Pokud potřebujete zvýšit konkrétní číslo na mocninu, můžete použít . Nyní se na to podíváme blíže vlastnosti stupňů.

Exponenciální čísla otevírají velké možnosti, umožňují nám přeměnit násobení na sčítání a sčítání je mnohem jednodušší než násobení.

Například potřebujeme vynásobit 16 64. Součin vynásobení těchto dvou čísel je 1024. Ale 16 je 4x4 a 64 je 4x4x4. To znamená, 16 x 64 = 4x4x4x4x4, což se také rovná 1024.

Číslo 16 může být také reprezentováno jako 2x2x2x2 a 64 jako 2x2x2x2x2x2, a pokud vynásobíme, dostaneme opět 1024.

Nyní použijeme pravidlo. 16 = 4 2 nebo 2 4, 64 = 4 3 nebo 2 6, současně 1024 = 6 4 = 4 5 nebo 2 10.

Náš problém tedy může být zapsán jinak: 4 2 x 4 3 = 4 5 nebo 2 4 x 2 6 = 2 10 a pokaždé dostaneme 1024.

Můžeme vyřešit řadu podobných příkladů a uvidíme, že násobení čísel s mocninami se sníží na přidání exponentů, nebo exponenciální, samozřejmě za předpokladu, že základy faktorů jsou stejné.

Bez provedení násobení tedy můžeme okamžitě říci, že 2 4 x 2 2 x 2 14 = 2 20.

Toto pravidlo platí i při dělení čísel mocninami, ale v tomto případě exponent dělitele se odečte od exponentu dividendy. Tedy 2 5:2 3 = 2 2, což se v běžných číslech rovná 32:8 = 4, tedy 2 2. Pojďme si to shrnout:

a m x a n =a m+n, a m: a n =a m-n, kde m a n jsou celá čísla.

Na první pohled se může zdát, že tomu tak je násobení a dělení čísel s mocninami není příliš pohodlné, protože nejprve musíte číslo reprezentovat v exponenciální podobě. Znázornit čísla 8 a 16, tedy 2 3 a 2 4, v této podobě není těžké, ale jak to udělat s čísly 7 a 17? Nebo co dělat v případech, kdy lze číslo reprezentovat v exponenciálním tvaru, ale základy pro exponenciální vyjádření čísel jsou velmi odlišné. Například 8x9 je 2 3 x 3 2, v takovém případě nemůžeme sečíst exponenty. Ani 2 5 ani 3 5 nejsou odpovědí, ani odpověď neleží v intervalu mezi těmito dvěma čísly.

Má pak cenu se touto metodou vůbec zabývat? Rozhodně to stojí za to. Poskytuje obrovské výhody, zejména pro složité a časově náročné výpočty.

Výrazy, konverze výrazů

Mocninné výrazy (výrazy s mocninami) a jejich transformace

V tomto článku budeme hovořit o převodu výrazů pomocí mocnin. Nejprve se zaměříme na transformace, které se provádějí s výrazy jakéhokoli druhu, včetně mocninných výrazů, jako je otevírání závorek a přinášení podobných výrazů. A pak budeme analyzovat transformace vlastní konkrétně výrazům se stupni: práce se základem a exponentem, používání vlastností stupňů atd.

Navigace na stránce.

Co jsou to mocenské výrazy?

Pojem „mocenské výrazy“ se ve školních učebnicích matematiky prakticky nevyskytuje, poměrně často se však objevuje ve sbírkách úloh, zejména těch, které jsou určeny pro přípravu např. na Jednotnou státní zkoušku a Jednotnou státní zkoušku. Po rozboru úloh, ve kterých je nutné provádět nějaké akce s mocninnými výrazy, je jasné, že mocniny jsou chápány jako výrazy obsahující mocniny ve svých záznamech. Proto můžete pro sebe přijmout následující definici:

Definice.

Mocenské výrazy jsou výrazy obsahující stupně.

Pojďme dát příklady mocenských výrazů. Navíc je uvedeme podle toho, jak dochází k vývoji názorů od stupně s přirozeným exponentem ke stupni s reálným exponentem.

Jak známo, nejprve se v této fázi seznámíme s mocninou čísla s přirozeným exponentem, prvními nejjednoduššími mocninnými výrazy typu 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 se objeví −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 atd.

O něco později je studována mocnina čísla s celočíselným exponentem, což vede k výskytu mocninných výrazů se zápornými celočíselnými mocninami, jako jsou následující: 3 −2, , a -2 +2 b -3 +c2.

Na střední škole se vracejí k titulům. Tam je zaveden stupeň s racionálním exponentem, který znamená výskyt odpovídajících mocninných výrazů: , , a tak dále. Nakonec jsou uvažovány stupně s iracionálními exponenty a výrazy, které je obsahují: , .

Věc se neomezuje jen na uvedené mocninné výrazy: dále proměnná proniká do exponentu a vznikají např. tyto výrazy: 2 x 2 +1 popř. . A po seznámení s , se začnou objevovat výrazy s mocninami a logaritmy, například x 2·lgx −5·x lgx.

Zabývali jsme se tedy otázkou, co mocenské výrazy představují. Dále se je naučíme transformovat.

Základní typy transformací mocninných výrazů

Pomocí mocninných výrazů můžete provádět libovolnou ze základních transformací identity výrazů. Můžete například otevřít závorky, nahradit číselné výrazy jejich hodnotami, přidat podobné výrazy atd. Přirozeně je v tomto případě nutné dodržet přijatý postup provádění úkonů. Uveďme příklady.

Příklad.

Vypočítejte hodnotu mocninného výrazu 2 3 ·(4 2 −12) .

Řešení.

Podle pořadí provádění akcí nejprve proveďte akce v závorkách. Tam za prvé nahradíme mocninu 4 2 její hodnotou 16 (je-li třeba, viz), za druhé vypočítáme rozdíl 16−12=4. My máme 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Ve výsledném výrazu nahradíme mocninu 2 3 její hodnotou 8, načež vypočteme součin 8·4=32. Toto je požadovaná hodnota.

Tak, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Odpovědět:

2 3 · (4 2 -12) = 32.

Příklad.

Zjednodušte výrazy pomocí pravomocí 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Řešení.

Je zřejmé, že tento výraz obsahuje podobné výrazy 3·a 4 ·b −7 a 2·a 4 ·b −7 , a můžeme je uvést: .

Odpovědět:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Příklad.

Vyjádřete výraz se schopnostmi jako produkt.

Řešení.

S úkolem se můžete vyrovnat tak, že číslo 9 znázorníte jako mocninu 3 2 a poté použijete vzorec pro zkrácené násobení - rozdíl čtverců:

Odpovědět:

Existuje také řada identických transformací, které jsou specificky vlastní mocninným výrazům. Budeme je dále analyzovat.

Práce se základnou a exponentem

Existují stupně, jejichž základ a/nebo exponent nejsou jen čísla nebo proměnné, ale některé výrazy. Jako příklad uvedeme položky (2+0,3·7) 5−3,7 a (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Při práci s takovými výrazy můžete jak výraz v základu stupně, tak výraz v exponentu nahradit shodně shodným výrazem v ODZ jeho proměnných. Jinými slovy, podle nám známých pravidel můžeme samostatně transformovat základ stupně a zvlášť exponent. Je jasné, že v důsledku této transformace vznikne výraz shodně stejný jako ten původní.

Takové transformace nám umožňují zjednodušit vyjádření pomocí pravomocí nebo dosáhnout jiných cílů, které potřebujeme. Například ve výše zmíněném mocninném výrazu (2+0,3 7) 5−3,7 můžete provádět operace s čísly v základu a exponentu, což vám umožní přejít na mocninu 4,1 1,3. A po otevření závorek a přivedení podobných členů na základnu stupně (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) získáme mocninné vyjádření jednoduššího tvaru a 2·(x+ 1).

Použití vlastností stupně

Jedním z hlavních nástrojů pro transformaci výrazů pomocí mocnin jsou rovnosti, které odrážejí . Připomeňme si ty hlavní. Pro všechna kladná čísla aab a libovolná reálná čísla r a s platí následující vlastnosti mocnin:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r = ar·br;
• (a:b) r = a r: b r;
• (a r) s =a r·s .

Všimněte si, že pro přirozené, celočíselné a kladné exponenty nemusí být omezení pro čísla a a b tak přísná. Například pro přirozená čísla m a n platí rovnost a m ·a n =a m+n nejen pro kladná a, ale i záporná a pro a=0.

Ve škole se při transformaci mocenských výrazů klade hlavní důraz na schopnost vybrat si vhodnou vlastnost a správně ji aplikovat. V tomto případě bývají základy stupňů kladné, což umožňuje vlastnosti stupňů používat bez omezení. Totéž platí pro transformaci výrazů obsahujících proměnné v základech mocnin - rozsah přípustných hodnot proměnných je obvykle takový, že na něm základy nabývají pouze kladných hodnot, což umožňuje libovolně používat vlastnosti mocnin . Obecně je třeba si neustále klást otázku, zda je možné v tomto případě použít nějakou vlastnost stupňů, protože nepřesné použití vlastností může vést ke zúžení vzdělávací hodnoty a dalším potížím. Tyto body jsou podrobně a s příklady rozebrány v článku transformace výrazů pomocí vlastností stupňů. Zde se omezíme na zvážení několika jednoduchých příkladů.

Příklad.

Vyjádřete výraz a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 jako mocninu se základem a.

Řešení.

Nejprve transformujeme druhý faktor (a 2) −3 pomocí vlastnosti zvýšení mocniny na mocninu: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Původní mocninný výraz bude mít tvar a 2,5 ·a −6:a −5,5. Je zřejmé, že zbývá použít vlastnosti násobení a dělení mocnin se stejným základem, jaký máme
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a2.

Odpovědět:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Vlastnosti mocnin při transformaci mocninných výrazů se používají jak zleva doprava, tak zprava doleva.

Příklad.

Najděte hodnotu mocninného výrazu.

Řešení.

Rovnost (a·b) r =a r ·b r, použitá zprava doleva, nám umožňuje přejít od původního výrazu k součinu tvaru a dále. A při násobení mocnin se stejnými základy se exponenty sečtou: .

Původní výraz bylo možné transformovat jiným způsobem:

Odpovědět:

.

Příklad.

Vzhledem k mocninnému výrazu a 1,5 −a 0,5 −6 zaveďte novou proměnnou t=a 0,5.

Řešení.

Stupeň a 1,5 lze znázornit jako 0,5 3 a poté jej na základě vlastnosti stupně ke stupni (a r) s = a r s, aplikované zprava doleva, převést do tvaru (a 0,5) 3. Tím pádem, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Nyní je snadné zavést novou proměnnou t=a 0,5, dostaneme t 3 −t−6.

Odpovědět:

t 3 −t−6 .

Převod zlomků obsahujících mocniny

Mocninné výrazy mohou obsahovat nebo reprezentovat zlomky s mocninami. Kterákoli ze základních transformací zlomků, které jsou vlastní zlomkům jakéhokoli druhu, jsou pro takové zlomky plně použitelné. To znamená, že zlomky, které obsahují mocniny, lze redukovat, redukovat na nového jmenovatele, pracovat samostatně s jejich čitatelem a zvlášť se jmenovatelem atd. Pro ilustraci těchto slov zvažte řešení několika příkladů.

Příklad.

Zjednodušte vyjádření síly .

Řešení.

Tento výraz síly je zlomek. Pracujme s jeho čitatelem a jmenovatelem. V čitateli otevřeme závorky a výsledný výraz zjednodušíme pomocí vlastností mocnin a ve jmenovateli uvedeme podobné pojmy:

A změňme také znaménko jmenovatele umístěním mínus před zlomek: .

Odpovědět:

.

Redukce zlomků obsahujících mocniny na nového jmenovatele se provádí podobně jako redukce racionálních zlomků na nového jmenovatele. V tomto případě se také najde další faktor a vynásobí se jím čitatel a jmenovatel zlomku. Při provádění této akce je třeba si uvědomit, že redukce na nový jmenovatel může vést ke zúžení VA. Aby k tomu nedocházelo, je nutné, aby dodatečný faktor neklesl na nulu pro žádné hodnoty proměnných z proměnných ODZ pro původní výraz.

Příklad.

Zmenšete zlomky na nového jmenovatele: a) na jmenovatele a, b) na jmenovatele.

Řešení.

a) V tomto případě je docela snadné zjistit, který další multiplikátor pomáhá dosáhnout požadovaného výsledku. Toto je násobitel 0,3, protože a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Všimněte si, že v rozsahu přípustných hodnot proměnné a (toto je množina všech kladných reálných čísel) mocnina a 0,3 nezmizí, proto máme právo násobit čitatele a jmenovatele daného zlomek tímto dodatečným faktorem:

b) Když se blíže podíváte na jmenovatele, zjistíte to

a vynásobením tohoto výrazu dostaneme součet kostek a , tedy . A to je nový jmenovatel, na který musíme snížit původní zlomek.

Takto jsme našli další faktor. V rozsahu přípustných hodnot proměnných x a y výraz nezaniká, proto jím můžeme vynásobit čitatele i jmenovatele zlomku:

Odpovědět:

A) , b) .

Není také nic nového ve zmenšování zlomků obsahujících mocniny: čitatel a jmenovatel jsou reprezentovány jako řada faktorů a stejné faktory v čitateli a jmenovateli jsou redukovány.

Příklad.

Zmenšit zlomek: a) , b).

Řešení.

a) Nejprve lze čitatel a jmenovatel zmenšit o čísla 30 a 45, což se rovná 15. Samozřejmě je také možné provést redukci o x 0,5 +1 a o . Zde je to, co máme:

b) V tomto případě nejsou shodné faktory v čitateli a jmenovateli okamžitě viditelné. Chcete-li je získat, budete muset provést předběžné transformace. V tomto případě spočívají v faktorizaci jmenovatele pomocí vzorce rozdílu čtverců:

Odpovědět:

A)

b) .

Převod zlomků na nový jmenovatel a redukce zlomků se používají hlavně k práci se zlomky. Akce se provádějí podle známých pravidel. Při sčítání (odečítání) zlomků se redukují na společného jmenovatele, načež se čitatele sčítají (odečítají), ale jmenovatel zůstává stejný. Výsledkem je zlomek, jehož čitatel je součinem čitatelů a jmenovatel součinem jmenovatelů. Dělení zlomkem je násobení jeho inverzí.

Příklad.

Následuj kroky .

Řešení.

Nejprve odečteme zlomky v závorkách. K tomu je přivedeme ke společnému jmenovateli, kterým je , po kterém odečteme čitatele:

Nyní vynásobíme zlomky:

Je zřejmé, že je možné snížit o mocninu x 1/2, po které máme .

Výraz mocniny ve jmenovateli můžete také zjednodušit pomocí vzorce rozdílu čtverců: .

Odpovědět:

Příklad.

Zjednodušte Power Expression .

Řešení.

Je zřejmé, že tento zlomek lze snížit o (x 2,7 +1) 2, čímž získáme zlomek . Je jasné, že se schopnostmi X je třeba udělat něco jiného. K tomu transformujeme výslednou frakci na produkt. To nám dává příležitost využít vlastnosti dělení mocnin se stejnými základy: . A na konci procesu se přesuneme od posledního produktu ke frakci.

Odpovědět:

.

A ještě dodejme, že je možné a v mnoha případech žádoucí převádět činitele se zápornými exponenty z čitatele do jmenovatele nebo ze jmenovatele do čitatele a měnit znaménko exponentu. Takové transformace často zjednodušují další akce. Například mocninný výraz lze nahradit výrazem .

Převod výrazů s odmocninami

Ve výrazech, ve kterých jsou vyžadovány některé transformace, jsou spolu s mocninami často přítomny také kořeny se zlomkovými exponenty. K transformaci takového výrazu do požadované podoby ve většině případů stačí jít pouze ke kořenům nebo pouze k mocninám. Ale protože je pohodlnější pracovat s mocninami, obvykle se přesouvají od kořenů k mocninám. Je však vhodné takový přechod provést, když ODZ proměnných pro původní výraz umožňuje nahradit odmocniny bez nutnosti odkazování na modul nebo rozdělení ODZ do více intervalů (podrobně jsme to probrali v člen přechod od kořenů k mocninám a zpět Po seznámení se stupněm s racionálním exponentem je představen stupeň s iracionálním exponentem, který nám umožňuje mluvit o stupni s libovolným reálným exponentem studoval ve škole. exponenciální funkce, který je analyticky dán mocninou, jejímž základem je číslo a exponentem je proměnná. Setkáváme se tedy s mocninnými výrazy obsahujícími čísla v základu mocniny a v exponentu - výrazy s proměnnými a přirozeně vzniká potřeba provádět transformace takových výrazů.

Je třeba říci, že transformaci výrazů naznačeného typu je obvykle nutné provést při řešení exponenciální rovnice A exponenciální nerovnosti a tyto převody jsou docela jednoduché. V drtivé většině případů vycházejí z vlastností stupně a jsou zaměřeny většinou na zavedení nové proměnné v budoucnu. Rovnice nám je umožní demonstrovat 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Za prvé, mocniny, v jejichž exponentech je součet určité proměnné (nebo výraz s proměnnými) a čísla, jsou nahrazeny součiny. To platí pro první a poslední výraz výrazu na levé straně:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Dále jsou obě strany rovnosti rozděleny výrazem 7 2 x, který na ODZ proměnné x pro původní rovnici nabývá pouze kladných hodnot (jedná se o standardní techniku ​​řešení rovnic tohoto typu, nejsme teď o tom mluvíme, takže se zaměřte na následné transformace výrazů s mocninami):

Nyní můžeme zlomky zrušit pomocí mocnin, což dává .

Nakonec je poměr mocnin se stejnými exponenty nahrazen mocninami vztahů a výsledkem je rovnice , což je ekvivalentní . Provedené transformace nám umožňují zavést novou proměnnou, která redukuje řešení původní exponenciální rovnice na řešení kvadratické rovnice

I. V. Bojkov, L. D. Romanová Sbírka úkolů pro přípravu na jednotnou státní zkoušku. Část 1. Penza 2003.

Proč jsou potřebné tituly?

Kde je budete potřebovat?

Proč byste měli věnovat čas jejich studiu?

Chcete-li se dozvědět VŠECHNO O STUPNÍCH, přečtěte si tento článek.

A samozřejmě znalost titulů vás přiblíží k úspěšnému složení jednotné státní zkoušky.

A k přijetí na univerzitu vašich snů!

Pojďme... (Pojďme!)

PRVNÍ ÚROVEŇ

Umocňování je matematická operace stejně jako sčítání, odčítání, násobení nebo dělení.

Nyní vše vysvětlím lidskou řečí na velmi jednoduchých příkladech. Buď opatrný. Příklady jsou elementární, ale vysvětlují důležité věci.

Začněme sčítáním.

Tady není co vysvětlovat. Všechno už víte: je nás osm. Každý má dvě láhve coly. Kolik je tam coly? Správně - 16 lahví.

Nyní násobení.

Stejný příklad s colou lze napsat jinak: . Matematici jsou mazaní a líní lidé. Nejprve si všimnou některých vzorců a pak vymyslí způsob, jak je „spočítat“ rychleji. V našem případě si všimli, že každý z osmi lidí má stejný počet lahví coly a přišli s technikou zvanou násobení. Souhlasíte, je to považováno za jednodušší a rychlejší než.

Chcete-li tedy počítat rychleji, snadněji a bez chyb, stačí si pamatovat násobilka. Vše samozřejmě zvládnete pomaleji, obtížněji a s chybami! Ale…

Zde je tabulka násobení. Opakovat.

A další, krásnější:

Jaké další chytré počítací triky vymysleli líní matematici? Že jo - zvýšení čísla na mocninu.

Zvyšování čísla na mocninu

Pokud potřebujete vynásobit číslo samo o sobě pětkrát, pak matematici říkají, že musíte toto číslo zvýšit na pátou mocninu. Například, . Matematici si pamatují, že dvě až pátá mocnina je... A takové problémy řeší v hlavě – rychleji, snadněji a bez chyb.

Vše, co musíte udělat, je zapamatujte si, co je v tabulce mocnin čísel barevně zvýrazněno. Věřte mi, že vám to hodně usnadní život.

Mimochodem, proč se tomu říká druhý stupeň? náměstíčísla a třetí - krychle? Co to znamená? Velmi dobrá otázka. Nyní budete mít čtverce i kostky.

Příklad ze života #1

Začněme druhou mocninou čísla.

Představte si čtvercový bazén o rozměrech jeden metr krát jeden metr. Bazén je u vaší dachy. Je horko a moc se mi chce plavat. Ale... bazén nemá dno! Dno bazénu musíte obložit dlaždicemi. Kolik dlaždic potřebujete? Abyste to mohli určit, musíte znát spodní část bazénu.

Jednoduše spočítáte ukazováním prstem, že dno bazénu se skládá z kostek metr po metru. Pokud máte dlaždice metr krát jeden metr, budete potřebovat kusy. Je to snadné... Ale kde jste takové dlaždice viděli? Dlaždice bude s největší pravděpodobností cm krát cm a pak vás bude mučit „počítání prstem“. Pak se musíte množit. Takže na jednu stranu dna bazénu položíme dlaždice (kusy) a na druhou také dlaždice. Vynásobte a dostanete dlaždice ().

Všimli jste si, že pro určení plochy dna bazénu jsme stejné číslo vynásobili sami? Co to znamená? Protože násobíme stejné číslo, můžeme použít techniku ​​„umocňování“. (Samozřejmě, když máte jen dvě čísla, je potřeba je ještě vynásobit nebo umocnit na mocninu. Pokud jich ale máte hodně, pak je umocnění na mocninu mnohem jednodušší a také je méně chyb ve výpočtech U jednotné státní zkoušky je to velmi důležité).
Takže třicet až druhá mocnina bude (). Nebo můžeme říci, že bude třicet čtverečních. Jinými slovy, druhá mocnina čísla může být vždy reprezentována jako čtverec. A naopak, pokud vidíte čtverec, je to VŽDY druhá mocnina nějakého čísla. Čtverec je obrazem druhé mocniny čísla.

Příklad ze života číslo 2

Zde je úkol pro vás: spočítejte, kolik je políček na šachovnici pomocí druhé mocniny čísla... Na jedné i na druhé straně buněk. Chcete-li vypočítat jejich počet, musíte vynásobit osm osmi nebo... pokud si všimnete, že šachovnice je čtverec se stranou, pak můžete odmocnit osm. Získáte buňky. () Tak?

Příklad ze života číslo 3

Nyní krychle nebo třetí mocnina čísla. Stejný bazén. Nyní však musíte zjistit, kolik vody bude nutné do tohoto bazénu nalít. Musíte vypočítat objem. (Mimochodem, objemy a kapaliny se měří v metrech krychlových. Nečekané, že?) Nakreslete bazén: dno má velikost metr a hloubku metr a zkuste spočítat, kolik krychlí o rozměrech metr krát metr bude vejde se do vašeho bazénu.

Stačí ukázat prstem a počítat! Jedna, dva, tři, čtyři...dvacet dva, dvacet tři...Kolik jsi jich dostal? Neztratil se? Je těžké počítat prstem? Aby! Vezměte si příklad od matematiků. Jsou líní, a tak si všimli, že pro výpočet objemu bazénu je potřeba vynásobit jeho délku, šířku a výšku navzájem. V našem případě bude objem bazénu roven kostkám... Snazší, že?

A teď si představte, jak jsou matematici líní a mazaní, když to zjednodušili. Vše jsme zredukovali na jednu akci. Všimli si, že délka, šířka a výška jsou stejné a že stejné číslo se samo násobí... Co to znamená? To znamená, že můžete využít titul. Takže to, co jste kdysi spočítali prstem, udělají jednou akcí: tři kostky se rovnají. Píše se to takto: .

Zbývá jen zapamatujte si tabulku stupňů. Pokud ovšem nejste líní a mazaní jako matematici. Pokud rádi tvrdě pracujete a děláte chyby, můžete i nadále počítat prstem.

Abychom vás konečně přesvědčili, že tituly vymysleli lidé, kteří se vzdávají, a mazaní lidé, aby řešili své životní problémy, a ne aby vám dělali problémy, zde je pár dalších příkladů ze života.

Příklad ze života #4

Máte milion rublů. Na začátku každého roku za každý vydělaný milion vyděláte další milion. To znamená, že každý váš milion se na začátku každého roku zdvojnásobí. Kolik peněz budete mít za roky? Pokud teď sedíte a „počítáte prstem“, pak jste velmi pracovitý člověk a... hloupý. Ale s největší pravděpodobností dáš odpověď za pár sekund, protože jsi chytrý! Takže v prvním roce - dva vynásobené dvěma... ve druhém roce - co se stalo, ještě dva, ve třetím roce... Stop! Všimli jste si, že číslo se násobí samo sebou krát. Takže dvě ku páté mocnině je milion! Nyní si představte, že máte soutěž a ten, kdo umí nejrychleji počítat, získá tyto miliony... Stojí za to si připomenout sílu čísel, nemyslíte?

Příklad ze života číslo 5

Máte milion. Na začátku každého roku získáte za každý vydělaný milion dva další. Skvělé, že? Každý milion se ztrojnásobí. Kolik peněz budete mít za rok? Pojďme počítat. První rok - násobte, pak výsledek dalším... Už je to nuda, protože už jste všemu rozuměli: trojka se sama násobí krát. Takže na čtvrtou mocninu se to rovná milionu. Jen si musíte pamatovat, že tři až čtvrtá mocnina je nebo.

Nyní víte, že zvýšením čísla na mocninu si hodně usnadníte život. Pojďme se dále podívat na to, co můžete dělat s tituly a co o nich potřebujete vědět.

Termíny a pojmy... aby nedošlo k záměně

Nejprve si tedy definujme pojmy. Co myslíš, co je exponent? Je to velmi jednoduché – je to číslo, které je „nahoře“ mocniny čísla. Není to vědecké, ale jasné a snadno zapamatovatelné...

No a zároveň co takový diplomový základ? Ještě jednodušší - toto je číslo, které se nachází níže, na základně.

Tady je nákres pro dobrou míru.

No, obecně řečeno, abychom to zobecnili a lépe si zapamatovali... Titul se základem „ “ a exponentem „ “ se čte jako „na stupeň“ a zapisuje se takto:

Mocnina čísla s přirozeným exponentem

Pravděpodobně už tušíte: protože exponent je přirozené číslo. Ano, ale co to je přirozené číslo? Základní! Přirozená čísla jsou ta čísla, která se používají při počítání při vypisování objektů: jedna, dva, tři... Když počítáme předměty, neříkáme: „mínus pět“, „mínus šest“, „mínus sedm“. Také neříkáme: „jedna třetina“ nebo „nula pět“. To nejsou přirozená čísla. Jaká čísla to podle vás jsou?

Čísla jako „mínus pět“, „mínus šest“, „mínus sedm“ označují celá čísla. Obecně platí, že celá čísla zahrnují všechna přirozená čísla, čísla opačná k přirozeným číslům (tj. braná se znaménkem mínus) a číslo. Nula je snadno pochopitelná - je, když není nic. Co znamenají záporná (“mínus”) čísla? Byly však vynalezeny především k označení dluhů: pokud máte v telefonu zůstatek v rublech, znamená to, že dlužíte operátorovi v rublech.

Všechny zlomky jsou racionální čísla. Jak vznikly, co myslíte? Velmi jednoduché. Před několika tisíci lety naši předkové zjistili, že jim chybí přirozená čísla k měření délky, hmotnosti, plochy atd. A přišli na to racionální čísla... Zajímavé, že?

Existují i ​​iracionální čísla. Jaká jsou tato čísla? Stručně řečeno, je to nekonečný desetinný zlomek. Pokud například vydělíte obvod kruhu jeho průměrem, dostanete iracionální číslo.

Souhrn:

Definujme pojem stupně, jehož exponent je přirozené číslo (tj. celé číslo a kladné číslo).

1. Jakékoli číslo k první mocnině se rovná samo sobě:
2. Odmocnit číslo znamená vynásobit ho samo sebou:
3. Krychlit číslo znamená vynásobit ho samo sebou třikrát:

Definice. Zvýšení čísla na přirozenou mocninu znamená vynásobení čísla samo o sobě krát:
.

Vlastnosti stupňů

Kde se tyto vlastnosti vzaly? Teď vám to ukážu.

Podívejme se: co to je A ?

A-priory:

Kolik je celkem násobitelů?

Je to velmi jednoduché: k faktorům jsme přidali multiplikátory a výsledkem jsou multiplikátory.

Ale podle definice se jedná o mocninu čísla s exponentem, tedy: , což je to, co bylo potřeba dokázat.

Příklad: Zjednodušte výraz.

Řešení:

Příklad: Zjednodušte výraz.

Řešení: Je důležité si uvědomit, že v našem pravidle Nezbytně musí existovat stejné důvody!
Proto kombinujeme síly se základnou, ale zůstává to samostatný faktor:

pouze pro součin sil!

To v žádném případě nemůžete napsat.

2. to je ono mocnina čísla

Stejně jako u předchozí vlastnosti se vraťme k definici stupně:

Ukazuje se, že výraz se násobí sám o sobě časy, to znamená, že podle definice je to ta mocnina čísla:

V podstatě to lze nazvat „vyjmutím indikátoru ze závorek“. Ale nikdy to nemůžete udělat úplně:

Vzpomeňme na zkrácené vzorce pro násobení: kolikrát jsme chtěli napsat?

Ale to koneckonců není pravda.

Výkon se zápornou bází

Do této chvíle jsme diskutovali pouze o tom, jaký by měl být exponent.

Co by ale mělo být základem?

V pravomocích přirozený indikátor základ může být jakékoliv číslo. Ve skutečnosti můžeme násobit libovolná čísla navzájem, ať už jsou kladná, záporná nebo sudá.

Zamysleme se nad tím, která znaménka ("" nebo "") budou mít stupně kladných a záporných čísel?

Je číslo například kladné nebo záporné? A? ? U prvního je vše jasné: bez ohledu na to, kolik kladných čísel navzájem vynásobíme, výsledek bude kladný.

Ale ty negativní jsou o něco zajímavější. Pamatujeme si jednoduché pravidlo z 6. třídy: „mínus za mínus dává plus“. To znamená, popř. Ale když to násobíme, funguje to.

Určete sami, jaké znamení budou mít následující výrazy:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Zvládli jste to?

Zde jsou odpovědi: V prvních čtyřech příkladech je doufám vše jasné? Jednoduše se podíváme na základ a exponent a použijeme příslušné pravidlo.

V příkladu 5) také není všechno tak děsivé, jak se zdá: koneckonců nezáleží na tom, čemu se rovná základna - stupeň je sudý, což znamená, že výsledek bude vždy pozitivní.

Tedy kromě případů, kdy je základ nula. Základ není stejný, že? Očividně ne, protože (protože).

Příklad 6) již není tak jednoduchý!

6 příkladů k procvičení

Rozbor řešení 6 příkladů

Celý nazýváme přirozená čísla, jejich protiklady (tj. brané se znaménkem " ") a číslo.

kladné celé číslo, a neliší se od přírodního, pak vše vypadá přesně jako v předchozí části.

Nyní se podívejme na nové případy. Začněme s ukazatelem rovným.

Jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná jedné:

Jako vždy si položme otázku: proč tomu tak je?

Uvažujme nějaký stupeň se základnou. Vezměte si například a vynásobte:

Takže jsme číslo vynásobili a dostali jsme to samé, co bylo - . Jakým číslem vynásobit, aby se nic nezměnilo? Přesně tak, dál. Prostředek.

Totéž můžeme udělat s libovolným číslem:

Zopakujme si pravidlo:

Jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná jedné.

Ale existují výjimky z mnoha pravidel. A tady je to také tam - toto je číslo (jako základ).

Na jednu stranu se musí rovnat libovolnému stupni – ať násobíte nulu jakkoli sama sebou, stejně dostanete nulu, to je jasné. Ale na druhou stranu, jako každé číslo s nulovou mocninou se musí rovnat. Tak kolik z toho je pravda? Matematici se rozhodli nezasahovat a odmítli zvýšit nulu na nulovou mocninu. To znamená, že nyní nemůžeme nejen dělit nulou, ale také ji zvýšit na nulovou mocninu.

Pokračujme. Kromě přirozených čísel a čísel zahrnují celá čísla také záporná čísla. Abychom pochopili, co je záporná mocnina, udělejme jako minule: vynásobte nějaké normální číslo stejným číslem na zápornou mocninu:

Odtud je snadné vyjádřit, co hledáte:

Nyní rozšíříme výsledné pravidlo na libovolnou míru:

Pojďme tedy formulovat pravidlo:

Číslo se zápornou mocninou je převrácená hodnota stejného čísla s kladnou mocninou. Ale v tu samou dobu Základ nemůže být null:(protože nemůžete dělit).

Pojďme si to shrnout:

Úkoly pro samostatné řešení:

No, jako obvykle, příklady nezávislých řešení:

Analýza problémů pro samostatné řešení:

Já vím, já vím, čísla jsou děsivá, ale na Unified State Exam musíte být připraveni na všechno! Vyřešte tyto příklady nebo analyzujte jejich řešení, pokud jste je nedokázali vyřešit, a naučíte se s nimi snadno vyrovnat ve zkoušce!

Pokračujme v rozšiřování rozsahu čísel „vhodných“ jako exponent.

Nyní uvažujme racionální čísla. Jaká čísla se nazývají racionální?

Odpověď: vše, co lze reprezentovat jako zlomek, kde a jsou celá čísla a.

Abychom pochopili, co to je "zlomkový stupeň", zvažte zlomek:

Uveďme obě strany rovnice na mocninu:

Nyní si připomeňme pravidlo o "od stupně ke stupni":

Jaké číslo musí být zvýšeno na mocninu, abyste získali?

Tato formulace je definicí kořene tého stupně.

Dovolte mi, abych vám připomněl: odmocnina tý mocniny čísla () je číslo, které se po umocnění rovná.

To znamená, že kořen tý mocniny je inverzní operace zvýšení na mocninu: .

Ukázalo se, že. Je zřejmé, že tento speciální případ lze rozšířit: .

Nyní přidáme čitatel: co to je? Odpověď lze snadno získat pomocí pravidla výkonu k výkonu:

Ale může být základem jakékoliv číslo? Koneckonců, kořen nelze extrahovat ze všech čísel.

Žádný!

Připomeňme si pravidlo: každé číslo umocněné na sudou mocninu je kladné číslo. To znamená, že je nemožné extrahovat sudé kořeny ze záporných čísel!

To znamená, že taková čísla nelze umocnit na zlomkovou mocninu se sudým jmenovatelem, to znamená, že výraz nedává smysl.

A co výraz?

Zde však nastává problém.

Číslo může být reprezentováno ve formě jiných, redukovatelných zlomků, například nebo.

A ukazuje se, že existuje, ale neexistuje, ale jsou to jen dva různé záznamy stejného čísla.

Nebo jiný příklad: jednou, pak si to můžete zapsat. Pokud si ale ukazatel zapíšeme jinak, opět se dostaneme do problémů: (tedy dostali jsme úplně jiný výsledek!).

Abychom se vyhnuli takovým paradoxům, uvažujeme pouze kladný základní exponent se zlomkovým exponentem.

Takže když:

• - přirozené číslo;
• - celé číslo;

Příklady:

Racionální exponenty jsou velmi užitečné pro transformaci výrazů s kořeny, například:

5 příkladů k procvičení

Rozbor 5 příkladů pro školení

No a teď přichází ta nejtěžší část. Teď na to přijdeme stupně s iracionálním exponentem.

Všechna pravidla a vlastnosti stupňů jsou zde úplně stejné jako u stupně s racionálním exponentem, s výjimkou

Koneckonců, iracionální čísla jsou z definice čísla, která nelze reprezentovat jako zlomek, kde a jsou celá čísla (to znamená, že iracionální čísla jsou všechna reálná čísla kromě racionálních).

Při studiu titulů s přirozenými, celočíselnými a racionálními exponenty jsme pokaždé vytvořili určitý „obraz“, „analogii“ nebo popis ve známějších pojmech.

Například stupeň s přirozeným exponentem je číslo, které se samo sebou několikrát vynásobí;

...číslo na nulovou mocninu- je to jakoby číslo, které se jednou vynásobilo samo sebou, to znamená, že ho ještě nezačali násobit, což znamená, že se samotné číslo ještě ani neobjevilo - výsledkem je tedy pouze určité „prázdné číslo“ , jmenovitě číslo;

...záporné celé číslo- jako by nastal nějaký „obrácený proces“, to znamená, že číslo nebylo vynásobeno samo sebou, ale rozděleno.

Mimochodem, ve vědě se často používá titul s komplexním exponentem, to znamená, že exponent není ani skutečné číslo.

Ale ve škole o takových potížích nepřemýšlíme; budete mít příležitost porozumět těmto novým konceptům v ústavu.

KAM JSME JISTÍ, ŽE PŮJDETE! (pokud se naučíte řešit takové příklady :))

Například:

Rozhodněte se sami:

Analýza řešení:

1. Začněme pravidlem pro zvýšení moci na moc, které je u nás již obvyklé:

POKROČILÁ ÚROVEŇ

Určení stupně

Titul je vyjádřením tvaru: , kde:

• — základ stupně;
• - exponent.

Stupeň s přirozeným ukazatelem (n = 1, 2, 3,...)

Zvýšení čísla na přirozenou mocninu n znamená vynásobení čísla samo o sobě krát:

Stupeň s celočíselným exponentem (0, ±1, ±2,...)

Pokud je exponent kladné celé čísločíslo:

Konstrukce na nultý stupeň:

Výraz je neurčitý, protože na jedné straně je do jakéhokoli stupně toto a na druhé straně jakékoli číslo do tého stupně je toto.

Pokud je exponent záporné celé čísločíslo:

(protože nemůžete dělit).

Ještě jednou o nulách: výraz není v případě definován. Pokud, tak.

Příklady:

Mocnina s racionálním exponentem

• - přirozené číslo;
• - celé číslo;

Příklady:

Vlastnosti stupňů

Abychom usnadnili řešení problémů, pokusme se pochopit: odkud tyto vlastnosti pocházejí? Pojďme je dokázat.

Podívejme se: co je a?

A-priory:

Takže na pravé straně tohoto výrazu dostaneme následující produkt:

Ale z definice je to mocnina čísla s exponentem, tedy:

Q.E.D.

Příklad : Zjednodušte výraz.

Řešení : .

Příklad : Zjednodušte výraz.

Řešení : Je důležité si uvědomit, že v našem pravidle Nezbytně musí existovat stejné důvody. Proto kombinujeme síly se základnou, ale zůstává to samostatný faktor:

Další důležitá poznámka: toto pravidlo - pouze pro součin sil!

To v žádném případě nemůžete napsat.

Stejně jako u předchozí vlastnosti se vraťme k definici stupně:

Přeuspořádejme tuto práci takto:

Ukazuje se, že výraz se násobí sám o sobě časy, to znamená, že podle definice je to ta mocnina čísla:

V podstatě to lze nazvat „vyjmutím indikátoru ze závorek“. Ale nikdy to nemůžete udělat úplně: !

Vzpomeňme na zkrácené vzorce pro násobení: kolikrát jsme chtěli napsat? Ale to koneckonců není pravda.

Moc s negativní bází.

Do této chvíle jsme pouze diskutovali o tom, jak by to mělo být index stupně. Co by ale mělo být základem? V pravomocích přírodní indikátor základ může být jakékoliv číslo .

Ve skutečnosti můžeme násobit libovolná čísla navzájem, ať už jsou kladná, záporná nebo sudá. Zamysleme se nad tím, která znaménka ("" nebo "") budou mít stupně kladných a záporných čísel?

Je číslo například kladné nebo záporné? A? ?

U prvního je vše jasné: bez ohledu na to, kolik kladných čísel navzájem vynásobíme, výsledek bude kladný.

Ale ty negativní jsou o něco zajímavější. Pamatujeme si jednoduché pravidlo z 6. třídy: „mínus za mínus dává plus“. To znamená, popř. Pokud ale vynásobíme (), dostaneme - .

A tak dále ad infinitum: s každým dalším násobením se znaménko změní. Lze formulovat následující jednoduchá pravidla:

1. dokonce stupeň, - číslo pozitivní.
2. Záporné číslo zvýšeno na zvláštní stupeň, - číslo negativní.
3. Kladné číslo v jakémkoli stupni je kladné číslo.
4. Nula k libovolné mocnině se rovná nule.

Určete sami, jaké znamení budou mít následující výrazy:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Zvládli jste to? Zde jsou odpovědi:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V prvních čtyřech příkladech je doufám vše jasné? Jednoduše se podíváme na základ a exponent a použijeme příslušné pravidlo.

V příkladu 5) také není všechno tak děsivé, jak se zdá: koneckonců nezáleží na tom, čemu se rovná základna - stupeň je sudý, což znamená, že výsledek bude vždy pozitivní. Tedy kromě případů, kdy je základ nula. Základ není stejný, že? Očividně ne, protože (protože).

Příklad 6) již není tak jednoduchý. Zde musíte zjistit, co je méně: nebo? Pokud si to zapamatujeme, je jasné, že, což znamená, že základna je menší než nula. To znamená, že použijeme pravidlo 2: výsledek bude záporný.

A opět použijeme definici stupně:

Vše je jako obvykle - zapíšeme definici stupňů a rozdělíme je navzájem, rozdělíme je do dvojic a dostaneme:

Než se podíváme na poslední pravidlo, vyřešme si pár příkladů.

Vypočítejte výrazy:

Řešení :

Vraťme se k příkladu:

A opět vzorec:

Takže teď poslední pravidlo:

Jak to prokážeme? Samozřejmě, jako obvykle: rozšíříme koncept stupně a zjednodušíme ho:

No, teď otevřeme závorky. Kolik písmen je celkem? krát násobitelem - co vám to připomíná? To není nic jiného než definice operace násobení: Byli tam jen množitelé. To znamená, že toto je podle definice mocnina čísla s exponentem:

Příklad:

Stupeň s iracionálním exponentem

Kromě informací o stupních pro průměrnou úroveň budeme analyzovat stupeň s iracionálním exponentem. Všechna pravidla a vlastnosti stupňů jsou zde úplně stejné jako u stupně s racionálním exponentem, s výjimkou - ostatně iracionální čísla jsou z definice čísla, která nelze reprezentovat jako zlomek, kde a jsou celá čísla (tj. , iracionální čísla jsou všechna reálná čísla kromě racionálních čísel).

Při studiu titulů s přirozenými, celočíselnými a racionálními exponenty jsme pokaždé vytvořili určitý „obraz“, „analogii“ nebo popis ve známějších pojmech. Například stupeň s přirozeným exponentem je číslo, které se samo sebou několikrát vynásobí; číslo s nulovou mocninou je jakoby číslo, které se jednou vynásobí samo sebou, to znamená, že ho ještě nezačali násobit, což znamená, že samotné číslo se ještě ani neobjevilo - výsledkem je tedy pouze určitý „prázdné číslo“, jmenovitě číslo; stupeň s celočíselným záporným exponentem - jako by nastal nějaký „obrácený proces“, to znamená, že číslo nebylo samo násobeno, ale děleno.

Je extrémně obtížné si představit stupeň s iracionálním exponentem (stejně jako je obtížné si představit 4-rozměrný prostor). Je to spíše čistě matematický objekt, který matematici vytvořili, aby rozšířili pojem stupně na celý prostor čísel.

Mimochodem, ve vědě se často používá titul s komplexním exponentem, to znamená, že exponent není ani skutečné číslo. Ale ve škole o takových potížích nepřemýšlíme; budete mít příležitost porozumět těmto novým konceptům v ústavu.

Co tedy uděláme, když vidíme iracionální exponent? Snažíme se toho zbavit! :)

Například:

Rozhodněte se sami:

1)

2)

3)

Odpovědi:

SHRNUTÍ ODDÍLU A ZÁKLADNÍ VZORCE

Stupeň nazvaný výraz ve tvaru: , kde:

Stupeň s celočíselným exponentem

stupeň, jehož exponent je přirozené číslo (tj. celé číslo a kladné číslo).

Mocnina s racionálním exponentem

stupně, jehož exponentem jsou záporná a zlomková čísla.

Stupeň s iracionálním exponentem

stupeň, jehož exponentem je nekonečný desetinný zlomek nebo odmocnina.

Vlastnosti stupňů

Vlastnosti stupňů.

• Záporné číslo zvýšeno na dokonce stupeň, - číslo pozitivní.
• Záporné číslo zvýšeno na zvláštní stupeň, - číslo negativní.
• Kladné číslo v jakémkoli stupni je kladné číslo.
• Nula se rovná jakékoli síle.
• Jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná.

TEĎ MÁTE SLOVO...

Jak se vám článek líbí? Napište dole do komentářů, jestli se vám to líbilo nebo ne.

Řekněte nám o svých zkušenostech s používáním vlastností stupně.

Možná máte otázky. Nebo návrhy.

Pište do komentářů.

A hodně štěstí u zkoušek!

No, téma skončilo. Pokud čtete tyto řádky, znamená to, že jste velmi cool.

Protože jen 5 % lidí je schopno něco zvládnout samo. A pokud dočtete až do konce, pak jste v těchto 5 %!

Teď to nejdůležitější.

Pochopili jste teorii na toto téma. A opakuji, tohle... to je prostě super! Už teď jste lepší než drtivá většina vašich vrstevníků.

Problém je, že to nemusí stačit...

Proč?

Za úspěšné složení jednotné státní zkoušky, za vstup na vysokou školu s omezeným rozpočtem a NEJDŮLEŽITĚJŠÍ, na celý život.

Nebudu tě o ničem přesvědčovat, řeknu jen jedno...

Lidé, kteří získali dobré vzdělání, vydělávají mnohem více než ti, kteří ho nezískali. Toto je statistika.

Ale to není to hlavní.

Hlavní je, že jsou VÍCE ŠŤASTNĚ (takové studie jsou). Možná proto, že se před nimi otevírá mnohem více příležitostí a život se stává jasnějším? nevím...

Ale zamyslete se sami...

Co je potřeba k tomu, abyste byli ve sjednocené státní zkoušce lepší než ostatní a nakonec byli... šťastnější?

ZÍSKEJTE SI RUKU ŘEŠENÍM PROBLÉMŮ NA TOMTO TÉMATU.

Při zkoušce se vás nebudou ptát na teorii.

Budete potřebovat řešit problémy s časem.

A pokud jste je nevyřešili (HODNĚ!), určitě někde uděláte hloupou chybu nebo prostě nebudete mít čas.

Je to jako ve sportu – pro jistotu je potřeba to opakovat mnohokrát.

Najděte sbírku, kdekoli chcete, nutně s řešeními, podrobným rozborem a rozhodnout, rozhodnout, rozhodnout!

Můžete využít naše úkoly (volitelné) a my je samozřejmě doporučujeme.

Abyste mohli lépe používat naše úkoly, musíte pomoci prodloužit životnost učebnice YouClever, kterou právě čtete.

Jak? Jsou dvě možnosti:

1. Odemkněte všechny skryté úkoly v tomto článku -
2. Odemkněte přístup ke všem skrytým úkolům ve všech 99 článcích učebnice - Koupit učebnici - 899 RUR

Ano, takových článků máme v učebnici 99 a přístup ke všem úkolům a všem skrytým textům v nich lze okamžitě otevřít.

Přístup ke všem skrytým úkolům je poskytován po CELOU životnost webu.

Na závěr...

Pokud se vám naše úkoly nelíbí, najděte si jiné. Nezůstávejte jen u teorie.

„Rozumím“ a „Dokážu vyřešit“ jsou zcela odlišné dovednosti. Potřebujete obojí.

Najděte problémy a řešte je!

Mají stejné stupně, ale exponenty stupňů nejsou stejné, 2² * 2³, pak výsledkem bude základ stupně se stejným shodným základem členů součinu stupňů, zvýšený na exponent rovný na součet exponentů všech násobených stupňů.

2² * 2³ = 2²⁺³ = 2⁵ = 32

Pokud mají členy součinu mocnin různé základy mocnin a exponenty jsou stejné, například 2³ * 5³, pak výsledkem bude součin základů těchto mocnin zvýšených na exponent rovný stejnému exponentu. .

2³ * 5³ = (2*5)³ = 10³ = 1000

Pokud jsou násobené mocniny navzájem stejné, například 5³ * 5³, pak výsledkem bude mocnina se základem rovným těmto identickým základům mocnin, umocněná na exponent rovný exponentu mocnin, vynásobený počet těchto identických pravomocí.

5³ * 5³ = (5³)² = 5³*² = 5⁶ = 15625

Nebo jiný příklad se stejným výsledkem:

5² * 5² * 5² = (5²)³ = 5²*³ = 5⁶ = 15625

Prameny:

• Co je to titul s přirozeným exponentem?
• produkt sil

Matematické operace s mocninami lze provádět pouze tehdy, jsou-li základy exponentů stejné a jsou-li mezi nimi násobící nebo dělicí znaménka. Základem exponentu je číslo, které je umocněno.

Instrukce

Pokud jsou čísla navzájem dělitelná (cm 1), pak y (v tomto příkladu je to číslo 3) se objeví jako mocnina, která vznikne odečtením exponentů. Tato akce se navíc provádí přímo: druhá se odečte od prvního ukazatele. Příklad 1. Uveďme: (a)b, kde v závorce – a je základ, mimo závorku – v – exponent. (6)5: (6)3 = (6)5-3 = (6) 2 = 6*6 = 36. Pokud se ukáže, že odpověď je číslo na zápornou mocninu, pak se takové číslo převede na obyčejný zlomek, jehož čitatel je jedna a ve jmenovateli základ s exponentem získaným z rozdílu, pouze v kladném tvaru (se znaménkem plus). Příklad 2. (2) 4: (2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼. Dělení pravomocí může být zapsáno v jiném tvaru, prostřednictvím znaménka zlomku, a nikoli tak, jak je uvedeno v tomto kroku prostřednictvím znaménka „:“. Na principu řešení se tím nic nemění, vše je provedeno úplně stejně, pouze místo dvojtečky se zapíše vodorovný (nebo šikmý) zlomek. (2) 4 / (2)6 = (2)4-6 = (2)-2 = 1/(2)2 = ¼.

Při násobení stejných základů, které mají stupně, se stupně sčítají. Příklad 4. (5) 2* (5)3 = (5)2+3 = (5)5 = 3125. Pokud mají exponenty různá znaménka, pak se jejich sčítání provádí podle matematických zákonů )1* (2)-3 = (2) 1+(-3) = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼.

Pokud se základy exponentů liší, pak je s největší pravděpodobností lze přivést do stejné podoby matematickou transformací. Příklad 6. Předpokládejme, že potřebujeme najít hodnotu výrazu: (4)2: (2)3. S vědomím, že číslo čtyři lze reprezentovat jako dvě na druhou, je tento příklad vyřešen následovně: (4)2: (2)3 = (2*2)2: (2)3. Dále při zvýšení čísla na mocninu. Pokud již máte titul, indexy stupňů se navzájem násobí: ((2)2)2: (2)3 = (2)4: (2)3 = (2) 4-3 = (2)1 = 2 .

Užitečná rada

Pamatujte, že pokud se vám daný základ zdá odlišný od druhého základu, hledejte matematické řešení. Různá čísla se nedávají jen tak. Pokud tedy sazeč neudělal v učebnici překlep.

Mocninný formát zápisu čísla je zkrácená forma zápisu operace násobení základu sama o sobě. S číslem uvedeným v tomto formuláři můžete provádět stejné operace jako s jinými čísly, včetně jejich zvýšení na mocninu. Můžete například zvýšit druhou mocninu čísla na libovolnou mocninu a získání výsledku na současné úrovni technologického rozvoje nebude činit žádné potíže.

Budete potřebovat

• Přístup k internetu nebo Windows kalkulačka.

Instrukce

Chcete-li zvýšit druhou mocninu, použijte obecné pravidlo pro zvýšení druhé mocniny na mocninu, která již má mocninu. Při této operaci se indikátory násobí, ale základ zůstává stejný. Pokud je základ označen jako x a počáteční a doplňkové indikátory jsou označeny jako a a b, lze toto pravidlo zapsat v obecné podobě takto: (xᵃ)ᵇ=xᵃᵇ.

Sčítání a odčítání mocnin

Je zřejmé, že čísla s mocninami lze sčítat jako jiné veličiny , a to tak, že je přidáte jeden po druhém se svými znaky.

Takže součet a 3 a b 2 je a 3 + b 2.
Součet a 3 - b n a h 5 - d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4.

Kurzy stejné mocniny stejných proměnných lze přidat nebo odečíst.

Takže součet 2a2 a 3a2 se rovná 5a2.

Je také zřejmé, že když vezmete dvě pole a, nebo tři pole a, nebo pět polí a.

Ale stupně různé proměnné A různé stupně identické proměnné, musí být složen tak, že je sečte se svými znaménky.

Takže součet 2 a 3 je součet 2 + a 3.

Je zřejmé, že druhá mocnina a a krychle a se nerovnají dvojnásobku druhé mocniny a, ale dvojnásobku krychle a.

Součet a 3 b n a 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6.

Odčítání mocniny se provádějí stejným způsobem jako sčítání, s tím rozdílem, že znaménka subtrahendů musí být odpovídajícím způsobem změněna.

Nebo:
2a4 - (-6a4) = 8a4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Násobení mocnin

Čísla s mocninami lze násobit, stejně jako jiné veličiny, jejich psaním za sebou, s násobícím znaménkem nebo bez něj.

Výsledkem vynásobení a 3 b 2 je tedy a 3 b 2 nebo aaabb.

Nebo:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Výsledek v posledním příkladu lze seřadit přidáním identických proměnných.
Výraz bude mít tvar: a 5 b 5 y 3.

Porovnáním několika čísel (proměnných) s mocninami můžeme vidět, že pokud se kterákoli dvě z nich vynásobí, pak výsledkem je číslo (proměnná) s mocninou rovnou množství stupně termínů.

Takže a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Zde 5 je mocnina výsledku násobení, která se rovná 2 + 3, součet mocnin členů.

Takže a n .a m = a m+n .

Pro a n se a bere jako faktor tolikrát, jako je mocnina n;

A m se bere jako faktor tolikrát, kolikrát je stupeň m roven;

Proto, mocniny se stejnými základy lze násobit sečtením mocnin.

Takže a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . A x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Nebo:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Vynásobte (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpověď: x 4 - y 4.
Násobte (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Toto pravidlo platí i pro čísla, jejichž exponenty jsou negativní.

1. Takže a-2.a-3 = a-5. To lze zapsat jako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Pokud a + b vynásobíme a - b, výsledkem bude a 2 - b 2: tzn

Výsledek vynásobení součtu nebo rozdílu dvou čísel se rovná součtu nebo rozdílu jejich druhých mocnin.

Pokud se součet a rozdíl dvou čísel zvýší na náměstí, výsledek se bude rovnat součtu nebo rozdílu těchto čísel v Čtvrtý stupně.

Takže (a - y). (a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅ (a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Dělení stupňů

Čísla s mocninami lze dělit jako ostatní čísla odečtením od děliče nebo jejich umístěním ve formě zlomků.

Tedy a 3 b 2 děleno b 2 se rovná a 3.

Zápis 5 děleno 3 vypadá jako $\frac $. Ale to se rovná 2. V řadě čísel
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
libovolné číslo lze vydělit jiným a exponent bude roven rozdíl ukazatele dělitelných čísel.

Při dělení stupňů se stejným základem se jejich exponenty odečítají..

Takže y3:y2 = y3-2 = y1. To znamená, $\frac = y$.

A a n+1:a = a n+1-1 = a n . To znamená, $\frac = a^n$.

Nebo:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Pravidlo platí i pro čísla s negativní hodnoty stupňů.
Výsledkem dělení -5 a -3 je -2.
Také $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 nebo $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Násobení a dělení mocnin je potřeba velmi dobře ovládat, protože takové operace jsou v algebře velmi rozšířené.

Příklady řešení příkladů se zlomky obsahujícími čísla s mocninami

1. Snižte exponenty o $\frac $ Odpověď: $\frac $.

2. Snižte exponenty o $\frac$. Odpověď: $\frac$ nebo 2x.

3. Zmenšete exponenty a 2 /a 3 a a -3 /a -4 a přiveďte na společného jmenovatele.
a 2 .a -4 je a -2 první čitatel.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, druhý čitatel.
a 3 .a -4 je a -1 , společný čitatel.
Po zjednodušení: a-2/a-1 a 1/a-1.

4. Zmenšete exponenty 2a 4 /5a 3 a 2 /a 4 a přiveďte na společného jmenovatele.
Odpověď: 2a 3 /5a 7 a 5a 5 /5a 7 nebo 2a 3 /5a 2 a 5/5a 2.

5. Vynásobte (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3.

6. Vynásobte (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a).

7. Vynásobte b4/a-2 h-3/x a a n/y-3.

8. Vydělte a 4 /y 3 a 3 /y 2 . Odpověď: a/y.

Vlastnosti stupně

Připomínáme, že v této lekci budeme rozumět vlastnosti stupňů s přirozenými ukazateli a nulou. Mocniny s racionálními exponenty a jejich vlastnosti budou probírány v hodinách pro 8. ročník.

Mocnina s přirozeným exponentem má několik důležitých vlastností, které nám umožňují zjednodušit výpočty v příkladech s mocninami.

Nemovitost č. 1
Součin sil

Při násobení mocnin se stejnými základy zůstává základ nezměněn a exponenty mocnin se sčítají.

a m · a n = a m + n, kde „a“ je libovolné číslo a „m“, „n“ jsou jakákoli přirozená čísla.

Tato vlastnost mocnin platí i pro součin tří a více mocnin.

• Zjednodušte výraz.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Prezentujte to jako diplom.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Prezentujte to jako diplom.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Upozorňujeme, že v uvedené vlastnosti jsme mluvili pouze o násobení mocnin se stejnými základy. Nevztahuje se na jejich sčítání.

Součet (3 3 + 3 2) nelze nahradit 3 5. To je pochopitelné, pokud
počet (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 a 3 5 = 243

Nemovitost č. 2
Dílčí stupně

Při dělení mocnin se stejnými základy zůstane základ nezměněn a exponent dělitele se odečte od exponentu děliče.

• Napište podíl jako mocninu
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Vypočítat.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Příklad. Vyřešte rovnici. Využíváme vlastnosti podílových mocnin.
38: t = 34

Odpověď: t = 3 4 = 81

Pomocí vlastností č. 1 a č. 2 můžete snadno zjednodušit výrazy a provádět výpočty.

Příklad. Zjednodušte výraz.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5

Příklad. Najděte hodnotu výrazu pomocí vlastností exponentů.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Vezměte prosím na vědomí, že v Property 2 jsme mluvili pouze o dělení mocností se stejnými základy.

Rozdíl (4 3 −4 2) nemůžete nahradit 4 1. To je pochopitelné, pokud spočítáte (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 a 4 1 = 4

Nemovitost č. 3
Zvyšování stupně k moci

Při zvýšení stupně na mocninu zůstává základ stupně nezměněn a exponenty se násobí.

(a n) m = a n · m, kde „a“ je libovolné číslo a „m“, „n“ jsou jakákoli přirozená čísla.

Připomínáme, že kvocient může být reprezentován jako zlomek. Proto se tématu umocnění zlomku budeme věnovat podrobněji na další straně.

Jak násobit síly

Jak znásobit síly? Které mocniny lze násobit a které ne? Jak vynásobit číslo mocninou?

V algebře můžete najít součin mocnin ve dvou případech:

1) mají-li stupně stejné základy;

2) pokud mají stupně stejné ukazatele.

Při násobení mocnin se stejnými základy musí být základ ponechán stejný a musí se sečíst exponenty:

Při násobení stupňů se stejnými ukazateli lze celkový ukazatel vyjmout ze závorek:

Podívejme se, jak násobit mocniny na konkrétních příkladech.

Jednotka se v exponentu nepíše, ale při násobení mocnin se berou v úvahu:

Při násobení může být libovolný počet mocnin. Je třeba mít na paměti, že před písmeno nemusíte psát znak násobení:

Ve výrazech se nejprve provádí umocňování.

Pokud potřebujete vynásobit číslo mocninou, měli byste nejprve provést umocnění a teprve potom násobení:

Násobení mocnin se stejnými základy

Tento video tutoriál je k dispozici na základě předplatného

Už máte předplatné? Vejít do

V této lekci budeme studovat násobení mocnin s podobnými bázemi. Nejprve si připomeňme definici stupně a formulujme větu o platnosti rovnosti . Poté uvedeme příklady jeho aplikace na konkrétních číslech a doložíme. Větu budeme také aplikovat na řešení různých problémů.

Téma: Mocnina s přirozeným exponentem a její vlastnosti

Lekce: Násobení mocnin se stejnými základy (vzorec)

1. Základní definice

Základní definice:

n- exponent,

— n mocnina čísla.

2. Věta 1

Věta 1. Pro jakékoli číslo A a jakékoli přírodní n A k rovnost je pravdivá:

Jinými slovy: kdyby A- jakékoliv číslo; n A k přirozená čísla, pak:

Proto pravidlo 1:

3. Výkladové úkoly

Závěr: speciální případy potvrdily správnost věty č. 1. Dokažme to v obecném případě, tedy pro jakýkoli A a jakékoli přírodní n A k.

4. Důkaz věty 1

Dané číslo A– jakýkoli; čísla n A k – přírodní. Dokázat:

Důkaz je založen na definici stupně.

5. Řešení příkladů pomocí věty 1

Příklad 1: Ber to jako titul.

K vyřešení následujících příkladů použijeme větu 1.

a)

6. Zobecnění věty 1

Zde použité zobecnění:

7. Řešení příkladů pomocí zobecnění věty 1

8. Řešení různých problémů pomocí věty 1

Příklad 2: Vypočítejte (můžete použít tabulku základních mocnin).

A) (podle tabulky)

b)

Příklad 3: Napište to jako mocninu se základem 2.

A)

Příklad 4: Určete znaménko čísla:

, A - záporné, protože exponent na -13 je lichý.

Příklad 5: Nahraďte (·) mocninou čísla se základem r:

Máme, tzn.

9. Shrnutí

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. a další Algebra 7. 6. vydání. M.: Osvěta. 2010

1. Školní asistent (Zdroj).

1. Prezentujte jako sílu:

a B C D E)

3. Napište jako mocninu se základem 2:

4. Určete znaménko čísla:

A)

5. Nahraďte (·) mocninou čísla se základem r:

a) r4 · (·) = r15; b) (·) · r5 = r6

Násobení a dělení mocnin se stejnými exponenty

V této lekci budeme studovat násobení mocnin se stejnými exponenty. Nejprve si připomeňme základní definice a věty o násobení a dělení mocnin se stejnými základy a zvyšování mocnin na mocniny. Poté formulujeme a dokazujeme věty o násobení a dělení mocnin se stejnými exponenty. A pak s jejich pomocí vyřešíme řadu typických problémů.

Připomenutí základních definic a vět

Tady A- základ diplomu,

— n mocnina čísla.

Věta 1. Pro jakékoli číslo A a jakékoli přírodní n A k rovnost je pravdivá:

Při násobení mocnin se stejnými základy se exponenty sčítají, základ zůstává nezměněn.

Věta 2. Pro jakékoli číslo A a jakékoli přírodní n A k, takové, že n > k rovnost je pravdivá:

Při dělení stupňů se stejnými základy se exponenty odečítají, ale základ zůstává nezměněn.

Věta 3. Pro jakékoli číslo A a jakékoli přírodní n A k rovnost je pravdivá:

Všechny uvedené věty se týkaly mocnin se stejným důvodů, v této lekci se podíváme na stupně se stejným indikátory.

Příklady pro násobení mocnin se stejnými exponenty

Zvažte následující příklady:

Zapišme si výrazy pro určení stupně.

Závěr: Z příkladů je to vidět , ale to je ještě potřeba dokázat. Formulujme větu a dokažme ji v obecném případě, tedy pro jakýkoli A A b a jakékoli přírodní n.

Formulace a důkaz věty 4

Pro jakákoli čísla A A b a jakékoli přírodní n rovnost je pravdivá:

Důkaz Věta 4 .

Podle definice stupně:

Takže jsme to dokázali .

Pro násobení mocnin se stejnými exponenty stačí vynásobit základy a nechat exponent beze změny.

Formulace a důkaz věty 5

Zformulujme větu pro dělení mocnin se stejnými exponenty.

Pro jakékoli číslo A A b () a jakékoli přírodní n rovnost je pravdivá:

Důkaz Věta 5 .

Zapišme si definici stupně:

Vyjádření vět ve slovech

Takže jsme to dokázali.

K vzájemnému rozdělení mocnin se stejnými exponenty stačí vydělit jeden základ druhým a exponent ponechat beze změny.

Řešení typických problémů pomocí věty 4

Příklad 1: Přítomný jako produkt sil.

K vyřešení následujících příkladů použijeme větu 4.

Chcete-li vyřešit následující příklad, připomeňte si vzorce:

Zobecnění věty 4

Zobecnění věty 4:

Řešení příkladů pomocí zobecněné věty 4

Pokračování v řešení typických problémů

Příklad 2: Napište to jako sílu produktu.

Příklad 3: Napište to jako mocninu s exponentem 2.

Příklady výpočtů

Příklad 4: Počítejte tím nejracionálnějším způsobem.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Koljagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. a další Algebra 7.M.: Osvícení. 2006

2. Školní asistent (Zdroj).

1. Přítomný jako součin mocností:

A); b) ; V); G);

2. Napište jako mocninu součinu:

3. Napište jako mocninu s exponentem 2:

4. Počítejte co nejracionálnějším způsobem.

Lekce matematiky na téma „Násobení a dělba moci“

Sekce: Matematika

Pedagogický cíl:

student se naučí rozlišovat mezi vlastnostmi násobení a dělení mocnin s přirozenými exponenty; uplatnit tyto vlastnosti v případě stejných základů;

student bude mít příležitost umět provádět transformace stupňů s různými bázemi a umět provádět transformace v kombinovaných úlohách.

Úkoly:

organizovat práci studentů opakováním dříve probrané látky;

zajistit úroveň reprodukce prováděním různých typů cvičení;

organizovat kontrolu sebehodnocení studentů prostřednictvím testování.

Činnostní jednotky výuky: stanovení stupně přirozeným ukazatelem; složky stupně; definice soukromého; kombinační zákon násobení.

I. Uspořádání ukázky zvládnutí dosavadních znalostí studentů. (krok 1)

a) Aktualizace znalostí:

2) Formulujte definici stupně s přirozeným exponentem.

a n =a a a a … a (nkrát)

b k =b b b b a… b (k krát) Zdůvodněte odpověď.

II. Organizace sebehodnocení stupně znalostí studenta v aktuálních zkušenostech. (krok 2)

Autotest: (individuální práce ve dvou verzích.)

A1) Prezentujte produkt 7 7 7 7 x x x jako mocninu:

A2) Představte výkon (-3) 3 x 2 jako produkt

A3) Vypočítejte: -2 3 2 + 4 5 3

Počet úloh v testu volím v souladu s přípravou úrovně třídy.

Dám vám klíč k testu pro autotest. Kritéria: prošel – neprošel.

III. Vzdělávací a praktický úkol (krok 3) + krok 4. (vlastnosti si žáci zformulují sami)

vypočítat: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

Zjednodušte: a 2 a 20 = ? b 30 b 10 b 15 = ?

Při řešení úloh 1) a 2) studenti navrhují řešení a já jako učitel organizujem třídu, abych našel způsob, jak zjednodušit mocniny při násobení se stejnými základy.

Učitel: vymysli způsob, jak zjednodušit mocniny při násobení se stejnými základy.

Na clusteru se objeví záznam:

Téma lekce je formulováno. Násobení mocnin.

Učitel: vymysli pravidlo pro dělení mocnin se stejnými základy.

Odůvodnění: jaká akce se používá ke kontrole rozdělení? a 5: a 3 =? že a 2 a 3 = a 5

Vracím se ke schématu - shluk a přidávám k zápisu - .. při dělení odečítáme a přidáváme téma hodiny. ...a rozdělení stupňů.

IV. Sdělovat studentům hranice znalostí (jako minimum a maximum).

Učitel: minimálním úkolem dnešní lekce je naučit se používat vlastnosti násobení a dělení mocnin se stejnými základy a maximálním úkolem je aplikovat násobení a dělení společně.

Píšeme na tabuli : am a n = a m+n; a m: a n = a m-n

V. Organizace studia nového materiálu. (krok 5)

a) Podle učebnice: č. 403 (a, c, e) úkoly s různým zněním

č. 404 (a, d, f) samostatná práce, poté zorganizuji vzájemnou kontrolu, předám klíče.

b) Pro jakou hodnotu m platí rovnost? a 16 a m = a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Zadání: vymyslete podobné příklady pro dělení.

c) č. 417 písm. a), č. 418 písm. Pasti na studenty: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6; a 16: a 8 = a 2.

VI. Shrnutí toho, co jste se naučili, provedení diagnostické práce (která povzbuzuje studenty, nikoli učitele, aby si toto téma prostudovali) (krok 6)

Diagnostické práce.

Test(klávesy položte na zadní stranu těsta).

Možnosti úlohy: reprezentujte podíl x 15 jako mocninu: x 3; představují jako mocninu součin (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7; pro které m platí rovnost a 16 a m = a 32? najděte hodnotu výrazu h 0: h 2 při h = 0,2; vypočítat hodnotu výrazu (5 2 5 0) : 5 2 .

Shrnutí lekce. Odraz. Třídu rozděluji na dvě skupiny.

Najděte argumenty ve skupině I: ve prospěch znalosti vlastností stupně a skupině II - argumenty, které řeknou, že se bez vlastností obejdete. Posloucháme všechny odpovědi a vyvozujeme závěry. V následujících lekcích můžete nabídnout statistické údaje a nazvat rubriku „To je neuvěřitelné!“

Průměrný člověk sní za život 32 10 2 kg okurek.

Vosa je schopna provést bez mezipřistání 3,2 10 2 km.

Při prasknutí skla se trhlina šíří rychlostí asi 5 10 3 km/h.

Žába za svůj život sežere více než 3 tuny komárů. Pomocí stupně zapište v kg.

Za nejplodnější je považována oceánská ryba - měsíc (Mola mola), který při jednom tření naklade až 300 000 000 vajíček o průměru asi 1,3 mm. Napište toto číslo pomocí mocniny.

VII. Domácí práce.

Historický odkaz. Jaká čísla se nazývají Fermatova čísla.

S.19. č. 403, č. 408, č. 417

Použité knihy:

Učebnice "Algebra-7", autoři Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk a kol.

Didaktický materiál pro 7. ročník, L.V. Kuzněcovová, L.I. Zvavich, S.B. Suvorov.

Encyklopedie matematiky.

Časopis "Quant".

Vlastnosti stupňů, formulace, důkazy, příklady.

Po určení mocniny čísla je logické o tom mluvit stupně vlastnosti. V tomto článku uvedeme základní vlastnosti mocniny čísla, přičemž se dotkneme všech možných exponentů. Zde poskytneme důkazy všech vlastností stupňů a také ukážeme, jak se tyto vlastnosti používají při řešení příkladů.

Navigace na stránce.

Vlastnosti stupňů s přirozenými exponenty

Podle definice mocniny s přirozeným exponentem je mocnina a n součinem n faktorů, z nichž každý je roven a. Na základě této definice a také pomocí vlastnosti násobení reálných čísel, můžeme získat a zdůvodnit následující vlastnosti stupně s přirozeným exponentem:

hlavní vlastnost stupně a m ·a n =a m+n, jeho zobecnění a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k;

vlastnost podílových mocnin se shodnými bázemi a m:a n =a m−n ;

vlastnost stupně součinu (a·b) n =a n ·b n , jeho rozšíření (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n ;

vlastnost kvocientu k přirozenému stupni (a:b) n =a n:b n ;

zvýšení stupně na mocninu (a m) n =a m·n, jeho zobecnění (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;

srovnání stupně s nulou:

• pokud a>0, pak a n>0 pro libovolné přirozené číslo n;
• jestliže a=0, pak an=0;
• jestliže a 2·m >0 , jestliže a 2·m−1 n ;
• jestliže m a n jsou přirozená čísla taková, že m>n, pak pro 0m n a pro a>0 platí nerovnost a m >a n.

Okamžitě poznamenejme, že všechny písemné rovnosti jsou identické za stanovených podmínek lze zaměnit jejich pravou a levou část. Například hlavní vlastnost zlomku a m ·a n =a m+n s zjednodušující výrazyčasto se používá ve tvaru a m+n =a m ·a n .

Nyní se na každý z nich podíváme podrobně.

Začněme vlastností součinu dvou mocnin se stejnými základy, která se nazývá hlavní vlastnost stupně: pro libovolné reálné číslo a a pro všechna přirozená čísla m a n platí rovnost a m ·a n =a m+n.

Dokažme hlavní vlastnost stupně. Definicí mocniny s přirozeným exponentem lze součin mocnin se shodnými základy tvaru a m ·a n zapsat jako součin . Vzhledem k vlastnostem násobení lze výsledný výraz zapsat jako , a tento součin je mocninou čísla a s přirozeným exponentem m+n, tedy a m+n. Tím je důkaz dokončen.

Uveďme příklad potvrzující hlavní vlastnost stupně. Vezměme stupně se stejnými základy 2 a přirozenými mocninami 2 a 3, pomocí základní vlastnosti stupňů můžeme napsat rovnost 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Ověříme jeho platnost výpočtem hodnot výrazů 2 2 · 2 3 a 2 5 . Provedeme-li umocňování, máme 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 a 2 5 =2 2 2 2 2 = 32, protože dostaneme stejné hodnoty, pak rovnost 2 2 ·2 3 =2 5 je správně a potvrzuje hlavní vlastnost stupně.

Základní vlastnost stupně, založená na vlastnostech násobení, lze zobecnit na součin tří a více mocnin se stejnými základy a přirozenými exponenty. Takže pro libovolné číslo k přirozených čísel n 1 , n 2 , …, n k platí rovnost a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Například (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Můžeme přejít k další vlastnosti mocnin s přirozeným exponentem – vlastnost podílových mocnin se stejnými základy: pro libovolné nenulové reálné číslo a a libovolná přirozená čísla m a n splňující podmínku m>n platí rovnost a m:a n =a m−n.

Před předložením důkazu této vlastnosti proberme význam dalších podmínek ve formulaci. Podmínka a≠0 je nutná, abychom se vyhnuli dělení nulou, protože 0 n = 0, a když jsme se s dělením seznámili, shodli jsme se, že nulou dělit nemůžeme. Podmínka m>n je zavedena proto, abychom nepřekročili přirozené exponenty. Pro m>n je exponent a m−n přirozené číslo, jinak bude buď nula (což platí pro m−n) nebo záporné číslo (což platí pro m m−n ·a n =a (m−n) +n =a m Z výsledné rovnosti a m−n ·a n =a m a ze souvislosti mezi násobením a dělením vyplývá, že a m−n je podíl mocnin a m a a n. To dokazuje vlastnost kvocientů mocnin s stejné základy.

Uveďme příklad. Vezměme dva stupně se stejnými základy π a přirozenými exponenty 5 a 2, rovnost π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 odpovídá uvažované vlastnosti stupně.

Nyní uvažujme výkonová vlastnost produktu: přirozená mocnina n součinu libovolných dvou reálných čísel a a b je rovna součinu mocnin a n a b n , tedy (a·b) n =a n ·b n .

Podle definice stupně s přirozeným exponentem máme . Na základě vlastností násobení lze poslední součin přepsat jako , což se rovná a n · b n .

Zde je příklad: .

Tato vlastnost se rozšiřuje na sílu součinu tří nebo více faktorů. To znamená, že vlastnost přirozeného stupně n součinu k faktorů se zapisuje jako (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .

Pro názornost si tuto vlastnost ukážeme na příkladu. Pro součin tří faktorů na mocninu 7 máme .

Následující vlastnost je vlastnost naturálního kvocientu: podíl reálných čísel aab, b≠0 k přirozené mocnině n se rovná podílu mocnin a n a b n, tedy (a:b) n =a n:b n.

Důkaz lze provést pomocí předchozí vlastnosti. Takže (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n a z rovnosti (a:b) n ·b n =a n vyplývá, že (a:b) n je kvocient dělení a n na bn.

Zapišme tuto vlastnost pomocí konkrétních čísel jako příklad: .

Teď to vyslovme vlastnost pozvednout moc na moc: pro libovolné reálné číslo a a jakákoli přirozená čísla m a n je mocnina a m na n rovna mocnině čísla a s exponentem m·n, tedy (a m) n =a m·n.

Například (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Důkazem vlastnosti power-to-degree je následující řetězec rovnosti: .

Uvažovaná vlastnost může být rozšířena ze stupně na stupeň atd. Například pro jakákoli přirozená čísla p, q, r a s rovnost . Pro větší názornost uveďme příklad s konkrétními čísly: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10.

Zbývá se pozastavit nad vlastnostmi porovnávání stupňů s přirozeným exponentem.

Začněme prokázáním vlastnosti srovnání nuly a mocniny s přirozeným exponentem.

Nejprve dokažme, že a n >0 pro libovolné a>0.

Součin dvou kladných čísel je kladné číslo, jak vyplývá z definice násobení. Tato skutečnost a vlastnosti násobení naznačují, že výsledkem vynásobení libovolného počtu kladných čísel bude také kladné číslo. A mocnina čísla a s přirozeným exponentem n je podle definice součinem n faktorů, z nichž každý je roven a. Tyto argumenty nám umožňují tvrdit, že pro jakýkoli kladný základ a je stupeň a n kladné číslo. Vzhledem k prokázané vlastnosti 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 a .

Je zcela zřejmé, že pro jakékoli přirozené číslo n s a=0 je stupeň a n nulový. Ve skutečnosti 0 n = 0 · 0 · ... · 0 = 0 . Například 0 3 = 0 a 0 762 = 0.

Pojďme k záporným základům stupně.

Začněme případem, kdy je exponent sudé číslo, označme ho 2·m, kde m je přirozené číslo. Pak . Podle pravidla pro násobení záporných čísel je každý ze součinů tvaru a·a roven součinu absolutních hodnot čísel a a a, což znamená, že jde o kladné číslo. Proto bude produkt také pozitivní a stupeň a 2·m. Uveďme příklady: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 a .

Nakonec, když je základ a záporné číslo a exponent je liché číslo 2 m−1, pak . Všechny součiny a·a jsou kladná čísla, součin těchto kladných čísel je také kladný a jeho vynásobením zbývajícím záporným číslem a vznikne záporné číslo. Díky této vlastnosti (−5) 3 17 n n je součin levé a pravé strany n skutečných nerovností a vlastnosti nerovnic, platí i prokazatelná nerovnost tvaru a n n. Například díky této vlastnosti jsou nerovnosti 3 7 7 a .

Zbývá dokázat poslední z uvedených vlastností mocnin s přirozenými exponenty. Pojďme to zformulovat. Ze dvou mocnin s přirozenými exponenty a identickými kladnými základy menšími než jedna je ta, jejíž exponent je menší, větší; a ze dvou mocnin s přirozenými exponenty a stejnými bázemi většími než jedna je ta, jejíž exponent je větší, větší. Přejděme k důkazu této vlastnosti.

Dokažme, že pro m>n a 0m n . K tomu zapíšeme rozdíl a m − a n a porovnáme s nulou. Zaznamenaný rozdíl po vyjmutí a n ze závorek bude mít tvar a n ·(a m−n−1) . Výsledný součin je záporný jako součin kladného čísla a n a záporného čísla a m−n −1 (a n je kladné jako přirozená mocnina kladného čísla a rozdíl a m−n −1 je záporný, protože m−n >0 kvůli počáteční podmínce m>n, z čehož vyplývá, že když 0m−n je menší než jedna). Proto a m −a n m n , což je to, co bylo potřeba dokázat. Jako příklad uvádíme správnou nerovnost.

Zbývá doložit druhou část majetku. Dokažme, že pro m>n a a>1 platí a m >a n. Rozdíl a m −a n po vyjmutí a n ze závorek nabývá tvaru a n ·(a m−n −1) . Tento součin je kladný, protože pro a>1 je stupeň a n kladné číslo a rozdíl a m−n −1 je kladné číslo, protože m−n>0 kvůli počáteční podmínce a pro a>1 stupeň a m−n je větší než jedna . Následně a m −a n >0 a a m >a n , což je to, co bylo potřeba dokázat. Tato vlastnost je znázorněna nerovností 3 7 > 3 2.

Vlastnosti mocnin s celočíselnými exponenty

Protože kladná celá čísla jsou přirozená čísla, pak se všechny vlastnosti mocnin s kladnými celočíselnými exponenty přesně shodují s vlastnostmi mocnin s přirozenými exponenty uvedenými a dokázanými v předchozím odstavci.

Stupeň s celočíselným záporným exponentem i stupeň s nulovým exponentem jsme definovali tak, aby všechny vlastnosti stupňů s přirozenými exponenty, vyjádřené rovností, zůstaly v platnosti. Všechny tyto vlastnosti tedy platí jak pro nulové, tak pro záporné exponenty, přičemž základy mocnin jsou samozřejmě jiné než nula.

Takže pro všechna reálná a nenulová čísla a a b, stejně jako pro všechna celá čísla m a n, platí následující: vlastnosti mocnin s celočíselnými exponenty:

• a m · a n =a m+n;
• a m:a n =a m−n ;
• (a·b)n=an·bn;
• (a:b)n=an:bn;
• (a m) n = a m·n;
• jestliže n je kladné celé číslo, aab jsou kladná čísla a a n n a a −n >b −n ;
• jestliže m a n jsou celá čísla a m>n, pak pro 0m n a pro a>1 platí nerovnost a m >a n.

Když a=0, mocniny a m a a n dávají smysl pouze tehdy, když m a n jsou kladná celá čísla, tedy přirozená čísla. Právě zapsané vlastnosti tedy platí i pro případy, kdy a=0 a čísla m a n jsou kladná celá čísla.

Dokázat každou z těchto vlastností není obtížné, stačí použít definice stupňů s přirozenými a celočíselnými exponenty a také vlastnosti operací s reálnými čísly. Jako příklad dokažme, že vlastnost mocniny platí pro kladná i nekladná celá čísla. Chcete-li to provést, musíte ukázat, že pokud p je nula nebo přirozené číslo a q je nula nebo přirozené číslo, pak rovnosti (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) a (a −p) −q =a (−p)·(−q) . Pojďme na to.

Pro kladné p a q byla v předchozím odstavci prokázána rovnost (a p) q =a p·q. Jestliže p=0, pak máme (a 0) q =1 q =1 a a 0·q =a 0 =1, odkud (a 0) q =a 0·q. Podobně, jestliže q=0, pak (a p) 0 =1 a ap·0 =a 0 =1, odkud (a p) 0 =a p·0. Pokud obě p=0 a q=0, pak (a 0) 0 =1 0 =1 a a 0·0 =a 0 =1, odkud (a 0) 0 =a 0·0.

Nyní dokážeme, že (a −p) q =a (−p)·q . Podle definice mocniny se záporným celočíselným exponentem tedy . Vlastností podílů k mocninám, které máme . Protože 1 p =1·1·…·1=1 a , pak . Posledním výrazem je podle definice mocnina tvaru a −(p·q), kterou lze díky pravidlům násobení zapsat jako (−p)·q.

Rovněž .

A .

Pomocí stejného principu můžete dokázat všechny ostatní vlastnosti stupně s celočíselným exponentem, zapsaným ve formě rovnosti.

V předposlední ze zaznamenaných vlastností se vyplatí pozastavit se nad důkazem nerovnosti a −n >b −n, který platí pro libovolné záporné celé číslo −n i kladné a a b, pro které je splněna podmínka a . Zapišme a transformujme rozdíl mezi levou a pravou stranou této nerovnosti: . Protože podle podmínky a n n , tedy b n −a n >0 . Součin a n ·b n je také kladný jako součin kladných čísel a n a b n. Potom je výsledný zlomek kladný jako podíl kladných čísel b n −a n a a n ·b n . Odtud tedy a −n >b −n , což je to, co bylo potřeba dokázat.

Poslední vlastnost mocnin s celočíselnými exponenty se dokazuje stejně jako podobná vlastnost mocnin s přirozenými exponenty.

Vlastnosti mocnin s racionálními exponenty

Definovali jsme stupeň se zlomkovým exponentem rozšířením vlastností stupně o celočíselný exponent. Jinými slovy, mocniny se zlomkovými exponenty mají stejné vlastnosti jako mocniny s celočíselnými exponenty. A to:

1. vlastnost součinu mocnin se stejnými základy pro a>0, a jestliže a, pak pro a>0;
2. vlastnost podílových mocnin se stejnými základy pro a>0;
3. vlastnost produktu na zlomkovou mocninu pro a>0 a b>0, a jestliže a, pak pro a>0 a (nebo) b>0;
4. vlastnost podílu k mocnině zlomku pro a>0 a b>0, a jestliže , pak pro a≥0 a b>0;
5. vlastnost stupně od stupně pro a>0, a jestliže a, pak pro a>0;
6. vlastnost porovnávání mocnin se stejnými racionálními exponenty: pro všechna kladná čísla a a b platí a 0 je nerovnost a p p pravdivá a pro p p >b p ;
7. vlastnost porovnávání mocnin s racionálními exponenty a rovnými základy: pro racionální čísla p a q platí p>q pro 0p q a pro a>0 – nerovnost a p >a q.

Důkaz vlastností mocnin se zlomkovými exponenty je založen na definici mocniny se zlomkovým exponentem, na vlastnostech aritmetického odmocniny n-tého stupně a na vlastnostech mocniny s celočíselným exponentem. Pojďme poskytnout důkazy.

Podle definice mocniny se zlomkovým exponentem a , pak . Vlastnosti aritmetického kořene nám umožňují zapsat následující rovnosti. Dále pomocí vlastnosti stupně s celočíselným exponentem získáme , z čehož podle definice stupně se zlomkovým exponentem máme , a ukazatel získaného stupně lze transformovat následovně: . Tím je důkaz dokončen.

Druhá vlastnost mocnin se zlomkovými exponenty se dokazuje naprosto podobným způsobem:


Zbývající rovnosti jsou prokázány pomocí podobných principů:


Přejděme k dokazování další vlastnosti. Dokažme, že pro každé kladné a a b, a 0 je nerovnost a p p pravdivá a pro p p >b p . Zapišme racionální číslo p jako m/n, kde m je celé číslo a n je přirozené číslo. Podmínky p 0 v tomto případě budou ekvivalentní podmínkám m 0, resp. Pro m>0 a am m . Z této nerovnosti podle vlastnosti odmocnin máme, a protože a a b jsou kladná čísla, pak lze na základě definice stupně se zlomkovým exponentem výslednou nerovnost přepsat jako a p p .

Podobně pro m m >b m, odkud, tedy a p >b p.

Zbývá doložit poslední z vyjmenovaných vlastností. Dokažme, že pro racionální čísla p a q platí p>q pro 0p q a pro a>0 – nerovnost a p >a q. Racionální čísla p a q můžeme vždy redukovat na společného jmenovatele, i když dostaneme obyčejné zlomky a , kde m 1 a m 2 jsou celá čísla a n je přirozené číslo. V tomto případě bude podmínka p>q odpovídat podmínce m 1 >m 2, která vyplývá z pravidla pro porovnávání obyčejných zlomků se stejnými jmenovateli. Pak pomocí vlastnosti porovnání stupňů se stejnými bázemi a přirozenými exponenty pro 0m 1 m 2 a pro a>1 nerovnost a m 1 >a m 2. Tyto nerovnosti ve vlastnostech kořenů lze podle toho přepsat jako A . A definice stupně s racionálním exponentem nám umožňuje přejít k nerovnostem a podle toho. Odtud vyvodíme konečný závěr: pro p>q a 0p q a pro a>0 – nerovnost a p >a q .

Vlastnosti mocnin s iracionálními exponenty

Z toho, jak je definován stupeň s iracionálním exponentem, můžeme usoudit, že má všechny vlastnosti stupňů s racionálním exponentem. Takže pro všechna a>0, b>0 a iracionální čísla p a q platí následující vlastnosti mocnin s iracionálními exponenty:

1. a p ·a q =a p+q;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p=ap·bp;
4. (a:b)p=ap:bp;
5. (ap) q=ap-q;
6. pro všechna kladná čísla a a b, a 0 je nerovnost a p p pravdivá a pro p p >b p ;
7. pro iracionální čísla p a q, p>q pro 0p q a pro a>0 – nerovnost a p >a q.

Z toho můžeme usoudit, že mocniny s libovolnými reálnými exponenty p a q pro a>0 mají stejné vlastnosti.

• Algebra - 10. ročník. Goniometrické rovnice Lekce a prezentace na téma: "Řešení nejjednodušších goniometrických rovnic" Doplňkové materiály Vážení uživatelé, nezapomeňte zanechat své komentáře, recenze, návrhy! Všechny materiály […]
• Vypsáno výběrové řízení na pozici „PRODEJCE - PORADCE“: Náplň práce: prodej mobilních telefonů a příslušenství pro mobilní komunikaci, zákaznický servis pro předplatitele Beeline, Tele2, MTS, připojení tarifů a služeb Beeline a Tele2, poradenství MTS [… ]
• Rovnoběžníkový vzorec Rovnoběžník je mnohostěn se 6 stranami, z nichž každá je rovnoběžník. Kvádr je rovnoběžnostěn, jehož každá plocha je obdélník. Každý rovnoběžnostěn se vyznačuje 3 […]
• Přijmout zákon o rodinných statcích Přijmout federální zákon o bezplatném přidělení pozemku každému občanovi Ruské federace nebo rodině občanů za účelem rozvoje rodinného majetku na něm za následujících podmínek: 1. přiděleno na […]
• Společnost pro ochranu práv spotřebitelů Astana Pro získání PIN kódu pro přístup k tomuto dokumentu na našem webu zašlete SMS zprávu s textem zan na číslo Předplatitelé GSM operátorů (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) do odeslání SMS na číslo, […]
• KONTROLA GOSTEKHNADZOR REGIONU BRYANSK Potvrzení o zaplacení státní daně (Stáhnout-12,2 kb) Žádosti o registraci pro fyzické osoby (Stáhnout-12 kb) Žádosti o registraci pro právnické osoby (Stáhnout-11,4 kb) 1. Při registraci nového vozu: 1.přihláška 2.pas […]
• PRAVOPIS N A NN V RŮZNÝCH ČÁSTECH ŘEČI DIDAKTICKÝ MATERIÁL S.G.ZELINSKAYA Teoretické cvičení 1. Kdy se u přídavných jmen píše nn? 2. Vyjmenujte výjimky z těchto pravidel. 3. Jak rozlišit slovesné přídavné jméno s příponou -n- od příčestí s […]
• Pivoev V.M. Filosofie a metodologie vědy: učebnice pro magisterské a postgraduální studenty Petrozavodsk: Nakladatelství PetrSU, 2013. - 320 s. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb Učebnice je určena pro studenty vyšších ročníků, magisterské a postgraduální studenty sociálních a […]