1. Keresse meg az eredeti mátrix determinánsát! Ha , akkor a mátrix degenerált, és nincs inverz mátrix. Ha, akkor a mátrix nem szinguláris, és létezik inverz mátrix.

2. Keresse meg a transzponált mátrixot.

3. Megkeressük az elemek algebrai komplementereit, és belőlük összeállítjuk az adjungált mátrixot.

4. Az inverz mátrixot a képlet szerint állítjuk össze.

5. Ellenőrizzük az inverz mátrix számításának helyességét, annak definíciója alapján:.

Példa. Keresse meg az adott mátrix inverzét: .

Megoldás.

1) Mátrix determináns

.

2) Megkeressük a mátrixelemek algebrai komplementereit, és összeállítjuk belőlük az adjunkt mátrixot:

3) Számítsa ki az inverz mátrixot:

,

4) Ellenőrizze:

№4Mátrix rang. Mátrixsorok lineáris függetlensége

Számos matematikai és alkalmazott probléma megoldásához és tanulmányozásához fontos a mátrix rangjának fogalma.

Egy méretű mátrixban tetszőleges sorok és oszlopok törlésével elválaszthatóak a th-edrendű négyzetes részmátrixok, ahol. Az ilyen részmátrixok determinánsait ún a mátrix harmadrendű minorjai .

Például mátrixokból 1, 2 és 3 rendű részmátrixok nyerhetők.

Meghatározás. Egy mátrix rangja ennek a mátrixnak a legmagasabb rendű nem nulla kisebbsége. Megnevezés: ill.

A definícióból a következő:

1) Egy mátrix rangja nem haladja meg a legkisebb méretét, azaz.

2) akkor és csak akkor, ha a mátrix minden eleme nulla, azaz.

3) Egy n rendű négyzetmátrixhoz akkor és csak akkor, ha a mátrix nem szinguláris.

Mivel a mátrix összes lehetséges minorjának közvetlen felsorolása a legnagyobb mérettől kezdve nehéz (időigényes), ezért a mátrix olyan elemi transzformációit alkalmazzuk, amelyek megőrzik a mátrix rangját.

Elemi mátrix transzformációk:

1) A nulla sor (oszlop) elutasítása.

2) Egy sor (oszlop) összes elemének szorzása egy számmal.

3) A mátrix sorainak (oszlopainak) sorrendjének megváltoztatása.

4) Egy sor (oszlop) minden eleméhez hozzá kell adni egy másik sor (oszlop) megfelelő elemeit, tetszőleges számmal megszorozva.

5) Mátrix transzponálás.

Meghatározás. Egy mátrixból elemi transzformációkkal kapott mátrixot ekvivalensnek nevezünk és jelöljük A BAN BEN.

Tétel. Egy mátrix rangja nem változik az elemi mátrix transzformáció során.

Az elemi transzformációk segítségével a mátrixot az úgynevezett lépésformába hozhatjuk, amikor a rangjának kiszámítása nem nehéz.

Egy mátrixot lépcsős mátrixnak nevezünk, ha a következő formában van:

Nyilvánvaló, hogy egy lépésmátrix rangja megegyezik a nem nulla sorok számával, mert van egy kisebb-edik sorrend, ami nem egyenlő nullával:

.

Példa. Határozza meg a mátrix rangját elemi transzformációk segítségével!

Egy mátrix rangja megegyezik a nullától eltérő sorok számával, azaz. .

№5Mátrixsorok lineáris függetlensége

Adott egy méretmátrix

A mátrix sorait a következőképpen jelöljük:

A két sort ún egyenlő ha a megfelelő elemeik egyenlőek. .

Bemutatjuk a karakterlánc számmal való szorzásának és a karakterláncok hozzáadásának műveleteit elemenként végrehajtott műveletként:

Meghatározás. Egy sort mátrixsorok lineáris kombinációjának nevezünk, ha egyenlő e sorok tetszőleges valós számokkal (bármilyen számokkal) képzett szorzatainak összegével:

Meghatározás. A mátrix sorait ún lineárisan függő , ha vannak olyan számok, amelyek egyidejűleg nem egyenlők nullával, úgy, hogy a mátrixsorok lineáris kombinációja egyenlő a nulla sorral:

Ahol . (1.1)

A mátrix sorainak lineáris függése azt jelenti, hogy a mátrix legalább 1 sora a többi lineáris kombinációja.

