Diferentsiaalmärgiga liitumise meetod. Esimest järku diferentsiaalvõrrandid. Näited lahendustest. Eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrandid Põhifunktsioonide kokkuvõte

Esmalt räägime veidi probleemi sõnastusest üldisel kujul ja siis liigume edasi asendamise teel integreerimise näidete juurde. Oletame, et meil on kindel integraal $\int g(x) \; dx$. Integraalide tabel ei sisalda aga vajalikku valemit ning antud integraali pole võimalik mitmeks tabeliks jagada (st otsene integreerimine on välistatud). Kuid probleem laheneb, kui meil õnnestub leida teatud asendus $u=\varphi(x)$, mis vähendab meie integraali $\int g(x) \; dx$ mõnele tabeliintegraalile $\int f(u) \; du=F(u)+C$. Pärast valemi $\int f(u)\ rakendamist; du=F(u)+C$ peame vaid tagastama muutuja $x$ tagasi. Formaalselt võib selle kirjutada järgmiselt:

$$\int g(x)\; dx=|u=\varphi(x)|=\int f(u) \; du=F(u)+C=F(\varphi(x))+C.$$

Probleem on selles, kuidas valida selline asendus $u$. Selleks vajate esiteks teadmisi tuletiste tabeli kohta ja oskust seda kasutada keerukate funktsioonide eristamiseks ning teiseks määramata integraalide tabelit. Lisaks on meil hädasti vaja valemit, mille ma allpool kirja panen. Kui $y=f(x)$, siis:

\begin(võrrand)dy=y"dx\end(võrrand)

Need. mõne funktsiooni diferentsiaal võrdub selle funktsiooni tuletisega, mis on korrutatud sõltumatu muutuja diferentsiaaliga. See reegel on väga oluline ja just see reegel võimaldab teil kasutada asendusmeetodit. Siin näitame paar erijuhtu, mis saadakse valemist (1). Olgu $y=x+C$, kus $C$ on teatud konstant (lihtsamalt öeldes arv). Seejärel asendades avaldise $x+C$ valemiga (1) $y$ asemel, saame järgmise:

$$ d(x+C)=(x+C)" dx $$

Kuna $(x+C)"=x"+C"=1+0=1$, muutub ülaltoodud valem:

$$ d(x+C)=(x+C)" dx=1\cdot dx=dx.$$

Kirjutame saadud tulemuse eraldi, s.o.

\begin(võrrand)dx=d(x+C)\end(võrrand)

Saadud valem tähendab, et konstandi lisamine diferentsiaali alla ei muuda seda diferentsiaali, s.t. $dx=d(x+10)$, $dx=d(x-587)$ ja nii edasi.

Vaatleme valemi (1) teist erijuhtumit. Olgu $y=Cx$, kus $C$ on jälle mingi konstant. Leiame selle funktsiooni diferentsiaali, asendades valemis (1) avaldise $Cx$ avaldise $y$ asemel:

$$ d(Cx)=(Cx)"dx $$

Kuna $(Cx)"=C\cdot (x)"=C\cdot 1=C$, muutub ülaltoodud valem $d(Cx)=(Cx)"dx$: $d(Cx)=Cdx $ Kui jagame selle valemi mõlemad pooled $C$-ga (eeldusel $C\neq 0$), saame $\frac(d(Cx))(C)=dx$ Selle tulemuse saab ümber kirjutada veidi erineval kujul. :

\begin(võrrand)dx=\frac(1)(C)\cdot d(Cx)\;\;\;(C\neq 0)\end(võrrand)

Saadud valem viitab sellele, et diferentsiaali all oleva avaldise korrutamine mõne nullist erineva konstandiga nõuab vastava kordaja kasutuselevõttu, mis sellist korrutamist kompenseerib. Näiteks $dx=\frac(1)(5) d(5x)$, $dx=-\frac(1)(19) d(-19x)$.

Näidetes nr 1 ja nr 2 vaadeldakse üksikasjalikult valemeid (2) ja (3).

Märkus valemite kohta

Selles teemas kasutatakse nii valemeid 1-3 kui ka määramatute integraalide tabeli valemeid, millel on samuti oma numbrid. Segaduste vältimiseks lepime kokku järgmises: kui teemas on tekst “kasuta valemit nr 1”, siis tähendab see sõna-sõnalt järgmist: “kasuta valemit nr 1, asub sellel lehel". Kui vajame integraalide tabelist valemit, siis täpsustame selle iga kord eraldi. Näiteks nii: "kasutame integraalide tabelist valemit nr 1."

Ja veel üks väike märkus

Enne näidetega töötamist on soovitatav tutvuda eelmistes teemades esitatud materjaliga, mis on pühendatud määramata integraali ja mõistele. Selle teema materjali esitlus põhineb mainitud teemades toodud teabel.

Näide nr 1

Otsige üles $\int \frac(dx)(x+4)$.

Kui pöördume poole, ei leia me valemit, mis vastaks täpselt integraalile $\int \frac(dx)(x+4)$. Integraalide tabeli valem nr 2 on sellele integraalile kõige lähemal, s.t. $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$. Probleem on järgmine: valem $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$ eeldab, et integraalis $\int \frac(du)(u)$ on avaldised nimetajas ja diferentsiaali all peavad olema samad (mõlemal on sama täht $u$). Meie puhul on $\int \frac(dx)(x+4)$ diferentsiaali all täht $x$ ja nimetajas avaldis $x+4$, st. Tabelivalemiga on selge lahknevus. Proovime oma integraali tabeliga "sobitada". Mis juhtub, kui asendame diferentsiaali $x$ asemel $x+4$? Sellele küsimusele vastamiseks kasutame , asendades $y$ asemel avaldise $x+4$:

$$ d(x+4)=(x+4)"dx $$

Kuna $(x+4)"=x"+(4)"=1+0=1$, saab võrdsusest $ d(x+4)=(x+4)"dx $:

$$ d(x+4)=1\cdot dx=dx $$

Seega $dx=d(x+4)$. Ausalt öeldes oleks sama tulemuse saanud, kui konstantse $C$ asemel oleks lihtsalt asendatud number $4$. Edaspidi me seda teeme, kuid esimest korda uurisime üksikasjalikult võrrandi $dx=d(x+4)$ saamise protseduuri. Mida aga annab meile võrdus $dx=d(x+4)$?

Ja see annab meile järgmise järelduse: kui $dx=d(x+4)$, siis integraalis $\int \frac(dx)(x+4)$ saame $dx$ asemel asendada $d(x +4)$ ja integraal ei muutu sellest tulenevalt:

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)$$

Tegime selle teisenduse ainult selleks, et saadud integraal vastaks täielikult tabelivalemile $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$. Selle vastavuse täielikuks selgeks muutmiseks asendagem avaldis $x+4$ tähega $u$ (st teeme asendamine$u=x+4$):

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)=|u=x+4|=\int \frac(du)(u )=\ln|u|+C.$$

Tegelikult on probleem juba lahendatud. Jääb üle vaid tagastada muutuja $x$. Pidades meeles, et $u=x+4$, saame: $\ln|u|+C=\ln|x+4|+C$. Täielik lahendus ilma selgitusteta näeb välja selline:

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)=|u=x+4|=\int \frac(du)(u )=\ln|u|+C=\ln|x+4|+C.$$

Vastus: $\int \frac(dx)(x+4)=\ln|x+4|+C$.

Näide nr 2

Otsige üles $\int e^(3x) dx$.

Kui pöörduda ebamääraste integraalide tabeli poole, ei leia me valemit, mis vastaks täpselt integraalile $\int e^(3x) dx$. Valem nr 4 integraalide tabelist on sellele integraalile kõige lähemal, s.t. $\int e^u du=e^u+C$. Probleem on järgmine: valem $\int e^u du=e^u+C$ eeldab, et integraalis $\int e^u du$ peavad $e$ astmetes ja diferentsiaali all olevad avaldised olema sama (mõlemal on üks täht $u$). Meie puhul on $\int e^(3x) dx$ diferentsiaali all täht $x$ ja arvu $e$ astmes avaldis $3x$, s.t. Tabelivalemiga on selge lahknevus. Proovime oma integraali tabeliga "sobitada". Mis juhtub, kui asendate diferentsiaali $x$ asemel $3x$? Sellele küsimusele vastamiseks kasutame , asendades avaldise $3x$ $y$ asemel:

$$ d(3x)=(3x)"dx $$

Kuna $(3x)"=3\cdot (x)"=3\cdot 1=3$, muutub võrdus $d(3x)=(3x)"dx$:

$$ d(3x)=3dx $$

Jagades saadud võrdsuse mõlemad pooled $3$-ga, saame: $\frac(d(3x))(3)=dx$, s.o. $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$. Tegelikult võib võrdsuse $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ saada, kui konstantse $C$ asemele lihtsalt asendada arv $3$. Edaspidi me seda ka teeme, kuid esimest korda uurisime üksikasjalikult võrrandi $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ saamise protseduuri.

Mida andis saadud võrdus $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$? See tähendab, et $dx$ asemel saab $\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ asendada integraaliga $\int e^(3x) dx$ ja integraal ei muutu:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x) $$

Võtame integraalimärgist välja konstant $\frac(1)(3)$ ja asendame avaldise $3x$ tähega $u$ (st teeme asendamine$u=3x$), mille järel rakendame tabelivalemit $\int e^u du=e^u+C$:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x)=\frac(1)(3)\cdot \int e^(3x) d(3x)=|u=3x|=\frac(1)(3)\cdot\int e^u du=\frac(1)(3)\cdot e^u+C.$$

Nagu eelmises näites, peame tagastama algse muutuja $x$ tagasi. Kuna $u=3x$, siis $\frac(1)(3)\cdot e^u+C=\frac(1)(3)\cdot e^(3x)+C$. Täielik lahendus ilma kommentaarideta näeb välja selline:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x)=\frac(1)(3)\cdot \int e^(3x) d(3x)=|u=3x|=\frac(1)(3)\cdot\int e^u du=\frac(1)(3)\cdot e^u+C=\frac(1)( 3)\cdot e^(3x)+C.$$

Vastus: $ \int e^(3x) dx= \frac(1)(3)\cdot e^(3x)+C$.

Näide nr 3

Otsige üles $\int (3x+2)^2 dx$.

Selle integraali leidmiseks kasutame kahte meetodit. Esimene võimalus on sulgude avamine ja otsene integreerimine. Teine meetod on asendusmeetodi kasutamine.

Esimene viis

Kuna $(3x+2)^2=9x^2+12x+4$, siis $\int (3x+2)^2 dx=\int (9x^2+12x+4)dx$. Esitades integraali $\int (9x^2+12x+4)dx$ kolme integraali summana ja võttes vastavate integraalide märkidest konstandid välja, saame:

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\ cdot \int 1 dx $$

$\int x^2 dx$ leidmiseks asendame integraalide tabeli valemis nr 1 $u=x$ ja $\alpha=2$: $\int x^2 dx=\frac(x^(2 +1))(2+1)+C=\frac(x^3)(3)+C$. Samamoodi, asendades $u=x$ ja $\alpha=1$ samas valemis tabelist, saame: $\int x^1 dx=\frac(x^(1+1))(1+1 )+ C=\frac(x^2)(2)+C$. Kuna $\int 1 dx=x+C$, siis:

$ 9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx=9\cdot\frac(x^3)(3)+12\cdot \frac(x^ 2)(2)+4\cdot x+C=3x^3+6x^2+4x+C. $$

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\ cdot \int 1 dx=\\ =9\cdot\frac(x^3)(3)+12\cdot \frac(x^2)(2)+4\cdot x+C=3x^3+6x^ 2+4x+C. $$

Teine viis

Me sulgusid ei ava. Proovime diferentsiaali alla panna avaldise $3x+2$, mitte $x$. See võimaldab teil sisestada uue muutuja ja rakendada arvutustabeli valemit. Meil on vaja, et diferentsiaali all oleks tegur $3$, nii et asendades väärtusega $C=3$, saame $d(x)=\frac(1)(3)d(3x)$. Lisaks puudub diferentsiaali all mõiste $2$. Diferentsiaalmärgi alla konstandi lisamise järgi see diferentsiaal ei muutu, s.t. $\frac(1)(3)d(3x)=\frac(1)(3)d(3x+2)$. Tingimustest $d(x)=\frac(1)(3)d(3x)$ ja $\frac(1)(3)d(3x)=\frac(1)(3)d(3x+2 ) $ meil on: $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$.

Märgin, et võrrandi $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$ saab saada ka muul viisil:

$$ d(3x+2)=(3x+2)"dx=((3x)"+(2)")dx=(3\cdot x"+0)dx=3\cdot 1 dx=3dx;\ \dx=\frac(1)(3)d(3x+2). $$

Kasutame saadud võrrandit $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$, asendades avaldise $\frac(1)(3)d(3x) integraaliga $\int (3x+2 )^2 dx$ +2)$ $dx$ asemel. Saadud integraali märgiks võtame välja konstandi $\frac(1)(3)$:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\int (3x+2)^2 \cdot \frac(1)(3)d(3x+2)=\frac(1)(3)\cdot \ int (3x+2)^2 d(3x+2). $$

Edasine lahendus on teha asendus $u=3x+2$ ja rakendada integraalide tabelist valem nr 1:

$$ \frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\frac(1)(3)\cdot \int u^ 2 du=\frac(1)(3)\cdot \frac(u^(2+1))(2+1)+C=\frac(u^3)(9)+C. $$

Tagastada avaldise $3x+2$ asemel $u$, saame:

$$ \frac(u^3)(9)+C=\frac((3x+2)^3)(9)+C. $$

Täielik lahendus ilma selgituseta on:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\\ = \frac(1)(3)\cdot \int u^2 du=\frac(u^3)(9)+C=\frac((3x+2)^3)(9)+C. $$

Ma näen ette paari küsimust, seega proovin need sõnastada ja vastuseid anda.

Küsimus nr 1

Midagi siin ei klapi. Kui me lahendasime esimesel viisil, saime $\int (9x^2+12x+4)dx=3x^3+6x^2+4x+C$. Teise viisi lahendamisel sai vastuseks: $\int (3x+2)^2 dx=\frac((3x+2)^3)(9)+C$. Teiselt vastuselt esimesele aga liikuda ei saa! Kui avame sulgud, saame järgmise:

$$ \frac((3x+2)^3)(9)+C=\frac(27x^3+54x^2+36x+8)(9)+C=\frac(27x^3)(9) +\frac(54x^2)(9)+\frac(36x)(9)+\frac(8)(9)+C=3x^3+6x^2+4x+\frac(8)(9)+ C. $$

Vastused ei ühti! Kust tuli lisamurd $\frac(8)(9)$?

See küsimus viitab sellele, et peaksite viitama varasematele teemadele. Loe teemat ebamäärase integraali mõistest (pöörates erilist tähelepanu küsimusele nr 2 lehekülje lõpus) ja otsesest integratsioonist (tähelepanu tuleks pöörata küsimusele nr 4). Need teemad käsitlevad seda küsimust üksikasjalikult. Lühidalt, integraalkonstanti $C$ saab esitada erineval kujul. Näiteks meie puhul, kui kujundame ümber $C_1=C+\frac(8)(9)$, saame:

$$ 3x^3+6x^2+4x+\frac(8)(9)+C=3x^3+6x^2+4x+C_1. $$

Seetõttu pole vasturääkivust võimalik kirjutada kas kujul $3x^3+6x^2+4x+C$ või kujul $\frac((3x+2)^3)(9)+; C$.

Küsimus nr 2

Miks oli vaja teistmoodi otsustada? See on tarbetu komplikatsioon! Miks kasutada hunnikut tarbetuid valemeid, et leida vastus, mis saadakse paari sammuga, kasutades esimest meetodit? Vaja oli vaid sulgud avada kooli valemi abil.

Noh, esiteks, see pole nii keeruline. Kui mõistate asendusmeetodit, hakkate sarnaseid näiteid lahendama ühel real: $\int (3x+2)^2 dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d ( 3x+2)=\frac((3x+2)^3)(9)+C$. Vaatame seda näidet aga erinevalt. Kujutage ette, et peate arvutama mitte $\int (3x+2)^2 dx$, vaid $\int (3x+2)^(200) dx$. Teisel viisil lahendamisel tuleb vaid veidi kraade korrigeerida ja ongi vastus valmis:

$$ \int (3x+2)^(200) dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^(200) d(3x+2)=|u=3x+2| =\\ =\frac(1)(3)\cdot \int u^(200) du=\frac(u^(201))(603)+C=\frac((3x+2)^(201) )(603)+C. $$

Kujutage nüüd ette, et esimesena tuleb võtta sama integraal $\int (3x+2)^(200) dx$. Esmalt peate avama sulg $(3x+2)^(200)$, saades seeläbi kahesaja ühe liikme summa! Ja siis tuleb ka iga termin integreerida. Seetõttu on siin järgmine järeldus: suurriikide jaoks ei sobi otsene integreerimise meetod. Teine meetod on oma näilisest keerukusest hoolimata praktilisem.

Näide nr 4

Otsige üles $\int \sin2x dx$.

Lahendame selle näite kolmel erineval viisil.

Esimene viis

Vaatame integraalide tabelit. Valem nr 5 sellest tabelist on meie näitele kõige lähemal, st. $\int \sin u du=-\cos u+C$. Integraali $\int \sin2x dx$ mahutamiseks kujule $\int \sin u du$ kasutame , tuues diferentsiaalmärgi alla teguri $2$. Tegelikult tegime seda juba näites nr 2, nii et saame hakkama ilma üksikasjalike kommentaarideta:

$$ \int \sin 2x dx=\left|dx=\frac(1)(2)\cdot d(2x) \right|=\int \sin 2x \cdot\frac(1)(2)d(2x )=\\ =\frac(1)(2) \int \sin 2x d(2x)=|u=2x|=\frac(1)(2) \int \sin u du=-\frac(1) (2)\cos u+C=-\frac(1)(2)\cos 2x+C. $$

Vastus: $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2)\cos 2x+C$.

Teine viis

Teise meetodi lahendamiseks rakendame lihtsat trigonomeetrilist valemit: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Asendame avaldise $2 \sin x \cos x$ asemel $\sin 2x$ ja võtame integraalimärgist välja konstantse $2$:

Mis on sellise ümberkujundamise eesmärk? Tabelis ei ole integraali $\int \sin x\cos x dx$, kuid saame $\int \sin x\cos x dx$ veidi teisendada, et see näeks rohkem välja nagu tabel. Selleks leiame $d(\cos x)$ kasutades . Asendame nimetatud valemis $\cos x$ $y$ asemel:

$$ d(\cos x)=(\cos x)"dx=-\sin x dx. $$

Kuna $d(\cos x)=-\sin x dx$, siis $\sin x dx=-d(\cos x)$. Kuna $\sin x dx=-d(\cos x)$, saame $\sin x dx$ asemel $\int \sin x\cos x dx$ asendada $-d(\cos x)$. Integraali väärtus ei muutu:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \cos x \cdot (-d(\cos x))=-2\int\cos x d(\cos x) $$

Teisisõnu, meie lisatud diferentsiaali alla$\cos x$. Nüüd, pärast asendust $u=\cos x$, saame rakendada integraalide tabelist valemit nr 1:

$$ -2\int\cos x d(\cos x)=|u=\cos x|=-2\int u du=-2\cdot \frac(u^2)(2)+C=-u^ 2+C=-\cos^2x+C. $$

Vastus on saadud. Üldiselt ei pea te sisestama tähte $u$. Kui omandate piisavad oskused seda tüüpi integraalide lahendamiseks, kaob vajadus täiendava märgistuse järele. Täielik lahendus ilma selgituseta on:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\sin x dx=-d(\cos x)|=-2\int\cos x d(\cos x)= |u=\cos x|=\\ =-2\int u du=-2\cdot \frac(u^2)(2)+C=-u^2+C=-\cos^2x+C. $$

Vastus: $\int \sin2x dx=-\cos^2x+C$.

Kolmas viis

Kolmandal viisil lahendamiseks rakendame sama trigonomeetrilist valemit: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Asendame avaldise $2 \sin x \cos x$ asemel $\sin 2x$ ja võtame integraalimärgist välja konstantse $2$:

$$ \int \sin 2x dx=\int 2 \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx $$

Leiame $d(\sin x)$ kasutades . Asendame $y$ asemel $\sin x$ mainitud valemis:

$$ d(\sin x)=(\sin x)"dx=\cos x dx. $$

Seega $d(\sin x)=\cos x dx$. Saadud võrdsusest järeldub, et me saame asendada $ d(\sin x)$ $\int \sin x\cos x dx$ asemel $\cos x dx$. Integraali väärtus ei muutu:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x) $$

Teisisõnu, meie lisatud diferentsiaali alla$\sin x$. Nüüd, pärast asendust $u=\sin x$, saame rakendada integraalide tabelist valemit nr 1:

$$ 2\int\sin x d(\sin x)=|u=\sin x|=2\int u du=2\cdot \frac(u^2)(2)+C=u^2+C= \sin^2x+C. $$

Vastus on saadud. Täielik lahendus ilma selgituseta on:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\cos x dx=d(\sin x)|=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x)=|u=\sin x|=\\ =2\int u du=2\cdot \frac(u^2)(2)+C=u^2+C=\sin^2x+C. $$

Vastus: $\int \sin2x dx=\sin^2x+C$.

Võimalik, et pärast selle näite lugemist, eriti kolme erinevat (esmapilgul) vastust, tekib küsimus. Mõelgem sellele.

Küsimus nr 3

Oota. Vastused peaksid olema samad, kuid need on erinevad! Näites nr 3 oli erinevus ainult konstandis $\frac(8)(9)$, kuid siin pole vastused isegi välimuselt sarnased: $-\frac(1)(2)\cos 2x+C $, $-\ cos^2x+C$, $\sin^2x+C$. Kas tõesti on kõik jällegi integraalkonstandis $C$?

Jah, just see konstant on oluline. Taandame kõik vastused ühele vormile, misjärel saab see konstantide erinevus täiesti selgeks. Alustame $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$. Kasutame lihtsat trigonomeetrilist võrdsust: $\cos 2x=1-2\sin^2 x$. Seejärel muutub avaldis $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$:

$$ -\frac(1)(2)\cos 2x+C=-\frac(1)(2)\cdot(1-2\sin^2 x)+C=-\frac(1)(2) +\frac(1)(2)\cdot 2\sin^2x+C=\sin^2 x+C-\frac(1)(2). $$

Nüüd töötame teise vastusega, st. $-\cos^2x+C$. Kuna $\cos^2 x=1-\sin^2x$, siis:

$$ -\cos^2x+C=-(1-\sin^2x)+C=-1+\sin^2x+C=\sin^2x+C-1 $$

Näites nr 4 saime kolm vastust: $\sin^2 x+C-\frac(1)(2)$, $\sin^2x+C-1$, $\sin^2x+ C$. Ma arvan, et nüüd on selge, et need erinevad üksteisest vaid teatud arvu poolest. Need. asi osutus jällegi integraalkonstandiks. Nagu näete, võib integraalkonstandi väike erinevus põhimõtteliselt oluliselt muuta vastuse välimust – kuid see ei takista vastuse õiget olemist. Millele ma tahan: kui näete ülesannete kogus vastust, mis ei kattu teie omaga, ei tähenda see sugugi, et teie vastus on vale. Võimalik, et jõudsite vastuseni lihtsalt teistmoodi, kui ülesande autor kavatses. Ja määramatu integraali definitsioonil põhinev kontroll aitab teil kontrollida vastuse õigsust. Näiteks kui integraal $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ leitakse õigesti, siis võrdus $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+ C\right)"=\sin 2x$. Kontrollime, kas on tõsi, et $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)$ tuletis on võrdne integrandiga $\sin 2x $:

$$ \left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)"=\left(-\frac(1)(2)\cos 2x\right)"+C"=-\frac (1)(2)\cdot(\cos 2x)"+0=\\ =-\frac(1)(2)\cdot (-\sin 2x)\cdot (2x)"=-\frac(1) (2)\cdot (-\sin 2x)\cdot 2=\sin 2x.

Kontroll viidi edukalt lõpule. Võrdsus $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)"=\sin 2x$ on täidetud, seega valem $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2 )\cos 2x+C$ on õige. Näites nr 5 kontrollime ka tulemust, et kontrollida selle õigsust tulemus.

Diferentsiaalvõrrand

Diferentsiaalvõrrand on võrrand, milles on seotud muutujad, konstantsed koefitsiendid, soovitud funktsioon ja mis tahes järku funktsiooni tuletised. Sel juhul määrab võrrandis esineva funktsiooni tuletise maksimaalne järjekord kogu diferentsiaalvõrrandi järjekorra. Diferentsiaalvõrrandi lahendamine tähendab soovitud funktsiooni määratlemist sõltuvusena muutujast.

Kaasaegsed arvutid võimaldavad lahendada kõige keerukamaid diferentsiaalvõrrandeid numbriliselt. Analüütilise lahenduse leidmine on keeruline ülesanne. Võrrandeid on mitut tüüpi ja iga teooria pakub oma lahendusmeetodid. Veebisaidil diferentsiaalvõrrand saab arvutada võrgus ja peaaegu igat tüüpi ja järjestusega: lineaarsed diferentsiaalvõrrandid, eraldatavate või mitteeraldatavate muutujatega, Bernoulli võrrandid jne. Samal ajal on teil võimalus lahendada võrrandeid üldkujul või saada konkreetne lahendus, mis vastab teie sisestatud alg- (piir)tingimustele. Teeme lahenduse jaoks ettepaneku täita kaks välja: võrrand ise ja vajadusel algtingimused (Cauchy ülesanne) - see tähendab teavet soovitud funktsiooni piirtingimuste kohta. Lõppude lõpuks, nagu teate, on diferentsiaalvõrranditel lõpmatu arv lahendusi, kuna vastus sisaldab konstante, mis võivad omandada suvalise väärtuse. Olles esitanud Cauchy probleemi, valime kogu lahenduste hulgast välja konkreetsed.

Oletame, et peame leidma integraali

kus integrandid on pidevad. Asenduse rakendamisega
, saame

Saadud valem on diferentsiaalmärgi liitmise meetodi aluseks. Me demonstreerime seda meetodit integraalide arvutamise näidete abil.

Näiteks.

Leidke integraal s:

Tähistame
, Siis

Seega

Tähistame
, siis võtab integraal kuju

Ülaltoodud integraalides teostatud integrandide teisendusi nimetatakse diferentsiaalmärgi all olevateks subsumeerimiseks.

Niisiis: Kui integrandi saab esitada teatud funktsiooni ja selle funktsiooni tuletise või selle funktsiooni vaheargumendi korrutisena, siis liites tuletise diferentsiaalmärgi alla, arvutatakse integraal otse.

Integreerimine osade kaupa.

Osade kaupa integreerimise valemil on vorm

Valemi kehtivus tuleneb sellest, et

Mõlema poole integreerimine saame

Kus

Osade kaupa integreerimise valem vähendab integraali arvutamist
integraali arvutamiseks
. Osade kaupa integreerimise meetodit kasutatakse siis, kui integrand esindab kahe diferentseeruva funktsiooni korrutist, samas kui ühe funktsiooni tuletis on antud funktsiooni enda suhtes lihtsam.

Näiteks:

Meie usume
Ja

Siis
Ja

seega

Meie usume
Ja

Siis
Ja

seega

Rakendame osade kaupa integreerimise valemit kaks korda

Kõigepealt paneme
Ja

Siis
Ja

Asendades saadud avaldised, saame

Järgmisena eeldame
Ja

Siis
Ja

me usume
Ja

Siis
Ja

Seega

Parempoolse integraali puhul rakendame jälle osade kaupa integreerimise valemit

Meie usume
Ja

Siis
Ja

Asendades leitud väärtused valemisse, saame

Nii saame algse integraali suhtes algebralise võrrandi

Kus

Mõnede funktsioonide integraalid, mis sisaldavad ruuttrinoomi

Vaatleme vormi integraale

Ruuttrinoomi sisaldavate integraalide arvutamiseks toimige järgmiselt.

1. Valige nimetaja kolmiku hulgast terve ruut 2. Määrata

3. Arvutage integraalid, kasutades ühte valemitest (12)-(16) otse integraalide tabelist

Näiteks:

Vaatleme vormi integraale

Integraalide arvutamiseks, mis sisaldavad nimetajas ruuttrinoomi ja lugejas esimese astme binoom, kasutatakse järgmisi teisendusi:

1. Lugejas eraldatakse binoomist nimetajas oleva ruudukujulise trinoomi tuletis

Nii saadud integraal esitatakse kahe integraali summana, millest esimene arvutatakse diferentsiaalmärgi liitmisel; teine - käesoleva lõike alguses näidatud viisil

Näiteks:

Ratsionaalsete funktsioonide integreerimine

Kõrgemast algebrast on teada, et iga ratsionaalfunktsiooni saab esitada ratsionaalse murruna, st kahe polünoomi suhtena

õige , kui polünoomi aste lugejas on väiksem kui nimetaja polünoomi aste

Ratsionaalmurdu nimetatakse vale , kui polünoomi aste lugejas on suurem või võrdne nimetaja polünoomi astmega

Kui murd on vale, jagades lugeja nimetajaga vastavalt polünoomide jagamise reeglile, saate esitada selle murdosa polünoomi ja õige murru summana.

Siin
- polünoom, õige murdosa

Kuna polünoomide integreerimine toimub otse ja see ei tekita raskusi, siis edaspidi puudutavad kõik meie arutelud ratsionaalsete funktsioonide integreerimise üle õigete ratsionaalsete murdude kohta.

Vormi õiged murrud:

Neid nimetatakse lihtmurrudeks.

I, II, III tüüpi lihtmurdude integreerimist oleme juba varem käsitlenud.

Teoreem

Kui arvestada õige ratsionaalse murru nimetaja:

siis murdosa saab esitada lihtmurdude summana

Koefitsientide määramiseks
Kasutatakse määramata koefitsientide meetodit. Meetodi olemus on järgmine:

Paremal pool ratsionaalse murdosa laienemist taandame kõige lihtsamad murrud ühiseks nimetajaks, milleks on polünoom
, mille järel nimetaja
võrdsuse vasakul ja paremal küljel, mille me hülgame. Saame identiteedi, mille vasakul küljel on polünoom
, ja paremal on polünoom, mis sisaldab määramata koefitsiente
. Võrdstades identiteedi vasakul ja paremal küljel olevates avaldistes samade astmetega koefitsiente, saame vajalike koefitsientide võrrandisüsteemi
.