedna konstrukce.