Fakt 1.
\(\bullet\) Võtame mõne mittenegatiivse arvu \(a\) (st \(a\geqslant 0\) ). Siis (aritmeetika) ruutjuur arvust \(a\) nimetatakse sellist mittenegatiivset arvu \(b\) , ruudustamisel saame arvu \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(sama mis )\quad a=b^2\] Definitsioonist järeldub, et \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Need piirangud on ruutjuure olemasolu oluline tingimus ja neid tuleks meeles pidada!
Tuletage meelde, et iga arv ruudus annab mittenegatiivse tulemuse. See tähendab, \(100^2=10000\geqslant 0\) ja \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Millega on \(\sqrt(25)\) võrdne? Teame, et \(5^2=25\) ja \((-5)^2=25\) . Kuna definitsiooni järgi peame leidma mittenegatiivse arvu, siis \(-5\) ei sobi, seega \(\sqrt(25)=5\) (kuna \(25=5^2\) ).
\(\sqrt a\) väärtuse leidmist nimetatakse arvu \(a\) ruutjuure võtmiseks ja arvu \(a\) nimetatakse radikaalavaldiseks.
\(\bullet\) Definitsiooni alusel avaldis \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) jne. pole mõtet.

2. fakt.
Kiirete arvutuste jaoks on kasulik õppida naturaalarvude ruutude tabelit vahemikus \(1\) kuni \(20\): \[\begin(massiiv)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(massiiv)\]

3. fakt.
Milliseid toiminguid saab ruutjuurtega teha?
\(\bullet\) Ruutjuurte summa või erinevus EI OLE VÕRDNE summa või erinevuse ruutjuurega, see tähendab \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Seega, kui teil on vaja arvutada näiteks \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , peate esmalt leidma väärtused \(\sqrt(25)\) ja \(\ sqrt(49)\ ) ja seejärel voldi need kokku. Seega \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Kui \(\sqrt a\) või \(\sqrt b\) väärtusi \(\sqrt a+\sqrt b\) lisades ei leita, siis sellist avaldist edasi ei teisendata ja see jääb samaks. Näiteks summas \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) leiame, et \(\sqrt(49)\) on \(7\) , kuid \(\sqrt 2\) ei saa teisendada igatahes, sellepärast \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Kahjuks ei saa seda väljendit veelgi lihtsustada\(\bullet\) Ruutjuurte korrutis/jagatis võrdub korrutise/jagatise ruutjuurega, see tähendab \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (eeldusel, et võrdsuse mõlemad pooled on mõistlikud)
Näide: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Neid omadusi kasutades on mugav leida suurte arvude ruutjuuri neid faktoriseerides.
Vaatame näidet. Leiame \(\sqrt(44100)\) . Alates \(44100:100=441\) , siis \(44100=100\cdot 441\) . Jaguvuse kriteeriumi kohaselt jagub arv \(441\) arvuga \(9\) (kuna selle numbrite summa on 9 ja jagub 9-ga), seega \(441:9=49\), see tähendab \(441=9\ cdot 49\) .
Nii saime: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Vaatame teist näidet: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Näitame, kuidas sisestada ruutjuure märgi alla numbreid, kasutades avaldise \(5\sqrt2\) näidet (avaldise \(5\cdot \sqrt2\) lühike märge). Kuna \(5=\sqrt(25)\) , siis \ Pange tähele ka seda, et näiteks
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Miks nii? Selgitame näite 1 abil). Nagu te juba aru saate, ei saa me arvu \(\sqrt2\) kuidagi teisendada. Kujutagem ette, et \(\sqrt2\) on mingi arv \(a\) . Vastavalt sellele pole avaldis \(\sqrt2+3\sqrt2\) midagi muud kui \(a+3a\) (üks arv \(a\) pluss veel kolm sama arvu \(a\)). Ja me teame, et see on võrdne nelja sellise arvuga \(a\) , see tähendab \(4\sqrt2\) .

Fakt 4.
\(\bullet\) Sageli öeldakse "te ei saa juurt eraldada", kui te ei saa numbri väärtuse leidmisel vabaneda juure (radikaali) märgist \(\sqrt () \ \) . Näiteks võite võtta arvu \(16\) juure, sest \(16=4^2\) , seega \(\sqrt(16)=4\) . Kuid arvu \(3\) juurt on võimatu eraldada, st leida \(\sqrt3\), sest pole arvu, mis ruudus annaks \(3\) .
Sellised arvud (või selliste arvudega avaldised) on irratsionaalsed. Näiteks numbrid \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) ja nii edasi. on irratsionaalsed.
Irratsionaalsed on ka arvud \(\pi\) (arv "pi", ligikaudu võrdne \(3,14\)), \(e\) (seda arvu nimetatakse Euleri arvuks, see on ligikaudu võrdne \(2,7) \)) jne.
\(\bullet\) Pange tähele, et iga arv on kas ratsionaalne või irratsionaalne. Ja koos moodustavad kõik ratsionaalsed ja irratsionaalarvud hulga nimega reaalarvude komplekt. Seda komplekti tähistatakse tähega \(\mathbb(R)\) .
See tähendab, et kõiki numbreid, mida me praegu teame, nimetatakse reaalarvudeks.

Fakt 5.
\(\bullet\) Reaalarvu moodul \(a\) on mittenegatiivne arv \(|a|\), mis võrdub kaugusega punktist \(a\) kuni \(0\) päris rida. Näiteks \(|3|\) ja \(|-3|\) on 3, kuna kaugused punktidest \(3\) ja \(-3\) kuni \(0\) on sama ja võrdne \(3 \) .
\(\bullet\) Kui \(a\) on mittenegatiivne arv, siis \(|a|=a\) .
Näide: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Kui \(a\) on negatiivne arv, siis \(|a|=-a\) .
Näide: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Nad ütlevad, et negatiivsete arvude puhul "sööb" moodul miinuse, samas kui positiivsed arvud ja ka arv \(0\) jäävad mooduli poolt muutmata.
AGA See reegel kehtib ainult numbrite kohta. Kui teie mooduli märgi all on tundmatu \(x\) (või mõni muu tundmatu), näiteks \(|x|\) , mille kohta me ei tea, kas see on positiivne, null või negatiivne, siis vabanege moodulist me ei saa. Sel juhul jääb see avaldis samaks: \(|x|\) . \(\bullet\) Kehtivad järgmised valemid: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( tingimusel ) a\geqslant 0\] Väga sageli tehakse järgmine viga: öeldakse, et \(\sqrt(a^2)\) ja \((\sqrt a)^2\) on üks ja seesama. See kehtib ainult siis, kui \(a\) on positiivne arv või null. Aga kui \(a\) on negatiivne arv, siis on see vale. Piisab, kui vaadelda seda näidet. Võtame \(a\) asemel arvu \(-1\) . Siis \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , kuid avaldist \((\sqrt (-1))^2\) pole üldse olemas (lõppude lõpuks, on võimatu kasutada juurmärki pane negatiivseid numbreid!).
Seetõttu juhime teie tähelepanu asjaolule, et \(\sqrt(a^2)\) ei ole võrdne \((\sqrt a)^2\) ! Näide: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), sest \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Kuna \(\sqrt(a^2)=|a|\) , siis \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (avaldis \(2n\) tähistab paarisarvu)
See tähendab, et kui eraldada arvu juur, mis on mingil määral, väheneb see aste poole võrra.
Näide:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (pange tähele, et kui moodulit ei tarnita, siis selgub, et arvu juur on võrdne \(-25\) ), kuid me peame meeles, et juure definitsiooni järgi seda juhtuda ei saa: juure eraldamisel peaksime alati saama positiivse arvu või nulli)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (kuna iga paarisastme arv ei ole negatiivne)

Fakt 6.
Kuidas võrrelda kahte ruutjuurt?
\(\bullet\) Ruutjuurte puhul on see tõene: kui \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aNäide:
1) võrrelge \(\sqrt(50)\) ja \(6\sqrt2\) . Esiteks teisendame teise avaldise järgmiseks \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Seega, kuna \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Milliste täisarvude vahel asub \(\sqrt(50)\)?
Alates \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) ja \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Võrdleme \(\sqrt 2-1\) ja \(0,5\) . Oletame, et \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(joondatud) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((lisage üks mõlemale poolele))\\ &\sqrt2>0,5+1 \\big| \ ^2 \quad\text((mõlemad pooled ruudus))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(joondatud)\] Näeme, et oleme saanud vale ebavõrdsuse. Seetõttu oli meie eeldus vale ja \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Pange tähele, et teatud arvu lisamine ebavõrdsuse mõlemale poolele ei mõjuta selle märki. Võrratuse mõlema poole korrutamine/jagamine positiivse arvuga ei mõjuta samuti selle märki, kuid negatiivse arvuga korrutamine/jagamine muudab võrratuse märgi ümber!
Võrrandi/võrratuse mõlema külje saab ruutu panna AINULT KUI mõlemad küljed on mittenegatiivsed. Näiteks eelmise näite ebavõrdsuses saab ruudustada mõlemad pooled, ebavõrdsuses \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Seda tuleks meeles pidada \[\begin(joondatud) &\sqrt 2\umbes 1,4\\ &\sqrt 3\umbes 1,7 \end(joondatud)\] Nende numbrite ligikaudse tähenduse teadmine aitab numbrite võrdlemisel! \(\bullet\) Selleks et eraldada juur (kui seda saab välja võtta) mõnest suurest arvust, mida ruutude tabelis ei ole, tuleb kõigepealt kindlaks teha, milliste “sadade” vahel see asub, seejärel – milliste “ kümned” ja seejärel määrake selle arvu viimane number. Näitame näitega, kuidas see toimib.
Võtame \(\sqrt(28224)\) . Teame, et \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) jne. Pange tähele, et \(28224\) on vahemikus \(10\,000\) ja \(40\,000\) . Seetõttu on \(\sqrt(28224)\) vahemikus \(100\) ja \(200\) .
Nüüd teeme kindlaks, milliste "kümnete" vahel meie number asub (st näiteks \(120\) ja \(130\) vahel). Ka ruutude tabelist teame, et \(11^2=121\) , \(12^2=144\) jne, siis \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \) ) . Seega näeme, et \(28224\) on \(160^2\) ja \(170^2\) vahel. Seetõttu on arv \(\sqrt(28224)\) vahemikus \(160\) kuni \(170\) .
Proovime määrata viimase numbri. Meenutagem, millised ühekohalised arvud ruudustamisel annavad \(4\) lõppu? Need on \(2^2\) ja \(8^2\) . Seetõttu lõpeb \(\sqrt(28224)\) numbriga 2 või 8. Kontrollime seda. Leiame \(162^2\) ja \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Seetõttu \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Matemaatika ühtse riigieksami adekvaatseks lahendamiseks peate esmalt tutvuma teoreetiliste materjalidega, mis tutvustavad teile arvukalt teoreeme, valemeid, algoritme jne. Esmapilgul võib tunduda, et see on üsna lihtne. Siiski on allika leidmine, kus matemaatika ühtse riigieksami teooria esitataks lihtsalt ja arusaadavalt mis tahes haridustasemega õpilastele, on tegelikult üsna keeruline ülesanne. Kooliõpikuid ei saa alati käepärast hoida. Ja matemaatika ühtse riigieksami põhivalemite leidmine võib isegi Internetis olla keeruline.

