Obdélníkový hranol - Hypermarket znalostí. Objem rovnoběžnostěnu: základní vzorce a příklady úloh

V této lekci si každý bude moci prostudovat téma „Obdélníková krabice“. Na začátku lekce si zopakujeme, co je to libovolný a rovný rovnoběžnostěn, připomeneme si vlastnosti jejich protilehlých ploch a úhlopříček rovnoběžnostěnu. Poté se zamyslíme nad tím, co je kvádr a probereme jeho hlavní vlastnosti.

Téma: Kolmost přímek a rovin

Lekce: Kvádr

Plocha složená ze dvou stejných rovnoběžníků ABCD a A 1 B 1 C 1 D 1 a čtyř rovnoběžníků ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 se nazývá rovnoběžnostěn(Obr. 1).

Rýže. 1 rovnoběžník

To znamená: máme dva stejné rovnoběžníky ABCD a A 1 B 1 C 1 D 1 (základny), leží v rovnoběžných rovinách tak, že boční žebra AA 1, BB 1, DD 1, SS 1 jsou paralelní. Tak se nazývá plocha složená z rovnoběžníků rovnoběžnostěn.

Povrch rovnoběžnostěnu je tedy součtem všech rovnoběžníků, které tvoří rovnoběžnostěn.

1. Opačné strany rovnoběžnostěnu jsou rovnoběžné a stejné.

(čísla jsou stejná, to znamená, že je lze kombinovat překrytím)

Například:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (stejné rovnoběžníky podle definice),

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (protože AA 1 B 1 B a DD 1 C 1 C jsou opačné strany rovnoběžnostěnu),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (protože AA 1 D 1 D a BB 1 C 1 C jsou opačné strany rovnoběžnostěnu).

2. Úhlopříčky kvádru se protínají v jednom bodě a tento bod půlí.

Úhlopříčky rovnoběžnostěnu AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B se protínají v jednom bodě O a každá diagonála je tímto bodem rozdělena na polovinu (obr. 2).

Rýže. 2 Úhlopříčky kvádru protínají a půlí průsečík.

3. K dispozici jsou tři čtveřice stejných a rovnoběžných hran rovnoběžnostěnu: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Definice. Rovnoběžnostěn se nazývá rovný, pokud jsou jeho boční hrany kolmé k základnám.

Boční hrana AA 1 nechť je kolmá k základně (obr. 3). To znamená, že přímka AA 1 je kolmá k přímkám AD a AB, které leží v rovině podstavy. A proto obdélníky leží v bočních plochách. A základny jsou libovolné rovnoběžníky. Označme, ∠BAD = φ, úhel φ může být libovolný.

Rýže. 3 Pravé pole

Pravá krabice je tedy krabice, jejíž boční okraje jsou kolmé k základnám krabice.

Definice. Kvádr se nazývá obdélníkový, jsou-li jeho boční okraje kolmé k základně. Základy jsou obdélníky.

Kvádr АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 je obdélníkový (obr. 4), pokud:

1. AA 1 ⊥ ABCD (boční hrana je kolmá k rovině podstavy, tedy rovný rovnoběžnostěn).

2. ∠BAD = 90°, tj. základna je obdélník.

Rýže. 4 Kvádr

Obdélníková krabice má všechny vlastnosti libovolné krabice. Existují však další vlastnosti, které jsou odvozeny z definice kvádru.

Tak, kvádr je rovnoběžnostěn, jehož boční hrany jsou kolmé k základně. Základem kvádru je obdélník.

1. V kvádru je všech šest ploch obdélníky.

ABCD a A 1 B 1 C 1 D 1 jsou podle definice obdélníky.

2. Boční žebra jsou kolmá k základně. Takže všechno boční plochy kvádr - obdélníky.

3. Všechny dihedrální úhly kvádru jsou pravé úhly.

Uvažujme například úhel ohybu pravoúhlého rovnoběžnostěnu s hranou AB, tj. úhel ohybu mezi rovinami ABB 1 a ABC.

