Kahe arvu suhe

Definitsioon 1

Kahe arvu suhe on nende privaatne.

Näide 1

suhet $18$ kuni $3$ saab kirjutada järgmiselt:

18 $\div 3=\frac(18)(3)=6$.

suhet $ 5 $ ja $ 15 $ saab kirjutada järgmiselt:

$5\div 15=\frac(5)(15)=\frac(1)(3)$.

Kasutades kahe arvu suhe saab näidata:

• mitu korda on üks arv teisest suurem;
• millist osa üks number teisest esindab.

Kahe arvu suhte koostamisel murdosa nimetajas pane kirja arv, millega võrdlus tehakse.

Kõige sagedamini järgneb selline arv sõnadele "võrreldes ..." või eessõnale "kuni ...".

Tuletage meelde murru põhiomadus ja rakendage seda seosele:

Märkus 1

Korrutades või jagades seose mõlemad liikmed sama arvuga, mis ei ole null, saame suhte, mis on võrdne algse arvuga.

Vaatleme näidet, mis illustreerib kahe arvu suhte mõiste kasutamist.

Näide 2

Eelmise kuu sademete hulk oli $195$ mm ja käesoleval kuul - $780$ mm. Kui palju on käesoleva kuu sademete hulk eelmise kuuga võrreldes suurenenud?

Lahendus.

Koostage jooksva kuu sademete hulga ja eelmise kuu sademete hulga suhe:

$\frac(780)(195)=\frac(780\div 5)(195\div 5)=\frac(156\div 3)(39\div 3)=\frac(52)(13)=4 $.

Vastus: käesoleva kuu sademete hulk on $4$ korda suurem kui eelmisel kuul.

Näide 3

Leia, mitu korda sisaldub arv $1 \frac(1)(2)$ arvus $13 \frac(1)(2)$.

Lahendus.

13 $ \frac(1)(2)\div 1 \frac(1)(2)=\frac(27)(2)\div \frac(3)(2)=\frac(27)(2) \cdot \frac(2)(3)=\frac(27)(3)=9$.

Vastus: $9$ korda.

Proportsiooni mõiste

2. definitsioon

Proportsioon nimetatakse kahe suhte võrdsuseks:

$a\div b=c\div d$

$\frac(a)(b)=\frac(c)(d)$.

Näide 4

$3\div 6=9\div 18$, $5\div 15=9\div 27$, $4\div 2=24\div 12$,

$\frac(8)(2)=\frac(36)(9)$, $\frac(10)(40)=\frac(9)(36)$, $\frac(15)(75)= \frac(1)(5)$.

Suhtes $\frac(a)(b)=\frac(c)(d)$ (või $a:b = c\div d$) nimetatakse numbreid a ja d äärmuslikud liikmed proportsioonid, samas kui numbrid $b$ ja $c$ on keskmised liikmed proportsioonid.

Õige proportsiooni saab teisendada järgmiselt:

Märkus 2

Õige proportsiooni äärmiste liikmete korrutis on võrdne keskmiste liikmete korrutisega:

$a \cdot d=b \cdot c$.

See väide on proportsiooni põhiomadus.

Tõsi on ka vastupidine:

Märkus 3

Kui proportsiooni äärmiste liikmete korrutis on võrdne selle keskmiste liikmete korrutisega, on proportsioon õige.

Märkus 4

Kui keskmised või äärmuslikud terminid on õiges proportsioonis ümber paigutatud, on õiged ka saadavad proportsioonid.

Näide 5

$6\div 3=18\div 9$, $15\div 5=27\div 9$, $2\div 4=12\div 24$,

$\frac(2)(8)=\frac(9)(36)$, $\frac(40)(10)=\frac(36)(9)$, $\frac(75)(15)= \frac(5)(1)$.

Seda omadust kasutades on proportsioonist lihtne leida tundmatu termin, kui ülejäänud kolm on teada:

$a=\frac(b \cdot c)(d)$; $b=\frac(a \cdot d)(c)$; $c=\frac(a \cdot d)(b)$; $d=\frac(b \cdot c)(a)$.

Näide 6

$\frac(6)(a)=\frac(16)(8)$;

6 $ \cdot 8=16 \cdot a$;

$16 \cdot a=6 \cdot 8$;

16 $ \cdot a=48 $;

$a=\frac(48)(16)$;

Näide 7

$\frac(a)(21)=\frac(8)(24)$;

$a \cdot 24=21 \cdot 8$;

$a \cdot 24=168$;

$a=\frac(168)(24)$;

3 dollarit aednik – 108 dollarit puud;

$x$ aednikud – $252$ puu.

Teeme proportsiooni:

$\frac(3)(x)=\frac(108)(252)$.

Kasutame proportsiooni tundmatu liikme leidmiseks reeglit:

$b=\frac(a \cdot d)(c)$;

$x=\frac(3 \cdot 252)(108)$;

$x=\frac(252)(36)$;

Vastus: Aednikel kulub 252 dollari eest puude lõikamiseks 7 dollarit.

Kõige sagedamini kasutatakse proportsiooni omadusi praktikas matemaatilistes arvutustes juhtudel, kui on vaja arvutada proportsiooni tundmatu liikme väärtus, kui ülejäänud kolme liikme väärtused on teada.

Proportsioon – kahe suhte võrdsus, st vormi võrdsus a:b = c:d , või muus tähistuses võrdsus

Kui a : b = c : d, See a Ja d helistas äärmuslik, A b Ja c - keskmineliikmed proportsioonid.

“Proportsioonist” ei pääse, see on paljude ülesannete puhul asendamatu. On ainult üks väljapääs - selle suhtega hakkama saada ja kasutada proportsiooni elupäästjana.

Enne proportsiooniprobleemide käsitlemist on oluline meeles pidada proportsiooni põhireeglit:

proportsioonis

äärmiste liikmete korrutis on võrdne keskmise korrutisega

Kui mõni proportsiooni väärtus on teadmata, on selle reegli alusel lihtne leida.

Näiteks,

See tähendab, et proportsiooni tundmatu väärtus - murdosa väärtus, nimetajas mis on tundmatu väärtuse vastas olev arv , lugejas - proportsiooni ülejäänud liikmete korrutis (olenemata sellest, kus see tundmatu väärtus asub).

Ülesanne 1.

21 kg puuvillaseemnest saadi 5,1 kg õli. Kui palju õli saadakse 7 kg puuvillaseemnest?

Lahendus:

Mõistame, et seemne massi vähenemine mitmekordselt toob kaasa saadud õli massi vähenemise sama palju. See tähendab, et kogused on otseselt seotud.

Täidame tabeli:

Tundmatu väärtus - murdosa väärtus, mille nimetajas - 21 - tabelis tundmatule vastandväärtus, lugejas - tabeli ülejäänud osade korrutis.

Seega saame, et 7 kg seemnest tuleb 1,7 kg õli.

To Õige täitke tabel, on oluline meeles pidada reeglit:

Üksteise alla tuleb kirjutada identsed nimed. Protsentide alla kirjutame protsendid, kilogrammi alla kilogrammid jne.

2. ülesanne.

Teisenda radiaanideks.

Lahendus:

Me teame seda . Täidame tabeli:

Vastus:

3. ülesanne.

Ruudulisel paberil on kujutatud ring. Kui suur on ringi pindala, kui varjutatud sektori pindala on 27?

Lahendus:

Selgelt on näha, et varjutamata sektor vastab nurgale juures (näiteks kuna sektori küljed moodustavad kahe kõrvuti asetseva täisnurga poolitajad). Ja kuna kogu ring on , siis moodustab varjutatud sektor .

Teeme tabeli:

Kust tuleb ringi pindala?

Vastus:

4. ülesanne.Pärast seda, kui 82% kogu põllust oli küntud, jäi künda 9 hektarit. Kui suur on kogu põllu pindala?

Lahendus:

Kogu põld on 100% ja kuna 82% on küntud, siis 100%-82%=18% põllust jääb künda.

Täida tabel:

Kust me võtame, et kogu põld on (ha).

Vastus:

Ja järgmine ülesanne on varitsusega.

5. ülesanne.

Kahe linna vahelise vahemaa läbib reisirong kiirusega 80 km/h 3 tunniga. Mitu tundi kulub kaubarongil sama vahemaa läbimiseks kiirusega 60 km/h?

Lahendus:

Kui lahendate selle probleemi samamoodi nagu eelmine, saate järgmise:

aeg, mis kulub kaubarongil reisirongiga sama vahemaa läbimiseks, on tunde. See tähendab, et selgub, et väiksema kiirusega sõites ületab see (samal ajal) vahemaa kiiremini kui suurema kiirusega rong.

Mis on arutlusviga?

Siiani oleme kaalunud probleeme seal, kus kogused olid üksteisega otseselt proportsionaalsed , see on kõrgus samas suurusjärgus teatud summa võrra, annab kõrgus teine ​​suurus, mis on sellega seotud sama palju kordi (sarnaselt muidugi kahanemisega). Ja siin on meil teistsugune olukord: reisirongi kiirus rohkem kaubarongi kiirus mitmekordselt, kuid sama vahemaa läbimiseks kuluvat aega nõuab reisirong vähem sama palju kui kaubarong. See tähendab väärtusi üksteisele pöördvõrdeline .

Skeemi, mida oleme seni kasutanud, tuleb antud juhul veidi muuta.

Lahendus:

Arutleme järgmiselt:

Reisirong sõitis 3 tundi kiirusega 80 km/h, seega sõitis km. See tähendab, et kaubarong läbib sama vahemaa ühe tunniga.

See tähendab, et kui me peaksime moodustama proportsiooni, oleksime pidanud kõigepealt parema veeru lahtrid vahetama. Oleks saanud:

Vastus:.

Sellepärast, palun olge proportsioonide koostamisel ettevaatlik. Esiteks mõelge välja, millise sõltuvusega teil on tegemist – otsese või vastupidise sõltuvusega.

Seadistage proportsioon. Selles artiklis tahan teiega rääkida proportsioonidest. Et mõista, mis on proportsioon, osata seda koostada - see on väga oluline, see säästab tõesti. See näib olevat väike ja tähtsusetu “täht” matemaatika suures tähestikus, kuid ilma selleta on matemaatika määratud labaseks ja alaväärtuslikuks.Esiteks lubage mul teile meelde tuletada, mis on proportsioon. See on vormi võrdsus:

mis on sama (see on erinev tähistusvorm).

Näide:

Öeldakse, et üks on kahele, neli on kaheksale. See tähendab, et see on kahe seose võrdsus (selles näites on seosed numbrilised).

Peamine proportsioonireegel:

a:b=c:d

äärmiste liikmete korrutis on võrdne keskmise korrutisega

see on

a∙d=b∙c

*Kui mõni proportsiooni väärtus on teadmata, saab selle alati leida.

Kui võtame arvesse vormi kirje vormi:

siis võite kasutada järgmist reeglit, seda nimetatakse "risti reegliks": diagonaalselt seisvate elementide (arvude või avaldiste) korrutiste võrdsus kirjutatakse

a∙d=b∙c

Nagu näete, on tulemus sama.

Kui proportsiooni kolm elementi on teada, siisme võime alati leida neljanda.

See on kasu ja vajaduse olemusproportsioonid probleemide lahendamisel.

Vaatame kõiki võimalusi, kus tundmatu väärtus x on proportsiooni "suvalises kohas", kus a, b, c on arvud:

Diagonaalil seisev väärtus x-st kirjutatakse murdosa nimetajasse ja diagonaalil olevad teadaolevad väärtused kirjutatakse lugejasse korrutisena. Seda pole vaja pähe õppida, arvutate kõik õigesti, kui olete omandanud põhilise proportsioonireegli.

Nüüd artikli pealkirjaga seotud põhiküsimus. Millal proportsioon päästab ja kus seda kasutatakse? Näiteks:

1. Esiteks on need ülesanded huvi pärast. Arutasime neid artiklites "" ja "".

2. Paljud valemid on antud proportsioonidena:

> siinusteoreem

> elementide suhe kolmnurgas

> tangensiteoreem

> Thalese teoreem ja teised.

3. Geomeetria ülesannetes on (teiste elementide) külgede või alade suhe sageli seatud tingimusesse, näiteks 1:2, 2:3 ja teised.

4. Mõõtühikute teisendamine ja proportsiooni kasutatakse ühikute teisendamiseks nii ühes mõõdus kui ka mõõtühikute teisendamiseks:

tundidest minutiteni (ja vastupidi).

mahuühikud, pindala.

— pikkused, näiteks miilid kilomeetrid (ja vastupidi).

kraadid radiaanidesse (ja vastupidi).

siin ilma proportsiooni koostamata on hädavajalik.

Peamine punkt on see, et peate kirjavahetuse õigesti looma, kaaluge lihtsaid näiteid:

On vaja kindlaks määrata arv, mis on 35% 700-st.

Protsentuaalsete ülesannete puhul võetakse väärtus, millega me võrdleme, 100%. Tähistame tundmatut arvu x-ga. Paneme kokku:

Võime öelda, et seitsesada kolmkümmend viis vastab 100 protsendile.

X vastab 35 protsendile. Tähendab,

700 – 100%

x - 35%

Meie otsustame

Vastus: 245

Teisendage 50 minutit tundideks.

Teame, et üks tund vastab 60 minutile. Tähistame kirjavahetust -x tundi on 50 minutit. Tähendab

1 – 60

x - 50

Otsustame:

See tähendab, et 50 minutit on viis kuuendikku tunnist.

Vastus: 5/6

Nikolai Petrovitš sõitis 3 kilomeetrit. Kui palju see on miilides (pange tähele, et 1 miil on 1,6 km)?

Teame, et 1 miil on 1,6 kilomeetrit. Võtame Nikolai Petrovitši läbitud miilide arvu x. Saame sobitada:

Üks miil vastab 1,6 kilomeetrile.

X miili on kolm kilomeetrit.

1 – 1,6

x - 3

Vastus: 1875 miili

Teate, et kraadide radiaanideks teisendamiseks (ja vastupidi) on olemas valemid. Ma ei kirjuta neid üles, sest arvan, et nende päheõppimine on üleliigne ja seega tuleb palju infot mälus hoida. Kui kasutate proportsiooni, saate alati kraadid radiaanideks teisendada (ja vastupidi).

Teisendage 65 kraadi radiaanideks.

Peamine asi, mida meeles pidada, on see, et 180 kraadi on Pi radiaanid.

Tähistame soovitud väärtuse kui x. Seadke vaste.

Sada kaheksakümmend kraadi vastab Pi radiaanile.

Kuuskümmend viis kraadi vastab x radiaanile. uuri artiklit sellel blogi teemal. Materjal on esitatud veidi teistmoodi, kuid põhimõte on sama. Ma lõpetan sellega. Kindlasti tuleb midagi huvitavamat, ärge jätke seda ilma!

Kui meenutada matemaatika definitsiooni, siis see sisaldab järgmisi sõnu: matemaatika uurib kvantitatiivseid seoseid (RELATIONSHIPS).- võtmesõna siin). Nagu näete, sisaldab matemaatika määratlus proportsiooni. Üldiselt matemaatika ilma proportsioonita pole matemaatika!!!

Kõike paremat!

Lugupidamisega Aleksander

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.

Proportsiooni valem

Proportsioon on kahe suhte võrdsus, kui a:b=c:d

suhe 1 : 10 on võrdne suhtega 7 : 70, mille saab kirjutada ka murdena: 1 10 = 7 70 kõlab: "üks on kümneni, nagu seitse on seitsekümmend"

Proportsiooni põhiomadused

Äärmusliikmete korrutis on võrdne keskmiste liikmete korrutisega (risti): kui a:b=c:d , siis a⋅d=b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

Proportsioonide inversioon: kui a:b=c:d , siis b:a=d:c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

Keskmiste liikmete permutatsioon: kui a:b=c:d , siis a:c=b:d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

Äärmusliikmete permutatsioon: kui a:b=c:d , siis d:b=c:a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

Ühe tundmatuga proportsiooni lahendamine | Võrrand

1 : 10 = x : 70 või 1 10 = x 70

x leidmiseks peate korrutama kaks teadaolevat arvu risti ja jagama vastupidise väärtusega

x = 1 ⋅ 70 10 = 7

Kuidas proportsiooni arvutada

Ülesanne: peate jooma 1 tablett aktiivsütt 10 kilogrammi kehakaalu kohta. Mitu tabletti tuleks võtta, kui inimene kaalub 70 kg?

Teeme proportsiooni: 1 tablett - 10 kg x tabletid - 70 kg x leidmiseks peate korrutama kaks teadaolevat arvu risti ja jagama vastupidise väärtusega: 1 tablett x tabletid✕ 10 kg 70 kg x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 Vastus: 7 tabletti

Ülesanne: Vasya kirjutab kaks artiklit viie tunni jooksul. Mitu artiklit ta 20 tunni jooksul kirjutab?

Teeme proportsiooni: 2 artiklit - 5 tundi x artiklid - 20 tundi x = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 Vastus: 8 artiklit

Tulevastele koolilõpetajatele võin öelda, et proportsioonide tegemise oskus tuli mulle kasuks nii piltide proportsionaalseks vähendamiseks kui ka veebilehe HTML küljenduses ja igapäevastes olukordades.