Kahe kompleksarvu korrutis on sarnane kahe reaalarvu korrutisega, nimelt: korrutist peetakse arvuks, mis koosneb korrutistest, nii nagu tegur koosneb ühest. Mooduliga r ja argumendiga j kompleksarvule vastava vektori saab saada ühikvektorist, mille pikkus on üks ja mille suund langeb kokku OX-telje positiivse suunaga, pikendades seda koefitsiendiga r ja pöörates seda positiivses suunas. suund nurga j võrra. Mõne vektori a 1 ja vektori a 2 korrutis on vektor, mis saadakse, kui rakendada vektorile a 1 pikendamist ja pööramist, mille abil saadakse vektor a 2 ühikvektorist ja viimane ilmselgelt vastab reaalsele ühikule. Kui (r 1 , ? 1), (r 2 , ? 2) on kompleksarvude moodulid ja argumendid, mis vastavad vektoritele a 1 ja a 2 , siis nende vektorite korrutis vastab ilmselgelt kompleksarvule mooduliga r 1 r 2 ja argument (j1 + j2). Seega on kahe kompleksarvu korrutis selline kompleksarv, mille moodul on võrdne tegurite moodulite korrutisega ja argument on tegurite argumentide summa.

Kui kompleksarvud kirjutatakse trigonomeetrilises vormis, on meil olemas

r 1 (cos? 1 + i sin? 1) * r 2 (cos? 2 + i sin? 2) = r 1 r 2.

Juhul (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = x + yi, kasutades moodulite ja tegurite argumentide tähistust, saame kirjutada:

a 1 = r 1 cos? 1 ; b 1 \u003d r 1 patt? 1 ; a 2 = r 2 cos? 2; b 2 \u003d r 2 patt? 2;

korrutamise definitsiooni järgi:

x = r 1 r 2 cos(? 1 + ? 2); y = r 1 r 2 sin(? 1 + ? 2),

x = r 1 r 2 (cos? 1 cos? 2 - sin? 1 sin? 2) = = r 1 cos? 1 r 2 cos? 2 - r 1 patt? 1 r 2 patt? 2 = a 1 a 2 - b 1 b 2

y = r 1 r 2 (sin? 1 cos? 2 + cos? 1 sin? 2) = = r 1 sin? 1 r 2 cos? 2 + r1 hind? 1 r 2 patt? 2 \u003d b 1 a 2 + a 1 b 2,

ja lõpuks saame:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2) i.

Juhul b 1 = b 2 = 0 on teguriteks reaalarvud a 1 ja a 2 ning korrutis taandatakse nende arvude korrutiseks a 1 a 2. Millal

a 1 = a 2 = 0 ja b 1 = b 2 = 1,

võrdus (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)I annab: i???i = i 2 = -1, st. imaginaarse ühiku ruut on -1. Arvutades i järjestikuste positiivsete täisarvude astmed, saame:

i 2 \u003d -1; i 3 \u003d -i; i4 = 1; i 5 = i; i 6 = -1; ...

ja üldiselt iga positiivse k puhul:

i 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+2 = -1; i 4k+3 = -i

Võrdsusega (a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) \u003d (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2) väljendatud korrutamisreegel ma saan sõnastada järgmiselt: kompleksarvud tuleb korrutada nagu literaalsed polünoomid, lugedes i 2 = -1.

Ülaltoodud valemitest järeldub otseselt, et kompleksarvude liitmine ja korrutamine alluvad kommutatsiooniseadusele, s.o. summa ei sõltu terminite järjekorrast ja korrutis ei sõltu tegurite järjekorrast. Järgmiste identiteetidega väljendatud assotsiatiivsete ja distributiivsete seaduste kehtivust pole keeruline kontrollida:

(? 1 + ? 2) + ? 3 = ? 1 + (? 2 + ? 3); (? 1 ? 2)? 3 = ? 1 (? 2 ? 3); (? 1 + ? 2)? = ? 1 ? + ? 2 ? .

Mitme teguri korrutisel on moodul, mis on võrdne tegurite moodulite korrutisega, ja argument, mis on võrdne tegurite argumentide summaga. Seega on kompleksarvude korrutis võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga.

