Objem rotačního tělesa lze vypočítat pomocí vzorce:

Ve vzorci musí být číslo přítomno před integrálem. Tak se stalo – vše, co se v životě točí, je spojeno s touto konstantou.

Myslím, že je snadné uhodnout, jak nastavit limity integrace „a“ a „být“ z dokončeného výkresu.

Funkce... co je to za funkci? Podívejme se na nákres. Plochý obrazec je v horní části ohraničen grafem paraboly. Toto je funkce, která je zahrnuta ve vzorci.

V praktických úlohách může být plochá postava někdy umístěna pod osou. To nic nemění - integrand ve vzorci je na druhou: tedy integrál je vždy nezáporný , což je velmi logické.

Vypočítejme objem rotačního tělesa pomocí tohoto vzorce:

Jak jsem již poznamenal, integrál se téměř vždy ukáže jako jednoduchý, hlavní věcí je být opatrný.

Odpovědět:

Ve své odpovědi musíte uvést rozměr - kubické jednotky. To znamená, že v našem rotačním těle je přibližně 3,35 „kostek“. Proč krychlový Jednotky? Protože nejuniverzálnější formulace. Mohou tam být kubické centimetry, mohou tam být kubické metry, mohou tam být kubické kilometry atd., tolik zelených mužíčků dokáže vaše fantazie vložit do létajícího talíře.

Příklad 2

Najděte objem tělesa vzniklého rotací kolem osy obrazce ohraničeného úsečkami,

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Uvažujme dva složitější problémy, se kterými se v praxi také často setkáváme.

Příklad 3

Vypočítejte objem tělesa získaného rotací kolem osy úsečky obrazce ohraničeného přímkami ,, a

Řešení: Znázorněme na výkrese plochý obrazec ohraničený úsečkami ,,,, aniž bychom zapomněli, že rovnice definuje osu:

Požadovaná postava je vystínována modře. Když se otočí kolem své osy, ukáže se, že je to neskutečná kobliha se čtyřmi rohy.

Vypočítejme objem rotačního tělesa jako rozdíl v objemech těles.

Nejprve se podívejme na červeně zakroužkovanou postavu. Když se otáčí kolem osy, získá se komolý kužel. Označme objem tohoto komolého kužele pomocí.

Zvažte postavu, která je zakroužkována zeleně. Pokud tuto postavu otočíte kolem osy, získáte také komolý kužel, jen o něco menší. Označme jeho objem podle.

A je zřejmé, že rozdíl v objemech je přesně objemem naší „koblihy“.

Pro zjištění objemu rotačního tělesa používáme standardní vzorec:

1) Červeně zakroužkovaný obrazec je nahoře ohraničený přímkou, proto:

2) Zeleně zakroužkovaný obrazec je nahoře ohraničený přímkou, proto:

3) Objem požadovaného rotačního tělesa:

Odpovědět:

Je zvláštní, že v tomto případě lze řešení zkontrolovat pomocí školního vzorce pro výpočet objemu komolého kužele.

Samotné rozhodnutí je často psáno stručněji, asi takto:

Nyní si trochu odpočineme a povíme si o geometrických iluzích.

Lidé mají často se svazky spojené iluze, čehož si v knize všiml i Perelman (další). Zábavná geometrie. Podívejte se na plochý obrazec v řešeném problému - zdá se, že má malou plochu a objem rotačního tělesa je něco málo přes 50 krychlových jednotek, což se zdá příliš velké. Mimochodem, průměrný člověk vypije za celý život ekvivalent místnosti 18 metrů čtverečních tekutiny, což se mu naopak zdá příliš malý objem.

Obecně vzato byl vzdělávací systém v SSSR skutečně nejlepší. Stejná kniha od Perelmana, vydaná již v roce 1950, velmi dobře rozvíjí, jak řekl humorista, myšlení a učí vás hledat originální, nestandardní řešení problémů. Nedávno jsem si s velkým zájmem přečetl některé kapitoly znovu, doporučuji, je to dostupné i pro humanisty. Ne, nemusíte se usmívat, že jsem nabídl volno, erudice a široké obzory v komunikaci jsou skvělá věc.

Po lyrické odbočce je jen vhodné vyřešit kreativní úkol:

Příklad 4

Vypočítejte objem tělesa vzniklého rotací kolem osy plochého útvaru ohraničeného úsečkami,, kde.

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Upozorňujeme, že všechny případy se vyskytují v pásmu, jinými slovy, hotové limity integrace jsou vlastně dané. Nakreslete správně grafy goniometrických funkcí, dovolte mi připomenout látku z lekce o geometrické transformace grafů : pokud je argument dělen dvěma: , pak se grafy protáhnou podél osy dvakrát. Je vhodné najít alespoň 3-4 body podle trigonometrických tabulek pro přesnější dokončení výkresu. Úplné řešení a odpověď na konci lekce. Mimochodem, úkol lze vyřešit racionálně a ne příliš racionálně.

Až na zjištění plochy rovinného obrazce pomocí určitého integrálu (viz 7.2.3.) nejdůležitější aplikace tématu je výpočet objemu rotačního tělesa. Materiál je jednoduchý, ale čtenář musí být připraven: musíte umět řešit neurčité integrály střední složitost a aplikujte Newtonův-Leibnizův vzorec určitý integrál, n Potřebujete také silné kreslířské dovednosti. Obecně existuje mnoho zajímavých aplikací v integrálním počtu pomocí určitého integrálu, můžete vypočítat plochu obrázku, objem rotačního těla, délku oblouku, povrch těla; a mnohem víc. Představte si nějakou plochou postavu v souřadnicové rovině. Představeno? ... Nyní lze tuto figurku také otáčet a otáčet dvěma způsoby:

– kolem osy x ;

– kolem svislé osy .

Podívejme se na oba případy. Druhý způsob rotace je obzvláště zajímavý, působí nejvíce potíží, ale ve skutečnosti je řešení téměř stejné jako u běžnější rotace kolem osy x. Začněme nejoblíbenějším typem rotace.

Výpočet objemu tělesa vzniklého rotací plochého útvaru kolem osy VŮL

Příklad 1

Vypočítejte objem tělesa získaného otáčením obrazce ohraničeného přímkami kolem osy.

Řešení: Stejně jako v případě problému hledání oblasti, řešení začíná kresbou ploché postavy. Tedy v letadle XOY je nutné sestrojit obrazec ohraničený úsečkami a nezapomeňte, že rovnice určuje osu. Nákres je zde poměrně jednoduchý:

Požadovaná plochá postava je vystínovaná modře; Výsledkem rotace je mírně vejčitý létající talíř se dvěma ostrými vrcholy na ose VŮL, symetrické kolem osy VŮL. Ve skutečnosti má tělo matematický název, podívejte se do referenční knihy.

Jak vypočítat objem rotačního tělesa? Vznikne-li těleso v důsledku rotace kolem osyVŮL, je mentálně rozdělena na paralelní vrstvy malé tloušťky dx, které jsou kolmé k ose VŮL. Objem celého tělesa je zjevně roven součtu objemů takových elementárních vrstev. Každá vrstva, jako kulatý plátek citronu, je nízký válec na výšku dx a s poloměrem základny F(X). Potom je objem jedné vrstvy součinem základní plochy π F 2 na výšku válce ( dx), nebo π∙ F 2 (X)∙dx. A plocha celého rotačního těla je součtem elementárních objemů nebo odpovídajícím určitým integrálem. Objem rotačního tělesa lze vypočítat pomocí vzorce:

.

Jak nastavit limity integrace „a“ a „být“ lze snadno uhodnout z hotového výkresu. Funkce... co je to za funkci? Podívejme se na nákres. Rovinný obrazec je ohraničen grafem paraboly nahoře. Toto je funkce, která je zahrnuta ve vzorci. V praktických úlohách může být plochá postava někdy umístěna pod osou VŮL. To nic nemění - funkce ve vzorci je na druhou: F 2 (X), Tím pádem, objem rotačního tělesa je vždy nezáporný, což je velmi logické. Vypočítejme objem rotačního tělesa pomocí tohoto vzorce:

.

Jak jsme již poznamenali, integrál se téměř vždy ukáže jako jednoduchý, hlavní věcí je být opatrný.

Odpovědět:

Ve své odpovědi musíte uvést rozměr - kubické jednotky. To znamená, že v našem rotačním těle je přibližně 3,35 „kostek“. Proč krychlový Jednotky? Protože toto je nejuniverzálnější formulace. Mohou tam být kubické centimetry, mohou tam být kubické metry, mohou tam být kubické kilometry atd., tolik zelených mužíčků dokáže vaše fantazie vložit do létajícího talíře.

Příklad 2

Najděte objem tělesa vzniklého rotací kolem osy VŮL obrazec ohraničený čarami , , .

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Příklad 3

Vypočítejte objem tělesa získaného otočením obrazce ohraničeného úsečkami , , a kolem osy úsečky.

Řešení: Znázorněme na výkrese plochý obrazec ohraničený čarami , , , , aniž bychom zapomněli, že rovnice X= 0 určuje osu OY:

Požadovaná postava je vystínována modře. Když se točí kolem osy VŮL výsledkem je plochý, hranatý donut (podložka se dvěma kuželovými plochami).

Vypočítejme objem rotačního tělesa jako rozdíl v objemech těles. Nejprve se podívejme na červeně zakroužkovanou postavu. Když se točí kolem osy VŮL výsledkem je komolý kužel. Označme objem tohoto komolého kužele pomocí PROTI 1 .

Zvažte postavu, která je zakroužkována zeleně. Pokud toto číslo otočíte kolem osy VŮL, pak získáte stejný komolý kužel, jen o něco menší. Označme jeho objem pomocí PROTI 2 .

Je zřejmé, že rozdíl v objemech PROTI = PROTI 1 - PROTI 2 je objem naší „koblihy“.

Pro zjištění objemu rotačního tělesa používáme standardní vzorec:

1) Červeně zakroužkovaný obrazec je nahoře ohraničený přímkou, proto:

2) Zeleně zakroužkovaný obrazec je nahoře ohraničený přímkou, proto:

3) Objem požadovaného rotačního tělesa:

Odpovědět:

Zajímavé je, že v tomto případě lze řešení zkontrolovat pomocí školního vzorce pro výpočet objemu komolého kužele.

Samotné rozhodnutí je často psáno stručněji, asi takto:

I. Objemy rotačních těles. Předběžně si prostudujte kapitolu XII, odstavce 197, 198 z učebnice G. M. Fikhtengoltse * Podrobně analyzujte příklady uvedené v odstavci 198.

508. Vypočítejte objem tělesa vzniklého rotací elipsy kolem osy Ox.

Tím pádem,

530. Najděte plochu vytvořenou rotací kolem osy Ox oblouku sinusoidy y = sin x z bodu X = 0 do bodu X = It.

531. Vypočítejte povrch kužele s výškou h a poloměrem r.

532. Vypočítejte vytvořený povrch

rotace astroidu x3 -)- y* - a3 kolem osy Ox.

533. Vypočítejte plochu povrchu vytvořenou rotací smyčky křivky 18 ug - x (6 - x) z kolem osy Ox.

534. Najděte povrch torusu vytvořeného rotací kružnice X2 - j - (y-3)2 = 4 kolem osy Ox.

535. Vypočítejte plochu vytvořenou rotací kružnice X = a cost, y = asint kolem osy Ox.

536. Vypočítejte povrch vytvořený rotací smyčky křivky x = 9t2, y = St - 9t3 kolem osy Ox.

537. Najděte povrchovou plochu vytvořenou rotací oblouku křivky x = e*sint, y = el cost kolem osy Ox

od t = 0 do t = —.

538. Ukažte, že plocha vzniklá rotací cykloidního oblouku x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) kolem osy Oy je rovna 16 u2 o2.

539. Najděte povrch získaný rotací kardioidy kolem polární osy.

540. Najděte plochu vytvořenou rotací lemniskátu Kolem polární osy.

Další úkoly pro kapitolu IV

Plochy rovinných obrazců

541. Najděte celou oblast oblasti ohraničenou křivkou A osa Ox.

542. Najděte oblast oblasti ohraničené křivkou

A osa Ox.

543. Najděte část oblasti regionu umístěnou v prvním kvadrantu a ohraničenou křivkou

l souřadnicové osy.

544. Najděte oblast uvnitř obsažené oblasti

smyčky:

545. Najděte oblast oblasti ohraničenou jednou smyčkou křivky:

546. Najděte oblast oblasti obsažené uvnitř smyčky:

547. Najděte oblast oblasti ohraničené křivkou

A osa Ox.

548. Najděte oblast oblasti ohraničené křivkou

A osa Ox.

549. Najděte oblast regionu ohraničenou osou Oxr

rovné a zakřivené

plochá postava kolem osy

Příklad 3

Daný plochý obrazec ohraničený čarami , , .

1) Najděte plochu ploché postavy ohraničenou těmito čarami.

2) Najděte objem tělesa získaný rotací plochého obrazce ohraničeného těmito čarami kolem osy.

Pozornost! I když si chcete přečíst pouze druhý bod, nejprve Nezbytně přečtěte si první!

Řešení: Úloha se skládá ze dvou částí. Začněme náměstím.

1) Udělejme obrázek:

Je snadné vidět, že funkce určuje horní větev paraboly a funkce určuje spodní větev paraboly. Před námi je triviální parabola, která „leží na boku“.

Požadovaná postava, jejíž oblast se nachází, je zastíněna modře.

Jak zjistit plochu obrázku? Dá se najít „normálním“ způsobem. Kromě toho se plocha obrázku zjistí jako součet oblastí:

– na segmentu;

- na segmentu.

Proto:

Existuje racionálnější řešení: spočívá v přepnutí na inverzní funkce a integraci podél osy.

Jak se dostat k inverzním funkcím? Zhruba řečeno, musíte vyjádřit „x“ až „y“. Nejprve se podívejme na parabolu:

To stačí, ale ujistěte se, že stejnou funkci lze odvodit z nižší větve:

S přímkou ​​je to jednodušší:

Nyní se podívejte na osu: pravidelně naklánějte hlavu o 90 stupňů doprava, jak vysvětlujete (toto není vtip!). Potřebný obrázek leží na segmentu, který je označen červenou tečkovanou čarou. V tomto případě je na segmentu přímka umístěna nad parabolou, což znamená, že oblast obrázku by měla být nalezena pomocí vzorce, který je vám již známý:. Co se ve formuli změnilo? Jen dopis a nic víc.

! Poznámka : Limity integrace os by měly být umístěnystriktně zdola nahoru !

Hledání oblasti:

V segmentu tedy:

Všimněte si prosím, jak jsem provedl integraci, je to nejracionálnější způsob a v dalším odstavci úkolu bude jasné proč.

Pro čtenáře, kteří pochybují o správnosti integrace, najdu odvozeniny:

Získá se původní funkce integrand, což znamená, že integrace byla provedena správně.

Odpovědět:

2) Vypočítejme objem tělesa vzniklého rotací tohoto obrazce kolem osy.

Kresbu překreslím do trochu jiného designu:

Modře vystínovaný obrázek se tedy otáčí kolem osy. Výsledkem je „vznášející se motýl“, který se otáčí kolem své osy.

Abychom našli objem rotačního tělesa, provedeme integraci podél osy. Nejprve musíme přejít k inverzním funkcím. To již bylo provedeno a podrobně popsáno v předchozím odstavci.

Nyní znovu nakloníme hlavu doprava a studujeme naši postavu. Je zřejmé, že objem rotačního tělesa by měl být nalezen jako rozdíl v objemech.

Červeně zakroužkovanou postavu otáčíme kolem osy, čímž vznikne komolý kužel. Označme tento svazek .

Zeleně zakroužkovaný obrazec otočíme kolem osy a označíme objemem výsledného rotačního tělesa.

Objem našeho motýla se rovná rozdílu objemů.

Pro zjištění objemu rotačního tělesa použijeme vzorec:

Jaký je rozdíl od vzorce v předchozím odstavci? Pouze v dopise.

Ale výhodu integrace, o které jsem nedávno mluvil, je mnohem snazší najít, než nejprve zvýšit integrand na 4. mocninu.

Odpovědět:

Vezměte prosím na vědomí, že pokud se stejná plochá postava otočí kolem osy, získáte zcela jiné rotační tělo s jiným objemem, přirozeně.

Příklad 7

Vypočítejte objem tělesa vzniklého rotací kolem osy obrazce ohraničeného křivkami a .

Řešení: Uděláme kresbu:

Cestou se seznamujeme s grafy některých dalších funkcí. Zde je zajímavý graf sudé funkce...

Pro zjištění objemu rotačního tělesa stačí použít pravou polovinu obrázku, kterou jsem vystínoval modře. Obě funkce jsou sudé, jejich grafy jsou symetrické kolem osy a náš obrazec je symetrický. Zastíněná pravá část, rotující kolem osy, se tedy jistě bude shodovat s levou nezastíněnou částí. nebo . Sám se vlastně vždy jistím dosazením pár bodů grafu do nalezené inverzní funkce.

Nyní nakloníme hlavu doprava a všimneme si následující věci:

– na segmentu nad osou je graf funkce;

Je logické předpokládat, že objem rotačního tělesa bychom měli hledat jako součet objemů rotačních těles!

Použijeme vzorec:

V tomto případě.

C je obsaženo v intervalu. Získáme tak opět langrangovskou formu doplňkového členu. 5. Závěr. V předmětu jsou uvedeny definice určitého a nevlastního integrálu a jeho typy a jsou zvažovány otázky některých aplikací určitého integrálu. Zejména Wallisův vzorec, který má historický význam jako první vyjádření čísla p jako limity snadno vypočítatelné...

Určitý integrál typové funkce numericky představuje plochu křivočarého lichoběžníku ohraničenou křivkami x=0, y=a, y=ba y= (obr. 1). Pro výpočet této plochy nebo určitého integrálu existují dvě metody - lichoběžníková metoda (obr. 2) a metoda průměrných obdélníků (obr. 3). Rýže. 1. Křivočarý lichoběžník. Rýže. 2. Lichoběžníková metoda. Rýže. 3. Metoda průměrných obdélníků. Metodami...

N (zvyšování počtu integrací), zvyšuje se přesnost přibližného výpočtu integrálů Zadání laboratorní práce 1) Napište programy pro výpočet určitého integrálu metodami: střední, pravý obdélník, lichoběžník a Simpsonova metoda. Proveďte integraci následujících funkcí: 1. f(x)=x f(x)=x2 f(x)= x3 f(x)= x4 na segmentu s krokem, 2. f(x)= f(x) = f(x)= ...

... (postup TABL) a integrál. 4. Závěr a závěry. Je tedy zřejmé, že při výpočtu určitých integrálů pomocí kvadraturních vzorců, a zejména pomocí Čebyševova vzorce, nám to nedává přesnou hodnotu, ale pouze přibližnou. Abyste se co nejvíce přiblížili spolehlivé hodnotě integrálu, musíte umět správně zvolit metodu a vzorec, podle kterého bude výpočet proveden. Taky...