Na základně hranolu může ležet jakýkoli mnohoúhelník - trojúhelník, čtyřúhelník atd. Obě základny jsou přesně stejné a podle toho, kterými jsou úhly rovnoběžných ploch navzájem spojeny, jsou vždy rovnoběžné. Na základně pravidelného hranolu leží pravidelný mnohoúhelník, tedy takový, jehož všechny strany jsou stejné. V přímém hranolu jsou hrany mezi bočními plochami kolmé k základně. V tomto případě může na základně přímého hranolu ležet mnohoúhelník s libovolným počtem úhlů. Hranol, jehož základnou je rovnoběžník, se nazývá rovnoběžnostěn. Obdélník je speciální případ rovnoběžníku. Pokud tato postava leží na základně, a boční plochy umístěn v pravém úhlu k základně, rovnoběžnostěn se nazývá obdélníkový. Druhý název tohoto geometrického tělesa je obdélníkový.

Jak vypadá

Obdélníkové hranoly obklopené moderní muž docela málo. Jedná se například o obvyklou lepenku zpod bot, počítačové komponenty atd. Rozhlédni se. I v místnosti jistě uvidíte mnoho pravoúhlých hranolů. Toto je počítačová skříň, knihovna, lednička, skříňka a mnoho dalších věcí. Forma je mimořádně oblíbená především proto, že umožňuje co nejefektivněji využít prostor, ať už dekorujete interiér nebo balíte věci do kartonu před stěhováním.

Vlastnosti pravoúhlého hranolu

Obdélníkový hranol má řadu specifických vlastností. Jakákoli dvojice ploch může sloužit jako její, protože všechny sousední plochy jsou vůči sobě umístěny ve stejném úhlu a tento úhel je 90 °. Objem a povrch pravoúhlého hranolu je snazší vypočítat než kterýkoli jiný. Vezměte si jakýkoli předmět, který má tvar pravoúhlého hranolu. Změřte jeho délku, šířku a výšku. Pro zjištění objemu stačí tato měření vynásobit. To znamená, že vzorec vypadá takto: V \u003d a * b * h, kde V je objem, aab jsou strany základny, h je výška, která se shoduje s bočním okrajem tohoto geometrického tělesa. Základní plocha se vypočítá podle vzorce S1=a*b. Chcete-li získat boční plochu, musíte nejprve vypočítat obvod základny pomocí vzorce P=2(a+b) a poté jej vynásobit výškou. Ukáže se vzorec S2=P*h=2(a+b)*h. Vypočítat celoplošný U obdélníkového hranolu přidejte dvojnásobek plochy základny a plochy bočního povrchu. Vzorec je S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

Přednáška: Hranol, jeho základny, boční hrany, výška, boční povrch; rovný hranol; pravý hranol

Hranol

Pokud jste se s námi učili ploché postavy z minulých otázek to znamená, že jsou zcela připraveni studovat trojrozměrné postavy. První těleso, které se naučíme, bude hranol.

Hranol- Toto je trojrozměrné tělo, které má velký počet tváří.

Tento obrázek má dva polygony na základnách, které jsou umístěny v rovnoběžných rovinách a všechny boční plochy jsou ve tvaru rovnoběžníku.

Obr. 1. Obr. 2

Pojďme tedy zjistit, z čeho se hranol skládá. Chcete-li to provést, věnujte pozornost obr.1

Jak již bylo zmíněno dříve, hranol má dvě základny, které jsou vzájemně rovnoběžné - jedná se o pětiúhelníky ABCEF a GMNJK. Navíc jsou tyto polygony navzájem stejné.

Všechny ostatní plochy hranolu se nazývají boční plochy - skládají se z rovnoběžníků. Například BMNC, AGKF, FKJE atd.

Společný povrch všech bočních ploch se nazývá boční povrch.

Každá dvojice sousedních ploch má společnou stranu. Taková společná strana se nazývá hrana. Například MB, CE, AB atd.

Pokud jsou horní a spodní základny hranolu spojeny kolmicí, pak se tomu bude říkat výška hranolu. Na obrázku je výška označena jako přímka OO 1.

Existují dva hlavní typy hranolů: šikmé a rovné.

Li boční žebra hranoly nejsou kolmé k podstavám, pak se takový hranol nazývá šikmý.

Pokud jsou všechny hrany hranolu kolmé k podstavám, pak se takový hranol nazývá rovný.

Pokud jsou základny hranolu pravidelné mnohoúhelníky (ty, které mají stejné strany), pak se takový hranol nazývá opravit.

Pokud základny hranolu nejsou vzájemně rovnoběžné, pak se takový hranol bude nazývat zkrácený.

Můžete to vidět na obr.2

Vzorce pro zjištění objemu, plochy hranolu

Pro zjištění objemu existují tři základní vzorce. Liší se od sebe ve své aplikaci:

Podobné vzorce pro nalezení plochy povrchu hranolu:

Mnohostěn

Hlavním předmětem studia stereometrie jsou trojrozměrná tělesa. Tělo je část prostoru ohraničená nějakou plochou.

mnohostěn Těleso, jehož povrch se skládá z konečného počtu rovinných mnohoúhelníků, se nazývá. Mnohostěn se nazývá konvexní, pokud leží na jedné straně roviny každého plochého mnohoúhelníku na jeho povrchu. Společná část takové roviny a plocha mnohostěnu se nazývá okraj. Plochy konvexního mnohostěnu jsou ploché konvexní mnohoúhelníky. Strany tváří se nazývají okraje mnohostěnu a vrcholy vrcholy mnohostěnu.

Například krychle se skládá ze šesti čtverců, které jsou jejími plochami. Obsahuje 12 hran (strany čtverců) a 8 vrcholů (vrcholy čtverců).

Nejjednoduššími mnohostěny jsou hranoly a jehlany, které budeme dále studovat.

Hranol

Definice a vlastnosti hranolu

hranol se nazývá mnohostěn sestávající ze dvou plochých mnohoúhelníků ležících v rovnoběžných rovinách kombinovaných paralelním posunem a všech segmentů spojujících odpovídající body těchto mnohoúhelníků. Polygony se nazývají hranolové základny, a segmenty spojující odpovídající vrcholy polygonů jsou boční hrany hranolu.

Výška hranolu nazývá vzdálenost mezi rovinami jejích základen (). Úsek spojující dva vrcholy hranolu, které nepatří ke stejné ploše, se nazývá hranolová úhlopříčka(). Hranol se nazývá n-uhlí je-li jeho základna n-úhelník.

Každý hranol má následující vlastnosti, které vyplývají ze skutečnosti, že základny hranolu jsou spojeny paralelním posunem:

1. Základny hranolu jsou stejné.

2. Boční hrany hranolu jsou rovnoběžné a stejné.

Povrch hranolu je tvořen podstavci a boční povrch. Boční plochu hranolu tvoří rovnoběžníky (vyplývá to z vlastností hranolu). Plocha boční plochy hranolu je součtem ploch bočních ploch.

rovný hranol

Hranol se nazývá rovný jsou-li jeho boční hrany kolmé k podstavám. Jinak se nazývá hranol šikmý.

Plochy rovného hranolu jsou obdélníky. Výška rovného hranolu se rovná jeho bočním plochám.

plný hranolový povrch je součet plochy bočního povrchu a ploch základen.

Správný hranol nazývaný přímý hranol pravidelný mnohoúhelník na základně.

Věta 13.1. Plocha boční plochy rovného hranolu se rovná součinu obvodu a výšky hranolu (nebo ekvivalentně boční hraně).

Důkaz. Boční plochy rovného hranolu jsou obdélníky, jejichž základnami jsou strany mnohoúhelníků na základnách hranolu a výškami jsou boční hrany hranolu. Potom, podle definice, plocha bočního povrchu je:

,

kde je obvod podstavy přímého hranolu.

Rovnoběžné

Leží-li rovnoběžníky na základnách hranolu, pak se nazývá rovnoběžnostěn. Všechny strany rovnoběžnostěnu jsou rovnoběžníky. V tomto případě jsou protilehlé strany rovnoběžnostěnu rovnoběžné a stejné.

Věta 13.2. Úhlopříčky kvádru se protínají v jednom bodě a průsečík je rozdělen na polovinu.

Důkaz. Uvažujme například dvě libovolné úhlopříčky a . Protože strany rovnoběžnostěnu jsou rovnoběžníky, pak a , což znamená, že podle T asi dvě přímky rovnoběžné s třetím . Navíc to znamená, že přímky a leží ve stejné rovině (rovině). Tato rovina protíná rovnoběžné roviny a podél rovnoběžných čar a . Čtyřúhelník je tedy rovnoběžník a podle vlastnosti rovnoběžníku se jeho úhlopříčky a protínají a průsečík je rozdělen na polovinu, což se mělo dokázat.

Pravý rovnoběžnostěn, jehož základna je obdélník, se nazývá kvádr. Na kvádr všechny plochy jsou obdélníky. Délky nerovnoběžných hran pravoúhlého rovnoběžnostěnu se nazývají jeho lineární rozměry (měření). K dispozici jsou tři velikosti (šířka, výška, délka).

Věta 13.3. V kvádru se čtverec libovolné úhlopříčky rovná součtu čtverců jeho tří rozměrů (prokázáno dvojitou aplikací pythagorejského T).

Pravoúhlý rovnoběžnostěn, ve kterém jsou všechny hrany stejné, se nazývá krychle.

Úkoly

13.1 Kolik úhlopříček dělá n- uhlíkový hranol

13.2 V nakloněném trojúhelníkovém hranolu jsou vzdálenosti mezi bočními hranami 37, 13 a 40. Najděte vzdálenost mezi větší boční plochou a protilehlou boční hranou.

13.3Skrze stranu spodní základny správné trojboký hranol je nakreslena rovina, která protíná boční plochy podél segmentů, přičemž úhel mezi nimi je . Najděte úhel sklonu této roviny k základně hranolu.

Vaše soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.

Shromažďování a používání osobních údajů

Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.

Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.

Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.

Jaké osobní údaje shromažďujeme:

• Když odešlete žádost na stránce, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, adresy E-mailem atd.

Jak používáme vaše osobní údaje:

• Shromážděno námi osobní informace nám umožňuje kontaktovat vás a informovat vás o jedinečných nabídkách, akcích a dalších akcích a připravovaných akcích.
• Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých upozornění a zpráv.
• Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
• Pokud se zúčastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné pobídky, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.

Zpřístupnění třetím stranám

Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.

Výjimky:

• V případě, že je nutné - v souladu se zákonem, soudním řádem, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí státních orgánů na území Ruské federace - zveřejnit Vaše osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud usoudíme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné z důvodu bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiného veřejného zájmu.
• V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné třetí straně, nástupci.

Ochrana osobních údajů

Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, jakož i před neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.

Zachování vašeho soukromí na úrovni společnosti

Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům postupy ochrany osobních údajů a zabezpečení a přísně vynucujeme postupy ochrany osobních údajů.

Definice 1. Prizmatický povrch
Věta 1. O rovnoběžných řezech prizmatické plochy
Definice 2. Kolmý řez hranolovou plochou
Definice 3. Hranol
Definice 4. Výška hranolu
Definice 5. Přímý hranol
Věta 2. Plocha bočního povrchu hranolu

Rovnoběžník:
Definice 6. Rovnoběžník
Věta 3. O průsečíku úhlopříček rovnoběžnostěnu
Definice 7. Pravý rovnoběžnostěn
Definice 8. Obdélníkový rovnoběžnostěn
Definice 9. Rozměry kvádru
Definice 10. Kostka
Definice 11. Kosočtverec
Věta 4. O úhlopříčkách pravoúhlého rovnoběžnostěnu
Věta 5. Objem hranolu
Věta 6. Objem přímého hranolu
Věta 7. Objem pravoúhlého rovnoběžnostěnu

hranol nazývá se mnohostěn, ve kterém dvě plochy (základny) leží v rovnoběžných rovinách a hrany, které v těchto plochách neleží, jsou vzájemně rovnoběžné.
Tváře jiné než základny se nazývají postranní.
Strany bočních ploch a základny se nazývají hrany hranolu, se nazývají konce hran vrcholy hranolu. Postranní žebra nazývané hrany, které nepatří k základnám. Spojení bočních ploch se nazývá boční povrch hranolu a spojení všech tváří se nazývá celý povrch hranolu. Výška hranolu nazývá se kolmice pokleslá z bodu horní základny do roviny spodní základny nebo délka této kolmice. rovný hranol tzv. hranol, ve kterém jsou boční hrany kolmé k rovinám podstav. opravit tzv. přímý hranol (obr. 3), na jehož základně leží pravidelný mnohoúhelník.

Označení:
l - boční žebro;
P - obvod základny;
S o - základní plocha;
H - výška;
P ^ - obvod kolmého řezu;
S b - plocha bočního povrchu;
V - objem;
S p - plocha celkového povrchu hranolu.

V=SH S p \u003d Sb + 2S o Sb = P^l

Definice 1 . Prizmatická plocha je obrazec tvořený částmi několika rovin rovnoběžných s jednou přímkou ​​ohraničených těmi přímkami, podél kterých se tyto roviny postupně protínají jedna s druhou *; tyto čáry jsou navzájem rovnoběžné a nazývají se okraje hranolové plochy.
*Předpokládá se, že každé dvě po sobě jdoucí roviny se protínají a že poslední rovina protíná první.

Věta 1 . Řezy prizmatického povrchu rovinami navzájem rovnoběžnými (ale ne rovnoběžnými s jeho hranami) jsou stejné mnohoúhelníky.
Nechť ABCDE a A"B"C"D"E" jsou řezy hranolové plochy dvěma rovnoběžnými rovinami. K ověření, že jsou tyto dva mnohoúhelníky stejné, stačí ukázat, že trojúhelníky ABC a A"B"C" jsou stejné. a mají stejný směr otáčení a že totéž platí pro trojúhelníky ABD a A"B"D", ABE a A"B"E". Ale odpovídající strany těchto trojúhelníků jsou rovnoběžné (například AC je rovnoběžné s A "C") jako čáry průsečíku určité roviny se dvěma rovnoběžnými rovinami; z toho vyplývá, že tyto strany jsou si rovny (např. AC se rovná A"C") jako opačné strany rovnoběžník a že úhly svírané těmito stranami jsou stejné a mají stejný směr.

Definice 2 . Kolmý řez hranolovou plochou je řez touto plochou rovinou kolmou k jejím okrajům. Na základě předchozí věty budou všechny kolmé řezy stejné prizmatické plochy stejné polygony.

Definice 3 . Hranol je mnohostěn ohraničený hranolovou plochou a dvěma rovinami navzájem rovnoběžnými (ale ne rovnoběžnými s okraji hranolové plochy)
Tváře ležící v těchto posledních rovinách se nazývají hranolové základny; tváře patřící k prizmatickému povrchu - boční plochy; okraje hranolové plochy - boční hrany hranolu. Na základě předchozí věty jsou základny hranolu stejné polygony. Všechny boční plochy hranolu rovnoběžníky; všechny boční hrany jsou si navzájem rovné.
Je zřejmé, že pokud je velikost a směr dána základna hranolu ABCDE a jedna z hran AA", pak je možné hranol sestrojit nakreslením hran BB", CC", .. rovných a rovnoběžných s okraj AA“.

Definice 4 . Výška hranolu je vzdálenost mezi rovinami jeho základen (HH“).

Definice 5 . Hranol se nazývá přímka, pokud jsou jeho základny kolmé řezy hranolové plochy. V tomto případě je výška hranolu samozřejmě jeho boční žebro; boční hrany budou obdélníky.
Hranoly lze klasifikovat podle počtu bočních ploch, stejný počet strany mnohoúhelníku, který slouží jako jeho základna. Hranoly tedy mohou být trojúhelníkové, čtyřboké, pětiúhelníkové atd.

Věta 2 . Plocha bočního povrchu hranolu se rovná součinu boční hrany a obvodu kolmého řezu.
Nechť ABCDEA"B"C"D"E" je daný hranol a abcde je jeho kolmý řez, takže úsečky ab, bc, .. jsou kolmé k jeho bočním hranám. Plocha ABA"B" je rovnoběžník; jeho plocha se rovná součinu základny AA" do výšky, která odpovídá ab; plocha čela BCV "C" se rovná součinu základny BB" o výšku bc atd. Proto je boční plocha (tj. součet ploch bočních ploch) rovná součinu boční hrany, jinými slovy, celkové délce segmentů AA", BB", .., součtem ab+bc+cd+de+ea.