Näide: antud kompleksarvud z 1 = 2 + 3i, z 2 = 5 - 7i. Leia:

a) z1 + z2; b) z1 - z2; c) z 1 z 2 .

a) z 1 + z 2 \u003d (2 + 3i) + (5 - 7i) \u003d 2 + 3i + 5 - 7i \u003d (2 + 5) + (3i - 7i) \u003d 7 - 4i; b) z 1 - z 2 \u003d (2 + 3i) - (5 - 7i) \u003d 2 + 3i - 5 + 7i \u003d (2 - 5) + (3i + 7i) \u003d - 3 + 10i; c) z 1 z 2 \u003d (2 + 3i) (5 - 7i) \u003d 10 - 17i + 15i - 21i 2 \u003d 10 - 14i + 15i + 21 \u003d (10 + 1 i) 4 + 1 ) \u003d 31 + i (siin võetakse arvesse, et i 2 = - 1).

Näide: tehke järgmist:

a) (2 + 3i) 2; b) (3-5i) 2; c) (5 + 3i) 3.

a) (2 + 3i) 2 = 4 + 2 × 2 × 3i + 9i 2 = 4 + 12i - 9 = - 5 + 12i; b) (3 - 5i) 2 \u003d 9 - 2H3H5i + 25i 2 = 9 - 30i - 25 \u003d - 16 - 30i; c) (5 + 3i) 3 \u003d 125 + 3 × 25 × 3i + 3 × 5 × 9i 2 + 27i 3; kuna i 2 \u003d - 1 ja i 3 \u003d - i, saame (5 + 3i) 3 \u003d 125 + 225i - 135 - - 27i \u003d - 10 + 198i.

Näide: tehke toiminguid

a) (5 + 3i) (5 - 3i); b) (2 + 5i) (2 - 5i); c) (1 + i) (1 - i).

a) (5 + 3i) (5 - 3i) = 5 2 - (3i) 2 = 25 - 9i 2 = 25 + 9 = 34; b) (2 + 5i) (2 - 5i) = 2 2 - (5i) 2 = 4 + 25 = 29; c) (1 + i) (1 - i) = 1 2 - i 2 = 1 + 1 = 2.

Kompleksarv on arv kujul , kus ja on reaalarvud, nn kujuteldav ühik. Numbrile helistatakse pärisosa () kompleksarv, numbrit kutsutakse kujuteldav osa () kompleksarv.

Kompleksarvud kuvatakse keeruline lennuk:

Nagu eespool mainitud, on tavaks tähistada reaalarvude kogumit tähega. Trobikond sama kompleksarvud on tavaks tähistada seda "paksu" või paksendatud tähena. Seetõttu tuleks joonisele panna täht, mis tähistab asjaolu, et meil on keeruline tasapind.

Kompleksarvu algebraline vorm. Kompleksarvude liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine

Kompleksarvude liitmine

Kahe kompleksarvu liitmiseks lisage nende tegelik ja imaginaarne osa:

z 1 + z 2 = (a 1 + a 2) + i* (b 1 + b 2).

Kompleksarvude puhul kehtib esimese klassi reegel: z 1 + z 2 \u003d z 2 + z 1 - summa ei muutu terminite ümberpaigutamisel.

Kompleksarvude lahutamine

Toiming sarnaneb liitmisega, ainuke omadus on see, et alamjaotus tuleb võtta sulgudes ja seejärel avada need sulud tavaliselt märgivahetusega:

z 1 + z 2 \u003d (a 1 - a 2) + i * (b 1 - b 2)

Kompleksarvude korrutamine

Kompleksarvude põhivõrdsus:

Kompleksarvude korrutis:

z 1 * z 2 = (a 1 + i*b 1)* (a 2 + i*b 2) = a 1 *a 2 + a 1 *i*b 2 + a 2 *i*b 1 + i 2 *b 1 *b 2 = a 1 * a 2 - b 1 * b 2 + i* (a 1 * b 2 + a 2 * b 1).

Nagu summa, on ka kompleksarvude korrutis muutlik, st võrdsus on tõene: .

Kompleksarvude jagamine

Numbrite jagamine viiakse läbi korrutades nimetaja ja lugeja nimetaja konjugaatlausega.

2 küsimus. keeruline lennuk. Kompleksarvude moodul ja argumendid

Iga kompleksarvu z = a + i*b saab seostada punktiga koordinaatidega (a;b) ja vastupidi, iga punkti koordinaatidega (c;d) saab seostada kompleksarvuga w = c + i* d . Seega luuakse tasandi punktide ja kompleksarvude hulga vahel üks-ühele vastavus. Seetõttu saab kompleksarve esitada tasapinna punktidena. Tavaliselt nimetatakse tasapinda, millele kompleksarvud joonistatakse keeruline lennuk.

Kuid sagedamini kujutatakse kompleksarve vektorina, mille alguspunkt on punktis O, nimelt kompleksarvu z \u003d a + i * b esindab punkti raadiusvektor koordinaatidega (a; b). Sel juhul on eelmise näite kompleksarvude pilt järgmine:

Kahe kompleksarvu summa kujutis on vektor, mis võrdub numbreid ja tähistavate vektorite summaga. Ehk siis kompleksarvude liitmisel liidetakse ka neid esindavad vektorid.

Olgu kompleksarv z = a + i*b esindatud raadiusvektoriga. Siis nimetatakse selle vektori pikkust moodul arv z ja seda tähistatakse |z| .

Arvu raadiusvektori poolt teljega moodustatud nurka nimetatakse argument numbrid ja seda tähistatakse arg z . Arvurgumenti ei määratleta üheselt, vaid kuni kordse . Tavaliselt antakse argument aga vahemikus 0 või vahemikus -to. Lisaks pole arvu argumenti määratletud.

Seda seost kasutades saate leida kompleksarvu argumendi:

pealegi kehtib esimene valem, kui arvu kujutis on esimeses või neljandas veerandis, ja teine, kui see on teises või kolmandas. Kui , siis kompleksarvu kujutab vektor Oy teljel ja selle argument on /2 või 3*/2.

Võtame veel ühe kasulik valem. Olgu z = a + i*b . Siis ,

Keerulised numbrid- see on meile tuttava reaalarvude hulga minimaalne laiendus. Nende põhimõtteline erinevus seisneb selles, et ilmub element, mis ruudus annab -1, s.t. mina või .

Igal kompleksarvul on kaks osa: tegelik ja kujuteldav:

Seega on selge, et reaalarvude hulk langeb kokku nulli imaginaarosaga kompleksarvude hulgaga.

Kõige populaarsem kompleksarvude komplekti mudel on tavaline tasapind. Iga punkti esimene koordinaat on selle reaalosa ja teine ​​​​- kujuteldav. Siis on kompleksarvude endi rolliks vektorid, mille algus on punktis (0,0).

Tehted kompleksarvudega.

Tegelikult, kui võtta arvesse kompleksarvude hulga mudelit, on intuitiivselt selge, et kahe kompleksarvu liitmine (lahutamine) ja korrutamine toimub samamoodi nagu vastavad toimingud vektoritega. Ja see tähendab vektorprodukt vektorid, sest selle toimingu tulemuseks on jällegi vektor.

1.1 Lisamine.

(Nagu näete, vastab see toiming täpselt )

1.2 Lahutamine, tehakse samamoodi vastavalt järgmisele reeglile:

2. Korrutamine.

3. Jaotus.

Seda defineeritakse lihtsalt kui korrutamise pöördoperatsiooni.

trigonomeetriline vorm.

Kompleksarvu z moodul on järgmine suurus:

,

on ilmne, et see on jällegi lihtsalt vektori (a,b) moodul (pikkus).

Kõige sagedamini tähistatakse kompleksarvu moodulit kui ρ.

Selgub, et

z = ρ(cosφ+isinφ).

Alljärgnev tuleneb otseselt kompleksarvu kirjutamise trigonomeetrilisest vormist. valemid :

Viimast valemit nimetatakse De Moivre'i valem. Valem tuletatakse otse sellest. kompleksarvu n-s juur:

seega on kompleksarvul z n n-ndat juurt.

Kui kompleksarvude liitmist ja lahutamist on mugavam teha algebralisel kujul, siis korrutamist ja jagamist on lihtsam teha kompleksarvude trigonomeetrilise vormi abil.

Võtke kaks suvalist kompleksarvu, mis on antud trigonomeetrilisel kujul:

Korrutades need arvud, saame:

Aga trigonomeetria valemite järgi

Seega, kui kompleksarvud korrutatakse, korrutatakse nende moodulid ja argumendid

kokku liitma. Kuna sel juhul teisendatakse moodulid eraldi ja argumendid eraldi, on trigonomeetrilises vormis korrutamine lihtsam kui algebralises vormis.

Võrrand (1) viitab järgmistele seostele:

Kuna jagamine on korrutamise pöördväärtus, saame selle

Teisisõnu jagatise moodul on võrdne suhtega dividendi ja jagaja moodulid ning jagatise argument on dividendi ja jagaja argumentide vahe.

Räägime nüüd kompleksarvude korrutamise geomeetrilisest tähendusest. Valemid (1) - (3) näitavad, et korrutise leidmiseks peate esmalt suurendama arvu moodulit selle argumenti muutmata ja seejärel suurendama saadud arvu argumenti selle moodulit muutmata. Esimene neist tehtetest tähendab geomeetriliselt homoteetsust punkti O suhtes koefitsiendiga ja teine ​​- pöörlemist punkti O suhtes nurga võrra, mis on võrdne nurgaga Võttes arvesse, et siin on üks tegur konstantne ja teine ​​muutuv, saame sõnastada. tulemus on järgmine: valem

Me defineerime kahe kompleksarvu korrutise samamoodi nagu reaalarvude korrutist, nimelt: korrutist peetakse arvuks, mis koosneb korrutistest, nagu tegur koosneb ühtsusest.

Mooduli ja argumendiga kompleksarvule vastava vektori saab ühikvektorist, mille pikkus on võrdne ühega ja mille suund langeb kokku OX-telje positiivse suunaga, pikendades seda teguri võrra ja pöörates positiivses suunas nurga järgi

Teatud vektori korrutise all vektoriga peame silmas vektorit, mis saadakse, kui vektorile rakendada ülaltoodud laiendust ja pöörlemist, mille abil saadakse vektor ühikvektorist ja viimane vastab ilmselgelt tõeline üksus.

Kui sisuks on vektoritele vastavad kompleksarvude moodulid ja argumendid, siis nende vektorite korrutis vastab ilmselgelt kompleksarvule mooduli ja argumendiga . Seega jõuame kompleksarvude korrutise järgmise definitsioonini:

Kahe kompleksarvu korrutis on selline kompleksarv, mille moodul on võrdne tegurite moodulite korrutisega ja argument on tegurite argumentide summa.

Seega juhul, kui kompleksarvud on kirjutatud trigonomeetrilisel kujul, saame

Nüüd tuletame korrutise koostamise reegli juhuks, kui kompleksarvud pole antud trigonomeetrilisel kujul:

Kasutades ülaltoodud moodulite ja tegurite argumentide tähistust, saame kirjutada

vastavalt korrutamise määratlusele (6):

ja lõpuks saame

Sel juhul on tegurid reaalarvud ja korrutis taandatakse nende arvude korrutiseks ahag. Juhul, kui võrdsus (7) annab

st mõttelise ühiku ruut on

Järjestikuste positiivsete täisarvude võimsuste arvutamisel saame

ja üldiselt iga positiivse täisarvu kohta

Võrdsusega (7) väljendatud korrutamisreegli võib sõnastada järgmiselt: kompleksarvud tuleb korrutada literaalsete polünoomidena, arvestades

Kui a on kompleksarv, siis nimetatakse kompleksarvu a konjugaadiks ja seda tähistatakse tähega a. Vastavalt valemitele (3) tuleneb võrdsusest (7).

ja järelikult,

st konjugeeritud kompleksarvude korrutis on võrdne nende igaühe mooduli ruuduga.

Märgime ka ilmsed valemid

Valemitest (4) ja (7) tuleneb otseselt, et kompleksarvude liitmine ja korrutamine alluvad kommutatsiooniseadusele, st summa ei sõltu liikmete järjekorrast ja korrutis ei sõltu tegurite järjekorrast . Järgmiste identiteetidega väljendatud assotsiatiivsete ja distributiivsete seaduste kehtivust pole keeruline kontrollida:

Jätame selle lugeja hooleks.

Lõpuks pange tähele, et mitme teguri korrutis on moodul, mis on võrdne tegurite moodulite korrutisega, ja argument, mis on võrdne tegurite argumentide summaga. Seega on kompleksarvude korrutis võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga.