roh mezi přímkami v prostoru budeme nazývat libovolný ze sousedních úhlů tvořených dvěma přímkami vedenými libovolným bodem rovnoběžným s daty.

Nechť jsou v prostoru uvedeny dvě rovné čáry:

Je zřejmé, že úhel φ mezi čarami lze brát jako úhel mezi jejich směrovými vektory a . Od , pak podle vzorce pro kosinus úhlu mezi vektory dostaneme

Podmínky rovnoběžnosti a kolmosti dvou přímek jsou ekvivalentní podmínkám rovnoběžnosti a kolmosti jejich směrových vektorů a:

Dvě rovné jsou paralelní právě tehdy, jsou-li jejich příslušné koeficienty poměrné, tzn. l 1 paralelní l 2 právě tehdy, když jsou rovnoběžné .

Dvě rovné kolmý právě tehdy, je-li součet součinů odpovídajících koeficientů roven nule: .

Na cíl mezi přímkou ​​a rovinou

Nechte čáru d- není kolmá k rovině θ;
d′− průmět přímky d k rovině θ;
Nejmenší z úhlů mezi přímkami d A d"zavoláme úhel mezi přímkou ​​a rovinou.
Označme to jako φ=( d,θ)
Li d⊥θ , pak ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− pravoúhlý systém souřadnice.
Rovinná rovnice:

θ: Sekera+Podle+cz+D=0

Uvažujeme, že přímka je dána bodem a směrovým vektorem: d[M 0,p→]
Vektor n→(A,B,C)⊥θ
Pak zbývá zjistit úhel mezi vektory n→ a p→, označte to jako γ=( n→,p→).

Pokud úhel γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Je-li úhel γ>π/2 , pak požadovaný úhel φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Pak, úhel mezi přímkou ​​a rovinou lze vypočítat pomocí vzorce:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23

Otázka 29. Pojem kvadratické formy. Znaménko-určitost kvadratických forem.

Kvadratický tvar j (x 1, x 2, ..., x n) n reálné proměnné x 1, x 2, ..., x n se nazývá součet tvaru
, (1)

Kde aij jsou některá čísla nazývaná koeficienty. Bez ztráty obecnosti to můžeme předpokládat aij = a ji.

Kvadratická forma se nazývá platný, Li aij О GR. Matice kvadratického tvaru se nazývá matice složená z jejích koeficientů. Kvadratická forma (1) odpovídá jedinečné symetrické matici
tj. A T = A. Proto lze kvadratickou formu (1) zapsat v maticovém tvaru j ( X) = x T Ah, Kde x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

A naopak jakákoli symetrická matice (2) odpovídá jedinečné kvadratické formě až po zápis proměnných.

Hodnost kvadratické formy se nazývá hodnost jeho matice. Kvadratická forma se nazývá nedegenerovaný, pokud je jeho matice nesingulární A. (připomeňme, že matrice A se nazývá nedegenerovaný, pokud je jeho determinant nenulový). Jinak je kvadratická forma degenerovaná.

pozitivní definitivní(nebo přísně pozitivní), pokud

j ( X) > 0 , pro každého X = (X 1 , X 2 , …, x n), až na X = (0, 0, …, 0).

Matice A kladně určitý kvadratický tvar j ( X) se také nazývá pozitivně určitý. Proto kladně definitní kvadratická forma odpovídá jedinečné pozitivně definitní matici a naopak.

Kvadratická forma (1) se nazývá negativní definitivní(nebo přísně negativní), pokud

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), až na X = (0, 0, …, 0).

Podobně jako výše, záporně definitní kvadratická matice se také nazývá záporně definitní.

Proto kladně (záporně) určitá kvadratická forma j ( X) dosáhne minimální (maximální) hodnoty j ( X*) = 0 pro X* = (0, 0, …, 0).

Všimněte si, že většina kvadratických forem není znaménko-definitivní, to znamená, že nejsou ani pozitivní, ani negativní. Takové kvadratické formy mizí nejen v počátku souřadnicového systému, ale také v jiných bodech.

Když n> 2, jsou vyžadována speciální kritéria pro kontrolu znaménkové určitosti kvadratické formy. Zvažme je.

Hlavní nezletilí kvadratické formy se nazývají nezletilé:

to znamená, že se jedná o nezletilé 1., 2., …, n matrice A, umístěný v levém horním rohu, poslední z nich se shoduje s determinantem matice A.

