Lineaarfunktsioon on funktsioon kujul y=kx+b, kus x on sõltumatu muutuja, k ja b on suvalised arvud.
Lineaarfunktsiooni graafik on sirgjoon.

1. Funktsioonigraafiku joonistamiseks vajame funktsiooni graafikusse kuuluva kahe punkti koordinaate. Nende leidmiseks peate võtma kaks x väärtust, asendama need funktsiooni võrrandiga ja arvutama nende põhjal vastavad y väärtused.

Näiteks funktsiooni y= x+2 joonistamiseks on mugav võtta x=0 ja x=3, siis on nende punktide ordinaadid võrdsed y=2 ja y=3. Saame punktid A(0;2) ja B(3;3). Ühendame need omavahel ja saame funktsiooni y= x+2 graafiku:

2. Valemis y=kx+b nimetatakse arvu k proportsionaalsusteguriks:
kui k>0, siis funktsioon y=kx+b suureneb
kui k
Koefitsient b näitab funktsiooni graafiku nihet piki OY-telge:
kui b>0, siis funktsiooni y=kx+b graafik saadakse funktsiooni y=kx graafikult, nihutades b ühikut mööda OY telge üles
kui b
Alloleval joonisel on toodud funktsioonide y=2x+3 graafikud; y = 1/2x+3; y=x+3

Pange tähele, et kõigis neis funktsioonides on koefitsient k Üle nulli, ja funktsioonid on suureneb. Veelgi enam, mida suurem on k väärtus, seda suurem on sirge kaldenurk OX-telje positiivse suuna suhtes.

Kõigis funktsioonides b=3 - ja näeme, et kõik graafikud lõikuvad OY teljega punktis (0;3)

Vaatleme nüüd funktsioonide y=-2x+3 graafikuid; y = - 1/2 x+3; y=-x+3

Seekord on kõigis funktsioonides koefitsient k vähem kui null ja funktsioonid vähenema. Koefitsient b=3 ja graafikud, nagu ka eelmisel juhul, ristuvad OY teljega punktis (0;3)

Vaatleme funktsioonide y=2x+3 graafikuid; y = 2x; y = 2x-3

Nüüd on kõigis funktsioonivõrrandites koefitsiendid k 2. Ja saime kolm paralleelset sirget.

Kuid koefitsiendid b on erinevad ja need graafikud lõikuvad OY teljega erinevates punktides:
Funktsiooni y=2x+3 (b=3) graafik ristub OY teljega punktis (0;3)
Funktsiooni y=2x (b=0) graafik ristub OY teljega punktis (0;0) - alguspunktis.
Funktsiooni y=2x-3 (b=-3) graafik ristub OY-teljega punktis (0;-3)

Seega, kui teame kordajate k ja b märke, siis võime kohe ette kujutada, milline näeb välja funktsiooni y=kx+b graafik.
Kui k 0

Kui k>0 ja b>0, siis näeb funktsiooni y=kx+b graafik välja selline:

Kui k>0 ja b, siis näeb funktsiooni y=kx+b graafik välja selline:

Kui k, siis näeb funktsiooni y=kx+b graafik välja selline:

Kui k = 0, siis muutub funktsioon y=kx+b funktsiooniks y=b ja selle graafik näeb välja järgmine:

Funktsiooni y=b graafiku kõigi punktide ordinaadid on võrdsed b Kui b = 0, siis funktsiooni y=kx (otsene proportsionaalsus) graafik läbib lähtepunkti:

3. Eraldi märgime ära võrrandi x=a graafiku. Selle võrrandi graafik on OY teljega paralleelne sirge, mille kõigi punktide abstsiss on x=a.

Näiteks võrrandi x=3 graafik näeb välja selline:
Tähelepanu! Võrrand x=a ei ole funktsioon, kuna argumendi üks väärtus vastab funktsiooni erinevatele väärtustele, mis ei vasta funktsiooni definitsioonile.

4. Kahe joone paralleelsuse tingimus:

Funktsiooni y=k 1 x+b 1 graafik on paralleelne funktsiooni y=k 2 x+b 2 graafikuga, kui k 1 =k 2

5. Tingimus, et kaks sirget oleksid risti:

Funktsiooni y=k 1 x+b 1 graafik on risti funktsiooni y=k 2 x+b 2 graafikuga, kui k 1 *k 2 =-1 või k 1 =-1/k 2

6. Funktsiooni y=kx+b graafiku lõikepunktid koordinaattelgedega.

OY teljega. Mis tahes OY-teljele kuuluva punkti abstsiss on võrdne nulliga. Seetõttu tuleb OY-teljega lõikepunkti leidmiseks funktsiooni võrrandis asendada x asemel null. Saame y=b. See tähendab, et lõikepunktil OY-teljega on koordinaadid (0;b).

X-teljega: iga x-teljesse kuuluva punkti ordinaat on null. Seetõttu tuleb OX-teljega lõikepunkti leidmiseks funktsiooni võrrandis asendada y asemel null. Saame 0=kx+b. Seega x=-b/k. See tähendab, et lõikepunktil OX-teljega on koordinaadid (-b / k; 0):

1. Lineaarne murdfunktsioon ja selle graafik

Funktsiooni kujul y = P(x) / Q(x), kus P(x) ja Q(x) on polünoomid, nimetatakse murdratsionaalfunktsiooniks.

