Siin pakume üksikasjalikke lahendusi kolmele näitele järgmiste ratsionaalsete murdude integreerimisest:
,
,
.
Näide 1
Arvutage integraal:
.
Lahendus
Siin on integraalimärgi all ratsionaalne funktsioon, kuna integrand on murdosa polünoomidest. Nimetaja polünoomi aste ( 3 ) on väiksem kui lugejapolünoomi ( 4 ). Seetõttu peate kõigepealt valima kogu murdosa.
1.
Valime kogu murdosa. Jaga x 4
x poolt 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:
Siit
.
2.
Faktoriseerime murdosa nimetaja. Selleks peate lahendama kuupvõrrandi:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6
.
Asendame x = 1
:
.
1
. jaga x-ga - 1
:
Siit
.
Ruutvõrrandi lahendamine.
.
Võrrandi juured on: , .
Siis
.
3.
Jaotame murdosa selle lihtsaimaks vormiks.
.
Niisiis leidsime:
.
Integreerime.
Vastus
Näide 2
Arvutage integraal:
.
Lahendus
Siin on murru lugejaks nullkraadiga polünoom ( 1 = x 0). Nimetaja on kolmanda astme polünoom. Kuna 0 < 3 , siis on murd õige. Jagame selle lihtmurdudeks.
1.
Faktoriseerime murdosa nimetaja. Selleks peate lahendama kolmanda astme võrrandi:
.
Oletame, et sellel on vähemalt üks terve juur. Siis on see arvu jagaja 3
(liige ilma x-ita). See tähendab, et kogu juur võib olla üks arvudest:
1, 3, -1, -3
.
Asendame x = 1
:
.
Niisiis, oleme leidnud ühe juure x = 1
. Jaga x 3 + 2 x - 3 kohta x - 1
:
Niisiis,
.
Ruutvõrrandi lahendamine:
x 2 + x + 3 = 0.
Leidke diskriminant: D = 1 2 - 4 3 = -11. Kuna D< 0
, siis pole võrrandil tegelikke juuri. Seega saime nimetaja faktoriseerimise:
.
2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1)
.
Asendame x = 1
. Siis x - 1 = 0
,
.
Asendame sisse (2.1)
x = 0
:
1 = 3 A - C;
.
Võrdustame sellega (2.1)
koefitsiendid x jaoks 2
:
;
0 = A + B;
.
.
3.
Integreerime.
(2.2)
.
Teise integraali arvutamiseks valime lugejas oleva nimetaja tuletise ja taandame nimetaja ruutude summaks.
;
;
.
Arvutage I 2
.
.
Kuna võrrand x 2 + x + 3 = 0 ei oma tegelikke juuri, siis x 2 + x + 3 > 0. Seetõttu võib mooduli märgi ära jätta.
Tarnime kuni (2.2)
:
.
Vastus
Näide 3
Arvutage integraal:
.
Lahendus
Siin on integraalimärgi all murdosa polünoomidest. Seetõttu on integrand ratsionaalne funktsioon. Polünoomi aste lugejas on võrdne 3 . Murru nimetaja polünoomi aste on võrdne 4 . Kuna 3 < 4 , siis on murd õige. Seetõttu saab selle lagundada lihtsateks fraktsioonideks. Kuid selleks peate nimetaja faktoriseerima.
1.
Faktoriseerime murdosa nimetaja. Selleks peate lahendama neljanda astme võrrandi:
.
Oletame, et sellel on vähemalt üks terve juur. Siis on see arvu jagaja 2
(liige ilma x-ita). See tähendab, et kogu juur võib olla üks arvudest:
1, 2, -1, -2
.
Asendame x = -1
:
.
Niisiis, oleme leidnud ühe juure x = -1
. jaga x-ga - (-1) = x + 1:
Niisiis,
.
Nüüd peame lahendama kolmanda astme võrrandi:
.
Kui eeldame, et sellel võrrandil on täisarvu juur, siis on see arvu jagaja 2
(liige ilma x-ita). See tähendab, et kogu juur võib olla üks arvudest:
1, 2, -1, -2
.
Asendame x = -1
:
.
Niisiis, leidsime veel ühe juure x = -1
. Nagu eelmisel juhul, oleks võimalik polünoomi jagada arvuga , kuid rühmitame terminid:
.
Kuna võrrand x 2 + 2 = 0
millel pole tegelikke juuri, siis saame nimetaja faktoriseerimise:
.
2.
Jaotame murdosa selle lihtsaimaks vormiks. Otsime laiendust kujul:
.
Vabaneme murdosa nimetajast, korrutame sellega (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1)
.
Asendame x = -1
. Siis x + 1 = 0
,
.
Teeme vahet (3.1)
:
;
.
Asendame x = -1
ja võta arvesse, et x + 1 = 0
:
;
;
.
Asendame sisse (3.1)
x = 0
:
0 = 2 A + 2 B + D;
.
Võrdustame sellega (3.1)
koefitsiendid x jaoks 3
:
;
1 = B + C;
.
Niisiis, oleme leidnud lagunemise lihtsateks murdudeks:
.
3.
Integreerime.
.
“Matemaatik, nagu kunstnik või luuletaja, loob mustreid. Ja kui tema mustrid on stabiilsemad, siis ainult sellepärast, et need koosnevad ideedest... Matemaatiku mustrid, nii nagu kunstniku või poeedi mustrid, peavad olema ilusad; Ideed, nagu värvid või sõnad, peavad üksteisele vastama. Ilu on esimene nõue: maailmas pole kohta koledal matemaatikal».
G.H. Hardy
Esimeses peatükis märgiti, et on olemas üsna lihtsate funktsioonide antiderivaadid, mida ei saa enam elementaarfunktsioonide kaudu väljendada. Sellega seoses omandavad tohutu praktilise tähtsuse need funktsiooniklassid, mille kohta saame täpselt öelda, et nende antiderivaadid on elementaarsed funktsioonid. See funktsioonide klass sisaldab ratsionaalsed funktsioonid, mis esindab kahe algebralise polünoomi suhet. Paljud probleemid viivad ratsionaalsete murdude integreerimiseni. Seetõttu on väga oluline, et oleks võimalik selliseid funktsioone integreerida.
2.1.1. Murdratsionaalfunktsioonid
Ratsionaalne murdosa(või murdosaline ratsionaalne funktsioon) nimetatakse kahe algebralise polünoomi seoseks:
kus ja on polünoomid.
Tuletame teile seda meelde polünoom (polünoom, kogu ratsionaalne funktsioon) naste nimetatakse vormi funktsiooniks
Kus 
- reaalarvud. Näiteks,
– esimese astme polünoom;
– neljanda astme polünoom jne.
Ratsionaalmurdu (2.1.1) nimetatakse õige, kui aste on kraadist madalam, s.o. n<m, muidu nimetatakse murdosa vale.
Iga vale murdosa saab esitada polünoomi (tervikosa) ja õige murru (murruosa) summana. Vale murru tervik- ja murdosade eraldamist saab teha polünoomide “nurgaga” jagamise reegli järgi.
Näide 2.1.1. Tuvastage järgmiste valede ratsionaalsete murdude terved ja murdosad:
A) 
, b) 
.
Lahendus . a) Kasutades “nurga” jagamisalgoritmi, saame
Seega saame
.
b) Siin kasutame ka "nurga" jagamise algoritmi:
Selle tulemusena saame
.
Teeme kokkuvõtte. Üldjuhul saab ratsionaalse murru määramatut integraali esitada polünoomi ja õige ratsionaalmurru integraalide summana. Polünoomide antiderivaatide leidmine pole keeruline. Seetõttu käsitleme edaspidi peamiselt õigeid ratsionaalseid murde.
2.1.2. Lihtsamad ratsionaalsed murrud ja nende integreerimine
Õigete ratsionaalsete murdude hulgas on neli tüüpi, mida liigitatakse järgmiselt lihtsaimad (elementaarsed) ratsionaalsed murrud:
|
3) |
4) |
,
,kus on täisarv, 
, st. ruuttrinoom 
tal pole tõelisi juuri.
1. ja 2. tüübi lihtmurdude integreerimine ei tekita suuri raskusi:
, (2.1.3)
. (2.1.4)
Vaatleme nüüd 3. tüübi lihtmurdude integreerimist, kuid 4. tüübi murde me ei arvesta.
Alustame vormi integraalidega
.
See integraal arvutatakse tavaliselt nimetaja täiusliku ruudu eraldamise teel. Tulemuseks on järgmise vormi tabeliintegraal
või 
.
Näide 2.1.2. Leidke integraalid:
A) 
, b) 
.
Lahendus . a) Valige ruut kolmiku ruut:
Siit leiame
b) Eraldades täisruudu ruuttrinoomist, saame:
Seega
.
Integraali leidmiseks
võite eraldada nimetaja tuletise lugejas ja laiendada integraali kahe integraali summaks: esimene neist asendades 
taandub välimusele
,
ja teine - eespool käsitletule.
Näide 2.1.3. Leidke integraalid:
.
Lahendus
. Märka seda 
. Isoleerime nimetaja tuletise lugejas:
Esimene integraal arvutatakse asendust kasutades 
:
Teises integraalis valime nimetajasse täiusliku ruudu
Lõpuks saame
2.1.3. Õige ratsionaalne murdosa laiendamine
lihtmurdude summaks
Iga õige ratsionaalne murd 
saab unikaalsel viisil esitada lihtmurdude summana. Selleks tuleb nimetaja faktoriseerida. Kõrgemast algebrast on teada, et iga polünoom reaalkoefitsientidega
Antud teemas esitatav materjal põhineb teemas "Ratsionaalmurrud. Ratsionaalmurdude lagundamine elementaar(liht)murdudeks" toodud infol. Soovitan tungivalt enne selle materjali lugemise juurde asumist see teema vähemalt läbi sirvida. Lisaks vajame määramata integraalide tabelit.
Lubage mul teile meelde tuletada paar terminit. Neid käsitleti vastavas teemas, seega piirdun siinkohal lühikese sõnastusega.
Kahe polünoomi suhet $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ nimetatakse ratsionaalfunktsiooniks või ratsionaalseks murdeks. Ratsionaalmurdu nimetatakse õige, kui $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется vale.
Elementaarsed (lihtsamad) ratsionaalsed murrud on nelja tüüpi ratsionaalsed murrud:
- $\frac(A)(x-a)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Märkus (soovitav teksti täielikumaks mõistmiseks): näita\peida
Miks on vaja tingimust $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Näiteks avaldise $x^2+5x+10$ jaoks saame: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Kuna $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
Muide, selle kontrolli jaoks pole üldse vajalik, et koefitsient enne $x^2$ oleks võrdne 1-ga. Näiteks $5x^2+7x-3=0$ korral saame: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3) = 109 $. Kuna $D > 0$, on avaldis $5x^2+7x-3$ faktoriseeritav.
Võib leida näiteid ratsionaalsetest murdudest (õigest ja ebaõigest), samuti näiteid ratsionaalse murru lagunemisest elementaarmurdudeks. Siin huvitavad meid ainult nende integreerimise küsimused. Alustame elementaarmurdude integreerimisega. Seega on kõiki nelja ülaltoodud elementaarmurdu tüüpi lihtne integreerida allolevate valemite abil. Tuletan meelde, et tüüpide (2) ja (4) murdude integreerimisel eeldatakse $n=2,3,4,\ldots$. Valemid (3) ja (4) nõuavad tingimuse $p^2-4q täitmist< 0$.
\begin(võrrand) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(võrrand) \begin(võrrand) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(võrrand) \begin(võrrand) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(võrrand)
$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ jaoks tehakse asendus $t=x+\frac(p)(2)$, mille järel saadakse saadud intervall jagatud kaheks. Esimene arvutatakse diferentsiaalmärgi alla sisestades ja teine on kujul $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. See integraal võetakse kordusseost kasutades
\begin(võrrand) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\end(võrrand)
Sellise integraali arvutamist käsitletakse näites nr 7 (vt kolmas osa).
Ratsionaalfunktsioonide integraalide (ratsionaalmurrud) arvutamise skeem:
- Kui integrand on elementaarne, rakendage valemeid (1)-(4).
- Kui integrand ei ole elementaarne, siis esitage see elementaarmurdude summana ja seejärel integreerige valemite (1)-(4) abil.
Ülaltoodud algoritmil ratsionaalsete murdude integreerimiseks on vaieldamatu eelis - see on universaalne. Need. selle algoritmi abil saate integreerida ükskõik milline ratsionaalne murdosa. Seetõttu tehakse peaaegu kõik muutujate muudatused määramata integraalis (Euler, Tšebõšev, universaalne trigonomeetriline asendus) nii, et pärast seda muutust saame intervalli all oleva ratsionaalse murdosa. Ja seejärel rakendage sellele algoritm. Pärast väikese märkuse tegemist analüüsime selle algoritmi otsest rakendamist näidete abil.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$
Põhimõtteliselt on seda integraali lihtne saada ilma valemi mehaanilise rakendamiseta. Kui võtame integraalimärgist välja konstantse $7$ ja võtame arvesse, et $dx=d(x+9)$, saame:
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$
Täpsema teabe saamiseks soovitan vaadata teemat. See selgitab üksikasjalikult, kuidas selliseid integraale lahendatakse. Muide, valemit tõestavad samad teisendused, mida rakendati selles lõigus selle "käsitsi" lahendamisel.
2) Jällegi on kaks võimalust: kasutada valmis valemit või teha ilma selleta. Kui rakendate valemit, peaksite arvestama, et koefitsient $x$ (number 4) ees tuleb eemaldada. Selleks võtame need neli lihtsalt sulgudest välja:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$
Nüüd on aeg rakendada valemit:
$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4) ^8))((8-1)\vasak(x+\frac(19)(4) \parem)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$
Saate teha ilma valemit kasutamata. Ja isegi ilma pidevat 4 dollarit sulgudest välja võtmata. Kui võtta arvesse, et $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, saame:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$
Täpsemad selgitused selliste integraalide leidmiseks on antud teemas “Integreerimine asendusega (asendamine diferentsiaalmärgi all)”.
3) Peame integreerima murdosa $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Selle murdosa struktuur on $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, kus $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Kuid veendumaks, et see on tõesti kolmanda tüübi elementaarmurd, peate kontrollima, kas tingimus $p^2-4q on täidetud< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Lahendame sama näite, kuid ilma valmis valemit kasutamata. Proovime eraldada lugejas nimetaja tuletist. Mida see tähendab? Teame, et $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Lugejas peame isoleerima avaldise $2x+10$. Seni sisaldab lugeja ainult $4x+7$, kuid see ei kesta kaua. Rakendame lugejale järgmise teisenduse:
$ 4x+7=2\cpunkt 2x+7=2\cpunkt (2x+10-10)+7=2\cpunkt(2x+10)-2\cpunkt 10+7=2\cpunkt(2x+10) -13. $$
Nüüd ilmub lugejasse vajalik avaldis $2x+10$. Ja meie integraali saab ümber kirjutada järgmiselt:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$
Jagame integrandi kaheks. Noh, ja vastavalt sellele on ka integraal ise "kaheharuline":
$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \parem)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$
Räägime esmalt esimesest integraalist, s.o. umbes $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Kuna $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, siis integrandi lugeja sisaldab nimetaja diferentsiaali. Lühidalt, selle asemel avaldisest $( 2x+10)dx$ kirjutame $d(x^2+10x+34)$.
Nüüd ütleme paar sõna teise integraali kohta. Valime nimetajas terve ruudu: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Lisaks võtame arvesse $dx=d(x+5)$. Nüüd saab varem saadud integraalide summa veidi teistsugusel kujul ümber kirjutada:
$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$
Kui esimeses integraalis teeme asendus $u=x^2+10x+34$, siis on see kuju $\int\frac(du)(u)$ ja selle saab lihtsalt rakendada teist valemit . Mis puutub teise integraali, siis selle jaoks on muudatus $u=x+5$ teostatav, misjärel saab see kuju $\int\frac(du)(u^2+9)$. See on puhtaim üheteistkümnes valem määramata integraalide tabelist. Niisiis, naastes integraalide summa juurde, on meil:
$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Saime sama vastuse nagu valemi rakendamisel, mis rangelt võttes pole üllatav. Üldiselt tõestatakse valemit samade meetoditega, mida kasutasime selle integraali leidmiseks. Usun, et tähelepanelikul lugejal võib siin tekkida üks küsimus, seega sõnastan selle:
Küsimus nr 1
Kui rakendada teist valemit määramata integraalide tabelist integraalile $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, siis saame järgmise:
$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$
Miks lahenduses moodulit polnud?
Vastus küsimusele nr 1
Küsimus on täiesti loomulik. Moodul puudus ainult seetõttu, et mis tahes $x\in R$ avaldis $x^2+10x+34$ on suurem kui null. Seda on üsna lihtne mitmel viisil näidata. Näiteks kuna $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ ja $(x+5)^2 ≥ 0$, siis $(x+5)^2+9 > 0$ . Võite mõelda teisiti, ilma terve ruudu valikut kasutamata. Alates $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ mis tahes $x\in R$ (kui see loogiline ahel on üllatav, soovitan teil vaadata ruutvõrratuste lahendamise graafilist meetodit). Igal juhul kuna $x^2+10x+34 > 0$, siis $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, s.o. Mooduli asemel võite kasutada tavalisi sulgusid.
Kõik näite nr 1 punktid on lahendatud, jääb üle vaid vastus kirja panna.
Vastus:
- $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
- $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
- $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x) +5)(3)+C$.
Näide nr 2
Leidke integraal $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.
Integrandi murd $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ on esmapilgul väga sarnane kolmanda tüübi elementaarmurdule, s.t. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ järgi. Tundub, et ainus erinevus on $x^2$ ees olev koefitsient $3$, kuid koefitsiendi eemaldamine (sulgudest välja panemine) ei võta kaua aega. See sarnasus on aga ilmne. Murru $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ puhul on tingimus $p^2-4q kohustuslik< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.
Meie koefitsient enne $x^2$ ei ole võrdne ühega, seetõttu kontrollige tingimust $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, seetõttu saab avaldist $3x^2-5x-2$ faktoriseerida. See tähendab, et murd $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ei ole kolmanda tüübi elementaarmurd ja rakendatakse $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) integraali 5x-2)dx$ valemiga pole võimalik.
Noh, kui antud ratsionaalne murd ei ole elementaarmurd, siis tuleb see esitada elementaarmurdude summana ja seejärel integreerida. Ühesõnaga, kasutage rada ära. Kuidas ratsionaalne murd elementaarseteks lagundada, on üksikasjalikult kirjutatud. Alustuseks arvutame nimetaja:
$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(joondatud) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(joondatud)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$
Esitame subinterkaalse fraktsiooni järgmisel kujul:
$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$
Jagame nüüd murdosa $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ elementaarseteks:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\paremal). $$
Koefitsientide $A$ ja $B$ leidmiseks on kaks standardset viisi: määramata koefitsientide meetod ja osaväärtuste asendamise meetod. Rakendame osalise väärtuse asendusmeetodit, asendades $x=2$ ja seejärel $x=-\frac(1)(3)$:
$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$
Kuna koefitsiendid on leitud, jääb üle vaid valmis laiendus üles kirjutada:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3)+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$
Põhimõtteliselt võite selle kirje jätta, kuid mulle meeldib täpsem variant:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3)+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$
Naastes algse integraali juurde, asendame sellega saadud laienduse. Seejärel jagame integraali kaheks ja rakendame mõlemale valemit. Eelistan paigutada konstandid kohe integraalimärgist väljapoole:
$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3)+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3)+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2) )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$
Vastus: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.
Näide nr 3
Leidke integraal $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.
Peame integreerima murdosa $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Lugeja sisaldab teise astme polünoomi ja nimetaja kolmanda astme polünoomi. Kuna polünoomi aste lugejas on väiksem kui nimetaja polünoomi aste, s.o. 2 dollarit< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:
$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x) +4)-\frac(1)(x-9). $$
Peame vaid jagama antud integraali kolmeks ja rakendama igaühele valemi. Eelistan paigutada konstandid kohe integraalimärgist väljapoole:
$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$
Vastus: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.
Selle teema näidete analüüsi jätk asub teises osas.
Murd-ratsionaalfunktsiooni integreerimine.
Ebakindla koefitsiendi meetod
Jätkame tööd murdude integreerimisega. Oleme õppetunnis juba vaadanud mõnda tüüpi murdude integraale ja seda õppetundi võib teatud mõttes pidada jätkuks. Materjali edukaks mõistmiseks on vaja elementaarseid integreerimisoskusi, nii et kui olete just integraalide õppimist alustanud, st olete algaja, peate alustama artiklist Määramatu integraal. Näited lahendustest.
Kummalisel kombel hakkame nüüd tegelema mitte niivõrd integraalide leidmisega, vaid... lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisega. Sellega seoses kiiresti Soovitan tunnis osaleda, nimelt pead olema hästi kursis asendusmeetoditega (“kool” meetod ja süsteemivõrrandite terminipõhise liitmise (lahutamise) meetod).
Mis on murdosaline ratsionaalne funktsioon? Lihtsamalt öeldes on murdratsionaalfunktsioon murdosa, mille lugeja ja nimetaja sisaldavad polünoome või polünoomide korrutisi. Pealegi on fraktsioonid keerukamad kui artiklis käsitletud Mõnede murdude integreerimine.
Õige murd-ratsionaalfunktsiooni integreerimine
Kohe näide ja tüüpiline algoritm murd-ratsionaalfunktsiooni integraali lahendamiseks.
Näide 1
Samm 1. Esimene asi, mida me ALATI teeme murdosalise ratsionaalse funktsiooni integraali lahendamisel, on selgitada järgmine küsimus: kas murd on õige? See samm sooritatakse suuliselt ja nüüd selgitan, kuidas:
Kõigepealt vaatame lugejat ja saame teada vanem kraad polünoom: 
Lugeja juhtjõud on kaks.
Nüüd vaatame nimetajat ja saame teada vanem kraad nimetaja. Ilmselge viis on avada sulud ja tuua sarnased terminid, kuid saate seda teha ka lihtsamalt iga leida sulgudes kõrgeim kraad 
ja mõtteliselt korrutada: - seega on nimetaja kõrgeim aste võrdne kolmega. On üsna ilmne, et kui me sulud reaalselt avame, ei saa me kraadi võrra suuremat kui kolm.
Järeldus: Lugeja peakraad RANGELT on väiksem kui nimetaja suurim võimsus, mis tähendab, et murd on õige.
Kui selles näites sisaldaks lugeja polünoomi 3, 4, 5 jne. kraadi, siis oleks murdosa vale.
Nüüd käsitleme ainult õigeid murdosalisi ratsionaalseid funktsioone. Juhtumit, mil lugeja aste on nimetaja astmest suurem või sellega võrdne, arutatakse tunni lõpus.
2. samm. Faktoriseerime nimetaja. Vaatame oma nimetajat: 
Üldiselt on see juba tegurite tulemus, kuid sellegipoolest küsime endalt: kas on võimalik midagi muud laiendada? Piinamise objektiks on kahtlemata ruudukujuline kolmik. Ruutvõrrandi lahendamine: 
Diskriminant on suurem kui null, mis tähendab, et trinoomi saab tõesti faktoriseerida:
Üldreegel: KÕIKE, mis on nimetajas, VÕIB faktoreerida – faktoreerida
Alustame lahenduse sõnastamist:
3. samm. Kasutades määramatute koefitsientide meetodit, laiendame integrandi liht(elementaar)murdude summaks. Nüüd saab asi selgemaks.
Vaatame meie integrandi funktsiooni: 
Ja teate, millegipärast tekib intuitiivne mõte, et oleks tore muuta meie suur murd mitmeks väikeseks. Näiteks nii: 
Tekib küsimus, kas seda on üldse võimalik teha? Hingame kergendatult, matemaatilise analüüsi vastav teoreem ütleb – ON VÕIMALIK. Selline lagunemine on olemas ja ainulaadne.
On ainult üks saak, tõenäosus on selline Hüvasti Me ei tea, sellest ka nimi – määramatute koefitsientide meetod.
Nagu arvasite, on järgnevad kehaliigutused sellised, ärge naerge! eesmärk on lihtsalt neid TUNNISTADA – et teada saada, millega nad on võrdsed.
Olge ettevaatlik, ma selgitan üksikasjalikult ainult üks kord!
Niisiis, alustame tantsimist: 
Vasakul pool taandame avaldise ühiseks nimetajaks:
Nüüd saame nimetajatest ohutult lahti saada (kuna need on samad):
Vasakul küljel avame sulud, kuid ärge puudutage praegu tundmatuid koefitsiente:
Samal ajal kordame polünoomide korrutamise koolireeglit. Kui olin õpetaja, õppisin seda reeglit sirge näoga hääldama: Polünoomi polünoomiga korrutamiseks peate korrutama ühe polünoomi iga liikme teise polünoomi iga liikmega.
Selge selgituse seisukohalt on parem panna koefitsiendid sulgudesse (kuigi ma isiklikult ei tee seda kunagi aja säästmiseks):
Koostame lineaarvõrrandisüsteemi.
Kõigepealt otsime kõrgemaid kraade:
Ja me kirjutame vastavad koefitsiendid süsteemi esimesse võrrandisse:
Jäta hästi meelde järgmine punkt. Mis juhtuks, kui paremal pool s-d üldse poleks? Ütleme, kas see näitaks lihtsalt ilma ruuduta? Sel juhul oleks süsteemi võrrandis vaja paremale panna null: . Miks null? Aga sellepärast, et paremal pool saab alati määrata selle sama ruudu nulliga: Kui paremal pool pole muutujaid ja/või vaba liiget, siis paneme süsteemi vastavate võrrandite paremale küljele nullid.
Kirjutame vastavad koefitsiendid süsteemi teise võrrandisse: 
Ja lõpuks, mineraalvesi, valime vabaliikmed.
Ee...ma tegin nalja. Nali naljaks – matemaatika on tõsine teadus. Meie instituudirühmas ei naernud keegi, kui abiprofessor ütles, et ta ajab terminid mööda arvurida laiali ja valib neist suurimad. Olgem tõsised. Kuigi... kes selle tunni lõpuni elab, naeratab ikka vaikselt.
Süsteem on valmis:
Lahendame süsteemi: 
(1) Esimesest võrrandist väljendame ja asendame selle süsteemi 2. ja 3. võrrandiga. Tegelikult oli võimalik väljendada (või mõnda muud tähte) teisest võrrandist, kuid sel juhul on kasulik seda väljendada 1. võrrandist, kuna väikseim koefitsient.
(2) Esitame sarnased terminid 2. ja 3. võrrandis.
(3) Liidame 2. ja 3. võrrandi liikme kaupa, saades võrdsuse , millest järeldub, et
(4) Asendame teise (või kolmanda) võrrandiga, kust me selle leiame
(5) Asendage ja esimesse võrrandisse, saades .
Kui teil on raskusi süsteemi lahendamise meetoditega, harjutage neid tunnis. Kuidas lahendada lineaarvõrrandisüsteemi?
Pärast süsteemi lahendamist on alati kasulik kontrollida - asendada leitud väärtused iga süsteemi võrrandit, mille tulemusena peaks kõik "koonduma".
Peaaegu kohal. Leiti koefitsiendid ja: 
Valmis töö peaks välja nägema umbes selline:
Nagu näha, oli ülesande peamiseks raskuseks lineaarvõrrandisüsteemi koostamine (õigesti!) ja (õigesti!) lahendamine. Ja viimases etapis pole kõik nii keeruline: kasutame määramatu integraali lineaarsusomadusi ja integreerime. Pange tähele, et kõigi kolme integraali all on meil "tasuta" kompleksfunktsioon; ma rääkisin tunnis selle integreerimise funktsioonidest Muutuja muutmise meetod määramata integraalis.
Kontrollige: eristage vastust:
Saadud on algne integrandi funktsioon, mis tähendab, et integraal on leitud õigesti.
Kontrollimise käigus pidime avaldise taandada ühisele nimetajale ja see pole juhuslik. Määramatute koefitsientide meetod ja avaldise taandamine ühiseks nimetajaks on vastastikku pöördtoimingud.
Näide 2
Leidke määramatu integraal. 
Tuleme tagasi esimese näite murdosa juurde: 
. Lihtne on märgata, et nimetajas on kõik tegurid ERINEVAD. Tekib küsimus, mida teha, kui on antud näiteks järgmine murd: 
? Siin on nimetajas kraadid ehk matemaatiliselt mitmekordsed. Lisaks on ruuttrinoom, mida ei saa faktoriseerida (lihtne on kontrollida, et võrrandi diskriminant 
on negatiivne, seega ei saa trinoomi faktoriseerida). Mida teha? Laiendus elementaarmurdude summaks näeb välja umbes selline 
mille tipus on tundmatud koefitsiendid või midagi muud?
Näide 3
Tutvustage funktsiooni 
Samm 1. Kontrollime, kas meil on õige murd
Peamine lugeja: 2
Nimetaja kõrgeim aste: 8
, mis tähendab, et murd on õige.
2. samm. Kas nimetajas on võimalik midagi arvesse võtta? Ilmselgelt mitte, kõik on juba paika pandud. Ruuttrinoomi ei saa ülaltoodud põhjustel tooteks laiendada. Kapuuts. Vähem tööd.
3. samm. Kujutagem ette murdratsionaalfunktsiooni elementaarmurdude summana.
Sel juhul on laiendusel järgmine vorm:
Vaatame oma nimetajat:
Murd-ratsionaalfunktsiooni jagamisel elementaarmurdude summaks saab eristada kolme põhipunkti:
1) Kui nimetaja sisaldab "üksik" tegurit esimesele astmele (meie puhul), siis paneme ülaossa määramatu koefitsiendi (meie puhul). Näited nr 1, 2 koosnesid ainult sellistest “üksikutest” teguritest.
2) Kui nimetajal on mitmekordne kordaja, siis peate selle lagundama järgmiselt: 
- see tähendab, et läbige järjestikku kõik "X" astmed esimesest n-nda astmeni. Meie näites on kaks mitut tegurit: ja , vaadake uuesti minu antud laiendust ja veenduge, et neid laiendatakse täpselt selle reegli järgi.
3) Kui nimetaja sisaldab teise astme lagunematut polünoomi (meie puhul), siis tuleb lugejas lagundamisel kirjutada määramata koefitsientidega lineaarfunktsioon (meie puhul määramata koefitsientidega ja ).
Tegelikult on veel üks neljas juhtum, kuid ma vaikin sellest, kuna praktikas on see äärmiselt haruldane.
Näide 4
Tutvustage funktsiooni 
tundmatute koefitsientidega elementaarmurdude summana.
See on näide, mille saate ise lahendada. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.
Järgige algoritmi rangelt!
Kui mõistate põhimõtteid, mille järgi peate murdosa-ratsionaalfunktsiooni summaks laiendama, saate läbi närida peaaegu iga vaadeldava tüübi integraali.
Näide 5
Leidke määramatu integraal. 
Samm 1. Ilmselt on murd õige:
2. samm. Kas nimetajas on võimalik midagi arvesse võtta? Saab. Siin on kuubikute summa 
. Korrutage nimetaja lühendatud korrutamisvalemi abil
3. samm. Määramatute koefitsientide meetodit kasutades laiendame integrandi elementaarmurdude summaks:
Pange tähele, et polünoomi ei saa faktoriseerida (kontrollige, et diskriminant oleks negatiivne), nii et ülaossa paneme tundmatute koefitsientidega lineaarse funktsiooni, mitte ainult ühe tähe.
Toome murdosa ühise nimetaja juurde:
Koostame ja lahendame süsteemi:
(1) Avaldame esimesest võrrandist ja asendame selle süsteemi teise võrrandiga (see on kõige ratsionaalsem viis).
(2) Esitame sarnased terminid teises võrrandis.
(3) Liidame liikme kaupa süsteemi teise ja kolmanda võrrandi.
Kõik edasised arvutused tehakse põhimõtteliselt suuliselt, kuna süsteem on lihtne. 
(1) Murdude summa kirjutame üles vastavalt leitud koefitsientidele.
(2) Kasutame määramatu integraali lineaarsusomadusi. Mis juhtus teises integraalis? Selle meetodiga saate tutvuda õppetunni viimases lõigus. Mõnede murdude integreerimine.
(3) Taaskord kasutame lineaarsuse omadusi. Kolmandas integraalis hakkame eraldama tervet ruutu (tunni eelviimane lõik Mõnede murdude integreerimine).
(4) Võtame teise integraali, kolmandas valime täisruudu.
(5) Võtke kolmas integraal. Valmis.