Kritérium pozitivní určitosti (Sylvesterovo kritérium)

X) = x T Ah je kladně jednoznačný, je nutné a postačující, aby všechny hlavní nezletilé matice A byly pozitivní, tedy: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Kritérium negativní jistoty Aby kvadratická forma j ( X) = x T Ah je záporně určitý, je nutné a postačující, aby jeho hlavní minority sudého řádu byly kladné a ty lichého řádu záporné, tj.: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

Nechť čáry jsou uvedeny v prostoru l A m. Přes nějaký bod A prostoru vedeme rovné čáry l 1 || l A m 1 || m(obr. 138).

Všimněte si, že bod A může být zvolen libovolně, zejména může ležet na jedné z uvedených přímek. Pokud rovnou l A m protínají, pak lze A považovat za průsečík těchto čar ( l 1 = l A m 1 = m).

Úhel mezi nerovnoběžnými čarami l A m je hodnota nejmenšího ze sousedních úhlů vytvořených protínajícími se přímkami l 1 A m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Předpokládá se, že úhel mezi rovnoběžnými čarami je nulový.

Úhel mezi čarami l A m označeno \(\widehat((l;m)) \). Z definice vyplývá, že pokud se měří ve stupních, pak 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, a pokud v radiánech, pak 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Úkol. Je dána krychle ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (obr. 139).

Najděte úhel mezi přímkami AB a DC 1 .

Přímá křižovatka AB a DC 1. Protože přímka DC je rovnoběžná s přímkou ​​AB, úhel mezi přímkami AB a DC 1 je podle definice roven \(\widehat(C_(1)DC)\).

Proto \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Přímo l A m volal kolmý, jestliže \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Například v krychli

Výpočet úhlu mezi čarami.

Problém výpočtu úhlu mezi dvěma přímkami v prostoru je řešen stejně jako v rovině. Označme φ úhel mezi úsečkami l 1 A l 2 a skrz ψ - úhel mezi směrovými vektory A A b tyto rovné čáry.

Pak kdyby

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (obr. 206.6), pak φ = 180° - ψ. Je zřejmé, že v obou případech platí rovnost cos φ = |cos ψ|. Podle vzorce (kosinus úhlu mezi nenulovými vektory a a b se rovná skalárnímu součinu těchto vektorů dělenému součinem jejich délek) máme

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

proto,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Nechť jsou přímky dány jejich kanonickými rovnicemi

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; A \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Potom se pomocí vzorce určí úhel φ mezi přímkami

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2)\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+)(b_1)

Pokud je jedna z přímek (nebo obě) dána nekanonickými rovnicemi, pak pro výpočet úhlu musíte najít souřadnice směrových vektorů těchto přímek a poté použít vzorec (1).

Úkol 1. Vypočítejte úhel mezi čarami

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;and\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Směrové vektory přímek mají souřadnice:

a \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Podle vzorce (1) najdeme

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)(2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2)

Proto je úhel mezi těmito čarami 60°.

Úkol 2. Vypočítejte úhel mezi čarami

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) and \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1=0\end(cases) $$

Za vodicím vektorem A vzít první řádek vektorový produkt normální vektory n 1 = (3; 0; -12) a n 2 = (1; 1; -3) roviny definující tuto přímku. Podle vzorce \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) dostaneme

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Podobně najdeme směrový vektor druhé přímky:

$$ b=\začátek(vmatice) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatice)=-2i-4i+4k $$

Ale vzorec (1) vypočítá kosinus požadovaného úhlu:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2^2+4^2+4^2))=0 $$

Proto je úhel mezi těmito čarami 90°.

Úkol 3. V trojúhelníkovém jehlanu MAVS jsou hrany MA, MB a MC vzájemně kolmé, (obr. 207);

jejich délky se rovnají 4, 3, 6. Bod D je střed [MA]. Najděte úhel φ mezi přímkami CA a DB.

Nechť SA a DB jsou směrové vektory přímek SA a DB.

Vezměme bod M jako počátek souřadnic. Podle podmínky úlohy máme A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Proto \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Použijeme vzorec (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9)) $$

Podle tabulky kosinů zjistíme, že úhel mezi přímkami CA a DB je přibližně 72°.

Definice. Jsou-li dány dvě čáry y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , pak ostrý roh mezi těmito řádky bude definováno jako

Dvě přímky jsou rovnoběžné, jestliže k 1 = k 2 . Dvě přímky jsou kolmé, jestliže k 1 = -1/ k 2 .

Teorém. Přímky Ax + Vy + C \u003d 0 a A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 jsou rovnoběžné, když jsou koeficienty A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB úměrné. Pokud také С 1 = λС, pak se čáry shodují. Souřadnice průsečíku dvou přímek se nalézají jako řešení soustavy rovnic těchto přímek.

Rovnice procházející přímky daný bod

Kolmo k této přímce

Definice. Přímka procházející bodem M 1 (x 1, y 1) a kolmá k přímce y \u003d kx + b je reprezentována rovnicí:

Vzdálenost od bodu k řádku

Teorém. Pokud je dán bod M(x 0, y 0), je vzdálenost k přímce Ax + Vy + C \u003d 0 definována jako

.

Důkaz. Nechť bod M 1 (x 1, y 1) je základna kolmice svržené z bodu M k dané přímce. Pak vzdálenost mezi body M a M 1:

(1)

Souřadnice x 1 a y 1 lze nalézt jako řešení soustavy rovnic:

Druhá rovnice soustavy je rovnicí přímky procházející daným bodem M 0 kolmým k dané přímce. Převedeme-li první rovnici soustavy do tvaru:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pak řešením dostaneme:

Dosazením těchto výrazů do rovnice (1) zjistíme:

Věta byla prokázána.

Příklad. Určete úhel mezi přímkami: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p/4.

Příklad. Ukažte, že přímky 3x - 5y + 7 = 0 a 10x + 6y - 3 = 0 jsou kolmé.

Řešení. Najdeme: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, proto jsou čáry kolmé.

Příklad. Jsou dány vrcholy trojúhelníku A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Najděte rovnici pro výšku nakreslenou z vrcholu C.

Řešení. Najdeme rovnici strany AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Požadovaná výšková rovnice je: Ax + By + C = 0 nebo y = kx + b. k = . Pak y =. Protože výška prochází bodem C, pak její souřadnice splňují tuto rovnici: odkud b = 17. Celkem: .

Odpověď: 3x + 2 roky - 34 = 0.

Rovnice přímky procházející daným bodem v daném směru. Rovnice přímky procházející dvěma danými body. Úhel mezi dvěma čarami. Podmínka rovnoběžnosti a kolmosti dvou přímek. Určení průsečíku dvou přímek

1. Rovnice přímky procházející daným bodem A(X 1 , y 1) v daném směru, určeném sklonem k,

y - y 1 = k(X - X 1). (1)

Tato rovnice definuje tužku čar procházejících bodem A(X 1 , y 1), který se nazývá střed paprsku.

2. Rovnice přímky procházející dvěma body: A(X 1 , y 1) a B(X 2 , y 2) se píše takto:

Sklon přímky procházející dvěma danými body je určen vzorcem

3. Úhel mezi přímkami A A B je úhel, o který musí být otočena první přímka A kolem průsečíku těchto čar proti směru hodinových ručiček, dokud se neshoduje s druhou čárou B. Jsou-li dvě přímky dány sklonovými rovnicemi

y = k 1 X + B 1 ,

y = k 2 X + B 2 , (4)

pak úhel mezi nimi je určen vzorcem

Je třeba poznamenat, že v čitateli zlomku se sklon první přímky odečte od sklonu druhé přímky.

Jsou-li rovnice přímky uvedeny v obecný pohled

A 1 X + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 X + B 2 y + C 2 = 0, (6)

úhel mezi nimi je určen vzorcem

4. Podmínky pro rovnoběžnost dvou čar:

a) Jsou-li přímky dány rovnicemi (4) se sklonem, pak nutné a dostatečný stav jejich rovnoběžnost spočívá v rovnosti jejich úhlových koeficientů:

k 1 = k 2 . (8)

b) Pro případ, kdy jsou přímky dány rovnicemi v obecném tvaru (6), je nutnou a postačující podmínkou jejich rovnoběžnosti, aby koeficienty na příslušných aktuálních souřadnicích v jejich rovnicích byly úměrné, tzn.

5. Podmínky pro kolmost dvou čar:

a) V případě, kdy jsou přímky dány rovnicemi (4) se sklonem, je nutnou a postačující podmínkou jejich kolmosti, aby jejich sklony byly velikostí vzájemné a znaménkem opačné, tzn.

Tuto podmínku lze zapsat i do formuláře

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Jsou-li rovnice přímek uvedeny v obecném tvaru (6), pak podmínkou jejich kolmosti (nutné a postačující) je splnění rovnosti

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Souřadnice průsečíku dvou přímek se zjistí řešením soustavy rovnic (6). Přímky (6) se protínají tehdy a jen tehdy

1. Napište rovnice přímek procházejících bodem M, z nichž jedna je rovnoběžná a druhá kolmá k dané přímce l.

S pomocí tohoto online kalkulačka najít úhel mezi čarami. Je uvedeno podrobné řešení s vysvětlením. Pro výpočet úhlu mezi čarami nastavte kótu (2-pokud se uvažuje přímka v rovině, 3- pokud se uvažuje přímka v prostoru), do buněk zadejte prvky rovnice a klikněte na tlačítko "Vyřešit". Viz teoretická část níže.

×

Varování

Vymazat všechny buňky?

Zavřít Vymazat

Instrukce pro zadávání dat.Čísla se zadávají jako celá čísla (příklady: 487, 5, -7623 atd.), desetinná čísla (např. 67., 102,54 atd.) nebo zlomky. Zlomek musí být zadán ve tvaru a/b, kde a a b (b>0) jsou celá čísla resp. desetinná čísla. Příklady 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 atd.

1. Úhel mezi přímkami v rovině

Přímky jsou dány kanonickými rovnicemi

1.1. Určení úhlu mezi čarami

Nechte čáry ve dvourozměrném prostoru L 1 a L

Ze vzorce (1.4) lze tedy zjistit úhel mezi čarami L 1 a L 2. Jak je vidět z obr. 1, protínající se čáry svírají sousední úhly φ A φ 1. Pokud je nalezený úhel větší než 90°, můžete najít minimální úhel mezi čarami L 1 a L 2: φ 1 =180-φ .

Ze vzorce (1.4) lze odvodit podmínky rovnoběžnosti a kolmosti dvou přímek.

Příklad 1. Určete úhel mezi úsečkami

Pojďme to zjednodušit a vyřešit:

1.2. Stav rovnoběžných čar

Nechat φ =0. Pak cosφ=1. V tomto případě bude mít výraz (1.4) následující tvar:

,

,

Příklad 2. Určete, zda jsou přímky rovnoběžné

Rovnost (1.9) je splněna, proto jsou přímky (1.10) a (1.11) rovnoběžné.

Odpovědět. Přímky (1.10) a (1.11) jsou rovnoběžné.

1.3. Podmínka kolmosti čar

Nechat φ = 90°. Pak cosφ=0. V tomto případě bude mít výraz (1.4) následující tvar:

Příklad 3. Určete, zda jsou čáry kolmé

Podmínka (1.13) je splněna, přímky (1.14) a (1.15) jsou tedy kolmé.

Odpovědět. Čáry (1.14) a (1.15) jsou kolmé.

Přímky jsou dány obecnými rovnicemi

1.4. Určení úhlu mezi čarami

Nechte dva řádky L 1 a L 2 jsou dány obecnými rovnicemi

Z definice skalárního součinu dvou vektorů máme:

Příklad 4. Najděte úhel mezi čarami

Dosazování hodnot A 1 , B 1 , A 2 , B 2 palce (1,23), dostaneme:

Tento úhel je větší než 90°. Najděte minimální úhel mezi čarami. Chcete-li to provést, odečtěte tento úhel od 180:

Na druhou stranu podmínka rovnoběžných čar L 1 a L 2 je ekvivalentní podmínce kolineárních vektorů n 1 a n 2 a může být znázorněn takto:

Rovnost (1.24) je splněna, proto jsou přímky (1.26) a (1.27) rovnoběžné.

Odpovědět. Přímky (1.26) a (1.27) jsou rovnoběžné.

1.6. Podmínka kolmosti čar

Podmínka kolmosti čar L 1 a L 2 lze získat ze vzorce (1.20) substitucí cos(φ )=0. Poté skalární součin ( n 1 ,n 2) = 0. Kde

Rovnost (1.28) je splněna, přímky (1.29) a (1.30) jsou tedy kolmé.

Odpovědět. Čáry (1.29) a (1.30) jsou kolmé.

2. Úhel mezi čarami v prostoru

2.1. Určení úhlu mezi čarami

Nechte čáry v prostoru L 1 a L 2 jsou dány kanonickými rovnicemi

kde | q 1 | a | q 2 | směrové vektorové moduly q 1 a q 2 resp. φ -úhel mezi vektory q 1 a q 2 .

Z výrazu (2.3) dostaneme:

.

Pojďme to zjednodušit a vyřešit:

.

Pojďme najít roh φ

A. Uveďme dvě přímky, které, jak bylo naznačeno v kapitole 1, svírají různé kladné a záporné úhly, které mohou být ostré nebo tupé. Když známe jeden z těchto úhlů, můžeme snadno najít jakýkoli jiný.

Mimochodem, pro všechny tyto úhly je číselná hodnota tečny stejná, rozdíl může být pouze ve znaménku

Rovnice přímek. Čísla jsou průměty směrových vektorů první a druhé přímky Úhel mezi těmito vektory je roven jednomu z úhlů tvořených přímkami. Proto se problém redukuje na určení úhlu mezi vektory, dostaneme

Pro jednoduchost se můžeme dohodnout na úhlu mezi dvěma přímkami, abychom pochopili ostrý kladný úhel (jako např. na obr. 53).

Pak bude tangens tohoto úhlu vždy kladný. Pokud tedy dostaneme znaménko mínus na pravé straně vzorce (1), musíme ho zahodit, tj. ponechat pouze absolutní hodnotu.

Příklad. Určete úhel mezi čarami

Podle vzorce (1) máme

S. Pokud je naznačeno, která ze stran úhlu je jeho začátkem a která je jeho koncem, pak, počítáme-li vždy směr úhlu proti směru hodinových ručiček, můžeme ze vzorců (1) extrahovat něco navíc. Jak je snadno vidět z obr. 53 znaménko získané na pravé straně vzorce (1) udává, který úhel – ostrý nebo tupý – tvoří druhou čáru s první.

(Z obr. 53 vidíme, že úhel mezi prvním a druhým směrovým vektorem je buď roven požadovanému úhlu mezi úsečkami, nebo se od něj liší o ±180°.)

d. Jsou-li přímky rovnoběžné, pak jsou rovnoběžné i jejich směrové vektory Za použití podmínky rovnoběžnosti dvou vektorů dostaneme!

To je nutná a postačující podmínka pro to, aby dvě čáry byly rovnoběžné.

Příklad. Přímo

jsou paralelní, protože

E. Jsou-li přímky kolmé, pak jsou kolmé i jejich směrové vektory. Aplikací podmínky kolmosti dvou vektorů získáme podmínku kolmosti dvou přímek, a to

Příklad. Přímo

kolmé, protože

V souvislosti s podmínkami rovnoběžnosti a kolmosti vyřešíme následující dva problémy.

F. Nakreslete bodem čáru rovnoběžnou s danou čárou

Rozhodnutí se dělá takto. Protože je požadovaná přímka rovnoběžná s danou přímkou, můžeme pro její směrový vektor vzít stejný, jako je daná přímka, tedy vektor s průměty A a B. A rovnice požadované přímky pak bude zapsána ve tvaru (§ 1)

Příklad. Rovnice přímky procházející bodem (1; 3) rovnoběžným s přímkou

bude další!

G. Bodem nakreslete přímku kolmou k dané přímce

Zde již není vhodné brát vektor s průměty A a jako směrový vektor, ale je potřeba vyhrát vektor kolmý na něj. Průměty tohoto vektoru je tedy nutné volit podle podmínky, že oba vektory jsou kolmé, tedy podle podmínky

Tato podmínka může být splněna nekonečně mnoha způsoby, protože zde existuje jedna rovnice se dvěma neznámými. Nejjednodušší je ale vzít ji. Pak se rovnice požadované přímky zapíše ve tvaru

Příklad. Rovnice přímky procházející bodem (-7; 2) v kolmé přímce

bude následující (podle druhého vzorce)!

h. V případě, kdy jsou přímky dány rovnicemi tvaru