Miks on nii oluline õppida matemaatika teooriat mitte ainult ühtse riigieksami sooritajate jaoks?

1. Sest see avardab teie silmaringi. Matemaatika teoreetilise materjali õppimine on kasulik kõigile, kes soovivad saada vastuseid paljudele küsimustele, mis on seotud ümbritseva maailma tundmisega. Looduses on kõik korrastatud ja selge loogikaga. Just see peegeldub ka teaduses, mille kaudu on võimalik maailma mõista.
2. Sest see arendab intelligentsust. Matemaatika ühtse riigieksami teatmematerjale õppides, aga ka erinevaid ülesandeid lahendades õpib inimene loogiliselt mõtlema ja arutlema, mõtteid asjatundlikult ja selgelt sõnastama. Ta arendab analüüsi-, üldistus- ja järelduste tegemise oskust.

Kutsume teid isiklikult hindama kõiki meie lähenemisviisi eeliseid õppematerjalide süstematiseerimisel ja esitamisel.

On aeg see korda ajada juure ekstraheerimise meetodid. Need põhinevad juurte omadustel, eelkõige võrdusel, mis kehtib iga mittenegatiivse arvu b kohta.

Allpool vaatleme ükshaaval juurte ekstraheerimise peamisi meetodeid.

Alustame kõige lihtsamast juhtumist - naturaalarvudest juurte eraldamine ruutude tabeli, kuubitabeli jne abil.

Kui tabelid ruutudest, kuubikutest jne. Kui teil seda käepärast pole, on loogiline kasutada juure eraldamise meetodit, mis hõlmab radikaalarvu lagundamist algteguriteks.

Eraldi tasub mainida, mis on võimalik paaritute astendajatega juurte puhul.

Lõpuks vaatleme meetodit, mis võimaldab meil järjestikku leida juurväärtuse numbrid.

Alustame.

Kasutades ruutude tabelit, kuubikute tabelit jne.

Kõige lihtsamatel juhtudel võimaldavad ruutude, kuubikute jms tabelid juurte väljavõtmist. Mis need tabelid on?

Täisarvude ruutude tabel vahemikus 0 kuni 99 (näidatud allpool) koosneb kahest tsoonist. Tabeli esimene tsoon asub hallil taustal, valides konkreetse rea ja konkreetse veeru, see võimaldab koostada arvu vahemikus 0 kuni 99. Näiteks valime rea 8 kümnest ja veeru 3 ühikust, sellega fikseerisime numbri 83. Teine tsoon hõivab ülejäänud tabeli. Iga lahter asub kindla rea ​​ja kindla veeru ristumiskohas ning sisaldab vastava arvu ruutu vahemikus 0 kuni 99. Meie valitud 8 kümnest koosneva rea ​​ja 3 üheliste veeru ristumiskohas on lahter numbriga 6889, mis on arvu 83 ruut.

Kuubikute tabelid, arvude 0 kuni 99 neljanda astme tabelid ja nii edasi on sarnased ruutude tabeliga, ainult et need sisaldavad teises tsoonis kuupe, neljandaid astmeid jne. vastavad numbrid.

Ruudude, kuubikute, neljandate astmete jne tabelid. võimaldab eraldada ruutjuuri, kuupjuuri, neljandaid juuri jne. vastavalt nendes tabelites toodud numbritest. Selgitame nende kasutamise põhimõtet juurte ekstraheerimisel.

Oletame, et peame eraldama arvu a n-nda juure, samas kui arv a sisaldub n-nda astme tabelis. Seda tabelit kasutades leiame arvu b nii, et a=b n. Siis , seega on arv b soovitud n-nda astme juur.

Näitena näitame, kuidas kasutada kuubitabelit kuupjuure 19 683 eraldamiseks. Kuubikute tabelist leiame numbri 19 683, sellest leiame, et see arv on numbri 27 kuup, seega .

On selge, et n-nda astme tabelid on juurte eraldamiseks väga mugavad. Tihti pole neid aga käepärast ja nende koostamine nõuab omajagu aega. Pealegi on sageli vaja välja võtta juured numbritest, mida vastavates tabelites pole. Sellistel juhtudel peate kasutama muid juure ekstraheerimise meetodeid.

Radikaalarvu faktoriseerimine algteguriteks

Üsna mugav viis naturaalarvu juure eraldamiseks (juhul, kui juur on muidugi eraldatud), on radikaalarvu lagundamine algteguriteks. Tema point on selles: pärast seda on seda üsna lihtne esitada soovitud astendajaga astmena, mis võimaldab saada juure väärtuse. Teeme selle punkti selgeks.

Olgu naturaalarvu a n-s juur ja selle väärtus võrdub b. Sel juhul on võrdus a=b n tõene. Arvu b, nagu iga naturaalarvu, saab esitada kõigi selle algtegurite p 1 , p 2 , …, p m korrutisena kujul p 1 ·p 2 ·…·p m ja sel juhul radikaalarvu a on esitatud kui (p 1 · p 2 ·… · p m) n . Kuna arvu lagunemine algteguriteks on unikaalne, on radikaalarvu a lagundamine algteguriteks kujul (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, mis võimaldab arvutada juure väärtuse. nagu.

Pange tähele, et kui radikaalarvu a algteguriteks lagunemist ei saa esitada kujul (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, siis sellise arvu a n-ndat juurt ei eraldata täielikult.

Selgitame selle välja näidete lahendamisel.

Näide.

Võtke 144 ruutjuur.

Lahendus.

Kui vaatate eelmises lõigus toodud ruutude tabelit, näete selgelt, et 144 = 12 2, millest on selge, et 144 ruutjuur võrdub 12-ga.

Kuid selle punkti valguses huvitab meid, kuidas juur eraldatakse radikaalarvu 144 algteguriteks lagundamisel. Vaatame seda lahendust.

Laguneme 144 algteguriteks:

See tähendab, et 144=2·2·2·2·3·3. Saadud lagunemise põhjal saab läbi viia järgmised teisendused: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = (2 · 2) 2 · 3 2 = (2 · 2 · 3) 2 = 12 2. Seega .

Kasutades kraadi omadusi ja juurte omadusi, võiks lahuse formuleerida veidi teisiti: .

Vastus:

Materjali koondamiseks kaaluge veel kahe näite lahendusi.

Näide.

Arvutage juure väärtus.

Lahendus.

Radikaalarvu 243 algfaktorisatsioon on kujul 243=3 5 . Seega .

Vastus:

Näide.

Kas juurväärtus on täisarv?

Lahendus.

Sellele küsimusele vastamiseks jagame radikaalarvu algteguriteks ja vaatame, kas seda saab esitada täisarvu kuubina.

Meil on 285 768 = 2 3 · 3 6 · 7 2. Saadud laiendust ei saa esitada täisarvu kuubina, kuna algteguri 7 aste ei ole kolmekordne. Seetõttu ei saa kuupjuurt 285 768 täielikult eraldada.

Vastus:

Ei.

Murdarvudest juurte eraldamine

On aeg välja mõelda, kuidas eraldada murdarvu juur. Kirjutada murdosa radikaalarv kujul p/q. Jagatise juure omaduse järgi on tõene järgmine võrdsus. Sellest võrdsusest järeldub murru juure eraldamise reegel: Murru juur võrdub lugeja juure jagatisega, mis on jagatud nimetaja juurega.

Vaatame näidet juure murdmisest.

Näide.

Mis on hariliku murru 25/169 ruutjuur?

Lahendus.

Kasutades ruutude tabelit, leiame, et algse murru lugeja ruutjuur võrdub 5-ga ja nimetaja ruutjuur on võrdne 13-ga. Siis . See lõpetab hariliku fraktsiooni 25/169 juure ekstraheerimise.

Vastus:

Kümnendmurru või segaarvu juur ekstraheeritakse pärast radikaalarvude asendamist tavaliste murdudega.

Näide.

Võtke kümnendmurru 474,552 kuupjuur.

Lahendus.

Kujutagem ette algset kümnendmurdu hariliku murruna: 474,552=474552/1000. Siis . Jääb välja võtta kuupjuured, mis on saadud murdosa lugejas ja nimetajas. Sest 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 = 78 3 ja 1 000 = 10 3, siis Ja . Jääb vaid arvutused lõpule viia .

Vastus:

.

Negatiivse arvu juure võtmine

Tasub peatuda negatiivsetest arvudest juurte eraldamisel. Juurte uurimisel ütlesime, et kui juureksponent on paaritu arv, siis juuremärgi all võib olla negatiivne arv. Andsime neile kirjetele järgmise tähenduse: negatiivse arvu −a ja juure 2 n−1 paaritu eksponendi korral, . See võrdsus annab reegel negatiivsetest arvudest paaritute juurte eraldamiseks: negatiivse arvu juure eraldamiseks peate võtma vastupidise positiivse arvu juure ja panema tulemuse ette miinusmärgi.

Vaatame näidislahendust.

Näide.

Leidke juure väärtus.

Lahendus.

Teisendame algse avaldise nii, et juurmärgi all oleks positiivne arv: . Nüüd asendage segaarv tavalise murruga: . Rakendame hariliku murru juure eraldamise reeglit: . Jääb arvutada saadud murdosa lugejas ja nimetajas olevad juured: .

Siin on lahenduse lühikokkuvõte: .

Vastus:

.

Juurväärtuse bitipõhine määramine

Üldjuhul on juure all arv, mida ülalkirjeldatud tehnikaid kasutades ei saa esitada ühegi arvu n-nda astmena. Kuid sel juhul on vaja teada antud juure tähendust, vähemalt kuni teatud märgini. Sel juhul saate juure ekstraheerimiseks kasutada algoritmi, mis võimaldab teil järjestikku hankida soovitud numbri piisav arv numbrilisi väärtusi.

Selle algoritmi esimene samm on välja selgitada, mis on juurväärtuse kõige olulisem bitt. Selleks tõstetakse arvud 0, 10, 100, ... järjestikku astmeni n, kuni saadakse hetk, mil arv ületab radikaalarvu. Seejärel näitab arv, mille tõstsime eelmises etapis astmeni n, vastavat kõige olulisemat numbrit.

Näiteks kaaluge seda algoritmi sammu viie ruutjuure eraldamisel. Võtke arvud 0, 10, 100, ... ja ruudustage need, kuni saame arvu, mis on suurem kui 5. Meil on 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, mis tähendab, et kõige olulisem number on üks number. Selle biti ja ka madalamate väärtuste leiate juurekstraktsiooni algoritmi järgmistest sammudest.

Algoritmi kõik järgnevad sammud on suunatud juure väärtuse järjestikusele selgitamisele, leides juure soovitud väärtuse järgmiste bittide väärtused, alustades kõrgeimast ja liikudes madalaimateni. Näiteks juure väärtus esimesel etapil osutub 2, teisel - 2,2, kolmandal - 2,23 ja nii edasi 2,236067977…. Kirjeldame, kuidas bittide väärtused leitakse.

Numbrid leitakse nende võimalike väärtuste 0, 1, 2, ..., 9 kaudu. Sel juhul arvutatakse paralleelselt vastavate arvude n-ndad astmed ja neid võrreldakse radikaalarvuga. Kui mingil etapil ületab astme väärtus radikaalarvu, loetakse eelmisele väärtusele vastav numbri väärtus leituks ja kui seda ei juhtu, siis toimub üleminek juure eraldamise algoritmi järgmisele sammule; siis selle numbri väärtus on 9.

Selgitame neid punkte, kasutades sama näidet viie ruutjuure eraldamiseks.

Kõigepealt leiame ühikute numbri väärtuse. Me käime läbi väärtused 0, 1, 2, ..., 9, arvutades vastavalt 0 2, 1 2, ..., 9 2, kuni saame väärtuse, mis on suurem kui radikaalarv 5. Kõik need arvutused on mugav esitada tabeli kujul:

Seega on ühikute numbri väärtus 2 (alates 2 2<5 , а 2 3 >5). Liigume edasi kümnendike koha väärtuse leidmise juurde. Sel juhul paneme numbrid 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 ruutu, võrreldes saadud väärtusi radikaalarvuga 5:

Alates 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, siis kümnendiku koha väärtus on 2. Saate jätkata sajandikukoha väärtuse leidmist:

Nii leiti viie juure järgmine väärtus, see võrdub 2,23-ga. Ja nii saate jätkata väärtuste leidmist: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Materjali konsolideerimiseks analüüsime vaadeldava algoritmi abil juure eraldamist sajandiku täpsusega.

Esmalt määrame kindlaks kõige olulisema numbri. Selleks kuubime arvud 0, 10, 100 jne. kuni saame arvu, mis on suurem kui 2 151 186. Meil on 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151 186 , seega on kõige olulisem number kümnend.

Määrame selle väärtuse.

Alates 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, siis on kümnekoha väärtus 1. Liigume edasi üksuste juurde.

Seega on ühe numbri väärtus 2. Liigume kümnendike juurde.

Kuna isegi 12,9 3 on vähem kui radikaalarv 2 151,186, siis kümnendiku koha väärtus on 9. Jääb täita algoritmi viimane samm, see annab meile juurväärtuse vajaliku täpsusega.

Selles etapis leitakse juure väärtus sajandiku täpsusega: .

Selle artikli kokkuvõtteks tahaksin öelda, et juurte ekstraheerimiseks on palju muid võimalusi. Kuid enamiku ülesannete jaoks piisab ülaltoodud ülesannetest.

Bibliograafia.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: õpik 8. klassile. õppeasutused.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ja teised Algebra ja analüüsi alged: Õpik üldharidusasutuste 10. - 11. klassile.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse astujatele).

Tervitused, kassid! Eelmisel korral arutasime üksikasjalikult, mis on juured (kui te ei mäleta, soovitan seda lugeda). Peamine järeldus sellest õppetunnist: juurtel on ainult üks universaalne määratlus, mida peate teadma. Ülejäänu on jama ja ajaraisk.

Täna läheme kaugemale. Õpime korrutama juuri, uurime mõnda korrutamisega seotud ülesannet (kui neid ülesandeid ei lahendata, võivad need eksamil saatuslikuks saada) ja harjutame korralikult. Nii et varuge popkorni, seadke end mugavalt ja alustame :)

Sa pole ka seda veel suitsetanud, eks?

Tund osutus üsna pikaks, nii et jagasin selle kaheks osaks:

1. Kõigepealt tutvume korrutamise reeglitega. Näib, et kork vihjab: see on siis, kui on kaks juurt, nende vahel on märk "korrutada" - ja me tahame sellega midagi ette võtta.
2. Vaatame siis vastupidist olukorda: on üks suur juur, aga me tahtsime seda kujutada kahe lihtsama juure produktina. Miks see vajalik on, on omaette küsimus. Analüüsime ainult algoritmi.

Need, kes ei jõua ära oodata, et saaksid kohe teise osa juurde liikuda, olete teretulnud. Alustame ülejäänud järjekorras.

Korrutamise põhireegel

Alustame kõige lihtsamast - klassikalistest ruutjuurtest. Samad, mida tähistatakse $\sqrt(a)$ ja $\sqrt(b)$. Kõik on neile selge:

Korrutamisreegel. Ruutjuure korrutamiseks teisega korrutage lihtsalt nende radikaalavaldised ja kirjutage tulemus ühise radikaali alla:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Paremal ega vasakul olevatele numbritele lisapiiranguid ei seata: kui juurtegurid on olemas, siis on ka toode olemas.

Näited. Vaatame korraga nelja näidet numbritega:

\[\begin(joonda) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(joonda)\]

Nagu näete, on selle reegli peamine tähendus irratsionaalsete väljendite lihtsustamine. Ja kui esimeses näites oleksime me ise 25 ja 4 juured välja võtnud ilma uute reegliteta, siis läheb asi karmiks: $\sqrt(32)$ ja $\sqrt(2)$ ei loeta iseenesest, vaid nende korrutis osutub täiuslikuks ruuduks, seega on selle juur võrdne ratsionaalarvuga.

Eriti tahaksin esile tõsta viimast rida. Seal on mõlemad radikaalsed avaldised murrud. Tänu tootele tühistatakse paljud tegurid ja kogu avaldis muutub piisavaks arvuks.

Muidugi ei ole asjad alati nii ilusad. Mõnikord on juurte all täielik segadus - pole selge, mida sellega teha ja kuidas seda pärast korrutamist teisendada. Veidi hiljem, kui hakkate uurima irratsionaalseid võrrandeid ja võrratusi, on seal igasuguseid muutujaid ja funktsioone. Ja väga sageli loodavad probleemide kirjutajad sellele, et avastate mõned tühistavad terminid või tegurid, mille järel probleem lihtsustub mitu korda.

Lisaks pole üldse vaja täpselt kahte juuri korrutada. Saate korrutada kolm, neli või isegi kümme korraga! See reeglit ei muuda. Vaata:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(joonda)\]

Ja jälle väike märkus teise näite kohta. Nagu näete, on juure all olevas kolmandas teguris kümnendmurd - arvutuste käigus asendame selle tavalisega, mille järel kõike on lihtne vähendada. Seega: soovitan tungivalt vabaneda kümnendmurdudest mis tahes irratsionaalsetes avaldistes (st mis sisaldavad vähemalt ühte radikaalsümbolit). See säästab tulevikus palju aega ja närve.

Kuid see oli lüüriline kõrvalepõige. Vaatleme nüüd üldisemat juhtumit - kui juureksponent sisaldab suvalist arvu $n$, mitte ainult "klassikalist" kahte.

Suvalise näitaja juhtum

Niisiis, oleme välja sorteerinud ruutjuured. Mida teha kuubikutega? Või isegi suvalise $n$ astme juurtega? Jah, kõik on sama. Reegel jääb samaks:

Kahe astme $n$ juure korrutamiseks piisab, kui korrutada nende radikaalavaldised ja seejärel kirjutada tulemus ühe radikaali alla.

Üldiselt pole midagi keerulist. Välja arvatud see, et arvutuste arv võib olla suurem. Vaatame paari näidet:

Näited. Arvutage tooteid:

\[\begin(joona) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(joonda)\]

Ja jälle tähelepanu teisele väljendile. Korrutame kuupjuured, eemaldame kümnendmurru ja saame tulemuseks selle, et nimetaja on arvude 625 ja 25 korrutis. See on üsna suur arv – mina isiklikult ei saa aru, millega see ülevalt võrdub. minu peast.

Seetõttu eraldasime lugejas ja nimetajas lihtsalt täpse kuubiku ning kasutasime seejärel $n$-nda juure ühte võtmeomadust (või, kui soovite, definitsiooni):

\[\begin(joonda) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\right|. \\ \end(joonda)\]

Sellised "mahhinatsioonid" võivad säästa palju aega eksamil või testil, seega pidage meeles:

Ärge kiirustage radikaalsete avaldiste abil arve korrutama. Esiteks kontrollige: mis siis, kui mis tahes väljendi täpne aste on seal "krüpteeritud"?

Vaatamata selle märkuse ilmselgusele, pean tunnistama, et enamik ettevalmistamata õpilasi ei näe täpseid kraade tühipaljas. Selle asemel korrutavad kõik otse läbi ja siis imestavad: miks nad nii jõhkrad numbrid said :)

See kõik on aga beebijutt võrreldes sellega, mida me praegu uurime.

Juurte korrutamine erinevate astendajatega

Olgu, nüüd saame juured samade näitajatega korrutada. Mis siis, kui näitajad on erinevad? Ütleme, kuidas korrutada tavalist $\sqrt(2)$ sellise jamaga nagu $\sqrt(23)$? Kas seda on üldse võimalik teha?

Jah muidugi saab. Kõik tehakse järgmise valemi järgi:

Juurte paljundamise reegel. $\sqrt[n](a)$ korrutamiseks $\sqrt[p](b)$-ga piisab järgmise teisenduse tegemisest:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

See valem töötab aga ainult siis, kui radikaalsed väljendid on mittenegatiivsed. See on väga oluline punkt, mille juurde tuleme veidi hiljem tagasi.

Praegu vaatame paari näidet:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(joonda)\]

Nagu näete, pole midagi keerulist. Nüüd mõtleme välja, kust tuli mittenegatiivsuse nõue ja mis juhtub, kui me seda rikume :)

Juurte paljundamine on lihtne

Miks peavad radikaalsed väljendid olema mittenegatiivsed?

Muidugi võite olla nagu kooliõpetajad ja nutika pilguga õpikut tsiteerida:

Mittenegatiivsuse nõue on seotud paaris- ja paarituastme juurte erinevate definitsioonidega (vastavalt on ka nende määratlusvaldkonnad erinevad).

No kas sai selgemaks? Mina isiklikult 8. klassis seda jama lugedes sain aru umbes sellisest: “Mitteegatiivsuse nõue on seotud *#&^@(*#@^#)~%” - ühesõnaga ma sain ma ei saanud sel ajal mitte midagi aru :)

Nii et nüüd selgitan kõike tavalisel viisil.

Kõigepealt uurime, kust pärineb ülaltoodud korrutamisvalem. Selleks tuletan teile meelde juure ühte olulist omadust:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Teisisõnu saame radikaalavaldise hõlpsasti tõsta mis tahes loomuliku astmeni $k$ – sel juhul tuleb juure astendaja sama astmega korrutada. Seetõttu saame hõlpsalt taandada kõik juured ühiseks astendajaks ja need seejärel korrutada. Siit pärineb korrutusvalem:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Kuid on üks probleem, mis piirab järsult kõigi nende valemite kasutamist. Mõelge sellele numbrile:

Äsja antud valemi järgi saame lisada mis tahes kraadi. Proovime lisada $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Miinuse eemaldasime just seetõttu, et ruut põletab miinuse (nagu iga teine ​​paariskraad). Nüüd teostame pöördteisendust: "vähendame" kahte eksponendis ja võimsuses. Lõppude lõpuks saab iga võrdsust lugeda nii vasakult paremale kui ka paremalt vasakule:

\[\begin(joona) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Paremnool \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Paremnool \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(joonda)\]

Aga siis selgub, et see on mingi jama:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Seda ei saa juhtuda, sest $\sqrt(-5) \lt 0$ ja $\sqrt(5) \gt 0$. See tähendab, et paarisastmete ja negatiivsete arvude puhul meie valem enam ei tööta. Pärast seda on meil kaks võimalust:

1. Põrutada vastu seina ja väita, et matemaatika on rumal teadus, kus "on mõned reeglid, aga need on ebatäpsed";
2. Kehtestage täiendavaid piiranguid, mille alusel valem muutub 100% toimivaks.

Esimeses variandis peame pidevalt tabama "mittetöötavaid" juhtumeid - see on keeruline, aeganõudev ja üldiselt tüütu. Seetõttu eelistasid matemaatikud teist varianti :)

Aga ära muretse! Praktikas see piirang arvutusi kuidagi ei mõjuta, sest kõik kirjeldatud probleemid puudutavad vaid paaritu astme juuri ja neist saab võtta miinuseid.

Seetõttu sõnastagem veel üks reegel, mis kehtib üldiselt kõigi juurtega toimingute kohta:

Enne juurte korrutamist veenduge, et radikaalavaldised ei oleks negatiivsed.

Näide. Numbris $\sqrt(-5)$ saate juurmärgi alt eemaldada miinuse - siis on kõik normaalne:

\[\begin(joonda) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Paremnool \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(joonda)\]

Kas tunnete erinevust? Kui jätta juure alla miinus, siis radikaalavaldise ruudustamisel see kaob ja hakkab jama. Ja kui võtad esmalt miinuse välja, siis saad ruudu/eemaldada, kuni oled näost sinine – number jääb negatiivseks :)

Seega on kõige õigem ja usaldusväärsem viis juurte paljundamiseks järgmine:

1. Eemaldage radikaalidest kõik negatiivsed. Miinused eksisteerivad ainult paaritu paljususega juurtes - neid saab asetada juure ette ja vajadusel vähendada (näiteks kui neid miinuseid on kaks).
2. Tehke korrutamine vastavalt ülaltoodud reeglitele, millest tänases tunnis räägiti. Kui juurte näitajad on samad, korrutame radikaalsed avaldised lihtsalt. Ja kui need on erinevad, kasutame kurja valemit \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3.Naudi tulemust ja häid hindeid.:)

Noh? Kas harjutame?

Näide 1: avaldise lihtsustamine:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(joonda)\]

See on kõige lihtsam variant: juured on samad ja paaritud, ainus probleem on see, et teine ​​tegur on negatiivne. Selle miinuse võtame pildilt välja, misjärel on kõik lihtsalt välja arvutatud.

Näide 2: avaldise lihtsustamine:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( joondada)\]

Siin oleks paljudes segaduses asjaolu, et väljund osutus irratsionaalseks arvuks. Jah, see juhtub: me ei saanud juurtest täielikult lahti, kuid vähemalt lihtsustasime väljendit oluliselt.

Näide 3: avaldise lihtsustamine:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left(((() a)^(4)) \parem))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(joonda)\]

Tahaksin juhtida teie tähelepanu sellele ülesandele. Siin on kaks punkti:

1. Juur ei ole konkreetne arv või aste, vaid muutuja $a$. Esmapilgul on see veidi ebatavaline, kuid tegelikkuses tuleb matemaatikaülesannete lahendamisel kõige sagedamini tegeleda muutujatega.
2. Lõpuks õnnestus radikaali indikaatorit ja radikaali väljenduse astet "vähendada". Seda juhtub üsna sageli. Ja see tähendab, et kui te ei kasutanud põhivalemit, oli võimalik arvutusi oluliselt lihtsustada.

Näiteks võite teha järgmist.

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^() 4)) \parem))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\lõpp(joonda)\]

Tegelikult viidi kõik teisendused läbi ainult teise radikaaliga. Ja kui te ei kirjelda üksikasjalikult kõiki vaheetappe, siis lõpuks väheneb arvutuste hulk oluliselt.

Tegelikult oleme juba eespool sarnase ülesandega kokku puutunud, kui lahendasime näite $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Nüüd saab selle kirjutada palju lihtsamalt:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(joonda)\]

Noh, me oleme juurte korrutamise korda ajanud. Nüüd kaalume pöördtoimingut: mida teha, kui juure all on toode?

Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me sellist teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta unikaalsete pakkumiste, tutvustuste ja muude sündmuste ja eelseisvate sündmustega.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile meie teenuste kohta soovitusi.
• Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Teabe avaldamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni valitsusasutuste avalike taotluste või taotluste alusel - avaldada oma isikuandmeid. Võime teie kohta teavet avaldada ka juhul, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.

Isikuandmete kaitse

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.