AB je hrana, bod A 1 leží v jedné rovině - v rovině ABB 1 a bod D ve druhé - v rovině A 1 B 1 C 1 D 1. Potom lze uvažovaný dihedrální úhel také označit takto: ∠А 1 АВD.

Vezměte bod A na hraně AB. AA 1 je kolmá k hraně AB v rovině ABB-1, AD je kolmá k hraně AB v rovině ABC. ∠A 1 AD je tedy lineární úhel daného dihedrálního úhlu. ∠A 1 AD \u003d 90 °, což znamená, že úhel vzepětí na okraji AB je 90 °.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Podobně je dokázáno, že jakékoli úhly vzepětí pravoúhlého rovnoběžnostěnu jsou správné.

Druhá mocnina úhlopříčky kvádru se rovná součtu čtverců jeho tří rozměrů.

Poznámka. Délky tří hran vycházejících ze stejného vrcholu kvádru jsou rozměry kvádru. Někdy se jim říká délka, šířka, výška.

Dáno: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - pravoúhlý rovnoběžnostěn (obr. 5).

Dokázat: .

Rýže. 5 Kvádr

Důkaz:

Přímka CC1 je kolmá k rovině ABC, a tedy k přímce AC. Takže trojúhelník CC 1 A je pravoúhlý trojúhelník. Podle Pythagorovy věty:

Zvážit pravoúhlý trojuhelník ABC. Podle Pythagorovy věty:

Ale BC a AD jsou opačné strany obdélníku. Tedy př. n. l. = n. l. Pak:

Protože , A , Že. Protože CC 1 = AA 1, pak to, co bylo požadováno, bylo prokázáno.

Úhlopříčky pravoúhlého rovnoběžnostěnu jsou stejné.

Označme rozměry rovnoběžnostěnu ABC jako a, b, c (viz obr. 6), pak AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Studenti se často rozhořčeně ptají: "Jak to pro mě bude užitečné v životě?". Na jakékoli téma každého předmětu. Výjimkou není ani téma o objemu rovnoběžnostěnu. A tady je prostě možné říct: "To se bude hodit."

Jak například zjistit, zda se balík vejde do schránky? Samozřejmě si můžete vybrat ten správný metodou pokus-omyl. Co když taková možnost není? Pak přijdou na pomoc výpočty. Znáte-li kapacitu krabice, můžete vypočítat objem zásilky (alespoň přibližně) a odpovědět na otázku.

Rovnoběžník a jeho typy

Pokud doslovně přeložíme jeho název ze starověké řečtiny, ukáže se, že se jedná o postavu skládající se z rovnoběžných rovin. Existují takové ekvivalentní definice rovnoběžnostěnu:

hranol se základnou ve tvaru rovnoběžníku;
mnohostěnu, jehož každá plocha je rovnoběžník.

Jeho typy se rozlišují podle toho, která postava leží na jeho základně a jak jsou nasměrována boční žebra. Obecně se mluví o šikmý rovnoběžnostěn jehož základna a všechny plochy jsou rovnoběžníky. Pokud se boční plochy předchozího pohledu stanou obdélníky, bude nutné jej již zavolat Přímo. A v obdélníkový a základna má také úhly 90º.

Navíc se v geometrii snaží znázornit ten druhý takovým způsobem, že je patrné, že všechny hrany jsou rovnoběžné. Zde je mimochodem pozorován hlavní rozdíl mezi matematiky a umělci. Pro posledně jmenované je důležité přenášet tělo v souladu se zákonem perspektivy. A v tomto případě je rovnoběžnost hran zcela neviditelná.

O zavedené notaci

V níže uvedených vzorcích platí označení uvedená v tabulce.

Vzorce pro šikmou krabici

První a druhý pro oblasti:

Třetí je pro výpočet objemu krabice:

Protože základem je rovnoběžník, pro výpočet jeho plochy budete muset použít příslušné výrazy.

Vzorce pro kvádr

Podobně jako v prvním odstavci - dva vzorce pro oblasti:

A ještě jeden pro objem:

První úkol

Stav. Je dán pravoúhlý rovnoběžnostěn, jehož objem je k nalezení. Známá je úhlopříčka - 18 cm - a to, že svírá s rovinou boční plochy respektive boční hrany úhly 30 a 45 stupňů.

Řešení. Chcete-li odpovědět na otázku problému, musíte zjistit všechny strany ve třech pravoúhlých trojúhelníkech. Poskytnou potřebné hodnoty hran, pro které musíte vypočítat objem.

Nejprve musíte zjistit, kde je úhel 30º. Chcete-li to provést, musíte nakreslit úhlopříčku boční plochy ze stejného vrcholu, ze kterého byla nakreslena hlavní úhlopříčka rovnoběžníku. Úhel mezi nimi bude takový, jaký potřebujete.

První trojúhelník, který dá jednu ze stran základny, bude následující. Obsahuje požadovanou stranu a dvě nakreslené úhlopříčky. Je obdélníkový. Nyní musíte použít poměr protilehlé nohy (strana základny) a přepony (úhlopříčka). Je rovna sinusu 30º. To znamená, že neznámá strana základny bude určena jako úhlopříčka vynásobená sinem 30º nebo ½. Nechť je označen písmenem „a“.

Druhý bude trojúhelník obsahující známou úhlopříčku a hranu, se kterou tvoří 45º. Je také obdélníkový a můžete opět použít poměr nohy k přeponě. Jinými slovy, boční hrana k diagonále. Je rovna kosinu 45º. To znamená, že "c" se vypočítá jako součin úhlopříčky a kosinusu 45º.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).

Ve stejném trojúhelníku musíte najít další nohu. To je nutné k tomu, abychom pak mohli vypočítat třetí neznámou - "in". Nechť je označen písmenem „x“. Je snadné vypočítat pomocí Pythagorovy věty:

x \u003d √ (18 2 - (9 √ 2) 2) \u003d 9 √ 2 (cm).

Nyní musíme zvážit další pravoúhlý trojúhelník. Již obsahuje slavné večírky"s", "x" a ten, který je třeba započítat, "in":

c \u003d √ ((9 √ 2) 2 - 9 2 \u003d 9 (cm).

Všechny tři veličiny jsou známy. Můžete použít vzorec pro objem a vypočítat jej:

V \u003d 9 * 9 * 9√2 \u003d 729√2 (cm 3).

Odpovědět: objem kvádru je 729√2 cm 3 .

Druhý úkol

Stav. Najděte objem rovnoběžnostěnu. Zná strany rovnoběžníku, který leží na základně, 3 a 6 cm, a také jeho ostrý úhel - 45º. Boční žebro má sklon k základně 30º a rovná se 4 cm.

Řešení. Chcete-li odpovědět na otázku problému, musíte vzít vzorec, který byl napsán pro svazek šikmý rovnoběžnostěn. Obě veličiny jsou v něm ale neznámé.

Oblast základny, tedy rovnoběžníku, bude určena vzorcem, ve kterém musíte vynásobit známé strany a sinus ostrého úhlu mezi nimi.

S o \u003d 3 * 6 sin 45º \u003d 18 * (√2) / 2 \u003d 9 √2 (cm 2).

Druhou neznámou je výška. Lze jej nakreslit z kteréhokoli ze čtyř vrcholů nad základnou. To lze nalézt z pravoúhlého trojúhelníku, ve kterém výška je noha a boční hrana je přepona. V tomto případě leží proti neznámé výšce úhel 30°. Takže můžete použít poměr nohy k přeponě.

n \u003d 4 * sin 30º \u003d 4 * 1/2 \u003d 2.

Nyní jsou všechny hodnoty známé a můžete vypočítat objem:

V \u003d 9 √2 * 2 \u003d 18 √2 (cm 3).

Odpovědět: objem je 18 √2 cm 3 .

Třetí úkol

Stav. Najděte objem rovnoběžnostěnu, pokud je známo, že je přímka. Strany jeho základny tvoří rovnoběžník a jsou rovny 2 a 3 cm. Ostrý roh mezi nimi 60º. Menší úhlopříčka kvádru se rovná větší úhlopříčce základny.

Řešení. Abychom zjistili objem kvádru, použijeme vzorec se základní plochou a výškou. Obě veličiny jsou neznámé, ale lze je snadno vypočítat. První z nich je výška.

Protože menší úhlopříčka kvádru je stejně velká jako větší základna, lze je označit stejným písmenem d. Největší úhel rovnoběžníku je 120º, protože tvoří 180º s ostrým. Nechť je druhá úhlopříčka základny označena písmenem „x“. Nyní pro dvě úhlopříčky základny lze napsat kosinové věty:

d 2 \u003d a 2 + za 2 - 2av cos 120º,

x 2 \u003d a 2 + ve 2 - 2ab cos 60º.

Hledání hodnot bez čtverců nedává smysl, od té doby budou opět zvýšeny na druhou mocninu. Po nahrazení dat se ukáže:

d 2 \u003d 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º \u003d 4 + 9 + 12 * ½ \u003d 19,

x 2 \u003d a 2 + za 2 - 2ab cos 60º \u003d 4 + 9 - 12 * ½ \u003d 7.

Nyní výška, která je zároveň boční hranou kvádru, bude noha v trojúhelníku. Přepona bude známá úhlopříčka tělo a druhá noha - "x". Můžete napsat Pythagorovu větu:

n 2 \u003d d 2 - x 2 \u003d 19 - 7 \u003d 12.

Tedy: n = √12 = 2√3 (cm).

Nyní je druhá neznámá veličina plocha základny. Lze jej vypočítat pomocí vzorce uvedeného v druhém problému.

S o \u003d 2 * 3 sin 60º \u003d 6 * √3/2 \u003d 3 √3 (cm 2).

Spojením všeho do objemového vzorce dostaneme:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).

Odpověď: V \u003d 18 cm 3.

Čtvrtý úkol

Stav. Je nutné zjistit objem rovnoběžnostěnu, který splňuje následující podmínky: základna je čtverec o straně 5 cm; boční plochy jsou kosočtverce; jeden z vrcholů nad základnou je stejně vzdálený od všech vrcholů ležících na základně.

Řešení. Nejprve se musíte vypořádat se stavem. S prvním odstavcem nejsou žádné otázky o náměstí. Druhá, o kosočtvercích, objasňuje, že rovnoběžnostěn je nakloněný. Navíc jsou všechny jeho okraje rovny 5 cm, protože strany kosočtverce jsou stejné. A ze třetího je jasné, že tři úhlopříčky z něj nakreslené jsou stejné. Jedná se o dva, které leží na bočních stranách, a poslední je uvnitř rovnoběžnostěnu. A tyto úhlopříčky se rovnají okraji, to znamená, že mají také délku 5 cm.

K určení objemu budete potřebovat vzorec napsaný pro nakloněný rovnoběžnostěn. Opět v něm nejsou žádná známá množství. Plochu základny je však snadné vypočítat, protože je to čtverec.

S o \u003d 5 2 \u003d 25 (cm 2).

Trochu obtížnější je případ s výškou. Bude takový ve třech obrazcích: rovnoběžnostěn, čtyřboká pyramida a rovnoramenný trojúhelník. Měla by být použita poslední okolnost.

Protože se jedná o výšku, jedná se o nohu v pravoúhlém trojúhelníku. Přepona v něm bude známá hrana a druhá větev se rovná polovině úhlopříčky čtverce (výška je také medián). A úhlopříčku základny lze snadno najít:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).

Výšku je třeba vypočítat jako rozdíl druhého stupně hrany a druhé mocniny poloviny úhlopříčky a nezapomeňte extrahovat druhou odmocninu:

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).

V \u003d 25 * 2,5 √2 \u003d 62,5 √2 (cm 3).

Odpovědět: 62,5 √2 (cm 3).

kvádr

Kvádr je pravý kvádr, jehož všechny plochy jsou obdélníky.

Stačí se rozhlédnout kolem sebe a uvidíme, že předměty kolem nás mají tvar podobný kvádru. Mohou se lišit v barvě, mít spoustu dalších detailů, ale pokud se tyto jemnosti zavrhnou, pak můžeme říci, že například skříň, krabice atd., mají přibližně stejný tvar.

S pojmem pravoúhlý rovnoběžnostěn se setkáváme téměř každý den! Rozhlédněte se a řekněte mi, kde vidíte obdélníkové krabice? Podívejte se na knihu, protože má přesně takový tvar! Cihla, krabička od sirek, dřevěný blok mají stejný tvar a dokonce jste právě teď uvnitř obdélníkového kvádru, protože třída je nejjasnější interpretací tohoto geometrický obrazec.

Cvičení: Jaké příklady rovnoběžnostěnu můžete vyjmenovat?

Podívejme se blíže na kvádr. A co vidíme?

Nejprve vidíme, že tato postava je tvořena šesti obdélníky, které jsou plochami kvádru;

Za druhé, kvádr má osm vrcholů a dvanáct hran. Hrany kvádru jsou strany jeho ploch a vrcholy kvádru jsou vrcholy ploch.

Cvičení:

1. Jak se jmenuje každá z ploch pravoúhlého rovnoběžnostěnu? 2. Díky jakým parametrům lze měřit paralelogram? 3. Definujte protilehlé plochy.

Typy rovnoběžnostěnů

Ale rovnoběžnostěny nejsou jen pravoúhlé, ale mohou být i rovné a nakloněné a přímky se dělí na pravoúhlé, nepravoúhlé a krychle.

Úkol: Podívejte se na obrázek a řekněte, které rovnoběžnostěny jsou na něm znázorněny. Jak se kvádr liší od krychle?

Vlastnosti kvádru

Obdélníkový hranol má řadu důležitých vlastností:

Za prvé, čtverec úhlopříčky tohoto geometrického útvaru se rovná součtu čtverců jeho tří hlavních parametrů: výšky, šířky a délky.

Za druhé, všechny jeho čtyři úhlopříčky jsou naprosto totožné.

Za třetí, pokud jsou všechny tři parametry rovnoběžnostěnu stejné, to znamená, že délka, šířka a výška jsou stejné, pak se takový rovnoběžnostěn nazývá krychle a všechny jeho plochy se budou rovnat stejnému čtverci.

Cvičení

1. Má pravoúhlý rovnoběžnostěn stejné plochy? Pokud existují, ukažte je na obrázku. 2. Z čeho geometrické tvary jsou plochy pravoúhlého rovnoběžnostěnu? 3. Jaké je uspořádání stejných tváří vůči sobě? 4. Pojmenujte počet dvojic stejných ploch tohoto obrázku. 5. Najděte hrany v kvádru, které označují jeho délku, šířku, výšku. Kolik jste jich napočítali?

Úkol

Aby Tanya krásně zařídila narozeninový dárek pro svou matku, vzala krabici ve tvaru obdélníkového hranolu. Velikost této krabičky je 25cm*35cm*45cm. Aby byl tento balíček krásný, Tanya se rozhodla jej pokrýt krásným papírem, jehož cena je 3 hřivny za 1 dm2. Kolik peněz musíte utratit za balicí papír?

Věděli jste, že slavný iluzionista David Blaine v rámci experimentu strávil 44 dní ve skleněné krabici zavěšené nad Temží. Těchto 44 dní nejedl, ale pouze pil vodu. Ve své dobrovolné věznici si David vzal pouze psací potřeby, polštář a matraci a kapesníky.