Vektorite lineaarne sõltuvus ja lineaarne sõltumatus.
Vektorite alused. Afiinne koordinaatsüsteem

Auditooriumis on käru šokolaadiga ja iga tänane külastaja saab endale magusapaari - analüütilise geomeetria koos lineaaralgebraga. See artikkel puudutab korraga kahte kõrgema matemaatika osa ja me näeme, kuidas need ühes ümbrises eksisteerivad. Tehke paus, sööge Twixi! ...kurat, milline jama. Kuigi, okei, ma ei löö, peaks lõpuks õppimisse suhtuma positiivselt.

Vektorite lineaarne sõltuvus, lineaarvektori sõltumatus, vektorite alus ja teistel terminitel pole mitte ainult geomeetriline tõlgendus, vaid eelkõige algebraline tähendus. Lineaaralgebra seisukohast ei ole „vektori” mõiste alati see „tavaline” vektor, mida saaksime tasapinnal või ruumis kujutada. Tõestust pole vaja kaugelt otsida, proovige joonistada viiemõõtmelise ruumi vektor . Või ilmavektor, mille pärast just Gismeteosse läksin: vastavalt temperatuur ja õhurõhk. Näide on muidugi vektoriruumi omaduste seisukohalt vale, kuid sellegipoolest ei keela keegi neid parameetreid vektorina vormistada. Sügise hingeõhk...

Ei, ma ei hakka teid tüütama teooriaga, lineaarsete vektorruumidega, ülesanne on aru saada definitsioonid ja teoreemid. Uued terminid (lineaarsõltuvus, sõltumatus, lineaarne kombinatsioon, alus jne) kehtivad algebralisest vaatepunktist kõikidele vektoritele, kuid tuuakse geomeetrilised näited. Seega on kõik lihtne, ligipääsetav ja selge. Lisaks analüütilise geomeetria probleemidele käsitleme ka mõningaid tüüpilisi algebra ülesandeid. Materjali omandamiseks on soovitatav tutvuda õppetundidega Mannekeenide vektorid Ja Kuidas determinanti arvutada?

Tasapinnavektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus.
Tasapinnaline alus ja afiinne koordinaatsüsteem

Mõelgem teie arvutilaua tasapinnale (ainult laud, öökapp, põrand, lagi, mis iganes teile meeldib). Ülesanne koosneb järgmistest toimingutest:

1) Valige tasapinna alus. Jämedalt öeldes on lauaplaadil pikkus ja laius, seega on intuitiivne, et aluse loomiseks on vaja kahte vektorit. Ühest vektorist selgelt ei piisa, kolm vektorit on liiga palju.

2) Valitud alusel määrata koordinaatsüsteem(koordinaatide ruudustik), et määrata koordinaadid kõigile tabeli objektidele.

Ärge imestage, esialgu jäävad selgitused näppu. Pealegi sinu oma. Palun asetage vasak nimetissõrm lauaplaadi servale, nii et ta vaatab monitori. Sellest saab vektor. Nüüd koht parem väike sõrm laua servale samamoodi - nii, et see on suunatud monitori ekraanile. Sellest saab vektor. Naerata, sa näed hea välja! Mida me saame vektorite kohta öelda? Andmevektorid kollineaarne, mis tähendab lineaarne väljendatakse üksteise kaudu:
, hästi või vastupidi: , kus mõni arv erineb nullist.

Pilti sellest tegevusest näete klassis. Mannekeenide vektorid, kus selgitasin vektori arvuga korrutamise reeglit.

Kas teie sõrmed panevad aluse arvutilaua tasapinnale? Ilmselgelt mitte. Kollineaarsed vektorid liiguvad edasi-tagasi risti üksi suund ning tasapinnal on pikkus ja laius.

Selliseid vektoreid nimetatakse lineaarselt sõltuv.

Viide: Sõnad "lineaarne", "lineaarne" tähistavad tõsiasja, et matemaatilistes võrrandites ja avaldistes puuduvad ruudud, kuubikud, muud astmed, logaritmid, siinused jne. On ainult lineaarsed (1. astme) avaldised ja sõltuvused.

Kaks tasapinnalist vektorit lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui need on kollineaarsed.

Ristke oma sõrmed lauale nii, et nende vahel oleks mis tahes nurk peale 0 või 180 kraadi. Kaks tasapinnalist vektoritlineaarne Mitte sõltuvad siis ja ainult siis, kui need ei ole kollineaarsed. Niisiis, alus on saadud. Pole vaja häbeneda, et alus osutus erineva pikkusega mitteperpendikulaarsete vektoritega “viltuks”. Varsti näeme, et selle ehitamiseks ei sobi mitte ainult 90-kraadine nurk, vaid mitte ainult võrdse pikkusega ühikvektorid

Ükskõik milline tasapinnaline vektor ainus viis laiendatakse vastavalt alusele:
, kus on reaalarvud. Numbritele helistatakse vektori koordinaadid sellel alusel.

Samuti öeldakse, et vektoresitatakse kui lineaarne kombinatsioon baasvektorid. See tähendab, et väljendit nimetatakse vektori laguneminealusel või lineaarne kombinatsioon baasvektorid.