Tõenäoliselt olete ratsionaalarvude mõistega juba tuttav. Samamoodi ratsionaalsed funktsioonid on funktsioonid, mida saab esitada kahe polünoomi jagatisena.

Kui murdosaline ratsionaalfunktsioon on kahe lineaarfunktsiooni jagatis - esimese astme polünoomid, s.o. vaatamise funktsioon

y = (ax + b) / (cx + d), siis nimetatakse seda murdosa lineaarseks.

Pange tähele, et funktsioonis y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (muidu muutub funktsioon lineaarseks y = ax/d + b/d) ja et a/c ≠ b/d (muidu funktsioon on konstant). Lineaar-murdfunktsioon on defineeritud kõigi reaalarvude jaoks, välja arvatud x = -d/c. Lineaar-murdfunktsioonide graafikud ei erine vormilt teile teadaolevast graafikust y = 1/x. Kutsutakse kõverat, mis on funktsiooni y = 1/x graafik hüperbool. Absoluutväärtuse x piiramatu suurenemise korral väheneb funktsioon y = 1/x absoluutväärtuses lõputult ja graafiku mõlemad harud lähenevad abstsissteljele: parempoolne läheneb ülalt, vasak aga alt. Sirgeid, millele hüperbooli harud lähenevad, nimetatakse selleks asümptoodid.

Näide 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

Lahendus.

Valime täisarvulise osa: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Nüüd on lihtne näha, et selle funktsiooni graafik saadakse funktsiooni y = 1/x graafikust järgmiste teisendustega: nihuta 3 ühikulist lõiku paremale, venita mööda Oy telge 7 korda ja nihuta 2 ühiku segmenti üles.

Samamoodi saab kirjutada mis tahes murdosa y = (ax + b) / (cx + d), tuues esile “tervikosa”. Järelikult on kõigi lineaar-murdfunktsioonide graafikud hüperboolid, mis on erineval viisil nihutatud piki koordinaattelge ja venitatud piki Oy telge.

Mõne suvalise graafiku koostamiseks lineaarne murdfunktsioon seda funktsiooni defineerivat murdosa pole üldse vaja teisendada. Kuna me teame, et graaf on hüperbool, siis piisab, kui leida sirged, millele selle harud lähenevad – hüperbooli asümptoodid x = -d/c ja y = a/c.

Näide 2

Leia funktsiooni y = (3x + 5)/(2x + 2) graafiku asümptoodid.

Lahendus.

Funktsioon ei ole defineeritud, kui x = -1. Seega toimib joon x = -1 vertikaalse asümptoodina. Horisontaalse asümptoodi leidmiseks uurime välja, millele lähenevad funktsiooni y(x) väärtused, kui argumendi x absoluutväärtus suureneb.

Selleks jagame murdosa lugeja ja nimetaja x-ga:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Nagu x → ∞, kipub murd olema 3/2. Seega on horisontaalne asümptoot sirge y = 3/2.

Näide 3

Joonistage funktsioon y = (2x + 1)/(x + 1).

Lahendus.

Valime murdosa "terve osa":

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Nüüd on lihtne näha, et selle funktsiooni graafik saadakse funktsiooni y = 1/x graafikust järgmiste teisendustega: nihe 1 ühiku võrra vasakule, sümmeetriline kuva Ox suhtes ja nihe 2 ühiku intervalliga üles mööda Oy telge.

Definitsioonipiirkond D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Väärtuste vahemikE(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Lõikepunktid telgedega: c Oy: (0; 1); c Härg: (-1/2; 0). Funktsioon suureneb igal definitsioonipiirkonna intervallil.

Vastus: joonis 1.

2. Murd-ratsionaalfunktsioon

Vaatleme murdarvulist ratsionaalfunktsiooni kujul y = P(x) / Q(x), kus P(x) ja Q(x) on esimesest kõrgema astme polünoomid.

Selliste ratsionaalsete funktsioonide näited:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) või y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Kui funktsioon y = P(x) / Q(x) on kahe esimesest kõrgema astme polünoomi jagatis, siis on selle graafik reeglina keerulisem ja selle täpne koostamine võib mõnikord olla keeruline. , koos kõigi üksikasjadega. Sageli piisab aga selliste tehnikate rakendamisest, millega oleme juba eespool kohtunud.

Olgu murd õige (n< m). Известно, что любую несократимую ratsionaalne murdosa saab esitada ja pealegi ainulaadsel viisil lõpliku arvu elementaarmurdude summana, mille vorm määratakse murdosa Q(x) nimetaja laiendamisega reaalsete tegurite korrutiseks:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Ilmselgelt saab murdarvulise ratsionaalfunktsiooni graafiku saada elementaarmurdude graafikute summana.

Murdarvuliste ratsionaalsete funktsioonide joonistamine

Mõelge mitmele murdosa-ratsionaalfunktsiooni joonistamise võimalusele.

Näide 4

Joonistage funktsioon y = 1/x 2 .

Lahendus.

Graafiku y \u003d 1 / x 2 joonistamiseks kasutame funktsiooni y \u003d x 2 graafikut ja kasutame graafikute "jagamise" meetodit.

Domeen D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Väärtuste vahemik E(y) = (0; +∞).

Telgedega ristumispunkte pole. Funktsioon on ühtlane. Suureneb kõigi x väärtuste puhul vahemikust (-∞; 0), väheneb x puhul 0-st +∞-ni.

Vastus: joonis 2.

Näide 5

Joonistage funktsioon y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Lahendus.

Domeen D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

Siin kasutasime lineaarseks funktsiooniks faktoriseerimise, vähendamise ja redutseerimise tehnikat.

Vastus: joonis 3.

Näide 6

Joonistage funktsioon y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Lahendus.

Definitsioonipiirkond on D(y) = R. Kuna funktsioon on paaris, on graafik y-telje suhtes sümmeetriline. Enne joonistamist teisendame avaldise uuesti, tõstes esile täisarvulise osa:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Pange tähele, et täisarvulise osa valimine murdratsionaalfunktsiooni valemis on graafikute joonistamisel üks peamisi.

Kui x → ±∞, siis y → 1, st. joon y = 1 on horisontaalne asümptoot.

Vastus: joonis 4.

Näide 7

Vaatleme funktsiooni y = x/(x 2 + 1) ja proovige leida täpselt selle suurim väärtus, s.t. enamus kõrgpunkt graafiku parem pool. Selle graafiku täpseks koostamiseks ei piisa tänapäeva teadmistest. On ilmne, et meie kõver ei saa väga kõrgele "ronida", kuna nimetaja hakkab kiiresti lugejast “mööda minema”. Vaatame, kas funktsiooni väärtus võib olla võrdne 1-ga. Selleks tuleb lahendada võrrand x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Sellel võrrandil pole reaalseid juuri. Seega on meie oletus vale. Et leida kõige rohkem suur tähtsus funktsiooni, peate välja selgitama, millise suurima A jaoks on võrrandil A \u003d x / (x 2 + 1) lahendus. Asendame algse võrrandi ruutvõrrandiga: Ax 2 - x + A = 0. Sellel võrrandil on lahend, kui 1 - 4A 2 ≥ 0. Siit leiame kõrgeim väärtus A = 1/2.

Vastus: Joonis 5, max y(x) = ½.

Kas teil on küsimusi? Kas te ei tea, kuidas funktsioonigraafikuid koostada?
Juhendaja abi saamiseks - registreeru.
Esimene tund on tasuta!

saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.

Teadmised põhilised elementaarfunktsioonid, nende omadused ja graafikud mitte vähem oluline kui korrutustabeli tundmine. Nad on nagu vundament, kõik põhineb neil, kõik on neist üles ehitatud ja kõik taandub neile.

Selles artiklis loetleme kõik peamised elementaarfunktsioonid, esitame nende graafikud ja esitame need ilma tuletamise ja tõenditeta. põhiliste elementaarfunktsioonide omadused vastavalt skeemile:

• funktsiooni käitumine definitsioonipiirkonna piiridel, vertikaalsed asümptoodid (vajadusel vt funktsiooni murdepunktide artikli klassifikatsiooni);
• paaris ja paaritu;
• kumerus (kumerus ülespoole) ja nõgusus (kumerus allapoole) intervallid, käändepunktid (vajadusel vt artiklifunktsiooni kumerus, kumerussuund, käändepunktid, kumerus ja käändetingimused);
• kaldus ja horisontaalsed asümptoodid;
• funktsioonide ainsuse punktid;
• erilised omadused mõned funktsioonid (näiteks trigonomeetriliste funktsioonide väikseim positiivne periood).

Kui olete huvitatud või, siis võite minna nendesse teooria osadesse.

Põhilised elementaarfunktsioonid on: konstantfunktsioon (konstant), n-nda astme juur, astmefunktsioon, eksponentsiaalfunktsioon, logaritmiline funktsioon, trigonomeetrilised ja pöördtrigonomeetrilised funktsioonid.

Leheküljel navigeerimine.

Püsiv funktsioon.

Konstantne funktsioon on antud kõigi reaalarvude hulgale valemiga , kus C on mingi reaalarv. Konstantfunktsioon omistab igale sõltumatu muutuja x reaalväärtusele sõltuva muutuja y sama väärtuse – väärtuse С. Konstantset funktsiooni nimetatakse ka konstandiks.

Konstantse funktsiooni graafik on x-teljega paralleelne sirge, mis läbib punkti koordinaatidega (0,C) . Näiteks näitame konstantsete funktsioonide y=5 , y=-2 ja graafikuid, mis alloleval joonisel vastavad vastavalt mustale, punasele ja sinisele joonele.

Konstantse funktsiooni omadused.

• Määratluspiirkond: reaalarvude kogum.
• Konstantne funktsioon on ühtlane.
• Väärtuste vahemik: komplekt, mis koosneb ainsus KOOS .
• Konstantne funktsioon on mittekasvav ja mittekahanev (sellepärast on see konstantne).
• Konstandi kumerusest ja nõgususest pole mõtet rääkida.
• Asümptooti pole.
• Funktsioon läbib koordinaattasandi punkti (0,C).

N-nda astme juur.

Vaatleme põhielementaarfunktsiooni, mis on antud valemiga , kus n on naturaalarv, suurem kui üks.

N-nda astme juur n on paarisarv.

Alustame n-nda juurfunktsiooniga juureksponenti n paarisväärtuste jaoks.

Näiteks anname pildi koos funktsioonide graafikute piltidega ja , need vastavad mustale, punasele ja sinisele joonele.

Funktsioonide juur graafikud on sarnase kujuga. ühtlane aste indikaatori muude väärtuste juures.

N-nda astme juure omadused paarisarvu n korral.

N-nda astme juur n on paaritu arv.

N-nda astme juurfunktsioon, mille juure n paaritu astendaja on defineeritud kogu reaalarvude hulgas. Näiteks esitame funktsioonide graafikud ja , neile vastavad must, punane ja sinine kõverad.

Teiste juureksponenti paaritute väärtuste korral on funktsiooni graafikud sarnased.

N-nda astme juurfunktsiooni omadused paaritu n korral.

Toitefunktsioon.

Võimsusfunktsioon on antud vormi valemiga .

Vaatleme astmefunktsiooni graafikute tüüpi ja astefunktsiooni omadusi sõltuvalt astendaja väärtusest.

Alustame astmefunktsiooniga täisarvu astendajaga a . Sel juhul sõltuvad astmefunktsioonide graafikute vorm ja funktsioonide omadused paaris või paaritu astendajast, samuti selle märgist. Seetõttu käsitleme esmalt astmefunktsioone eksponendi a paaritute positiivsete väärtuste jaoks, seejärel paaris positiivsete väärtuste jaoks, seejärel paaritute negatiivsete eksponentide jaoks ja lõpuks paaritute negatiivsete a jaoks.

Murd- ja irratsionaalastendajatega astmefunktsioonide omadused (samuti selliste astmefunktsioonide graafikute tüüp) sõltuvad astendaja a väärtusest. Vaatleme neid esiteks siis, kui a on nullist üheni, teiseks, kui a on suurem kui üks, kolmandaks, kui a on miinus ühest nullini ja neljandaks, kui a on väiksem kui miinus üks.

Selle alajao lõpetuseks kirjeldame täielikkuse huvides nullastendajaga astmefunktsiooni.

Paaritu positiivse eksponendiga võimsusfunktsioon.

Vaatleme paaritu positiivse eksponendiga astmefunktsiooni, st a=1,3,5,… .

Alloleval joonisel on kujutatud võimsusfunktsioonide graafikud - must joon, - sinine joon, - punane joon, - roheline joon. Meil on a=1 jaoks lineaarne funktsioon y=x.

Paaritu positiivse eksponendiga astmefunktsiooni omadused.

Võimsusfunktsioon isegi positiivse astendajaga.

Vaatleme paaris positiivse eksponendiga astmefunktsiooni, st a=2,4,6,… korral.

Näitena võtame astmefunktsioonide graafikud - must joon, - sinine joon, - punane joon. Kui a=2 on meil ruutfunktsioon, mille graafik on ruutparabool.

Ühtlase positiivse eksponendiga astmefunktsiooni omadused.

Võimsusfunktsioon paaritu negatiivse eksponendiga.

Vaadake eksponentsiaalfunktsiooni graafikuid eksponendi paaritute negatiivsete väärtuste jaoks, st = -1, -3, -5, ....

Joonisel on näidetena eksponentsiaalfunktsioonide graafikud - must joon, - sinine joon, - punane joon, - roheline joon. Meil on a=-1 jaoks pöördvõrdelisus , mille graafik on hüperbool.

Paaritu negatiivse eksponendiga astmefunktsiooni omadused.

Võimsusfunktsioon ühtlase negatiivse astendajaga.

Liigume edasi võimsusfunktsiooni juurde, kus a=-2,-4,-6,….

Joonisel on võimsusfunktsioonide graafikud - must joon, - sinine joon, - punane joon.

Paari negatiivse eksponendiga astmefunktsiooni omadused.

Ratsionaalse või irratsionaalse astendajaga astmefunktsioon, mille väärtus on suurem kui null ja väiksem kui üks.

Märge! Kui a on paaritu nimetajaga positiivne murd, siis mõned autorid peavad intervalli astmefunktsiooni domeeniks. Samas on sätestatud, et astendaja a on taandamatu murd. Nüüd EI MÄÄRATA paljude algebra õpikute ja analüüsi algusaegade autorid argumendi negatiivsete väärtuste jaoks astmefunktsioone astendajaga murdosa kujul, millel on paaritu nimetaja. Peame kinni just sellisest vaatest, st loeme hulgaks positiivsete astendajatega astmefunktsioonide valdkondi. Eriarvamuste vältimiseks julgustame õpilasi selle peene punkti kohta oma õpetaja vaatenurgast aru saama.

Vaatleme astmefunktsiooni ratsionaalse või irratsionaalse astendajaga a ja .

Esitame võimsusfunktsioonide graafikud a=11/12 (must joon), a=5/7 (punane joon), (sinine joon), a=2/5 (roheline joon) jaoks.

Positiivne funktsioon, mille mittetäisarvuline ratsionaalne või irratsionaalne astendaja on suurem kui üks.

Vaatleme võimsusfunktsiooni mittetäisarvulise ratsionaalse või irratsionaalse astendajaga a , ja .

Esitame valemitega antud astmefunktsioonide graafikud (vastavalt mustad, punased, sinised ja rohelised jooned).

>

Astendaja a teiste väärtuste puhul on funktsiooni graafikud sarnased.

Võimsusfunktsiooni omadused .

Positiivne funktsioon, mille tegelik astendaja on suurem kui miinus üks ja väiksem kui null.

Märge! Kui a on paaritu nimetajaga negatiivne murd, siis mõned autorid arvestavad intervalliga . Samas on sätestatud, et astendaja a on taandamatu murd. Nüüd EI MÄÄRATA paljude algebra õpikute ja analüüsi algusaegade autorid argumendi negatiivsete väärtuste jaoks astmefunktsioone astendajaga murdosa kujul, millel on paaritu nimetaja. Peame kinni just sellisest vaatest, st arvestame hulgaks vastavalt murdosa negatiivsete eksponentide astmefunktsioonide valdkondi. Eriarvamuste vältimiseks julgustame õpilasi selle peene punkti kohta oma õpetaja vaatenurgast aru saama.

Liigume võimsusfunktsioonile , kus .

Selleks, et saada hea ettekujutus võimsusfunktsioonide graafikute tüübist, toome näiteid funktsioonide graafikutest (vastavalt mustad, punased, sinised ja rohelised kõverad).

Astendiga a , astmefunktsiooni omadused.

Positiivne funktsioon, mille mittetäisarvuline reaalastendaja on väiksem kui miinus üks.

Toome näiteid võimsusfunktsioonide graafikutest , on need kujutatud vastavalt musta, punase, sinise ja rohelise joonega.

Positiivse astme funktsiooni omadused, mille mittetäisarv negatiivne astendaja on väiksem kui miinus üks.

Kui a=0 ja meil on funktsioon - see on sirgjoon, millest punkt (0; 1) on välja jäetud (avaldis 0 0 lepiti kokku, et mitte mingit tähtsust omistada).

Eksponentfunktsioon.

Üks põhilisi elementaarfunktsioone on eksponentsiaalfunktsioon.

Ajakava eksponentsiaalne funktsioon, kus ja võtab erinevat tüüpi sõltuvalt aluse väärtusest a. Selgitame välja.

Esiteks kaaluge juhtumit, kui eksponentsiaalfunktsiooni alus võtab väärtuse nullist üheni, see tähendab .

Näiteks esitame eksponentsiaalfunktsiooni graafikud a = 1/2 - sinine joon, a = 5/6 - punane joon. Eksponentfunktsiooni graafikud on sarnase välimusega ka teiste aluse väärtuste jaoks vahemikust .

Eksponentfunktsiooni omadused, mille alus on väiksem kui üks.

Pöördume juhtumi juurde, kui eksponentsiaalfunktsiooni alus on suurem kui üks, st .

Näitena esitame eksponentsiaalfunktsioonide graafikud - sinine joon ja - punane joon. Teiste aluse väärtuste puhul, mis on suuremad kui üks, on eksponentsiaalfunktsiooni graafikud sarnased.

Ühest suurema baasiga eksponentsiaalfunktsiooni omadused.

Logaritmiline funktsioon.

Järgmine põhielementaarfunktsioon on logaritmiline funktsioon , kus , . Logaritmiline funktsioon on määratletud ainult argumendi positiivsete väärtuste jaoks, see tähendab .

Ajakava logaritmiline funktsioon võtab erineva kuju olenevalt aluse a väärtusest.

Alustame juhtumist, kui .

Näiteks esitame logaritmilise funktsiooni graafikud a = 1/2 - sinine joon, a = 5/6 - punane joon. Teiste aluse väärtuste puhul, mis ei ületa ühte, on logaritmilise funktsiooni graafikud sarnased.

Logaritmilise funktsiooni omadused, mille alus on väiksem kui üks.

Liigume edasi juhtumi juurde, kui logaritmilise funktsiooni alus on suurem kui üks ().

Näitame logaritmiliste funktsioonide graafikuid - sinine joon, - punane joon. Teiste aluse väärtuste puhul, mis on suuremad kui üks, on logaritmilise funktsiooni graafikud sarnased.

Logaritmilise funktsiooni omadused, mille alus on suurem kui üks.

Trigonomeetrilised funktsioonid, nende omadused ja graafikud.

Kõik trigonomeetrilised funktsioonid (siinus, koosinus, puutuja ja kotangens) on põhilised elementaarfunktsioonid. Nüüd käsitleme nende graafikuid ja loetleme nende omadused.

Trigonomeetrilistel funktsioonidel on kontseptsioon perioodilisus(funktsiooni väärtuste kordus kell erinevad väärtused argumendid, mis erinevad üksteisest perioodi väärtuse poolest , kus T on punkt), seetõttu on trigonomeetriliste funktsioonide omaduste loendisse lisatud üksus "väikseim positiivne periood". Samuti näitame iga trigonomeetrilise funktsiooni jaoks argumendi väärtused, mille juures vastav funktsioon kaob.

Nüüd tegeleme kõigiga trigonomeetrilised funktsioonid korras.

Siinusfunktsioon y = sin(x) .

Joonistame siinusfunktsiooni graafiku, seda nimetatakse "sinusoidiks".

Siinusfunktsiooni y = sinx omadused.

Koosinusfunktsioon y = cos(x) .

Koosinusfunktsiooni graafik (seda nimetatakse "koosinusteks") näeb välja selline:

Koosinusfunktsiooni omadused y = cosx .

Puutujafunktsioon y = tg(x) .

Puutujafunktsiooni graafik (seda nimetatakse "tangentoidiks") näeb välja järgmine:

Funktsiooni omaduste puutuja y = tgx .

Kootangensfunktsioon y = ctg(x) .

Joonistame kotangentse funktsiooni graafiku (seda nimetatakse "kotangentoidiks"):

Kootangentsi funktsiooni omadused y = ctgx .

Pöördtrigonomeetrilised funktsioonid, nende omadused ja graafikud.

Peamised elementaarfunktsioonid on trigonomeetrilised pöördfunktsioonid (arksiinus, arkosiinus, arkotangens ja arkotangens). Tihti nimetatakse eesliite "kaar" tõttu trigonomeetrilisi pöördfunktsioone kaarefunktsioonideks. Nüüd käsitleme nende graafikuid ja loetleme nende omadused.

Artsinusfunktsioon y = arcsin(x) .

Joonistame arsiinuse funktsiooni:

Funktsiooni omadused arkotangens y = arcctg(x) .

Bibliograafia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra ja analüüsi algus: Proc. 10-11 raku jaoks. õppeasutused.
• Vygodsky M.Ya. Algmatemaatika käsiraamat.
• Novoselov S.I. Algebra ja elementaarfunktsioonid.
• Tumanov S.I. Algebra algebra. Juhend eneseharimiseks.

Riiklik Teadusülikool

Rakendusgeoloogia osakond

Essee kõrgemast matemaatikast

Teemal: "Põhilised elementaarfunktsioonid,

nende omadused ja graafikud"

Lõpetatud:

Kontrollitud:

õpetaja

Definitsioon. Valemiga y=a x antud funktsiooni (kus a>0, a≠1) nimetatakse eksponentsiaalfunktsiooniks, mille alus on a.

Sõnastame eksponentsiaalfunktsiooni peamised omadused:

1. Määratluspiirkond on kõigi reaalarvude hulk (R).

2. Väärtuste vahemik on kõigi positiivsete reaalarvude hulk (R+).

3. Kui a > 1, suureneb funktsioon kogu reaalreal; kell 0<а<1 функция убывает.

4. Kas üldfunktsioon.

, intervallil xО [-3;3] , intervallil xО [-3;3]

Funktsiooni kujul y(х)=х n , kus n on arv ОR, nimetatakse astmefunktsiooniks. Arv n võib omandada erinevaid väärtusi: nii täis- kui murdosa, nii paaris kui paaritu. Sõltuvalt sellest on toitefunktsioonil erinev vorm. Mõelge erijuhtudele, mis on võimsusfunktsioonid ja kajastavad seda tüüpi kõverate põhiomadusi järgmises järjekorras: võimsusfunktsioon y \u003d x² (paaris eksponendiga funktsioon - parabool), võimsusfunktsioon y \u003d x³ (funktsioon paaritu astendajaga - kuupparabool) ja funktsioon y \u003d √ x (x astmeni ½) (fraktsioonilise astendajaga funktsioon), negatiivse täisarvu astendajaga funktsioon (hüperbool).

Toitefunktsioon y=x²

1. D(x)=R – funktsioon on defineeritud kogu arvteljel;

2. E(y)= ja suureneb intervallil

Toitefunktsioon y=x³

1. Funktsiooni y \u003d x³ graafikut nimetatakse kuupparabooliks. Võimsusfunktsioonil y=x³ on järgmised omadused:

2. D(x)=R – funktsioon on defineeritud kogu arvteljel;

3. E(y)=(-∞;∞) – funktsioon võtab kõik väärtused oma definitsioonipiirkonnas;

4. Kui x=0 y=0 – funktsioon läbib lähtepunkti O(0;0).

5. Funktsioon suureneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses.

6. Funktsioon on paaritu (sümmeetriline lähtekoha suhtes).

, intervallil xн [-3;3]

Olenevalt x³ ees olevast arvtegurist võib funktsioon olla järsk / tasane ja suurendada / vähendada.

Negatiivse täisarvuga astmefunktsioon:

Kui astendaja n on paaritu, siis nimetatakse sellise astmefunktsiooni graafikut hüperbooliks. Negatiivse täisarvu eksponendiga võimsusfunktsioonil on järgmised omadused:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) mis tahes n korral;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), kui n on paaritu arv; E(y)=(0;∞), kui n on paarisarv;

3. Funktsioon väheneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses, kui n on paaritu arv; funktsioon suureneb intervallil (-∞;0) ja väheneb intervallil (0;∞), kui n on paarisarv.

4. Funktsioon on paaritu (algukoha suhtes sümmeetriline), kui n on paaritu arv; funktsioon on isegi siis, kui n on paarisarv.

5. Funktsioon läbib punkte (1;1) ja (-1;-1), kui n on paaritu arv ning punkte (1;1) ja (-1;1), kui n on paarisarv.

, intervallil xн [-3;3]

Võimsusfunktsioon murdosaastendajaga

Kuju (pilt) murdosalise astendajaga astmefunktsioonil on joonisel näidatud funktsiooni graafik. Murdarvulise astendajaga astmefunktsioonil on järgmised omadused: (pilt)

1. D(x) ОR, kui n on paaritu arv ja D(x)= , intervallil xО , intervallil xО [-3;3]

Logaritmilisel funktsioonil y \u003d log a x on järgmised omadused:

1. Definitsioonipiirkond D(x)н (0; + ∞).

2. Väärtuste vahemikE(y) О (- ∞; + ∞)

3. Funktsioon ei ole paaris ega paaritu (üldine).

4. Funktsioon suureneb intervalli (0; + ∞) võrra, kui a > 1, väheneb (0; + ∞) kui 0< а < 1.

Funktsiooni y = log a x graafiku saab funktsiooni y = a x graafikult, kasutades sümmeetriateisendust sirge y = x ümber. Joonisel 9 on kujutatud logaritmilise funktsiooni graafik > 1 ja joonisel 10 0 korral< a < 1.

; intervallil xн ; intervallil xО

Funktsioone y \u003d sin x, y \u003d cos x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x nimetatakse trigonomeetrilisteks funktsioonideks.

Funktsioonid y \u003d sin x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x on paaritud ja funktsioon y \u003d cos x on paaris.

Funktsioon y \u003d sin (x).

1. Määratluspiirkond D(x) ОR.

2. Väärtuste vahemik E(y) О [ - 1; 1].

3. Funktsioon on perioodiline; põhiperiood on 2π.

4. Funktsioon on paaritu.

5. Funktsioon suureneb intervallidel [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] ja väheneb intervallidel [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

Funktsiooni y \u003d sin (x) graafik on näidatud joonisel 11.

Funktsioonid ja nende graafikud on koolimatemaatika üks põnevamaid teemasid. Kahju ainult, et ta möödub... tundidest ja õpilastest. Keskkoolis pole tema jaoks kunagi piisavalt aega. Ja need funktsioonid, mis toimuvad 7. klassis - lineaarfunktsioon ja parabool - on liiga lihtsad ja lihtsad, et näidata kõiki huvitavaid ülesandeid.

Funktsioonide graafikute koostamise oskus on vajalik matemaatikaeksami parameetritega seotud ülesannete lahendamiseks. See on ülikooli matemaatilise analüüsi kursuse üks esimesi teemasid. See on nii oluline teema, et me ühtse riigieksami stuudios viime Moskvas ja veebis läbi spetsiaalseid intensiivkursusi keskkooliõpilastele ja õpetajatele. Ja sageli ütlevad osalejad: "Kahju, et me seda varem ei teadnud."

Kuid see pole veel kõik. Funktsiooni mõistest saab alguse tõeline, “täiskasvanute” matemaatika. Lõppude lõpuks liitmine ja lahutamine, korrutamine ja jagamine, murrud ja proportsioonid - see on ikkagi aritmeetika. Avaldisteisendused on algebra. Ja matemaatika on teadus mitte ainult arvude, vaid ka suuruste seoste kohta. Funktsioonide ja graafikute keel on arusaadav füüsikule, bioloogile ja majandusteadlasele. Ja nagu Galileo Galilei ütles, "Looduse raamat on kirjutatud matemaatika keeles".

Täpsemalt ütles Galileo Galilei nii: "Matemaatika on tähestik, mille järgi Issand joonistas universumi."

Ülevaatavad teemad:

1. Joonistage funktsiooni graafik

Tuttav väljakutse! Need kohtusid OGE valikud matemaatika. Seal peeti neid raskeks. Kuid siin pole midagi keerulist.

Lihtsustame funktsiooni valemit:

Funktsioonigraafik – läbilöögipunktiga sirgjoon

2. Joonistage funktsiooni graafik

Valime funktsiooni valemis täisarvulise osa:

Funktsiooni graafik on hüperbool, mis on nihutatud x-is 3 võrra paremale ja y-s 2 võrra ülespoole ning mis on funktsiooni graafikuga võrreldes venitatud 10 korda

Kogu osa valik - kasulik tehnika kasutatakse võrratuste lahendamisel, graafikute koostamisel ja täisarvude hindamisel arvude ja nende omadustega seotud ülesannetes. Temaga kohtute ka esimesel aastal, kui peate võtma integraale.

3. Joonistage funktsiooni graafik

See saadakse funktsiooni graafikult, venitades 2 korda, pöörates vertikaalselt ja nihutades 1 vertikaalselt üles

4. Joonistage funktsiooni graafik

Peaasi on õige toimingute jada. Kirjutame funktsiooni valemi mugavamal kujul:

Tegutseme järjekorras:

1) Nihuta funktsiooni y=sinx graafik vasakule;

2) pigistage 2 korda horisontaalselt,

3) venitada 3 korda vertikaalselt,

4) liigu 1 võrra üles

Nüüd koostame mitu murdosa ratsionaalsete funktsioonide graafikut. Et paremini mõista, kuidas me seda teeme, lugege artiklit „Function Behavior at Infinity. Asümptoodid".

5. Joonistage funktsiooni graafik

Funktsiooni ulatus:

Funktsiooni nullid: ja

Sirge x = 0 (y-telg) on ​​funktsiooni vertikaalne asümptoot. Asümptoot- sirgjoon, millele funktsiooni graafik läheneb lõpmatult lähedale, kuid ei lõiku sellega ega sulandu sellega (vt teemat "Funktsiooni käitumine lõpmatuses. Asümptoodid")

Kas meie funktsiooni jaoks on muid asümptoote? Selle väljaselgitamiseks vaatame, kuidas funktsioon käitub, kui x läheb lõpmatuseni.

Avame funktsiooni valemis sulud:

Kui x läheb lõpmatuseni, siis läheb see nulli. Sirge on funktsiooni graafiku kaldu asümptoot.

6. Joonistage funktsiooni graafik

See on murdosaline ratsionaalne funktsioon.

Funktsiooni ulatus

Funktsiooni nullid: punktid - 3, 2, 6.

Funktsiooni märgi püsivuse intervallid määratakse intervallide meetodil.

Vertikaalsed asümptoodid:

Kui x kaldub lõpmatuseni, siis y kipub olema 1. Seega on horisontaalne asümptoot.

Siin on graafiku visand:

Veel üks huvitav tehnika on graafikute lisamine.

7. Joonistage funktsiooni graafik

Kui x kaldub lõpmatuseni, läheneb funktsiooni graafik lõpmatult lähedale kaldu asümptoodile

Kui x kaldub nulli, siis funktsioon käitub järgmiselt: Seda näeme graafikul:

Seega oleme koostanud funktsioonide summa graafiku. Nüüd töögraafik!

8. Joonistage funktsiooni graafik

Selle funktsiooni domeeniks on positiivsed arvud, kuna defineeritakse ainult positiivne x

Funktsiooni väärtused on nullis (kui logaritm on null), samuti punktides, kus st.

Kui , on väärtus (cos x) võrdne ühega. Funktsiooni väärtus nendes punktides on võrdne

9. Joonistage funktsiooni graafik

Funktsioon on defineeritud väärtusele See on paaris, kuna see on kahe paaritu funktsiooni korrutis ja Graafik on y-telje suhtes sümmeetriline.

Funktsiooni nullpunktid asuvad punktides, kus, st at

Kui x läheb lõpmatuseni, läheb nulli. Aga mis juhtub, kui x kipub olema null? Nii x kui ka sin x jäävad ju järjest väiksemaks. Kuidas reamees käitub?

Selgub, et kui x kipub nulli, siis kipub see üheni. Matemaatikas nimetatakse seda väidet "Esimeseks tähelepanuväärseks piiriks".

Aga kuidas on tuletisega? Jah, lõpuks jõudsime kohale. Tuletis aitab funktsioone täpsemalt joonistada. Leidke nendest punktidest maksimaalsed ja minimaalsed punktid ning funktsioonide väärtused.

10. Joonistage funktsiooni graafik

Funktsiooni ulatus on kõik reaalarvud, kuna

Funktsioon on veider. Selle graafik on lähtekoha suhtes sümmeetriline.

Kui x=0 on funktsiooni väärtus võrdne nulliga. Funktsiooni väärtused on positiivsed, jaoks negatiivsed.

Kui x läheb lõpmatuseni, siis läheb see nulli.

Leiame funktsiooni tuletise
Jagatise tuletise valemi järgi

Kui või

Punktis muudab tuletis märgi "miinus" asemel "pluss", mis on funktsiooni miinimumpunkt.

Punktis muudab tuletis märgi "plussist" "miinusseks" - funktsiooni maksimumpunktiks.

Leiame funktsiooni väärtused x=2 ja x=-2.

Funktsioonigraafikuid on mugav koostada kindla algoritmi ehk skeemi järgi. Kas mäletate, et õppisite seda koolis?

Funktsiooni graafiku koostamise üldskeem:

1. Funktsiooni ulatus

2. Funktsiooni väärtuste vahemik

3. Paaris – paaritu (kui on)

4. Sagedus (kui on)

5. Funktsiooni nullpunktid (punktid, kus graafik ristub koordinaatide telgedega)

6. Funktsiooni püsivuse intervallid (st intervallid, mille puhul see on rangelt positiivne või rangelt negatiivne).

7. Asümptoodid (kui neid on).

8. Funktsiooni käitumine lõpmatuses

9. Funktsiooni tuletis

10. Suurenemise ja kahanemise intervallid. Kõrged ja madalad punktid ning väärtused nendes punktides.