Milyen számok irracionálisak? Irracionális szám nem racionális valós szám, azaz. nem ábrázolható törtként (két egész szám arányaként), ahol m- egész szám, n- természetes szám . Irracionális szám végtelen nem periodikus tizedes törtként ábrázolható.

Irracionális szám nem biztos, hogy pontos jelentése van. Csak 3.333333 formátumban…. Például, a kettő négyzetgyöke irracionális szám.

Melyik szám irracionális? Irracionális szám(a racionálistól eltérően) végtelen tizedes nem periodikus törtnek nevezzük.

Irracionális számok halmaza gyakran nagy latin betűvel jelölik félkövér stílusban, árnyékolás nélkül. Hogy.:

Azok. Az irracionális számok halmaza a valós és a racionális számok halmaza közötti különbség.

Irracionális számok tulajdonságai.

• 2 nemnegatív irracionális szám összege lehet racionális szám.
• Az irracionális számok a Dedekind-vágásokat határozzák meg a racionális számok halmazában, amelynek alsó osztályában nincs legnagyobb szám, a felső osztályban pedig nincs kisebb.
• Minden valós transzcendentális szám irracionális szám.
• Minden irracionális szám algebrai vagy transzcendentális.
• Az irracionális számok halmaza a számegyenesen mindenütt sűrű: minden számpár között van egy irracionális szám.
• Az irracionális számok halmazának sorrendje izomorf a valós transzcendentális számok halmazának sorrendjével.
• Az irracionális számok halmaza végtelen, és a 2. kategória halmaza.
• Minden racionális számokkal végzett aritmetikai művelet eredménye (kivéve a 0-val való osztást) racionális szám. Az irracionális számokkal végzett aritmetikai műveletek eredménye lehet racionális vagy irracionális szám.
• Egy racionális és egy irracionális szám összege mindig irracionális szám lesz.
• Az irracionális számok összege lehet racionális szám. Például, hagyja x akkor irracionális y=x*(-1) szintén irracionális; x+y=0,és a szám 0 racionális (ha például összeadjuk bármely 7-es fok gyökét és mínusz ugyanennek a hetes foknak a gyökerét, akkor a 0 racionális számot kapjuk).

Irracionális számok, példák.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ

Az ókori matematikusok már ismertek egy egységnyi hosszúságú szakaszt: ismerték például az átló és a négyzet oldalának összemérhetetlenségét, ami egyenértékű a szám irracionalitásával.

Irracionálisak a következők:

Példák az irracionalitás bizonyítására

2 gyöke

Tételezzük fel az ellenkezőjét: racionális, azaz irreducibilis tört formájában van ábrázolva, ahol és egész számok. Nézzük négyzetre a feltételezett egyenlőséget:

.

Ebből következik, hogy a páros páros és . Legyen ott, ahol az egész. Akkor

Ezért az egyenletes párost és -t jelent. Azt találtuk, hogy és párosak, ami ellentmond a tört redukálhatatlanságának. Ez azt jelenti, hogy az eredeti feltevés hibás volt, és ez irracionális szám.

A 3-as szám bináris logaritmusa

Tegyük fel az ellenkezőjét: racionális, azaz törtként ábrázolva, ahol és egész számok. Mivel , és pozitívnak választható. Akkor

De páros és páratlan. Ellentmondást kapunk.

e

Sztori

Az irracionális számok fogalmát az indiai matematikusok implicit módon átvették a Kr.e. 7. században, amikor Manava (i. e. 750 körül - ie 690 körül) rájött, hogy egyes természetes számok, például 2 és 61 négyzetgyöke nem fejezhető ki egyértelműen. .

Az irracionális számok létezésének első bizonyítékát általában Metapontoszi Hippasosznak (i. e. 500 körül), egy püthagoreusnak tulajdonítják, aki a pentagram oldalainak hosszának tanulmányozásával találta meg ezt a bizonyítékot. A pitagoreusok idején azt hitték, hogy létezik egyetlen hosszúságegység, amely kellően kicsi és oszthatatlan, és amely egész számú szegmensbe belép. Hippasus azonban azzal érvelt, hogy nincs egyetlen hosszúsági egység, mivel a létezésének feltételezése ellentmondáshoz vezet. Megmutatta, hogy ha egy egyenlő szárú derékszögű háromszög befogója egész számú egységnyi szakaszt tartalmaz, akkor ennek a számnak párosnak és páratlannak is kell lennie. A bizonyíték így nézett ki:

• Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög befogó hosszának és lábának hosszának aránya a következőképpen fejezhető ki: a:b, Ahol aÉs b a lehető legkisebbnek választották.
• A Pitagorasz-tétel szerint: a² = 2 b².
• Mert a- még, a párosnak kell lennie (mivel egy páratlan szám négyzete páratlan lenne).
• Mert a a:b nem csökkenthető b furcsanak kell lennie.
• Mert a sőt, jelöljük a = 2y.
• Akkor a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y² tehát b- még akkor is b még.
• Ez azonban bebizonyosodott b páratlan. Ellentmondás.

A görög matematikusok ezt az arányt összemérhetetlen mennyiségeknek nevezték alogos(kimondhatatlan), de a legendák szerint nem tanúsítottak kellő tiszteletet Hippasus iránt. Van egy legenda, amely szerint Hippasus tengeri utazása során fedezte fel, és más pitagoreusok kidobták a vízbe, „mert létrehozta az univerzum egy elemét, amely tagadja azt a tant, hogy az univerzumban lévő összes entitás egész számokra és azok arányaira redukálható”. Hippasus felfedezése komoly problémát jelentett a pitagorasz matematika számára, megsemmisítve azt a mögöttes feltételezést, hogy a számok és a geometriai objektumok egyek és elválaszthatatlanok.

Lásd még

Megjegyzések

Numerikus rendszerek
Számolás készletek	Egész számok ()

Mik azok az irracionális számok? Miért hívják így? Hol használják és mik azok? Kevesen tudnak gondolkodás nélkül válaszolni ezekre a kérdésekre. Valójában azonban a válaszok meglehetősen egyszerűek, bár nem mindenkinek van szüksége rájuk, és nagyon ritka helyzetekben

Lényeg és megnevezés

Az irracionális számok végtelen nem periodikus számok A fogalom bevezetésének szükségessége abból adódik, hogy a felmerülő új problémák megoldásához a korábban létező valós vagy valós, egész, természetes és racionális számok fogalma már nem volt elegendő. Például annak kiszámításához, hogy melyik mennyiség a 2 négyzete, nem periodikus végtelen tizedesjegyeket kell használni. Ezenkívül sok egyszerű egyenletnek nincs megoldása az irracionális szám fogalmának bevezetése nélkül.

Ezt a halmazt I-vel jelöljük. És amint az már világos, ezek az értékek nem ábrázolhatók egyszerű törtként, amelynek számlálója egész szám, nevezője pedig

Első ízben, így vagy úgy, az indiai matematikusok a 7. században találkoztak ezzel a jelenséggel, amikor kiderült, hogy egyes mennyiségek négyzetgyöke nem jelezhető egyértelműen. És az ilyen számok létezésének első bizonyítékát a Pitagorasz Hippasusnak tulajdonítják, aki ezt egy egyenlő szárú derékszögű háromszög tanulmányozása során tette. Néhány más, korszakunk előtt élt tudós komolyan hozzájárult ennek a halmaznak a tanulmányozásához. Az irracionális számok fogalmának bevezetése a meglévő matematikai rendszer felülvizsgálatát vonja maga után, ezért olyan fontosak.

név eredete

Ha az arány latinból fordítva „tört”, „arány”, akkor az „ir” előtag
ellenkező jelentést ad ennek a szónak. Így e számok halmazának neve azt jelzi, hogy nem korrelálhatók egész számmal vagy törttel, és külön helyük van. Ez következik a lényegükből.

Hely az általános besorolásban

Az irracionális számok a racionális számokkal együtt a valós vagy valós számok csoportjába tartoznak, amelyek viszont a komplex számokhoz tartoznak. Nincsenek részhalmazok, de vannak algebrai és transzcendentális változatai, amelyekről az alábbiakban lesz szó.

Tulajdonságok

Mivel az irracionális számok a valós számok halmazának részét képezik, az aritmetikában vizsgált összes tulajdonságuk (ezeket alapvető algebrai törvényeknek is nevezik) vonatkozik rájuk.

a + b = b + a (kommutativitás);

(a + b) + c = a + (b + c) (asszociativitás);

a + (-a) = 0 (ellentétes szám megléte);

ab = ba (kommutatív törvény);

(ab)c = a(bc) (eloszlás);

a(b+c) = ab + ac (eloszlási törvény);

a x 1/a = 1 (reciprok szám megléte);

Az összehasonlítást az általános törvények és elvek szerint is elvégezzük:

Ha a > b és b > c, akkor a > c (a reláció tranzitivitása) ill. stb.

Természetesen az összes irracionális szám átalakítható az alapvető aritmetika segítségével. Nincsenek speciális szabályok.

Ezenkívül az Archimedes-axióma az irracionális számokra vonatkozik. Azt állítja, hogy bármely két a és b mennyiségre igaz, hogy ha elégszer veszed a-t tagnak, akkor túllépheted a b-t.

Használat

Annak ellenére, hogy a mindennapi életben nem nagyon találkozik velük, az irracionális számokat nem lehet megszámolni. Nagyon sok van belőlük, de szinte láthatatlanok. Irracionális számok vannak körülöttünk. Mindenki számára ismerős példa a pi szám, amely egyenlő 3,1415926..., vagy az e, amely lényegében a természetes logaritmus alapja, 2,718281828... Az algebrában, trigonometriában és geometriában ezeket folyamatosan használni kell. Egyébként az „aranymetszés” híres jelentése, vagyis a nagyobb rész aránya a kisebbhez és fordítva is.

ebbe a készletbe tartozik. A kevésbé ismert „ezüst” is.

A számegyenesen nagyon sűrűn helyezkednek el, így bármely két racionálisnak minősített mennyiség között biztosan előfordul egy irracionális.

Még mindig sok megoldatlan probléma kapcsolódik ehhez a készlethez. Vannak olyan kritériumok, mint az irracionalitás mértéke és egy szám normalitása. A matematikusok továbbra is tanulmányozzák a legjelentősebb példákat, hogy megállapítsák, valamelyik csoporthoz tartoznak-e. Például úgy gondolják, hogy e egy normál szám, vagyis annak a valószínűsége, hogy a jelölésében különböző számjegyek jelennek meg, azonos. Ami a pi-t illeti, a kutatás még folyamatban van vele kapcsolatban. Az irracionalitás mértéke egy olyan érték, amely megmutatja, hogy egy adott szám mennyire közelíthető racionális számokkal.

Algebrai és transzcendentális

Mint már említettük, az irracionális számokat hagyományosan algebrai és transzcendentális számokra osztják. Feltételesen, mivel szigorúan véve ezt az osztályozást használják a C halmaz felosztására.

Ez a megjelölés komplex számokat rejt, amelyek valós vagy valós számokat tartalmaznak.

Tehát az algebrai érték egy olyan polinom gyöke, amely nem azonos nullával. Például a 2 négyzetgyöke ebbe a kategóriába tartozik, mert ez az x 2 - 2 = 0 egyenlet megoldása.

Minden más valós számot, amely nem felel meg ennek a feltételnek, transzcendentálisnak nevezzük. Ez a változat tartalmazza a leghíresebb és már említett példákat - a pi számot és a természetes logaritmus alapját e.

Érdekes módon sem az egyiket, sem a másikat nem ebben a minőségben fejlesztették ki a matematikusok irracionalitása és transzcendenciája sok évvel a felfedezésük után. A pi esetében a bizonyítást 1882-ben adták meg, 1894-ben pedig leegyszerűsítették, és ezzel véget ért egy 2500 éves vita a kör négyzetre emelésének problémájáról. Még mindig nem tanulmányozták teljesen, így a modern matematikusoknak van min dolgozniuk. Ennek az értéknek az első meglehetősen pontos számítását egyébként Archimedes végezte. Előtte minden számítás túl közelítő volt.

Az e-re (Euler- vagy Napier-szám) 1873-ban találtak bizonyítékot a transzcendenciájára. Logaritmikus egyenletek megoldására használják.

További példák a szinusz, a koszinusz és a tangens értékei bármely algebrai nem nulla értékhez.

Irracionális szám definíciója

Az irracionális számok azok a számok, amelyek decimális jelöléssel végtelen nem periodikus tizedes törteket jelentenek.

Így például a természetes számok négyzetgyökének felvételével kapott számok irracionálisak, és nem természetes számok négyzetei. De nem minden irracionális számot kapunk négyzetgyök felvételével, mert az osztással kapott pi szám is irracionális, és nem valószínű, hogy megkapjuk, ha megpróbáljuk kivonni egy természetes szám négyzetgyökét.

Irracionális számok tulajdonságai

A végtelen tizedesjegyként írt számokkal ellentétben csak az irracionális számokat írjuk nem periodikus végtelen tizedesként.
Két nem negatív irracionális szám összege racionális szám lehet.
Az irracionális számok a Dedekind-vágásokat határozzák meg a racionális számok halmazában, amelynek alsó osztályában nincs legnagyobb szám, a felső osztályban pedig nincs kisebb.
Bármely valódi transzcendentális szám irracionális.
Minden irracionális szám algebrai vagy transzcendentális.
Az irracionális számok halmaza egy egyenesen sűrűn helyezkedik el, és bármelyik két száma között biztosan van irracionális szám.
Az irracionális számok halmaza végtelen, megszámlálhatatlan és a 2. kategória halmaza.
Ha bármilyen aritmetikai műveletet végez racionális számokkal, kivéve a 0-val való osztást, az eredmény racionális szám lesz.
Ha racionális számot adunk egy irracionális számhoz, az eredmény mindig irracionális szám lesz.
Irracionális számok összeadásakor racionális számot kaphatunk.
Az irracionális számok halmaza nem páros.

A számok nem irracionálisak

Néha meglehetősen nehéz megválaszolni azt a kérdést, hogy egy szám irracionális-e, különösen olyan esetekben, amikor a szám tizedes tört vagy numerikus kifejezés, gyök vagy logaritmus formájában van.

Ezért nem lesz felesleges tudni, hogy mely számok nem irracionálisak. Ha követjük az irracionális számok definícióját, akkor már tudjuk, hogy a racionális számok nem lehetnek irracionálisak.

Az irracionális számok nem:

Először is minden természetes szám;
Másodszor, egész számok;
Harmadszor, közönséges törtek;
Negyedszer, különféle vegyes számok;
Ötödször, ezek végtelen periodikus tizedes törtek.

A fentiek mellett irracionális szám nem lehet racionális számok tetszőleges kombinációja, amelyet olyan számtani műveletek előjelei hajtanak végre, mint a +, -, , :, mivel ebben az esetben két racionális szám eredménye is racionális szám.

Most nézzük meg, mely számok irracionálisak:

Tudsz arról, hogy létezik egy rajongói klub, ahol ennek a titokzatos matematikai jelenségnek a rajongói egyre több információt keresnek Piről, és próbálják megfejteni a rejtélyét? Bárki, aki fejből tud bizonyos számú Pi-számot a tizedesvessző után, tagja lehet ennek a klubnak;

Tudtad, hogy Németországban az UNESCO védelme alatt áll a Castadel Monte palota, melynek arányainak köszönhetően ki lehet számítani a Pi-t. Frigyes király az egész palotát ennek a számnak szentelte.

Kiderült, hogy megpróbálták felhasználni a Pi számot a Bábel-torony építésekor. De sajnos ez a projekt összeomlásához vezetett, mivel akkoriban a Pi értékének pontos kiszámítását nem vizsgálták kellőképpen.

Kate Bush énekesnő új lemezén felvett egy „Pi” című dalt, amelyben százhuszonnégy szám hangzott el a híres 3, 141… számsorozatból.

Példa:
A \(4\) racionális szám, mert felírható \(\frac(4)(1)\) ;
\(0,0157304\) is racionális, mert \(\frac(157304)(10000000)\) alakban írható;
\(0,333(3)...\) - és ez egy racionális szám: ábrázolható \(\frac(1)(3)\) ;
A \(\sqrt(\frac(3)(12))\) racionális, mivel \(\frac(1)(2)\) alakban ábrázolható. Valójában végrehajthatunk egy transzformációs láncot \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)

Irracionális szám olyan szám, amely nem írható fel törtként egész számlálóval és nevezővel.

Lehetetlen, mert az végtelen törtek, sőt nem periodikusak is. Ezért nincsenek olyan egész számok, amelyeket egymással elosztva irracionális számot adnának.

Példa:
\(\sqrt(2)≈1,414213562…\) egy irracionális szám;
\(π≈3,1415926… \) irracionális szám;
\(\log_(2)(5)≈2,321928…\) egy irracionális szám.

Példa (Feladat az OGE-től). Melyik kifejezés jelentése racionális szám?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

Megoldás:

1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) – a \(14\) gyöke nem vehető, ami azt jelenti, hogy egy számot nem lehet egész számokkal törtként ábrázolni, ezért a szám irracionális.

2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) – nem maradt gyök, a szám könnyen ábrázolható törtként, például \(\frac(-5)(1)\), ami azt jelenti, hogy racionális.

3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11)\) – a gyökér nem kinyerhető – a szám irracionális.

4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) is irracionális.