Näiteks võime öelda, et vektor on lagundatud piki tasandi ortonormaalset alust, või võime öelda, et see on esitatud vektorite lineaarse kombinatsioonina.

Sõnastame aluse määratlus ametlikult: Lennuki alus nimetatakse lineaarselt sõltumatute (mittekollineaarsete) vektorite paariks, , kus ükskõik milline tasapinnaline vektor on baasvektorite lineaarne kombinatsioon.

Definitsiooni oluline punkt on asjaolu, et vektorid on võetud kindlas järjekorras. Alused – need on kaks täiesti erinevat alust! Nagu öeldakse, ei saa te vasaku käe väikest sõrme parema käe väikese sõrme asemel asendada.

Oleme aluse välja mõelnud, kuid sellest ei piisa koordinaatide ruudustiku seadmisest ja igale arvutilaua elemendile koordinaatide määramisest. Miks sellest ei piisa? Vektorid on vabad ja liiguvad läbi kogu tasapinna. Niisiis, kuidas määrata koordinaadid neile väikestele määrdunud kohtadele, mis on jäänud metsikust nädalavahetusest järele? Lähtepunkti on vaja. Ja selline maamärk on kõigile tuttav punkt – koordinaatide päritolu. Saame aru koordinaatide süsteemist:

Alustan "kooli" süsteemist. Juba sissejuhatavas tunnis Mannekeenide vektorid Tõin esile mõned erinevused ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi ja ortonormaalse aluse vahel. Siin on standardpilt:

Kui nad räägivad ristkülikukujuline koordinaatsüsteem, siis enamasti tähendavad need alguspunkti, koordinaattelgesid ja skaalat piki telge. Proovige otsingumootorisse sisestada "ristkülikukujuline koordinaatsüsteem" ja näete, et paljud allikad räägivad teile 5.-6. klassist tuttavatest koordinaattelgedest ja punktide joonistamisest tasapinnal.

Teisest küljest tundub, et ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi saab täielikult määratleda ortonormaalse aluse kaudu. Ja see on peaaegu tõsi. Sõnastus on järgmine:

päritolu, Ja ortonormaalne alus on seatud Descartes'i ristkülikukujuline tasapinnaline koordinaatide süsteem . See tähendab, ristkülikukujuline koordinaatsüsteem kindlasti on defineeritud ühe punkti ja kahe ühikulise ortogonaalvektoriga. Sellepärast näete joonist, mille ma ülal andsin - geomeetrilistes ülesannetes joonistatakse sageli (kuid mitte alati) nii vektoreid kui ka koordinaatide telgi.

Ma arvan, et kõik saavad aru, et kasutada punkti (päritolu) ja ortonormaalset alust MIS TAHES PUNKTI lennukis ja mistahes VEKTOR lennukis koordinaate saab määrata. Piltlikult öeldes "lennukis saab kõike nummerdada."

Kas koordinaatvektorid peavad olema ühikulised? Ei, neil võib olla suvaline nullist erinev pikkus. Vaatleme punkti ja kahte suvalise nullist erineva pikkusega ortogonaalvektorit:

Sellist alust nimetatakse ortogonaalne. Koordinaatide alguspunktid vektoritega on määratletud koordinaatide ruudustikuga ja igal tasapinna punktil, igal vektoril on oma koordinaadid etteantud alusel. Näiteks või. Ilmselge ebamugavus seisneb selles, et koordinaatvektorid üldiselt on erineva pikkusega peale ühtsuse. Kui pikkused on võrdsed ühtsusega, siis saadakse tavaline ortonormaalne alus.

! Märge : ortogonaalses aluses, samuti allpool tasapinna ja ruumi afiinsetes alustes arvestatakse ühikuid piki telge TINGIMUSLIK. Näiteks üks ühik piki x-telge sisaldab 4 cm, üks ühik piki ordinaattelge sisaldab 2 cm. Sellest infost piisab, et vajadusel “mittestandardsed” koordinaadid “meie tavalisteks sentimeetriteks” teisendada.

Ja teine ​​küsimus, millele tegelikult juba vastatud on, kas baasvektorite vaheline nurk peab olema võrdne 90 kraadiga? Ei! Nagu definitsioon ütleb, peavad baasvektorid olema ainult mittekollineaarne. Vastavalt sellele võib nurk olla mis tahes peale 0 ja 180 kraadi.

Punkt lennukis kutsus päritolu, Ja mittekollineaarne vektorid, , komplekt afiintasandi koordinaatide süsteem :

Mõnikord nimetatakse sellist koordinaatsüsteemi kaldus süsteem. Näidetena on joonisel näidatud punktid ja vektorid:

Nagu aru saate, on afiinne koordinaatsüsteem veelgi vähem mugav; vektorite ja segmentide pikkuste valemid, mida arutasime tunni teises osas, selles ei tööta Mannekeenide vektorid, palju maitsvaid valemeid, mis on seotud vektorite skalaarkorrutis. Kuid kehtivad vektorite lisamise ja vektori arvuga korrutamise reeglid, segmendi jagamise valemid selles seoses, aga ka mõned muud tüüpi probleemid, mida peagi kaalume.

Ja järeldus on, et kõige mugavam afiinse koordinaatsüsteemi erijuhtum on Descartes'i ristkülikukujuline süsteem. Sellepärast pead sa teda kõige sagedamini nägema, mu kallis. ...Kõik siin elus on aga suhteline - on palju olukordi, kus kaldus nurk (või mõni muu nt. polaarne) koordinaatsüsteem. Ja humanoididele võivad sellised süsteemid meeldida =)

Liigume edasi praktilise osa juurde. Kõik selle õppetunni ülesanded kehtivad nii ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi kui ka üldise afiinse käände puhul. Siin pole midagi keerulist, kogu materjal on kättesaadav isegi koolilapsele.

Kuidas määrata tasapinnaliste vektorite kollineaarsust?

Tüüpiline asi. Selleks, et kaks tasapinnalist vektorit olid kollineaarsed, on vajalik ja piisav, et nende vastavad koordinaadid oleksid proportsionaalsed Põhimõtteliselt on see ilmse seose koordinaatide-koordinaatide haaval üksikasjalik kirjeldus.

Näide 1

a) Kontrollige, kas vektorid on kollineaarsed .
b) Kas vektorid moodustavad aluse? ?

Lahendus:
a) Uurime, kas vektorite jaoks on olemas proportsionaalsuskoefitsient, nii et võrdsused on täidetud:

Ma räägin teile kindlasti selle reegli rakendamise "lobavast" versioonist, mis praktikas töötab üsna hästi. Mõte on kohe proportsioon välja mõelda ja vaadata, kas see on õige:

Teeme vektorite vastavate koordinaatide suhetest proportsiooni:

Lühendame:
, seega on vastavad koordinaadid võrdelised, seega

Suhe võib olla ka vastupidine; see on samaväärne variant:

Enesetesti jaoks saate kasutada tõsiasja, et kollineaarsed vektorid väljendatakse üksteise kaudu lineaarselt. Sel juhul toimuvad võrdsused . Nende kehtivust saab hõlpsasti kontrollida vektoritega tehtavate elementaarsete toimingute abil:

b) Kaks tasapinnalist vektorit moodustavad aluse, kui nad ei ole kollineaarsed (lineaarselt sõltumatud). Uurime vektorite kollineaarsust . Loome süsteemi:

Esimesest võrrandist järeldub, et teisest võrrandist järeldub, et mis tähendab süsteem on ebaühtlane(lahendused puuduvad). Seega ei ole vektorite vastavad koordinaadid võrdelised.

Järeldus: vektorid on lineaarselt sõltumatud ja moodustavad aluse.

Lahenduse lihtsustatud versioon näeb välja selline:

Teeme vektorite vastavatest koordinaatidest proportsiooni :
, mis tähendab, et need vektorid on lineaarselt sõltumatud ja moodustavad aluse.

Tavaliselt ei lükka arvustajad seda võimalust tagasi, kuid probleem tekib juhtudel, kui mõned koordinaadid on võrdsed nulliga. Nagu nii: . Või niimoodi: . Või niimoodi: . Kuidas siin proportsiooni läbi töötada? (tõepoolest, te ei saa nulliga jagada). Just sel põhjusel nimetasin lihtsustatud lahendust "foppiks".

Vastus: a) , b) vorm.

Väike loominguline näide teie enda lahenduse jaoks:

Näide 2

Millise parameetri väärtuse juures on vektorid kas need on kollineaarsed?

Näidislahenduses leitakse parameeter proportsiooni kaudu.

Vektorite kollineaarsuse kontrollimiseks on olemas elegantne algebraline viis. Süstematiseerime oma teadmised ja lisame need viienda punktina:

Kahe tasapinnalise vektori jaoks on järgmised väited samaväärsed:

2) vektorid moodustavad aluse;
3) vektorid ei ole kollineaarsed;

+ 5) nende vektorite koordinaatidest koosnev determinant on nullist erinev.

vastavalt järgmised vastupidised väited on samaväärsed:
1) vektorid on lineaarselt sõltuvad;
2) vektorid ei moodusta alust;
3) vektorid on kollineaarsed;
4) vektoreid saab üksteise kaudu lineaarselt väljendada;
+ 5) nende vektorite koordinaatidest koosnev determinant on võrdne nulliga.

Ma väga-väga loodan, et nüüdseks olete juba aru saanud kõikidest terminitest ja väidetest, millega olete kokku puutunud.

Vaatame lähemalt uut, viiendat punkti: kaks tasapinnalist vektorit on kollineaarsed siis ja ainult siis, kui antud vektorite koordinaatidest koosnev determinant on võrdne nulliga:. Selle funktsiooni rakendamiseks peate loomulikult suutma seda teha leidma determinante.

Otsustame Näide 1 teisel viisil:

a) Arvutame vektorite koordinaatidest koosneva determinandi :
, mis tähendab, et need vektorid on kollineaarsed.

b) Kaks tasapinnalist vektorit moodustavad aluse, kui nad ei ole kollineaarsed (lineaarselt sõltumatud). Arvutame vektori koordinaatidest koosneva determinandi :
, mis tähendab, et vektorid on lineaarselt sõltumatud ja moodustavad aluse.

Vastus: a) , b) vorm.

See näeb välja palju kompaktsem ja ilusam kui proportsioonidega lahendus.

Vaadeldava materjali abil on võimalik tuvastada mitte ainult vektorite kollineaarsust, vaid ka tõestada lõikude ja sirgete paralleelsust. Vaatleme paari probleemi konkreetsete geomeetriliste kujunditega.

Näide 3

Nelinurga tipud on antud. Tõesta, et nelinurk on rööpkülik.

Tõestus: Ülesandes pole vaja joonist luua, kuna lahendus on puhtalt analüütiline. Meenutagem rööpküliku määratlust:
Paralleelogramm Nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed.

Seega on vaja tõestada:
1) vastaskülgede paralleelsus ja;
2) vastaskülgede paralleelsus ja.

Tõestame:

1) Leidke vektorid:

2) Leidke vektorid:

Tulemuseks on sama vektor (“kooli järgi” – võrdsed vektorid). Kollineaarsus on üsna ilmne, kuid parem on otsus vormistada selgelt, kokkuleppega. Arvutame vektori koordinaatidest koosneva determinandi:
, mis tähendab, et need vektorid on kollineaarsed ja .

Järeldus: nelinurga vastasküljed on paarikaupa paralleelsed, mis tähendab, et see on definitsiooni järgi rööpkülik. Q.E.D.

Veel häid ja erinevaid figuure:

Näide 4

Nelinurga tipud on antud. Tõesta, et nelinurk on trapets.

Tõestuse rangemaks sõnastamiseks on muidugi parem saada trapetsi definitsioon, kuid piisab, kui lihtsalt meeles pidada, kuidas see välja näeb.

See on ülesanne, mille peate ise lahendama. Täislahendus tunni lõpus.

Ja nüüd on aeg aeglaselt lennukist kosmosesse liikuda:

Kuidas määrata ruumivektorite kollineaarsust?

Reegel on väga sarnane. Selleks, et kaks ruumivektorit oleksid kollineaarsed, on vajalik ja piisav, et nende vastavad koordinaadid oleksid võrdelised.

Näide 5

Uurige, kas järgmised ruumivektorid on kollineaarsed:

A) ;
b)
V)

Lahendus:
a) Kontrollime, kas vektorite vastavate koordinaatide jaoks on olemas proportsionaalsustegur:

Süsteemil pole lahendust, mis tähendab, et vektorid ei ole kollineaarsed.

“Lihtsustatud” vormistatakse proportsiooni kontrollimisega. Sel juhul:
– vastavad koordinaadid ei ole proportsionaalsed, mis tähendab, et vektorid ei ole kollineaarsed.

Vastus: vektorid ei ole kollineaarsed.

b-c) Need on punktid iseseisvaks otsustamiseks. Proovige seda kahel viisil.

On olemas meetod ruumivektorite kollineaarsuse kontrollimiseks kolmandat järku determinandi kaudu; seda meetodit käsitletakse artiklis Vektorite vektorkorrutis.

Sarnaselt tasapinnalise juhtumiga saab vaadeldavaid tööriistu kasutada ruumilõikude ja sirgete paralleelsuse uurimiseks.

Tere tulemast teise sektsiooni:

Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus kolmemõõtmelises ruumis.
Ruumiline alus ja afiinne koordinaatsüsteem

Paljud mustrid, mida me lennukis uurisime, kehtivad ruumi jaoks. Püüdsin teooriamärkmeid minimeerida, kuna lõviosa teabest on juba näritud. Sissejuhatav osa soovitan siiski hoolega läbi lugeda, sest ilmuvad uued terminid ja mõisted.

Nüüd uurime arvutilaua tasapinna asemel kolmemõõtmelist ruumi. Esiteks loome selle aluse. Keegi on praegu toas, keegi on väljas, kuid igal juhul ei pääse me kolmest mõõtmest: laius, pikkus ja kõrgus. Seetõttu on aluse loomiseks vaja kolme ruumivektorit. Ühest või kahest vektorist ei piisa, neljas on üleliigne.

Ja jälle soojendame end sõrmedel. Tõstke käsi üles ja sirutage seda erinevatesse suundadesse pöial, nimetissõrm ja keskmine sõrm. Need on vektorid, nad näevad eri suundades, on erineva pikkusega ja neil on erinevad nurgad. Õnnitleme, kolmemõõtmelise ruumi alus on valmis! Muide, seda pole vaja õpetajatele demonstreerida, ükskõik kui kõvasti sõrmi keerata, aga definitsioonidest pole pääsu =)

Järgmiseks küsime endalt ühe olulise küsimuse: kas mis tahes kolm vektorit moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse? Vajutage kolm sõrme tugevalt arvutilaua ülaosale. Mis juhtus? Kolm vektorit asuvad samas tasapinnas ja jämedalt öeldes oleme kaotanud ühe mõõtme - kõrguse. Sellised vektorid on koplanaarne ja on täiesti ilmne, et kolmemõõtmelise ruumi alust ei looda.

Tuleb märkida, et samatasandilised vektorid ei pea asuma samal tasapinnal, nad võivad olla paralleelsetel tasapindadel (ära tee seda sõrmedega, seda tegi ainult Salvador Dali =)).

Definitsioon: kutsutakse vektoreid koplanaarne, kui on tasapind, millega nad on paralleelsed. Loogiline on siia lisada, et kui sellist tasandit ei eksisteeri, siis vektorid ei ole ka tasapinnalised.

Kolm samatasandilist vektorit on alati lineaarselt sõltuvad, see tähendab, et neid väljendatakse lineaarselt üksteise kaudu. Lihtsuse huvides kujutame taas ette, et need asuvad samal tasapinnal. Esiteks, vektorid ei ole mitte ainult koplanaarsed, vaid võivad olla ka kollineaarsed, siis saab mis tahes vektorit väljendada mis tahes vektori kaudu. Teisel juhul, kui näiteks vektorid ei ole kollineaarsed, siis kolmandat vektorit väljendatakse nende kaudu ainulaadsel viisil: (ja miks, seda on lihtne arvata eelmise jaotise materjalide põhjal).

Tõsi on ka vastupidine: kolm mittetasatasandilist vektorit on alati lineaarselt sõltumatud st need ei väljendu kuidagi üksteise kaudu. Ja ilmselgelt saavad ainult sellised vektorid moodustada kolmemõõtmelise ruumi aluse.

Definitsioon: Kolmemõõtmelise ruumi alus nimetatakse lineaarselt sõltumatute (mittetasandiliste) vektorite kolmikuks, võetud kindlas järjekorras, ja mis tahes ruumivektorit ainus viis laguneb antud alusel, kus on selle aluse vektori koordinaadid

Tuletan teile meelde, et võime ka öelda, et vektor on esitatud kujul lineaarne kombinatsioon baasvektorid.

Koordinaatsüsteemi mõiste tutvustatakse täpselt samamoodi nagu tasapinnalise juhtumi puhul, piisab ühest punktist ja mis tahes kolmest lineaarselt sõltumatust vektorist:

päritolu, Ja mitte-tasapinnaline vektorid, võetud kindlas järjekorras, komplekt kolmemõõtmelise ruumi afiinne koordinaatsüsteem :

Muidugi on koordinaatide ruudustik "kaldus" ja ebamugav, kuid sellegipoolest võimaldab konstrueeritud koordinaatsüsteem meil kindlasti määrata mis tahes vektori koordinaadid ja mis tahes ruumipunkti koordinaadid. Sarnaselt tasapinnaga ei tööta mõned valemid, mida ma juba mainisin, ruumi afiinses koordinaatsüsteemis.

Nagu kõik arvavad, on afiinse koordinaatsüsteemi kõige tuttavam ja mugavam erijuhtum ristkülikukujuline ruumi koordinaatsüsteem:

Punkt ruumis nimega päritolu, Ja ortonormaalne alus on seatud Descartes'i ristkülikukujuline ruumi koordinaatsüsteem . Tuttav pilt:

Enne praktiliste ülesannete juurde asumist süstematiseerime teabe uuesti:

Kolme ruumivektori jaoks on järgmised väited samaväärsed:
1) vektorid on lineaarselt sõltumatud;
2) vektorid moodustavad aluse;
3) vektorid ei ole tasapinnalised;
4) vektoreid ei saa üksteise kaudu lineaarselt väljendada;
5) nende vektorite koordinaatidest koosnev determinant erineb nullist.

Ma arvan, et vastupidised väited on arusaadavad.

Ruumivektorite lineaarset sõltuvust/sõltumatust kontrollitakse traditsiooniliselt determinandi abil (punkt 5). Ülejäänud praktilised ülesanded on selgelt algebralise iseloomuga. On aeg riputada geomeetriapulk ja näppida lineaaralgebra pesapallikurikat:

Kolm ruumivektorit on tasapinnalised siis ja ainult siis, kui antud vektorite koordinaatidest koosnev determinant on võrdne nulliga: .

Juhin teie tähelepanu väikesele tehnilisele nüansile: vektorite koordinaate saab kirjutada mitte ainult veergudesse, vaid ka ridadesse (determinandi väärtus seetõttu ei muutu - vt determinantide omadusi). Kuid veergudes on see palju parem, kuna see on kasulikum mõne praktilise probleemi lahendamisel.

Neile lugejatele, kes on determinantide arvutamise meetodid pisut unustanud või võivad neist vähe aru saada, soovitan ühte oma vanimat õppetundi: Kuidas determinanti arvutada?

Näide 6

Kontrollige, kas järgmised vektorid moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse:

Lahendus: Tegelikult taandub kogu lahendus determinandi arvutamisele.

a) Arvutame vektori koordinaatidest koosneva determinandi (determinant kuvatakse esimesel real):

, mis tähendab, et vektorid on lineaarselt sõltumatud (mitte tasapinnalised) ja moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse.

Vastus: need vektorid moodustavad aluse

b) See on sõltumatu otsuse punkt. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Samuti on loomingulised ülesanded:

Näide 7

Millise parameetri väärtuse korral on vektorid tasapinnalised?

Lahendus: vektorid on tasapinnalised siis ja ainult siis, kui nende vektorite koordinaatidest koosnev determinant on võrdne nulliga:

Põhimõtteliselt peate lahendama võrrandi determinandiga. Hüppame nullidele alla nagu tuulelohed jerboadele - kõige parem on avada determinant teisel real ja kohe miinustest lahti saada:

Teostame täiendavaid lihtsustusi ja taandame asja kõige lihtsama lineaarvõrrandini:

Vastus: kell

Siin on lihtne kontrollida; selleks peate asendama saadud väärtuse algse determinandiga ja veenduma, et , avage see uuesti.

Kokkuvõtteks käsitleme teist tüüpilist ülesannet, mis on olemuselt rohkem algebraline ja mis traditsiooniliselt sisaldub lineaaralgebra kursuses. See on nii tavaline, et väärib oma teemat:

Tõesta, et 3 vektorit moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse
ja leida sellel alusel 4. vektori koordinaadid

Näide 8

Vektorid on antud. Näidake, et vektorid moodustavad aluse kolmemõõtmelises ruumis ja leidke selles baasis vektori koordinaadid.

Lahendus: Esiteks käsitleme tingimust. Tingimuse järgi on antud neli vektorit ja nagu näha, on neil juba mingis aluses koordinaadid. Mis see alus on, meid ei huvita. Ja järgmine asi pakub huvi: kolm vektorit võivad moodustada uue aluse. Ja esimene etapp langeb täielikult kokku näite 6 lahendusega; on vaja kontrollida, kas vektorid on tõesti lineaarselt sõltumatud:

Arvutame vektori koordinaatidest koosneva determinandi:

, mis tähendab, et vektorid on lineaarselt sõltumatud ja moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse.

! Tähtis : vektori koordinaadid Tingimata Kirjuta üles veergudeks determinant, mitte stringides. Vastasel juhul tekib edasises lahendusalgoritmis segadus.

Vormi väljendamine helistas vektorite lineaarne kombinatsioon A 1, A 2,...,A n koefitsientidega λ 1, λ 2,...,λ n.

Vektorite süsteemi lineaarse sõltuvuse määramine

Vektorsüsteem A 1, A 2,...,A n helistas lineaarselt sõltuv, kui on nullist erinev arvude hulk λ 1, λ 2,...,λ n, milles vektorite lineaarne kombinatsioon λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n võrdne nullvektoriga, see tähendab võrrandisüsteemi: on nullist erinev lahendus.
Numbrite komplekt λ 1, λ 2,...,λ n on nullist erinev, kui vähemalt üks arvudest λ 1, λ 2,...,λ n nullist erinev.

Vektorite süsteemi lineaarse sõltumatuse määramine

Vektorsüsteem A 1, A 2,...,A n helistas lineaarselt sõltumatu, kui nende vektorite lineaarne kombinatsioon λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n võrdne nullvektoriga ainult nullarvude hulga puhul λ 1, λ 2,...,λ n , see tähendab võrrandisüsteemi: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ on ainulaadne nulllahendus.

Näide 29.1

Kontrollige, kas vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv

Lahendus:

1. Koostame võrrandisüsteemi:

2. Lahendame selle Gaussi meetodil. Süsteemi Jordanano teisendused on toodud tabelis 29.1. Arvutamisel süsteemi paremaid külgi üles ei kirjutata, kuna need on võrdsed nulliga ega muutu Jordani teisenduste käigus.

3. Tabeli kolmest viimasest reast kirjutage üles lahendatud süsteem, mis on samaväärne algse süsteemiga süsteem:

4. Saame süsteemi üldlahenduse:

5. Olles määranud vaba muutuja väärtuse x 3 =1 oma äranägemise järgi, saame konkreetse nullist erineva lahenduse X=(-3,2,1).

Vastus: Seega nullist erineva arvude hulga (-3,2,1) korral võrdub vektorite lineaarne kombinatsioon nullvektoriga -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Seega vektorsüsteem lineaarselt sõltuv.

Vektorsüsteemide omadused

Vara (1)
Kui vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv, siis vähemalt ühte vektorit laiendatakse teiste suhtes ja vastupidi, kui vähemalt ühte süsteemi vektoritest laiendatakse teiste suhtes, siis vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv.

Vara (2)
Kui mis tahes vektorite alamsüsteem on lineaarselt sõltuv, siis on lineaarselt sõltuv kogu süsteem.

Vara (3)
Kui vektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu, siis on iga selle alamsüsteem lineaarselt sõltumatu.

Kinnistu (4)
Iga nullvektorit sisaldav vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv.

Kinnisvara (5)
M-mõõtmeliste vektorite süsteem on alati lineaarselt sõltuv, kui vektorite arv n on suurem kui nende mõõde (n>m)

Vektorsüsteemi alused

Vektorsüsteemi alus A 1 , A 2 ,..., A sellist alamsüsteemi B 1 , B 2 ,...,B r nimetatakse(iga vektorid B 1, B 2,..., B r on üks vektoritest A 1, A 2,..., A n), mis vastab järgmistele tingimustele:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r lineaarselt sõltumatu vektorite süsteem;
2. mis tahes vektor A j Süsteemi A 1 , A 2 ,..., A n väljendatakse lineaarselt läbi vektorite B 1 , B 2 ,..., B r

r— baasis sisalduvate vektorite arv.

Teoreem 29.1 Vektorite süsteemi ühiku alusel.

Kui m-mõõtmeliste vektorite süsteem sisaldab m erinevat ühikvektorit E 1 E 2 ,..., E m , siis moodustavad need süsteemi aluse.

Algoritm vektorite süsteemi aluse leidmiseks

Vektorite süsteemi A 1 ,A 2 ,...,A n aluse leidmiseks on vaja:

• Loo homogeenne vektorisüsteemile vastav võrrandisüsteem A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Tooge see süsteem

Lase L on suvaline lineaarruum, a i Î L,- selle elemendid (vektorid).

Definitsioon 3.3.1. Väljendus , Kus, - suvalised reaalarvud, mida nimetatakse lineaarseks kombinatsiooniks vektorid a 1, a 2,…, a n.

Kui vektor R = , siis nad ütlevad seda R lagundatud vektoriteks a 1, a 2,…, a n.

Definitsioon 3.3.2. Nimetatakse vektorite lineaarset kombinatsiooni mittetriviaalne, kui arvude hulgas on vähemalt üks nullist erinev. Vastasel juhul nimetatakse lineaarset kombinatsiooni triviaalne.

3. definitsioon.3.3 . Vektorid a 1 , a 2 ,…, a n nimetatakse lineaarselt sõltuvateks, kui on olemas nende mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon, nii et

= 0 .

3. definitsioon.3.4. Vektorid a 1 , a 2 ,…, a n nimetatakse lineaarselt sõltumatuteks, kui võrdsust = 0 on võimalik ainult juhul, kui kõik numbrid l 1, l 2,…, l n on samaaegselt võrdsed nulliga.

Pange tähele, et iga nullist erinevat elementi a 1 võib pidada lineaarselt sõltumatuks süsteemiks, kuna võrdsus l a 1 = 0 võimalik ainult siis, kui l= 0.

Teoreem 3.3.1. Lineaarse sõltuvuse vajalik ja piisav tingimus a 1 , a 2 ,…, a n on võimalus lagundada vähemalt üks neist elementidest ülejäänud osadeks.

Tõestus. Vajadus. Olgu elemendid a 1 , a 2 ,…, a n lineaarselt sõltuv. See tähendab et = 0 ja vähemalt üks numbritest l 1, l 2,…, l n nullist erinev. Laske kindluse mõttes l 1 ¹ 0. Siis

st element a 1 laguneb elementideks a 2 , a 3 , …, a n.

Adekvaatsus. Jaotage element a 1 elementideks a 2 , a 3 , …, a n, st a 1 = . Siis = 0 , seega on olemas mittetriviaalne lineaarne vektorite kombinatsioon a 1 , a 2 ,…, a n, võrdne 0 , seega on need lineaarselt sõltuvad .

Teoreem 3.3.2. Kui vähemalt üks elementidest a 1 , a 2 ,…, a n null, siis on need vektorid lineaarselt sõltuvad.

Tõestus . Lase a n= 0 , siis = 0 , mis tähendab nende elementide lineaarset sõltuvust.

Teoreem 3.3.3. Kui n vektori hulgas on mõni p (lk< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Tõestus. Olgu kindluse huvides elemendid a 1 , a 2 ,…, a lk lineaarselt sõltuv. See tähendab, et on olemas mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon, nii et = 0 . Määratud võrdsus säilib, kui lisame elemendi mõlemasse ossa. Siis + = 0 ja vähemalt üks numbritest l 1, l 2,…, lp nullist erinev. Seetõttu vektorid a 1 , a 2 ,…, a n on lineaarselt sõltuvad.

Järeldus 3.3.1. Kui n elementi on lineaarselt sõltumatud, siis kõik k neist on lineaarselt sõltumatud (k< n).

Teoreem 3.3.4. Kui vektorid a 1, a 2,…, a n- 1 on lineaarselt sõltumatud ja elemendid a 1, a 2,…, a n- 1,a n on lineaarselt sõltuvad, siis vektor a n saab laiendada vektoriteks a 1, a 2,…, a n- 1 .

Tõestus. Kuna tingimusel a 1 , a 2 ,…, a n- 1,a n on lineaarselt sõltuvad, siis on nende mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon = 0 , ja (muidu vektorid a 1 , a 2 ,…, a on lineaarselt sõltuvad n- 1). Aga siis vektor

Q.E.D.

Selles artiklis käsitleme:

• mis on kollineaarsed vektorid;
• millised on vektorite kollineaarsuse tingimused;
• millised on kollineaarsete vektorite omadused;
• milline on kollineaarsete vektorite lineaarne sõltuvus.

Definitsioon 1

Kollineaarsed vektorid on vektorid, mis on paralleelsed ühe sirgega või asuvad ühel sirgel.

Näide 1

Vektorite kollineaarsuse tingimused

Kaks vektorit on kollineaarsed, kui mõni järgmistest tingimustest on tõene:

• tingimus 1 . Vektorid a ja b on kollineaarsed, kui on olemas arv λ, mille puhul a = λ b;
• tingimus 2 . Vektorid a ja b on kollineaarsed võrdsete koordinaatide suhetega:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• tingimus 3 . Vektorid a ja b on kollineaarsed eeldusel, et ristkorrutis ja nullvektor on võrdsed:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

Märkus 1

Tingimus 2 ei kehti, kui üks vektori koordinaatidest on null.

Märkus 2

Tingimus 3 kehtib ainult nendele vektoritele, mis on määratud ruumis.

Ülesannete näited vektorite kollineaarsuse uurimiseks

Näide 1

Uurime vektorite a = (1; 3) ja b = (2; 1) kollineaarsust.

Kuidas lahendada?

Sel juhul on vaja kasutada 2. kolineaarsuse tingimust. Antud vektorite puhul näeb see välja järgmine:

Võrdsus on vale. Sellest võime järeldada, et vektorid a ja b on mittekollineaarsed.

Vastus : a | | b

Näide 2

Milline vektori a = (1; 2) ja b = (- 1; m) väärtus m on vajalik, et vektorid oleksid kollineaarsed?

Kuidas lahendada?

Kasutades teist kollineaarsustingimust, on vektorid kollineaarsed, kui nende koordinaadid on võrdelised:

See näitab, et m = -2.

Vastus: m = -2.

Vektorsüsteemide lineaarse sõltuvuse ja lineaarse sõltumatuse kriteeriumid

Teoreem

Vektoriruumis olev vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv ainult siis, kui süsteemi üht vektorit saab väljendada selle süsteemi ülejäänud vektoritega.

Tõestus

Olgu süsteem e 1 , e 2 , . . . , e n on lineaarselt sõltuv. Kirjutame selle süsteemi lineaarse kombinatsiooni, mis on võrdne nullvektoriga:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

milles vähemalt üks kombinatsiooni koefitsient ei ole võrdne nulliga.

Olgu a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.

Jagame võrdsuse mõlemad pooled nullist erineva koefitsiendiga:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Tähistame:

A k - 1 a m , kus m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Sel juhul:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

või e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Sellest järeldub, et süsteemi üht vektorit väljendatakse kõigi teiste süsteemi vektorite kaudu. Mida oli vaja tõestada (jne).

Adekvaatsus

Olgu üks vektoritest lineaarselt väljendatud kõigi teiste süsteemi vektorite kaudu:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Viime vektori e k selle võrrandi paremale poole:

0 = γ 1 e 1 +. . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Kuna vektori e k koefitsient on võrdne - 1 ≠ 0, saame nulli mittetriviaalse esituse vektorite süsteemiga e 1, e 2, . . . , e n ja see omakorda tähendab, et see vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv. Mida oli vaja tõestada (jne).

Tagajärg:

• Vektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu, kui ühtki selle vektorit ei saa väljendada süsteemi kõigi teiste vektoritega.
• Nullvektorit või kahte võrdset vektorit sisaldav vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv.

Lineaarselt sõltuvate vektorite omadused

1. 2- ja 3-mõõtmeliste vektorite puhul on täidetud järgmine tingimus: kaks lineaarselt sõltuvat vektorit on kollineaarsed. Kaks kollineaarset vektorit on lineaarselt sõltuvad.
2. 3-mõõtmeliste vektorite puhul on täidetud järgmine tingimus: kolm lineaarselt sõltuvat vektorit on tasapinnalised. (3 samatasandilist vektorit on lineaarselt sõltuvad).
3. N-mõõtmeliste vektorite puhul on täidetud järgmine tingimus: n + 1 vektorit on alati lineaarselt sõltuvad.

Näited probleemide lahendamisest, mis hõlmavad vektorite lineaarset sõltuvust või lineaarset sõltumatust

Näide 3

Kontrollime vektorite a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 lineaarset sõltumatust.

Lahendus. Vektorid on lineaarselt sõltuvad, kuna vektorite mõõde on väiksem kui vektorite arv.

Näide 4

Kontrollime vektorite a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 lineaarset sõltumatust.

Lahendus. Leiame koefitsientide väärtused, mille korral lineaarne kombinatsioon võrdub nullvektoriga:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Kirjutame vektorvõrrandi lineaarsel kujul:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Lahendame selle süsteemi Gaussi meetodil:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

2. realt lahutame 1., 3. - 1.:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

1. realt lahutame 2., 3. lisame teise:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Lahendusest järeldub, et süsteemil on palju lahendusi. See tähendab, et selliste arvude x 1, x 2, x 3 väärtustest on nullist erinev kombinatsioon, mille puhul a, b, c lineaarne kombinatsioon võrdub nullvektoriga. Seetõttu on vektorid a, b, c lineaarselt sõltuv. ​​​​​​​

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter