Neid omadusi kasutatakse integraali teisenduste läbiviimiseks, et viia see ühte elementaarintegraalidest ja edasiseks arvutamiseks.

1. Määramatu integraali tuletis on võrdne integrandiga:

2. Määramatu integraali diferentsiaal on võrdne integrandiga:

3. Mõne funktsiooni diferentsiaali määramatu integraal on võrdne selle funktsiooni ja suvalise konstandi summaga:

4. Integraalimärgist saab välja võtta konstantse teguri:

Lisaks a ≠ 0

5. Summa (vahe) integraal on võrdne integraalide summaga (vahega):

6. Atribuut on atribuutide 4 ja 5 kombinatsioon:

Veelgi enam, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Määramatu integraali muutumatus:

Kui siis

8. Kinnisvara:

Kui siis

Tegelikult on see omadus muutuja muutmise meetodil integreerimise erijuhtum, millest räägitakse üksikasjalikumalt järgmises jaotises.

Kaaluge näidet:

Kõigepealt rakendasime omadust 5, seejärel omadust 4, seejärel kasutasime antiderivatiivide tabelit ja saime tulemuse.

Meie veebipõhise integraalikalkulaatori algoritm toetab kõiki ülaltoodud omadusi ja leiab hõlpsalt teie integraalile üksikasjaliku lahenduse.

Diferentsiaalarvutuses lahendatakse probleem: antud funktsiooni ƒ(x) all leia selle tuletis(või diferentsiaal). Integraalarvutus lahendab pöördülesande: leida funktsioon F (x), teades selle tuletist F "(x) \u003d ƒ (x) (või diferentsiaal). Soovitud funktsiooni F (x) nimetatakse funktsiooni antituletiseks ƒ (x).

Kutsutakse funktsioon F(x). primitiivne funktsioon ƒ(x) intervallil (a; b), kui mis tahes x korral є (a; b) võrdus

F "(x)=ƒ(x) (või dF(x)=ƒ(x)dx).

Näiteks, tuletisevastane funktsioon y \u003d x 2, x є R, on funktsioon, kuna

Ilmselt on ka antiderivaadid mis tahes funktsioonid

kus C on konstant, sest

Teoreem 29. 1. Kui funktsioon F(x) on funktsiooni ƒ(x) antituletis punktis (a;b), siis ƒ(x) kõigi antiderivaatide hulk on antud valemiga F(x)+ C, kus C on konstantne arv.

▲ Funktsioon F(x)+C on ƒ(x) antiderivaat.

Tõepoolest, (F(x)+C) "=F" (x)=ƒ(x).

Olgu F(x) mõni muu, F(x-st erinev) tuletisevastane funktsioon ƒ(x), st Ф "(x)=ƒ(x). Siis on meil mis tahes x є (a; b) korral

Ja see tähendab (vt Järeldus 25.1), et

kus C on konstantne arv. Seetõttu Ф(х)=F(x)+С.▼

Kutsutakse välja kõigi primitiivsete funktsioonide hulk F(x)+C ƒ(x) jaoks funktsiooni ƒ(x) määramatu integraal ja seda tähistatakse sümboliga ∫ ƒ(x) dx.

Nii et definitsiooni järgi

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Siin kutsutakse ƒ(x). integrand, ƒ(x)dx — integrand, X - integratsioonimuutuja, ∫ -märk määramatu integraal .

Funktsiooni määramatu integraali leidmise operatsiooni nimetatakse selle funktsiooni integreerimiseks.

Geomeetriliselt määramatu integraal on "paralleelsete" kõverate perekond y \u003d F (x) + C (iga C arvväärtus vastab perekonna teatud kõverale) (vt joonis 166). Iga antiderivaadi (kõvera) graafikut nimetatakse integraalkõver.

Kas igal funktsioonil on määramatu integraal?

On olemas teoreem, mis ütleb, et "igal (a;b) pideval funktsioonil on sellel intervallil antituletis" ja järelikult määramatu integraal.

Märgime ära mitmed määramatu integraali omadused, mis tulenevad selle määratlusest.

1. Määramatu integraali diferentsiaal on võrdne integrandiga ja määramata integraali tuletis on võrdne integrandiga:

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) "=ƒ(x).

Tõepoolest, d (∫ ƒ (x) dx) \u003d d (F (x) + C) \u003d dF (x) + d (C) \u003d F "(x) dx \u003d ƒ (x) dx

(∫ ƒ (x) dx) "=(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ(x).

Tänu sellele omadusele kontrollitakse integreerimise õigsust diferentseerimisega. Näiteks võrdsus

∫(3x 2 + 4) dx=x h + 4x+C

tõsi, kuna (x 3 + 4x + C) "= 3x 2 +4.

2. Mõne funktsiooni diferentsiaali määramatu integraal on võrdne selle funktsiooni ja suvalise konstandi summaga:

∫dF(x)=F(x)+C.

Tõesti,

3. Konstantse teguri saab integraalimärgist välja võtta:

α ≠ 0 on konstant.

Tõesti,

(panna C 1 / a \u003d C.)

4. Lõpliku arvu pidevate funktsioonide algebralise summa määramatu integraal on võrdne funktsioonide liikmete integraalide algebralise summaga:

Olgu F"(x)=ƒ(x) ja G"(x)=g(x). Siis

kus C 1 ± C 2 \u003d C.

5. (Lõimumisvalemi muutumatus).

Kui , kus u=φ(x) on suvaline funktsioon, millel on pidev tuletis.

▲ Olgu x sõltumatu muutuja, ƒ(x) - pidev funktsioon ja F(x) on selle antiderivaat. Siis

Määrame nüüd u=φ(x), kus φ(x) on pidevalt diferentseeruv funktsioon. Vaatleme kompleksfunktsiooni F(u)=F(φ(x)). Funktsiooni esimese diferentsiaali kuju muutumatuse tõttu (vt lk 160) on meil

Siit▼

Seega jääb määramata integraali valem kehtima sõltumata sellest, kas integratsioonimuutuja on sõltumatu muutuja või selle mõni funktsioon, millel on pidev tuletis.

Niisiis, valemist asendades x u-ga (u=φ(x)) saame

Eriti,

Näide 29.1. Leidke integraal

kus C \u003d C1 + C 2 + C 3 + C 4.

Näide 29.2. Leidke terviklik lahendus:

• 29.3. Põhiliste määramata integraalide tabel

Kasutades ära asjaolu, et integreerimine on diferentseerimise pöördväärtus, saab diferentsiaalarvutuse vastavaid valemeid (diferentsiaalide tabelit) ümber pöörates ja määramata integraali omadusi kasutades saada põhiintegraalide tabeli.

Näiteks, sest

d(sin u)=cos u . du,

Mitmete tabelivalemite tuletamine esitatakse peamiste integreerimismeetodite kaalumisel.

Allolevas tabelis olevaid integraale nimetatakse tabeliintegraalideks. Neid tuleks peast teada. Integraalarvutuses puuduvad lihtsad ja universaalsed reeglid antiderivaatide leidmiseks elementaarsed funktsioonid, nagu diferentsiaalarvutuses. Antiderivaatide leidmise (st funktsiooni integreerimise) meetodid on taandatud meetodite näitamiseks, mis toovad antud (soovitud) integraali tabeliks. Seetõttu on vaja tunda tabeliintegraale ja osata neid ära tunda.

Pange tähele, et põhiintegraalide tabelis võib integreerimismuutuja ja tähistada nii sõltumatut muutujat kui ka sõltumatu muutuja funktsiooni (vastavalt integreerimisvalemi muutumatule omadusele).

Alltoodud valemite kehtivust saab kontrollida, võttes parempoolse diferentsiaali, mis on võrdne valemi vasakpoolses servas oleva integrandiga.

Tõestame näiteks valemi 2 kehtivust. Funktsioon 1/u on defineeritud ja pidev kõigi u nullist mittevastavate väärtuste korral.

Kui u > 0, siis ln|u|=lnu, siis Sellepärast

Kui sa<0, то ln|u|=ln(-u). НоTähendab

Nii et valem 2 on õige. Samamoodi kontrollime valemit 15:

Põhiintegraalide tabel

Sõbrad! Kutsume teid arutama. Kui teil on arvamus, kirjutage meile kommentaarides.

Selles artiklis loetleme kindla integraali peamised omadused. Enamik neist omadustest on tõestatud Riemanni ja Darboux’ kindla integraali kontseptsiooni alusel.

Kindla integraali arvutamisel kasutatakse sageli viit esimest omadust, seega viitame neile vajadusel. Ülejäänud kindla integraali omadusi kasutatakse peamiselt erinevate avaldiste hindamiseks.

Enne edasi liikumist kindla integraali põhiomadused, nõustume, et a ei ületa b .

Funktsiooni y = f(x) puhul, mis on defineeritud x = a korral, on võrdus tõene.

See tähendab, et samade integreerimispiiridega kindla integraali väärtus on null. See omadus tuleneb Riemanni integraali definitsioonist, kuna sel juhul on iga intervalli mis tahes jaotuse ja punktide valiku integraalsumma võrdne nulliga, kuna seetõttu on integraalsummade piirväärtus null.

Segmendiga integreeritava funktsiooni jaoks on meil olemas .

Teisisõnu, kui integreerimise ülemine ja alumine piir on ümber pööratud, pööratakse ka kindla integraali väärtus ümber. See kindla integraali omadus tuleneb ka Riemanni integraali mõistest, ainult lõigu jaotuse nummerdamine peaks algama punktist x = b.

funktsioonide y = f(x) ja y = g(x) jaoks, mis on integreeritavad intervalliga.

Tõestus.

Kirjutame funktsiooni integraalsumma segmendi antud partitsiooni ja antud punktide valiku jaoks:

kus ja on vastavalt lõigu antud partitsiooni funktsioonide y = f(x) ja y = g(x) integraalsummad.

Piirini üleminek kl saame, et Riemanni integraali definitsiooni järgi on see samaväärne tõestatava omaduse väitega.

Konstantteguri saab välja võtta kindla integraali märgist. See tähendab, et lõigul y = f(x) integreeritava funktsiooni ja suvalise arvu k korral on võrdsus .

Kindla integraali selle omaduse tõestus on absoluutselt sarnane eelmisele:


Olgu funktsioon y = f(x) integreeritav intervalliga X , ja ja siis .

See omadus kehtib nii ja jaoks või jaoks.

Tõestust saab läbi viia kindla integraali eelnevate omaduste põhjal.

Kui funktsioon on lõimitav segmendiga, on see integreeritav ka mis tahes sisesegmendiga.

Tõestus põhineb Darboux' summade omadusel: kui lõigu olemasolevale partitsioonile lisada uusi punkte, siis alumine Darboux' summa ei vähene ja ülemine ei suurene.

Kui funktsioon y = f(x) on integreeritav intervalliga ja argumendi mis tahes väärtusega, siis .

Seda omadust tõestab Riemanni integraali definitsioon: mis tahes lõigu jaotuspunktide ja punktide punktide valiku integraalsumma on mittenegatiivne (mitte positiivne).

Tagajärg.

Intervalliga integreeritavate funktsioonide y = f(x) ja y = g(x) puhul kehtivad järgmised võrratused:


See väide tähendab, et ebavõrdsuse integreerimine on lubatav. Kasutame seda järeldust järgmiste omaduste tõestamiseks.

Olgu funktsioon y = f(x) lõigul integreeritav, siis võrratus .

Tõestus.

See on ilmne . Eelmises omaduses saime teada, et ebavõrdsust saab integreerida termini haaval, seega on see tõsi . Selle kahekordse ebavõrdsuse saab kirjutada kui .

Olgu funktsioonid y = f(x) ja y = g(x) integreeritavad intervalliga ja argumendi mis tahes väärtuse korral, siis , Kus Ja .

Tõestus viiakse läbi sarnaselt. Kuna m ja M on funktsiooni y = f(x) väikseimad ja suurimad väärtused lõigul , siis . Topeltvõrratuse korrutamine mittenegatiivse funktsiooniga y = g(x) viib meid järgmise topeltvõrratuseni. Integreerides selle segmendiga, jõuame väiteni, mida tuleb tõestada.

Tagajärg.

Kui võtame g(x) = 1 , siis saab ebavõrdsus kuju .

Esimene keskmise valem.

Olgu funktsioon y = f(x) lõigul integreeritav, ja , siis on selline arv, et .

Tagajärg.

Kui funktsioon y = f(x) on lõigul pidev, siis on olemas selline arv, et .

Keskmine keskmise väärtuse esimene valem üldistatud kujul.

Olgu funktsioonid y = f(x) ja y = g(x) integreeritavad intervalliga , ja , ja g(x) > 0 argumendi mis tahes väärtuse korral. Siis on selline number, et .

Teine keskmise valem.

Kui segmendil on funktsioon y = f(x) integreeritav ja y = g(x) on monotoonne, siis on olemas arv, mille võrdsus .

See artikkel räägib üksikasjalikult kindla integraali peamistest omadustest. Need on tõestatud Riemanni ja Darbouxi integraali kontseptsiooni abil. Kindla integraali arvutamine läheb läbi tänu 5 omadusele. Ülejäänud neist kasutatakse erinevate väljendite hindamiseks.

Enne kindla integraali põhiomaduste juurde üleminekut tuleb veenduda, et a ei ületaks b .

Kindla integraali põhiomadused

Definitsioon 1

Funktsioon y \u003d f (x), mis on defineeritud x \u003d a jaoks, on sarnane õiglase võrdsusega ∫ a a f (x) d x \u003d 0.

Tõestus 1

Siit näeme, et kattuvate piiridega integraali väärtus on võrdne nulliga. See on Riemanni integraali tagajärg, sest iga integraali summa σ mis tahes jaotuse jaoks intervallil [ a ; a ] ja mis tahes punktide ζ i valik võrdub nulliga, sest x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , seega saame, et integraalfunktsioonide piirväärtus on null.

2. definitsioon

Segmendiga integreeritava funktsiooni jaoks [ a ; b ] , tingimus ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x on täidetud.

Tõestus 2

Teisisõnu, kui muuta lõimimise ülemist ja alumist piiri kohati, siis integraali väärtus muudab väärtuse vastupidiseks. See omadus on võetud Riemanni integraalist. Lõigu jaotuse numeratsioon algab aga punktist x = b.

3. definitsioon

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x kasutatakse y = f (x) ja y = g (x) tüüpi integreeritavate funktsioonide jaoks, mis on defineeritud intervallil [ a ; b] .

Tõestus 3

Kirjutage funktsiooni y = f (x) ± g (x) integraalsumma etteantud punktide valikuga ζ i segmentideks jaotamiseks: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i x i - x i - 1 = σ f ± σ g

kus σ f ja σ g on lõigu jagamise funktsioonide y = f (x) ja y = g (x) integraalsummad. Pärast piirini jõudmist λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n (x i - x i - 1) → 0 saame, et lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Riemanni definitsiooni järgi on see väljend samaväärne.

4. definitsioon

Konstantteguri väljavõtmine kindla integraali märgist. Integreeritav funktsioon intervallist [ a ; b ] suvalise väärtusega k omab kehtivat võrratust kujul ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

Tõestus 4

Kindla integraali omaduse tõestus on sarnane eelmisega:

σ = ∑ i = 1 n k f ζ i (x i - x i - 1) = = k ∑ i = 1 n f ζ i (x i - x i - 1) = k σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k) σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k f (x) d x = k ∫ a b f (x) d x

Definitsioon 5

Kui funktsioon kujul y = f (x) on integreeritav intervallil x koos a ∈ x , b ∈ x , saame ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x .

Tõestus 5

Omadus loetakse kehtivaks c ∈ a korral; b , c ≤ a ja c ≥ b korral. Tõestus viiakse läbi sarnaselt eelmiste omadustega.

Definitsioon 6

Kui funktsioonil on võime olla lõimitav [ a ; b ] , siis on see teostatav iga sisesegmendi c korral ; d ∈ a; b.

Tõestus 6

Tõestus põhineb Darboux omadusel: kui lõigu olemasolevale partitsioonile lisada punktid, siis alumine Darboux' summa ei vähene ja ülemine ei suurene.

Definitsioon 7

Kui funktsioon on integreeritav [ a ; b ] alates f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 iga x ∈ a väärtuse korral; b , siis saame, et ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

Omadust saab tõestada Riemanni integraali definitsiooni abil: mis tahes integraalsumma lõigu ja punktide ζ i mis tahes valiku jaotuspunktide jaoks tingimusel, et f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 on mittenegatiivne.

Tõestus 7

Kui funktsioonid y = f (x) ja y = g (x) on lõigul [ a ; b ] , siis loetakse kehtivaks järgmised ebavõrdsused:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b

Tänu väitele teame, et integreerimine on vastuvõetav. Seda järeldust kasutatakse muude omaduste tõendamisel.

Definitsioon 8

Integreeritava funktsiooni y = f (x) korral lõigust [ a ; b ] meil on kehtiv võrratus kujul ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Tõestus 8

Meil on, et - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Eelnevast omadusest saime, et võrratust saab integreerida termini haaval ja see vastab ebavõrdsusele kujul - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Selle topeltvõrratuse saab kirjutada ka teisel kujul: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Definitsioon 9

Kui funktsioonid y = f (x) ja y = g (x) on lõigust [ a ; b ] g (x) ≥ 0 korral mis tahes x ∈ a korral; b , saame ebavõrdsuse kujul m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x , kus m = m i n x ∈ a ; b f (x) ja M = m a x x ∈ a ; b f (x) .

Tõestus 9

Tõestus toimub sarnaselt. M ja m loetakse suurimateks ja väikseim väärtus funktsioon y = f (x) , defineeritud lõigust [ a ; b ] , siis m ≤ f (x) ≤ M . Topeltvõrratus on vaja korrutada funktsiooniga y = g (x) , mis annab topeltvõrratuse väärtuse kujul m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) . See on vaja integreerida segmendile [ a ; b ] , siis saame tõestatava väite.

Tagajärg: Kui g (x) = 1, muutub ebavõrdsus m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b - a) .

Esimene keskmine valem

Definitsioon 10

Kui y = f (x) on integreeritav intervalliga [ a ; b ] kus m = m i n x ∈ a ; b f (x) ja M = m a x x ∈ a ; b f (x) on arv μ ∈ m ; M , mis sobib ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

Tagajärg: Kui funktsioon y = f (x) on pidev lõigust [ a ; b ] , siis on olemas selline arv c ∈ a ; b , mis rahuldab võrdsust ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a .

Keskmine keskmise väärtuse esimene valem üldistatud kujul

Definitsioon 11

Kui funktsioonid y = f (x) ja y = g (x) on lõigust [ a ; b ] kus m = m i n x ∈ a ; b f (x) ja M = m a x x ∈ a ; b f (x) ja g (x) > 0 iga x ∈ a väärtuse korral; b. Seega on olemas arv μ ∈ m ; M , mis rahuldab võrdsust ∫ a b f (x) g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .

Teine keskmise väärtuse valem

Definitsioon 12

Kui funktsioon y = f (x) on lõigust [ a ; b ] , ja y = g (x) on monotoonne, siis on arv, mis c ∈ a ; b , kus saame õiglase võrdsuse kujul ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter