Extrakce odmocniny je inverzní operace umocňování. To znamená, že extrahováním odmocniny čísla X dostaneme číslo, které po umocnění dá stejné číslo X.

Extrakce kořene je poměrně jednoduchá operace. Práci s odsáváním může usnadnit tabulka čtverců. Protože je nemožné si zapamatovat všechny druhé mocniny a odmocniny a čísla mohou být velká.

Extrahování kořene z čísla

těžba odmocnina z počtu je jednoduché. Navíc to nelze provést okamžitě, ale postupně. Vezměme například výraz √256. Zpočátku je pro nevědomého člověka těžké dát hned odpověď. Poté podnikneme kroky. Nejprve vydělíme právě číslem 4, ze kterého vyjmeme vybraný čtverec jako odmocninu.

Remíza: √(64 4), pak bude ekvivalentní 2√64. A jak víte, podle násobilky 64 = 8 8. Odpověď bude 2*8=16.

Přihlaste se do kurzu „Urychlete mentální počítání, NE mentální aritmetiku“, abyste se naučili rychle a správně sčítat, odčítat, násobit, dělit, odmocňovat čísla a dokonce i odmocňovat. Za 30 dní se naučíte používat jednoduché triky ke zjednodušení aritmetických operací. Každá lekce obsahuje nové techniky, jasné příklady a užitečné úkoly.

Komplexní extrakce kořenů

Odmocninu nelze vypočítat ze záporných čísel, protože každé druhé číslo je kladné!

Komplexní číslo je číslo i, jehož druhá mocnina je -1. To je i2=-1.

V matematice existuje číslo, které se získá odmocněním čísla -1.

To znamená, že je možné vypočítat kořen záporné číslo, ale to už platí pro vyšší matematiku, ne školu.

Uvažujme příklad takové extrakce kořene: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Root kalkulačka online

S pomocí naší kalkulačky můžete vypočítat extrakci čísla z druhé odmocniny:

Převod výrazů obsahujících operaci extrahování kořene

Podstatou transformace radikálních výrazů je rozklad radikálního čísla na jednodušší, z nichž lze vytáhnout kořen. Například 4, 9, 25 a tak dále.

Vezměme si příklad, √625. Radikální výraz vydělíme číslem 5. Dostaneme √(125 5), opakujeme operaci √(25 25), ale víme, že 25 je 52. Odpověď je tedy 5*5=25.

Jsou ale čísla, u kterých nelze touto metodou vypočítat odmocninu a stačí znát odpověď nebo mít po ruce tabulku čtverců.

√289=√(17*17)=17

Výsledek

Uvažovali jsme pouze o špičce ledovce, abychom lépe porozuměli matematice - přihlaste se do našeho kurzu: Zrychlete mentální počítání - NE mentální aritmetika.

Z kurzu se nejen naučíte desítky triků pro zjednodušené a rychlé násobení, sčítání, násobení, dělení, počítání procent, ale také je vypracujete ve speciálních úkolech a výukových hrách! Mentální počítání vyžaduje také hodně pozornosti a soustředění, které se aktivně trénují v řešení zajímavých problémů.

Je čas rozebrat metody extrakce kořenů. Jsou založeny na vlastnostech odmocnin, zejména na rovnosti, která platí pro každé nezáporné číslo b.

Níže budeme postupně zvažovat hlavní metody extrakce kořenů.

Začněme tím nejjednodušším případem – extrahováním odmocnin z přirozených čísel pomocí tabulky čtverců, tabulky kostek atd.

Pokud jsou tabulky čtverců, kostek atd. není po ruce, je logické použít metodu extrakce kořene, která zahrnuje rozklad kořenového čísla na jednoduché faktory.

Samostatně stojí za to se nad tím pozastavit, což je možné u kořenů s lichými exponenty.

Nakonec zvažte metodu, která vám umožní postupně najít číslice hodnoty kořene.

Začněme.

Pomocí tabulky čtverců, tabulky kostek atd.

V nejjednodušších případech umožňují extrahování kořenů tabulky čtverců, kostek atd. Co jsou to za tabulky?

Tabulka druhých mocnin celých čísel od 0 do 99 včetně (zobrazená níže) se skládá ze dvou zón. První zóna tabulky je umístěna na šedém pozadí, výběrem určitého řádku a určitého sloupce umožňuje vytvořit číslo od 0 do 99. Vyberme například řádek 8 desítek a sloupec 3 jednotek, čímž jsme opravili číslo 83. Druhá zóna zabírá zbytek tabulky. Každá jeho buňka se nachází na průsečíku určitého řádku a určitého sloupce a obsahuje druhou mocninu odpovídajícího čísla od 0 do 99 . Na průsečíku námi zvolené řady 8 desítek a sloupce 3 jedné je buňka s číslem 6889, což je druhá mocnina čísla 83.

Tabulky kostek, tabulky čtvrtých mocnin čísel od 0 do 99 a tak dále jsou podobné tabulce čtverců, jen obsahují kostky, čtvrté mocniny atd. ve druhé zóně. odpovídající čísla.

Tabulky čtverců, kostek, čtvrtých mocnin atd. umožňují extrahovat druhé odmocniny, krychlové odmocniny, čtvrté odmocniny atd. respektive z čísel v těchto tabulkách. Vysvětlíme si princip jejich aplikace při extrakci kořenů.

Řekněme, že potřebujeme extrahovat kořen n-tého stupně z čísla a, zatímco číslo a je obsaženo v tabulce n-tých stupňů. Podle této tabulky najdeme číslo b takové, že a=b n . Pak , proto číslo b bude požadovaným kořenem n-tého stupně.

Jako příklad si ukažme, jak je extrahována odmocnina z roku 19683 pomocí tabulky kostek. V tabulce kostek najdeme číslo 19 683, z ní zjistíme, že toto číslo je kostkou čísla 27, tedy, .

Je zřejmé, že tabulky n-tých stupňů jsou velmi vhodné při extrakci kořenů. Často však nejsou po ruce a jejich sestavení vyžaduje určitý čas. Navíc je často nutné extrahovat odmocniny z čísel, která nejsou obsažena v odpovídajících tabulkách. V těchto případech se musíte uchýlit k jiným metodám extrakce kořenů.

Rozklad čísla odmocniny na prvočinitele

Poměrně pohodlný způsob, jak extrahovat kořen z přirozeného čísla (pokud je samozřejmě extrahován kořen), je rozložit kořenové číslo na prvočinitele. Jeho podstata je následující: poté je poměrně snadné jej reprezentovat jako stupeň s požadovaným ukazatelem, který vám umožní získat hodnotu odmocniny. Pojďme si tento bod vysvětlit.

Nechť je odmocnina n-tého stupně extrahována z přirozeného čísla a a jeho hodnota je rovna b. V tomto případě platí rovnost a=b n. Číslo b jako jakékoli přirozené číslo může být reprezentován jako součin všech jeho prvočinitelů p 1 , p 2 , ..., p m ve tvaru p 1 p 2 ... p m , a kořenové číslo a je v tomto případě reprezentováno jako (p 1 p 2 ... p m) n. Protože rozklad čísla na prvočinitele je jedinečný, bude rozklad čísla odmocniny a na prvočinitele vypadat jako (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , což umožňuje vypočítat hodnotu odmocniny jako .

Všimněte si, že pokud rozklad kořenového čísla a nemůže být reprezentován ve tvaru (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , pak kořen n-tého stupně z takového čísla a není zcela extrahován.

Zabývejme se tím při řešení příkladů.

Příklad.

Vezměte druhou odmocninu ze 144.

Řešení.

Pokud se podíváme na tabulku čtverců uvedenou v předchozím odstavci, je jasně vidět, že 144=12 2 , z čehož je zřejmé, že druhá odmocnina ze 144 je 12.

Ale ve světle tohoto bodu nás zajímá, jak je kořen extrahován rozkladem kořenového čísla 144 na prvočinitele. Pojďme se na toto řešení podívat.

Pojďme se rozložit 144 k hlavním faktorům:

To znamená, 144=2 2 2 2 3 3 . Na základě výsledného rozkladu lze provést následující transformace: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Proto, .

Pomocí vlastností stupně a vlastností kořenů by se řešení dalo formulovat trochu jinak: .

Odpovědět:

Pro upevnění materiálu zvažte řešení dalších dvou příkladů.

Příklad.

Vypočítejte kořenovou hodnotu.

Řešení.

Prvočíselný rozklad kořenového čísla 243 je 243=3 5 . Tím pádem, .

Odpovědět:

Příklad.

Je hodnota kořene celé číslo?

Řešení.

Abychom na tuto otázku odpověděli, rozložme kořenové číslo na prvočinitele a podívejme se, zda jej lze reprezentovat jako třetí mocninu celého čísla.

Máme 285 768=2 3 3 6 7 2 . Výsledný rozklad není reprezentován jako krychle celého čísla, protože stupeň prvočinitele 7 není násobkem tří. Odmocnina z 285 768 se proto nebere úplně.

Odpovědět:

Ne.

Získávání odmocnin ze zlomkových čísel

Je čas zjistit, jak je kořen extrahován zlomkové číslo. Nechť číslo zlomkové odmocniny zapíšeme jako p/q . Podle vlastnosti kořene kvocientu platí následující rovnost. Z této rovnosti vyplývá pravidlo zlomku: Odmocnina zlomku se rovná podílu dělení odmocniny čitatele odmocninou jmenovatele.

Podívejme se na příklad extrahování kořene ze zlomku.

Příklad.

Co je odmocnina z společný zlomek 25/169 .

Řešení.

Podle tabulky druhých mocnin zjistíme, že druhá odmocnina z čitatele původního zlomku je 5 a druhá odmocnina ze jmenovatele je 13. Pak . Tím je extrakce kořene z obyčejné frakce 25/169 dokončena.

Odpovědět:

Odmocnina desetinného zlomku nebo smíšeného čísla se extrahuje po nahrazení kořenových čísel běžnými zlomky.

Příklad.

Vezměte třetí odmocninu z desetinného čísla 474,552.

Řešení.

Představte si originál desetinný ve tvaru obyčejného zlomku: 474,552=474552/1000. Pak . Zbývá extrahovat krychlové odmocniny, které jsou v čitateli a jmenovateli výsledného zlomku. Protože 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 = 78 3 a 1 000 = 10 3, pak A . Zbývá pouze dokončit výpočty .

Odpovědět:

.

Extrahování odmocniny záporného čísla

Samostatně stojí za to se zabývat extrakcí kořenů ze záporných čísel. Když jsme studovali kořeny, řekli jsme, že když je exponent odmocniny liché číslo, pak pod znaménkem odmocniny může být záporné číslo. Takovým zápisům jsme dali následující význam: pro záporné číslo −a a lichý exponent od kořene 2 n−1 máme . Tato rovnost dává pravidlo pro extrakci lichých kořenů ze záporných čísel: Chcete-li extrahovat odmocninu záporného čísla, musíte extrahovat odmocninu opačného kladného čísla a před výsledek umístit znaménko mínus.

Zvažme příklad řešení.

Příklad.

Najděte kořenovou hodnotu.

Řešení.

Transformujme původní výraz tak, aby se pod kořenem objevilo kladné číslo: . Nyní nahradíme smíšené číslo obyčejným zlomkem: . Aplikujeme pravidlo extrakce kořene z běžné frakce: . Zbývá vypočítat kořeny v čitateli a jmenovateli výsledného zlomku: .

Zde je shrnutí řešení: .

Odpovědět:

.

Bitové zjištění kořenové hodnoty

V obecném případě je pod odmocninou číslo, které při použití výše uvedených technik nemůže být reprezentováno jako n-tá mocnina žádného čísla. Ale zároveň je potřeba znát hodnotu daného kořene alespoň do určitého znaménka. V tomto případě můžete pro extrakci kořene použít algoritmus, který vám umožní konzistentně získat dostatečný počet hodnot číslic požadovaného čísla.

Prvním krokem tohoto algoritmu je zjistit, který je nejvýznamnější bit kořenové hodnoty. K tomu se čísla 0, 10, 100, ... postupně zvyšují na mocninu n, dokud není získáno číslo přesahující kořenové číslo. Potom číslo, které jsme v předchozím kroku zvýšili na mocninu n, bude ukazovat odpovídající vyšší řád.

Zvažte například tento krok algoritmu při extrakci druhé odmocniny z pěti. Vezmeme čísla 0, 10, 100, ... a odmocníme je, dokud nedostaneme číslo větší než 5 . Máme 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 , což znamená, že nejvýznamnější číslicí bude číslice jednotky. Hodnotu tohoto bitu, stejně jako nižších, zjistíme v dalších krocích algoritmu pro extrakci kořene.

Všechny následující kroky algoritmu jsou zaměřeny na postupné zpřesňování hodnoty kořene díky skutečnosti, že jsou nalezeny hodnoty dalších číslic požadované hodnoty kořene, počínaje nejvyšší a přesouvat se k nejnižší . Například hodnota kořene v prvním kroku je 2 , ve druhém - 2,2 , ve třetím - 2,23 a tak dále 2,236067977 ... . Popišme, jak jsou nalezeny hodnoty bitů.

Hledání bitů se provádí výčtem jejich možných hodnot 0, 1, 2, ..., 9 . V tomto případě se paralelně počítají n-té mocniny odpovídajících čísel a porovnávají se s odmocninou. Pokud v určité fázi hodnota stupně překročí radikálové číslo, pak se hodnota číslice odpovídající předchozí hodnotě považuje za nalezenou, a pokud se tak nestane, provede se přechod k dalšímu kroku algoritmu pro extrakci kořene, pak hodnota této číslice je 9 .

Vysvětleme všechny tyto body na stejném příkladu extrahování druhé odmocniny z pěti.

Nejprve najděte hodnotu číslice jednotek. Budeme iterovat hodnoty 0, 1, 2, …, 9 , přičemž budeme počítat 0 2 , 1 2 , …, 9 2, dokud nedostaneme hodnotu větší než radikálové číslo 5 . Všechny tyto výpočty jsou pohodlně prezentovány ve formě tabulky:

Takže hodnota číslice jednotky je 2 (protože 2 2<5 , а 2 3 >5). Přejděme k hledání hodnoty desátého místa. V tomto případě odmocníme čísla 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 a porovnáváme získané hodnoty s kořenovým číslem 5:

Od 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , pak hodnota desátého místa je 2 . Můžete přistoupit ke zjištění hodnoty setin místa:

Je tedy nalezena další hodnota odmocniny z pěti, je rovna 2,23. A tak můžete pokračovat v hledání hodnot dále: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Pro konsolidaci materiálu analyzujeme extrakci kořene s přesností na setiny pomocí uvažovaného algoritmu.

Nejprve definujeme horní číslici. K tomu dáme krychli čísla 0, 10, 100 atd. dokud nedostaneme číslo větší než 2 151,186 . Máme 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , takže nejvýznamnější číslice jsou desítky.

Definujme jeho hodnotu.

Od 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, pak hodnota desítkové číslice je 1. Pojďme k jednotkám.

Hodnota jedničky je tedy 2 . Pojďme k desítce.

Protože i 12,9 3 je méně než radikální číslo 2 151,186 , hodnota desátého místa je 9 . Zbývá provést poslední krok algoritmu, ten nám dá hodnotu kořene s požadovanou přesností.

V této fázi se hodnota kořene nachází až setiny: .

Na závěr tohoto článku bych chtěl říci, že existuje mnoho dalších způsobů, jak extrahovat kořeny. Ale pro většinu úloh stačí ty, které jsme studovali výše.

Bibliografie.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnice pro 8 buněk. vzdělávací instituce.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a další Algebra a počátky analýzy: učebnice pro ročníky 10-11 všeobecně vzdělávacích institucí.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (příručka pro uchazeče o technické školy).

Návod

Zvolte radikální číslo takový faktor, jehož odstranění zespodu vykořenit platný výraz - jinak operace ztratí . Například pokud pod znaménkem vykořenit s exponentem rovným třem (odmocnina) má hodnotu číslo 128, pak lze zpod značky vyjmout např. číslo 5. Současně kořen číslo 128 bude nutné vydělit 5 krychlovými: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1,024. Pokud je pod znaménkem přítomnost zlomkového čísla vykořenit neodporuje podmínkám problému, je v této podobě možné. Pokud potřebujete jednodušší možnost, pak nejprve rozdělte radikální výraz na takové celočíselné faktory, z nichž odmocnina jednoho z nich bude celé číslo číslo m. Například: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Použijte k výběru faktorů kořenového čísla, pokud ve vaší mysli není možné vypočítat stupeň čísla. To platí zejména pro vykořenit m s exponentem větším než dva. Pokud máte přístup k internetu, můžete provádět výpočty pomocí kalkulaček zabudovaných do vyhledávačů Google a Nigma. Například, pokud potřebujete najít největší celočíselný faktor, který lze vyjmout ze znaménka krychle vykořenit pro číslo 250, pak přejděte na web Google a zadejte dotaz „6 ^ 3“, abyste zjistili, zda je možné vyjmout pod značkou vykořenitšest. Vyhledávač zobrazí výsledek rovný 216. Bohužel, 250 nelze beze zbytku dělit tímto číslo. Poté zadejte dotaz 5^3. Výsledkem bude 125, což vám umožní rozdělit 250 na faktory 125 a 2, což znamená, že je vyjmete ze znaménka vykořenit číslo 5 odchází tam číslo 2.

Prameny:

• jak to vyndat zpod kořene
• Druhá odmocnina produktu

Vyjměte zespodu vykořenit jeden z faktorů je nezbytný v situacích, kdy potřebujete zjednodušit matematický výraz. Existují případy, kdy není možné provést potřebné výpočty pomocí kalkulačky. Pokud se například místo čísel použijí písmena proměnných.

Návod

Rozložte radikální výraz na jednoduché faktory. Podívejte se, který z faktorů se opakuje stejně často, jak je uvedeno v indikátorech vykořenit, nebo více. Například musíte vzít odmocninu čísla a do čtvrté mocniny. V tomto případě může být číslo reprezentováno jako a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. indikátor vykořenit v tomto případě bude odpovídat faktor a3. Musí být vyjmuta z cedule.

Pokud je to možné, extrahujte kořen výsledných radikálů odděleně. těžba vykořenit je algebraická operace inverzní k umocňování. těžba vykořenit libovolnou mocninu z čísla, najděte číslo, které po zvýšení na tuto libovolnou mocninu povede k danému číslu. Pokud extrakce vykořenit nelze vyrobit, ponechte radikální výraz pod znakem vykořenit tak jak to je. V důsledku výše uvedených akcí provedete odstranění zespodu podepsat vykořenit.

Související videa

Poznámka

Buďte opatrní při psaní radikálního výrazu jako faktorů - chyba v této fázi povede k nesprávným výsledkům.

Užitečná rada

Při extrakci kořenů je vhodné použít speciální tabulky nebo tabulky logaritmických kořenů - tím se výrazně zkrátí čas na nalezení správného řešení.

Prameny:

• znamení extrakce kořenů v roce 2019

Zjednodušení algebraických výrazů je vyžadováno v mnoha oblastech matematiky, včetně řešení rovnic vyšších stupňů, derivování a integrace. To používá několik metod, včetně faktorizace. Chcete-li použít tuto metodu, musíte najít a vyjmout společné faktor za závorky.

Návod

Vyjmutí společného faktoru pro závorky- jedna z nejběžnějších metod rozkladu. Tato technika se používá pro zjednodušení struktury dlouhých algebraických výrazů, tzn. polynomy. Obecná může být číslo, jednočlenné nebo dvojčlenné, a k jeho nalezení se používá distributivní vlastnost násobení.

Číslo: Podívejte se pozorně na koeficienty každého polynomu, abyste zjistili, zda je lze vydělit stejným číslem. Například ve výrazu 12 z³ + 16 z² - 4 je zřejmé faktor 4. Po převodu získáte 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Jinými slovy, toto číslo je nejmenší společný celočíselný dělitel ze všech koeficientů.

Mononom: Určete, zda je stejná proměnná v každém z členů polynomu. Předpokládejme, že tomu tak je, nyní se podívejte na koeficienty, jako v předchozím případě. Příklad: 9 z^4 - 6 z³ + 15 z² - 3 z.

Každý prvek tohoto polynomu obsahuje proměnnou z. Všechny koeficienty jsou navíc násobky 3. Společným faktorem tedy bude jednočlenný 3 z: 3 z (3 z³ - 2 z² + 5 z - 1).

Binomický.Pro závorky Všeobecné faktor ze dvou , proměnné a čísla, což je obecný polynom. Proto pokud faktor-binomický není zřejmý, pak musíte najít alespoň jeden kořen. Zvýrazněte volný člen polynomu, jedná se o koeficient bez proměnné. Nyní použijte substituční metodu na společné vyjádření všech celočíselných dělitelů volného členu.

Uvažujme: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Zkontrolujte, zda je některý z celočíselných dělitelů 4 z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Najděte z1 jednoduchou substitucí = 1 a z2 = 2, takže závorky binomy (z - 1) a (z - 2) lze vyjmout. Chcete-li najít zbývající výraz, použijte sekvenční rozdělení do sloupce.

Při řešení různých úloh z předmětu matematiky a fyziky se žáci a studenti často potýkají s potřebou vytáhnout kořeny druhého, třetího nebo n-tého stupně. Samozřejmě, že v době informačních technologií nebude těžké takový problém vyřešit pomocí kalkulačky. Existují však situace, kdy není možné použít elektronického asistenta.

Na mnohé zkoušky je například zakázáno nosit elektroniku. Navíc nemusí být po ruce kalkulačka. V takových případech je užitečné znát alespoň některé metody ručního výpočtu radikálů.

Jedním z nejjednodušších způsobů výpočtu kořenů je pomocí speciální tabulky. Co to je a jak to správně používat?

Pomocí tabulky můžete najít druhou mocninu libovolného čísla od 10 do 99. Řádky tabulky zároveň obsahují hodnoty v desítkách a sloupce obsahují hodnoty jednotek. Buňka na průsečíku řádku a sloupce obsahuje druhou mocninu dvouciferného čísla. Abyste mohli vypočítat druhou mocninu 63, musíte najít řádek s hodnotou 6 a sloupec s hodnotou 3. Na průsečíku najdeme buňku s číslem 3969.

Protože extrahování odmocniny je inverzní operace kvadratury, k provedení této akce musíte udělat opak: nejprve najděte buňku s číslem, jehož radikál chcete vypočítat, a poté určete odpověď z hodnot sloupců a řádků. Jako příklad zvažte výpočet druhé odmocniny ze 169.

V tabulce najdeme buňku s tímto číslem, vodorovně určíme desítky - 1, svisle najdeme jedničky - 3. Odpověď: √169 = 13.

Podobně můžete vypočítat kořeny kubického a n-tého stupně pomocí příslušných tabulek.

Výhodou metody je její jednoduchost a absence dalších výpočtů. Nevýhody jsou zřejmé: metodu lze použít pouze pro omezený rozsah čísel (číslo, pro které je nalezen kořen, musí být mezi 100 a 9801). Navíc to nepůjde, pokud dané číslo není v tabulce.

Prvočíselný rozklad

Pokud není tabulka čtverců po ruce nebo s její pomocí nebylo možné najít kořen, můžete to zkusit rozložit číslo pod odmocninou na prvočinitele. Prvořadé faktory jsou ty, které lze zcela (beze zbytku) rozdělit pouze samy sebou nebo jedním. Příklady mohou být 2, 3, 5, 7, 11, 13 atd.

Zvažte výpočet odmocniny pomocí příkladu √576. Pojďme si to rozložit na jednoduché faktory. Dostaneme následující výsledek: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Pomocí hlavní vlastnosti kořenů √a² = a se zbavíme odmocnin a druhých mocnin, načež vypočítáme odpověď: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24.

Co dělat, když některý z faktorů nemá svůj vlastní pár? Zvažte například výpočet √54. Po faktoringu dostaneme výsledek v následujícím tvaru: Neodnímatelnou část lze ponechat pod kořenem. U většiny úloh z geometrie a algebry bude taková odpověď považována za konečnou. Ale pokud je potřeba vypočítat přibližné hodnoty, můžete použít metody, které budou diskutovány později.

Heronova metoda

Co dělat, když potřebujete alespoň přibližně vědět, co je extrahovaný kořen (pokud nelze získat celočíselnou hodnotu)? Aplikací Heronovy metody se dosáhne rychlého a poměrně přesného výsledku.. Jeho podstata spočívá v použití přibližného vzorce:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

kde R je číslo, jehož kořen se má vypočítat, a je nejbližší číslo, jehož kořenová hodnota je známa.

Pojďme se podívat, jak metoda funguje v praxi a zhodnotit, jak je přesná. Spočítejme, čemu se rovná √111. Nejbližší číslo k 111, jehož kořen je znám, je 121. Tedy R = 111, a = 121. Dosaďte hodnoty ve vzorci:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Nyní zkontrolujeme správnost metody:

10,55² = 111,3025.

Chyba metody byla přibližně 0,3. Pokud je třeba zlepšit přesnost metody, můžete zopakovat kroky popsané výše:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Zkontrolujeme správnost výpočtu:

10,536² = 111,0073.

Po opakované aplikaci vzorce se chyba stala zcela nevýznamnou.

Výpočet kořene rozdělením do sloupce

Tento způsob zjištění hodnoty druhé odmocniny je o něco složitější než předchozí. Je však nejpřesnější mezi ostatními výpočetními metodami bez kalkulačky..

Řekněme, že potřebujete najít druhou odmocninu s přesností na 4 desetinná místa. Analyzujme výpočetní algoritmus na příkladu libovolného čísla 1308.1912.

1. List papíru rozdělte svislou čárou na 2 části a poté z ní nakreslete další čáru vpravo, mírně pod horní okraj. Číslo zapíšeme na levou stranu, rozdělíme ho do skupin po 2 číslicích, posuneme se doprava a doleva od desetinné čárky. Úplně první číslice vlevo může být bez páru. Pokud na pravé straně čísla chybí znaménko, měla by se přidat 0. V našem případě dostaneme 13 08.19 12.
2. Vyberme největší číslo, jehož druhá mocnina bude menší nebo rovna první skupině číslic. V našem případě je to 3. Napíšeme to vpravo nahoře; 3 je první číslice výsledku. Vpravo dole označujeme 3 × 3 = 9; to bude potřeba pro další výpočty. Odečtením 9 od 13 ve sloupci dostaneme zbytek 4.
3. Přidejme další dvojici čísel ke zbytku 4; dostaneme 408.
4. Vynásobte číslo vpravo nahoře 2 a napište ho vpravo dole a přidejte k němu _ x _ =. Dostaneme 6_ x _ =.
5. Místo pomlček je třeba nahradit stejné číslo, menší nebo rovné 408. Dostaneme 66 × 6 \u003d 396. Napíšeme 6 vpravo nahoře, protože toto je druhá číslice výsledku. Odečteme 396 od 408, dostaneme 12.
6. Opakujeme kroky 3-6. Protože čísla nesená dolů jsou ve zlomkové části čísla, je nutné za 6 vpravo nahoře umístit desetinnou čárku. Zdvojený výsledek zapišme pomlčkami: 72_ x _ =. Vhodné číslo by bylo 1: 721 × 1 = 721. Zapišme si to jako odpověď. Odečteme 1219 - 721 = 498.
7. Proveďme sekvenci akcí uvedenou v předchozím odstavci ještě třikrát, abychom získali požadovaný počet desetinných míst. Pokud není dostatek znamének pro další výpočty, je třeba k aktuálnímu číslu vlevo přidat dvě nuly.

V důsledku toho dostaneme odpověď: √1308.1912 ≈ 36.1689. Pokud akci zkontrolujete pomocí kalkulačky, můžete se ujistit, že všechny znaky byly určeny správně.

Bitový výpočet hodnoty druhé odmocniny

Metoda je vysoce přesná. Kromě toho je to zcela srozumitelné a nevyžaduje zapamatování vzorců ani složitý algoritmus akcí, protože podstatou metody je vybrat správný výsledek.

Vyberme kořen z čísla 781. Zvažme podrobně posloupnost akcí.

1. Zjistěte, která číslice hodnoty druhé odmocniny bude nejvyšší. K tomu umocněme 0, 10, 100, 1000 atd. a zjistíme, mezi kterými z nich se nachází kořenové číslo. Dostáváme těch 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Vezměme si hodnotu desítek. K tomu se budeme střídavě zvyšovat na 10, 20, ..., 90, dokud nedostaneme číslo větší než 781. V našem případě dostaneme 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Hodnota výsledku n bude do 20< n <30.
3. Podobně jako v předchozím kroku se volí hodnota číslice jednotek. Střídavě odmocňujeme 21,22, ..., 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784.< n < 28.
4. Každá následující číslice (desetiny, setiny atd.) se počítá stejným způsobem, jak je uvedeno výše. Výpočty se provádějí, dokud není dosaženo požadované přesnosti.

Před příchodem kalkulaček studenti a učitelé počítali odmocniny ručně. Existuje několik způsobů, jak ručně vypočítat druhou odmocninu čísla. Některé z nich nabízejí pouze přibližné řešení, jiné dávají přesnou odpověď.

Kroky

Prvočíselný rozklad

Rozložte číslo odmocniny do faktorů, které jsou čtvercovými čísly. V závislosti na kořenovém čísle získáte přibližnou nebo přesnou odpověď. Čtvercová čísla jsou čísla, ze kterých lze vzít celou druhou odmocninu. Faktory jsou čísla, která po vynásobení dávají původní číslo. Například faktory čísla 8 jsou 2 a 4, protože 2 x 4 = 8, čísla 25, 36, 49 jsou čtvercová čísla, protože √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Čtvercové faktory jsou faktory , což jsou čtvercová čísla. Nejprve zkuste rozložit kořenové číslo na čtvercové faktory.

• Vypočítejte například druhou odmocninu ze 400 (ručně). Nejprve zkuste faktorizovat 400 na čtvercové faktory. 400 je násobek 100, to znamená dělitelné 25 - to je čtvercové číslo. Vydělením 400 25 získáte 16. Číslo 16 je také čtvercové číslo. 400 lze tedy rozdělit na čtvercové faktory 25 a 16, tedy 25 x 16 = 400.
• To lze zapsat následovně: √400 = √(25 x 16).

1. Druhá odmocnina součinu některých členů se rovná součinu odmocnin každého členu, tj. √(a x b) = √a x √b. Použijte toto pravidlo a vezměte druhou odmocninu každého čtvercového faktoru a vynásobte výsledky, abyste našli odpověď.

   • V našem příkladu vezměte druhou odmocninu z 25 a 16.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Pokud se radikální číslo nerozdělí na dva čtvercové faktory (a to ve většině případů dělá), nebudete schopni najít přesnou odpověď jako celé číslo. Problém ale můžete zjednodušit tak, že číslo odmocniny rozložíte na čtverec a obyčejný činitel (číslo, ze kterého nelze vzít celou odmocninu). Potom vezmete druhou odmocninu čtvercového faktoru a vezmete odmocninu běžného faktoru.

   • Vypočítejte například druhou odmocninu z čísla 147. Číslo 147 nelze rozdělit na dva čtvercové faktory, ale lze jej rozdělit do následujících faktorů: 49 a 3. Úlohu vyřešte následovně:
     • = √ (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. V případě potřeby vyhodnoťte hodnotu kořene. Nyní můžete vyhodnotit hodnotu odmocniny (najít přibližnou hodnotu) jejím porovnáním s hodnotami odmocnin čtverců, které jsou nejblíže (na obou stranách číselné osy) odmocnině. Hodnotu odmocniny získáte jako desetinný zlomek, který je nutné vynásobit číslem za odmocninou.

   • Vraťme se k našemu příkladu. Kořenové číslo je 3. Nejbližší čtvercová čísla jsou čísla 1 (√1 = 1) a 4 (√4 = 2). Hodnota √3 tedy leží mezi 1 a 2. Protože hodnota √3 je pravděpodobně blíže 2 než 1, náš odhad je: √3 = 1,7. Tuto hodnotu vynásobíme číslem u kořenového znaku: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Pokud provedete výpočty na kalkulačce, dostanete 12,13, což je docela blízko naší odpovědi.
     • Tato metoda funguje i s velkými čísly. Uvažujme například √35. Kořenové číslo je 35. Nejbližší čtvercová čísla k němu jsou čísla 25 (√25 = 5) a 36 (√36 = 6). Hodnota √35 tedy leží mezi 5 a 6. Protože hodnota √35 je mnohem blíže 6 než 5 (protože 35 je pouze o 1 menší než 36), můžeme konstatovat, že √35 je o něco menší než 6. Kontrola pomocí kalkulačky nám dává odpověď 5,92 - měli jsme pravdu.

4. Dalším způsobem je rozložit kořenové číslo na prvočinitele. Prvočísla jsou čísla, která jsou dělitelná pouze 1 a sami sebou. Napište prvočinitele do řady a najděte dvojice stejných činitelů. Takové faktory lze vyjmout ze znamení kořene.

   • Vypočítejte například druhou odmocninu z 45. Rozložíme číslo odmocniny na prvočinitele: 45 \u003d 9 x 5 a 9 \u003d 3 x 3. Tedy √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 lze vyjmout z kořenového znaménka: √45 = 3√5. Nyní můžeme odhadnout √5.
   • Zvažte další příklad: √88.
     • = √ (2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Máte tři multiplikátory 2; vezměte jich pár a vyjměte je ze znamení kořene.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Nyní můžeme vyhodnotit √2 a √11 a najít přibližnou odpověď.

   Ruční výpočet druhé odmocniny

   Použití dělení sloupců

   1. Tato metoda zahrnuje proces podobný dlouhému dělení a poskytuje přesnou odpověď. Nejprve nakreslete svislou čáru rozdělující list na dvě poloviny a poté nakreslete vodorovnou čáru vpravo a mírně pod horní okraj listu ke svislé čáře. Nyní rozdělte kořenové číslo na dvojice čísel, počínaje zlomkovou částí za desetinnou čárkou. Takže číslo 79520789182.47897 je zapsáno jako "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Vypočítejme například druhou odmocninu z čísla 780,14. Nakreslete dvě čáry (jak je znázorněno na obrázku) a zapište číslo vlevo nahoře jako „7 80, 14“. Je normální, že první číslice zleva je nepárová číslice. Odpověď (kořen daného čísla) bude napsána vpravo nahoře.

   2. Vzhledem k první dvojici čísel (nebo jednomu číslu) zleva najděte největší celé číslo n, jehož druhá mocnina je menší nebo rovna příslušné dvojici čísel (nebo jednomu číslu). Jinými slovy, najděte druhé číslo, které je nejblíže, ale menší než první pár čísel (nebo jediné číslo) zleva, a vezměte druhou odmocninu tohoto druhého čísla; dostanete číslo n. Nalezené n zapište vpravo nahoře a čtverec n vpravo dole.

      • V našem případě bude první číslo vlevo číslo 7. Dále 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Odečtěte druhou mocninu čísla n, které jste právě našli, od první dvojice čísel (nebo jednoho čísla) zleva. Výsledek výpočtu zapište pod subtrahend (druhou mocninu čísla n).

      • V našem příkladu odečtěte 4 od 7 a dostanete 3.

   4. Sejměte druhou dvojici čísel a zapište ji vedle hodnoty získané v předchozím kroku. Potom zdvojnásobte číslo vpravo nahoře a výsledek zapište vpravo dole s připojeným "_×_=".

      • V našem příkladu je druhá dvojice čísel "80". Za 3 napište "80". Potom zdvojnásobením čísla z pravého horního rohu získáte 4. Napište "4_×_=" vpravo dole.

   5. Vyplňte prázdná místa vpravo.

      • V našem případě, pokud místo pomlček vložíme číslo 8, pak 48 x 8 \u003d 384, což je více než 380. Proto je 8 příliš velké číslo, ale 7 je v pořádku. Napište 7 místo pomlček a dostanete: 47 x 7 \u003d 329. Napište 7 zprava nahoře - to je druhá číslice v požadované druhé odmocnině čísla 780,14.

   6. Odečtěte výsledné číslo od aktuálního čísla vlevo. Výsledek z předchozího kroku zapiš pod aktuální číslo vlevo, najdi rozdíl a zapiš ho pod odečtené.

      • V našem příkladu odečtěte 329 od 380, což se rovná 51.

   7. Opakujte krok 4. Je-li odstraněná dvojice čísel zlomková část původního čísla, vložte oddělovač (čárku) celého čísla a zlomkové části do požadované druhé odmocniny z pravého horního rohu. Vlevo přeneste dolů další dvojici čísel. Zdvojnásobte číslo vpravo nahoře a výsledek zapište vpravo dole s připojeným „_×_=".

      • V našem příkladu bude další dvojice čísel, která mají být odstraněna, zlomková část čísla 780,14, takže oddělovač celého čísla a zlomkové části vložte do požadované druhé odmocniny zprava nahoře. Zbourejte 14 a zapište vlevo dole. Dvojitý pravý horní (27) je 54, takže vpravo dole napište "54_×_=".

   8. Opakujte kroky 5 a 6. Najděte největší číslo na místě pomlček vpravo (místo pomlček je třeba nahradit stejné číslo), aby výsledek násobení byl menší nebo roven aktuálnímu číslu vlevo.

      • V našem příkladu je 549 x 9 = 4941, což je méně než aktuální číslo vlevo (5114). Vpravo nahoře napište 9 a od aktuálního čísla vlevo odečtěte výsledek násobení: 5114 - 4941 = 173.

   9. Pokud potřebujete najít více desetinných míst pro druhou odmocninu, napište pár nul vedle aktuálního čísla vlevo a opakujte kroky 4, 5 a 6. Opakujte kroky, dokud nezískáte přesnost odpovědi, kterou potřebujete (počet desetinná místa).

   Pochopení procesu

   Abyste tuto metodu zvládli, představte si číslo, jehož druhou odmocninu musíte najít, jako plochu čtverce S. V tomto případě budete hledat délku strany L takového čtverce. Vypočítejte hodnotu L, pro kterou L² = S.

   Zadejte písmeno pro každou číslici ve své odpovědi. Označte A první číslici hodnoty L (požadovaná druhá odmocnina). B bude druhá číslice, C třetí a tak dále.

   Zadejte písmeno pro každou dvojici úvodních číslic. Označme S a první dvojici číslic v hodnotě S, Sb druhou dvojici číslic a tak dále.

   Vysvětlete souvislost této metody s dlouhým dělením. Stejně jako v operaci dělení, kde nás pokaždé zajímá pouze jedna další číslice dělitelného čísla, při výpočtu druhé odmocniny pracujeme s dvojicí číslic za sebou (pro získání další jedné číslice v hodnotě odmocniny) .

   1. Zvažte první dvojici číslic Sa čísla S (v našem příkladu Sa = 7) a najděte jeho druhou odmocninu. V tomto případě bude první číslicí A hledané hodnoty odmocniny taková číslice, jejíž druhá mocnina je menší nebo rovna S a (tj. hledáme takové A, které splňuje nerovnost A² ≤ So< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Řekněme, že potřebujeme vydělit 88962 7; zde bude první krok podobný: vezmeme v úvahu první číslici dělitelného čísla 88962 (8) a vybereme největší číslo, které po vynásobení 7 dá hodnotu menší nebo rovnou 8. To znamená, že hledáme číslo d, pro které platí nerovnost: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. V duchu si představte čtverec, jehož plochu potřebujete vypočítat. Hledáte L, tedy délku strany čtverce, jehož obsah je S. A, B, C jsou čísla v čísle L. Můžete to napsat jinak: 10A + B \u003d L (pro dvojku -místné číslo) nebo 100A + 10B + C \u003d L (pro třímístné číslo) a tak dále.

      • Nechat (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Pamatujte, že 10A+B je číslo, jehož B znamená jedničky a A desítky. Pokud například A=1 a B=2, pak 10A+B se rovná číslu 12. (10A+B)² je plocha celého náměstí, 100A² je plocha velkého vnitřního náměstí, B² je plocha malého vnitřního čtverce, 10A×B je plocha každého ze dvou obdélníků. Přidáním oblastí popsaných obrázků získáte plochu původního čtverce.