Pöördmaatriksvalem. Otsige Internetist pöördmaatriksit. Maatriksmeetod majandusanalüüsis

1. Leidke algmaatriksi determinant. Kui , siis on maatriks degenereerunud ja pöördmaatriksit pole. Kui, siis on maatriks mitteainsus ja pöördmaatriks on olemas.

2. Leidke maatriks, millesse on transponeeritud.

3. Leiame elementide algebralised täiendid ja koostame nendest adjointmaatriksi.

4. Koostame pöördmaatriksi valemi järgi.

5. Kontrollime pöördmaatriksi arvutamise õigsust, lähtudes selle definitsioonist:.

Näide. Leidke antud maatriksi pöördväärtus: .

Lahendus.

1) Maatriksdeterminant

2) Leiame maatriksi elementide algebralised täiendid ja koostame nendest adjointmaatriksi:

3) Arvutage pöördmaatriks:

4) Kontrollige:

№4Maatriksi auaste. Maatriksiridade lineaarne sõltumatus

Mitmete matemaatiliste ja rakenduslike probleemide lahendamiseks ja uurimiseks on maatriksi auastme mõiste oluline.

Suurusmaatriksis saab suvaliste ridade ja veergude kustutamisega eraldada ruudukujulised alammaatriksid, mis on järjekorras, kus. Selliste alammaatriksite determinante nimetatakse -maatriksi alamoorid .

Näiteks saab maatriksitest saada 1., 2. ja 3. järku alammaatrikse.

Definitsioon. Maatriksi auaste on selle maatriksi nullist erineva alaea kõrgeim järk. Nimetus: või.

Definitsioonist tuleneb järgmine:

1) Maatriksi aste ei ületa selle mõõtmetest väikseimat, s.o.

2) siis ja ainult siis, kui kõik maatriksi elemendid on võrdsed nulliga, s.t.

3) Ruutmaatriksi jaoks järku n siis ja ainult siis, kui maatriks on mitteainsuseline.

Kuna maatriksi kõigi võimalike minooride otsene loendamine, alustades suurimast suurusest, on keeruline (aeganõudev), kasutatakse maatriksi elementaarteisendusi, mis säilitavad maatriksi auastme.

Elementaarmaatriksi teisendused:

1) Nullrea (veeru) tagasilükkamine.

2) Rea (veeru) kõigi elementide korrutamine arvuga.

3) Maatriksi ridade (veergude) järjekorra muutmine.

4) Ühe rea (veeru) igale elemendile teise rea (veeru) vastavate elementide lisamine, korrutatuna suvalise arvuga.

5) Maatriksi transpositsioon.

Definitsioon. Maatriksist elementaarteisenduste abil saadud maatriksit nimetatakse ekvivalentseks ja tähistatakse A IN.

Teoreem. Maatriksi auaste elementaarmaatriksiteisenduste korral ei muutu.

Elementaarteisenduste abil saab maatriksi viia nn astmevormi, kui selle järgu arvutamine pole keeruline.

Maatriksit nimetatakse astmemaatriksiks, kui sellel on vorm:

Ilmselt võrdub astmemaatriksi auaste nullist erineva ridade arvuga, sest on alajärguline järjekord, mis ei võrdu nulliga:

Näide. Määrake maatriksi auaste elementaarteisenduste abil.

Maatriksi järjestus võrdub nullist erinevate ridade arvuga, st. .

№5Maatriksiridade lineaarne sõltumatus

Antud suuruse maatriks

Tähistame maatriksi ridu järgmiselt:

Neid kahte rida nimetatakse võrdne kui nende vastavad elemendid on võrdsed. .

Tutvustame stringi arvuga korrutamise ja stringide lisamise toiminguid elemendi haaval:

Definitsioon. Rida nimetatakse maatriksiridade lineaarseks kombinatsiooniks, kui see on võrdne nende ridade korrutistega suvaliste reaalarvudega (mis tahes arvudega):

Definitsioon. Maatriksi ridu nimetatakse lineaarselt sõltuv , kui on selliseid numbreid, mis ei ole samaaegselt võrdsed nulliga, nii et maatriksiridade lineaarne kombinatsioon on võrdne nullreaga:

Kus. (1.1)

Maatriksi ridade lineaarne sõltuvus tähendab, et vähemalt 1 rida maatriksist on ülejäänud lineaarne kombinatsioon.

Definitsioon. Kui ridade lineaarne kombinatsioon (1.1) on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui kõik koefitsiendid on , siis nimetatakse ridu lineaarselt sõltumatu .

Maatriksjärgu teoreem . Maatriksi järjestus on võrdne selle lineaarselt sõltumatute ridade või veergude maksimaalse arvuga, mille kaudu kõik teised read (veerud) on lineaarselt väljendatud.

Teoreem mängib maatriksanalüüsis, eriti süsteemide uurimisel, olulist rolli lineaarvõrrandid.

№6Tundmatutega lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine

Lineaarvõrrandisüsteeme kasutatakse majandusteaduses laialdaselt.

Muutujatega lineaarsete võrrandite süsteem on järgmine:

kus () nimetatakse suvalisi numbreid muutujate koefitsiendid Ja võrrandi vabad liikmed , vastavalt.

Lühisissekanne: ().

Definitsioon. Süsteemi lahendus on selline väärtuste kogum, mille asendamisel muutub süsteemi iga võrrand tõeliseks võrduseks.

1) võrrandisüsteemi nimetatakse liigend kui sellel on vähemalt üks lahendus ja Sobimatu kui sellel pole lahendusi.

2) Ühisvõrrandisüsteemi nimetatakse teatud kui sellel on ainulaadne lahendus ja ebakindel kui sellel on rohkem kui üks lahendus.

3) Nimetatakse kahte võrrandisüsteemi samaväärne (samaväärne ) , kui neil on sama lahenduste komplekt (näiteks üks lahendus).

pöördmaatriks antud jaoks on see selline maatriks, algse korrutis, millega saadakse identiteedimaatriks: Kohustuslik ja piisav seisukord pöördmaatriksi olemasolu on algse maatriksi determinandi ebavõrdsus nulliga (mis omakorda tähendab, et maatriks peab olema ruut). Kui maatriksi determinant on võrdne nulliga, nimetatakse seda degeneratiivseks ja sellisel maatriksil pole pöördväärtust. Kõrgemas matemaatikas on pöördmaatriksid olulised ja neid kasutatakse mitmete ülesannete lahendamiseks. Näiteks edasi pöördmaatriksi leidmine konstrueeritakse võrrandisüsteemide lahendamiseks maatriksmeetod. Meie teenindussait võimaldab arvutage pöördmaatriks võrgus kaks meetodit: Gaussi-Jordani meetod ja algebraliste liitmiste maatriksi kasutamine. Esimene eeldab suurt hulka elementaarteisendusi maatriksi sees, teine - determinandi ja algebraliste lisamiste arvutamist kõigile elementidele. Maatriksi determinandi arvutamiseks võrgus saate kasutada meie teist teenust - Maatriksi determinandi arvutamine võrgus

Leidke saidilt pöördmaatriks

veebisait võimaldab leida pöördmaatriks võrgus kiire ja tasuta. Saidil teeb meie teenus arvutused ja kuvatakse tulemus koos üksikasjaliku leidmise lahendusega pöördmaatriks. Server annab alati ainult täpse ja õige vastuse. Ülesannetes definitsiooni järgi pöördmaatriks võrgus, on vajalik, et determinant maatriksid oli nullist erinev, muidu veebisait teatab pöördmaatriksi leidmise võimatusest, kuna algmaatriksi determinant on võrdne nulliga. Ülesande leidmine pöördmaatriks leidub paljudes matemaatikaharudes, olles algebra üks põhimõisteid ja matemaatiline tööriist rakendusülesannetes. Sõltumatu pöördmaatriksi definitsioon nõuab märkimisväärset pingutust, palju aega, arvutusi ja suurt hoolt, et mitte teha arvutustes libisemist või väikest viga. Seetõttu on meie teenus pöördmaatriksi leidmine võrgust hõlbustab oluliselt teie ülesannet ja muutub lahendamisel asendamatuks vahendiks matemaatika ülesandeid. Isegi kui sa leida pöördmaatriks ise, soovitame oma lahendust meie serveris kontrollida. Sisestage oma algne maatriks meie arvutamise pöördmaatriksisse veebis ja kontrollige oma vastust. Meie süsteem ei eksi kunagi ja leiab pöördmaatriks režiimis antud mõõde võrgus koheselt! Kohapeal veebisait märkide sisestamine on elementides lubatud maatriksid, sel juhul pöördmaatriks võrgus esitatakse üldises sümboolses vormis.

ALGEEBRALISED LISANDID JA ALAALANE

Olgem kolmandat järku determinant: .

Alaealine sellele elemendile vastav aij kolmandat järku determinandiks nimetatakse teist järku determinandi, mis saadakse etteantust, kustutades rea ja veeru, mille ristumiskohas antud element seisab, s.t. i-th rida ja j-s veerg. Minorid, mis vastavad antud elemendile aij me tähistame M ij.

Näiteks, alaealine M12 elemendile vastav a 12, saab olema määraja , mis saadakse antud determinandist 1. rea ja 2. veeru kustutamisel.

Seega näitab kolmandat järku determinandi määrav valem, et see determinant on võrdne 1. rea elementide ja neile vastavate minoorsete korrutiste summaga; samas kui elemendile vastav moll a 12, võetakse “–” märgiga, st. võib nii kirjutada

(1)

Samamoodi võib teist ja kõrgemat järku determinantide jaoks kasutusele võtta alaealiste mõisted.

Tutvustame veel üht kontseptsiooni.

Algebraline liitmine element aij determinanti nimetatakse selle minoorseks M ij korrutatuna (–1) i+j .

Algebralise elemendi liitmine aij tähistatud A ij.

Definitsioonist saame, et seost elemendi algebralise täiendi ja selle molli vahel väljendab võrdsus A ij= (–1) i+j M ij .

Näiteks,

Näide. Antud determinant. Otsi A 13, A 21, A 32.

On lihtne näha, et kasutades elementide algebralisi liitmisi, saab valemi (1) kirjutada järgmiselt:

Sarnaselt selle valemiga saab determinandi jaotada mis tahes rea või veeru elementide üle.

Näiteks determinandi lagunemise 2. rea elementide üle saab saada järgmiselt. Determinandi omaduse 2 järgi on meil:

Laiendame saadud determinanti 1. rea elementide võrra.

(2)

Siit sest teist järku determinandid valemis (2) on elementide minoorsed 21, 22, 23. Seega , s.t. oleme saanud determinandi laienduse 2. rea elementide võrra.

Samamoodi võib saada determinandi lagunemise üle kolmanda rea elementide. Kasutades determinantide omadust 1 (transponeerimisel), saab näidata, et sarnased laiendused kehtivad ka veeruelementide laienduste puhul.

Seega on järgmine teoreem tõene.

Teoreem (determinandi lagunemise kohta antud reas või veerus). Determinant on võrdne selle mis tahes rea (või veeru) elementide ja nende algebraliste täiendite korrutistega.

Kõik eelnev kehtib mis tahes kõrgema järgu determinantide kohta.

Näited.

PÖÖRDMAATRIKS

Pöördmaatriksi mõiste võetakse kasutusele ainult selleks ruutmaatriksid.

Kui A on siis ruutmaatriks tagurpidi selle jaoks on maatriks tähistatud maatriks A-1 ja tingimuse rahuldamine. (See määratlus võetakse kasutusele analoogia põhjal arvude korrutamisega)

Pöördmaatriksi leidmine on protsess, mis koosneb üsna lihtsatest sammudest. Kuid neid toiminguid korratakse nii sageli, et protsess on üsna pikk. Peaasi, et otsuse tegemisel tähelepanu ei kaotaks.

Kõige tavalisema meetodi - algebraliste liitmiste - lahendamisel vajate:

Näidete lahendamisel analüüsime neid toiminguid üksikasjalikumalt. Seniks uurime, mida ütleb pöördmaatriksiteooria.

Sest pöördmaatriks on tabav analoogia arvu pöördarvuga. Iga numbri jaoks a, mis ei ole võrdne nulliga, on olemas arv b et töö a Ja b võrdne ühega: ab= 1. Number b nimetatakse arvu pöördarvuks b. Näiteks arvu 7 puhul on pöördväärtus 1/7, kuna 7*1/7=1.

pöördmaatriks , mis tuleb antud ruutmaatriksi jaoks leida A, nimetatakse sellist maatriksit

korrutis, mille abil maatriksid A paremal on identiteedimaatriks, st
. (1)

Identiteedimaatriks on diagonaalmaatriks, milles kõik diagonaalkirjed on võrdsed ühega.

Pöördmaatriksi leidmine- probleem, mida enamasti lahendatakse kahel viisil:

algebraliste täiendite meetod, mille puhul, nagu tunni alguses märgitud, on vaja leida determinandid, mollid ja algebralised täiendid ning transponeerida maatriksid;
Gaussi elimineerimismeetod, mis nõuab maatriksite elementaarseid teisendusi (ridade lisamine, ridade korrutamine sama arvuga jne).

Eriti uudishimulike jaoks on ka teisi meetodeid, näiteks lineaarsete teisenduste meetod. Selles õppetükis analüüsime kolme mainitud meetodit ja nende meetodite abil pöördmaatriksi leidmise algoritme.

Teoreem.Iga mitteainsuse (mitteainsuse, mitteainsuse) ruutmaatriksi jaoks võib leida pöördmaatriksi ja pealegi ainult ühe. Spetsiaalse (degenereerunud, ainsuse) ruutmaatriksi jaoks pöördmaatriksit ei eksisteeri.

Ruutmaatriksit nimetatakse mitteeriline(või mitte-mandunud, mitteainsuses), kui selle determinant ei ole võrdne nulliga, ja eriline(või degenereerunud, ainsus), kui selle determinant on null.

Pöördmaatriksi saab leida ainult ruutmaatriksi jaoks. Loomulikult on ka pöördmaatriks ruut ja antud maatriksiga samas järjekorras. Maatriksit, mille jaoks võib leida pöördmaatriksi, nimetatakse inverteeritavaks maatriksiks.

Pöördmaatriksi leidmine tundmatute Gaussi eliminatsiooni abil

Esimene samm pöördmaatriksi leidmiseks Gaussi eliminatsiooni abil on maatriksile omistamine A samas järjekorras identiteedimaatriks, eraldades need vertikaalse ribaga. Saame kahekordse maatriksi. Korrutage selle maatriksi mõlemad osad arvuga , siis saame

Algoritm pöördmaatriksi leidmiseks tundmatute Gaussi eliminatsiooni abil

1. Maatriksile A määrata samas järjekorras identiteedimaatriks.

2. Teisendage saadud duaalmaatriks nii, et identiteedimaatriks saadakse selle vasakpoolses osas, siis saadakse identiteedimaatriksi asemel automaatselt parempoolses osas pöördmaatriks. Maatriks A vasakpoolses servas teisendatakse maatriksi elementaarteisendustega identiteedimaatriksiks.

2. Kui maatriksiteisenduse protsessis A identiteedimaatriksis on mis tahes reas või veerus ainult nullid, siis on maatriksi determinant võrdne nulliga ja seetõttu maatriks A on degenereerunud ja sellel pole pöördmaatriksit. Sel juhul pöördmaatriksi edasine leidmine peatub.

Näide 2 Maatriksi jaoks

leida pöördmaatriks.

ja me teisendame selle nii, et identiteedimaatriks saadakse vasakul küljel. Alustame ümberkujundamist.

Korrutage vasaku ja parema maatriksi esimene rida (-3) ja lisage see teisele reale ning seejärel korrutage esimene rida (-4) ja lisage see kolmandale reale, siis saame

Võimaluse korral vältida murdarvud järgnevates teisendustes loome esmalt üksuse duaalmaatriksi vasakpoolses teises reas. Selleks korrutage teine rida 2-ga ja lahutage sellest kolmas rida, siis saame

Liidame esimese rea teisele ja seejärel korrutame teise rea (-9)-ga ja lisame selle kolmandale reale. Siis saame

Seejärel jagage kolmas rida 8-ga

Korrutage kolmas rida 2-ga ja lisage see teisele reale. Selgub:

Vahetades teise ja kolmanda rea kohad, saame lõpuks:

Näeme, et identiteedimaatriks saadakse vasakul küljel, seega saadakse pöördmaatriks paremal pool. Seega:

Arvutuste õigsust saate kontrollida, korrutades algse maatriksi leitud pöördmaatriksiga:

Tulemuseks peaks olema pöördmaatriks.

Lahendust saate kontrollida kasutades Interneti-kalkulaator pöördmaatriksi leidmiseks .

Näide 3 Maatriksi jaoks

leida pöördmaatriks.

Lahendus. Kahekordse maatriksi koostamine

ja me muudame selle.

Korrutame esimese rea 3-ga ja teise 2-ga ja lahutame teisest ning seejärel korrutame esimese rea 5-ga ja kolmanda 2-ga ja lahutame kolmandast reast, siis saame

pöördmaatriks on maatriks A -1, kui korrutada millega antud algmaatriks A annab identiteedimaatriksi E:

AA −1 = A −1 A =E.

Pöördmaatriksmeetod.

Pöördmaatriksmeetod- see on üks levinumaid maatriksite lahendamise meetodeid ja seda kasutatakse lineaarsete algebraliste võrrandite (SLAE) lahendamiseks juhtudel, kui tundmatute arv vastab võrrandite arvule.

Las olla süsteem n lineaarvõrrandid n teadmata:

Sellise süsteemi saab kirjutada maatriksvõrrandina A*X=B,

Kus
- süsteemimaatriks,

- tundmatute veerg,

- vabade koefitsientide veerg.

Tuletatud maatriksvõrrandist väljendame X, korrutades vasakpoolse maatriksvõrrandi mõlemad pooled A-1, mille tulemuseks on:

A -1 * A * X = A -1 * B

Teades seda A-1*A=E, Siis E*X=A-1*B või X = A-1 * B.

Järgmine samm on pöördmaatriksi määramine A-1 ja korrutatuna vabade tingimuste veeruga B.

Pöördmaatriksist maatriksisse A eksisteerib ainult siis, kui det A≠ 0 . Seda silmas pidades on SLAE lahendamisel pöördmaatriksmeetodil esimene samm leida det A. Kui det A≠ 0 , siis on süsteemil ainult üks lahend, mille saab pöördmaatriksmeetodil, kui det A = 0, siis selline süsteem pöördmaatriks meetod ei ole lahendatud.

Pöördmaatrikslahendus.

Toimingute jada jaoks pöördmaatrikslahendused:

Hankige maatriksi determinant A. Kui determinant on suurem kui null, siis lahendame pöördmaatriksi edasi, kui võrdub nulliga, siis pöördmaatriksit siit ei leia.
Transponeeritud maatriksi leidmine AT.
Otsime algebralisi täiendeid, mille järel asendame kõik maatriksi elemendid nende algebraliste täienditega.
Pöördmaatriksi kogume algebralistest liitmistest: jagame kõik saadud maatriksi elemendid algselt antud maatriksi determinandiga. Lõplikuks maatriksiks on algse suhtes soovitud pöördmaatriks.

Algoritm allpool pöördmaatrikslahendused sisuliselt sama mis ülal, erinevus on vaid mõnes etapis: kõigepealt määrame algebralised liitmised ja seejärel arvutame liitmaatriksi C.

Uurige, kas antud maatriks on ruut. Eitava vastuse puhul saab selgeks, et pöördmaatriksit selle jaoks olla ei saa.
Uurige, kas antud maatriks on ruut. Eitava vastuse puhul saab selgeks, et pöördmaatriksit selle jaoks olla ei saa.
Arvutame algebralisi liite.
Koostame liitmaatriksi (vastastikune, lisatud). C.
Koostame algebralistest liitmistest pöördmaatriksi: kõik adjointmaatriksi elemendid C jagage algmaatriksi determinandiga. Saadud maatriks on antud maatriksi suhtes soovitud pöördmaatriks.
Kontrollime tehtud tööd: korrutame alg- ja tulemusemaatriksid, tulemuseks peaks olema identiteedimaatriks.

Seda on kõige parem teha lisatud maatriksiga.

Teoreem: Kui omistame paremal pool asuvale ruutmaatriksile sama järjekorra identiteedimaatriksi ja teisendame vasakpoolse algmaatriksi ühikmaatriksiks, kasutades elementaarteisendusi üle ridade, siis on paremalt saadud maatriks pöördvõrdeline esialgne.