Meghatározás. Ha a sorok lineáris kombinációja (1.1) akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha minden együttható , akkor a sorok ún. lineárisan független .

Mátrix rangtétel . Egy mátrix rangja megegyezik a lineárisan független sorok vagy oszlopok maximális számával, amelyen keresztül az összes többi sor (oszlop) lineárisan kifejeződik.

A tétel alapvető szerepet játszik a mátrixelemzésben, különösen a rendszerek tanulmányozásában lineáris egyenletek.

№6Lineáris egyenletrendszer megoldása ismeretlenekkel

A közgazdaságtanban széles körben alkalmazzák a lineáris egyenletrendszereket.

A változókkal rendelkező lineáris egyenletrendszer a következőképpen alakul:

,

ahol () tetszőleges számokat hívunk változók együtthatói És szabad egyenlettagok , ill.

Rövid bejegyzés: ().

Meghatározás. A rendszer megoldása egy olyan értékhalmaz, amelynek behelyettesítésekor a rendszer minden egyenlete valódi egyenlőséggé válik.

1) Az egyenletrendszert ún közös ha van legalább egy megoldása, és összeegyeztethetetlen ha nincs megoldása.

2) Az együttes egyenletrendszert ún bizonyos ha egyedi megoldása van, és bizonytalan ha egynél több megoldása van.

3) Két egyenletrendszert nevezünk egyenértékű (egyenértékű ) , ha ugyanaz a megoldáshalmaz (például egy megoldás).

inverz mátrix az adottnál ez egy olyan mátrix, az eredeti szorzata, amivel az azonosságmátrixot kapjuk: Kötelező ill. elégséges állapot az inverz mátrix jelenléte az eredeti determináns nullával való egyenlőtlensége (ami viszont azt jelenti, hogy a mátrixnak négyzetesnek kell lennie). Ha egy mátrix determinánsa egyenlő nullával, akkor degeneráltnak nevezzük, és egy ilyen mátrixnak nincs inverze. A felsőbb matematikában az inverz mátrixok fontosak, és számos probléma megoldására használják őket. Például on az inverz mátrix megtalálása egyenletrendszerek megoldására mátrixos módszert készítenek. Szervizoldalunk lehetővé teszi mátrix inverz kiszámítása online két módszer: a Gauss-Jordan módszer és az algebrai összeadások mátrixának használata. Az első nagyszámú elemi transzformációt jelent a mátrixon belül, a második - a determináns kiszámítását és az összes elem algebrai összeadását. Egy mátrix determinánsának online kiszámításához használhatja másik szolgáltatásunkat - Mátrix determinánsának online kiszámítása

.

Keresse meg az inverz mátrixot az oldalon

weboldal lehetővé teszi, hogy megtalálja inverz mátrix online gyors és ingyenes. Az oldalon szervizünk számításokat végez, és eredményt jelenít meg részletes megoldással a megtaláláshoz inverz mátrix. A szerver mindig csak a pontos és helyes választ ad. Feladatokban definíció szerint inverz mátrix online, szükséges, hogy a determináns mátrixok különben különbözött a nullától weboldal jelenteni fogja az inverz mátrix megtalálásának lehetetlenségét, mivel az eredeti mátrix determinánsa egyenlő nullával. Feladat keresése inverz mátrix a matematika számos ágában megtalálható, az algebra egyik legalapvetőbb fogalma és matematikai eszköz az alkalmazott problémák megoldásában. Független inverz mátrix definíció jelentős erőfeszítést, sok időt, számításokat és nagy körültekintést igényel, hogy ne csússzon vagy csússzon el egy kis hiba a számításokban. Ezért szolgáltatásunk az inverz mátrix megtalálása online nagyban megkönnyíti a feladatát, és a megoldás elengedhetetlen eszközévé válik matematikai feladatok. Még ha te keresse meg az inverz mátrixot saját magának, javasoljuk, hogy ellenőrizze a megoldást a szerverünkön. Adja meg eredeti mátrixát a Calculate Inverse Matrix Online oldalunkon, és ellenőrizze válaszát. Rendszerünk soha nem téved, és talál inverz mátrix adott dimenzió a módban online azonnal! Az oldalon weboldal karakter bejegyzések megengedettek az elemekben mátrixok, ebben az esetben inverz mátrix onlineáltalános szimbolikus formában kerül bemutatásra.

ALGEBRAI KIEGÉSZÍTÉSEK ÉS KISOROK

Legyen egy harmadrendű determináns: .

Kisebb ennek az elemnek felel meg aij harmadrendű determináns az adottból annak a sornak és oszlopnak a törlésével kapott másodrendű determináns, amelynek metszéspontjában az adott elem áll, azaz. én-edik sor és j-adik oszlop. Adott elemnek megfelelő minorok aij fogjuk jelölni M ij.

Például, kisebb M12 elemnek megfelelő egy 12, lesz meghatározó , amelyet az 1. sor és a 2. oszlop törlésével kapunk az adott determinánsból.

Így a harmadrendű determinánst meghatározó formula azt mutatja, hogy ez a determináns egyenlő az 1. sor elemei és a hozzájuk tartozó mellékelemek szorzatának összegével; míg az elemnek megfelelő moll egy 12, a „–” jellel veszik, azaz. ezt lehet írni

.

(1)

Hasonlóképpen bevezethetjük a kiskorúak definícióit a másodrendű és magasabb rendű determinánsok számára.

Mutassunk be még egy fogalmat.

Algebrai összeadás elem aij determinánst minornak nevezzük M ij szorozva (–1) i+j .

Algebrai elemösszeadás aij jelöljük A ij.

A definícióból azt kapjuk, hogy egy elem algebrai komplementere és mollja közötti kapcsolatot az egyenlőség fejezi ki. A ij= (–1) i+j M ij .

Például,

Példa. Adott egy meghatározó. megtalálja A 13, A 21, A 32.

Könnyen belátható, hogy az elemek algebrai összeadásával az (1) képlet a következőképpen írható fel:

Ehhez a képlethez hasonlóan megkaphatjuk a determináns dekompozícióját bármely sor vagy oszlop elemeire.

Például a determináns bontása a 2. sor elemei között a következőképpen érhető el. A determináns 2. tulajdonsága szerint a következőkkel rendelkezünk:

Bővítsük ki a kapott determinánst az 1. sor elemeivel.

.

(2)

Innen mert a (2) képlet másodrendű determinánsai az elemek minorjai 21, 22, 23. Így , azaz. megkaptuk a determináns kiterjesztését a 2. sor elemeivel.

Hasonlóképpen megkaphatjuk a determináns bontását a harmadik sor elemeire. A determinánsok 1. tulajdonságának felhasználásával (transzpozíciónál) kimutatható, hogy hasonló kiterjesztések érvényesek az oszlopelemek bővítésére is.

Így igaz a következő tétel.

Tétel (egy adott sorban vagy oszlopban a determináns bővítéséről). A determináns egyenlő bármely sora (vagy oszlopa) elemeinek és algebrai komplementereinek szorzatával.

A fentiek mindegyike igaz bármely magasabb rendű determinánsra.

Példák.

INVERZ MÁTRIX

Az inverz mátrix fogalmát csak azért vezették be négyzetes mátrixok.

Ha A akkor négyzetmátrix fordított számára a mátrix egy mátrix, amelyet jelölünk A-1és a feltétel kielégítése . (Ezt a meghatározást a számok szorzásával analóg módon vezetjük be)

Az inverz mátrix megtalálása egy folyamat, amely meglehetősen egyszerű lépésekből áll. De ezek a műveletek olyan gyakran ismétlődnek, hogy a folyamat meglehetősen hosszadalmas. A legfontosabb dolog az, hogy ne veszítse el a figyelmet a döntés meghozatalakor.

A leggyakoribb módszer - algebrai összeadások - megoldásához szüksége lesz:

A példák megoldása során ezeket a műveleteket részletesebben elemezzük. Addig is nézzük meg, mit mond az inverz mátrix elmélet.

Mert inverz mátrix találó analógia van egy szám reciprokával. Minden számhoz a, ami nem egyenlő nullával, létezik egy szám b hogy a munka aÉs b egyenlő eggyel: ab= 1. Szám b egy szám reciprokának nevezzük b. Például a 7-es szám inverze az 1/7, mivel 7*1/7=1.

inverz mátrix , amelyet egy adott négyzetmátrixhoz meg kell találni A, egy ilyen mátrixot hívnak

a szorzat, amellyel a mátrixok A a jobb oldalon az identitásmátrix, azaz
. (1)

Az identitásmátrix egy átlós mátrix, amelyben minden átlós bejegyzés egyenlő eggyel.

Az inverz mátrix megtalálása- probléma, amelyet leggyakrabban két módszerrel oldanak meg:

• az algebrai komplementerek módszere, amelyben, mint az óra elején megjegyeztük, meg kell találni a determinánsokat, mollokat és algebrai komplementereket, valamint transzponálni mátrixokat;
• a Gauss-eliminációs módszer, amely a mátrixok elemi transzformációit igényli (sorok összeadása, sorok szorzása azonos számmal stb.).

Azok számára, akik különösen kíváncsiak, vannak más módszerek is, például a lineáris transzformációk módszere. Ebben a leckében az említett három módszert és az inverz mátrix ezekkel a módszerekkel történő megtalálásának algoritmusait elemezzük.

Tétel.Minden nem szinguláris (nem szinguláris, nem szinguláris) négyzetmátrixhoz találhatunk inverz mátrixot, ráadásul csak egyet. Egy speciális (degenerált, szinguláris) négyzetes mátrix esetében az inverz mátrix nem létezik.

A négyzetmátrixot ún nem különleges(vagy nem degenerált, nem egyes szám) ha a determinánsa nem egyenlő nullával, és különleges(vagy elfajzott, egyedülálló), ha a determinánsa nulla.

Az inverz mátrix csak négyzetmátrixra található. Természetesen az inverz mátrix is ​​négyzet alakú lesz, és ugyanolyan sorrendű, mint az adott mátrix. Azt a mátrixot, amelyhez inverz mátrix található, invertálható mátrixnak nevezzük.

Az inverz mátrix megtalálása az ismeretlenek Gauss-féle eliminációjával

Az inverz mátrix Gauss-eliminációval történő megtalálásának első lépése a mátrix hozzárendelése A azonos sorrendű identitásmátrix, függőleges sávval elválasztva őket. Kettős mátrixot kapunk. Ennek a mátrixnak mindkét részét megszorozzuk -vel, akkor kapjuk

,

Algoritmus az inverz mátrix megtalálására az ismeretlenek Gauss-féle eliminációjával

1. A mátrixhoz A hozzárendelni egy azonos sorrendű identitásmátrixot.

2. Alakítsa át a kapott kettős mátrixot úgy, hogy az identitásmátrixot a bal részében kapja meg, majd az inverz mátrixot automatikusan megkapja a jobb oldalon az identitásmátrix helyett. Mátrix A a bal oldalon a mátrix elemi transzformációival az identitásmátrixba konvertálódik.

2. Ha a mátrix transzformáció folyamatában A az azonosságmátrixba bármely sorban vagy bármely oszlopban csak nullák lesznek, akkor a mátrix determinánsa egyenlő nullával, és ezért a mátrix A degenerált lesz, és nincs inverz mátrixa. Ebben az esetben az inverz mátrix további keresése leáll.

2. példa Mátrixhoz

keresse meg az inverz mátrixot.

és átalakítjuk úgy, hogy az identitásmátrixot a bal oldalon kapjuk meg. Kezdjük az átalakítást.

A bal és jobb oldali mátrix első sorát szorozzuk meg (-3)-mal és adjuk hozzá a második sorhoz, majd az első sort szorozzuk meg (-4)-gyel és adjuk hozzá a harmadik sorhoz, akkor kapjuk

.

Lehetőség szerint elkerülendő törtszámok a későbbi transzformációk során először egy egységet hozunk létre a duális mátrix bal oldalán lévő második sorban. Ehhez szorozzuk meg a második sort 2-vel, és vonjuk ki belőle a harmadik sort, akkor kapjuk

.

Adjuk hozzá az első sort a másodikhoz, majd a második sort szorozzuk meg (-9)-el, és adjuk hozzá a harmadik sorhoz. Akkor kapunk

.

Ezután osszuk el a harmadik sort 8-cal

.

Szorozzuk meg a harmadik sort 2-vel, és adjuk hozzá a második sorhoz. Kiderül:

.

A második és a harmadik sor helyét felcserélve végül megkapjuk:

.

Látjuk, hogy az identitásmátrixot a bal oldalon kapjuk meg, ezért az inverz mátrixot a jobb oldalon kapjuk meg. És így:

.

A számítások helyességét úgy ellenőrizheti, hogy az eredeti mátrixot megszorozza a talált inverz mátrixszal:

Az eredmény egy inverz mátrix legyen.

Ezzel ellenőrizheti a megoldást online számológép az inverz mátrix megtalálásához .

3. példa Mátrixhoz

keresse meg az inverz mátrixot.

Megoldás. Kettős mátrix összeállítása

és átalakítjuk.

Az első sort megszorozzuk 3-mal, a másodikat 2-vel, és kivonjuk a másodikból, majd az első sort megszorozzuk 5-tel, a harmadikat 2-vel és kivonjuk a harmadik sorból, akkor kapjuk

inverz mátrix egy mátrix A -1, ha ezzel megszorozzuk az adott kezdőmátrixot A megadja az identitásmátrixot E:

AA −1 = A −1 A =E.

Inverz mátrix módszer.

Inverz mátrix módszer- ez az egyik legelterjedtebb mátrixmegoldási módszer, és lineáris algebrai egyenletrendszerek (SLAE) megoldására használják olyan esetekben, amikor az ismeretlenek száma megegyezik az egyenletek számával.

Legyen rendszer n lineáris egyenletek -val n ismeretlen:

Egy ilyen rendszer felírható mátrixegyenletként A*X=B,

Ahol
- rendszermátrix,

- ismeretlenek oszlopa,

- a szabad együtthatók oszlopa.

A származtatott mátrixegyenletből úgy fejezzük ki X-et, hogy a bal oldali mátrixegyenlet mindkét oldalát megszorozzuk A-1, aminek eredménye:

A -1 * A * X = A -1 * B

Ennek tudatában A-1*A=E, Akkor E*X=A-1*B vagy X=A-1*B.

A következő lépés az inverz mátrix meghatározása A-1és megszorozzuk a szabad tagok oszlopával B.

Inverz mátrixból mátrixba A csak akkor létezik det A≠ 0 . Ennek fényében az SLAE inverz mátrix módszerrel történő megoldása során az első lépés a megtalálás det A. Ha det A≠ 0 , akkor a rendszernek csak egy megoldása van, amit az inverz mátrix módszerrel kaphatunk meg, ha det A = 0, akkor egy ilyen rendszer inverz mátrix módszer nincs megoldva.

Inverz mátrix megoldás.

A műveletek sorrendje: inverz mátrix megoldások:

1. Szerezd meg a mátrix determinánst A. Ha a determináns nagyobb, mint nulla, akkor az inverz mátrixot tovább oldjuk, ha egyenlő nullával, akkor az inverz mátrix itt nem található.
2. A transzponált mátrix megkeresése NÁL NÉL.
3. Algebrai komplementereket keresünk, amelyek után a mátrix minden elemét lecseréljük azok algebrai komplementereire.
4. Az inverz mátrixot algebrai összeadásokból gyűjtjük össze: a kapott mátrix összes elemét elosztjuk az eredetileg adott mátrix determinánsával. A végső mátrix a kívánt inverz mátrix lesz az eredetihez képest.

Az alábbi algoritmus inverz mátrix megoldások lényegében ugyanaz, mint fent, a különbség csak néhány lépésben van: először meghatározzuk az algebrai összeadásokat, majd kiszámítjuk az uniómátrixot C.

1. Nézze meg, hogy az adott mátrix négyzet alakú-e. Nemleges válasz esetén világossá válik, hogy nem lehet rá inverz mátrix.
2. Nézze meg, hogy az adott mátrix négyzet alakú-e. Nemleges válasz esetén világossá válik, hogy nem lehet rá inverz mátrix.
3. Algebrai összeadásokat számolunk.
4. Összeállítjuk a szövetséges (kölcsönös, csatolt) mátrixot C.
5. Algebrai összeadásokból inverz mátrixot állítunk össze: az adjungált mátrix összes elemét C osztjuk a kezdeti mátrix determinánsával. A kapott mátrix a kívánt inverz mátrix lesz az adotthoz képest.
6. Ellenőrizzük az elvégzett munkát: megszorozzuk a kezdeti és a kapott mátrixot, az eredmény az identitásmátrix legyen.

Ezt a legjobban egy csatolt mátrix segítségével lehet megtenni.

Tétel: Ha a jobb oldali négyzetmátrixhoz azonos sorrendű identitásmátrixot rendelünk, és a bal oldali kezdőmátrixot sorok feletti elemi transzformációkkal egységmátrixsá alakítjuk, akkor a jobb oldalon kapott mátrix inverze lesz a kezdetivel.

Példa az inverz mátrix megtalálására.

Gyakorlat. Mátrixhoz keressük meg az inverzt az adjungált mátrix módszerrel.

Megoldás. Hozzáadjuk a megadott mátrixhoz A jobb oldalon a 2. rendű identitásmátrix:

Vonja ki a másodikat az 1. sorból:

Vonjuk ki az első 2-t a második sorból: