Vaadeldakse näiteid ratsionaalsete funktsioonide (murdude) integreerimisest detailsete lahendustega.

Sisu

Vaata ka: Ruutvõrrandi juured

Siin pakume üksikasjalikke lahendusi kolmele näitele järgmiste ratsionaalsete murdude integreerimisest:
, , .

Näide 1

Arvuta integraal:
.

Siin on integraalimärgi all ratsionaalne funktsioon, kuna integrand on murdosa polünoomidest. Nimetaja polünoomi aste ( 3 ) on väiksem kui lugejapolünoomi ( 4 ). Seetõttu peate kõigepealt valima kogu murdosa.

1. Võtame murru täisarvulise osa. Jaga x 4 kohta x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:


Siit
.

2. Faktoriseerime nimetaja. Selleks peate lahendama kuupvõrrandi:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Asendage x = 1 :
.

1 . jaga x-ga - 1 :

Siit
.
Meie otsustame ruutvõrrand.
.
Võrrandi juured: , .
Siis
.

3. Jagame murdosa lihtsateks.

.

Niisiis leidsime:
.
Integreerime.

Näide 2

Arvuta integraal:
.

Siin on murru lugejas nullkraadiga polünoom ( 1 = x0). Nimetaja on kolmanda astme polünoom. Kuna 0 < 3 , siis on murd õige. Jagame selle lihtmurdudeks.

1. Faktoriseerime nimetaja. Selleks peate lahendama kolmanda astme võrrandi:
.
Oletame, et sellel on vähemalt üks täisarvu juur. Siis on see arvu jagaja 3 (liige ilma x ). See tähendab, et kogu juur võib olla üks arvudest:
1, 3, -1, -3 .
Asendage x = 1 :
.

Seega oleme leidnud ühe juure x = 1 . Jaga x 3 + 2 x - 3 kohta x- 1 :

Niisiis,
.

Lahendame ruutvõrrandi:
x 2 + x + 3 = 0.
Leidke diskriminant: D = 1 2 - 4 3 = -11. Kuna D< 0 , siis pole võrrandil tegelikke juuri. Seega oleme saanud nimetaja lagunemise teguriteks:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
Asendage x = 1 . Siis x- 1 = 0 ,
.

Asendus sisse (2.1) x= 0 :
1 = 3 A - C;
.

Võrdsus sisse (2.1) koefitsiendid x juures 2 :
;
0 = A+B;
.

.

3. Integreerime.
(2.2) .
Teise integraali arvutamiseks valime lugejas oleva nimetaja tuletise ja taandame nimetaja ruutude summaks.

;
;
.

Arvutage I 2 .


.
Kuna võrrand x 2 + x + 3 = 0 ei oma tegelikke juuri, siis x 2 + x + 3 > 0. Seetõttu võib mooduli märgi ära jätta.

Tarnime kohale (2.2) :
.

Näide 3

Arvuta integraal:
.

Siin on integraali märgi all murdosa polünoomidest. Seetõttu on integrand ratsionaalne funktsioon. Polünoomi aste lugejas on 3 . Murru nimetaja polünoomi aste on 4 . Kuna 3 < 4 , siis on murd õige. Seetõttu saab selle lagundada lihtfraktsioonideks. Kuid selleks peate nimetaja lagundama teguriteks.

1. Faktoriseerime nimetaja. Selleks peate lahendama neljanda astme võrrandi:
.
Oletame, et sellel on vähemalt üks täisarvu juur. Siis on see arvu jagaja 2 (liige ilma x ). See tähendab, et kogu juur võib olla üks arvudest:
1, 2, -1, -2 .
Asendage x = -1 :
.

Seega oleme leidnud ühe juure x = -1 . jaga x-ga - (-1) = x + 1:


Niisiis,
.

Nüüd peame lahendama kolmanda astme võrrandi:
.
Kui eeldame, et sellel võrrandil on täisarvu juur, siis on see arvu jagaja 2 (liige ilma x ). See tähendab, et kogu juur võib olla üks arvudest:
1, 2, -1, -2 .
Asendage x = -1 :
.

Niisiis, oleme leidnud teise juure x = -1 . Nagu eelmisel juhul, oleks võimalik polünoomi jagada arvuga , kuid rühmitame terminid:
.

Kuna võrrand x 2 + 2 = 0 millel pole tegelikke juuri, siis saame nimetaja faktoriseerimise:
.

2. Jagame murdosa lihtsateks. Otsime lagunemist kujul:
.
Vabaneme murdosa nimetajast, korrutame sellega (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Asendage x = -1 . Siis x + 1 = 0 ,
.

Eristada (3.1) :

;

.
Asendage x = -1 ja võta arvesse, et x + 1 = 0 :
;
; .

Asendus sisse (3.1) x= 0 :
0 = 2A + 2B + D;
.

Võrdsus sisse (3.1) koefitsiendid x juures 3 :
;
1 = B+C;
.

Niisiis, oleme leidnud lagunemise lihtsateks murdudeks:
.

3. Integreerime.


.

Vaata ka:

Nagu allpool näeme, ei ole igal elementaarfunktsioonil elementaarfunktsioonides väljendatud integraali. Seetõttu on väga oluline välja tuua sellised funktsioonide klassid, mille integraalid on väljendatud elementaarsed funktsioonid. Lihtsaim neist klassidest on ratsionaalsete funktsioonide klass.

Iga ratsionaalset funktsiooni saab esitada ratsionaalse murruna, st kahe polünoomi suhtena:

Argumendi üldistust piiramata eeldame, et polünoomidel ei ole ühiseid juuri.

Kui lugeja on nimetaja astmest madalam, siis nimetatakse murdu õigeks, vastasel juhul nimetatakse murdu ebaõigeks.

Kui murd on vale, jagades lugeja nimetajaga (vastavalt polünoomide jagamise reeglile), saate seda murdosa esitada polünoomi ja mõne tavalise murdosa summana:

siin on polünoom ja õige murd.

Näide t. Olgu antud ebaõige ratsionaalne murd

Lugeja jagamisel nimetajaga (polünoomide jagamise reegli järgi) saame

Kuna polünoomide integreerimine ei ole keeruline, on ratsionaalsete murdude integreerimise põhiraskuseks õigete ratsionaalsete murdude integreerimine.

Definitsioon. Vormi õiged ratsionaalsed murrud

nimetatakse I, II, III ja IV tüüpi lihtsaimateks murdudeks.

I, II ja III tüüpi kõige lihtsamate murdude integreerimine ei ole väga keeruline, seega integreerime need ilma täiendavate selgitusteta:

Keerulisemad arvutused nõuavad IV tüübi kõige lihtsamate murdude integreerimist. Olgu meile antud seda tüüpi integraal:

Teeme teisendusi:

Esimene integraal võetakse asendamise teel

Teine integraal - me tähistame seda ja kirjutame selle vormi

oletades, et nimetaja juured on keerulised ja seetõttu toimime järgmiselt:

Teisendame integraali:

Osade kaupa integreerimine on meil olemas

Asendades selle avaldise võrdsusega (1), saame

Paremal pool on sama tüüpi integraal, kuid integrandi nimetaja eksponent on ühe võrra väiksem; seega väljendasime . Sama teed edasi minnes jõuame tuntud integraalini.

Murd-ratsionaalfunktsiooni integreerimine.
Määratlemata koefitsientide meetod

Jätkame tööd murdude integreerimisega. Oleme õppetunnis juba käsitlenud teatud tüüpi murdude integraale ja seda tundi võib teatud mõttes pidada jätkuks. Materjali edukaks mõistmiseks on vaja elementaarseid integreerimisoskusi, nii et kui olete just integraalide õppimist alustanud, st olete teekann, peate alustama artiklist Määramatu integraal. Lahendusnäited.

Kummalisel kombel hakkame nüüd tegelema mitte niivõrd integraalide leidmisega, kuivõrd ... süsteemide lahendamisega lineaarvõrrandid. Selles ühenduses tugevalt Soovitan tundi külastada Nimelt tuleb hästi kursis olla asendusmeetoditega (“kooli” meetod ja süsteemivõrrandite terminite kaupa liitmise (lahutamise) meetod).

Mis on murdosaline ratsionaalne funktsioon? Lihtsate sõnadega, murdratsionaalfunktsioon on murd, mille lugejas ja nimetajas on polünoomid või polünoomide korrutised. Samal ajal on murrud keerukamad kui artiklis käsitletud. Mõnede murdude integreerimine.

Õige murd-ratsionaalfunktsiooni integreerimine

Kohe näide ja tüüpiline algoritm murdratsionaalfunktsiooni integraali lahendamiseks.

Näide 1

Samm 1. Esimene asi, mida me ALATI teeme ratsionaal-murdfunktsiooni integraali lahendamisel, on välja selgitada järgmine küsimus: kas murd on õige? See samm tehakse suuliselt ja nüüd selgitan, kuidas:

Kõigepealt vaadake lugejat ja saate teada vanem kraad polünoom:

Lugeja suurim võimsus on kaks.

Vaata nüüd nimetajat ja saa teada vanem kraad nimetaja. Ilmselge viis on avada sulud ja tuua sarnased terminid, kuid saate seda teha lihtsamalt iga sulgudes leia kõrgeim aste

ja mõtteliselt korrutada: - seega on nimetaja kõrgeim aste võrdne kolmega. On üsna ilmne, et kui sulgud tõesti lahti teha, siis ei saa me kraadi võrra suuremat kui kolm.

Järeldus: Lugeja suurim võimsus RANGELT väiksem kui nimetaja suurim aste, siis on murd õige.

Kui selles näites sisaldaks lugeja polünoomi 3, 4, 5 jne. kraadi, siis oleks murdosa vale.

Nüüd käsitleme ainult õigeid murdosa-ratsionaalfunktsioone. Juhtu, kui lugeja aste on nimetaja astmest suurem või sellega võrdne, analüüsime tunni lõpus.

2. samm Faktoriseerime nimetaja. Vaatame oma nimetajat:

Üldiselt on siin juba tegu tegurite tulemus, kuid siiski küsime endalt: kas on võimalik midagi muud laiendada? Piinamise objektiks on loomulikult ruudukujuline kolmik. Lahendame ruutvõrrandi:

Diskriminant on suurem kui null, mis tähendab, et trinoom on tõepoolest faktoriseeritud:

Üldreegel: KÕIK, mida nimetajas VÕIB arvesse võtta – faktoriseerida

Alustame otsuse tegemist:

3. samm Kasutades määramatute koefitsientide meetodit, laiendame integrand liht(elementaar)murdude summaks. Nüüd saab asi selgemaks.

Vaatame meie integrandi funktsiooni:

Ja teate, kuidagi lipsab läbi intuitiivne mõte, et oleks tore muuta meie suur murd mitmeks väikeseks. Näiteks nii:

Tekib küsimus, kas seda on üldse võimalik teha? Hingame kergendatult, matemaatilise analüüsi vastav teoreem ütleb – ON VÕIMALIK. Selline lagunemine on olemas ja ainulaadne.

On ainult üks saak, koefitsiendid me Hüvasti me ei tea, sellest ka nimi - määramatute koefitsientide meetod.

Arvasite ära, järgnevad žestid nii, ärge naerge! on suunatud lihtsalt nende ÕPPIMISELE – et teada saada, millega nad on võrdsed.

Olge ettevaatlik, ma selgitan üksikasjalikult üks kord!

Niisiis, alustame tantsimist:

Vasakul pool toome väljendi ühisele nimetajale:

Nüüd saame nimetajatest turvaliselt lahti (kuna need on samad):

Vasakul küljel avame sulud, samas kui me ei puuduta veel tundmatuid koefitsiente:

Samal ajal kordame kooli reegel polünoomide korrutamine. Õpetajaks saades õppisin seda reeglit sirge näoga ütlema: Polünoomi polünoomiga korrutamiseks peate korrutama ühe polünoomi iga liikme teise polünoomi iga liikmega.

Selge selgituse seisukohalt on parem panna koefitsiendid sulgudesse (kuigi ma isiklikult ei tee seda kunagi aja säästmiseks):

Koostame lineaarvõrrandisüsteemi.
Esiteks otsime kõrgemaid kraade:

Ja me kirjutame vastavad koefitsiendid süsteemi esimesse võrrandisse:

Pidage meeles järgmist nüanssi. Mis juhtuks, kui õiget poolt poleks üldse olemas? Ütle, kas see näitaks lihtsalt ilma ruuduta? Sel juhul oleks süsteemi võrrandis vaja paremale panna null: . Miks null? Ja kuna paremal küljel saab alati omistada sellele samale ruudule nulliga: Kui paremal pool pole muutujaid või (ja) vaba liiget, siis paneme süsteemi vastavate võrrandite paremale küljele nullid.

Kirjutame vastavad koefitsiendid süsteemi teise võrrandisse:

Ja lõpuks, mineraalvesi, valime tasuta liikmed.

Ee, ma tegin nalja. Nali naljaks – matemaatika on tõsine teadus. Meie instituudirühmas ei naernud keegi, kui abiprofessor ütles, et ta ajab liikmed mööda arvurida laiali ja valib neist suurima. Olgem tõsised. Kuigi ... kes elab selle tunni lõpuni, naeratab ikka vaikselt.

Süsteem valmis:

Lahendame süsteemi:

(1) Esimesest võrrandist lähtudes väljendame ja asendame selle süsteemi 2. ja 3. võrrandiga. Tegelikult oli võimalik väljendada (või mõnda muud tähte) teisest võrrandist, kuid sel juhul on kasulik seda väljendada 1. võrrandist, kuna väikseim koefitsient.

(2) Esitame sarnased terminid 2. ja 3. võrrandis.

(3) Liidame 2. ja 3. võrrandi liikme kaupa, saades samas võrdsuse , millest järeldub, et

(4) Asendame teise (või kolmanda) võrrandiga, millest leiame selle

(5) Asendame ja esimesse võrrandisse, saades .

Kui teil on raskusi süsteemi lahendamise meetoditega, töötage need klassis läbi. Kuidas lahendada lineaarvõrrandisüsteemi?

Peale süsteemi lahendamist on alati kasulik teha kontroll – asendada leitud väärtused igas süsteemi võrrand, mille tulemusena peaks kõik "koonduma".

Peaaegu saabunud. Leitakse koefitsiendid, samas kui:

Puhas töö peaks välja nägema umbes selline:

Nagu näha, oli ülesande peamiseks raskuseks lineaarvõrrandisüsteemi koostamine (õigesti!) ja (õigesti!) lahendamine. Ja viimases etapis pole kõik nii keeruline: me kasutame lineaarsuse omadusi määramatu integraal ja integreerida. Juhin teie tähelepanu asjaolule, et iga kolme integraali all on meil "tasuta" keeruline funktsioon, rääkisin tunnis selle integreerimise funktsioonidest Muutuja muutmise meetod määramata integraalis.

Kontrollige: eristage vastust:

Saadi algne integrand, mis tähendab, et integraal leiti õigesti.
Kontrollimise käigus oli vaja avaldis ühisele nimetajale viia ja see pole juhuslik. Määramatute koefitsientide meetod ja avaldise viimine ühisele nimetajale on vastastikku pöördtoimingud.

Näide 2

Leidke määramatu integraal.

Tuleme tagasi esimese näite murdosa juurde: . On lihtne näha, et nimetajas on kõik tegurid ERINEVAD. Tekib küsimus, mida teha, kui on antud näiteks selline murd: ? Siin on nimetajas kraadid ehk matemaatilises mõttes mitmeid tegureid. Lisaks on olemas lagunematu ruuttrinoom (lihtne on kontrollida, et võrrandi diskriminant on negatiivne, seega ei saa trinoomi mingil viisil arvesse võtta). Mida teha? Laienemine elementaarmurdude summaks näeb välja selline tundmatute koefitsientidega üleval või muul viisil?

Näide 3

Esitage funktsioon

Samm 1. Kontrollime, kas meil on õige murd
Lugeja suurim võimsus: 2
Suurim nimetaja: 8
, seega on murd õige.

2. samm Kas nimetajas saab midagi arvesse võtta? Ilmselgelt mitte, kõik on juba paika pandud. Ruudukujuline trinoom ei laiene tooteks ülaltoodud põhjustel. Hea. Vähem tööd.

3. samm Esitagem murdratsionaalfunktsiooni elementaarmurdude summana.
Sel juhul on lagunemisel järgmine vorm:

Vaatame oma nimetajat:
Murd-ratsionaalfunktsiooni jagamisel elementaarmurdude summaks saab eristada kolme põhipunkti:

1) Kui nimetaja sisaldab esimeses astmes "üksik" tegurit (meie puhul), siis paneme ülaossa määramatu koefitsiendi (meie puhul). Näited nr 1,2 koosnesid ainult sellistest "üksikutest" teguritest.

2) Kui nimetaja sisaldab mitmekordne kordaja, siis peate lagunema järgmiselt:
- see tähendab järjestikku kõiki "x" astmeid esimesest n-nda astmeni. Meie näites on kaks mitut tegurit: ja , vaadake uuesti minu esitatud lagunemist ja veenduge, et need lagunevad täpselt selle reegli järgi.

3) Kui nimetaja sisaldab teise astme lagunematut polünoomi (meie puhul), siis lugejas laiendamisel tuleb kirjutada lineaarne funktsioon ebakindlate koefitsientidega (meie puhul ebakindlate koefitsientidega ja ).

Tegelikult on ka 4. juhtum, kuid ma vaikin sellest, kuna praktikas on see äärmiselt haruldane.

Näide 4

Esitage funktsioon tundmatute koefitsientidega elementaarmurdude summana.

See on näide sõltumatu otsus. Täielik lahendus ja vastus tunni lõpus.
Järgige täpselt algoritmi!

Kui olete välja mõelnud põhimõtted, mille järgi peate murdosa-ratsionaalfunktsiooni summaks lagundama, saate murda peaaegu iga vaadeldava tüübi integraali.

Näide 5

Leidke määramatu integraal.

Samm 1. Ilmselgelt on murd õige:

2. samm Kas nimetajas saab midagi arvesse võtta? Saab. Siin on kuubikute summa . Nimetaja faktoriseerimine lühendatud korrutamisvalemi abil

3. samm Määramatute koefitsientide meetodit kasutades laiendame integrandi elementaarmurdude summaks:

Pange tähele, et polünoom on lagunematu (kontrollige, et diskriminant oleks negatiivne), nii et ülaosas asetame tundmatute koefitsientidega lineaarfunktsiooni, mitte ainult ühe tähe.

Toome murdosa ühise nimetaja juurde:

Loome ja lahendame süsteemi:

(1) Esimesest võrrandist lähtudes väljendame ja asendame süsteemi teise võrrandiga (see on kõige ratsionaalsem viis).

(2) Esitame sarnased terminid teises võrrandis.

(3) Liidame liikme kaupa süsteemi teise ja kolmanda võrrandi.

Kõik edasised arvutused on põhimõtteliselt suulised, kuna süsteem on lihtne.

(1) Murdude summa kirjutame üles vastavalt leitud koefitsientidele .

(2) Kasutame määramatu integraali lineaarsusomadusi. Mis juhtus teises integraalis? Selle meetodi leiate õppetunni viimasest lõigust. Mõnede murdude integreerimine.

(3) Taaskord kasutame lineaarsuse omadusi. Kolmandas integraalis hakkame isoleerima täisruut(tunni eelviimane lõik Mõnede murdude integreerimine).

(4) Võtame teise integraali, kolmandas valime täisruudu.

(5) Võtame kolmanda integraali. Valmis.

Murdu nimetatakse õige kui lugeja kõrgeim aste on väiksem nimetaja suurimast astmest. Õige ratsionaalse murru integraalil on vorm:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Ratsionaalmurdude integreerimise valem sõltub nimetajas oleva polünoomi juurtest. Kui polünoomil $ ax^2+bx+c $ on:

1. Ainult kompleksjuured, siis on vaja sellest valida täisruut: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 14:00 ^2) $$
2. Erinevad reaaljuured $ x_1 $ ja $ x_2 $, siis tuleb integraali laiendada ja leida määramatud koefitsiendid $ A $ ja $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. Üks mitmekordne juur $ x_1 $, siis laiendame integraali ja leiame selle valemi jaoks määramatud koefitsiendid $ A $ ja $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Kui murdosa on vale, see tähendab, et lugeja kõrgeim aste on suurem või võrdne nimetaja kõrgeima astmega, siis tuleb see kõigepealt taandada õige meeles, jagades lugejast pärineva polünoomi nimetaja polünoomiga. Sel juhul on ratsionaalse murru integreerimise valem järgmine:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Lahendusnäited

Näide 1

Leidke ratsionaalse murru integraal: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$

Lahendus

Murd on korrapärane ja polünoomil on ainult komplekssed juured. Seetõttu valime täisruudu: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ Ahendame täisruudu ja liidame diferentsiaalmärgi alla $ x-5 $: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ Integraalide tabeli abil saame: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ Kui te ei saa oma probleemi lahendada, saatke see meile. Pakume üksikasjalikku lahendust. Saate end kurssi viia arvutamise käiguga ja koguda teavet. See aitab teil õigeaegselt õpetajalt ainepunkti saada!

Vastus

$$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$

Näide 2

Integreerige ratsionaalsed murrud: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$

Lahendus

Lahendage ruutvõrrand: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7) (2) $$ Kirjutame juured üles: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ Võttes arvesse saadud juuri, teisendame integraali: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Teostame ratsionaalse murru laiendamise: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x) -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ Võrdstage lugejad ja leidke koefitsiendid $ A $ ja $ B $: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \begin(juhtumid) A + B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(juhtumid) $$ $$ \begin(cases) A = \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(juhtumid) $$ Asendame leitud koefitsiendid integraaliga ja lahendame selle: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

Vastus

$$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$