Seega, kui arvuline avaldis koosneb numbritest ja märkidest +, −, · ja:, siis vasakult paremale tuleb esmalt sooritada korrutamine ja jagamine ning seejärel liitmine ja lahutamine, mis võimaldab leida soovitud väljendi väärtus.

Vaatame selguse huvides mõnda näidet.

Näide.

Arvutage avaldise 14−2·15:6−3 väärtus.

Lahendus.

Avaldise väärtuse leidmiseks peate tegema kõik selles määratud toimingud vastavalt nende toimingute sooritamise aktsepteeritud järjestusele. Esiteks, järjekorras vasakult paremale sooritame korrutamise ja jagamise, saame 14-2 15:6-3=14-30:6-3=14-5-3. Nüüd sooritame järjekorras vasakult paremale ülejäänud toimingud: 14−5−3=9−3=6 . Nii leidsime algse avaldise väärtuse, see on võrdne 6-ga.

Vastus:

14−2 15:6−3=6 .

Näide.

Leidke avaldise väärtus.

Lahendus.

Selles näites peame kõigepealt sooritama avaldises korrutamise 2 (−7) ja korrutamisega jagamise. Meenutades, kuidas , leiame 2 (−7)=−14 . Ja kõigepealt avaldises olevate toimingute sooritamiseks , siis ja käivitage: .

Saadud väärtused asendame algse avaldisega: .

Aga mis saab siis, kui juuremärgi all on numbriline avaldis? Sellise juure väärtuse saamiseks peate esmalt leidma juuravaldise väärtuse, järgides aktsepteeritud toimingute järjekorda. Näiteks, .

Numbriavaldistes tuleks juuri tajuda mõne arvuna ja soovitav on juured kohe nende väärtustega asendada ja seejärel leida saadud avaldise väärtus ilma juurteta, sooritades toiminguid aktsepteeritud järjestuses.

Näide.

Leia juurtega avaldise väärtus.

Lahendus.

Esiteks leidke juure väärtus . Selleks arvutame kõigepealt välja radikaalavaldise väärtuse, mis meil on −2 3−1+60:4=−6−1+15=8. Ja teiseks leiame juure väärtuse.

Nüüd arvutame algse avaldise põhjal teise juure väärtuse: .

Lõpuks leiame algse avaldise väärtuse, asendades juured nende väärtustega: .

Vastus:

Üsna sageli tuleb juurtega avaldise väärtuse leidmiseks see esmalt teisendada. Toome näite lahenduse.

Näide.

Mis on väljendi tähendus .

Lahendus.

Me ei saa asendada kolme juurt selle täpse väärtusega, mis ei võimalda meil selle avaldise väärtust ülalkirjeldatud viisil arvutada. Selle avaldise väärtuse saame aga arvutada lihtsate teisenduste tegemisega. Kohaldatav ruutude erinevuse valem: . Arvestades, saame . Seega on algse avaldise väärtus 1.

Vastus:

.

Kraadidega

Kui alus ja astendaja on arvud, siis arvutatakse nende väärtus astme definitsiooni järgi, näiteks 3 2 =3 3=9 või 8 −1 =1/8 . On ka kirjeid, kui alus ja/või astendaja on mingid avaldised. Sellistel juhtudel peate leidma avaldise väärtuse baasist, avaldise väärtuse astendajast ja seejärel arvutama astme väärtuse.

Näide.

Leidke vormi võimsustega avaldise väärtus 2 3 4-10 +16 (1-1/2) 3,5-2 1/4.

Lahendus.

Algsel avaldisel on kaks astet 2 3 4−10 ja (1−1/2) 3,5−2 1/4 . Enne ülejäänud toimingute tegemist tuleb nende väärtused välja arvutada.

Alustame astmest 2 3·4−10 . Selle indikaator sisaldab arvavaldist, arvutame selle väärtuse: 3·4−10=12−10=2 . Nüüd leiate astme enda väärtuse: 2 3 4−10 =2 2 =4 .

Aluses ja eksponendis (1−1/2) on avaldised 3,5−2 1/4, nende väärtused arvutame välja, et hiljem astme väärtust leida. Meil on (1–1/2) 3,5–2 1/4 = (1/2) 3 = 1/8.

Nüüd pöördume tagasi algse avaldise juurde, asendame selles olevad astmed nende väärtustega ja leiame meile vajaliku avaldise väärtuse: 2 3 4-10 +16 (1-1/2) 3,5-2 1/4 = 4+16 1/8=4+2=6 .

Vastus:

2 3 4-10 +16 (1-1/2) 3,5-2 1/4 =6.

Väärib märkimist, et sagedamini on juhtumeid, mil on soovitatav teha eeluuring väljenduse lihtsustamine volitustega alusel .

Näide.

Leidke avaldise väärtus .

Lahendus.

Selle avaldise eksponentide järgi otsustades ei saa kraadide täpseid väärtusi saada. Proovime algset väljendit lihtsustada, ehk aitab see selle väärtust leida. Meil on

Vastus:

.

Avaldiste võimsused käivad sageli logaritmidega käsikäes, kuid ühes neist räägime logaritmidega avaldiste väärtuste leidmisest.

Murdudega avaldise väärtuse leidmine

Nende kirje numbrilised avaldised võivad sisaldada murde. Kui on vaja leida sellise avaldise väärtus, siis murrud peale tavalised murrud, peaksite need enne ülejäänud toimingute sooritamist nende väärtustega asendama.

Murdude (mis erinevad tavalistest murdudest) lugeja ja nimetaja võivad sisaldada nii mõnda arvu kui ka avaldisi. Sellise murru väärtuse arvutamiseks peate arvutama avaldise väärtuse lugejas, arvutama avaldise väärtuse nimetajas ja seejärel arvutama murru enda väärtuse. See järjekord on seletatav asjaoluga, et murd a/b, kus a ja b on mingid avaldised, on tegelikult vormi (a):(b) jagatis, kuna .

Vaatleme näidislahendust.

Näide.

Leia murdosadega avaldise väärtus .

Lahendus.

Algses arvavaldises kolm murdu Ja . Algavaldise väärtuse leidmiseks vajame esmalt neid murde ja asendame need nende väärtustega. Teeme seda.

Murru lugeja ja nimetaja on arvud. Sellise murru väärtuse leidmiseks asendame murderiba jagamismärgiga ja teostame järgmise toimingu: .

Murru lugeja sisaldab avaldist 7−2 3 , selle väärtust on lihtne leida: 7−2 3=7−6=1 . Seega,. Võite jätkata kolmanda murru väärtuse leidmisega.

Lugeja ja nimetaja kolmas murd sisaldab arvavaldisi, seetõttu peate esmalt arvutama nende väärtused ja see võimaldab teil leida murdosa enda väärtuse. Meil on .

Jääb alles asendada leitud väärtused algse avaldisega ja teha ülejäänud sammud: .

Vastus:

.

Tihti tuleb murdosaga avaldiste väärtuste leidmisel sooritada murdosavaldiste lihtsustamine, mis põhineb murdosadega toimingute sooritamisel ja murdude vähendamisel.

Näide.

Leidke avaldise väärtus .

Lahendus.

Viie juurt ei eraldata täielikult, nii et algse avaldise väärtuse leidmiseks lihtsustame seda esmalt. Selle jaoks vabaneda nimetaja irratsionaalsusest esimene murd: . Pärast seda võtab algne väljend kuju . Pärast murdude lahutamist kaovad juured, mis võimaldab meil leida algselt antud avaldise väärtuse:.

Vastus:

.

Logaritmidega

Kui arvavaldis sisaldab , ja kui neist on võimalik vabaneda, siis tehakse seda enne muude toimingute tegemist. Näiteks avaldise log 2 4+2 3 väärtuse leidmisel asendatakse log 2 4 logaritm selle väärtusega 2, misjärel sooritatakse ülejäänud toimingud tavapärases järjekorras ehk log 2 4 +2 3=2+2 3=2 +6=8 .

Kui logaritmi märgi all ja / või selle aluses on arvulised avaldised, leitakse kõigepealt nende väärtused, mille järel arvutatakse logaritmi väärtus. Näiteks kaaluge avaldist vormi logaritmiga . Logaritmi põhjas ja selle märgi all on arvulised avaldised, leiame nende väärtused: . Nüüd leiame logaritmi, mille järel lõpetame arvutused: .

Kui logaritme ei arvutata täpselt, siis selle esialgne lihtsustamine kasutades . Sel juhul peate artikli materjali hästi tundma. logaritmiliste avaldiste teisendus.

Näide.

Leidke avaldise väärtus logaritmidega .

Lahendus.

Alustuseks arvutame log 2 (log 2 256) . Kuna 256=2 8, siis log 2 256=8, seega log 2 (log 2 256) = log 2 8 = log 2 2 3 = 3.

Logaritme log 6 2 ja log 6 3 saab rühmitada. Logaritmide summa log 6 2+log 6 3 võrdub korrutise logaritmiga log 6 (2 3) , seega log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Nüüd tegeleme murdudega. Alustuseks kirjutame nimetajas oleva logaritmi aluse ümber tavaliseks murruks 1/5, mille järel kasutame logaritmide omadusi, mis võimaldavad meil saada murru väärtuse:
.

Jääb vaid asendada saadud tulemused algse avaldisega ja lõpetada selle väärtuse leidmine:

Vastus:

Kuidas leida trigonomeetrilise avaldise väärtust?

Kui arvavaldis sisaldab või jne, arvutatakse nende väärtused enne muude toimingute tegemist. Kui trigonomeetriliste funktsioonide märgi all on arvulised avaldised, arvutatakse esmalt nende väärtused, mille järel leitakse trigonomeetriliste funktsioonide väärtused.

Näide.

Leidke avaldise väärtus .

Lahendus.

Artikli juurde pöördudes saame ja cosπ=−1 . Asendame need väärtused algsesse avaldisesse, see võtab kuju . Selle väärtuse leidmiseks peate esmalt sooritama astendamise ja seejärel lõpetama arvutused: .

Vastus:

.

Tuleb märkida, et siinuste, koosinustega jne avaldiste väärtuste arvutamine. nõuab sageli eelnevat trigonomeetrilised ekspressiooniteisendused.

Näide.

Mis on trigonomeetrilise avaldise väärtus .

Lahendus.

Teisendame algse avaldise kasutades , sel juhul vajame topeltnurga koosinuse valemit ja summakoosinuse valemit:

Tehtud teisendused aitasid meil leida väljendi väärtuse.

Vastus:

.

Üldine juhtum

Üldjuhul võib numbriline avaldis sisaldada juuri, astmeid, murde ja mis tahes funktsioone ja sulgusid. Selliste avaldiste väärtuste leidmine seisneb järgmiste toimingute tegemises:

• esimesed juured, kraadid, murrud jne. asendatakse nende väärtustega,
• edasised toimingud sulgudes,
• ja järjekorras vasakult paremale sooritatakse ülejäänud toimingud - korrutamine ja jagamine, millele järgneb liitmine ja lahutamine.

Ülaltoodud toiminguid tehakse kuni lõpptulemuse saamiseni.

Näide.

Leidke avaldise väärtus .

Lahendus.

Selle väljendi vorm on üsna keeruline. Selles avaldises näeme murdu, juuri, kraadi, siinust ja logaritmi. Kuidas leida selle tähendus?

Liikudes mööda kirjet vasakult paremale, jõuame vormi murdosani . Teame, et keerukat tüüpi murdudega töötades peame eraldi arvutama lugeja väärtuse, eraldi - nimetaja ja lõpuks leidma murdosa väärtuse.

Lugejas on meil vormi juur . Selle väärtuse määramiseks peate esmalt arvutama radikaalavaldise väärtuse . Siin on siinus. Selle väärtuse saame teada alles pärast avaldise väärtuse arvutamist . Seda saame teha: . Siis kust ja .

Nimetajaga on kõik lihtne: .

Seega .

Pärast selle tulemuse asendamist algse avaldisega on selle vorm . Saadud avaldis sisaldab kraadi. Selle väärtuse leidmiseks peate esmalt leidma indikaatori väärtuse, meil on .

Niisiis, .

Vastus:

.

Kui juurte, kraadide jne täpseid väärtusi pole võimalik arvutada, võite proovida neist vabaneda mis tahes teisenduste abil ja seejärel pöörduda tagasi väärtuse arvutamise juurde vastavalt määratud skeemile.

Ratsionaalsed viisid väljendite väärtuste arvutamiseks

Arvuliste avaldiste väärtuste arvutamine nõuab järjepidevust ja täpsust. Jah, eelmistes lõikudes kirja pandud toimingute järjestusest tuleb kinni pidada, kuid seda ei tohiks teha pimesi ja mehaaniliselt. Selle all peame silmas, et sageli on võimalik avaldise väärtuse leidmise protsessi ratsionaliseerida. Näiteks mõned numbritega toimingute omadused võimaldavad teil avaldise väärtuse leidmist oluliselt kiirendada ja lihtsustada.

Näiteks me teame seda korrutamise omadust: kui korrutise üks teguritest on null, siis korrutise väärtus on null. Seda omadust kasutades saame kohe öelda, et avaldise väärtus 0 (2 3+893-3234:54 65-79 56 2,2)(45 36−2 4+456:3 43) on null. Kui järgiksime tavapärast toimingute järjekorda, siis peaksime esmalt arvutama sulgudes olevate tülikate avaldiste väärtused ja see võtaks palju aega ja tulemus oleks ikkagi null.

Mugav on kasutada ka lahutamise omadust võrdsed arvud: kui lahutate arvust võrdse arvu, on tulemuseks null. Seda omadust võib käsitleda laiemalt: kahe identse arvavaldise erinevus võrdub nulliga. Näiteks ilma sulgudes olevate avaldiste väärtust arvutamata leiate avaldise väärtuse (54 6-12 47362:3)-(54 6-12 47362:3), on see võrdne nulliga, kuna algne avaldis on identsete avaldiste erinevus.

Identsed teisendused võivad aidata kaasa avaldiste väärtuste ratsionaalsele arvutamisele. Näiteks võib terminite ja tegurite rühmitamine olla kasulik, kuid mitte harvem pole ka ühisteguri sulgudest välja jätmine. Seega on avaldise 53 5+53 7−53 11+5 väärtust väga lihtne leida pärast teguri 53 sulgudest väljavõtmist: 53 (5+7–11)+5=53 1+5=53+5=58. Otsene arvutamine võtaks palju rohkem aega.

Selle lõigu kokkuvõttes pöörame tähelepanu murdosadega avaldiste väärtuste arvutamise ratsionaalsele lähenemisviisile - murdosa lugejas ja nimetajas vähendatakse samu tegureid. Näiteks samade avaldiste vähendamine murdosa lugejas ja nimetajas võimaldab teil kohe leida selle väärtuse, mis on 1/2 .

Literaalse avaldise ja muutujatega avaldise väärtuse leidmine

Kirjasõnalise avaldise ja muutujatega avaldise väärtus leitakse tähtede ja muutujate konkreetsete väärtuste jaoks. See tähendab, et me räägime antud täheväärtuste jaoks sõnasõnalise avaldise väärtuse leidmisest või valitud muutuja väärtuste jaoks muutujatega avaldise väärtuse leidmisest.

reegel kirjasõnalise avaldise või muutujatega avaldise väärtuse leidmine etteantud tähtede väärtuste või muutujate valitud väärtuste jaoks on järgmine: algses avaldises peate asendama tähtede või muutujate etteantud väärtused ja arvutage saadud arvavaldise väärtus, see on soovitud väärtus.

Näide.

Arvutage avaldise 0,5 x−y väärtus x=2,4 ja y=5 korral.

Lahendus.

Avaldise vajaliku väärtuse leidmiseks peate esmalt asendama need muutujate väärtused algse avaldisega ja seejärel tegema järgmised toimingud: 0,5 2,4-5=1,2-5=-3,8 .

Vastus:

−3,8 .

Kokkuvõtteks märgime, et mõnikord võimaldab sõnasõnaliste avaldiste ja muutujatega avaldiste teisendamine saada nende väärtused, olenemata tähtede ja muutujate väärtustest. Näiteks avaldist x+3−x saab lihtsustada 3-ks. Sellest võime järeldada, et avaldise x + 3 - x väärtus võrdub 3-ga muutuja x mis tahes väärtuste korral selle vastuvõetavate väärtuste vahemikust (ODZ). Teine näide: avaldise väärtus on võrdne 1-ga kõigi x positiivsete väärtuste korral, seega on muutuja x kehtivate väärtuste vahemik algses avaldises positiivsete arvude hulk ja sellel toimub võrdsus. ulatus.

Bibliograafia.

• Matemaatika: õpingud. 5 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 lk.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matemaatika. 6. klass: õpik. üldhariduse jaoks institutsioonid / [N. Ya. Vilenkin ja teised]. - 22. väljaanne, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lk.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra:õpik 7 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovski. - 17. väljaanne. - M. : Haridus, 2008. - 240 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra:õpik 8 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M. : Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9. klass: õpik. üldhariduse jaoks institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M. : Haridus, 2009. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebra ja analüüsi algus: Proc. 10-11 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn jt; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. tr.- M.: Valgustus, 2004.- 384 lk.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.

Selles artiklis käsitletakse matemaatiliste avaldiste väärtuste leidmist. Alustame lihtsate arvavaldistega ja seejärel käsitleme juhtumeid nende keerukuse kasvades. Lõpus anname avaldise, mis sisaldab tähetähistusi, sulud, juuri, erilisi matemaatilisi märke, astmeid, funktsioone jne. Kogu teooria on vastavalt traditsioonile varustatud rohkete ja üksikasjalike näidetega.

Kuidas leida arvavaldise väärtust?

Numbrilised avaldised aitavad muu hulgas kirjeldada ülesande seisukorda matemaatilises keeles. Üleüldse matemaatilised avaldised võib olla kas väga lihtne, koosnedes paarist arvudest ja aritmeetilistest märkidest, või väga keeruline, sisaldades funktsioone, astmeid, juuri, sulgusid jne. Ülesande osana on sageli vaja leida avaldise väärtus. Kuidas seda teha, arutatakse allpool.

Lihtsamad juhtumid

Need on juhud, kus avaldis ei sisalda midagi peale numbrite ja aritmeetika. Selliste avaldiste väärtuste edukaks leidmiseks vajate teadmisi aritmeetiliste toimingute tegemise järjekorrast ilma sulgudeta, samuti oskust teha toiminguid erinevate numbritega.

Kui avaldis sisaldab ainult numbreid ja aritmeetilisi märke " + " , " · " , " - " , " ÷ " , siis sooritatakse toimingud vasakult paremale järgmises järjekorras: kõigepealt korrutamine ja jagamine, seejärel liitmine ja lahutamine. Toome näiteid.

Näide 1. Numbriavaldise väärtus

Olgu vaja leida avaldise 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 väärtused.

Kõigepealt teeme korrutamise ja jagamise. Saame:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .

Nüüd lahutame ja saame lõpptulemuse:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Näide 2. Numbriavaldise väärtus

Arvutame: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 .

Esiteks teostame murdude teisendamise, jagamise ja korrutamise:

0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Nüüd teeme liitmise ja lahutamise. Rühmitame murrud ja viime need ühisele nimetajale:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Soovitud väärtus on leitud.

Sulgudega väljendid

Kui avaldis sisaldab sulgusid, määravad need selle avaldise toimingute järjekorra. Esiteks tehakse sulgudes olevad toimingud ja seejärel kõik ülejäänud. Näitame seda näitega.

Näide 3. Numbriavaldise väärtus

Leidke avaldise väärtus 0 . 5 · (0 . 76 - 0 . 06) .

Avaldis sisaldab sulgusid, nii et esmalt teostame sulgudes lahutamise ja alles seejärel korrutamise.

0,5 (0,76 - 0,06) = 0,5 0,7 = 0,35.

Sulgudes olevate avaldiste väärtus leitakse sama põhimõtte järgi.

Näide 4. Numbriavaldise väärtus

Arvutame väärtuse 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

Teostame toiminguid alustades sisemistest sulgudest, liikudes välimisteni.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2 , 5 = 1 + 2 6 = 13 .

Sulgudega avaldiste väärtuste leidmisel on peamine järgida tegevuste järjestust.

Avaldised juurtega

Matemaatilised avaldised, mille väärtused peame leidma, võivad sisaldada juurmärke. Pealegi võib väljend ise olla juuremärgi all. Kuidas sel juhul olla? Kõigepealt peate leidma juure all oleva avaldise väärtuse ja seejärel eraldama saadud arvust juure. Võimalusel on parem vabaneda arvulistest avaldistest juurtest, asendades need numbriliste väärtustega.

Näide 5. Numbriavaldise väärtus

Arvutame avaldise väärtuse juurtega - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 .

Esiteks arvutame radikaalavaldised.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Nüüd saame arvutada kogu avaldise väärtuse.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Sageli on juurtega avaldise väärtuse leidmiseks sageli vaja algne avaldis esmalt teisendada. Selgitame seda teise näitega.

Näide 6. Numbriavaldise väärtus

Mis on 3 + 1 3 - 1 - 1

Nagu näete, pole meil võimalust juurt täpse väärtusega asendada, mis muudab loendusprotsessi keeruliseks. Kuid sel juhul saate kasutada lühendatud korrutamisvalemit.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Seega:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Võimudega väljendid

Kui avaldis sisaldab võimsusi, tuleb nende väärtused enne kõigi muude toimingute jätkamist arvutada. Juhtub, et astendaja ise või astme alus on avaldised. Sel juhul arvutatakse kõigepealt nende avaldiste väärtus ja seejärel astme väärtus.

Näide 7. Numbriavaldise väärtus

Leidke avaldise väärtus 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 .

Hakkame arvutama järjekorras.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

Jääb vaid teha liitmistoiming ja välja selgitada avaldise väärtus:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6 .

Samuti on sageli soovitatav avaldist lihtsustada, kasutades astme omadusi.

Näide 8. Numbriavaldise väärtus

Arvutame järgmise avaldise väärtuse: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Eksponentid on jällegi sellised, et nende täpseid arvväärtusi pole võimalik saada. Selle väärtuse leidmiseks lihtsustage algset avaldist.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Murdudega avaldised

Kui avaldis sisaldab murde, siis sellise avaldise arvutamisel tuleb kõik selles olevad murded esitada tavaliste murdudena ja arvutada nende väärtused.

Kui murdosa lugejas ja nimetajas on avaldised, arvutatakse esmalt nende avaldiste väärtused ja registreeritakse murdosa enda lõplik väärtus. Aritmeetilised tehted sooritatakse standardses järjekorras. Vaatleme näidislahendust.

Näide 9. Numbriavaldise väärtus

Leiame avaldise väärtuse, mis sisaldab murde: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

Nagu näete, on algses avaldises kolm murdu. Kõigepealt arvutame nende väärtused.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

Kirjutame oma avaldise ümber ja arvutame selle väärtuse:

1 , 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Sageli on avaldiste väärtuste leidmisel mugav murde vähendada. Kehtib ütlemata reegel: enne selle väärtuse leidmist on kõige parem mis tahes avaldist maksimaalselt lihtsustada, taandades kõik arvutused kõige lihtsamatele juhtudele.

Näide 10. Numbriavaldise väärtus

Arvutame avaldise 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Me ei saa viie juurt täielikult eraldada, kuid me saame algset avaldist teisenduste abil lihtsustada.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Algne väljend on järgmisel kujul:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Arvutame selle avaldise väärtuse:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Avaldised logaritmidega

Kui avaldises on olemas logaritmid, arvutatakse nende väärtus võimaluse korral algusest peale. Näiteks avaldises log 2 4 + 2 4 saate kohe kirjutada selle logaritmi väärtuse logi 2 4 asemel ja seejärel teha kõik toimingud. Saame: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10 .

Arvulisi avaldisi võib leida ka logaritmi märgi all ja selle aluses. Sellisel juhul on esimene samm nende väärtuste leidmine. Võtame avaldise log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Meil on:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Kui logaritmi täpset väärtust pole võimalik välja arvutada, aitab avaldise lihtsustamine selle väärtuse leida.

Näide 11. Numbriavaldise väärtus

Leidke avaldise log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 väärtus.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Vastavalt logaritmide omadustele:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1 .

Jällegi logaritmide omadusi rakendades saame avaldise viimase murdosa jaoks:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

Nüüd saate jätkata algse avaldise väärtuse arvutamisega.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Trigonomeetriliste funktsioonidega avaldised

Juhtub, et avaldises on siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi trigonomeetrilised funktsioonid, aga ka funktsioonid, mis on neile pöördvõrdelised. Väärtus arvutatakse enne kõigi muude aritmeetiliste toimingute sooritamist. Vastasel juhul on väljendit lihtsustatud.

Näide 12. Numbriavaldise väärtus

Leidke avaldise väärtus: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Esiteks arvutame avaldises sisalduvate trigonomeetriliste funktsioonide väärtused.

sin - 5 π 2 \u003d - 1

Asendage avaldis olevad väärtused ja arvutage selle väärtus:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

Leitakse avaldise väärtus.

Sageli selleks, et leida avaldise väärtust trigonomeetrilised funktsioonid, tuleb see esmalt teisendada. Selgitame näitega.

Näide 13. Numbriavaldise väärtus

On vaja leida avaldise cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 väärtus.

Ümberkujundamiseks kasutame trigonomeetrilised valemid topeltnurga koosinus ja summa koosinus.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos 1 π = cos π 4 - 4 - π 1-1 = 0.

Numbriavaldise üldjuhtum

Üldjuhul võib trigonomeetriline avaldis sisaldada kõiki ülalkirjeldatud elemente: sulud, kraadid, juured, logaritmid, funktsioonid. Sõnastame üldreegli selliste avaldiste väärtuste leidmiseks.

Kuidas leida avaldise väärtust

1. Juured, astmed, logaritmid jne. asendatakse nende väärtustega.
2. Sulgudes olevad toimingud sooritatakse.
3. Ülejäänud toimingud viiakse läbi järjekorras vasakult paremale. Esiteks - korrutamine ja jagamine, seejärel - liitmine ja lahutamine.

Võtame näite.

Näide 14. Numbriavaldise väärtus

Arvutame, mis on avaldise väärtus - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

Väljend on üsna keeruline ja tülikas. Pole juhus, et valisime just sellise näite, püüdes sellesse mahutada kõik ülalkirjeldatud juhtumid. Kuidas leida sellise väljendi väärtust?

On teada, et kompleksse murdvormi väärtuse arvutamisel leitakse esmalt vastavalt murru lugeja ja nimetaja väärtused. Me muudame ja lihtsustame seda väljendit järjest.

Kõigepealt arvutame radikaalavaldise 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 väärtuse. Selleks peate leidma siinuse väärtuse ja avaldise, mis on trigonomeetrilise funktsiooni argumendiks.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Nüüd saate teada siinuse väärtuse:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .

Arvutame radikaalavaldise väärtuse:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Murru nimetajaga on kõik lihtsam:

Nüüd saame üles kirjutada kogu murru väärtuse:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

Seda silmas pidades kirjutame kogu väljendi:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Lõpptulemus:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

Sel juhul saime arvutada täpsed väärtused juurte, logaritmide, siinuste ja nii edasi. Kui see pole võimalik, võite proovida neist vabaneda matemaatiliste teisendustega.

Avaldiste arvutamine ratsionaalsetel viisidel

Arvväärtusi tuleb arvutada järjepidevalt ja täpselt. Seda protsessi saab ratsionaliseerida ja kiirendada numbritega tehtavate erinevate omaduste abil. Näiteks on teada, et korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. Seda omadust arvestades võime kohe öelda, et avaldis 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 on võrdne nulliga. Sel juhul pole ülaltoodud artiklis kirjeldatud toimingute sooritamine üldse vajalik.

Samuti on mugav kasutada võrdsete arvude lahutamise omadust. Toiminguid tegemata on võimalik järjestada, et avaldise 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 väärtus on samuti võrdne nulliga.

Teine meetod, mis võimaldab teil protsessi kiirendada, on identsete teisenduste kasutamine, näiteks terminite ja tegurite rühmitamine ning ühise teguri sulgudest välja võtmine. Ratsionaalne lähenemine murdosadega avaldiste arvutamisel on samade avaldiste vähendamine lugejas ja nimetajas.

Võtame näiteks avaldise 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 . Sulgudes olevaid toiminguid tegemata, vaid murdu vähendades saame öelda, et avaldise väärtus on 1 3 .

Muutujatega avaldiste väärtuste leidmine

Kirjasõnalise avaldise ja muutujatega avaldise väärtus leitakse tähtede ja muutujate konkreetsete väärtuste jaoks.

Muutujatega avaldiste väärtuste leidmine

Literaalse avaldise ja muutujatega avaldise väärtuse leidmiseks peate asendama antud tähtede ja muutujate väärtused algse avaldisega ning seejärel arvutama saadud numbrilise avaldise väärtuse.

Näide 15. Muutujatega avaldise väärtus

Arvutage avaldise 0, 5 x-y väärtus, kui x = 2, 4 ja y = 5.

Asendame muutujate väärtused avaldisesse ja arvutame:

0,5 x-y = 0,5 2,4-5 = 1,2-5 = -3,8.

Mõnikord on võimalik avaldist teisendada nii, et saada selle väärtus sõltumata selles sisalduvate tähtede ja muutujate väärtustest. Selleks on vaja avaldises võimalusel vabaneda tähtedest ja muutujatest, kasutades identseid teisendusi, aritmeetiliste tehtete omadusi ja kõiki muid võimalikke meetodeid.

Näiteks avaldis x + 3 - x on ilmselgelt väärtusega 3 ja selle väärtuse arvutamiseks pole vaja teada x väärtust. Selle avaldise väärtus on võrdne kolmega kõigi muutuja x väärtuste jaoks selle kehtivate väärtuste vahemikust.

Üks näide veel. Avaldise x x väärtus võrdub ühega kõigi positiivsete x-ide korral.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

7. klassi algebra kursusel tegelesime täisarvuliste avaldiste ehk arvudest ja muutujatest koostatud avaldiste teisendamisega, kasutades liitmise, lahutamise ja korrutamise ning nullist erineva arvuga jagamise tehteid. Seega on avaldised täisarvud

Seevastu väljendid

lisaks liitmise, lahutamise ja korrutamise tegevusele sisaldavad need jagamist muutujatega avaldisega. Selliseid avaldisi nimetatakse murdosadeks.

Terve ja murdosa avaldised nimetatakse ratsionaalseteks väljenditeks.

Täisarvuline avaldis on mõttekas selles sisalduvate muutujate mis tahes väärtuste jaoks, kuna kogu avaldise väärtuse leidmiseks peate tegema toiminguid, mis on alati võimalikud.

Mõne muutuja väärtuse murdosa avaldis ei pruugi olla mõttekas. Näiteks avaldis - ei ole a = 0 jaoks mõtet. Kõigi muude a väärtuste puhul on see avaldis mõttekas. Avaldis on mõttekas nende x ja y väärtuste puhul, kui x ≠ y.

Muutuvaid väärtusi, mille puhul avaldis on mõttekas, nimetatakse kehtivateks muutujaväärtusteks.

Vormi avaldist nimetatakse, nagu teate, murdosa.

Murru, mille lugeja ja nimetaja on polünoomid, nimetatakse ratsionaalseks murdeks.

Murrud on ratsionaalsete murdude näited.

IN ratsionaalne murdosa Lubatud on need muutujate väärtused, mille puhul murdosa nimetaja ei kao.

Näide 1 Leiame murdosa muutuja kehtivad väärtused

Lahendus Et leida, millistel a väärtustel murdosa nimetaja kaob, peate lahendama võrrandi a (a - 9) \u003d 0. Sellel võrrandil on kaks juurt: 0 ja 9. Seetõttu on kõik arvud peale 0 ja 9 on muutuja a kehtivad väärtused.

Näide 2 Millise x väärtuse juures on murru väärtus võrdne nulliga?

Lahendus Murd on null siis ja ainult siis, kui a on 0 ja b ≠ 0.