Selles õppetükis vaatleme üksikasjalikult funktsiooni y = sin x, selle põhiomadusi ja graafikut. Tunni alguses anname koordinaatringil trigonomeetrilise funktsiooni y = sin t definitsiooni ning vaatleme funktsiooni graafikut ringil ja sirgel. Näitame graafikul selle funktsiooni perioodilisust ja vaatleme funktsiooni põhiomadusi. Tunni lõpus lahendame funktsiooni ja selle omaduste graafiku abil mitmeid lihtsaid ülesandeid.
Teema: Trigonomeetrilised funktsioonid
Õppetund: Funktsioon y=sinx, selle põhiomadused ja graafik
Funktsiooni kaalumisel on oluline seostada iga argumendi väärtus ühe funktsiooni väärtusega. See kirjavahetuse seadus ja seda nimetatakse funktsiooniks.
Määratleme vastavusseaduse .
Iga reaalarv vastab ühikringi ühele punktile. Punktil on üks ordinaat, mida nimetatakse arvu siinuseks (joonis 1).
Iga argumendi väärtus on seotud ühe funktsiooni väärtusega.
Siinuse definitsioonist tulenevad ilmsed omadused.
Joonis näitab seda 
sest on ühikringjoone punkti ordinaat.
Vaatleme funktsiooni graafikut. Tuletagem meelde argumendi geomeetrilist tõlgendust. Argumendiks on kesknurk, mõõdetuna radiaanides. Piki telge joonistame reaalarvud või nurgad radiaanides, piki telge funktsiooni vastavad väärtused.
Näiteks ühikringi nurk vastab graafiku punktile (joonis 2)
Oleme saanud funktsiooni graafiku piirkonnas, kuid teades siinuse perioodi, saame kujutada funktsiooni graafikut kogu definitsioonipiirkonna ulatuses (joonis 3).
Funktsiooni põhiperiood on See tähendab, et graafikut saab saada segmendi kohta ja seejärel jätkata kogu määratluspiirkonna ulatuses.
Mõelge funktsiooni omadustele:
1) Määratluse ulatus:
2) Väärtuste vahemik: 
3) paaritu funktsioon:
4) Väikseim positiivne periood:
5) Graafiku ja abstsisstelje lõikepunktide koordinaadid: 
6) Graafiku ja ordinaattelje lõikepunkti koordinaadid:
7) Intervallid, mille jooksul funktsioon võtab positiivseid väärtusi:
8) Intervallid, mille jooksul funktsioon võtab negatiivseid väärtusi:
9) intervallide suurendamine:
10) Vähenevad intervallid:
11) Miinimumpunktid: 
12) Minimaalsed funktsioonid:
13) Maksimaalsed punktid: 
14) Maksimaalsed funktsioonid:
Vaatasime funktsiooni ja selle graafiku omadusi. Omadusi kasutatakse probleemide lahendamisel korduvalt.
Bibliograafia
1. Algebra ja analüüsi algus, hinne 10 (kahes osas). Õpik üldharidusasutustele (profiilitasand), toim. A. G. Mordkovitš. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra ja analüüsi algus, hinne 10 (kahes osas). Probleemiraamat haridusasutustele (profiilitasand), toim. A. G. Mordkovitš. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra ja matemaatiline analüüs 10. klassile (õpik matemaatika süvaõppega koolide ja klasside õpilastele - M.: Prosveshchenie, 1996).
4. Galitski M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Algebra ja matemaatilise analüüsi süvaõpe.-M.: Haridus, 1997.
5. Matemaatika ülesannete kogumik kõrgkoolidesse sisseastujatele (toimetanud M.I. Skanavi - M.: Kõrgkool, 1992).
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraline simulaator.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Probleemid algebra ja analüüsipõhimõtete kohta (käsiraamat üldharidusasutuste 10.–11. klassi õpilastele - M.: Prosveštšenie, 2003).
8. Karp A.P. Ülesannete kogumik algebra ja analüüsi põhimõtete kohta: õpik. toetus 10-11 klassile. sügavusega uurinud Matemaatika.-M.: Haridus, 2006.
Kodutöö
Algebra ja analüüsi algus, hinne 10 (kahes osas). Probleemiraamat haridusasutustele (profiilitasand), toim.
A. G. Mordkovitš. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Täiendavad veebiressursid
3. Haridusportaal eksamiteks valmistumiseks ().
Selles õppetükis vaatleme üksikasjalikult funktsiooni y = sin x, selle põhiomadusi ja graafikut. Tunni alguses anname koordinaatringil trigonomeetrilise funktsiooni y = sin t definitsiooni ning vaatleme funktsiooni graafikut ringil ja sirgel. Näitame graafikul selle funktsiooni perioodilisust ja vaatleme funktsiooni põhiomadusi. Tunni lõpus lahendame funktsiooni ja selle omaduste graafiku abil mitmeid lihtsaid ülesandeid.
Teema: Trigonomeetrilised funktsioonid
Õppetund: Funktsioon y=sinx, selle põhiomadused ja graafik
Funktsiooni kaalumisel on oluline seostada iga argumendi väärtus ühe funktsiooni väärtusega. See kirjavahetuse seadus ja seda nimetatakse funktsiooniks.
Määratleme vastavusseaduse .
Iga reaalarv vastab ühikringi ühele punktile. Punktil on üks ordinaat, mida nimetatakse arvu siinuseks (joonis 1).
Iga argumendi väärtus on seotud ühe funktsiooni väärtusega.
Siinuse definitsioonist tulenevad ilmsed omadused.
Joonis näitab seda sest on ühikringjoone punkti ordinaat.
Vaatleme funktsiooni graafikut. Tuletagem meelde argumendi geomeetrilist tõlgendust. Argumendiks on kesknurk, mõõdetuna radiaanides. Piki telge joonistame reaalarvud või nurgad radiaanides, piki telge funktsiooni vastavad väärtused.
Näiteks ühikringi nurk vastab graafiku punktile (joonis 2)
Oleme saanud funktsiooni graafiku piirkonnas, kuid teades siinuse perioodi, saame kujutada funktsiooni graafikut kogu definitsioonipiirkonna ulatuses (joonis 3).
Funktsiooni põhiperiood on See tähendab, et graafikut saab saada segmendi kohta ja seejärel jätkata kogu määratluspiirkonna ulatuses.
Mõelge funktsiooni omadustele:
1) Määratluse ulatus:
2) Väärtuste vahemik:
3) paaritu funktsioon:
4) Väikseim positiivne periood:
5) Graafiku ja abstsisstelje lõikepunktide koordinaadid:
6) Graafiku ja ordinaattelje lõikepunkti koordinaadid:
7) Intervallid, mille jooksul funktsioon võtab positiivseid väärtusi:
8) Intervallid, mille jooksul funktsioon võtab negatiivseid väärtusi:
9) intervallide suurendamine:
10) Vähenevad intervallid:
11) Miinimumpunktid:
12) Minimaalsed funktsioonid:
13) Maksimaalsed punktid:
14) Maksimaalsed funktsioonid:
Vaatasime funktsiooni ja selle graafiku omadusi. Omadusi kasutatakse probleemide lahendamisel korduvalt.
Bibliograafia
1. Algebra ja analüüsi algus, hinne 10 (kahes osas). Õpik üldharidusasutustele (profiilitasand), toim. A. G. Mordkovitš. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra ja analüüsi algus, hinne 10 (kahes osas). Probleemiraamat haridusasutustele (profiilitasand), toim. A. G. Mordkovitš. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra ja matemaatiline analüüs 10. klassile (õpik matemaatika süvaõppega koolide ja klasside õpilastele - M.: Prosveshchenie, 1996).
4. Galitski M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Algebra ja matemaatilise analüüsi süvaõpe.-M.: Haridus, 1997.
5. Matemaatika ülesannete kogumik kõrgkoolidesse sisseastujatele (toimetanud M.I. Skanavi - M.: Kõrgkool, 1992).
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraline simulaator.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Probleemid algebra ja analüüsipõhimõtete kohta (käsiraamat üldharidusasutuste 10.–11. klassi õpilastele - M.: Prosveštšenie, 2003).
8. Karp A.P. Ülesannete kogumik algebra ja analüüsi põhimõtete kohta: õpik. toetus 10-11 klassile. sügavusega uurinud Matemaatika.-M.: Haridus, 2006.
Kodutöö
Algebra ja analüüsi algus, hinne 10 (kahes osas). Probleemiraamat haridusasutustele (profiilitasand), toim.
A. G. Mordkovitš. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Täiendavad veebiressursid
3. Haridusportaal eksamiteks valmistumiseks ().
, Konkurss "Esitlus tunni jaoks"
Tunni esitlus
Tagasi edasi
Tähelepanu! Slaidide eelvaated on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada kõiki esitluse funktsioone. Kui olete sellest tööst huvitatud, laadige alla täisversioon.
Raud roostetab ilma kasutust leidmata,
seisev vesi mädaneb või külmub külma käes,
ja inimese mõistus, mis ei leia endale mingit kasutust, viriseb.
Leonardo da Vinci
Kasutatud tehnoloogiad: probleemõpe, kriitiline mõtlemine, kommunikatiivne suhtlemine.
Eesmärgid:
- Kognitiivse õppimishuvi arendamine.
- Funktsiooni y = sin x omaduste uurimine.
- Praktiliste oskuste kujundamine funktsiooni y = sin x graafiku koostamisel uuritud teoreetilise materjali põhjal.
Ülesanded:
1. Kasutage olemasolevat teadmiste potentsiaali funktsiooni y = sin x omaduste kohta konkreetsetes olukordades.
2. Rakendage teadlikku seoste loomist funktsiooni y = sin x analüütiliste ja geomeetriliste mudelite vahel.
Arendada initsiatiivi, teatud tahet ja huvi lahenduse leidmiseks; võime teha otsuseid, mitte peatuda ja oma seisukohta kaitsta.
Edendada õpilastes kognitiivset aktiivsust, vastutustunnet, üksteise austamist, vastastikust mõistmist, vastastikust tuge ja enesekindlust; suhtluskultuur.
Tundide ajal
1. etapp. Algteadmiste värskendamine, uue materjali õppimise motiveerimine
"Õppetundi sisenedes."
Tahvlile on kirjutatud 3 väidet:
- Trigonomeetrilisel võrrandil sin t = a on alati lahendid.
- Paaritu funktsiooni graafiku saab koostada sümmeetriateisendusega Oy telje ümber.
- Trigonomeetrilise funktsiooni saab joonistada ühe peamise poollaine abil.
Õpilased arutavad paarides: kas väited on tõesed? (1 minut). Seejärel sisestatakse esialgse arutelu tulemused (jah, ei) tabelisse veerus "Enne".
Õpetaja seab tunni eesmärgid ja eesmärgid.
2. Teadmiste uuendamine (frontaalselt trigonomeetrilise ringi mudelil).
Oleme juba tutvunud funktsiooniga s = sin t.
1) Milliseid väärtusi saab muutuja t võtta? Mis on selle funktsiooni ulatus?
2) Millises intervallis sisalduvad avaldise sin t väärtused? Leidke funktsiooni s = sin t suurim ja väikseim väärtus.
3) Lahendage võrrand sin t = 0.
4) Mis juhtub punkti ordinaadiga, kui see liigub mööda esimest veerandit? (ordinaat suureneb). Mis juhtub punkti ordinaadiga, kui see teisel veerandajal liigub? (ordinaat järk-järgult väheneb). Kuidas on see seotud funktsiooni monotoonsusega? (funktsioon s = sin t suureneb lõigul ja väheneb lõigul ).
5) Kirjutame funktsiooni s = sin t meile tuttaval kujul y = sin x (konstrueerime selle tavalises xOy koordinaatsüsteemis) ja koostame selle funktsiooni väärtuste tabeli.
| X | 0 | ||||||
| juures | 0 | 1 | 0 |
2. etapp. Taju, arusaamine, esmane kinnistamine, tahtmatu meeldejätmine
4. etapp. Teadmiste ja tegevusmeetodite esmane süstematiseerimine, nende ülekandmine ja rakendamine uutes olukordades
6. Nr 10.18 (b, c)
5. etapp. Lõplik kontroll, parandus, hindamine ja enesehindamine
7. Naaske väidete juurde (tunni algus), arutlege trigonomeetrilise funktsiooni y = sin x omaduste abil ja täitke tabelis veerg “Pärast”.
8. D/z: punkt 10, nr 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)
Siinuse ja koosinuse geomeetriline määratlus
\(\sin \alpha = \dfrac(|BC|)(|AB|) \), \(\cos \alpha = \dfrac(|AC|)(|AB|) \)
α - radiaanides väljendatud nurk.
Siinus (sin α) on täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ja haru vahelise nurga α trigonomeetriline funktsioon, mis on võrdne vastasharu pikkuse suhtega |BC| hüpotenuusi pikkuseni |AB|.
Koosinus (cos α) on täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ja haru vahelise nurga α trigonomeetriline funktsioon, mis on võrdne külgneva haru pikkuse suhtega |AC| hüpotenuusi pikkuseni |AB|.
Trigonomeetriline määratlus
Ülaltoodud valemeid kasutades saate leida teravnurga siinuse ja koosinuse. Kuid peate õppima, kuidas arvutada suvalise suurusega nurga siinust ja koosinust. Täisnurkne kolmnurk sellist võimalust ei anna (sellel ei saa olla näiteks nürinurka); Seetõttu vajame siinuse ja koosinuse üldisemat määratlust, mis sisaldaks neid valemeid erijuhuna.
Appi tuleb trigonomeetriline ring. Olgu mingi nurk antud; see vastab samanimelisele punktile trigonomeetrilisel ringil.
Riis. 2. Siinuse ja koosinuse trigonomeetriline definitsioon
Nurga koosinus on punkti abstsiss. Nurga siinus on punkti ordinaat.
Joonisel fig. Nagu on näidatud joonisel 2, peetakse nurka teravaks ja on lihtne mõista, et see määratlus langeb kokku üldise geomeetrilise määratlusega. Tegelikult näeme täisnurkset kolmnurka, millel on ühikhüpotenuus O ja teravnurk. Selle kolmnurga külgnev haru on cos (vrd joonisega 1) ja samal ajal punkti abstsiss; vastaskülg on sin (nagu joonisel 1) ja samal ajal punkti ordinaat.
Kuid nüüd ei piira meid enam esimene kvartal ja meil on võimalus seda määratlust mis tahes nurga alla laiendada. Joonisel fig. Joonisel 3 on näha, mis on nurga siinus ja koosinus teises, kolmandas ja neljandas kvartalis.
Riis. 3. Siinus ja koosinus II, III ja IV kvartalis
Siinuse ja koosinuse tabeliväärtused
Nullnurk \(\LARGE 0^(\circ ) \)
Punkti 0 abstsiss on võrdne 1-ga, punkti 0 ordinaat on võrdne 0-ga. Seega
cos 0 = 1 sin 0 = 0
Joonis 4. Nullnurk
Nurk \(\LARGE \frac(\pi)(6) = 30^(\circ )\)
Näeme täisnurkset kolmnurka, mille hüpotenuus on ühik ja teravnurk 30°. Nagu teate, on 30° nurga vastas asuv jalg võrdne poolega hüpotenuusist 1; teisisõnu, vertikaalne jalg on võrdne 1/2-ga ja seetõttu
\[ \sin \frac(\pi)(6) =\frac(1)(2) \]
Horisontaalse jala leiame Pythagorase teoreemi abil (või, mis on sama, koosinuse, kasutades trigonomeetrilist põhiidentiteeti):
\[ \cos \frac(\pi)(6) = \sqrt(1 - \left(\frac(1)(2) \right)^(2) ) =\frac(\sqrt(3) )(2 )\]
1 Miks see juhtub? Lõika selle kõrguselt võrdkülgne kolmnurk küljega 2! See jaguneb kaheks täisnurkseks kolmnurgaks, mille hüpotenuus on 2, teravnurk 30° ja lühem jalg 1.
Joonis 5. Nurk π / 6
Nurk \(\LARGE \frac(\pi)(4) = 45^(\circ )\)
Sel juhul on täisnurkne kolmnurk võrdhaarne; 45° nurga siinus ja koosinus on üksteisega võrdsed. Tähistame neid praegu x-ga. Meil on:
\[ x^(2) + x^(2) = 1 \]
kust \(x=\frac(\sqrt(2) )(2) \). Seega
\[ \cos \frac(\pi)(4) = \sin \frac(\pi)(4) =\frac(\sqrt(2) )(2) \]
Joonis 5. Nurk π/4
Siinuse ja koosinuse omadused
Aktsepteeritud märkused
\(\sin^2 x \equiv (\sin x)^2; \)\(\quad \sin^3 x \equiv (\sin x)^3; \)\(\quad \sin^n x \equiv (\sin x)^n \)\(\sin^(-1) x \equiv \arcsin x \)\((\sin x)^(-1) \equiv \dfrac1(\sin x) \equiv \cosec x \).
\(\cos^2 x \equiv (\cos x)^2; \)\(\quad \cos^3 x \equiv (\cos x)^3; \)\(\quad \cos^n x \equiv (\cos x)^n \)\(\cos^(-1) x \equiv \arccos x \)\((\cos x)^(-1) \equiv \dfrac1(\cos x) \equiv \sec x \).
Perioodilisus
Funktsioonid y = sin x ja y = cos x on perioodilised perioodiga 2π.
\(\sin(x + 2\pi) = \sin x; \quad \)\(\cos(x + 2\pi) = \cos x \)
Pariteet
Siinusfunktsioon on paaritu. Koosinusfunktsioon on paaris.
\(\sin(-x) = - \sin x; \quad \)\(\cos(-x) = \cos x \)
Määratlus- ja väärtusvaldkonnad, äärmused, suurenemine, vähenemine
Siinuse ja koosinuse põhiomadused on toodud tabelis ( n- terve).
| \(\väike< x < \) | \(\small -\pi + 2\pi n \) \(\väike< x < \) \(\small 2\pi n \) | |
| Langevad | \(\small \dfrac(\pi)2 + 2\pi n \)\(\väike< x < \) \(\small \dfrac(3\pi)2 + 2\pi n \) | \(\väike 2\pi n \) \(\väike< x < \) \(\pi + \small 2\pi n \) |
| Maxima, \(\väike x = \) \(\small \dfrac(\pi)2 + 2\pi n \) | \(\väike x = 2\pi n\) | |
| Miinimum, \(\väike x = \) \(\small -\dfrac(\pi)2 + 2\pi n \) | \(\väike x = \) \(\väike \pi + 2\pi n \) | |
| Nullid, \(\väike x = \pi n\) | \(\small x = \dfrac(\pi)2 + \pi n \) | |
| Y-telje lõikepunktid, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Põhivalemid, mis sisaldavad siinust ja koosinust
Ruudude summa
\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)
Siinus- ja koosinusvalemid summa ja vahe jaoks
\(\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \)
\(\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \)
\(\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \)
\(\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \)
\(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x \)
\(\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \)\(2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x \)
\(\cos\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \sin x \) ; \(\sin\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \cos x \)
\(\cos(x + \pi) = - \cos x \) ; \(\sin(x + \pi) = - \sin x \)
Siinuse ja koosinuse korrutise valemid
\(\sin x \cos y = \) \(\dfrac12 (\Large [) \sin(x - y) + \sin(x + y) (\Large ]) \)
\(\sin x \sin y = \) \(\dfrac12 (\Large [) \cos(x - y) - \cos(x + y) (\Large ]) \)
\(\cos x \cos y = \) \(\dfrac12 (\Large [) \cos(x - y) + \cos(x + y) (\Large ]) \)
\(\sin x \cos y = \dfrac12 \sin 2x \)
\(\sin^2 x = \dfrac12 (\Large [) 1 - \cos 2x (\Large ]) \)
\(\cos^2 x = \dfrac12 (\Large [) 1 + \cos 2x (\Large ]) \)
Summa ja vahe valemid
\(\sin x + \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\sin x - \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x-y)2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \)
\(\cos x + \cos y = 2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\cos x - \cos y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \sin \dfrac(y-x)2 \)
Siinuse väljendamine koosinuse kaudu
\(\sin x = \cos\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \)\(\cos\left(x - \dfrac(\pi)2 \right) = - \cos\left(x + \dfrac(\pi)2 \right) \)\(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) \(\sin x = \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi + 2 \pi n \) \)\(\sin x = - \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( -\pi + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 2 \pi n \) \).
Koosinuse väljendamine siinuse kaudu
\(\cos x = \sin\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \)\(- \sin\left(x - \dfrac(\pi)2 \right) = \sin\left(x + \dfrac(\pi)2 \right) \)\(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) \(\cos x = \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( -\pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi/2 + 2 \pi n \) \)\(\cos x = - \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( \pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 3\pi/2 + 2 \pi n \) \).
Väljend tangensi kaudu
\(\sin^2 x = \dfrac(\tg^2 x)(1+\tg^2 x) \)\(\cos^2 x = \dfrac1(1+\tg^2 x) \).
Kell \(- \dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n \) \(\sin x = \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).
Kell \(\dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{3\pi}2 + 2 \pi n \)
:
\(\sin x = - \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = - \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).
Siinuste ja koosinuste, puutujate ja kotangentide tabel
See tabel näitab siinuste ja koosinuste väärtusi argumendi teatud väärtuste jaoks.
[ img style="max-width:500px;max-height:1080px;" src="tablitsa.png" alt=" siinuste ja koosinuste tabel" title="Siinuste ja koosinuste tabel" ]!}
Avaldised keeruliste muutujate kaudu
\(i^2 = -1\)
\(\sin z = \dfrac(e^(iz) - e^(-iz))(2i) \)\(\cos z = \dfrac(e^(iz) + e^(-iz))(2) \)
Euleri valem
\(e^(iz) = \cos z + i \sin z \)
Avaldised hüperboolsete funktsioonide kaudu
\(\sin iz = i \sh z \) \(\cos iz = \ch z \)
\(\sh iz = i \sin z \) \(\ch iz = \cos z \)
Tuletised
\((\sin x)" = \cos x \) \((\cos x)" = - \sin x \) . Valemite tuletamine >>>
N-ndat järku tuletised:
\(\left(\sin x \right)^((n)) = \sin\left(x + n\dfrac(\pi)2 \right) \)\(\left(\cos x \right)^((n)) = \cos\left(x + n\dfrac(\pi)2 \right) \).
Integraalid
\(\int \sin x \, dx = - \cos x + C \)\(\int \cos x \, dx = \sin x + C \)
Vaata ka jaotist Määramata integraalide tabel >>>
Sarja laiendused
\(\sin x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n+1) )( (2n+1)! ) = \)\(x - \dfrac(x^3)(3 + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + ... \)
!} \(\(- \infty< x < \infty \} \)
\(\cos x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n) )( (2n)! ) = \)\(1 - \dfrac(x^2)(2 + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + ... \)
!} \(\( - \infty< x < \infty \} \)
Sekant, kosekant
\(\sec x = \dfrac1( \cos x ) ; \) \(\cosec x = \dfrac1( \sin x ) \)
Pöördfunktsioonid
Siinuse ja koosinuse pöördfunktsioonid on vastavalt arkosiinus ja arkosinus.
Arksiin, arcsin
\(y = \arcsin x\) \(\left\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; - \dfrac(\pi)2 \leqslant y \leqslant \dfrac(\pi)2 \right\) \)
\(\sin(\arcsin x) = x\)
\(\arcsin(\sin x) = x\) \(\left\( - \dfrac(\pi)2 \leqslant x \leqslant \dfrac(\pi)2 \right\) \)
Arccosine, arccos
\(y = \arccos x\) \(\left\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; 0 \leqslant y \leqslant \pi \right\) \)
\(\cos(\arccos x) = x \) \(\( -1 \leqslant x \leqslant 1 \) \)
\(\arccos(\cos x) = x\) \(\( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) \)
Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, matemaatika käsiraamat inseneridele ja üliõpilastele, “Lan”, 2009.
Arvutuste tegemiseks peate lubama ActiveX-juhtelemendid!
Saime teada, et trigonomeetriliste funktsioonide käitumine ja funktsioonid y = sin x eriti, tervel arvureal (või argumendi kõigi väärtuste jaoks X) on täielikult määratud selle käitumisega intervallis 0 < X < π / 2 .
Seetõttu joonistame kõigepealt funktsiooni y = sin x täpselt selles intervallis.
Teeme järgmise oma funktsiooni väärtuste tabeli;
Märkides koordinaattasandile vastavad punktid ja ühendades need sujuva joonega, saame joonisel kujutatud kõvera
Saadud kõvera saab koostada ka geomeetriliselt, ilma funktsiooni väärtuste tabelit koostamata y = sin x .
1. Jaga 1 raadiusega ringi esimene veerand 8 võrdseks osaks Ringi jaotuspunktide ordinaadid on vastavate nurkade siinused.
2. Ringjoone esimene veerand vastab nurkadele 0 kuni π / 2 . Seetõttu teljel X Võtame segmendi ja jagame selle 8 võrdseks osaks.
3. Joonistame telgedega paralleelsed sirged X, ja jagamispunktidest konstrueerime ristid, kuni need ristuvad horisontaalsete joontega.
4. Ühendage ristumiskohad sujuva joonega.
Vaatame nüüd intervalli π /
2
<
X <
π
.
Iga argumendi väärtus X sellest intervallist saab esitada kui
x = π / 2 + φ
Kus 0 < φ < π / 2 . Reduktsioonivalemite järgi
patt ( π / 2 + φ ) = cos φ = patt ( π / 2 - φ ).
Telje punktid X abstsissidega π / 2 + φ Ja π / 2 - φ telje punkti suhtes sümmeetrilised X abstsissiga π / 2 , ja siinused nendes punktides on samad. See võimaldab meil saada funktsiooni graafiku y = sin x intervallil [ π / 2 , π ], kuvades lihtsalt sümmeetriliselt selle funktsiooni graafiku intervallis sirgjoone suhtes X = π / 2 .
Nüüd vara kasutuses paaritu paarsusfunktsioon y = sin x,
patt (- X) = - patt X,
seda funktsiooni on lihtne joonistada intervallisse [- π , 0].
Funktsioon y = sin x on perioodiline perioodiga 2π ;. Seetõttu piisab selle funktsiooni kogu graafiku koostamiseks, kui jätkata joonisel näidatud kõverat perioodiliselt punktiga vasakule ja paremale. 2π .
Saadud kõverat nimetatakse sinusoid . See on funktsiooni graafik y = sin x.
Joonis illustreerib hästi kõiki funktsiooni omadusi y = sin x , mida oleme varem tõestanud. Meenutagem neid omadusi.
1) Funktsioon y = sin x määratletud kõigi väärtuste jaoks X , seega on selle domeen kõigi reaalarvude hulk.
2) Funktsioon y = sin x piiratud. Kõik väärtused, mida see aktsepteerib, on vahemikus -1 kuni 1, sealhulgas need kaks numbrit. Järelikult määrab selle funktsiooni variatsioonivahemiku võrratus -1 < juures < 1. Millal X = π / 2 + 2k π funktsioon võtab suurimad väärtused 1 ja x = - π / 2 + 2k π - väikseimad väärtused on võrdsed -1.
3) Funktsioon y = sin x on paaritu (siinuslaine on alguspunkti suhtes sümmeetriline).
4) Funktsioon y = sin x perioodiline perioodiga 2 π .
5) Intervallidega 2n π < x < π + 2n π (n on mis tahes täisarv) see on positiivne ja intervallides π + 2k π < X < 2π + 2k π (k on suvaline täisarv) see on negatiivne. Kui x = k π funktsioon läheb nulli. Seetõttu on need argumendi x väärtused (0; ± π ; ±2 π ; ...) nimetatakse funktsiooni nullideks y = sin x
6) intervallidega - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funktsiooni y = patt x suureneb monotoonselt ja intervallidega π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π see väheneb monotoonselt.
Peaksite pöörama erilist tähelepanu funktsiooni käitumisele y = sin x punkti lähedal X = 0 .
Näiteks sin 0,012 ≈ 0,012; sin(-0,05) ≈ -0,05;
sin 2° = patt π 2 / 180 = patt π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.
Samal ajal tuleb märkida, et mis tahes x väärtuste korral
| patt x| < | x | . (1)
Tõepoolest, olgu joonisel näidatud ringi raadius võrdne 1-ga,
a /
AOB = X.
Siis pattu x= AC. Aga AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Selle kaare pikkus on ilmselt võrdne X, kuna ringi raadius on 1. Seega 0 juures< X < π / 2
sin x< х.
Seega funktsiooni veidruse tõttu y = sin x on lihtne näidata, et kui - π / 2 < X < 0
| patt x| < | x | .
Lõpuks, millal x = 0
| sin x | = | x |.
Seega | X | < π / 2 ebavõrdsus (1) on tõestatud. Tegelikult kehtib see ebavõrdsus ka | x | > π / 2 tänu sellele, et | patt X | < 1, a π / 2 > 1
Harjutused
1.Vastavalt funktsiooni graafikule y = sin x määrake: a) sin 2; b) patt 4; c) patt (-3).
2.Vastavalt funktsiooni graafikule y = sin x
määrata, milline number intervallist
[ - π /
2 ,
π /
2
] siinus on võrdne: a) 0,6; b) -0,8.
3. Funktsiooni graafiku järgi y = sin x
määrake, millistel arvudel on siinus,
võrdne 1/2-ga.
4. Leia ligikaudne (tabeleid kasutamata): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) sin (-0,015); d) sin (-2°30").
