Nii et istume maha ja hakkame numbreid kirjutama. Näiteks:
Võite kirjutada mis tahes numbreid ja neid võib olla nii palju kui soovite (meie puhul neid). Ükskõik kui palju numbreid me kirjutame, saame alati öelda, milline neist on esimene, milline teine ​​ja nii edasi kuni viimaseni, see tähendab, et me saame need nummerdada. See on näide numbrijadast:

Numbriline jada
Näiteks meie jada jaoks:

Määratud number on spetsiifiline ainult ühele järjekorranumbrile. Teisisõnu, jadas pole kolme sekundilist numbrit. Teine number (nagu -th number) on alati sama.
Numbriga arvu nimetatakse jada -ndaks liikmeks.

Tavaliselt nimetame kogu jada mõneks täheks (näiteks) ja selle jada iga liiget - sama tähte, mille indeks on võrdne selle liikme numbriga: .

Meie puhul:

Oletame, et meil on arvuline jada, milles külgnevate arvude erinevus on sama ja võrdne.
Näiteks:

jne.
Sellist arvulist jada nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks.
Mõiste "edenemine" võttis Rooma autor Boethius kasutusele juba 6. sajandil ja seda mõisteti laiemas tähenduses lõputu numbrijadana. Nimetus "aritmeetika" kanti üle pidevate proportsioonide teooriast, millega tegelesid vanad kreeklased.

See on arvuline jada, mille iga liige on võrdne eelmisega, millele on lisatud sama number. Seda arvu nimetatakse erinevuseks aritmeetiline progressioon ja on märgitud.

Proovige kindlaks teha, millised arvujadad on aritmeetiline progressioon ja millised mitte:

a)
b)
c)
d)

Sain aru? Võrrelge meie vastuseid:
On aritmeetiline progressioon - b, c.
Ei ole aritmeetiline progressioon - a, d.

Pöördume tagasi antud progressiooni () juurde ja proovime leida selle th liikme väärtust. Olemas kaks viis selle leidmiseks.

1. Meetod

Saame lisada progressiooninumbri eelmisele väärtusele, kuni jõuame progressiooni th liikmeni. Hea, et meil pole palju kokkuvõtet – ainult kolm väärtust:

Seega on kirjeldatud aritmeetilise progressiooni -s liige võrdne.

2. Meetod

Mis siis, kui meil oleks vaja leida progressiooni th liikme väärtus? Summeerimine oleks võtnud meilt üle ühe tunni ja pole tõsiasi, et me poleks arvude liitmisel vigu teinud.
Muidugi on matemaatikud välja mõelnud viisi, et aritmeetilise progressiooni erinevust pole vaja eelmisele väärtusele lisada. Vaadake joonistatud pilti tähelepanelikult ... Kindlasti olete juba märganud teatud mustrit, nimelt:

Näiteks vaatame, mis moodustab selle aritmeetilise progressiooni -nda liikme väärtuse:


Teisisõnu:

Proovige sel viisil iseseisvalt leida selle aritmeetilise progressiooni liikme väärtus.

Arvutatud? Võrrelge oma sissekandeid vastusega:

Pange tähele, et saite täpselt sama arvu, mis eelmises meetodis, kui lisasime järjestikku aritmeetilise progressiooni liikmed eelmisele väärtusele.
Proovime "depersonaliseerida" see valem- viime selle üldisele kujule ja saame:

Aritmeetilise progressiooni võrrand.

Aritmeetilised progressioonid kas suurenevad või vähenevad.

Kasvav- progressioonid, milles iga järgmine termini väärtus on eelmisest suurem.
Näiteks:

Langevad- progressioonid, milles iga järgmine termini väärtus on väiksem kui eelmine.
Näiteks:

Tuletatud valemit kasutatakse aritmeetilise progressiooni nii kasvavate kui ka kahanevate liikmete liikmete arvutamisel.
Kontrollime seda praktikas.
Meile antakse aritmeetiline progressioon, mis koosneb järgmistest numbritest:

Sellest ajast:

Seega olime veendunud, et valem töötab nii kahanevas kui ka suurendavas aritmeetilises progressioonis.
Proovige ise leida selle aritmeetilise progressiooni -ndat ja -ndat liiget.

Võrdleme tulemusi:

Aritmeetilise progressiooni omadus

Teeme ülesande keerulisemaks – tuletame aritmeetilise progressiooni omaduse.
Oletame, et meile antakse järgmine tingimus:
- aritmeetiline progressioon, leidke väärtus.
See on lihtne, ütlete ja hakkate loendama juba tuttava valemi järgi:

Olgu siis a:

Täiesti õigus. Selgub, et kõigepealt leiame, siis lisame selle esimesele numbrile ja saame otsitava. Kui progresseerumist kujutavad väikesed väärtused, siis pole selles midagi keerulist, aga mis siis, kui tingimuses on meile antud numbrid? Nõus, arvutustes on vigu võimalik teha.
Mõelge nüüd, kas seda probleemi on võimalik ühe sammuga lahendada mis tahes valemi abil? Muidugi, jah, ja me proovime selle nüüd välja tuua.

Tähistame aritmeetilise progressiooni soovitud liiget nii, et me teame selle leidmise valemit - see on sama valem, mille tuletasime alguses:
, Siis:

• edenemise eelmine liige on:
• edenemise järgmine tähtaeg on:

Summeerime edenemise eelmised ja järgmised liikmed:

Selgub, et progressiooni eelmiste ja järgnevate liikmete summa on kaks korda suurem kui nende vahel paikneva progressiooni liikme väärtus. Teisisõnu, teadaolevate eelnevate ja järjestikuste väärtustega progressiooniliikme väärtuse leidmiseks on vaja need liita ja jagada.

Täpselt nii, meil on sama number. Parandame materjali. Arvutage progresseerumise väärtus ise, sest see pole üldse keeruline.

Hästi tehtud! Teate progresseerumisest peaaegu kõike! Jääb välja selgitada ainult üks valem, mille legendi järgi on üks kõigi aegade suurimaid matemaatikuid, "matemaatikute kuningas" - Karl Gauss - enda jaoks hõlpsasti tuletatud ...

Kui Carl Gauss oli 9-aastane, esitas õpetaja, kes oli hõivatud teiste klasside õpilaste tööde kontrollimisega, tunnis järgmise ülesande: „Arvutage kõigi summa. naturaalarvud alates kuni (teistel andmetel kuni) kaasa arvatud. Mis oli õpetaja üllatus, kui üks tema õpilastest (see oli Karl Gauss) andis minuti pärast ülesandele õige vastuse, samal ajal kui enamik hulljulge klassikaaslasi sai pärast pikki arvutusi vale tulemuse ...

Noor Carl Gauss märkas mustrit, mida on lihtne märgata.
Oletame, et meil on aritmeetiline progressioon, mis koosneb -ti liikmetest: Peame leidma aritmeetilise progressiooni antud liikmete summa. Muidugi saame kõik väärtused käsitsi summeerida, aga mis siis, kui meil on vaja leida ülesandest selle liikmete summa, nagu Gauss otsis?

Kujutame meile antud progressi. Vaadake tähelepanelikult esiletõstetud numbreid ja proovige nendega teha erinevaid matemaatilisi tehteid.


Proovis? Mida sa märkasid? Õige! Nende summad on võrdsed

Nüüd vastake, kui palju selliseid paare meile antud progressioonis on? Muidugi täpselt pool kõigist numbritest, see tähendab.
Lähtudes asjaolust, et aritmeetilise progressiooni kahe liikme summa on võrdne ja sarnased võrdsed paarid, saame, et kogusumma on võrdne:
.
Seega on mis tahes aritmeetilise progressiooni esimeste liikmete summa valem järgmine:

Mõne ülesande puhul me ei tea th liiget, kuid teame progresseerumise erinevust. Proovige summa valemis asendada th liikme valemiga.
Mis sa said?

Hästi tehtud! Nüüd pöördume tagasi Carl Gaussile antud ülesande juurde: arvutage ise, milline on -ndast algavate arvude summa ja -ndast algavate arvude summa.

Kui palju sa said?
Gauss selgus, et liikmete summa on võrdne ja liikmete summa. Kas nii otsustasite?

Tegelikult tõestas aritmeetilise progressiooni liikmete summa valemit juba 3. sajandil Vana-Kreeka teadlane Diophantus ja kogu selle aja jooksul kasutasid vaimukad inimesed aritmeetilise progressiooni omadusi jõuliselt ja põhiliselt.
Näiteks kujutage ette Iidne Egiptus ja selle aja suurim ehitusplats - püramiidi ehitamine ... Joonisel on selle üks pool.

Kus siin areng on, ütlete? Vaadake hoolikalt ja leidke püramiidi seina igas reas liivaplokkide arvust muster.


Miks mitte aritmeetiline progressioon? Loendage, mitu plokki on vaja ühe seina ehitamiseks, kui alusesse asetada klotsid. Loodan, et te ei loe sõrmega üle monitori liigutades, kas mäletate viimast valemit ja kõike, mida me aritmeetilise progressiooni kohta rääkisime?

Sel juhul näeb edenemine välja järgmine:
Aritmeetilise progressiooni erinevus.
Aritmeetilise progressiooni liikmete arv.
Asendame oma andmed viimastesse valemitesse (loendame plokkide arvu kahel viisil).

1. meetod.

2. meetod.

Ja nüüd saate ka monitoril arvutada: võrrelda saadud väärtusi meie püramiidis olevate plokkide arvuga. Kas see nõustus? Hästi tehtud, olete omandanud aritmeetilise progressiooni liikmete summa.
Muidugi ei saa te aluse plokkidest püramiidi ehitada, aga millest? Proovige arvutada, kui palju liivatelliseid on selle tingimusega seina ehitamiseks vaja.
Kas said hakkama?
Õige vastus on plokid:

Koolitus

Ülesanded:

1. Maša on suveks vormi saamas. Iga päev suurendab ta kükkide arvu. Mitu korda kükib Maša nädalate jooksul, kui ta tegi kükke esimeses treeningus.
2. Mis on kõigis sisalduvate paaritute arvude summa.
3. Palkide ladustamisel laovad metsamehed need nii, et iga pealmine kiht sisaldab ühe palgi vähem kui eelmises. Mitu palki on ühes müüritises, kui müüritise alus on palgid.

Vastused:

1. Määratleme aritmeetilise progressiooni parameetrid. Sel juhul
   (nädalad = päevad).

   Vastus: Kahe nädala pärast peaks Masha kükitama kord päevas.

2. Esimene paaritu number, viimane number.
   Aritmeetilise progressiooni erinevus.
   Paaritute arvude arv pooles, kontrollige seda fakti aritmeetilise progressiooni -nda liikme leidmise valemi abil:

   Numbrid sisaldavad paarituid numbreid.
   Asendame saadaolevad andmed valemiga:

   Vastus: Kõigis sisalduvate paaritute arvude summa on võrdne.

3. Tuletage meelde püramiididega seotud probleemi. Meie puhul a , kuna iga pealmine kiht on vähendatud ühe palgi võrra, on ainult hunnik kihte, see tähendab.
   Asendage andmed valemis:

   Vastus: Müüritises on palgid.

Summeerida

1. - numbriline jada, milles kõrvuti asetsevate arvude erinevus on sama ja võrdne. See suureneb ja väheneb.
2. Valemi leidmine aritmeetilise progressiooni liige kirjutatakse valemiga - , kus on progressioonis olevate arvude arv.
3. Aritmeetilise progressiooni liikmete omadus- - kus - progressi arvude arv.
4. Aritmeetilise progressiooni liikmete summa võib leida kahel viisil:
   
   , kus on väärtuste arv.

ARITMEETILINE PROGRESSIOONI. KESKMINE TASE

Numbriline jada

Istume maha ja hakkame mõnda numbrit kirjutama. Näiteks:

Võite kirjutada mis tahes numbreid ja neid võib olla nii palju kui soovite. Kuid alati saab öelda, milline neist on esimene, kumb teine ​​ja nii edasi, see tähendab, et me saame need nummerdada. See on näide numbrijadast.

Numbriline jada on numbrite komplekt, millest igaühele saab määrata kordumatu numbri.

Teisisõnu, iga arvu saab seostada teatud naturaalarvuga ja ainult ühega. Ja me ei määra seda numbrit ühelegi teisele selle komplekti numbrile.

Numbriga arvu nimetatakse jada -ndaks liikmeks.

Tavaliselt nimetame kogu jada mõneks täheks (näiteks) ja selle jada iga liiget - sama tähte, mille indeks on võrdne selle liikme numbriga: .

Väga mugav on, kui jada -nda liige saab esitada mingi valemiga. Näiteks valem

määrab järjestuse:

Ja valem on järgmine jada:

Näiteks aritmeetiline progressioon on jada (esimene liige on siin võrdne ja erinevus). Või (, erinevus).

n-nda termini valem

Korduvaks nimetame valemit, milles -nda liikme väljaselgitamiseks peate teadma eelmist või mitut eelnevat:

Et leida sellise valemi abil näiteks progressiooni th liiget, peame arvutama eelmised üheksa. Näiteks lase. Seejärel:

Noh, nüüd on selge, mis valem on?

Igal real liidame, korrutatuna mõne arvuga. Milleks? Väga lihtne: see on praeguse liikme number miinus:

Nüüd on palju mugavam, eks? Kontrollime:

Otsustage ise:

Leidke aritmeetilises progressioonis n-nda liikme valem ja sajanda liige.

Lahendus:

Esimene tähtaeg on võrdne. Ja mis vahet sellel on? Ja siin on see, mis:

(lõppude lõpuks nimetatakse seda erinevuseks, kuna see on võrdne progressiooni järjestikuste liikmete erinevusega).

Seega valem on järgmine:

Siis on sajas liige:

Mis on kõigi naturaalarvude summa alates kuni?

Legendi järgi arvutas suur matemaatik Carl Gauss, olles 9-aastane poiss, selle summa mõne minutiga välja. Ta märkas, et esimese ja viimase arvu summa on võrdne, teise ja eelviimase summa on sama, kolmanda ja 3. summa lõpust on sama jne. Kui palju selliseid paare on? See on õige, täpselt pool kõigist numbritest, see tähendab. Niisiis,

Mis tahes aritmeetilise progressiooni esimeste liikmete summa üldvalem on järgmine:

Näide:
Leidke kõigi summa kahekohalised numbrid, mitmekordsed.

Lahendus:

Esimene selline number on see. Iga järgmine saadakse, lisades eelmisele numbri. Seega moodustavad meid huvitavad arvud aritmeetilise progressiooni esimese liikme ja erinevusega.

Selle progresseerumise kolmanda liikme valem on:

Mitu liiget on progressioonis, kui need kõik peavad olema kahekohalised?

Väga lihtne: .

Edenemise viimane tähtaeg on võrdne. Siis summa:

Vastus:.

Otsustage nüüd ise:

1. Iga päev jookseb sportlane 1m rohkem kui eelmisel päeval. Mitu kilomeetrit ta nädalatega jookseb, kui ta jooksis esimesel päeval km m?
2. Jalgrattur sõidab iga päev rohkem miile kui eelmine. Esimesel päeval sõitis ta km. Mitu päeva peab ta sõitma, et kilomeeter läbida? Mitu kilomeetrit ta reisi viimasel päeval läbib?
3. Külmiku hinda poes langetatakse igal aastal sama palju. Tehke kindlaks, kui palju külmiku hind igal aastal langes, kui rubla eest müüki pandud, kuus aastat hiljem müüdi see rubla eest.

Vastused:

1. Siin on kõige olulisem aritmeetilise progressiooni äratundmine ja selle parameetrite määramine. Sel juhul (nädalad = päevad). Peate määrama selle progresseerumise esimeste tingimuste summa:
   .
   Vastus:
2. Siin on antud:, on vaja leida.
   Ilmselt peate kasutama sama summa valemit nagu eelmises ülesandes:
   .
   Asendage väärtused:

   Juur ilmselgelt ei sobi, seega vastus.
   Arvutame viimase päeva jooksul läbitud vahemaa, kasutades -nda liikme valemit:
   (km).
   Vastus:

3. Arvestades: . Leia:.
   See ei lähe lihtsamaks:
   (hõõruda).
   Vastus:

ARITMEETILINE PROGRESSIOONI. LÜHIDALT PEAMISEST

See on arvuline jada, milles kõrvuti asetsevate arvude erinevus on sama ja võrdne.

Aritmeetiline progressioon suureneb () ja väheneb ().

Näiteks:

Aritmeetilise progressiooni n-nda liikme leidmise valem

kirjutatakse valemina, kus on arvude arv progresseerumisel.

Aritmeetilise progressiooni liikmete omadus

See muudab progressi liikme leidmise lihtsaks, kui selle naaberliikmed on teada – kus on progressioonis olevate arvude arv.

Aritmeetilise progressiooni liikmete summa

Summa leidmiseks on kaks võimalust:

Kus on väärtuste arv.

Kus on väärtuste arv.

Süsteemi lahendamiseks lineaarvõrrandid(3) suhteliselt x 1 Kasutame Gaussi meetodit.

Teised lineaarvõrrandisüsteemid (2) lahendatakse sarnaselt.

Lõpuks veeruvektorite rühm x 1 , x 2 , ..., x n moodustab pöördmaatriksi A-1.

Pange tähele, et üks kord permutatsioonimaatriksite leidmine P 1, P 2, ..., P n-1 ja erandimaatriksid M1, M2, ..., M n-1(vt lk Gaussi eliminatsiooni meetod) ja maatriksi konstrueerimist

M = M n-1 P n-1 ...M 2 P 2 M 1 P 1,

süsteemi (2) saab teisendada vormiks

• Max 1 = mina 1,
• Max 2 = mina 2,
• ......
• Max n = Me n .

Siit on x 1 , x 2 , ..., x n, erinevatele parempoolsetele külgedele Mina 1 , mina 2 , ..., mina n.

Pöördmaatriksi arvutamisel on mugavam lisada algmaatriksi paremal küljel olev identiteedimaatriks ja rakendada Gaussi meetodit edasi- ja tagasisuunas.

Vaatame seda näitega.

Pöördmaatriksi arvutamise näide

Olgu nõutav pöördmaatriksi leidmine A-1 antud maatriksi jaoks A:

Paremal küljel kirjutame identiteedimaatriksi:

Valime juhtiva elemendi "4" (kuna see on suurim moodul) ja vahetame esimese ja kolmanda rea:

Rakendage Gaussi eliminatsiooni esimesele veerule:

Vahetage teine ​​ja kolmas rida ning rakendage teise veeru jaoks Gaussi eliminatsiooni.

Niisiis, võrgus maatriksite lahendamise teenused:

Maatriksiteenus võimaldab teil teha maatriksite elementaarseid teisendusi.
Kui teil on ülesanne teha keerulisem teisendus, siis tuleks seda teenust kasutada konstruktorina.

Näide. Maatriksi andmed A Ja B, tuleb leida C = A -1 * B + B T ,

1. Kõigepealt peaksite leidma pöördmaatriksA1 = A-1, kasutades teenust pöördmaatriksi leidmiseks;
2. Edasi, pärast maatriksi leidmist A1 tee seda maatrikskorrutisA2 = A1 * B, kasutades teenust maatrikskorrutamiseks;
3. Teeme seda maatriksi transpositsioonA3 = B T (transponeeritud maatriksi leidmise teenus);
4. Ja viimane - leidke maatriksite summa KOOS = A2 + A3(maatriksite summa arvutamise teenus) - ja saame vastuse kõige detailsema lahendusega!;

Maatriksite korrutis

See on võrguteenus kaks sammu:

• Sisestage esimene tegurimaatriks A
• Sisestage teise teguri maatriks või veeruvektor B

Maatriksi korrutamine vektoriga

Maatriksi korrutamise vektoriga saab leida teenuse abil Maatrikskorrutis
(Esimene tegur on antud maatriks, teine ​​tegur on antud vektori elementidest koosnev veerg)

See on võrguteenus kaks sammu:

• Sisestage maatriks A, mille jaoks peate leidma pöördmaatriksi
• Saate vastuse üksikasjaliku lahendusega pöördmaatriksi leidmiseks

Maatriksi determinant

See on võrguteenus üks samm:

• Sisestage maatriks A, mille jaoks peate leidma maatriksi determinandi

Maatriksi transpositsioon

Siin saate jälgida maatriksi transponeerimise algoritmi ja õppida, kuidas selliseid probleeme ise lahendada.
See on võrguteenus üks samm:

• Sisestage maatriks A, mis tuleb üle võtta

Maatriksi auaste

See on võrguteenus üks samm:

• Sisestage maatriks A, mille jaoks peate leidma auastme

Maatriksi omaväärtused ja maatriksi omavektorid

See on võrguteenus üks samm:

• Sisestage maatriks A, mille jaoks peate leidma omavektorid ja omaväärtused (omaväärtused)

Maatriksi astendamine

See on võrguteenus kaks sammu:

• Sisestage maatriks A, mis tõstetakse võimule
• Sisestage täisarv q- kraad

Mida Peaasi valemid?

See valem võimaldab teil leida ükskõik milline TEMA NUMBRI JÄRGI" n" .

Loomulikult peate teadma esimest terminit a 1 ja progresseerumise erinevus d, ilma nende parameetriteta ei saa te konkreetset edenemist üles kirjutada.

Selle valemi meeldejätmisest (või petmisest) ei piisa. On vaja omastada selle olemust ja rakendada valemit erinevates ülesannetes. Jah, ja ärge unustage õigel ajal, jah ...) Kuidas mitte unustada- Ma ei tea. Ja siin kuidas meeles pidada Vajadusel annan vihje. Neile, kes saavad õppetunni lõpuni.)

Niisiis, käsitleme aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valemit.

Mis on valem üldiselt – kujutame ette.) Mis on aritmeetiline progressioon, liikmearv, progressioonivahe – on eelmises õppetükis selgelt öeldud. Vaadake, kui te pole seda lugenud. Seal on kõik lihtne. Jääb üle välja mõelda, mida n liige.

progresseerumine sisse üldine vaade saab kirjutada numbrite jadana:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1- tähistab aritmeetilise progressiooni esimest liiget, a 3- kolmas liige a 4- neljas ja nii edasi. Kui meid huvitab viies ametiaeg, siis oletame, et me töötame sellega a 5, kui saja kahekümnendal - alates a 120.

Kuidas üldiselt määratleda ükskõik milline aritmeetilise progressiooni liige, s ükskõik milline number? Väga lihtne! Nagu nii:

a n

Seda see on aritmeetilise progressiooni n-s liige. n-tähe all on korraga peidetud kõik liikmete arvud: 1, 2, 3, 4 jne.

Ja mida selline rekord meile annab? Mõelge vaid, numbri asemel kirjutasid nad üles tähe ...

See tähistus annab meile võimsa tööriista aritmeetilise progressiooniga töötamiseks. Märke kasutamine a n, leiame kiiresti ükskõik milline liige ükskõik milline aritmeetiline progressioon. Ja hunnik ülesandeid, mida tuleb lahendada. Edasi näete.

Aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valemis:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- aritmeetilise progressiooni esimene liige;

n- liikme number.

Valem seob mis tahes edenemise peamised parameetrid: a n; a 1; d Ja n. Nende parameetrite ümber keerlevad kõik mõistatused käigupealt.

N-nda termini valemit saab kasutada ka konkreetse progressi kirjutamiseks. Näiteks ülesandes võib öelda, et progressi annab tingimus:

a n = 5 + (n-1) 2.

Selline probleem võib isegi segadusse ajada ... Pole seeriat, pole vahet ... Kuid tingimust valemiga võrreldes on lihtne aru saada, et selles edenemises a 1 \u003d 5 ja d = 2.

Ja see võib olla veelgi vihasem!) Kui võtame sama tingimuse: a n = 5 + (n-1) 2, jah, avage sulud ja andke sarnased? Saame uue valemi:

an = 3 + 2n.

See Ainult mitte üldiseks, vaid konkreetseks progressiks. Siin peitubki lõks. Mõned inimesed arvavad, et esimene termin on kolm. Kuigi tegelikkuses on esimene liige viis ... Natuke madalamal töötame sellise modifitseeritud valemiga.

Edasiliikumise ülesannetes on veel üks märge - a n+1. Arvasite ära, et see on edenemise "n pluss esimene" liige. Selle tähendus on lihtne ja kahjutu.) See on progressiooni liige, mille arv on arvust n ühe võrra suurem. Näiteks kui mõnes probleemis me võtame a n siis viies ametiaeg a n+1 saab kuuendaks liikmeks. Jne.

Enamasti tähistus a n+1 esineb rekursiivsetes valemites. Ärge kartke seda kohutavat sõna!) See on lihtsalt viis aritmeetilise progressiooni termini väljendamiseks eelmise kaudu. Oletame, et meile antakse sellisel kujul aritmeetiline progressioon, kasutades korduvat valemit:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11

Neljas – läbi kolmanda, viies – läbi neljanda jne. Ja kuidas kohe lugeda, öelge kahekümnes tähtaeg, a 20? Aga mitte mingil juhul!) Kuigi 19. tähtaeg pole teada, ei saa 20. tähtaega kokku lugeda. See on põhimõtteline erinevus rekursiivse valemi ja n-nda liikme valemi vahel. Rekursiivne töötab ainult läbi eelmine termin ja n-nda liikme valem - läbi esiteks ja lubab kohe leida mõni liige tema numbri järgi. Arvestades tervet numbrite rida järjekorras.

Aritmeetilises progressioonis saab rekursiivse valemi kergesti muuta tavaliseks. Loendage järjestikuste terminite paar, arvutage erinevus d, leida vajadusel esimene termin a 1, kirjutage valem tavalisel kujul ja töötage sellega. GIA-s leidub selliseid ülesandeid sageli.

Aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valemi rakendamine.

Kõigepealt vaatame valemi otsest rakendamist. Eelmise tunni lõpus tekkis probleem:

Antud aritmeetiline progressioon (a n). Leidke 121, kui a 1 = 3 ja d = 1/6.

Seda ülesannet saab lahendada ilma valemiteta, lihtsalt aritmeetilise progressiooni tähenduse põhjal. Lisa, jah lisa... Tund või kaks.)

Ja valemi järgi võtab lahendus vähem kui minuti. Saate seda ajastada.) Meie otsustame.

Tingimustes on kõik andmed valemi kasutamiseks: a 1 \u003d 3, d = 1/6. Jääb näha, mis n. Pole probleemi! Me peame leidma a 121. Siin me kirjutame:

Palun pane tähele! Indeksi asemel n ilmus konkreetne arv: 121. Mis on üsna loogiline.) Meid huvitab aritmeetilise progressiooni liige number sada kakskümmend üks. See saab olema meie n. See on see tähendus n= 121 asendame sulgudes oleva valemiga. Asendage valemis kõik numbrid ja arvutage:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3 + 20 = 23

See on kõik. Sama kiiresti võis leida viiesaja kümnenda liikme ja tuhande kolmanda liikme. Panime selle asemele n soovitud number tähe indeksis " a" ja sulgudes ning me kaalume.

Lubage mul teile meelde tuletada olemust: see valem võimaldab teil leida ükskõik milline aritmeetilise progressiooni termin TEMA NUMBRI JÄRGI" n" .

Lahendame probleemi targemalt. Oletame, et meil on järgmine probleem:

Leidke aritmeetilise progressiooni esimene liige (a n), kui a 17 =-2; d = -0,5.

Kui teil on raskusi, soovitan esimest sammu. Pane kirja aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valem! Jah Jah. Kirjutage käsitsi otse oma märkmikusse:

a n = a 1 + (n-1)d

Ja nüüd, vaadates valemi tähti, saame aru, millised andmed meil on ja mis puuduvad? Saadaval d = -0,5, on seitsmeteistkümnes liige ... Kõik? Kui arvate, et see on kõik, siis ei saa te probleemi lahendada, jah ...

Meil on ka number n! Seisundis a 17 =-2 peidetud kaks võimalust. See on nii seitsmeteistkümnenda liikme väärtus (-2) kui ka selle arv (17). Need. n = 17. See "pisiasi" libiseb sageli peast mööda ja ilma selleta (ilma "pisikese asjata", mitte peata!) probleemi ei saa lahendada. Kuigi ... ja ka ilma peata.)

Nüüd saame lihtsalt rumalalt oma andmed valemiga asendada:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Oh jah, a 17 me teame, et see on -2. Olgu, paneme selle sisse:

-2 = 1 + (17-1) (-0,5)

See on sisuliselt kõik. Jääb üle valemist väljendada aritmeetilise progressiooni esimene liige ja arvutada. Saate vastuse: a 1 = 6.

Selline tehnika – valemi kirjutamine ja lihtsalt teadaolevate andmete asendamine – aitab palju lihtsate ülesannete puhul. Noh, muutujat peab muidugi oskama valemist väljendada, aga mis teha!? Ilma selle oskuseta ei saa matemaatikat üldse õppida ...

Teine populaarne probleem:

Leia aritmeetilise progressiooni erinevus (a n), kui a 1 =2; a 15 = 12.

Mida me teeme? Sa oled üllatunud, me kirjutame valemi!)

a n = a 1 + (n-1)d

Mõelge sellele, mida me teame: a 1 = 2; a 15 = 12; ja (eriline esiletõst!) n = 15. Asendage julgelt valemis:

12=2 + (15-1)d

Teeme aritmeetika.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

See on õige vastus.

Niisiis, ülesanded a n, a 1 Ja d otsustanud. Jääb veel õppida, kuidas numbrit leida:

Arv 99 on aritmeetilise progressiooni liige (a n), kus a 1 =12; d=3. Leidke selle liikme number.

Asendame teadaolevad kogused n-nda liikme valemiga:

a n = 12 + (n-1) 3

Esmapilgul on siin kaks tundmatut kogust: a n ja n. Aga a n on mingi arvuga progressi liige n... Ja see progressiooni liige, mida me teame! See on 99. Me ei tea tema numbrit. n, nii et see number tuleb ka üles leida. Asendage progressiooniliige 99 valemiga:

99 = 12 + (n-1) 3

Väljendame valemist n, arvame. Saame vastuse: n = 30.

Ja nüüd probleem samal teemal, kuid loomingulisem):

Määrake, kas arv 117 on aritmeetilise progressiooni liige (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Kirjutame valemi uuesti. Mis, valikuvõimalusi pole? Hm... Miks me vajame silmi?) Kas me näeme progressi esimest liiget? Me näeme. See on -3,6. Võite julgelt kirjutada: a 1 \u003d -3,6. Erinevus d saab määrata seeriast? See on lihtne, kui teate, mis vahe on aritmeetilisel progressioonil:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Jah, me tegime kõige lihtsamat asja. Jääb üle tegeleda tundmatu numbriga n ja arusaamatu arv 117. Eelmises ülesandes oli vähemalt teada, et see oli progressiooni täht. Aga siin me isegi ei tea, et ... Kuidas olla!? Noh, kuidas olla, kuidas olla... Lülitage oma loomingulised võimed sisse!)

Meie oletada et 117 on lõppude lõpuks meie progressi liige. Tundmatu numbriga n. Ja nagu eelmises ülesandes, proovime seda numbrit leida. Need. kirjutame valemi (jah-jah!)) ja asendame oma numbrid:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Jällegi väljendame valemistn, loeme ja saame:

Oih! Number selgus murdosa! Sada üks ja pool. Ja murdarvud progressioonides ei saa olla. Millise järelduse me teeme? Jah! Number 117 ei ole meie progressi liige. See on kuskil 101. ja 102. liikme vahel. Kui number osutus loomulikuks, s.t. positiivne täisarv, siis oleks arv leitud arvuga progressiooni liige. Ja meie puhul on vastus probleemile järgmine: Ei.

GIA pärisversioonil põhinev ülesanne:

Aritmeetilise progressiooni annab tingimus:

a n \u003d -4 + 6,8n

Leidke progressiooni esimene ja kümnes liige.

Siin on edenemine seatud ebatavaliselt. Mingi valem ... Juhtub.) Kuid see valem (nagu ma eespool kirjutasin) - ka aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valem! Ta lubab ka leidke progressiooni mõni liige selle numbri järgi.

Otsime esimest liiget. See, kes mõtleb. et esimene liige on miinus neli, on saatuslikult ekslik!) Kuna ülesande valemit on muudetud. Aritmeetilise progressiooni esimene liige selles peidetud. Ei midagi, me leiame selle kohe.)

Nii nagu eelmistes ülesannetes, asendame n = 1 sellesse valemisse:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 = 2,8

Siin! Esimene liige on 2,8, mitte -4!

Samamoodi otsime kümnendat terminit:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

See on kõik.

Ja nüüd neile, kes on neid ridu lugenud, lubatud boonus.)

Oletame, et keerulises lahinguolukorras unustasite GIA või ühtse riigieksami kasulik valem aritmeetilise progressiooni n-s liige. Midagi tuleb meelde, aga kuidagi ebakindlalt... Kas n seal või n+1 või n-1... Kuidas olla!?

Rahune! Seda valemit on lihtne tuletada. Mitte väga range, kuid kindlasti piisav enesekindluseks ja õigeks otsuseks!) Kokkuvõtteks piisab, kui meeles pidada aritmeetilise progressiooni elementaarset tähendust ja varuda paar minutit aega. Peate lihtsalt pildi joonistama. Selguse huvides.

Joonistame numbritelje ja märgime sellele esimese. teine, kolmas jne. liikmed. Ja pange tähele erinevust d liikmete vahel. Nagu nii:

Vaatame pilti ja mõtleme: millega võrdub teine ​​liige? Teiseks üks d:

a 2 =a 1 + 1 d

Mis on kolmas termin? Kolmandaks tähtaeg võrdub esimese terminiga pluss kaks d.

a 3 =a 1 + 2 d

Kas saad aru? Ma ei pane mõnda sõna rasvasesse kirja asjata. Olgu, veel üks samm.)

Mis on neljas termin? Neljandaks tähtaeg võrdub esimese terminiga pluss kolm d.

a 4 =a 1 + 3 d

On aeg mõista, et lünkade arv, s.o. d, Alati ühe võrra vähem kui otsitava liikme arv n. St kuni numbrini n, tühimike arv tahe n-1. Niisiis, valem on (pole valikuid!):

a n = a 1 + (n-1)d

Üldiselt on visuaalsetest piltidest palju abi paljude matemaatikaülesannete lahendamisel. Ärge jätke pilte tähelepanuta. Aga kui pilti on raske joonistada, siis ... ainult valem!) Lisaks võimaldab n-nda liikme valem ühendada lahendusega kogu võimsa matemaatika arsenali - võrrandid, võrratused, süsteemid jne. Sa ei saa võrrandisse pilti panna...

Ülesanded iseseisvaks otsustamiseks.

Soojenduseks:

1. Aritmeetilises progressioonis (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5,1. Leia 3.

Vihje: pildi järgi on probleem lahendatud 20 sekundiga ... Valemi järgi selgub keerulisem. Kuid valemi valdamiseks on see kasulikum.) Paragrahvis 555 on see probleem lahendatud nii pildi kui ka valemi abil. Tunneta erinevust!)

Ja see pole enam soojendus.)

2. Aritmeetilises progressioonis (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Leidke 3 .

Mis, vastumeelsus pilti teha?) Ikka! Parem valem, jah...

3. Aritmeetilise progressiooni annab tingimus:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Leidke selle progressiooni saja kahekümne viies liige.

Selles ülesandes antakse progresseerumine korduval viisil. Kuid kuni saja kahekümne viienda ametikohani lugedes... Igaüks ei suuda sellist vägitegu teha.) Aga n-nda liikme valem on igaühe jõukohane!

4. Antud aritmeetiline progressioon (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Leidke progresseerumise väikseima positiivse liikme arv.

5. Leia ülesande 4 tingimuse järgi progressi väikseimate positiivsete ja suurimate negatiivsete liikmete summa.

6. Kasvava aritmeetilise progressiooni viienda ja kaheteistkümnenda liikme korrutis on -2,5 ning kolmanda ja üheteistkümnenda liikme summa on null. Leidke 14.

Pole just kõige lihtsam ülesanne, jah...) Siin meetod "sõrmedel" ei tööta. Peate kirjutama valemeid ja lahendama võrrandeid.

Vastused (segaduses):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Juhtus? See on tore!)

Kas kõik ei õnnestu? Juhtub. Muide, viimases ülesandes on üks peen punkt. Probleemi lugemisel on vaja olla tähelepanelik. Ja loogika.

Kõigi nende probleemide lahendust käsitletakse üksikasjalikult jaotises 555. Ja fantaasiaelement neljanda ja peenmoment kuuenda jaoks ning üldised lähenemisviisid probleemide lahendamiseks n-nda liikme valemi jaoks - kõik on maalitud. Ma soovitan.

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Meetodid pöördmaatriksi leidmiseks. Vaatleme ruutmaatriksit

Tähistame Δ = detA.

Ruutmaatriksit A ​​nimetatakse mitte-degenereerunud, või mitteeriline kui selle determinant on nullist erinev, ja degenereerunud, või eriline, KuiΔ = 0.

Ruutmaatriks B eksisteerib sama järku ruutmaatriksi A jaoks, kui nende korrutis A B = B A = E, kus E on maatriksitega A ja B sama järku identsusmaatriks.

Teoreem . Selleks, et maatriksil A oleks pöördmaatriks, on vajalik ja piisav, et selle determinant oleks nullist erinev.

pöördmaatriks maatriks A, tähistatud tähega A- 1, seega B = A - 1 ja arvutatakse valemiga

, (1)

kus А i j - maatriksi A elementide a i j algebralised täiendid.

A -1 arvutamine valemiga (1) kõrget järku maatriksite jaoks on väga töömahukas, seetõttu on praktikas mugav leida A -1 elementaarteisenduste (EP) meetodil. Mis tahes mitteainsuse maatriksit A ​​saab taandada ainult veergude (või ainult ridade) EP abil identiteedimaatriksiks E. Kui maatriksil A teostatud EP-d rakendatakse samas järjekorras identiteedimaatriksile E, siis on tulemus pöördmaatriks. Maatriksitel A ja E on mugav sooritada EP samaaegselt, kirjutades mõlemad maatriksid kõrvuti läbi joone. Märgime veel kord, et maatriksi kanoonilise vormi otsimisel saab selle leidmiseks kasutada ridade ja veergude teisendusi. Kui teil on vaja leida pöördmaatriks, peaksite teisendusprotsessis kasutama ainult ridu või ainult veerge.

Näide 1. Maatriksi jaoks leidke A -1.

Lahendus.Esmalt leiame maatriksi A determinandi
seega on pöördmaatriks olemas ja leiame selle valemiga: , kus A i j (i,j=1,2,3) - algmaatriksi elementide a i j algebralised täiendid.

Kus .

Näide 2. Elementaarteisenduste meetodil leidke maatriksi jaoks A -1: A=.

Lahendus.Parempoolsele algsele maatriksile määrame samas järjekorras identiteedimaatriksi: . Elementaarveeruteisenduste abil taandame vasakpoolse “poole” identiteediks, sooritades samaaegselt just selliseid teisendusi paremal maatriksil.
Selleks vahetage esimene ja teine ​​veerg: ~ . Esimese lisame kolmandasse veergu ja esimese korrutatuna -2-ga teisele: . Esimesest veerust lahutame kahekordistunud teise ja kolmandast - teise korrutatuna 6-ga; . Lisame kolmanda veeru esimesele ja teisele: . Korrutage viimane veerg -1-ga: . Vertikaalsest ribast paremal olev ruutmaatriks on antud maatriksi A pöördmaatriks.
.